等比数列经典例题透析
等比数列·例题解析
等比数列·例题解析等比数列·例题解析【例1】已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn＝pn(p∈R,n∈N_),那么数列{an}．[ ]A．是等比数列B．当p≠0时是等比数列C．当p≠0,p≠1时是等比数列D．不是等比数列分析由Sn＝pn(n∈N_),有a1=S1＝p,并且当n≥2时,an=Sn－Sn-1＝pn－pn-1＝(p－1)pn-1但满足此条件的实数p是不存在的,故本题应选D．说明数列{an}成等比数列的必要条件是an≠0(n∈N_),还要注【例2】已知等比数列1,_1,_2,…,_2n,2,求_1·_2·_3·…·_2n．解∵1,_1,_2,…,_2n,2成等比数列,公比q∴2＝1·q2n+1_1_2_3..._2n＝q.q2.q3...q2n=q1+2+3+ (2)式;(2)已知a3·a4·a5＝8,求a2a3a4a5a6的值．∴a4＝2【例4】已知a＞0,b＞0且a≠b,在a,b之间插入n个正数_1,_2,…,_n,使得a,_1,_2,…,_n,b成等比数列,求证明设这n＋2个数所成数列的公比为q,则b=aqn+1【例5】设a.b.c.d成等比数列,求证:(b－c)2＋(c－a)2＋(d－b)2＝(a－d)2．证法一∵a.b.c.d成等比数列∴b2＝ac,c2＝bd,ad＝bc∴左边=b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2＋d2－2bd＋b2=2(b2－ac)＋2(c2－bd)＋(a2－2bc＋d2)＝a2－2ad＋d2＝(a－d)2＝右边证毕．证法二∵a.b.c.d成等比数列,设其公比为q,则:b＝aq,c＝aq2,d=aq3∴左边＝(aq－aq2)2＋(aq2－a)2＋(aq3－aq)2＝a2－2a2q3＋a2q6=(a－aq3)2＝(a－d)2=右边证毕．说明这是一个等比数列与代数式的恒等变形相综合的题目．证法一是抓住了求证式中右边没有b.c的特点,走的是利用等比的条件消去左边式中的b.c的路子．证法二则是把a.b.c.d统一化成等比数列的基本元素a.q去解决的．证法二稍微麻烦些,但它所用的统一成基本元素的方法,却较证法一的方法具有普遍性．【例6】求数列的通项公式:(1){an}中,a1＝2,an+1＝3an＋2(2){an}中,a1=2,a2＝5,且an+2－3an+1＋2an＝0思路:转化为等比数列．∴{an＋1}是等比数列∴an＋1=3·3n-1 ∴an=3n－1∴{an+1－an}是等比数列,即an+1－an=(a2－a1)·2n-1=3·2n-1再注意到a2－a1=3,a3－a2=3·21,a4－a3=3·22,…,an－an-1=3·2n-2,这些等式相加,即可以得到说明解题的关键是发现一个等比数列,即化生疏为已知．(1)中发现{an＋1}是等比数列,(2)中发现{an+1－an}是等比数列,这也是通常说的化归思想的一种体现．证∵a1.a2.a3.a4均为不为零的实数∴上述方程的判别式Δ≥0,即又∵a1.a2.a3为实数因而a1.a2.a3成等比数列∴a4即为等比数列a1.a2.a3的公比．【例8】若a.b.c成等差数列,且a＋1.b.c与a.b.c＋2都成等比数列,求b的值．解设a.b.c分别为b－d.b.b＋d,由已知b－d＋1.b.b＋d与b－d.b.b＋d＋2都成等比数列,有整理,得∴b＋d=2b－2d 即b=3d代入①,得9d2=(3d－d＋1)(3d＋d)9d2=(2d＋1)·4d解之,得d=4或d=0(舍)∴b=12【例9】已知等差数列{an}的公差和等比数列{bn}的公比都是d,又知d≠1,且a4=b4,a10=b10:(1)求a1与d的值;(2)b16是不是{an}中的项?思路:运用通项公式列方程(2)∵b16=b1·d15=－32b1∴b16=－32b1=－32a1,如果b16是{an}中的第k项,则－32a1=a1＋(k－1)d∴(k－1)d=－33a1=33d∴k=34即b16是{an}中的第34项．解设等差数列{an}的公差为d,则an=a1＋(n－1)d解这个方程组,得∴a1=－1,d=2或a1=3,d=－2∴当a1=－1,d=2时,an=a1＋(n－1)d=2n－3当a1=3,d=2时,an=a1＋(n－1)d=5－2n【例11】三个数成等比数列,若第二个数加4就成等差数列,再把这个等差数列的第3项加32又成等比数列,求这三个数．解法一按等比数列设三个数,设原数列为a,aq,aq2由已知:a,aq＋4,aq2成等差数列即:2(aq＋4)=a＋aq2①a,aq＋4,aq2＋32成等比数列即:(aq＋4)2=a(aq2＋32)解法二按等差数列设三个数,设原数列为b－d,b－4,b＋d 由已知:三个数成等比数列即:(b－4)2=(b－d)(b＋d)b－d,b,b＋d＋32成等比数列即b2=(b－d)(b＋d＋32)解法三任意设三个未知数,设原数列为a1,a2,a3由已知:a1,a2,a3成等比数列a1,a2＋4,a3成等差数列得:2(a2＋4)=a1＋a3②a1,a2＋4,a3＋32成等比数列得:(a2＋4)2=a1(a3＋32)③说明将三个成等差数列的数设为a－d,a,a＋d;将三个成简化计算过程的作用．【例12】有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数．分析本题有三种设未知数的方法方法一设前三个数为a－d,a,a＋d,则第四个数由已知条方法二设后三个数为b,bq,bq2,则第一个数由已知条件推得为2b－bq．方法三设第一个数与第二个数分别为_,y,则第三.第四个数依次为12－y,16－_．由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数,从而解出所求的四个数,所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1．解法二设后三个数为:b,bq,bq2,则第一个数为:2b－bq所求四个数为:0,4,8,16或15,9,3,1．解法三设四个数依次为_,y,12－y,16－_．这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1．【例13】已知三个数成等差数列,其和为126;另外三个数成等比数列,把两个数列的对应项依次相加,分别得到85,76,84．求这两个数列．解设成等差数列的三个数为b－d,b,b＋d,由已知,b－d＋b＋b＋d=126∴b=42这三个数可写成42－d,42,42＋d．再设另三个数为a,aq,aq2．由题设,得解这个方程组,得a1=17或a2=68当a=17时,q=2,d=－26从而得到:成等比数列的三个数为17,34,68,此时成等差的三个数为68,42,16;或者成等比的三个数为68,34,17,此时成等差的三个数为17,42,67．【例14】已知在数列{an}中,a1.a2.a3成等差数列,a2.a3.a4成等比数列,a3.a4.a5的倒数成等差数列,证明:a1.a3.a5成等比数列．证明由已知,有2a2=a1＋a3①即a3(a3＋a5)=a5(a1＋a3)所以a1.a3.a5成等比数列．【例15】已知(b－c)logm_＋(c－a)logmy＋(a－b)logmz=0．(1)设a,b,c依次成等差数列,且公差不为零,求证:_,y,z成等比数列．(2)设正数_,y,z依次成等比数列,且公比不为1,求证:a,b,c成等差数列．证明(1)∵a,b,c成等差数列,且公差d≠0∴b－c=a－b=－d,c－a=2d代入已知条件,得:－d(logm_－2logmy＋logmz)=0 ∴logm_＋logmz=2logmy∴y2=_z∵_,y,z均为正数∴_,y,z成等比数列(2)∵_,y,z成等比数列且公比q≠1∴y=_q,z=_q2代入已知条件得:(b－c)logm_＋(c－a)logm_q＋(a－b)logm_q2=0 变形.整理得:(c＋a－2b)logmq=0∵q≠1∴logmq≠0∴c＋a－2b=0 即2b=a＋c即a,b,c成等差数列。
2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解
2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *+=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，()13n n a n −*∴=∈N（2）假设存在满足题意的3项，由（1）得：13nn a +=，又()11n n n a a n d +=++，1113323111n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2km p d d d ∴=⋅，即()()()2211224323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()()()2224343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴=+++，()()()2111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，整理可得：2k mp =，又222m p k +⎛⎫= ⎪⎝⎭，222224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 即()20m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，∴假设错误，即不存在满足题意的3项.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121−=⋅−n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅==+⋅n nn n S a n n. （2）记231=−+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=−∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项． 例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2022202120202019a a a a +=+__________．【答案】9【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13213,,22a a a 成等差数列，所以31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.所以20212020322202220211120192018202020191191a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++， 故答案为：9.例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6326log a b =______． 【答案】−1【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()1111161111112a a S a +===，解得61a =，因为{}n b 是等比数列，所以25763b b b ==，则633261log log 13a b ==−. 故答案为：1−.例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______． 【答案】[)2,+∞【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192595992a a a S a +===，所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞． 故答案为：[)2,+∞．例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以是______． 【答案】12【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，∴()()()2222222123222222212323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++， 要使222123123a a ab b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，设2141q q n ++=，()0n >，即1413n <<，即14143n <<， 又∵21414141n q q n==++，∴n 为正整数，则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又221314124q q q n ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即111222q =−=−=−又由题意知：01q <<，且为有理数，∴12q =−8n =时，满足题意，此时：111112222q =−−−+=.故答案为：12.例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632【解析】{}n b 为正项等比数列，则2221222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或1q =−（舍），∴1122n nn b b −==；{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.由231,*nn m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、、、时，152185m =、、、， 故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，()3043331334166416322S +⨯+⨯=−−−=.故答案为：1632例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n e 的前20项和20T =______． 【答案】1589【解析】2nn a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，12a ∴=，24a =，38a =，416a =，因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．424a b ==，2a ∴是数列{}n b 中的第4项，设2kk a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，2k a +∴是数列{}n b 中的项．21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．因为12345520+++++=，所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，所以 1234520444441329T =++++++++()()5414129151589142−+⨯=+=−故答案为：1589.。
等比数列知识点总结与典型例题+答案
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：*12,n na q q n n Na 0且，q 称为公比2、通项公式：11110,0n nnna a a qqA Ba qA B q，首项：1a ；公比：q推广：n mn mn n n mn m mma a a a q qqa a 3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2Aab或Aab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列na 是等比数列211nnna a a 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q时，1n S na （2）当1q时，11111nn na q a a q S qq11''11nnna a qA A BA BA qq（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n nn nn na a qa q q a a a 或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}nn n n nn a a a a a a 为等比数列（3）通项公式：0{}nnn a A BA Ba 为等比数列6、等比数列的证明方法：依据定义：若*12,n na q q n n Na 0且或1{}n n n a qa a 为等比数列7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N，在等比数列{}n a 中，有n mn m a a q。
（3）若*(,,,)m nst m n s tN ，则n ms t a a a a 。
特别的，当2m n k 时，得2n mka a a注：12132n nna a a a a a 等差和等比数列比较：经典例题透析类型一：等比数列的通项公式等差数列等比数列定义da a n n1)0(1qq a a nn 递推公式d a a nn 1；mda a nmnqa a n n1；mn m n qa a 通项公式dn a a n )1(111n n qa a （0,1q a ）中项2kn kna a A（0,,*knN kn ）)0(knk n knk n a a a a G （0,,*knN kn ）前n 项和)(21n n a a n S dn n na S n2)1(1)2(111)1(111q qq a a qq a q na S n nn重要性质),,,,(*q pnmN q p n m a a a a qpn m ),,,,(*q p n mN q p n m a a a a qp n m例1．等比数列{}n a 中，1964a a , 3720a a ,求11a .思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937，可以利用性质可求出3a 、7a ，再求11a .总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.举一反三：【变式1】{}为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。
等比数列知识点总结与典型例题+答案
(1) 用定义：对任意的n ， 都有 a n 1 二 qa nan 1二q （q 为常数,a^j 0）二｛a n ｝为等比数列a n等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：-a^ =q q=0 n_2,且n :二N * , q 称为公比 an _12、通项公式:a n =3^ 1 = a ^q^ A B nq = 0, A B = 0，首项：a i ;公比：qq推广:3、等比中项：（1）如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A^ ab 或A 二一不注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项 有两个（（2）数列3，是等比数列二3n 2 =令」3ni4、 等比数列的前n 项和s n 公式：（1） 当 q=1 时，S n 二 na 1 （2） 当 q=1 时，& /jV 二3^1_q1 -q鱼孔 q n =A -A B n =A'B n -A'（代 B, A',B'为常数）1-q 1 -q5、等比数列的判定方法： （2）等比中项：a .2 =a n 二（a .何」=0）二｛a n ｝为等比数列 （3）通项公式：a n 二AB n AE= 0 =｛a n ｝为等比数列 6等比数列的证明方法：依据定义：若-a ^ =q q =0 n —2,且n N *或a n1=qa n ={a n }为等比数列an-A7、等比数列的性质:n _mn _man= a m qq(2)对任何m,n ・N *，在等比数列｛a n ｝中，有a^a m q^^(3)若 m • n = s - t(m,n,s,t N )，则 a n ・a m = a s a t 。
特别的，当 m • n = 2k 时，得 a* % 二 a.a l an = a 2 an」=a3a nN …等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式 例 1.等比数列｛a n ｝中，a 164, a 3 a^ 20 ,求 a 11.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元方程组，解出a i和q ，可得an ;或注意到下标1^3 7，可以利用性质可求出a 3、a ?，再求an .总结升华：①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）•举一反三：【变式11 ｛a n｝为等比数列，a i=3，a9=768,求a e0【变式21 ｛a n｝为等比数列，a n>0，且a i a89=16，求a4®5a46的值。
等差等比数列经典例题以及详细答案
【本讲教育信息】一. 教学内容：等差等比数列综合应用二. 重点、难点1. 等差等比数列综合题2. 数列与其它章节知识综合3. 数列应用题【典型例题】[例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。
解：等差数列为d a a d a +-,,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=++--=+⋅-22)32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+-=-)2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 223232168a d a a =-++-0432=-+d a 代入（1）16)24(3182+-⋅-=-d d0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 926=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、950[例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求：（1）求n n b a , （2）解不等式2211601b m a a mm -≤++++解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d∴ 3996-=n a n 2011=-qb 109=q ∴ 1)109(2-⋅=n n b 不等式10921601)(2121⋅⋅-≤++⇔+m a a m m m)1(1816)399123936(21+⋅⋅-≤-+-⇔m m m m0)1(181639692≤+⋅⋅+-m m m032122≤+-m m0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m[例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥<n b a n n解：q a d a b a 1122=+⇒= ∴ )1(1-=q a dd n a q a a b n n n )1(111---=--)]1)(1()1[(11----=-q n q a n )]1)(1()1)(1[(321---+++-=--q n q q q a n n )]1()1)[(1(21--++-=-n q q a n)]11()1()1()1)[(1(321-+-++-+--=--q q q q a n n *)1,0(∈q 01<-q 01<-n q ∴ 0*> ),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*>∴ N n ∈ 3≥n 时，n n a b >[例4] （1）求n T ；（2）n n T T T S +++= 21，求n S 。
等比数列性质及其应用知识点总结与典型例题(经典版)
等比数列知识点总结与典型例题1、等比数列的定义：-a ^ = q q=0” n_2,且n- N , q 称为公比 a n A.2、通项公式:nAa.an- a .qqq3、等比中项:(1) 如果a,A,b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A 2=ab 或A = ab注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个( (2) 数列：a n f 是等比数列=a n 2二a nd a n.1 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1) 当 q =1 时，S n =na .(2) 当q 胡时，看^_二=口31 -q 1 -q鱼= A-A B n =A'B n -A'( A,B,A',B'为常数)1 -q 1 -q5、等比数列的判定方法：数列(2)等比中项：a n 2 =a n 何4佃何」=0)二｛a n ｝为等比数列 (3)通项公式：a^ A B n A B- o = g ｝为等比数列 6、等比数列的证明方法:依据定义：若 五二qq=0 n —2,且n N *或a .1二qa 「=｛a n ｝为等比数列 a n 4 7、等比数列的性质：a .;公比:q推广: (1)用定义：对任意的都有a n 1二qa n 或□二q(q 为常数,a na n = 0）二｛a n ｝为等比nn=A Baiq = 0, A = 0 ］，首项:(2)对任何m“ N*，在等比数列｛a n｝中，有a n二a m q®。
注： a i a n 二 a 2 'an J = a3a n _2 …等差和等比数列比较:经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例 1 .等比数列｛a .｝中，a i a ? =64, a 3 ' a ? =20,求 a^ .思路点拨：由等比数列的通项公式， 通过已知条件可列出关于a i 和q 的二元 方程组，解出a i 和q ，可得an ；或注意到下标1 ^3 ?，可以利用性质可求 出a 3、a ?，再求an . 解析：8法一：设此数列公比为q ，则a1 a ^ a1 a 2q =64⑴Ia3+a ?=a 1q +ag =20(2)由(2) 得: ag 2(1 q 4) =20 (3)2an"am二ak…a-i 0.-2q 4 一5q 2 2=0,解得 q 2 = 2或 q 2 =£ 当 q 2 =2 时，a - =2 , a -- =a- q10 =64 ;当心时，a -=32 , a —qJ .'/法——:• a - a ? = a 3 已7 = 64, ^又 a 3 ' a^ = 20 , 二a 3、a 7为方程x 2 —20x • 64 =0的两实数根,2…a^ = = 1 ^或 a ii = 64 .a 3总结升华:① 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算 量；② 解题过程中具体求解时， 要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的, 故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三:【变式1】｛an ｝为等比数列，a 仁3, a9=768,求a6。
等比数列的性质与计算
等比数列的性质与计算等比数列是数学中常见的一种数列形式，它具有一些独特的性质和计算方法。
本文将深入探讨等比数列的性质，并介绍几种常见的计算方法。
一、等比数列的性质等比数列是由一个公比不为零的数不断地乘上前一项而得到的数列。
在等比数列中，有以下几个重要的性质。
1. 公比等比数列中相邻两项的比值称为公比，用字母q表示。
对于等比数列{a1，a2，a3，...}，公比q等于任意一项除以它的前一项，即 q =aᵢ/a₍ᵢ₋₁₎。
公比决定了数列的增长速度和方向。
2. 通项公式等比数列的通项公式可以用来计算数列中任意一项的值。
对于等比数列{a1，a2，a3，...}，通项公式为 an = a₁ * q^(n-1)，其中an表示第n项，a₁表示首项，q表示公比，n表示项数。
3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式可以用来计算数列前n项的和。
对于等比数列{a1，a2，a3，...}，前n项和Sn表示前n项的和，Sn的计算公式为 Sn = a₁ * (q^n - 1) / (q - 1)。
二、等比数列的计算方法1. 求任意项的值已知等比数列的首项a₁和公比q，可以利用通项公式an = a₁ *q^(n-1)来计算数列中任意一项的值。
例如，已知首项a₁=2，公比q=3，求第5项的值可以通过代入公式得到：a₅ = 2 * 3^(5-1) = 162。
2. 求前n项的和已知等比数列的首项a₁和公比q，可以利用前n项和公式Sn = a₁* (q^n - 1) / (q - 1)来计算数列前n项的和。
例如，已知首项a₁=2，公比q=3，求前5项的和可以通过代入公式得到：S₅ = 2 * (3^5 - 1) / (3 - 1) = 242。
3. 求公比已知等比数列的任意两项可以求得公比。
例如，已知等比数列的第3项a₃=24，第4项a₄=72，求公比可以通过以下计算得到：q =a₄/a₃ = 72/24 = 3。
三、例题分析为了更好地理解等比数列的性质与计算，以下以几个例题进行分析。
2023年高考数学一轮复习第六章数列3等比数列练习含解析
等比数列考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．知识梳理1．等比数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(m ，n ∈N *)．(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)． (4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k. (5)若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1，则等比数列{a n }递增．若⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减．常用结论1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n，这里c ≠0，q ≠0. 3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n－A (A ≠0，q ≠1,0)． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × ) (2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 教材改编题1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D ．±12答案 D解析 设等比数列的公比为q ， ∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12，∴a 4＝a 2q 2，∴q 2＝a 4a 2＝14，∴q ＝±12.2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5解析 ∵{a n }是等比数列， 且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25， ∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25. 又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1解析 设这三个数为a q，a ，aq ，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋aq ＋aq ＝13，a ·aq ·aq ＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝3，∴这三个数为1,3,9或9,3,1.题型一 等比数列基本量的运算例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S na n等于( ) A ．2n－1 B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n－1答案 B解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ， 则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1. 所以a n ＝a 1qn －1＝2n －1，S n ＝a 11－q n 1－q ＝2n－1，所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n.方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24，②②①得a 4a 3＝q ＝2. 将q ＝2代入①，解得a 3＝4. 所以a 1＝a 3q2＝1，下同方法一．(2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5， 所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 教师备选1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________. 答案 54或24解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·q ＝6，6a 1＋a 1·q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝3，a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于( ) A ．－2或32 B ．－2或64 C ．2或－32 D ．2或－64答案 B解析 ∵数列{a n }为等比数列，a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，解得a 1＝－2，设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2， 解得q ＝－2或q ＝1，当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64， 当q ＝1时，则a 6＝－2.思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ， 令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列， ∴a n ＝2×2n －1＝2n.又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25， ∴2k ＋11－2101－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8. ①求{a n }的通项公式； ②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32(舍去)．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n，n ∈N *. ②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1＝(－1)n －122n ＋1，故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1＝23[1－－22n]1－－22＝85－(－1)n 22n ＋35. 题型二 等比数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式． 解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列， 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.教师备选已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n . (1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列； (2)若a 1＝12，a 2＝32，求{a n }的通项公式．(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ， 所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )， 因为{a n }中各项均为正数， 所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n＝3，所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列． (2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1＝2×3n －1，因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1， 所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0， 故a n ＋1＝3a n ， 所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12×3n －1.思维升华 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解 (1)易知q ≠1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 11－q31－q＝13，q >0，解得a 1＝1，q ＝3， ∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n－12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， ∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， ∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)， 解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n，则S n ＋1＋12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列．题型三 等比数列的性质例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023等于( ) A.20243 B ．1011 C.20232D ．1012答案 C解析 由题意得a 5a 2019＝3， 根据等比数列性质知，a 1a 2023＝a 2a 2022＝…＝a 1011a 1013＝a 1012a 1012＝3，于是a 1012＝123，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2023 ＝log 3(a 1a 2a 3…a 2023)11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )A ．40B ．60C ．32D ．50 答案 B解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， 即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列， ∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60. 教师备选1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝__________. 答案 73解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3， 又由已知得S 6＝3S 3， ∴S 9－S 6＝4S 3， ∴S 9＝7S 3，∴S 9S 6＝73. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 答案 2解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )A ．5B ．10C ．15D ．－20 答案 C解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0. 因为S 20>0，所以S 20＝3.又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)， 所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8的值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16答案 A解析 ∵a 1a 2…a 8＝16， ∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 8＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 7＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 4＋1a 5＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5) ＝12(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( ) A.643B ．－643C.323 D ．－323答案 A解析 设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 4＋a 5a 1＋a 2＝q 3＝8， 所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1， 所以a 1＝13，所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝643.2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( ) A ．2B ．4C.92D ．6答案 B解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24， ∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2. 又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析 由等比数列前n 项和的性质知，S n ＝32n －1＋r ＝13×9n ＋r ，∴r ＝－13.4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里 D ．48里答案 C解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12，因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 4＝a 1·q 3＝192×18＝24.5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( ) A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列 B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列 C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q的等比数列答案 AD 解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列； 对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( ) A ．S n ＝3n －1B ．{S n }为等比数列C ．a n ＝2·3n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2答案 ABD解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)， 当n ≥2时，a n ＝2S n －1，两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ， 可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2.当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12＝3n －1，又S 1＝a 1＝1，适合上式， 所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，又S n ＋1S n ＝3n3n －1＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1， 又S 6＝S 3＋q 3S 3， 得63＝7＋7q 3. ∴q 3＝8，q ＝2.由S 3＝a 11－q 31－q ＝a 11－81－2＝7，得a 1＝1.8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13，则a 4＝________.答案 3 81解析 由{a n }是等比数列， 得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243， 故a 7＝3，a 4＝a 7q3＝81.9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *. (1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16为等比数列． (1)解 S n ＝na 1＋n n －12d ＝na 1＋n (n －1)＝n 2＋(a 1－1)n ， 又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *， 所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9， 所以q ＝3， 所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，所以b 1＝13，所以T n ＝131－3n1－3＝3n－16，所以T n ＋16＝3n 6，又T 1＋16＝12，所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 63n －16＝3(n ≥2)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列．10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }为等比数列；(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10. (1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1， 得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)， 两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)， 所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)， 所以b n b n －1＝a n ＋1－2a na n －2a n －1＝2a n －2a n －1a n －2a n －1＝2(n ≥2)，又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1， 故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列． (2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n，所以c n ＝|2n－100|＝⎩⎪⎨⎪⎧100－2n，n ≤6，2n－100，n >6，所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400 ＝200－21－261－2＋27＋28＋29＋210＝200＋2＋28＋29＋210＝1 994.11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列C ．a n ＝2n ＋1＋－1n3D ．S 20＝23(410－1)答案 ABD解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)， 所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)， 又a 1＋a 2＝2≠0，所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确； 若a n ＝2n ＋1＋－1n3，则a 2＝23＋－123＝3，但a 2＝1≠3，C 错误；由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4， 所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝21－4101－4＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1B ．a 7·a 9>1C ．S n 的最大值为S 9D ．T n 的最大值为T 7答案 AD解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1<0， ∴a 7>1,0<a 8<1， ∴0<q <1，故A 正确；a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列， ∴S n 无最大值，故C 错误； 又a 7>1,0<a 8<1，∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2015＝T 2021，则log 3a 2019log 3a 2021＝________.答案 15解析 由题意得，T 2015＝T 2021＝T 2015·a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021， 所以a 2016a 2017a 2018a 2019a 2020a 2021＝1， 根据等比数列的性质，可得a 2016a 2021＝a 2017a 2020＝a 2018a 2019＝1， 设等比数列的公比为q ，所以a 2016a 2021＝a 20212q 5＝1⇒a 2021＝52,qa 2018a 2019＝a 20192q＝1⇒a 2019＝12,q所以log 3a 2019log 3a 2021＝123523log 1.5log q q14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．答案132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22为公比的等比数列，现已知共含有1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛⎭⎪⎫2210＝132.15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( ) A ．k 不可能为0B ．等差数列一定是“等差比数列”C ．等比数列一定是“等差比数列”D ．“等差比数列”中可以有无数项为0 答案 AD解析 对于A ，k 不可能为0，正确；对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确． 16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n 项和为2n －1·3n＋12.(1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列， 所以2a 2＝a 1＋a 3－8，即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝2n －1·3n＋12，所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝2n －3·3n －1＋12(n ≥2)，两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)，因为a n ＝2·3n －1，所以b n ＝n (n ≥2)，当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n <34.因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立， 所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。
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等比数列经典例题透析
类型一：等比数列的通项公式
例1．等比数列{}n a 中，1964a a ⋅=, 3720a a +=,求11a .
思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于1a 和q 的二元方程组，解出1a 和q ，可得11a ；或注意到下标1937+=+，可以利用性质可求出
3a 、7a ，再求11a .
总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）.
举一反三：
【变式1】{a n }为等比数列，a 1=3，a 9=768，求a 6。
【变式2】{a n }为等比数列，a n ＞0，且a 1a 89=16，求a 44a 45a 46的值。
【变式3】已知等比数列{}n a ，若1237a a a ++=，1238a a a =，求n a 。
类型二：等比数列的前n 项和公式
例2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+S 6=2S 9，求数列的公比q. 解析：若q=1，则有S 3=3a 1，S 6=6a 1，S 9=9a 1.
因a 1≠0，得S 3+S 6≠2S 9，显然q=1与题设矛盾，故q ≠1.
由3692S S S +=得，369111(1)(1)2(1)
111a q a q a q q q q
---+=---，
整理得q 3(2q 6-q 3-1)=0，
由q ≠0，得2q 6-q 3-1=0，从而(2q 3+1)(q 3-1)=0，
因q 3
≠1，故3
1
2
q =-，所以q =
举一反三：
【变式1】求等比数列11
1,,,39
的前6项和。
【变式2】已知：{a n }为等比数列，a 1a 2a 3=27，S 3=13，求S 5.
【变式3】在等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -⋅=，126n S =，求n 和 类型三：等比数列的性质
例3. 等比数列{}n a 中，若569a a ⋅=,求3132310log log ...log a a a +++. 举一反三：
【变式1】正项等比数列{}n a 中，若a 1·a 100=100; 则lga 1+lga 2+……+lga 100=_____________.
【变式2】在83和27
2
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三
个数的乘积为________。
类型四：等比数列前n 项和公式的性质
例4．在等比数列{}n a 中，已知48n S =，260n S =，求3n S 。
思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k 项和，第2个k 项和，第3个k 项和，……，第n 个k 项和仍然成等比数列。
举一反三：
【变式1】等比数列{}n a 中，公比q=2, S 4=1,则S 8=___________.
【变式2】已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n , 且S 10=10, S 20=40,求：S 30=？ 【变式3】等比数列{}n a 的项都是正数，若S n =80, S 2n =6560，前n 项中最大的一项为54，求n.
【答案】∵ 6560802=n n S S ，∴1q ≠(否则2
1
2=n n S S )
∴1(1)
1n n a q S q
-=-=80 (1)
212(1)1n n a q S q
-=-=6560.........(2)，
(2)÷(1)得：1+q n =82,∴q n =81......(3) ∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1 ∴{a n }为递增数列，∴a n 为最大项54. ∴a n =a 1q n-1=54,∴a 1q n =54q, ∴81a 1=54q. (4)
∴1542813a q q ==代入(1)得2
(181)80(1)3
q q -=-，
∴q=3,∴n=4.
【变式4】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2=324, a 3+a 4=36, 则a 5+a 6=_____________. 【变式5】等比数列{}n a 中，若a 1+a 2+a 3=7,a 4+a 5+a 6=56, 求a 7+a 8+a 9的值。
类型五：等差等比数列的综合应用
例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数.
思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式.
总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。
一般地，三数成等差数列，
可设此三数为a-d, a, a+d ；若三数成等比数列，可设此三数为y
x
，x, xy 。
但
还要就问题而言，这里解法二中采用首项a ，公比q 来解决问题反而简便。
举一反三：
【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就
成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列.
【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。
【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数.
类型六：等比数列的判断与证明
例6．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：log 5(S n +1)=n(n ∈N +),求出数列{a n }的通项公式，并判断{a n }是何种数列？
思路点拨：由数列{a n }的前n 项和S n 可求数列的通项公式，通过通项公式判断{a n }类型.
【变式2】设{a n }、{b n }是公比不相等的两个等比数列，C n =a n +b n ,证明数列{C n }不是等比数列.
【证明】设数列{a n }、{b n }的公比分别为p, q ，且p ≠q
为证{C n }不是等比数列，只需证2132C C C ⋅≠.
∵2
222222
111111()2C a p b q a p b q a b pq =+=++, 222222221311111111()()()C C a b a p b q a p b q a b p q ⋅=++=+++
∴2
2132
11()C C C a b p q ⋅-=-, 又∵ p ≠q, a 1≠0, b 1≠0,
∴21320C C C ⋅-≠即2132C C C ⋅≠
∴数列{C n }不是等比数列. 【变式3】判断正误：
(1){a n }为等比数列⇒a 7=a 3a 4；
(2)若b 2=ac ，则a ，b ，c 为等比数列；
(3){a n }，{b n }均为等比数列，则{a n b n }为等比数列；
(4){a n }是公比为q 的等比数列，则2
{}n a 、1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍为等比数列；
(5)若a ，b ，c 成等比，则log m a ，log m b ，log m c 成等差. 类型七：S n 与a n 的关系
例7．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足2
1056n n
n S a a =++，且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n .
举一反三：
【变式】命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列；命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =na-n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列。
上述两个命题中，真命题为 个.。