等比数列经典例题
等比数列(教案+例题+习题)
二、等比数列1.等比数列的判断方法：定义法1(n na q q a +=为常数），其中0,0n q a ≠≠或11n n nn a aa a +-=(2)n ≥。
例1．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c 三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则1n a +为____；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。
2.等比数列的通项：11n n a a q -=或n m n m a a q -=。
3.等比数列的前n 和：当1q =时，1n S na =；当1q ≠时，1(1)1n n a q S q-=-11n a a qq -=-。
例2．一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列。
（1）设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q .（2）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ ；（3）)(1010∑∑==n nk k nC的值为__________；特别提醒：等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。
4.等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。
等比数列通项习题
等比数列1、已知数列{b n }满足b n ＋1＝12b n ＋14，且b 1＝72。
求证：数列12n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{b n }的通项公式；2、已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125()n n S S n n *+=++∈N ，证明数列{1}n a +是等比数列；3、已知数列{a n }中，a 1＝1，n a ＝121n n a n --＋n *(2,)n n N ≥∈，且n b ＝n a n＋λ为等比数列， (1)求实数λ及{a n }、{b n }的通项公式;4、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数． (1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论．5、已知数列{a n }中，112,2n n a a a n +==++，求{a n }的通项公式6、已知数列{a n }中，111,2n n n a a a +==，求{a n }的通项公式7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，12n n S a +=，,则n a =（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n8、等比数列{}n a 中，696,9a a ==，则3a =9、等比数列{}n a 中，已知1912,,833n a a q ===，则n 的值为10、已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）A ．64B ．81C ．128D ．24311、设等比数列{}n a 中.已知26,a =13630,a a +=求n a .12、已知{n a }是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+,34534511164()a a a a a a ++=++ (I)求{n a }的通项公式; (II)设21()n n n b a a =+,求数列{n b }的前n 项和n T .13、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．14、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，设312S =，且1232,,1a a a +成等比数列，求n S .15、已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =( )(A)。
等比数列的性质总结
等比数列的性质总结及经典例题1. 等比数列的前n 项和n S 公式：1 (1) 当1q =时， 1n S na = (2) 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数） 2. 等比数列的判定方法（1）用定义：对任意的n,都有11(0)n n n n na a qa q q a a ++==≠或为常数，⇔{}n a 为等比数列 （2） 等比中项：211n n n a a a +-=（11n n a a +-≠0）⇔{}n a 为等比数列 （3） 通项公式：()0nn a A BA B =⋅⋅≠⇔{}n a 为等比数列（4） 前n 项和公式：()'',,','n n n n S A A B S A B A A B A B =-⋅=-或为常数⇔{}n a 为等比数列6. 等比数列的证明方法 依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=⇔{}n a 为等比数列 7. 注意（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、q 、n 、n a 及n S ，其中1a 、q 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；11n n a a q -=如奇数个数成等比，可设为…，22,,,,a a a aq aq q q…（公比为q ，中间项用a 表示）； 8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时①等比数列通项公式()1110n nn n a a a qq A B A B q-===⋅⋅≠是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A qq q q--==-=-⋅=-----，系数和常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
等比数列性质练习题
等比数列性质练习题
在学习等比数列的性质时，我们需要通过一些具体的练习题来巩固和应用所学知识。
下面是一些等比数列性质练习题，帮助大家更好地理解和掌握等比数列的特点和性质。
练习题1：
已知等比数列的首项为a，公比为q，前n项和为Sn。
求证等比数列的前n项和的通项公式为：
Sn = (a * (q^n - 1)) / (q - 1)
练习题2：
已知等比数列的首项为3，公比为0.5，求证等比数列的第n项为：an = 3 * (0.5)^(n-1)
练习题3：
已知等比数列的首项为2，公比为1/3，前n项和为10。
求证等比数列的第n项为：
an = 2 * (1/3)^(n-1)
练习题4：
已知等比数列的首项为2，公比为3，第n项为162。
求证等比数列的前n项和为：
Sn = (2 * (3^n - 1)) / 2
练习题5：
已知等比数列的首项为10，公比为2，前n项和大于1000。
求证等比数列的第n项为：
an = 10 * (2^n - 1)
练习题6：
已知等比数列的前三项为2，6，18，求证等比数列的第n项为：an = 2 * (3^(n-1))
以上是一些关于等比数列性质的练习题，通过这些题目的解答和证明，可以更加全面地了解等比数列的性质和规律。
在解答过程中，注意使用等比数列的定义和性质，合理运用相关公式和推导方法。
通过大量的练习，相信大家能够熟练掌握等比数列的特点和运算，提高解题能力。
等比数列经典例题
15．已知数列 ， 满足 ， ， ， ，则使 成立的最小正整数 为（）
A．5B．7C．9D．11
16．在数列 中， ， ，若 ，则 的最小值是（）
A．9B．10C．11D．12
17．已知单调递增数列 的前n项和 满足 ，且 ，记数列 的前n项和为 ，则使得 成立的n的最小值为（）
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列 满足 ， ，又 为数列 的前 项和，则 （）
A． 或 B．
C． D．
7．已知数列 满足： ， ．则 （）
A． B． C． D．
8．已知数列 的前 项和为 且满足 ，下列命题中错误的是（）
A． 是等差数列B． C． D． 是等比数列
9．数列 是等比数列， ， ，则 （）
一、等比数列选择题
1．设 ， ，数列 的前 项和 ， ，则存在数列 和 使得（）
A． ，其中 和 都为等比数列
B． ，其中 为等差数列， 为等比数列
C． ，其中 和 都为等比数列
D． ，其中 为等差数列， 为等比数列
2．已知各项均为正数的等比数列 ，若 ，则 的最小值为（）
A．12B．18C．24D．32
3．在等比数列 中， ， ，则 （）
A． B． C． D．
4．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（）
A．4B．5C．4或5D．5或6
5．已知等比数列 的各项均为正数，公比为q， ， ，记 的前n项积为 ，则下列选项错误的是（）
A．数列 是等比数列B．数列 是递增数列
C．数列 是等差数列D．数列 中， ， ， 仍成等比数列
27．设 是各项均为正数的数列，以 ， 为直角边长的直角三角形面积记为 ，则 为等比数列的充分条件是（）
等比数列典型例题
高二数学等比数列典型例题【例1】 已知S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，S n = P n (p € R , n € N*)，那么数列｛a n ｝.[] A •是等比数列 B .当p z 0时是等比数列 C .当p z 0, p 丰1时是等比数列 D .不是等比数列分析 由S n = p n (n € N*)，有ai=Si = p ，并且当n 》2时, a n =S n _ S n-1 = p n - p n-1 = (p - 1)P n-1p z 0故a 2 = (p — 1)p ，因此数列｛a n ｝成等比数列p - 1Z 0(p 1)p n1 p(p 1)(p n 22)p p但满足此条件的实数 p 是不存在的，故本题应选D .解 1, x 〔, X 2, , X 2n ， 2成等比数列，公比 q2 = 1 • q 2n+12n( 1+2 n)n(2 n 1)q1【例3】等比数列｛a n ｝中，⑴已知a 2=4，a 5 一 2，求通项公式；(2)已知 a 3 • a 4 • a 5= 8，求 *2*3*4*506 的值.解(1)a 5 = a 2q 5 2.q =— 12・ n 21n 21、n 4…a n = a ?q = 4(-2)=( 2)23c⑵••• a 3 • a 5 = a 4 a 3 a 4 • a 5 =a 4 = 8--a 4 = 2又 3236 — 8335 — a 4【例4】 已知a >0, b >0且a z b ,在a , b 之间插入n 个正数，x?,…，x n ,使得a , ，x?,…,【例2】 已知等比数列 1, x 1 , X 2,…，x 2n , 2,求 X 1 • X 2 • X 3X 1X 2X3 …x 2 n = qq 2 • q 3...q 2n =q 1+2+3+ (2)--a 2a 3a 4a 5a 6 =a 4 = 32x n , b 成等比数列，求证 nX 1X 2 (x)n <a b 2 .证明设这n + 2个数所成数列的公比为q ,则 b=aq n+1n 1b•-q—an 1•-n X 1X 2 …X nnaqaq 2…aq n aq 2— a b•、ab < -2【例5】设a 、b 、c 、d 成等比数列，求证：(b — e)2 + (e — a)2 + (d — b)2 = (a —d)2证法一 • •' a 、b 、c 、d 成等比数列a b c bed••• b 2= ae , e 2 = bd , ad = be左边=b 2 — 2bc + e 2 + C 2 — 2ac + a 2 + d 2— 2bd + b 2 =2(b 2— ae) + 2(e 2 — bd) + (a 2 — 2bc + d 2) =a 2 — 2ad + d 2 =(a — d)2 =右边 证毕.证法二 ■/ a 、b 、c 、d 成等比数列，设其公比为 q ,则:b = aq ， e = aq 2， d=aq 3•左边=(aq — aq 2)2 + (aq 2— a)2 + (aq 3 — aq)2 =a 2 — 2a 2q 3 + a 2q 6 =(a — aq 3)2 =(a—d)2=右边证毕.【例6】 求数列的通项公式： (1) {a n}中，ai = 2, a n+1= 3a n + 2(2) {a n}中，ai=2, a? = 5,且 a n+2 — 3a n+1 + 2a n = 0 思路：转化为等比数列.解⑴a n+1 = 3a n + 2 a n+1 + 1 = 3(a n + 1)••• {a n + 1}是等比数列 ••• a n + 仁3 • 3n-1a n =3n - 1•-{a n+1 — a n }是等比数列，即 a n+1—an =(a 2 — a 1) • 2n-1=3 • 2n-1再注意到a?— a 〔=3, a3 — *2=3 • 21, a@ — 83=3 • 22，…，玄门—玄门_1=3 • 2n-2，这些等式相加，即可以 得到n 1丄2n-22 1n 1a n = 3[1 + 2 + 2 +…+ 2]= 3 • 2 1 = 3(2— 1)【例7】 若实数a 1> a 2、a 3、a 4都不为零，且满足(a f + a ；)a ； — 2a 2⑻+ a 3)a 4 + a ； + a ： = 0求证：a 1、a ?、a 3成等比数列，且公比为a °.证 T a 〔、a2、83、84均为不为零的实数•- (a f + a ；)x 2 — 2& (a 1 +a 3)x +a ； + a f = 0为实系数一兀—次方程 等式(a l +a 2 )a 4 —2a 2 (a 1+a 3)a 4 + a 2 + a ： = 0说明上述方程有实数根a 4.•上述方程的判别式0，即2 2 2 2 2[—2a 2(a 1 +a 3)] — 4(a 1 + a 2)(a 2 + a 3)=—4(a ； — ae s )2》0 • (a ； - a^)2 < 0又• • • a 〔、 a2、a3为实数•(a ； — a£3)2 > 0必有 a 2 — a 1a 3 = 0 即 a 2 = a 1a 3因而a 〔、a2、a3成等比数列• a4即为等比数列a 「a2、ag 的公比.【例8】 若a 、b 、c 成等差数列，且 a + 1、b 、c 与a 、b 、c + 2都成等比数列，求 b 的值.解 设a 、b 、c 分别为b — d 、b 、b + d ,由已知b — d +1、b 、b + d 与b — d 、b 、b + d + 2都成等比数 列，有b 2 = (b — d + 1)(b + d) ① b 2 = (b — d)(b + d + 2)②整理，得(2)a n +2 - 3a n +! + 2a n = 0an+2 an+1=2(a n+1— an)2a 2 (a 1 a 3) 2(a f a ；)a 2 (a 1 a 3) a 2a 〔 a 1 a 3 ab 2 = b 2 — d 2 + b + d b 2 = b 2 — d 2 + 2b — 2d••• b + d=2b — 2d 即 b=3d 代入①，得 9d 2=(3d — d + 1)(3d + d) 9d 2=(2d + 1) • 4d 解之，得d=4或d=0(舍) • b=12【例9】 已知等差数列｛a n ｝的公差和等比数列｛b n ｝的公比都是d ，又知1,且a 4=b 4, a 10=b 10: (1)求a 1与d 的值; (2)bi6是不是｛an ｝中的项?思路：运用通项公式列方程a i (1— d 3) = — 3d a 1(1— d 9)= — 9d d 6 + d 3— 2 = 0 d i 1(舍)或d 2 32•a id 3 2 d 3 2(2) •/ b 16=b 1 • d 15= — 32b 1且 a 4=a + 3d = 23.2 = b 4 b 4 = b 1 • d 3 = — 2b 1 = — 23 2 • b 1 = a 1 = 3 2•-b 16= — 32b 1 = — 32a 1，如果 b 16 是｛a n ｝中的第 k 项，则 —32a 〔=a 〔+(k — 1)d --(k — 1)d= — 33a 〔=33d • k=34即b 16是｛a n ｝中的第34项.1 21【例10】 设｛a n ｝是等差数列，b n = (―)an ，已知b 1 + b 2 + b 3 = § , 1b 1b 2b 3 = 2，求等差数列的通项.8解 设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则a n =a 1 + (n — 1)d解⑴由a 4 =b 4a iob io3 a 1 + 3d = a 1d9a 1 + 9d = a 1d11 1由b 1b 2 b 3 =，解得b 2 =，解得b 288解这个方程组，得1 、 1bi =2，b3 = 8或bi =8，b3 = 2二 a 〔 = — i , d=2 或 ai=3, d= — 2•••当 a 〔=——i , d=2 时，a n =ai + (n — i)d=2n — 3当 a i =3, d=2 时，an=ai + (n — i)d =5 — 2n 【例11】 三个数成等比数列，若第二个数加 成等比数列，求这三个数.解法一 按等比数列设三个数，设原数列为 a ,aq , aq 2由已知：a , aq + 4, aq 2成等差数列 即：2(aq + 4)=a + aq 2a , aq + 4, aq 2 + 32成等比数列 即：(aq + 4)2=a(aq 2 + 32)aq + 2 = 4a①，②两式联立解得：•这三数为：2, 6, 18或 - ,10, 50. 99 9由已知：三个数成等比数列 即：(b — 4)2=(b — d)(b + d)飞=(2)a i(n 1)db i b 3 = (》ai,1、a i +2d (2) =(1)2(a i +d) =(2)2a =2亠 a ■c 或 '9 q =3q =—5解法二按等差数列设三个数，设原数列为 b — d , b — 4, b +d1―,代入已知条件 21b i b 2b 3 = 8 b i b 3b i b 2b 3整理得 21 8 17b 1 + b 3 =-1 8 4就成等差数列，再把这个等差数列的第3项加32又18b—d2 = 16b—d, b, b+ d + 32成等比数列解法 设前三个数为a — d , a , a + d ,则第四个数为(a d)2 a(a d)依题意，有 a — d +a =16a + (a + d) =12a 〔= 4a 2 = 9解方程组得:一或d 1 = 4d 2 =— 6所求四个数为：0, 4, 8, 16或 15, 9, 3, 1依题意有:22b — bq + bq 2 = 16 b + bq = 12b 1 = 4b 2 =9 解万程组得：或1 q 1 =2 q 2 =3所求四个数为：0, 4, 8, 16或 15, 9, 3, 1 .解法三 设四个数依次为 x , y , 12 — y , 16 — xx + (12 — y) = 2y y • (16 — x) = (12 — y)即 b 2=(b — d)(b + d + 32)32b — d 2 — 32d = 0【例12】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.分析本题有三种设未知数的方法方法一 设前三个数为a — d , a , a + d ,则第四个数由已知条方法二 设后三个数为b , bq , bq 2，则第一个数由已知条件推得为 2b — bq .方法三 设第一个数与第二个数分别为x , y ,则第三、第四个数依次为12 — y , 16 — x .由这三种设法可利用余下的条件列方程组解出相关的未知数，从而解出所求的四个数，①、②两式联立，解得:26b9 或 b =108 d = 8 d =2 •••三数为9, 10 9， 50 或 2, 6 , 18• 9 件可推得:(a d)2 a解法二 设后三个数为：b , bq , bq 2，则第一个数为：2b — bq依题意有2解方程组得：x^i = 0x 2 = 15 或y 1 = 4y 2 = 9这四个数为0, 4, 8, 16或15, 9, 3, 1.【例13】 已知三个数成等差数列，其和为 126;另外三个数成等比数列，把两个数列的对应项依次相加，分别得到 85，76，84.求这两个数列.解 设成等差数列的三个数为 b — d , b , b + d ,由已知，b — d + b + b + d=126••• b=42这三个数可写成 42 — d , 42, 42 + d . 再设另三个数为a , aq, aq 2.由题设，得a + 42 — d = 85 ap + 42 = 762aq + 42 + d = 84a — d = 43① 整理，得 aq = 34② 2aq + d = 42③解这个方程组，得a 〔=17 或玄2=68当 a=17 时，q=2, d= — 261当a= 68时，q 二，d = 252从而得到：成等比数列的三个数为三个数为68, 34, 17,此时成等差的三个数为17, 42, 67.数成等差数列，证明：a 〔、a3、a5成等比数列.证明由已知，有 2a2=a 〔 + a 3217, 34, 68，此时成等差的三个数为68, 42, 16;或者成等比的【例14】 已知在数列｛a n ｝中,a 「a 2> a 3成等差数列,a2、电、成等比数列，玄3、玄厶、的倒a 4 1= 322 1a4 a3 a5由③,2a3 •a5a4 =a3 + a5由①,a1 + a3a?= 2代入②，得整理,2a3a1 + a3 2a3 • a52 a3 a5a3a5（a1+a2）a3 + a5即a3(a 3＋a5)=a 5(a 1＋a3)= a 1a 5＋a 3a 5所以 a 1、 a 3、a 5 成等比数列．【例15】 已知 （b － c ）logm x ＋ （c － a ）log m y ＋ （a － b ）log m z=0 ．（1）设 a ，b ，c 依次成等差数列，且公差不为零，求证： x ， y ，（2）设正数 x ， y ，z 依次成等比数列，且公比不为 1，求证： a ， 证明 （1）T a , b , c 成等差数列，且公差 d 丰0 ••• b — c=a — b=— d , c — a=2d代入已知条件，得：－d （logm x －2log m y ＋ log m z ）=0•logm x ＋log m z=2log m y2• y 2=xz••• x , y , z 均为正数 • x ， y ， z 成等比数列⑵■/ x , y , z 成等比数列且公比 q z 1 • y=xq ， z=xq 2 代入已知条件得：(b — c)log m x ＋(c — a)log m xq ＋(a — b)log m xq 2=0 变形、整理得： (c ＋a — 2b)log m q=0 •••q z 1•log m q z 0• c ＋ a — 2b=0 即 2b=a ＋c即 a , b , c 成等差数列z 成等比数列． b , c 成等差数列． a 3 ＋a 3a 5。
等比数列（经典）
比较一下
（1）1，1/2，1/4，1/8，1/16… （2）9，92，93，94，95，96， 97 （3） 1，2，22，23，……211
共同点？
从第2项起，每一项与前一项的比都 等于同一常数。
等 比 数 列
定义
推导
通项公式
经典例题
等比数列与等差数列的比较
1 定义与特征
一般地,如果一个数列从第2项起，每一项与它的前 一项的比都等于同一个常数 ,那么这个数列就叫作 等比数列。
爸爸，这几ห้องสมุดไป่ตู้题我不会做， 你帮我解一下：
例1 以下数列中，那些是等比数列？ （1）1，-1/2,1/4,-1/8,1/16; (2)1,1,1~~~,1; (3)1,2,4,8,12,16,20; (4)a,a2,a3,~~~,an; 例2 一个等比数列的首项是2，第2项与第3项的和是 12，求它的第8项的值。 例3 在各项均为负数的数列{an}中，已知2an=3an+1, 且a2*a5=8/27. （1）求证：{an} 是等比数列，并求出通项； （2）试问-16/81是这个等比数列的中项吗？如果是， 指明是第几项；如果不是，请说明理由。
课本p25页，1，p25页，练习二
作业：p26页，2，4
元芳，你怎么看？
大人，这其中必有蹊跷，我觉得应该 这样： 因为an=a1qn-1,am=a1qm-1，从而 anam=a12qm+n-2，同理可得asat=a12qs+t-2， 又因为m+n=s+t，所以aman=asat
元芳，你进步了!你再看看这道题： 若a,G,b三个数成等比数列，那么这 三个数有何恒等关系？
等差数列(A P) an+1-an=d d可以是0 等差中项2a=a+b
等比数列的前n项和 (1)
第四课时
例1(A)已知数列n a
范例讲解
的通项公式
an 3 2n 为
，这个数列是等比数列吗？
分析：用定义法证明
等比数列的例题
例2 已知 a n , bn 是项数相同的等比数列， 证明:设数列 an 首项为a1,公比为q1 n 首项为b1,公比为q 2 ;b 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
课堂小结
a1 (1 q n ) (q 1) Sn 1 q 或S n na (q 1) 1
减)并能应用.
由
a1 an q (q 1) 1 q . na (q 1) 1
.理解等比数列的推导过程(错位相
Sn .an ,q , a1 , n 知三而可 求二 .
公式应用：
例1：求等比数列
1 1 1 , , , 的前8项的和。 2 4 8
1 1 1 1 解:由 a1 , q , n 8 ,得 2 4 2 2
1 1 8 [1 ( ) ] 2 2 255 Sn 1 256 1 2
公式应用：
例2 已知等比数列 an ,
课堂总结
1．等比数列的前 n 项和公式分两类，一类是当 公比 q＝1 时，其公式为 Sn＝na1；另一类是当 q≠1 a11－qn a1－anq 时，Sn＝ ＝ 1－q 1－q
复习:
等差数列 等比数列
定义
通项公式
an1 an d
an a1 (n 1)d
an am (n m)d
错解：Sn＝a1＋a2＋…＋an ＝(a2＋a4＋…＋a2n)－(a＋a2＋…＋an) a21－a2n a1－an ＝ . 2 － 1－a 1－a
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等比数列经典例题例1一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.答：这个数列的第1项与第2项分别是 .8316与例2.三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
2,,aq aq a ：解：设原来的三个数是431=-+n n c c问：如何用a 1和q 表示第n 项a n1.叠乘法（累乘法）a 2/a 1=q a 3/a 2=q a 4/a 3=q … a n /a n-1=q这n-1个式子相乘得a n /a 1=q n-1 所以 a n =a 1q n-1 2.不完全归纳法 a 2=a 1q a 3=a 2q=a 1q 2 a 4=a 3q=a 1q 3 … a n =a 1q n-11． 在等比数列{a n }中，已知 a 2＝2，a 4a 6＝256，则 a 8 等于（128） 2． 等比数列{a n }中，a 5＝3，则 a 2·a 8 等于（9）3． 将 20,50,100 这三个数加上相同的常数，使它们成为等比数列，则其公比是__ 5/3__. 4． 已知等比数列a n /a 1 {a n }的公比 q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝（-3）5． 在等比数列{a n }中，若 a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25. 求 a 3＋a 5 的值．6． 在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和为 21，则 a 3＋a 4＋a 5＝( 84 )7． 在等比数列{a n }中，若 a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比 q 值的可能个数为( 4 )8． 已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前 n 项和，且a 2＝3,4S 2＝S 4.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证数列{2an }是等比数列；(3)求使得 S n ＋2>2S n 的成立的 n 的集合．解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝34×(2a 1＋d )＝4a 1＋6d，解得a 1＝1，d ＝2，∴a n ＝2n －1.(2)依题意得，122nn a a -＝22n －122n －3＝4，∴数列{2n a }为首项为2，公比为4的等比数列，(3)由a 1＝1，d ＝2，a n ＝2n －1，得S n ＝n 2，∴S n ＋2>2S n ⇒(n ＋2)2>2n 2⇒(n －2)2<8，∴n ＝1,2,3,4，故n 的集合为：{1,2,3,4}．9. 在等比数列{a n }中，a 5、a 9 是方程 7x 2－18x ＋7＝0 的 两个根，试求 a 7.正解：∵a 5、a 9 是方程 7x 2－18x ＋7＝0 的两个根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 9＝187a 5a 9＝1.又∵a 7 是a 5 和a 9 的等比中项，10. (2010年高考重庆卷)在等比数列{a n }中，a 2010＝8a 2007，则公比q 的值为( 2 )11.设{a n }是等比数列，a 1＝2，a 8＝256，则a 2＋a 3＝____12____. 12. 若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则S n ＝________. 答案：2n －113. (2011年高考全国卷Ⅱ)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：由已知有a 1＋a 2＝4a 1＋2， 解得a 2＝3a 1＋2＝5，故b 1＝a 2－2a 1＝3， 又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1 ＝4a n ＋1＋2－(4a n ＋2) ＝4a n ＋1－4a n ，∴a 27＝a 5a 9＝1，即a 7＝±1. 又由方程可得a 5＞0，∴a 7＝a 5q 2＞0，∴a 7＝1.于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，即b n ＋1＝2b n . 因此数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知等比数列{b n }中b 1＝3，公比q ＝2，所以a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，于是a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，因此数列{a n 2n }是首项为12，公差为34的等差数列，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2(n ∈N ＋)．14.（1） (2010年高考江西卷)等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝( A ) A ．(－2)n －1 B ．－(－2)n －1 C ．(－2)nD ．－(－2)n（2）(2010年高考辽宁卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( B ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6(3)(2010年高考辽宁卷)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( ) A.152 B.314 C.334 D.172【解析】 (1)记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2， 得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1， 当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意， 故a n ＝a 1q n －1＝(－2)n －1. (2)⎩⎨⎧ 3S 3＝a 4－23S 2＝a 3－2①②，①－②得：3a 3＝a 4－a 3,4a 3＝a 4，q ＝a 4a 3＝4.(3)显然公比q ≠1，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314.15. 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，数列{a n ·a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列．(1)求使a n a n ＋1＋a n ＋1a n ＋2>a n ＋2a n ＋3(n ∈N ＋)成立的q 的取值范围； (2)若b n ＝a 2n －1＋a 2n (n ∈N ＋)，求{b n }的通项公式．解：(1)∵数列{a n ·a n ＋1}是公比为q (q >0)的等比数列，且a 1·a 2＝1·2＝2，∴a n ·a n ＋1＝2q n －1，由a n ·a n ＋1＋a n ＋1 ·a n ＋2>a n ＋2·a n ＋3(n ∈N ＋) 有2q n －1＋2q n >2q n ＋1(q >0)， ∴q 2－q －1<0，解得0<q <1＋52.(2)∵a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q ，∴a n ＋2a n＝q ，∴a 2n ＋1＝qa 2n －1，a 2n ＋2＝qa 2n .∵b n ＝a 2n －1＋a 2n ，∴b 1＝a 1＋a 2＝3， 又b n ＋1b n ＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 2n －1＋a 2n ＝qa 2n －1＋qa 2n a 2n －1＋a 2n ＝q ，∴{b n }是首项为b 1＝3，公比为q 的等比数列，∴b n ＝3q n －1.16. (2011年南阳调研)在等比数列{a n }中，a 1最小，且a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，前n 项和S n ＝126， (1)求公比q ； (2)求n .【解】 ∵{a n }是等比数列，a 1＋a n ＝66， ∴a 2·a n －1＝a 1a n ＝128，∴a 1 ，a n 是方程x 2－66x ＋128＝0的两根，解得⎩⎨⎧ a 1＝2a n ＝64或⎩⎨⎧a 1＝64a n＝2，又∵a 1最小，∴a 1＝2，a n ＝64，由⎩⎪⎨⎪⎧64＝2·q n －12(1－q n )1－q ＝126，得⎩⎨⎧q ＝2n ＝6.17.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝2×3 n ＋k (k ∈R ，n ∈N ＋)． (1)求{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＝4(5＋k )a n b n ，T n 为数列{b n }的前n 项和，求证：0≤T n <316.【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n－S n －1＝4·3n －1，由于{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a na n －1，因此有126＋k＝3，解得k ＝－2，这时a n ＝4·3n －1.(2)证明：由于a n ＝4(5＋k )a n b n ，所以4·3a n b n ＝4·3n －1，故a n b n ＝n －1，从而b n ＝n －14·3n －1.所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n＝14·3＋24·32＋34·33＋…＋n －14·3n －1，① 3T n ＝14＋24·3＋34·32＋…＋n －14·3n －2，②②－①得2T n ＝14＋14·3＋14·32＋…＋14·3n －2－n －14·3n －1，所以T n ＝18＋18·3＋18·32＋…＋18·3n －2－n －18·3n －1＝316－2n ＋116·3n －1，令f (n )＝2n ＋116·3n －1，显然f (n )随着n 的增大而减小，故0<f (n )≤f (1)＝316，故0≤316－2n ＋116·3n －1<316，即0≤T n<316. 18.(2010年高考四川卷)已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(4－a n )q n －1(q ≠0，n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和S n .【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝－1.故a n ＝3－(n －1)＝4－n . ………4分 (2)由(1)可得b n ＝n ·q n －1，于是 S n ＝1· q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n －1. ……6分 若q ≠1，将上式两边同乘以q ，得 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n －1＋n ·q n .两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n －1＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1q －1.于是，S n ＝nq n ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2. ………9分若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.所以，S n ＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧n (n ＋1)2(q ＝1)，nqn ＋1－(n ＋1)q n ＋1(q －1)2(q ≠1).......12分。