高考数学等比数列
高考数学之等比数列及函数
十、两角和差
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ
tan3a = tan a·tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
九、三角和
sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ
cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ
Sn-qSn=(1-q)Sn=a1-a(n+1)
a(n+1)=a1qn
Sn=a1(1-qn)/(1-q)（q≠1）
三、倍角公式
Sin2A=2SinA?CosA
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1
tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）
（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A））
十四、诱导公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (—a)=-tanα
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
高考数学中的等比数列求和方法
高考数学中的等比数列求和方法数列是高中数学中比较基础的一章，而等比数列则是其中的重中之重。
在高考中，等比数列的考查频率很高，特别是等比数列的求和问题更是经典，直接牵涉到了数列求和的核心思路。
本文将重点探讨等比数列求和方法，并为考生提供一些实用技巧，帮助他们在考试中取得更好的成绩。
首先，我们需要对等比数列做一个简单的介绍。
等比数列是指数列中相邻两项之比相等的数列，常用的表示方法为{an}(n≥1)，其中a1是首项，r是公比。
例如，{1，2，4，8，16，……}就是一个公比为2的等比数列。
接下来，我们将分别介绍等比数列求和公式的推导和应用。
一、等比数列求和公式的推导1. 等比数列各项的和假设等比数列的第一项为a1，公比为r，首先计算出数列的前n项和S(n)：S(n) = a1 + a2 + a3 + … + an将该式乘以公比r得到：rS(n) = a2 + a3 + … + an + an+1然后，将原式S(n)中的各项全部减去等比数列中第一项a1，得到：S(n) - a1 = a2 + a3 + … + an（1）将(1)式代入前面的rS(n)中，得到：rS(n) = S(n) - a1 + an+1将等比数列中第n项与第一项的比值记为q，则：an+1 = a1q^n再将an+1代入上式，得到：rS(n) = S(n) - a1 + a1q^(n+1)移项并化简，得到：S(n) = a1(1 - q^n+1) / (1 - q)这个公式被称为等比数列求和公式，可以直接用来计算等比数列的和。
2. 等比数列各项的平方和现在我们来推导等比数列各项的平方和公式。
设等比数列的前n项平方和为T(n)，则：T(n) = a1^2 + a2^2 + a3^2 + … + an^2利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，将各项带入上式，得到：T(n) = a1^2 + a1^2 * q^2 + a1^2 * q^4 + … + a1^2 * q^(2n-2)将上式乘以公比q得到：qT(n) = a1^2 * q + a1^2 * q^3 + a1^2 * q^5 + … + a1^2 * q^(2n-1)将两式相减，得到：T(n) - qT(n) = a1^2 - a1^2 * q^(2n)化简后得到：T(n) = a1^2 * (1 - q^n) / (1 - q)这个公式被称为等比数列各项的平方和公式，与求和公式类似，也可以直接用来计算等比数列的各项平方之和。
高考数学复习 等比数列
高考数学复习 等比数列高考要求：1、 理解等比数列的概念，2、 掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，3、 并能解决简单的实际问题． 考点回顾：1．定义：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.2．通项公式11-=n n q a a ,推广形式:mn m n q a a -=,变式),,(*-∈>=N n m m n a a q mn mn3．前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a qq a q na S n nn 且注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 4．等比中项:若a 、b 、c 成等比数列,则b 是a 、c 的等比中项,且ac b ±=5．在等比数列{}n a 中有如下性质: (1)若q p n m a a a a N q p n m q p n m ⋅=⋅∈+=+*则,,,, (2)下标成等差数列的项构成等比数列(3)连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若{}为等比数列数列n nn a N n q a a ⇔∈=*+)(1(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*++)0(21221 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n nn a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法(1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论 ②当{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>>()1(111-=--+q q a a a n n n ){}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>><考点解析：考点1、关于基本量的计算EG1．数列{}n a 为等比数列,求下列各值, (1)已知.,2118367463n a a a a a n 求==+=+ (2) .,15367382q a a a a 求公比已知=+= (3) .),21(15,218a S q 求已知-=-=思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题 解(1)21,36,18)(63636374=∴=+=+=+=+q a a a a q q a q a a a 9212)21(3232,36)1(833333333363=∴====∴=∴=+=+=+---n q a a a q a q a a a a n n n n (2) ,03615,,1536273738273两根是方程=+-∴=+==x x a a a a a a a a222414,3,1212,3447373±=±=∴==∴====∴q q q q a a a a 或或或 (3)1)21()21()21(1521)15(21])2(1[11818=+⋅--=∴-=+-=+--=a a a SB1-1.设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q于是)3(541,081)1()2()2(65601)1()1(801)1(11211==∴>∴>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=---n n n nn q a a q q q q q a qq a 又得 3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a qaq n 及得代入 B1-2、设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q.答案:243-=q B1-2 已知等比数列{a n }中，a 1+a 2+a 3=7，a 1a 2a 3=8，求a n .剖析：利用等比数列的基本量a 1，q ，根据条件求出a 1和q . 解：设{a n }的公比为q ，由题意知⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,721112111q a q a a q a q a a解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩⎪⎨⎧==.21,41q a ∴a n =2n －1或a n =23－n.评述：转化成基本量解方程是解决数列问题的基本方法.2.关于等比数列的证明EG2.已知数列{}n a ,S n 是它的前n 项和,且1),(2411=∈+=*+a N n a S n n (1)设)(21*+∈-=N n a a b n n n ,求证:数列{}n b 是等比数列(2)设nn na c 2=,,求证:数列{}n c 是等差数列思维分析:证明数列是等差数列还是等比数列.应紧扣定义式;而数列的前n 项和S n 已知可求a n 解:(1) n n n n n n n n n n n a a a a a S S a S a S 444424,2412112121-=-=-⇒+=+=++++++++即n n n n n n n n n b b a a b a a a a 22),2(2211112=∴-=-=-⇒+++++而,由此可得{}n b 是等比数列且首项112123,2,32-⋅=∴==-=n n b q a a b 公比(2)43223222,2111111=⋅==-=-∴=+-++++n n n n n n n n n n n n n b a a c c b c 可知{}n c 是首项43,21211===d a c 公差的等差数列,4143-=∴n c n B2-2、数列{}{}n n b a ,的通项公式分别是,23,2+==n b a n nn 它们公共项由小到大排列的数列是{}n c ,①写出{}n c 的前5项 ②证明{}n c 是等比数列思维分析:容易证明{}n c 是等比数列,由定义式,只需找出{}n c 中任意相邻两项关系即可. 解(1) {}n c 的前5项为:8、32、128、512、2048（2）设1)12(3)23(222,232,1++⋅=+=⋅=+==∴==+p p a p c c b a mm mn n p m 而{}{}中在又中不在bn a p p a b a m m m n m 221,2)24(3)23(424,+++∴++⋅=+⋅=⋅=∴{}{}是等比数列故项中的项即是n n n n n m c c c c c a ,4,112=∴∴+++B2-3 已知数列｛a n ｝为等差数列，公差d ≠0，｛a n ｝的部分项组成下列数列：a 1k ，a 2k ，…，a n k ，恰为等比数列，其中k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋k 3＋…＋k n .剖析：运用等差（比）数列的定义分别求得a n k ，然后列方程求得k n .解：设｛a n ｝的首项为a 1，∵a 1k 、a 2k 、a 3k 成等比数列，∴（a 1＋4d ）2＝a 1（a 1＋16d ）. 得a 1＝2d ，q ＝12k k a a ＝3.∵a n k ＝a 1＋（k n －1）d ，又a n k ＝a 1·3n －1，∴k n ＝2·3n －1－1.∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2（1＋3＋…＋3n －1）－n＝2×3131--n －n ＝3n－n －1.评述：运用等差（比）数列的定义转化为关于k n 的方程是解题的关键，转化时要注意：a nk 是等差数列中的第k n 项，而是等比数列中的第n 项.B2-4 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列，lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，且a 1=1，b 1=2，a 2=3，求通项a n 、b n .剖析：由等比中项、等差中项的性质得a n +1=1+⋅n n b b 递推出a n =n n b b ⋅-1（n ≥2）. 解：∵5n a ，5n b ，51+n a 成等比数列， ∴（5n b ）2=5n a ·51+n a ，即2b n =a n +a n +1.①又∵lg b n ，lg a n +1，lg b n +1成等差数列，∴2lg a n +1=lg b n +lg b n +1，即a n +12=b n ·b n +1.②由②及a i ＞0，b j ＞0（i 、j ∈N *）可得a n +1=1+⋅n nb b .③ ∴a n =n n b b 1-（n ≥2）.④将③④代入①可得2b n =n n b b ⋅-1+1+⋅n n b b （n ≥2）， ∴2n b =1-n b +1+n b （n ≥2）. ∴数列{n b }为等差数列. ∵b 1=2，a 2=3，a 22=b 1·b 2，∴b 2=29. ∴n b =2+（n －1）（29－2） =21（n +1）（n =1也成立）.∴b n =2)1(2+n . ∴a n =n n b b ⋅-1=2)1(222+⋅n n =2)1(+n n （n ≥2）. 又当n =1时，a 1=1也成立.∴a n =2)1(+n n .评述：由S n 求a n 时要注意验证a 1与S 1是否一致.方法归纳：1．涉及等差比数列的基本概念的问题，常用基本量q a ,1来处理；2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论；3．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似．4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． 实战训练1．等比数列{a n }中，如果817643=⋅⋅⋅a a a a ，则a 1a 9的值为A ．3B ．9C ．±3D ．±92．在等比数列{a n }中，100992019109,),0(a a b a a a a a a +=+≠=+则等于（ ）A ．89abB ．9)(abC ．910abD ．10)(ab3．已知821,,,a a a 是各项均为正数的等比数列，且公比q ≠1，则A=与81a a +B=54a a + 的大小关系是 （ ） A ．A>B B ．A<BC ．A=BD ．不确定，由公比q 的取值而定4．无穷等比数列｛a n ｝的前n 项的和S n ＝a －(21)n，则所有项的和是[ ] A ．1 B ．21 C ．－21D ．任意实数 5.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是A.arccos215-B.arcsin215- C.arccos 251-D.arcsin251- 解析：设Rt △ABC 中，C =2π，则A 与B 互余且A 为最小内角.又由已知得sin 2B =sin A ，即cos 2A =sin A ，1－sin 2A =sin A ，解之得sin A =215-或sin A =215--（舍）.答案：B6.设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30=230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于A.210B.220C.216D.215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3=（q a 3）3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30=（1030963qa a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅）3.又q =2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30=220.答案：B7.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（1－20%）n＜5%，两边取对数得n ＞2lg 3112lg -+≈13.4.故n ≥14.答案：C8.（2004年全国，文14）已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 10=384，则该数列的通项a n =___________________.解析：由已知得q 7=aa 10=128=27，故q =2.∴a n =a 3·q n －3=3·2n －3. 答案：3·2n －39.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有n （n ∈N *）行，在这些数中非1的数字之和是___________________.1 1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1……解析：观察可知，第n （n ∈N *）行中有n 个数，从左向右依次是二项式系数C 01-n ，C 11-n ，C 21-n ，…，C 11--n n ，故当n ≥3时，除了1外，第n 行各数的和为a n =C 11-n +C 21-n +…+C 21--n n =2n －1－2.又前两行全部为数字1，故前n 行非1的数字之和为a 3+a 4+…+a n =21)21(42---n －2（n －2）=2n －2n .12、无穷等比数列{a n }的前项和S n ，公比1≠q ，已知1是221S 和331S 的等差中项，6是2 S 2和3 S 3的等比中项。
高考数学等比数列知识点-等比数列的所有公式
高考数学等比数列知识点|等比数列的所有公式(1)定义式：任意两项的关系为(5)等比中项：若为或者无穷递缩等比数列各项和公式：公比的绝对值小于1的无穷等比数列，当n无限增大时的极限叫做这个无穷等比数列各项的和。
(7)由等比数列组成的新的等比数列的公比：{an}是公比为q的等比数列1.若A=a1+a2+……+anB=an+1+……+a2nC=a2n+1+ (3)则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q2.若A=a1+a4+a7+……+a3n-2B=a2+a5+a8+……+a3n-1C=a3+a6+a9+……+a3n则，A、B、C构成新的等比数列，公比Q=q性质(1)若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则am*an=ap*aq。
(2)在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。
(3)若“G是a、b的等比中项”则“G =ab(G≠0)”。
(4)若{an}是等比数列，公比为q1，{bn}也是等比数列，公比是q2，则{a2n}，{a3n}…是等比数列，公比为q1 ，q1 …{can}，c是常数，{an*bn}，{an/bn}是等比数列，公比为q1，q1q2，q1/q2。
(5)等比数列中，连续的，等长的，间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且各项为正，公比为q，则(log以a为底an的对数)成等差，公差为log以a为底q的对数。
(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q在等比数列中，首项A1与公比q都不为零。
注意：上述公式中A表示A的n次方。
(8)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式可以写成an=(a1/q)*q，它的指数函数y=a有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
求通项方法(1)待定系数法：已知a(n+1)=2an+3，a1=1，求an?构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)a(n+1)=2an+x，[标签:内容]感谢您的阅读！。
高考数学一轮复习 第5章第3节 等比数列课件 文 新课标
• (3)如果数列{an}和{bn}都是等比数列，那 么{anbn}是 等比数列．
• 7．等差数列与等比数列的比较：
• (1)相同点：
• ①强调的都是每一项与它前一项 系．
的关
• ②结果必须都是 常 数．
• ③数列都由公差、首项或公比、首项确定．
可以用aann≥ ≥aann－ ＋11， 或aann≤ ≤aann－ ＋11， ， 也可以转化为函数最值
问题或利用数形结合法．
• 7．数列求和的方法有公式法、倒序相加 (乘)法、错位相减法、裂项相消法、分组 转化法、归纳法．
• 8．通项公式的求解方法有观察法、构造 等差或等比数列法、猜测归纳法、累加法、 累积法、待定系数法及公式法．
• 2．运用等比法是理解和掌握两类数列的定义、通项公 式及中项公式、前n项和公式的重要方法．判定一个数 列是等比数列，不能只验证数列的前几项，需根据定义 证明
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/302022/1/302022/1/301/30/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/302022/1/30January 30, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/302022/1/302022/1/302022/1/30
高考数学中的等比数列与等差数列
高考数学中的等比数列与等差数列数列是数学中的重要概念，它是由一定规律排列的一串数所组成的序列。
当数列的规律是由一个公式或者一个固定的增量所决定时，就分别称为等比数列和等差数列。
在高考数学中，常常会涉及到等比数列和等差数列的题目。
本文将分别从概念、性质、公式和应用四个方面介绍这两种数列。
一、等比数列1. 概念等比数列是指一个数列中，每一项与它前一项的比相等的数列。
比值称为公比，通常用字母q表示，第一项通常用a1表示。
其通项公式为an=a1×q^(n-1)。
2. 性质a) 公比q为0或q为1的等比数列是特殊的等比数列。
b) 等比数列有无限项。
c) 等比数列的公比为正，且不等于1。
d) 等比数列可以借助画图工具画出图形，形状为不断递减的曲线。
3. 公式等比数列常用的公式有：a) 前n项和公式：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。
b) 通项公式：an=a1×q^(n-1)。
c) 通项公式与前一项的关系：an=aq^(n-1)。
4. 应用等比数列的应用非常广泛，可以在许多实际问题中发挥重要作用。
例如，在金融领域的利率计算和复利计算中，都需要用到等比数列的概念和公式。
此外，等比数列还可以用来分析种群数量的规律、电路电信号的衰减规律等等。
二、等差数列1. 概念等差数列又称为等差数列，它是指一个数列中，每相邻两项之差相等的数列。
差值称为公差，通常用字母d表示。
首项用a1表示，其通项公式为an=a1+(n-1)×d。
2. 性质a) 前n项和Sn=n[2a1+(n-1)d]/2。
b) 一个等差数列中的任意三项可以构成一个等差数列。
c) 等差数列的公差为正、负或零。
d) 等差数列可以借助画图工具画出图形，形状为一条直线。
3. 公式等差数列常用的公式有：a) 前n项和公式：Sn=n[2a1+(n-1)d]/2。
b) 第n项公式：an=a1+(n-1)d。
c) 前一项与通项的关系：a(n-1)+d=an。
高中数学等比数列公式是什么
高中数学等比数列公式是什么高中数学等比数列公式1、等比数列的通项公式是：An=A1__q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N__,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2arar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap__aq;②在等比数列中,依次每k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.高中数学解题方法与技巧1、不等式、方程或函数的题型，先直接思考后建立三者的联系。
首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。
2、在研究含有参数的初等函数的时候应该抓住无论参数怎么变化一些性质都不变的特点。
如函数过的定点、二次函数的对称轴等。
3、在求零点的函数中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法。
4、恒成立问题中，可以转化成最值问题或者二次函数的恒成立可以利用二次函数的图像性质来解决，灵活使用函数闭区间上的最值，分类讨论的思想(在分类讨论中应注意不重复不遗漏)。
5、选择与填空中出现不等式的题，应优先选特殊值法。
6、在利用距离的几何意义求最值得问题中，应首先考虑两点之间线段最短，常用次结论来求距离和的最小值;三角形的两边之差小于第三边，常用此结论来求距离差的最大值。
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)
高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列 证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数 所以{}log c n a 成等差数列 二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件 答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（ ）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。
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第3节等比数列【选题明细表】基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·北京海淀模拟)在数列{a n}中,“a n=2a n-1,n=2,3,4,…”是“{a n}是公比为2的等比数列”的( B )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:当a n=0时,满足a n=2a n-1,n=2,3,4,…,但{a n}是等差数列,不是等比数列,故充分性不成立;又当{a n}是公比为2的等比数列时,有错误!未找到引用源。
=2,n=2,3,4,…,即a n=2a n-1,n=2,3,4,…,所以必要性成立,故选B.2.(2016·湖北华师一附中3月联考)在等比数列{a n} 中,a2a3a4=8,a7=8,则a1等于( A )(A)1 (B)±1(C)2 (D)±2解析:因为数列{a n}是等比数列,所以a2a3a4=错误!未找到引用源。
=8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,a1=错误!未找到引用源。
=1,故选A.3.(2016·河北衡水中学五调)已知等比数列{a n}的公比q=2,且2a4, a6,48成等差数列,则{a n}的前8项和为( B )(A)127 (B)255 (C)511 (D)1 023解析:因为2a4,a6,48成等差数列,所以2a6=2a4+48,所以2a1q5=2a1q3+48,又因为q=2,所以a1=1,所以S8=错误!未找到引用源。
=255.故选B.4.(2016·山东烟台一模)已知数列{a n}是等比数列,且每一项都是正数,若a1,a49是2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为( B )(A)错误!未找到引用源。
(B)9错误!未找到引用源。
(C)±9错误!未找到引用源。
(D)35解析:因为{a n}是等比数列,且a1,a49是方程2x2-7x+6=0的两根,所以a1·a49=错误!未找到引用源。
=3.而a n>0,所以a25=错误!未找到引用源。
.所以a1·a2·a25·a48·a49=(a25)5=9错误!未找到引用源。
.故选B.5.(2016·河南开封一模)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=5,S m=-11,S m+1=21,则m等于( C )(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由已知得,S m-S m-1=a m=-16,S m+1-S m=a m+1=32,故公比q=错误!未找到引用源。
=-2,又S m=错误!未找到引用源。
=-11,故a1=-1,又a m=a1·q m-1=-16,故(-1)×(-2)m-1=-16,求得m=5.故选C.6.(2016·山西吕梁一模)已知S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n 项和,且S1,S2,S4成等比数列,则错误!未找到引用源。
等于( C ) (A)4 (B)6 (C)8 (D)10解析:设公差为d,则S1=a1,S2=2a1+d,S4=4a1+6d,因为S1,S2,S4成等比数列,所以错误!未找到引用源。
=S1S4,即(2a1+d)2=a1(4a1+6d),解得d=0(舍去)或d=2a1,所以错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=8.故选C.7.(2016·河南商丘一模)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1, a8=a6+2a4,则a6= .解析:设公比为q,因为a2=1,则由a8=a6+2a4得q6=q4+2q2,q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4.答案:48.等比数列{a n}的首项a1=-1,前n项和为S n,若错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,则{a n}的通项公式a n= .解析:因为错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,所以错误!未找到引用源。
=-错误!未找到引用源。
,因为S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,所以q5=-错误!未找到引用源。
,q=-错误!未找到引用源。
,则a n=-1×(-错误!未找到引用源。
)n-1=-(-错误!未找到引用源。
)n-1. 答案:-(-错误!未找到引用源。
)n-1{a n}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列{b n}的相邻三项.若b2=5,则b n= .解析:因为{a n}是公差不为零的等差数列,并且a5,a8,a13是等比数列的相邻三项,所以(a5+3d)2=a5(a5+8d),所以a5=错误!未找到引用源。
d,所以q=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,因为b2=5,q=错误!未找到引用源。
,所以b1=错误!未找到引用源。
=3,所以b n=b1q n-1=3×(错误!未找到引用源。
)n-1.答案:3×(错误!未找到引用源。
)n-1{a n}的前n项和为S n,满足S n=4a n-p,其中p为非零常数.(1)求证:数列{a n}为等比数列;(2)若a2=错误!未找到引用源。
,求{a n}的通项公式.(1)证明:当n=1时,S1=4a1-p,得a1=错误!未找到引用源。
≠0,当n≥2时,a n=S n-S n-1=(4a n-p)-(4a n-1-p)=4a n-4a n-1,得3a n=4a n-1,即错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
,因而数列{a n}为公比为错误!未找到引用源。
的等比数列.(2)解:由(1)知,数列{a n}的通项公式为a n=错误!未找到引用源。
×(错误!未找到引用源。
)n-1,又a2=错误!未找到引用源。
,可知p=3,于是a n=(错误!未找到引用源。
)n-1.{a n}的前n项和,且公比q≠1,n是无穷等比数列已知1是错误!未找到引用源。
S2和错误!未找到引用源。
S3的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求此数列{a n}的前n项和.解:(1)根据已知条件错误!未找到引用源。
整理得错误!未找到引用源。
解得3S2=2S3=6,即错误!未找到引用源。
(2)因为q≠1,则错误!未找到引用源。
可解得q=-错误!未找到引用源。
,a1=4.所以S n=错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。
(-错误!未找到引用源。
)n.能力提升练(时间:15分钟){a n}满足:a n+1=λa n-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{a n-1}是等比数列,则λ的值等于( D )(A)1 (B)-1(C)错误!未找到引用源。
(D)2解析:由a n+1=λa n-1,得a n+1-1=λa n-2=λ(a n-错误!未找到引用源。
).由于数列{a n-1}是等比数列,所以错误!未找到引用源。
=1,得λ=2.故选D.13.(2016·河北衡水中学调研)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,S n为数列{a n}的前n项和,则错误!未找到引用源。
的最小值为( A )(A)4 (B)3 (C)2错误!未找到引用源。
-2 (D)错误!未找到引用源。
解析:由a1,a3,a13成等比数列得错误!未找到引用源。
=a1a13⇒(a1+2d)2=a1(a1+12d)⇒4d2=8a1d,因为d≠0,因此d=2a1=2,S n=n2,a n=2n-1,从而错误!未找到引用源。
=错误!未找到引用源。
=(n+1)+错误!未找到引用源。
-2≥2错误!未找到引用源。
-2=4,当且仅当n=2时取等号,故选A.14.(2016·山西四校联考)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 016= .解析:由题意得a n·a n+1=2n,a n+2·a n+1=2n+1⇒错误!未找到引用源。
=2, 因此a1,a3,a5,…构成一个以1为首项,2为公比的等比数列;a2,a4,a6,…构成一个以2为首项,2为公比的等比数列;从而S2 016=(a1+a3+…+a2 015)+(a2+a4+…+a2 016)=错误!未找到引用源。
+2×错误!未找到引用源。
=3(21 008-1).答案:3(21 008-1)15.已知数列{a n}满足a1=5,a2=5,a n+1=a n+6a n-1(n≥2).(1)求证:{a n+1+2a n}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:因为a n+1=a n+6a n-1(n≥2),所以a n+1+2a n=3a n+6a n-1=3(a n+2a n-1)(n≥2).又a1=5,a2=5,所以a2+2a1=15,所以a n+2a n-1≠0(n≥2),所以错误!未找到引用源。
=3(n≥2),所以数列{a n+1+2a n}是以15为首项,3为公比的等比数列.(2)解:由(1)得a n+1+2a n=15×3n-1=5×3n,则a n+1=-2a n+5×3n,所以a n+1-3n+1=-2(a n-3n).又因为a1-3=2,所以a n-3n≠0,所以{a n-3n}是以2首项,-2为公比的等比数列.所以a n-3n=2×(-2)n-1,即a n=2×(-2)n-1+3n(n∈N*).{a n}的前n项的和为S n,等比数列{b n}的各项均为正数,公比是q,且满足:a1=3,b1=1,b2+S2=12,S2=b2q.(1)求a n与b n;(2)设c n=3b n-λ·错误!未找到引用源。
,若数列{c n}是递增数列,求λ的取值范围.解:(1)由已知可得错误!未找到引用源。
所以q2+q-12=0,解得q=3或q=-4(舍),从而a2=6,所以a n=3n,b n=3n-1.(2)由(1)知,c n=3b n-λ·错误!未找到引用源。
=3n-λ·2n.由题意,c n+1>c n对任意的n∈N*恒成立,即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n恒成立,亦即λ·2n<2·3n恒成立,即λ<2·(错误!未找到引用源。
)n恒成立. 由于函数y=(错误!未找到引用源。
)n是增函数,所以[2·(错误!未找到引用源。