高考数学等比数列习题及答案

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2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解

2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *+=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，()13n n a n −*∴=∈N（2）假设存在满足题意的3项，由（1）得：13nn a +=，又()11n n n a a n d +=++，1113323111n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2km p d d d ∴=⋅，即()()()2211224323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()()()2224343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴=+++，()()()2111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，整理可得：2k mp =，又222m p k +⎛⎫= ⎪⎝⎭，222224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，即()20m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，∴假设错误，即不存在满足题意的3项.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论．【解析】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121−=⋅−n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅==+⋅n nn n S a n n. （2）记231=−+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=−∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项．例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2022202120202019a a a a +=+__________．【答案】9【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13213,,22a a a 成等差数列，所以31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.所以20212020322202220211120192018202020191191a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++，故答案为：9.例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6326log a b =______．【答案】−1【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()1111161111112a a S a +===，解得61a =，因为{}n b 是等比数列，所以25763b b b ==，则633261log log 13a b ==−. 故答案为：1−.例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______．【答案】[)2,+∞【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192595992a a a S a +===，所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞．故答案为：[)2,+∞．例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以是______．【答案】12【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，∴()()()2222222123222222212323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++，要使222123123a a ab b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，设2141q q n ++=，()0n >，即1413n <<，即14143n <<，又∵21414141n q q n==++，∴n 为正整数，则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13，又221314124q q q n ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即111222q =−=−=−又由题意知：01q <<，且为有理数，∴12q =−8n =时，满足题意，此时：111112222q =−−−+=.故答案为：12.例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632【解析】{}n b 为正项等比数列，则2221222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或1q =−（舍），∴1122n nn b b −==；{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.由231,*nn m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、、、时，152185m =、、、，故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，()3043331334166416322S +⨯+⨯=−−−=.故答案为：1632例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n e 的前20项和20T =______．【答案】1589【解析】2nn a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，12a ∴=，24a =，38a =，416a =，因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．424a b ==，2a ∴是数列{}n b 中的第4项，设2kk a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，2k a +∴是数列{}n b 中的项．21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．因为12345520+++++=，所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，所以 1234520444441329T =++++++++()()5414129151589142−+⨯=+=−故答案为：1589.。

高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题(含答案)

高考数学《无穷等比数列各项的和》一轮复习练习题（含答案）一、单选题1．已知无穷等比数列{}n a 的首项为1，公比为13，则{}n a 各项的和为（）A ．23B ．34 C ．43D ．322．设无穷等比数列所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为3-，1a 为其首项，则1a =（） A ．685B ．785C ．725D ．8453．无穷数列4 ，2-，1，12-，14，的各项和为（）A ．83B ．53C ．43D ．734．已知数列{}n a 是等比数列,()121lim 4n n a a a →∞++⋯+=，则1a 的取值范围是（）A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．104⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．1110442⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，5．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=（） A ．13B ．23C ．1D ．436．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和()*13n n S a n N =+∈，且a 是常数，则此无穷等比数列各项的和是（） A ．13B ．13-C ．1D ．-17．若数列{}n b 的每一项都是数列{}n a 中的项，则称{}n b 是{}n a 的子数列.已知两个无穷数列{}n a 、{}n b 的各项均为正数，其中321n a n =+，{}n b 是各项和为12的等比数列，且{}n b 是{}n a 的子数列，则满足条件的数列{}n b 的个数为 A ．0个B ．1个C ．2个D ．无穷多个8．设无穷等比数列{}n a 的各项和为S ，若数列{}n b 满足32313n n n n b a a a --=++，则数列{}n b 的各项和为（） A ．3SB ．2SC ．SD ．3S9．已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得()*3n S S n N <∈恒成立的是（）A ．10a >，0.80.9q <<B ．10a <，0.90.8q -<<-C ．10a >，0.70.8q <<D ．10a <，0.80.7q -<<-10．无穷数列12，13，14，16，⋅⋅⋅，12n ，1132n -⋅，⋅⋅⋅的各项和为（） A ．83B ．53C ．43D ．7311．已知121,20151,20152n n n n a n --<⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，n S 是数列{}n a 的前n 项和（）A ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都存在B ．lim n n a →∞和lim n n S →∞都不存在C ．lim n n a →∞存在，lim n n S →∞不存在 D ．lim n n a →∞不存在，lim n n S →∞存在 12．已知两点 O (0,0)、 Q (a , b ) ，点 P 1是线段 OQ 的中点，点 P 2是线段 QP 1的中点， P 3 是线段 P 1P 2的中点，……，Pn + 2是线段 Pn Pn +1的中点，则点 Pn 的极限位置应是（） A ．(,)22a bB ．(,)33a bC ．22(,)33a b D ．33(,)44a b二、填空题13．首项为1，公比为12-的无穷等比数列{}n a 的各项和为______．14．若{}n a 是无穷等比数列，且12lim()2n n a a a →∞+++⋅⋅⋅=，则1a 的取值范围为___________. 15．已知数列{}n a 是公比为q 无穷等比数列，若12i i a q +∞==∑，则1a 的取值范围是____．16．无穷等比数列{}()*,n n a n a ∈∈N R 的前n 项和为n S ，且lim 2n n S →+∞=，则首项1a 的取值范围是_______．三、解答题17．一个无穷等比数列前n 项和的极限存在，记作S ，首项为12a =，公比0q <，求S 的取值范围．18．一个无穷等比数列的公比q 满足1q <，它的各项和等于6，这个数列的各项平方和等于18，求这个数列的首项1a 与公比q ．19．已知数列{}n a 的首项1(0)a b b =≠，它的前n 项之和n S 组成的数列{}()*n S n N ∈是一个公比为(||1)q q <的等比数列.（1）求证：234,,a a a ，…是一个等比数列；（2）设1122n n n W a S a S a S =+++，求lim n n W →∞，（用,b q 表示）20．已知6614=⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑i i i x a x .(1)等比数列{}n b 的首项11b a =，公比4=q a ，求1∞=∑i i b 的值；(2)等差数列{}n c 首项15=c a ，公差6=d a ，求{}n c 通项公式和它的前2022项和2022S .21．数列{}n a 中，11a =，22a =，数列{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列. （1）求使11223()n n n n n n a a a a a a n N ++++++>∈成立的q 的取值范围；（2）若212()n n n b a a n N -=+∈，求n b 的表达式；（3）若12n n S b b b =+++，求1lim→∞n nS .22．设a b ∈R 、，已知函数2()3bf x ax x=++满足(1)(1)10f f +-=. （1）求a 的值，并讨论函数()f x 的奇偶性（只需写出结论）；（2）若函数()f x 在区间,⎛-∞ ⎝上单调递减，求b 的最小值；（3）在（2）的条件下，当b 取最小值时，证明：函数()f x 有且仅有一个零点q ，且存在递增的正整数列{}n a ，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立.23．正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=，侧棱0PA 长为2，点0B 是棱PA 的中点，定义集合{}12,,B B ⋅⋅⋅如下：点n B 是棱n PA 上异于P 的一点，使得11n n n B B PB --=(1n ≥)，我们约定：若n除以3的余数r ，则r n A A =(例如：30A A =､20152A A =等等) （1）若3πα=，求三棱锥012P B B B -的体积；（2）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，求α的范围；（3）若{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，求各线段0PB ，1PB ，2PB ，…的长度之和(用α表示).(提示：无穷等比数列各项和公式为11a S q =-(01q <<)参考答案1．D2．C3．A4．D5．A6．D7．C8．C9．D10．B11．A12．C 13．2314．(0,2)(2,4) 15．1(4,0)(0,)2-16．()()0,22,4;17．解：因为无穷等比数列前n 项和的极限存在，所以()11lim1nn a q q∞→--1211a q q==--，且1q <，又0q <，所以10q -<<，又21S q=-在()1,0-上单调递增，所以()1,2S ∈18．由题意可知：这个数列的各项平方后，依然构成一个等比数列，且公比为2,q 首项为21a ，故112126114,3181a q a q a q⎧=⎪-⎪⇒==⎨⎪=⎪-⎩， 19．（1）由题知11S a b ==，所以1n n S bq -=，当2n ≥时，()12211n n n n n n a S S bq bq bq q ----=-=-=-，所以()()()112121n n n n bq q a q n a bq q -+--==≥-，所以234,,a a a ，…是一个等比数列；（2）由（1）知，()2,11,2n n b n a bq q n -=⎧=⎨-≥⎩，所以()2223,11,2n n n b n a S b q q n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()22323lim lim 1n n n n W b b q q q q -→∞→∞=+-+++⎡⎤⎣⎦… ()()23232lim lim 1n n n b q q q b q -→∞→∞=+-+++…()2222111q b b b q q q=+-⋅=-+.20．（1）解：614x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()6161C 6,N 4kk kk T x k k -*+⎛⎫=⋅⋅≤∈ ⎪⎝⎭，则661C 4kk k a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，所以，1151364512b a ==⨯=，2446115C 416q a ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，则01q <<，所以，()111313512lim151132116ni n i b q b b qq ∞→∞=-====---∑.（2）解：1513642c a ==⨯=，61d a ==，则()1112n c c n d n =+-=+，所以，202212022202132022202210112021204626422d S c ⨯⨯=+=⨯+⨯=.21．（1）{}1n n a a +⋅是公比为(0)q q >的等比数列，且12122a a ⋅=⋅=112n n n a a q -+∴⋅=由11223(n n n n n n a a a a a a n +++++⋅+⋅>⋅∈N )，有11222(0)n n n q q q q -++>> 210q q ∴--<解得0q <<（2）121n n n n a a q a a +++=，2n n a q a +∴=，2121,222n n n n a qa a qa +-+∴==212n n n b a a -=+，1123b a a ∴=+=，又12122212212212n n n n nn n n n nb a a qa qa q b a a a a +++---++===++ {}n b ∴是首项为13b =，公比为q 的等比数列，13n n b q -∴=（3）当1q =时，3n S n =，11lim lim 03n n n S n→∞→∞==；当1q >时，3(1)1n n q S q -=-，11111lim lim lim 03(1)131n n n n n n nn q q q S q q -→∞→∞→∞--===-⎛⎫- ⎪⎝⎭；当01q <<时，1111lim3lim 31n n n n qS S q→∞→∞-===-即1lim →∞n n S 13q -=. 综上，0,11lim 1,013n n q q S q →∞≥⎧⎪=-⎨<<⎪⎩. 22．（1）(1)(1)10(3)(3)102f f a b a b a +-=⇒+++-+=⇒=2()23bf x x x=++的定义域为(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞ 当20,()()23,()b f x f x x f x =-==+为偶函数；当0,(1)(1)100,(1)(1),(1)(1)b f f f f f f ≠-+=≠-≠-≠- ∴()f x 既不是偶函数也不是奇函数；（2）由（1）得：2()25bf x x x=++则2()4bf x x x '=-，若()f x在区间(,-∞上单调递减，则2()40bf x x x'=-在区间(,-∞上恒成立，即34b x在区间(,-∞上恒成立，当x =342x =-，故b 的最小值为2-；（3）22()23,0,()0f x x x f x x -=++<>恒成立，所以函数22()23f x x x -=++在(,0)-∞上无零点，当0x >时，22()40f x x x '=+>，所以函数22()23f x x x-=++在(0,)+∞上单调递增， 2112(1)2230,2301444f f -⎛⎫⎛⎫=-+>=⨯++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 在1,14⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一个零点q ，23322()230223013q f q q q q q q -=++=⇒-+=⇒=-47323213n q q q q q q -==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅- 所以存在递增的正整数列{},32n n a a n =-，使得31223n a a a a q q q q =+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立. 23．点n B 是正三棱锥012P A A A -棱n PA 上异于P 的一点，且11n n n B B PB --=(1n ≥)1n n PB B -∴是等腰三角形，且1n n B B -、1n PB -为两腰又正三棱锥012P A A A -中，01A PA α∠=， 01121n n A PA B PB B PB α-∴∠=∠==∠=，()1112cos 2cos 1n n n n n PB PB B PB PB n α---=⋅∠=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的等比数列，（1）当3πα=时，2101PB PB PB ===，且011220B PB B PB B PB ∠=∠=∠，则三棱锥012P B B B -为正四面体，其高h ==，底面积01221B B B S ==，故其体积01213P B B B V -==（2）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个只有两个元素的有限集，2230,B PA B PA ∴∈∉，即223022PB PA PB PA ≤=⎧⎨>=⎩由()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，得()2222cos 4cos PB αα==，()3332cos 8cos PB αα==，∴由234cos 28cos 2αα⎧≤⎨>⎩解得213211()cos ()22α<≤ 213211arccos(),arccos()22α⎫⎡∴∈⎪⎢⎣⎭；（3）{}12,,B B ⋅⋅⋅是一个无限集，且()12cos 1n n PB PB n α-=⋅≥，则数列{}()n PB n N ∈是一个以01PB =为首项，2cos α为公比的无穷等比数列，01112cos n PB +PB +PB α∴++=-.。

2023高考数学复习专项训练《等比数列》(含答案)

2023高考数学复习专项训练《等比数列》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）等比数列{a n}满足a1+a2+a3=13,a2+a3+a4=133，则a5=()A. 1B. 13C. 427D. 192.（5分）给出以下命题：①存在两个不等实数α，β，使得等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立；②若数列{a n}是等差数列，且a m+a n=a s+a t(m、n、s、t∈N∗)，则m+n=s+t；③若S n是等比数列{a n}的前n项和，则S6，S12−S6，S18−S12成等比数列；④若S n是等比数列{a n}的前n项和，且S n=Aq n+B；(其中A、B是非零常数，n∈N∗)，则A+B为零；⑤已知ΔABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2>c2，则ΔABC一定是锐角三角形．其中正确的命题的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.（5分）设T n为等比数列{a n}的前n项之积，且a1=−6，a4=−34，则当T n最大时，n的值为()A. 4B. 6C. 8D. 104.（5分）等比数列{a n}，满足a1+a2+a3+a4+a5=3，a12+a22+a32+a42+a52= 15，则a1−a2+a3−a4+a5的值是()A. 3B. √5C. −√5D. 55.（5分）已知在等比数列{a n}中，公比q是整数，a1+a4=18，a2+a3=12，则此数列的前8项和为()A. 514B. 513C. 512D. 5106.（5分）已知正项数列{a n}，{b n}分别为等差、等比数列，公差、公比分别为d，q(d,q∈N∗)，且d=q，a1+b1=1，a3+b3=3.若a n+b n=2013(n>3)，则n= ()A. 2013B. 2012C. 100D. 997.（5分）若a，b，c成等比数列，则关于x的方程a x2+bx+c=0( )A. 必有两个不等实根B. 必有两个相等实根C. 必无实根D. 以上三种情况均有可能8.（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则log2a10=()9.（5分）记Sn为等比数列{a n}的前n项和，已知S2=2，S3=−6.则{a n}的通项公式为()A. a n=(−2)nB. a n=−2nC. a n=(−3)nD. a n=−3n10.（5分）正项等比数列{a n}中，a3=2，a4.a6=64，则a5+a6a1+a2的值是()A. 4B. 8C. 16D. 6411.（5分）在等比数列{a n}中，a7，a11是方程x2+5x+2=0的二根，则a3.a9.a15a5.a13的值为()A. −2+√22B. −√2C. √2D. −√2或√212.（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，9S3=S6=63，则S10=A. 255B. 511C.1023 D. 2047二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a3+a9=a10−a8.若a n=0，则n=__________14.（5分）若等比数列{an}的前n项和Sn满足：an+1=a1Sn+1（n∈N*），则a1=____．15.（5分）在等比数列{an}中，已知前n项和Sn=5n+1+a，则a的值为____________．16.（5分）若等比数列{a n}的首项为23，且a4=∫41(1+2x)dx，则公比q等于______．17.（5分）如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，……，第n群，……，第n群恰好有n个数，则第n群中n个数的和是____________.123465812107162420149324840281811…三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3−x2=2.(1)求数列{x n}的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1,1)，P2(x2,2)，…，P n+1(x n+1,n+1)得到折线P1P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，x=x1，x=x n+1所围成的区域的面积T n.19.（12分）如果等比数列{a n}中公比q>1，那么{a n}一定是递增数列吗?为什么?20.（12分）数列{a n}满足a1=1，a n=2a n−1-3n+6（n≥2，n∈N+）．（1）设b n=a n-3n，求证：数列{b n}是等比数列；（2）求数列{a n}的通项公式．21.（12分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n=a n+12−4n−1，n∈N∗，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2=√4a1+5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2+1a2a3+…+1a n a n+1<12.22.（12分）已知数列{a n}是等差数列，其首项为2，且公差为2，若b n=2a n(n∈N∗).(Ⅰ)求证：数列{b n}是等比数列；(Ⅱ)设c n=a n+b n，求数列{c n right}的前n项和A n．23.（12分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．(Ⅰ)求{a n}的通项公式；(Ⅱ)求和：b1+b3+b5+⋯+b2n−1．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知等差数列{a n}的公差和首项都不等于0，且a2，a4，a8成等比数列，则下列说法正确的是()A. a1+a5+a9a2+a3的值为3 B. a1+a5+a9a2+a3的值为2C. 数列{a n}的公差和首项相等D. 数列{a n}的公差和首项不相等25.（5分）设数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，则下列命题正确的是()A. 若a n+1-a n=2(n∈N∗)，则数列{a n}为等差数列B. 若b n+1=2b n(n∈N∗)，则数列{b n}为等比数列C. 若数列{a n}是等差数列，则S n，S2n-S n，S3n-S2n⋯⋯(n∈N∗)成等差数列D. 若数列{b n}是等比数列，则T n，T2n-T n，T3n-T2n⋯⋯(n∈N∗)成等比数列26.（5分）在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项，若a1+a4= 18，a2+a3=12，则下列说法正确的是()A. q=2B. 数列{S n+2}是等比数列C. S8=510D. 数列\left{ lg a n}是公差为2的等差数列27.（5分）已知等差数列{a n}的首项为1，公差d=4，前n项和为S n，则下列结论成立的有()A. 数列{S nn}的前10项和为100B. 若a1，a3，a m成等比数列，则m=21C. 若∑n i=11a i a i+1>625，则n的最小值为6D. 若a m+a n=a2+a10，则1m +16n的最小值为251228.（5分）已知数列{a n}为等差数列，{b n}为等比数列，{a n}的前n项和为S n，若a1+ a6+a11=3π，b1b5b9=8，则()A. S11=11πB. sin a2+a10b4b6=12C. a3+a7+a8=3πD. b3+b7⩾4答案和解析1.【答案】D;【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q ，得133=13q ，解得q =13，又a 1+a 2+a 3=a 1+13a 1+19a 1=139a 1=13，解得a 1=9，所以a 5=a 1q 4=9×(13)4=19，故选：D.设等比数列{a n }的公比为q ，通过a 2+a 3+a 4=(a 1+a 2+a 3)q 可求出q 值，进一步根据a 1+a 2+a 3=a 1+a 1q +a 1q 2=13可求出a 1，最后利用a 5=a 1q 4进行求解即可．此题主要考查等比数列的通项公式，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．2.【答案】B; 【解析】该题考查命题真假的判断，考查学生灵活运用等差、等比数列的性质，三角函数以及三角形的判断，是一道综合题，属于中档题．利用特殊值判断①的正误；利用特殊数列即可推出命题②的正误；根据等比数列的性质，判断③的正误；根据等比数列的前n 项的和推出A ，B 判断④的正误．利用特殊三角形判断⑤的正误；解：对于①，实数α=0，β≠0，则sin (α+β)=sinβ，sinα+sinβ=sinβ，所以等式成立；故①正确；对于②，当公差d =0时，命题显然不正确，例如a 1+a 2=a 3+a 4，1+2≠3+4，故②不正确；对于③，设a n =(−1)n ，则S 6=0，S 12−S 6=0，S 18−S 12=0，∴此数列不是等比数列，故③不正确；对于④，S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n =Aq n +B ；(其中A 、B 是非零常数，n ∈N ∗)，所以此数列为首项是a 1，公比为q ≠1的等比数列，则S n =a 1(1−q n )1−q ，所以A =−a11−q ，B =a11−q ，∴A +B =0，故④正确；对于⑤，如果三角形是直角三角形，a =5，b =3，c =4，满足a 2+b 2>c 2，故⑤不正确；故选：B ．3.【答案】A;【解析】解：因为等比数列{a n }中，a 1=−6，a 4=−34，则由a 4=a 1q 3可得q =12． ∵T n 为等比数列{a n }的前n 项之积，∴T n =(−6)n .(12)n(n−1)2，因为求最大值，故只需考虑n 为偶数的情况， ∵T 2n +2T 2n =36×(12)4n +1，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，∴T 2<T 4>T 6>T 8>⋯．则公比q =12，当T n 最大时，n 的值为4．故选：A ．由已知可得q =12.只需考虑n 为偶数的情况，由T 2n +2T 2n⩾1可得n =1，即可求解．该题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】D;【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，且q ≠1，则 a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=a 1(1−q 5)1−q =3①， a 12+a 22+a 32+a 42+a 52=a 12(1−q 10)1−q 2=15②∴②÷①得a 12(1−q 10)1−q 2÷a 1(1−q 5)1−q=a 1(1+q 5)1+q=5，∴a 1−a 2+a 3−a 4+a 5=a 1(1+q 5)1+q=5.故选：D.先设等比数列{a n }公比为q ，分别用a 1和q 表示出a 12+a 22+a 32+a 42+a 52，a 1+a 2+a 3+a 4+a 5和a 1−a 2+a 3−a 4+a 5，发现a 12+a 22+a 32+a 42+a 52除以a 1+a 2+a 3+a 4+a 5正好与a 1−a 2+a 3−a 4+a 5相等，进而得到答案．此题主要考查了等比数列的性质．属基础题．解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．5.【答案】D;【解析】由已知得{a 1+a 1q 3=18a 1q +a 1q 2=12，解得：q =2或q =12.∵q 为整数，∴q =2.∴a 1=2.∴S 8=2(1−28)1−2=29−2=510.6.【答案】A;【解析】此题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和性质的应用.计算时要认真仔细.解：∵{_1+b1=1a3+b3=3，∴{_1+b1=1a1+2d+b1q2=3，∵d=q，所以{_1+b1=1a1+2q+b1q2=3，解得d=q=1，∴a n+b n=a1+(n−1)d+b1q n−1=a1+n−1+b1=2013，∴n=2013.故选A.7.【答案】C;【解析】若a，b，c成等比数列，则b²=ac由题意得△=b²-4ac=b²-4b²=-3b²等比数列中没有为0的项，∴-3b²<0∴△小于0，即方程a x2+bx+c=0必无实根故选C。

高考数学复习考点知识归纳专题解析18等比数列(解析版)

高考数学复习考点知识归纳专题解析专题18等比数列及其前n 项和考点知识归纳常考点01 等比数列中的基本运算 (1)【典例1】 ................................................................................................................................................ 1 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 2 【变式演练1】 ........................................................................................................................................ 3 常考点02等比数列基本性质的应用 . (3)【典例2】 ................................................................................................................................................ 3 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 4 【变式演练2】 ........................................................................................................................................ 4 常考点03 等比数列的通项公式及前n 项和 (5)【典例3】 ................................................................................................................................................ 5 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 6 【变式演练3】 ........................................................................................................................................ 6 常考点04 等差等比混合应用 (7)【典例4】 ................................................................................................................................................ 7 【考点总结与提高】 ............................................................................................................................... 8 【变式演练4】 ........................................................................................................................................ 9 【冲关突破训练】 .. (10)常考点01 等比数列中的基本运算【典例1】1．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（） A ．7B ．8C ．9D ．102．（2021年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =A ．16B ．8C ．4D ．2【答案】1.A 2.C【解析】1.∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和， ∴2S ，42S S -，64S S -成等比数列 ∴24S =，42642S S -=-= ∴641S S -=，∴641167S S =+=+=. 故选：A.2.设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则2311114211115,34a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【考点总结与提高】（1）等比数列的基本运算方法：①等比数列由首项1a 与公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕1a 与q 进行． ②对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过解方程(组)求出1a 与q ，对于1,,,,n n a a q n S 五个基本量，如果再给出第三个条件就可以“知三求二”．（2）基本量计算过程中涉及的数学思想方法：①方程思想．等比数列的通项公式和前n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算，通过列方程(组)求出关键量1a 和q ，问题可迎刃而解．②分类讨论思想．等比数列的前n 项和公式为111,1(1),111n nn na q S a a qa q q q q≠，所以当公比未知或是代数式时，要对公比分1q 和1q ≠进行讨论.此处是常考易错点，一定要引起重视．③整体思想．应用等比数列前n 项和公式时，常把nq ，11a q-当成整体求解. 【变式演练1】1．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A ．2B ．1C ．12D ．182．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++= A ．21B ．42C ．63D ．84【答案】1.C 2.B【解析】1.由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.2.24242135121(1)21172a a a a q q q q q ++=++=∴++=∴=得2357135+()22142a a a q a a a +=++=⨯=，选B.常考点02等比数列基本性质的应用【典例2】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（） A ．12B ．24C ．30D ．322．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（） A ．7B ．5C ．5-D ．7-【答案】1.D 2.D【解析】1.设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.2.56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====- 1107a a ∴+=-故选D.【考点总结与提高】等比数列的性质是高考考查的热点之一，利用等比数列的性质求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题，主要考查通项公式的变形、等比中项的应用及前n 项和公式的变形应用等.注意：（1）在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．（2）在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用.【变式演练2】1．已知数列{a n }是等比数列，且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝（） A ．5B ．10C ．15D ．202．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2 …a n 的最大值为___________．【答案】1.A 2.64【解析】1.数列{a n }是等比数列，所以22243465,a a a a a a ==，所以()2222435463355352225a a a a a a a a a a a a ++=++=+=，又因为0n a >，所以350a a +>，所以355a a +=，故选：A.2.设等比数列的公比为q ，由132410{5a a a a +=+=得，2121(1)10{(1)5a q a q q +=+=，解得1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩.所以2(1)1712(1)22212118()22n n n n n n nn a a a a q--++++-==⨯=，于是当3n =或4时，12n a a a 取得最大值6264=.常考点03 等比数列的通项公式及前n 项和【典例3】1．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则n nS a =（）A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –1【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ，由536412,24a a a a -=-=可得：421153111122124a q a q q a a q a q ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨=-=⎪⎩⎩，所以1111(1)122,21112n nn n n n n a q a a qS q ----=====---，因此1121222n n n n n S a ---==-. 故选：B.2．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 A ．21n n S a =- B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-【答案】D 【解析】S n ＝()111na q q--＝11n a q a q -⋅-＝21313na -＝3－2a n .【考点总结与提高】1．求等比数列的通项公式，一般先求出首项与公比，再利用11n n a a q -=求解．但在某些情况下，利用等比数列通项公式的变形n mn m a a q -=可以简化解题过程．求解时通常会涉及等比数列的设项问题，常用的设项方法为：（1）通项法．设数列的通项公式11n n a a q -=来求解；（2）对称设元法：若所给等比数列的项数为2()n n N 且各项符号相同，则这个数列可设为21na q ，…，3a q ，,aaq q，3aq ，…，21n aq ；若所给等比数列的项数为21()n nN ，则这个数列可设为1n a q，…，,,aa aq q ，…，1n aq . 2．当1q ≠时，若已知1,,a q n ，则用1(1)1n n a q S q求解较方便；若已知1,,n a q a ，则用11n na a qS q求解较方便.3．（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式，①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101q a p -≠-时，数列{}1n qa p --是等比数列；②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式，除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．【变式演练3】1．数列{A n }中，A 1＝2，A m ＋n ＝A m A n .若A k ＋1＋A k ＋2＋…＋A k ＋10＝215－25，则k ＝（）A ．2B ．3C ．4D ．52．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 【答案】1.C 2.D【解析】1.令m ＝1，则由A m ＋n ＝A m A n ，得A n ＋1＝A 1A n ，即1n n A A +＝A 1＝2，所以数列{A n }是首项为2，公比为2的等比数列，所以A n ＝2n，所以A k ＋1＋A k ＋2＋…＋A k ＋10＝A k (A 1＋A 2＋…＋A 10)＝2k×102(12)12⨯--＝12k +×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k ＝4.故选：C 2.由题得35211,82a q q a ==∴=.所以2232112()()22n n n n a a q ---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=.所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D常考点04 等差等比混合应用【典例4】1.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（） A ．24-B ．3-C ．3D ．82．已知正项等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b }，111a b ==，3b 是2a ，6a 的等差中项，8a 是3b ，5b 的等比中项，则下列关系成立的是（） A ．100100a b >B ．102411a b =C ．105a b >D ．999a b >【答案】1.A 2.B【解析】1.设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2326a a a =，即2(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)661(2)2422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-. 故选：A2.设等差数列公差为d ，等比数列公比为q ，由题意可得：2326226835212262(1+7)b a a d q d a b b q d q =+=⎧⎧=+⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩ 1,2-∴==n n n a n bA. 100100,2，==>99100100a 100b b a ,故A 不正确；B. ,2==10102411a 1024b =1024，故B 正确；C. ,2==4105a 10b =16，故C 不正确；D. ,2==8999a 99b =256，故D 不正确.故选：B【考点总结与提高】等差、等比数列混合题型属于常规题型，解题思路基本相同∶按照其中一种数列的通项公式展开已知中的各项，再根据另一种数列的性质列出等式即可;至于使用哪一种数列的通项公式展开已知中的各项，要根据实际题意以及计算方便与否来决定。

高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.已知单调递增的等比数列满足：,且是,的等差中项.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若,,求.【答案】（Ⅰ）=2n （Ⅱ）=.【解析】（Ⅰ）将2（）=+,代入,得=8,∴+=20构造方程组，又单调递增，∴ =2>1, =2,∴=2n（Ⅱ）根据第一问，可得，需要构造数列，采取错位相减的思想求和∴①∴②∴①-②得＝.试题解析：（Ⅰ）设等比数列的首项为，公比为，依题意，有2（）=+,代入, 得=8,∴+=20∴解之得或又单调递增，∴ ="2," =2,∴=2n（Ⅱ）,∴①∴②∴①-②得＝【考点】等差等比数列的综合.2.设公比为q（q＞0）的等比数列{an }的前n项和为Sn．若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则q=_________．【答案】【解析】由已知可得，，两式相减得即，解得或（舍），答案为.【考点】等比数列的性质与应用3.在各项均为正数的等比数列中，若，数列的前项积为，若，则的值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由等比数列的性质得，，由于各项为正，，由等比数列的性质得，【考点】等比数列的性质的应用.4.已知三正数、2、成等比数列，则的最小值为______．【答案】【解析】由已知得，且，则，等号成立。

【考点】（1）等比中项的定义；（2）基本不等式的应用。

5.设正数数列为等比数列，，记.（1）求和；（2）证明: 对任意的，有成立.【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】（1）对照条件易得等比数列的通项公式，进而得；（2）对于与自然数有关的命题的证明可优先考虑用数学归纳法，用数学归纳法证题时，首先要掌握好数学归纳法证题的规范、完整的证题步骤，而真正的难点和重点是由假设来推导第步，这里要充分地利用假设，若是对于恒等式的证明在利用了假设以后就很容易推导出第步，但是对于不等式的证明在利用了假设以后还不能一下子就推导出第步，还需要对照目标进行适当的放缩处理才能推导出第步，放缩处理是有难度，且需要技巧的，这需要在学习中去积累.试题解析：（1）依题意可知，又，所以，从而，进而有． 4分（2）证明：①当时，左边，右边，因为，所以不等式成立． 5分②假设当时，不等式成立，即成立． 7分那么当时，则左边右边 12分所以当时，不等式也成立.由①、②可得对任意的，都有恒成立． 14分（另解：此题也可直接用放缩法证明.即用）【考点】1.等比数列知识；2.数学归纳法在证明不等式方面的应用；3.放缩法证明不等式.6.已知等比数列满足则（）A．64B．81C．128D．243【答案】Ａ【解析】由等比数列满足得公比,将q=2代入，所以，故选A．【考点】等比数列．7.在等比数列{an }中，若a4，a8是方程x2－4x＋3＝0的两根，则a6的值是( )A．－B．C．±D．±3【答案】B【解析】由韦达定理得，，由题易知，。

2021届新高考数学总复习：等比数列的通项及其性质(附答案解析)

A．12B．24C．30D．32
10．在等比数列{an}中，若a5＝2a4，a2＝2，则a6＝（）
A．64B．16C．8D．32
11．若等比数列{an}满足：a1＝1，a1+a2+a3＝7，则a4＝（）
A．8B．﹣27C．8或﹣27D．﹣8或﹣27
12．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a3a4a5＝29，则a3＝（）
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则a1a3a5＝ •a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．
又a2a4＝ •a3q＝a32＝22＝4．
故选：B．
4．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，则a3与a7的等比中项为（）
A．4B．6C．±6D．±4
【解答】解：∵等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，
A． B．2C．±2D．
7．等比数列{an}中，an∈R+，a5•a6＝32，则log2a1+log2a2+…+log2a10的值为（）
A．10B．20C．25D．160
8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（）
A．2B．54C．162D．243
9．设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（）
A．16B．32C．64D．256
16．在正项等比数列{an}中，若a3a7＝4，则＝（）
A．16B．8C．4D．2
17．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（）
A．128或﹣128B．128C．64或﹣64D．64

人人教A版数学高三等比数列精选试卷练习(含答案)2

人人教A 版数学高三等比数列精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =（） A ．32或6 B ．3 C ．32或3 D ．6 2．若数列{a n }满足：a 1＝1，2a n +1＝2a n +1（n ∈N*），则a 1与a 5的等比中项为（）A ．±2B ．2C ．D 3．等比数列{}n a 中，39a =，51a =，则6a 的值为( )A ．13B ．13- C ．13± D ．194．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1a ，3a ，2a 成等差数列，2mS ，3S ，4S 成等比数列，则m =（）A ．78B ．85 C ．1 D ．955．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( )A ．1B ．2C ．2D 6．已知一个等比数列项数是偶数，其偶数项之和是奇数项之和的3倍，则这个数列的公比为（）A ．2B ．3C ．4D ．6 7．已知等比数列{}n a ，若1231a a a ⋅⋅=，7894a a a ⋅⋅=，则129a a a ⋅=L ( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．8± 8．在等比数列{}n a 中，24681,4a a a a +=+=，则2a =( )A ．2B ．4C ．12D ．13 9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（）A ．2B ．1C ．12D ．1810．已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，且对任意,a b ∈R ，有()()()f a b a f b b f a ⋅=⋅+⋅成立，()22f =，令()2n n a f =，()22n n n f b =则有( )A ．{}n a 为等差数列B ．{}n a 为等比数列C ．{}n b 为等差数列D ．{}n b 为等比数列 11．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（） A ．3- B ．3 C ．1- D ．112．已知正项数列{}n a ，若点()4log n na ，在函数()3f x x =-的图像上，则()2357log a a a =（）A ．12B ．13C ．14D ．16 13．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为A ．2B ．-2C ．2±D ．314．在正项等比数列{}n a 中，4a ，46a 为方程210090x x -+=的两根，则102540a a a ⋅⋅=（）A ．9B ．27C ．64D ．8115．已知数列{}n a 是等比数列，若2678492ma a a a a ⋅=-⋅，且公比2)q ∈，则实数m 的取值范围是（）A ．(2,6)B ．(2,5)C ．(3,6)D ．(3,5) 16．已知等比数列{}n a ，若1472a a +=，232a a ⋅=-，则公比q =（） A ．-2 B ．12- C ．-2或12- D ．-8或18- 17．在等比数列{}n a 中，34a =，516a =，则9a 等于（）A ．256B ．-256C ．128D ．-128 18．在正项等比数列{n a }中，274a a =，则212228log log log a a a +++…= A ．2 B ．4 C ．6 D ．819．已知数列{}n a 的前n 项和1n n S a =-（0a ≠），那么{}n a （）A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列20．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A ．2B ．lg 50C ．5D ．10二、解答题21．在我们的教材必修一中有这样一个问题，假设你有一笔资金，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.记三种方案第n 天的回报分别为n a ，n b ，n c .（1）根据数列的定义判断数列{}n a ，{}n b ，{}n c 的类型，并据此写出三个数列的通项公式；（2）小王准备做一个为期十天的短期投资，他应该选择哪一种投资方案？并说明理由. 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和为*2()n n S n =∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”．（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值．23．已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明：数列{}2n n a -是等比数列，并求数列{}na 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1r s <<且r ，s ∈*N ，求证：使得1a ，r a ，s a 成等差数列的点列(),r s 在某一直线上.24．由a n 与S n 的关系求通项公式（1）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23722n S n n =-()*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）已知正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足2(1)4n n a S +=（*n N ∈）.求数列{}n a 的通项公式；（3）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，求S n（4）已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，前n 项和为n S ，且满足211111142n n n n n n n S S S S S S S +--++-+=-（*2,n n N ≥∈）.求数列{}n a 的通项公式；（5）设数列{a n }的前n 项积为T n ，且T n ＋2a n ＝2（n ∈N *）.数列1n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；求数列{}n a 的通项公式； 25．已知数列{}n a 为等比数列，且0n a >，数列{}n b 满足2log n n b a =，若14b =，23b =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b m +前n 项和为n S ，若当且仅当5n =时，n S 取得最大值，求实数m 的取值范围.26．已知公比为q 的等比数列{}()*n a n N∈中，22a =，前三项的和为7.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若01q <<，设数列{}n b 满足12n n b a a a =⋅L L ，n *∈N ，求使01n b <<的n 的最小值.27．在等比数列{}n a 中，公比(0,1)q ∈，且满足42a =，232637225a a a a a ++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，当312123n S S S S n +++⋯+取最大值时，求n 的值．28．已知数列{},{}n n a b 满足{}1,2n n n n a a b b +-=+为等比数列，且12a =，24a =，310a =.（1）试判断列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（2）求n a .29．等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若35,a a 分别是等差数列{}n b 的第4项和第16项，求数列{}n b 的通项公式及前n 项和n S .30．已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 31．已知数列{}{},n n a b 满足：1112,,2n n n n a a n b a n b ++=+-==.（1）证明数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .32．已知数列{}n a 满足11a =，且11123n n a a +=+，*n N ∈. （1）求证：23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.33．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值.34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，各项为正的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式；（2）若321T =，求3S三、填空题35．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，则{}n a 的通项公式为________.36．数列{}n a 满足()211122,3,1n n n n n a a a a n a -+--+==+L ，21a =，33a =，则7a =________.37．已知等比数列{}n a 满足114a =，()35441a a a =-，则2a =________. 38．已知实数()abc a b c <<，，三个数成等比数列，它们的和是21，积是64，那么这个数列的公比q =_____.39．已知等比数列{}n a 及等差数列{}n b ，其中10b =，公差0d ≠.将这两个数列的对应项相加，得一新数列1,1,2,L ，则等比数列{}n a 的前10项之和为________. 40．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且125,,a a a 成等比数列，那么数列{}n a 的前10项和10S 等于________.41．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比数列，所有公比相等，则a b c ++值为42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且372S =，6632S =，则7a =__________． 43．已知等比数列{}n a 的首项为1a ，前n 项和为n S ，若数列{}12n S a -为等比数列，则32a a =____.44．已知等比数列{}n a 中，若451a a =，8916a a =，则67a a =_____．45．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，11a =，且249112a a a --+，，成等比数列，则{}n a 的前9项和9S =_______.46．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a ⋅=，则6a 的值为___________ 47．数列{}n a 是等比数列，21a =-，64a =-，则4a 的值是________． 48．在等比数列{}n a 中，11a =，公比2q =，若64n a =，则n 的值为． 49．已知1，a ，b ，c ，4成等比数列，则b =______.50．各项都不为零的等差数列{}n a （*N n ∈）满足22810230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且88a b =，则4911b b b =________.参考答案1．A2．C3．C4．D5．D6．B7．D 8．D9．C10．C11．C12．A13．B14．B15．C16．C17．A18．D19．C20．C21．（1）{}n a 为常数列；{}n b 为等差数列；{}n c 是等比数列；40n a =，1100.42n n n b n c -==⨯，（2）应该选择方案二，详见解析22．（1）见解析在（2）1d =-23．（1）详见解析；（2），，成等差数列；（3）详见解析.24．(1) 35n a n =-；(2) 21n a n =-；(3) 132n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭； (4) 1,12,2n n a n =⎧=⎨≥⎩(5) 12n n a n +=+ 25．（1）52n n a -=；（2）()0,126．（1）12n n a -=或32n n a -=；（2）6.27．（1）52n n a -=（2）n 的值为8或928．（1）数列{}n b 不是等比数列.见解析（2）+122n n a n =-29．（1）n n a 2=；（2）2622n n -30．（Ⅰ）12n n a -=（Ⅱ）112221n n ++-- 31．（1）见证明；（2）n S 21222n n n ++=-- 32．（1）见解析；（2）1211332n n a -⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭33．（1）22n a n =+；（2）63 34．(1)12n n b -=, (2)36s =- 35．13-=n n a 36．6337．1238．439．102340．10041．27242．32. 43．12 44．445．11746．247．2-48．749．250．8。

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题(含答案)

高考数学《等差等比数列综合问题》基础知识与练习题（含答案）一、基础知识：1、等差数列性质与等比数列性质：（1）若{}n a 为等差数列，0,1c c >≠，则{}na c成等比数列证明：设{}n a 的公差为d ，则11n n n na a a da c c c c ++−==为一个常数所以{}na c成等比数列（2）若{}n a 为正项等比数列，0,1c c >≠，则{}log c n a 成等差数列证明：设{}n a 的公比为q ，则11log log log log n c n c n c c na a a q a ++−==为常数所以{}log c n a 成等差数列二、典型例题：例1：已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（） A. 1 B. 1−或2 C. 2 D. 1−思路：由“1324,,2a a a 成等差数列”可得：3123122422a a a a a a =+⇒=+，再由等比数列定义可得：23121,a a q a a q ==，所以等式变为：22q q =+解得2q =或1q =−，经检验均符合条件答案：B例2：已知{}n a 是等差数列，且公差d 不为零，其前n 项和是n S ，若348,,a a a 成等比数列，则（）A. 140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D. 140,0a d dS <>思路：从“348,,a a a 成等比数列”入手可得：()()()22438111327a a a a d a d a d =⇒+=++，整理后可得：2135a d d=−，所以135d a =−，则211305a d a =−<，且()2141646025a dS d a d =+=−<，所以B 符合要求答案：B小炼有话说：在等差数列（或等比数列）中，如果只有关于项的一个条件，则可以考虑将涉及的项均用1,a d （或1,a q ）进行表示，从而得到1,a d （或1,a q ）的关系例3：已知等比数列{}n a 中的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++=_______________思路：由等比数列性质可得：1011912a a a a =，从而51011912a a a a e ==，因为{}n a 为等比数列，所以{}ln n a 为等差数列，求和可用等差数列求和公式：101112201011ln ln ln ln ln 2010ln 502a a a a a a a ++++=⋅==答案：50例4：三个数成等比数列，其乘积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列，则这三个数为___________ 思路：可设这三个数为,,a a aq q ，则有3=512512aa aq a q⋅⋅⇒=，解得8a =，而第一个数与第三个数各减2，新的等差数列为82,8,82q q −−，所以有：()816282q q ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭，即22252520q q q q+=⇒−+=，解得2q =或者12q =，2q =时，这三个数为4,8,16，当12q =时，这三个数为16,8,4 答案： 4,8,16小炼有话说：三个数成等比（或等差）数列时，可以中间的数为核心。

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【详解】
在等比数列中，设公比，
当时，有，，成等差数列，
所以，即，解得，
所以，所以，
，当且仅当时取等号，
所以当或时，取得最小值1，
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，三个数成等差数列的条件，求数列的最小项，属于简单题目.
6．B
A．6B．7C．8D．9
17．已知等比数列的通项公式为，则该数列的公比是（）
A． B．9C． D．3
18．设，数列的前n项和，则（）
A．是等比数列B．是等差数列
C．当时，是等比数列D．当时，是等比数列
19．已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（）
A． B． C． D．
A．q＝1B．数列{Sn+2}是等比数列
C．S8＝510D．数列{lgan}是公差为2的等差数列
35．关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（）
A．若数列的前项和，，为常数）则数列为等差数列
B．若数列的前项和，则数列为等差数列
C．数列是等差数列，为前项和，则，，，仍为等差数列
A．此人第六天只走了5里路
B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里
C．此人第二天走的路程比全程的还多1.5里
D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍
28．已知数列前项和为 .且，（为非零常数）测下列结论中正确的是（）
A．数列为等比数列B．时，
C．当时， D．
29．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）
D．数列是等比数列，为前项和，则，，，仍为等比数列；
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一、等比数列选择题
1．C
【分析】
根据递推关系可得数列是以1为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得，即求.
【详解】
因为，所以，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
【详解】
由题意时，，，
，
若，即，则是等比数列，否则不是等比数列，也不是等差数列，
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查等比数列的定义．在由求通项时，必须牢记，它与的求法不相同，因此会影响的性质．对等比数列来讲，不仅要求，还必须满足．
19．B
【分析】
设正项等比数列的公比为，由，可得，解得，根据存在两项、使得，可得，．对，分类讨论即可得出．
【详解】
因为正项等比数列满足，
由于，
所以，， .
因为，
所以 .
由
得，
即，
解得，或（舍去）.
故选：D
14．B
【分析】
根据题意得到，（），与条件两式作差，得到，（），再验证满足，得到，进而可求出结果.
【详解】
因为数列满足，
，（）
则，则，（），
又满足，所以，
A．4B．5C．4或5D．5或6
4．已知数列满足， .设，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）
A． B． C． பைடு நூலகம்．
5．等比数列中，且，，成等差数列，则的最小值为（）
A． B． C． D．1
6．在等比数列中，，．记，则数列（）
A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项
∴ 对于任意的 *恒成立，
即，整理得：
，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了已知数列的单调性求参，一般研究数列的单调性的方法有：
一、利用数列单调性的定义，由得数列单增，得数列单减；
二、借助于函数的单调性研究数列的单调性.
5．D
【分析】
首先设等比数列的公比为，根据，，成等差数列，列出等量关系式，求得，比较相邻两项的大小，求得其最小值.
【详解】
设等差数列的公差为，
成等比数列，即，则，
，
所以当或时，取得最大值.
故选：C.
4．C
【分析】
由可知数列是公比为2的等比数列，，得，结合数列{bn}是单调递增数列，可得对于任意的 *恒成立，参变分离后即可得解．
【详解】
由可知数列是公比为2的等比数列，
所以，
∵数列是单调递增数列，
B．若是等差数列，则是等差数列
C．若是等比数列，则是等比数列
D．若是等差数列，则都是等差数列
23．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）
A．当 B． C． D．
24．在等比数列{an}中，a5＝4，a7＝16，则a6可以为（）
A．8B．12
C．－8D．－12
25．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（）
因为数列单调递增且，所以，即，
当时，，所以，
所以数列是以为首项，公差为1的等差数列，
所以，
所以，
，
所以，
所以，
所以，，
所以成立的n的最小值为8.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是数列与关系的应用及错位相减法的应用.
13．D
【分析】
根据，由，解得，再根据求解.
【详解】
是正项等比数列，，，，
所以由，得，
所以，设公比为，，
，，即，，
所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比表示出相应的项后可得结论．
10．D
【分析】
根据等差数列的性质得到，数列是等比数列，故 =16.
【详解】
【详解】
因为，所以，所以，所以，
所以，
故选：C.
8．D
【分析】
设等比数列的公比为，当时，，该式可以为0，不是等比数列，当时，，若是等比数列,则，可得，利用，可以求得的值，进而可得的表达式
【详解】
设等比数列的公比为
当时，，所以，
当时，上式为0，所以不是等比数列.
一、等比数列选择题
1．在数列中，，，若，则的最小值是（）
A．9B．10C．11D．12
2．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝（）
A．4B．5C．8D．15
3．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（）
当时，，
所以，
要使数列为等比数列，则需，解得 .
，，
故 .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若是等比数列，则，即可求得的值，通项即可求出.
9．A
【分析】
由得，由等比数列性质得，这样可把和用表示出来后，可求得．
【详解】
设女子第一天织布尺，则数列是公比为2的等比数列，
由题意得，解得，
，解得．
因为，
该女子所需的天数至少为7天．
故选：B
17．D
【分析】
利用等比数列的通项公式求出和，利用求出公比即可
【详解】
设公比为，等比数列的通项公式为，
则，，，
故选：D
18．D
【分析】
根据与的关系求出，然后判断各选项．
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
12．B
【分析】
由数列与的关系转化条件可得，结合等差数列的性质可得，再由错位相减法可得，即可得解.
【详解】
由题意，，
当时，，
所以，
整理得，
等差数列中, ,故原式等价于解得或
各项不为0的等差数列 ,故得到，
数列是等比数列，故 =16.
故选：D.
11．B
【分析】
本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.
【详解】
设等比数列的公比为，
则，
即，
因为，所以，
则，
即，解得，
【详解】
解：设正项等比数列的公比为，
满足：，
，
解得，
存在两项、使得，
，
，
，的取值分别为，，，，，
则的最小值为．
故选：B．
20．B
【分析】
由，解得，然后由求解.
【详解】
在等比数列中，，
所以，即，
解得
所以，
故选：B
【点睛】
C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D．此人后三天共走了42里路
32．已知数列满足，，则下列结论正确的有（）
A．为等比数列
B．的通项公式为
C．为递增数列
D．的前项和
33．已知正项等比数列满足，，若设其公比为q，前n项和为，则（）
A． B． C． D．
34．在递增的等比数列{an}中，Sn是数列{an}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）