数列综合练习题以及答案解析
高三数学数列综合应用试题答案及解析
高三数学数列综合应用试题答案及解析1.已知数列{an }中，a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)．(1)写出a2，a3的值(只写结果)，并求出数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋＋＋…＋，若对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，求实数t的取值范围．【答案】（1）a2＝6，a3＝12. an＝n(n＋1)．（2）实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)【解析】解：(1)∵a1＝2，an－an－1－2n＝0(n≥2，n∈N*)，∴a2＝6，a3＝12.当n≥3时，an －an－1＝2n，a n－1－a n－2＝2(n－1)，又a3－a2＝2×3，a2－a1＝2×2，∴an －a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]，∴an＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1]＝2×＝n(n＋1)．当n＝1时，a1＝2；当n＝2时，a2＝6，也满足上式，∴数列{an }的通项公式为an＝n(n＋1)．(2)bn＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－＝＝.令f(x)＝2x＋(x≥1)，则f′(x)＝2－，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn )max＝.要使对任意的正整数n，当m∈[－1,1]时，不等式t2－2mt＋>bn恒成立，则需t2－2mt＋>(bn )max＝，即t2－2mt>0对∀m∈[－1,1]恒成立，∴，解得t>2或t<－2，∴实数t的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．2.一函数y＝f(x)的图象在给定的下列图象中，并且对任意an ∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(a n)得到的数列{an }满足an＋1>a n(n∈N*)，则该函数的图象是()【答案】A【解析】由an＋1>a n可知数列{a n}为递增数列，又由a n＋1＝f(a n)>a n可知，当x∈(0,1)时，y＝f(x)的图象在直线y＝x的上方，故选A.3.设函数）定义为如下数表，且对任意自然数n均有xn+1=的值为( ) A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】,又根据,所以有,,,, .,所以可知：,,故选D.【考点】数列的周期性4.是点集A到点集B的一个映射，且对任意，有.现对点集A中的点，，均有，点为（0,2），则线段的长度 .【答案】【解析】∵，∴，，，，，，…，根据变化规律可知，∴，，∴.【考点】1.数列的性质；2.两点间距离公式.5.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3,6,10,…记为数列{an},将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn},可以推测:(1)b2012是数列{an}中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)【答案】(1)5030(2)【解析】由以上规律可知三角形数1,3,6,10,…的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,…其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,…故b1=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,….从而由上述规律可猜想:b2k =a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1==,故b2012=b2×1006=a5×1006=a5030,即b2012是数列{an}中的第5030项.6.已知数列满足，则该数列的通项公式_________．【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，，…，，∴，∴，∴.【考点】1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.7.数列满足，则 .【答案】【解析】这类问题类似于的问题处理方法，在中用代换得（），两式相减得，，又，即，故.【考点】数列的通项公式.8.已知函数，记，若是递减数列，则实数的取值范围是______________.【答案】【解析】是递减数列，从开始是用式子计算，这时只要，即即可，关键是是通过二次式计算，根据二次函数的性质，应该有且，即且，解得，综上取值范围是．【考点】数列的单调性．9.已知数列{｝的前n项和为，且，则使不等式成立的n的最大值为．【答案】4【解析】当时，，得，当时，，所以，所以，又因为适合上式，所以，所以，所以数列是以为首项，以4为公比的等比数列，所以，所以，即，易知的最大值为4.【考点】1.等比数列的求和公式；2.数列的通项公式.10.甲、乙两人用农药治虫，由于计算错误，在A、B两个喷雾器中分别配制成12%和6%的药水各10千克，实际要求两个喷雾器中的农药的浓度是一样的，现在只有两个容量为1千克的药瓶，他们从A、B两个喷雾器中分别取1千克的药水，将A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，这样操作进行了n次后，A喷雾器中药水的浓度为，B喷雾器中药水的浓度为．（1）证明：是一个常数；（2）求与的关系式；（3）求的表达式．【答案】(1)18;(2);(3) .【解析】(1)利用n次操作后A和B的农药的和应与开始时农药的重量和相等建立等量关系，证明是一个常数；(2)借助第一问的结论和第n次后A中10千克的药水中农药的重量具有关系式，求解与的关系式；（3）根据第二问的递推关系，采用构造数列的思想进行求解.试题解析：（1）开始时，A中含有10=1.2千克的农药，B中含有10=0.6千克的农药，，A中含有千克的农药，B中含有千克的农药，它们的和应与开始时农药的重量和相等，从而（常数）． 4分（2）第n次操作后，A中10千克的药水中农药的重量具有关系式：由（1）知，代入化简得① 8分（3）令，利用待定系数法可求出λ=—9，所以，可知数列是以为首项，为公比的等比数列．由①，,由等比数列的通项公式知：，所以． 12分【考点】1.数列的递推式；（2）数列的通项公式；（3）实际应用问题.11.等比数列的各项均为正数，且，则【答案】B【解析】等比数列中，所以【考点】等比数列性质及对数运算点评：等比数列中，若则，在对数运算中12.已知数列的首项为，对任意的，定义.（Ⅰ）若，(i)求的值和数列的通项公式；(ii)求数列的前项和；（Ⅱ）若，且，求数列的前项的和.【答案】(1) ,,(2) 当为偶数时，；当为奇数时，【解析】(Ⅰ) 解：(i),,………………2分由得当时，=………4分而适合上式，所以.………………5分(ii)由(i)得：……………6分……………7分…………8分(Ⅱ)解：因为对任意的有，所以数列各项的值重复出现，周期为. …………9分又数列的前6项分别为，且这六个数的和为8. ……………10分设数列的前项和为，则，当时，，……………11分当时，，…………12分当时所以，当为偶数时，；当为奇数时，. ……………13分【考点】数列的通项公式，数列的求和点评：解决的关键是对于数列的递推关系的理解和运用，并能结合裂项法求和，以及分情况讨论求和，属于中档题。
一轮复习专题31 数列综合练习
专题31数列综合练习一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．下列公式可作为数列}{n a ：1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是()。
A 、1=n aB 、21)1(+-=n n a C 、|2sin |2π-=n a n D 、23)1(1+-=+n n a 【答案】C【解析】由|2sin|2π-=n a n 可得11=a ，22=a ，13=a ，24=a ，…，故选C 。
2．数列}{n a 中“n a 、1+n a 、2+n a (+∈N n )成等比数列”是“221++⋅=n n n a a a ”的()。
A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】+∈N n ，n a 、1+n a 、2+n a 成等比数列，则221++⋅=n n n a a a ，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1、0、0、0、…故选A 。
3．如图，n 个连续自然数按规律排成下表，则从2018到2020的箭头方向依次为()。
A 、↑→B 、→↑C 、↓→D 、→↓【答案】A【解析】选取1作为起点，由图可知，位置变化规律是以4为周期，由于250442018+⨯=，可知2018在2的位置，2019在3的位置，2020在4的位置，故选A 。
4．等差数列}{n a 的前m 项和为30，前m 2项和为100，则它的前m 3项和为()。
A 、130B 、170C 、210D 、260【答案】C【解析】由已知得30=m S 、1002=m S ，则m S 、m m S S -2、m m S S 23-、…为等差数列，则30=m S 、702m m S S -、11023=-m m S S ，则2103=m S ，故选C 。
5．将含有n 项的等差数列插入4和67之间，仍构成一个等差数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n 值为()。
A 、20B 、21C 、22D 、23【答案】A【解析】由题意知这些数构成2+n 项的等差数列，且首末项分别为4和67，由等差数列的求和公式可得7812)2()(21=+⨯+=+n a a S n ，解得20=n ，故选A 。
数列综合测试题含标准答案
数列综合测试题(经典)含标准答案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数列综合测试题第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。
)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )B ．1C ．2D ．32．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )3.(理)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．54．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为正偶数时，n 的值可以是( )A ．1B ．2C ．5D ．3或115．已知a >0，b >0，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是( )A ．ab ＝AGB ．ab ≥AGC ．ab ≤AGD ．不能确定6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )或5－127．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －49，当该数列的前n 项和S n 达到最小时，n 等于( )A．24 B．25C．26 D．278．数列{a n}是等差数列，公差d≠0，且a2046＋a1978－a22012＝0，{b n}是等比数列，且b2012＝a2012，则b2010·b2014＝( )A．0 B．1C．4 D．89．已知各项均为正数的等比数列{a n}的首项a1＝3，前三项的和为21，则a3＋a4＋a5＝( )A．33 B．72C．84 D．18910．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S3＝a5，a m＝2011，则m＝( ) A．1004 B．1005C．1006 D．100711．设{a n}是由正数组成的等差数列，{b n}是由正数组成的等比数列，且a1＝b1，a2003＝b2003，则( )A．a1002>b1002B．a1002＝b1002C．a1002≥b1002D．a1002≤b100212．已知数列{a n}的通项公式为a n＝6n－4，数列{b n}的通项公式为b n＝2n，则在数列{a n}的前100项中与数列{b n}中相同的项有( )A．50项B．34项C．6项D．5项第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知数列{a n}满足：a n＋1＝1－1a n，a1＝2，记数列{a n}的前n项之积为P n，则P2011＝________.14．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．15．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且a1，12a3,2a2成等差数列，则a3＋a10a1＋a8＝________.16．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________．三、解答题()17．设数列{a n }的前n 项和为n S =2n 2，{b n }为等比数列，且a 1=b 1，b 2(a 2 －a 1)=b 1。
高二数学数列综合测试题(解析版)
7.已知 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为数列 是等差数列，所以 ，
所以 ，
又因为 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，
所以 ,
故选： .
8.已知数列 满足 ，则满足 的 的最大取值为（）
11.一个弹性小球从 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的 再落下.设它第 次着地时，经过的总路程记为 ，则当 时，下面说法正确的是（）
A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为250
【答案】BC
【详解】由题可知，第一次着地时， ；第二次着地时， ；
第三次着地时， ；……
第 次着地后，
则 ，显然 ，又 是关于 的增函数， ，故当 时， 的最小值为 ；
A.39B.45C.48D.51
【答案】D
【详解】设该塔群共有n阶，自上而下每一阶的塔数所构成的数列为 ，依题意可知 ， ，…， 成等差数列，且公差为2， ，
则 ，解得 .
故最下面三价的塔数之和为 .故选：D
4.等比数列 的前 项和为 ， ， ，则 为（）
A. B. C. D.28或-21
ห้องสมุดไป่ตู้【答案】A
数列复习训练题
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一个
1.等差数列 中，已知 ，则 （）
A.36B.27C.18D.9
【答案】B
【详解】解：由题得 .故选：B
2.若数列 满足 ， ， ，则 的值为（）
A.-3B.-2C.-1D.2
【答案】C
【详解】由 得 ，故有
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。
数列求和(分组求和、并项法、错位相减、裂项相消)综合经典例题(收藏版)含答案详解
数列求和综合（经典总结版）含答案详解包括四种题型：分组求和、并项法、错位相减、裂项相消一、分组求和例1．求和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S .例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；（Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.练1.求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥（I ）求数列a n 的通项公式； （Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 21-2223-242(1)n n •-50S n n S练1 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 1，S 3，S 2成等差数列．若a 1－a 3＝－32，求数列{n ·a n }的前n 项和T n .练2 设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .例2已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…． （Ⅰ）证明：数列1{1}na -是等比数列；（Ⅱ）数列{}n n a 的前n 项和n S ．练1 已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21等差数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若n bn a )21(2=，设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .练2、已知递增的等比数列{a n }满足：a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n .例3 在等比数列{a n }中，a 2a 3＝32，a 5＝32.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求S 1＋2S 2＋…＋nS n .例4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n －1)(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)若c n ＝a n ·b nn ，求数列{c n }的前n 项和T n .四、裂项相消裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的. 常见的裂项相消形式有： 1. 111(1)1n a n n n n ==-++ 1111()(2)22n a n n n n ==-++ ┈┈1111()()n a n n k k n n k ==-++2n p a An Bn C ⇒=++（分母可分解为n 的系数相同的两个因式）2. 1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+ 1111()(21)(23)22123n a n n n n ==-++++1111()(65)(61)66561n a n n n n ==--+-+3. 1111(1)(2)2(1)(1)(2)n a n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦4.)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n 5. 111211(21)(21)2121n n n n n n a ---==-++++ +1+1211(21)(21)2121nnn n n n a ==-++++122(1)111(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n a n n n n n n -++-==⋅=-++⋅+6.=┈┈12=1k=- 例1．正项数列}{n a 满足02)12(2=---n a n a n n ．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令,)1(1nn a n b +=求数列}{n b 的前n 项和n T ．练1.等比数列}{n a 的各项均为正数，且6223219,132a a a a a ==+．(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设,log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{nb 的前n 项和．例2．已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ．(Ⅰ)求n a 及n S ； (Ⅱ)令),(11*2N n a b n n ∈-=求数列}{n b 的前n 项和n T ．例3．已知等差数列}{n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且421,,S S S 成等比数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)令,4)1(112+--=n n n a a nb 求数列}{n b 的前n 项和n T .例4．正项数列}{n a 的前n 项和n S 满足：0)()1(222=+--+-n n S n n S n n .(1)求数列}{n a 的通项公式n a ；(2)令,)2(122n n a n n b ++=数列}{n b 的前n 项和为n T ，证明：对于,*N n ∈∀都有645<n T .练1、已知数列{}n a 是首相为1，公差为1的等差数列，21n n n b a a +=⋅，n S 为{}n b 的前n 项和，证明：1334n S ≤<.例5．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4＝9，a 2a 3＝8．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝，求数列{b n }的前n 项和T n ．例6. （无理型）设数列{}n a 满足01=a 且111111=---+nn a a ，（1）求{}n a 的通项公式；（2）设na b n n 11+-=，记∑==nk kn bS 1，证明：1<n S .例7.（指数型）．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝﹣n ﹣1．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n 项和T n ．例8．设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n （n ∈N *），{b n }是等差数列．已知a 1＝1，a 3＝a 2+2，a 4＝b 3+b 5，a 5＝b 4+2b 6．（Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式； （Ⅱ）设数列{S n }的前n 项和为T n （n ∈N *）， （i ）求T n ；（ii ）证明＝﹣2（n ∈N *）作业：1．设231()2222()n f n n N ++=++++∈，则()f n 等于（ ）A.21n -B.22n -C. 122n +-D. 222n +-2．满足*12121,log log 1()n n a a a n +==+∈N ，它的前n 项和为n S ，则满足1025n S >的最小n 值是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．123．已知等差数列}{n a 的前n 项和为,15,5,55==S a S n 则数列}1{1+n n a a 的前100项和为( A ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．1011004．求和2345672223242526272+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . 5．定义在上的函数满足， 则6．已知数列{a n }的前n 项和S n 与通项a n 满足S n ＝12－12a n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设f (x )＝log 3x ，b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，T n ＝1b 1＋1b 2＋…＋1b n ，求T 2 012；(3)若c n ＝a n ·f (a n )，求{c n }的前n 项和U n .7．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，a 1＝1，各项均为正数的等比数列{b n }的第1项，第3项，第5项分别是a 1，a 3，a 21.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和S n .8. 已知数列{an}的前n 项和Sn ＝－12n 2＋kn(其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和Tn.R )(x f 2)21()21(=-++x f x f )83()82()81(f f f ++67()()_______88f f +++=数列求和综合答案详解版一、分组求和例1．求和. 【解析】(1+2+3+…+n)+ =【总结升华】1. 一般数列求和，先认真理解分析所给数列的特征规律，联系所学，考虑化归为等差、等比数列或常数列，然后用熟知的公式求解.2. 一般地，如果等差数列与等比数列的对应项相加而形成的数列都用分组求和的办法来求前项之和.练1已知数列{}n x 的首项13x =，通项2n n x p n q =⋅+⋅（*n ∈N ，,p q 是常数），且145,,x x x 成等差数列.（1）求,p q 的值；（2）求数列{}n x 的前n 项和n S . 【解析】（1）232(164)2325p q p q p q p p +=⎧⎨+=+++⎩ 解得11q p =⎧⎨=⎩（2）12212(21)(22)+(2)n n S x x x n =+++=+++++………… =12(22+2)(123+n)n ++++++…………=1(1)222n n n ++-+ 例2．（奇偶性）已知等差数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； （Ⅱ）设b n ＝，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．【解答】解：（I ）设等差数列{a n }的过程为d ，∵a 1＝1，且a 1，a 2，a 4+2成等比数列． ∴＝a 1•（a 4+2），即（1+d ）2＝1×（1+3d +2），化为：d 2﹣d ﹣2＝0，解得d ＝2或﹣1．其中d ＝﹣1时，a 2＝0，舍去．∴d ＝2．a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，S n ＝＝n 2．（Ⅱ）设b n ＝＝，∴n 为偶数时，＝＝16，b 2＝8；11111232482n n ⎛⎫+++⋅⋅⋅++ ⎪⎝⎭11111232482n n S n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅++= ⎪⎝⎭111242n ⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭(1)1122n n n ++-{}n a {}n b {}n n a b +n n Sn 为奇数时，＝＝，b 1＝．∴数列{b n }的奇数项是首项为，公比为．数列{b n }的偶数项是首项为8，公比为16．∴数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝+＝．二、并项法例1．已知数列的前项和，求，的值以及Sn 的值.【思路点拨】该数列{}n a 的特征：1(1)(43)n n a n -=--，既非等差亦非等比，但也有规律：所有奇数项构成以1为首项8为公差的等差数列，偶数项构成以-5为首项-8为公差的等差数列，因而可以对奇数项和偶数项分组求和；还有规律：1234561...4n n a a a a a a a a ++=+=+==+=-（n 为奇数），可以将相邻两项组合在一起. 【解析】（1）法1（分组）由可得，法2（并项）a1+a2=−4,a3+a4=−4（2）由∴当为奇数，时， ，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-2-a n-1）+an=−4(n−12)+4n-3=2n-1当为偶数，时，，Sn=( a1+a2)+ a3+a4……（a n-1+an ）=−4×n2=−2n 【总结升华】1.对通项公式中含有或的一类数列，在求时要注意讨论的奇偶情况.2. 对正负相间的项中的相邻两项进行恰当的组合，可能会有意料之结. 举一反三：【变式1】求，，，，…，，…的前50项之和以及前项之和.{}n a n 1159131721...(1)(43)n n S n -=-+-+-++--15S 22S 1(1)(43)n n a n -=--158(157)7(553)[19...(4153)][513...(4143)]2922S ++=+++⨯--+++⨯-=-=2211(181)11(585)[19...(4213)][513...(4223)]4422S ++=+++⨯--+++⨯-=-=-1(1)(43)n n a n -=--n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--+=-n n N +∈1(43)(41)4n n a a n n ++=--++=n )1(-1n )1(+-n S n 21-2223-242(1)n n •-50S n n S【解析】（1）设，则数列为等差数列，且是的前25项之和， 所以.（2）当为偶数即时，.当为奇数即时，.三、错位相减例1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1=2，3S n =11543(2)n n n a a S n ---+≥ （I ）求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）若b n =n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和T n 。
考点03 期中训练之数列综合1(解析版)
考点03 期中训练之数列综合11.（2020春•嘉兴期中）等差数列{a n}中，已知a3＝7，a5＝13，则a7＝（）A．16B．17C．18D．19【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3＝7，a5＝13，∴a1+2d＝7，a1+4d＝13，联立解得a1＝1，d＝3，则a7＝1+3×6＝19．故选：D．【知识点】等差数列的性质2.（2020春•慈溪市期中）在正项等比数列{a n}中，a1＝2，且a1•a5＝64，则数列{a n}的前n项和是（）A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n+1﹣2D．2n+1﹣1【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a1＝2，且a1•a5＝64，则∴22•q4＝64，解得q＝2，∴数列{a n}的前n项和＝＝2n+1﹣2．故选：C．【知识点】等比数列的前n项和3.（2020春•福州期中）等比数列{a n}满足a1+a4＝，S6＝9S3，b n＝log2a n，则数列{b n}的前10项和是（）A．﹣35B．﹣25C．25D．35【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵a1+a4＝，S6＝9S3，∴a1（1+q3）＝，＝9•，联立解得a1＝，q＝2．∴a n＝＝2n﹣3．b n＝log2a n＝n﹣3．则数列{b n}的前10项和＝＝25．故选：C．【知识点】等比数列的前n项和4.（2020春•赤峰期中）记等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a3＝5，a4+a12＝9，则S10＝（）A．34B．35C．68D．70【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2a3＝5，a4+a12＝9，∴2（a1+2d）＝5，2a1+14d＝9，联立解得a1＝，d＝．则S10＝10×+＝35．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和5.（2020春•三明期中）已知数列{a n}的前项和为S n，满足2S n＝3a n﹣1，则通项公式a n等于（）A．B．C．D．【解答】解：2S n＝3a n﹣1，可得2a1＝2S1＝3a1﹣1，解得a1＝1；n≥2时，2S n﹣1＝3a n﹣1﹣1，又2S n＝3a n﹣1，两式相减可得2a n＝3a n﹣3a n﹣1，即为a n＝3a n﹣1，则数列{a n}为首项为1，公比为3的等比数列，可得a n＝3n﹣1，故选：C．【知识点】数列的求和6.（2020春•思南县校级期中）已知数列{a n}满足a1＝1，且a n+1＝2a n+3，则a n＝（）A．2n+1+3B．2n+1﹣3C．2n﹣3D．2n+3【解答】解：a1＝1，且a n+1＝2a n+3，可得a n+1+3＝2（a n+3），可得{a n+3}为首项为4，公差为2的等比数列，可得a n+3＝4•2n﹣1＝2n+1，则a n＝2n+1﹣3，故选：B．【知识点】数列递推式7.（2020春•沙坪坝区校级期中）等差数列{a n}中，若a2＝3，a4＝7，则a6＝（）A．11B．7C．3D．2【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝3，a4＝7，∴a1+d＝3，a1+3d＝7，联立解得：a1＝1，d＝2，则a6＝1+5×2＝11．故选：A．【知识点】等差数列的性质8.（2020春•东安区校级期中）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7+a9+a11＝55，S3＝3，则a5等于（）A．9B．7C．6D．5【解答】解：由a3+a5+a7+a9+a11＝55，S3＝3，∴5a7＝55，即a1+6d＝11，3a1+d＝3，联立解得：a1＝﹣1，d＝2．则a5＝﹣1+4×2＝7．故选：B．【知识点】等差数列的前n项和9.（2020春•宿州期中）已知函数的定义域为（0，+∞），当x＞1时，f（x）＞0，对于任意的x，y∈（0，+∞），f（x）+f（y）＝f（xy）成立，若数列{a n}满足a1＝f（1），且f（a n+1）＝f（2a n+1），n∈N+，则1+a2019的值是（）A．22016B．22017C．22018D．22019【解答】解：当x＞1时f（x）＞0．在（0，+∞）上任意取两个数x1，x2，且x1＜x2，令，则f（k）＞0．∴f（x2）＝f（kx1）＝f（k）+f（x1）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．令x＝y＝1，则f（1）+f（1）＝f（1），解得f（1）＝0．∵数列{a n}满足a1＝f（1）＝0，且f（a n+1）＝f（2a n+1），n∈N+，∴a n+1＝2a n+1，∴a n+1+1＝2（a n+1）∴数列{a n+1}是等比数列，公比为2，首项为1．∴．故选：C．【知识点】数列与函数的综合10.（2020春•福州期中）在等差数列{a n}中，a3＝4，a2+a5＝9，设b，数列{b n}的前n项和S n，则S2019为（）A．1﹣B．1+C．D．【解答】解：等差数列{a n}的公差设为d，a3＝4，a2+a5＝9，a1+2d＝4，2a1+5d＝9，解得a1＝2，d＝1，可得a n＝2+n﹣1＝n+1，b n＝＝＝（﹣），S2019＝（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣），故选：D．【知识点】数列的求和11.（2020秋•河南期中）设n为正整数，在n与n+1之间插入n个x，构成数列1，x，2，x，x，3，x，x，x，4，…，若该数列的前2018项的和为7881，则x＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：在n与n+1之间插入n个x，可得n＝62，最后一个数为63，共有63+×62×63＝2016个数，则数列的前2018个数的和为×63×64+×62×63x+2x＝7881，解得x＝3，故选：A．【知识点】数列的求和12.（2020秋•河南期中）已知数列{a n}的通项公式为a n＝5﹣kn（k≠0），a1，a3，a4依次为等比数列{b n}，的前3项，则的最大值为（）A．4B．2C．1D．0【解答】解：由数列{a n}的通项公式为a n＝5﹣kn（k≠0），可得a1＝5﹣k，a3＝5﹣3k，a4＝5﹣4k，由a1，a3，a4依次为等比数列{b n}的前3项，可得，即（5﹣3k）2＝（5﹣k）（5﹣4k），解得k＝1．∴a n＝5﹣n，b1＝a1＝4，q＝，则．∴＝．当n＝1时，，当n＝2时，，当n＝3时，，当n＝4时，，当n≥5时，．∴的最大值为2．故选：B．【知识点】等差数列与等比数列的综合13.（2020秋•新乡期中）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则每天比前一天少织布的尺数为（）A．B．C．D．【解答】解：此数列为等差数列{a n}，设公差为d．与题意可得：a1＝5，a n＝1，S n＝90．∴＝90，解得n＝30．∴5+29d＝1，解得d＝﹣．∴每天比前一天少织布的尺数为．故选：C．【知识点】等差数列的前n项和14.（2020秋•岳塘区校级期中）已知△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，则的取值范围是（）A．（2，]B．（0，]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：△ABC中，sin A，sin B，sin C成等比数列，可得sin2B＝sin A sin C，由正弦定理可得b2＝ac，又cos B＝＝≥＝，可得0＜B≤，设t＝sin B+cos B＝sin（B+），t2＝1+2sin B cos B＝1+2sin2B，即sin2B＝t2﹣1，B+∈（，]，可得sin（B+）∈（，1]，即有t∈（1，]，由＝＝t+∈（2，]，故选：A．【知识点】数列与三角函数的综合15.（2020秋•香坊区校级期中）已知数列{a n}为等差数列，a3＝3，S6＝21，数列{}的前n项和为S n，若对一切n∈N*，恒有S2n﹣S n，则m能取到的最大整数是（）A．6B．7C．8D．9【解答】解：数列{a n}为等差数列，a3＝3，S6＝21，设首项为a1，公差为d，故：，解得：d＝1，所以：a n＝a3+（n﹣3）＝n．则：，所以：，+…+，，设，则：，所以：T n+1﹣T n＝＝，所以：当n＝1时，函数取得最小值为．故：，所以：m＜8．故取得的最大整数为7．故选：B．【知识点】数列的求和16.（2020秋•丰台区期中）已知数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是数列{a n}的前n项和．（1）如果a1＝＝﹣4，那么q＝﹣；（2）如果若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”，在下列关于{a n}的三组量中，一定能成为数列{a n}的“基本量”的是．（写出所有符合要求的组号）①S1与a3；②S2与S3；③q与S3；【解答】解：（1）数列{a n}是公比为q的等比数列，a1＝＝a1q3＝﹣4，所以q3＝﹣8，q＝﹣2．故答案为﹣2（2）①S1＝a1，因为a3＝a1q2，可以确定q2，q有两个值，不唯一；②若q＝1，则可唯一确定，若q不为1，S2＝a1+a2＝，S3＝a1+a2+a3＝，由，得到关于q的一元二次方程，无法具体确定q；③已知q，带入S3＝可求出a1，所以唯一确定了数列．故答案为：③【知识点】数列的应用17.（2020秋•上城区校级期中）函数f（x）＝cosωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，A n，…在点列{A n}中存在三个不同的点A k，A t，A p，使得△A k A t A p是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数列记为{ωn}，则ω2019＝．【解答】解：设过A t的对称轴与线段A k A p交于点O，则OA t＝2，依题意，△A k A t A p是等腰直角三角形，所以A k A p＝4，结合f（x）＝cosωx（ω＞0）的周期性以及对称性可知，A k A p为整数个周期，所以A k A p＝4＝kT＝k，（k∈N*），所以ω＝（k∈N*），所以ωn＝（n∈N*），所以ω2019＝，故答案为：．【知识点】数列的应用18.（2020秋•闵行区校级期中）已知数列{a n}的通项公式和为，n∈N*，现从前m项：a1，a2，…，a m中抽出一项（不是a1也不是a m），余下各项的算术平均数为40，则抽出的是第项．【解答】解：设抽出的一项是第x项，由题得，，且S m＝40（m﹣1）+a x，∴，∴m2﹣11m+12﹣2x＝0，∴x＝6时，m＝11，m＝0（舍去），∴抽出的是第6项．故答案为：6．【知识点】数列的概念及简单表示法19.（2020秋•闵行区期中）已知，数列{a n}满足，对于任意n∈N*都满足a n+2＝f（a n），且a n＞0，若a20＝a18，则a2018+a2020＝．【解答】解：∵，∴，同理得：∴，又：a n+2＝f（a n），∴a n+4＝f（a n+2），∴，从而该数列周期为4，又令a20＝a18＝t＞0，则，t＝，解得t2+2t﹣1＝0，t＝，且，∴，∴．故答案为：．【知识点】数列与函数的综合、数列递推式20.（2020秋•高邮市期中）设数列{a n}的前n项和为S n，{b n}的前n项和为T n，a1＝2，4S n＝（n+3）a n，n∈N*且a n b n＝n．若对于任意的n∈N*，T n＜λ恒成立，则λ的最小值为．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，4S n＝（n+3）a n，①当n≥2时，4S n﹣1＝（n+2）a n﹣1②所以①﹣②得（n+2）a n﹣1＝（n﹣1）a n，整理得，则，，…，所有的式子相乘得，解得，由于且a n b n＝n．所以＝，则＝，对于任意的n∈N*，T n＜λ恒成立，所以λ＞（T n）max，即λ的最小值为．故答案为：【知识点】数列递推式21.（2020秋•汉中期中）记数列{a n}的前n项和为S n，已知点（n，S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）由题意点（n，S n）在函数f（x）＝x2+2x的图象上，知．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2n+1；当n＝1时，a1＝S1＝3，适合上式．所以：a n＝2n+1．（Ⅱ）∵，则＝＝．【知识点】数列与函数的综合、数列的求和22.（2020秋•抚州期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且，数列{b n}满足．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）因为，所以当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，又a1＝2也满足上式，所以；又，所以，两式作差得，，所以，当n＝1时，又b1＝6满足上式，所以；（2）因为＝﹣n＝n•2n，所以，，两式相减，得，即，所以．【知识点】数列的求和、数列递推式23.（2020秋•泰安期中）已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2a2+a3＝a4，S4+2＝a5；数列{b n}满足b1＝1，．（1）求a n和b n；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由，解得q＝2或q＝﹣1（舍），又S4+2＝a5，∴，解得a1＝2，∴；∴，∴当n≥2时，，相减可得＝﹣，整理得，又b1＝1，则数列是首项为1的常数列，∴，∴；（2）设，∴T n＝c1+c2+…+c n＝＝＝．【知识点】数列的求和24.（2020秋•西城区校级期中）数列{a n}中，a1＝1，对任意n≥2且n∈N*有（n﹣1）a n＝2na n﹣1．（1）设b n＝，证明：数列{b n}为等比数列，并求{a n}的通项公式；（2）求{a n}的前n项和S n．【解答】（1）证明：∵对任意n≥2且n∈N*有（n﹣1）a n＝2na n﹣1．∴，即b n＝2b n﹣1（n≥2），又：当n＝1时，a2＝2×1×a1＝2，∴，满足b2＝2b1，从而数列{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．∴．∴．（2）解：S n＝a1+a2+a3+……+a n＝1×20+2×21+3×22+……+n•2n﹣1，……①∴2S n＝1×21+2×22+3×23+……+n×2n……②∴①﹣②得：﹣S n＝1×20+1×21+1×22+……+1×2n＝．从而S n＝1﹣2n+1．【知识点】数列递推式25.（2020秋•海林市校级期中）已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2﹣5n+4（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．【解答】解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，故数列中有两项为负数；（2）a n＝n2﹣5n+4＝﹣，因此当n＝2或3时，a n有最小值，最小值为﹣2．【知识点】数列的函数特性26.（2020秋•溧阳市期中）已知等比数列{a n}的首项为，前n项和为，且S2，S4，S3成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）是否存在正整数A，使得恒成立？如果存在，写出最小的A，如果不存在请说明理由．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由S2，S4，S3成等差数列得S4﹣S2＝S3﹣S4，所以a3+a4＝﹣a4，即，所以，所以．（2）由（1）得，法1：，当n为奇数时，随n的增大而减小，所以，当n为偶数时，随n的增大而减小，所以，综上，对任意n∈N*，总有所以存在正整数A，使得恒成立，且最小的A为3法2：当n为奇数时，S n随n的增大而减小，所以，当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以，令t＝S n，则，，，可得时，f'（t）＜0；时，f'（t）＞0，又，所以，即的最大值为，所以存在正整数A，使得恒成立，且最小的A为3．【知识点】数列与函数的综合、等差数列与等比数列的综合27.（2020秋•海淀区校级期中）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，对每一个正整数n，该数列前n 项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2，…的最小值记为B n，记d n＝A n﹣B n．（1）若数列{a n}的通项公式为a n＝，求数列{d n}的通项公式；（2）证明：“数列{a n}单调递增”是“∀n∈N*，d n＜0”的充要条件；（3）若d n＝a n对任意n∈N*恒成立，证明：数列{a n}的通项公式为a n＝0．【解答】解：（1）当1≤n≤4，数列{a n}是递减数列，最大为a1＝4，又a4＝a5＝…＝a n＝…＝1，所以A n＝4，B n＝1，n＝1，2，3，…，所以d n＝A n﹣B n＝4﹣1＝3，（2）充分性：数列{a n}单调递增，则a1＜a2＜…＜a n＜…，则A n＝a1，B n＝a n+1，所以d n＝A n﹣B n＝a1﹣a n+1＜0；必要性：数列{a n}，∀n∈N*，d n＜0，d n＝A n﹣B n＜0，d1＝A1﹣B1＜0，a1＜B1＝min{a2，…，a n+1，…}，所以a1＜a2，d2＝A2﹣B2＜0，A n＝max{a1，a2}＝a2，B2＝min{a3，…，a n+1，…}，所以a2＜a3，同理a3＜a4＜…＜a n…即数列{a n}单调递增，故“数列{a n}单调递增”是“∀n∈N*，d n＜0”的充要条件．（3）反证法：若d n＝a n对任意n∈N*恒成立，数列{a n}的通项a n≠0．当n＝1时，d1＝a1＝A1﹣B1，A n＝a1，所以B1＝0，这说明从第二项起，至少有一个项为0，这与假设矛盾，故原命题成立．【知识点】数列的应用28.（2020秋•闵行区校级期中）已知{a n}是公差为d的等差数列，它的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n 项和为T n，S4＝2S2+4，，．（1）求公差d的值；（2）若对任意的n∈N*，都有S n≥S7成立，求a1的取值范围；（3）若a1＝1，判别是否有解，并说明理由．【解答】解：（1）∵S4＝2S2+4，∴4a1+，解得：d＝1．（2）由于等差数列{a n}的公差d＝1＞0，S n要最小值S7必须有，即，解得﹣7≤a1≤﹣6，故a1的取值范围为：[﹣7，﹣6]；（3）因为a1＝1，d＝1，所以S n＝（n2+n），因为等比数列{b n}满足，．所以，解得，故T n＝，设，则f（n）＝2×3n﹣，f（n+1）＝2×3n+1﹣[（n+1）2+（n+1）]所以f（n+1）﹣f（n）＝4×3n﹣（n+1）＞0，故f（n+1）＞f（n），由此可得f（n）单调递增，又因为f（6）＝1434，f（7）＝4346，所以f（6）＜2020＜f（7），故不存在正整数n，使其有解．【知识点】等差数列与等比数列的综合。
数列综合练习题(含答案)精选全文
3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。
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数列综合练习题一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．55．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．86．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣212．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．10117．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣100819．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．13620．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜121．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．5523．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．数列综合练习题答案与解析一．选择题（共23小题）1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）【解答】解：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，∴，解得2＜a＜4．故选：C．2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）【解答】解：∵{a n}是递增数列，∴a n＞a n，+1∵a n=n2+λn恒成立即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，∴λ＞﹣3，故选D．3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负【解答】解：∵f（a11）＞f（0）=0，a9+a13=2a11＞0，a9＞﹣a13，∴f（a9）＞f（﹣a13）=﹣f（a13），f（a9）+f（a13）＞0，∴f（a9）+f（a11）+f（a13）＞0，故选：A．4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）A．2 B．lg50 C．10 D．5【解答】解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10=lga1a2…a10=lg105=5故选：D5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，∴a=3+3=6；故选C．6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，当且仅当=，解得：m=，n=，因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．故答案选：B．7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）A．B．C．D．【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，根据图形可知：①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；所以A（10，12）=a93=故选A．8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）【解答】解：∵======﹣=﹣sin（4d），∴sin（4d）=﹣1，∵d∈（﹣1，0），∴4d∈（﹣4，0），∴4d=﹣，d=﹣，∵S n=na1+==﹣+，∴其对称轴方程为：n=，有题意可知当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴＜＜，解得π＜a1＜，故选：A．9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）A．①②③④B．①④C．①②④D．②③【解答】解：不妨设等比数列{a n}中，a n=a1•q n﹣1，①∵f（x）=3x，∴====常数，故当q≠1时，{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=3x不是等比函数；②∵f（x）=，∴===，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=是等比函数；③∵f（x）=x3，∴=═q3，故{f（a n）}是等比数列，故f（x）=x3是等比函数；④f（x）=log2|x|，∴==，故{f（a n）}不是等比数列，故f（x）=log2|x|不是等比函数．故其中是“等比函数”的f（x）的序号②③，故选：D．10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）A．③④B．①②④C．①③④D．①③【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；④由题意，lnf（a n）=ln（2a n），∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln（2a n+1）﹣ln（2a n）=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③④故选：C．11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2【解答】解：∵a1=1，a n+1=，∴=+3，即﹣=3，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，∴a n=，故选：A．12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【解答】解：由已知可得﹣=﹣1，设b n=，则数列{b n}是以为首项，公差为﹣1的等差数列．∴b31=+（31﹣1）×（﹣1）=﹣，∴a31=﹣．故选：B．13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列【解答】解：对于A：设b n=，则==（）2=q2，∴{b n}成等比数列；正确；对于B：数列{2}，=2≠常数；不正确；对于C：当a n＜0时lga n无意义；不正确；对于D：设c n=na n，则==≠常数．不正确．故选A．14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．【解答】解：在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，可得a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，由==（﹣），可得=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故选：A．15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．∴2（B﹣A）=A+C﹣B，解得3（B﹣A）=C．故选：C．16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）=4+4+4+…+4=4×25=100．故选：C．17．数列1，，，…，的前n项和为（）A．B． C． D．【解答】解：===2（）．数列1，，，…，的前n项和：数列1+++…+=2（1++…）=2（1﹣）=．故选：B．18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣1008【解答】解：∵，n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k﹣1=（2k﹣1）=0．n=2k时，a n=a2k=2kcoskπ=2k•（﹣1）k．∴s2017=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）=0+（﹣2+4﹣…﹣2014+2016）=1008．故选：B．19．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）A．130 B．132 C．134 D．136+（﹣1）n a n=2n﹣1，【解答】解：∵a n+1∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．∴{a n}的前16项和为4×2+8×4+=136．故选：D．20．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2C．++…+=1 D．++…+＜1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，∵++…+=1﹣＜1，故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，故选：D21．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）【解答】解：∵=+，a1=8，则数列{}为等差数列．∴=+（n﹣1）=（n+1）．∴a n=2（n+1）2．故选：A．22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55【解答】解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x 的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，∴S10=45，故选C．23．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]【解答】解：∵等差数列{a n}满足，∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）当sin（a4﹣a7）=1时，∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．∴d=﹣∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，∴8.5＜﹣＜9.5，∴π＜a1＜故选：C二．解答题（共4小题）24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列，由b2=3，b3=9，可得q==3，b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；即有a1=b1=1，a14=b4=27，则d==2，则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，则数列{c n}的前n项和为（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+=n2+．25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．当n=1时，a1=2，上式也成立．∴a n=．（2）==﹣．∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，{b2n}是等比数列，公比为3，首项为1．﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．。