竞赛专题凸函数和琴生不等式
20第二十讲 函数的凸性,詹森不等式
f ( x0 + h) − h
f ( x0 )
=
f+′( x0 ) .
f−′( x0 ) 的存在性留作练习 .
注 开区间上的凸函数左右导数处处存在,但不一定
处处可导.
例子同时证明了：开区间上凸函数是连续函数.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在
(a, b) 中每一点的左、右导数存在.
证 对于任意的 x0 ∈(a, b), 0 < h1 < h2 ,使 x0 < x0 + h1 < x0 + h2 < b,
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
( x3 − x1 ) f ( x2 ) ≤ ( x3 − x2 ) f ( x1 ) + ( x2 − x1 ) f ( x3 ), 即 ( x3 − x2 ) f ( x2 ) + ( x2 − x1 ) f ( x2 )
条件是：任给
x1
,,
xn
∈
I,
0
<
λ
i<
1,=i
1,2,⋅ ⋅ ⋅,n,
λ1
+
λ2
++
λn
= 1，必有
f (λ
1 x1
+ +λ
n xn ) ≤
λ
1
f ( x1 ) + + λ
n
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式是以丹麦数学家约翰·琴生（JohanJensen）命名的一个重要不等式。
琴生不等式也译为詹森不等式，它的本质是对凸函数性质的应用。
琴生不等式在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式往往比借助任何一般性的理论都要容易得多。
函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。
这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。
当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。
一·琴生不等式
1·琴生不等式：
2·加权形式：
二·琴生不等式的应用1·证明代数不等式：
2·证明三角不等式：
3·证明数列不等式：。
琴生不等式【学生版】
自招竞赛 数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。
在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。
琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式是由琴生发现的重要不等式，它 在解决有关函数不等式方面的 问题具有重要 作用。它也有多种变通形式，运用时要根据 具体情况而定。 琴生不等式与函数或曲线的凹凸性相关，其 判定有多种方法，主要是定义法和二阶导数 法。 若为ƒ(χ)下凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≥ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似 有λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1λ)χ₂) 若为ƒ(χ)上凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≤ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似 有λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1λ)χ₂)
高考中的考查
若x,y,z>0,且xyz=8。求证 1⁄√(1+x)+1⁄√(1+y)+1⁄√(1+z)<2。 作为压轴型的难题，其思维方式也大为迥异。 对考生的思维能力有很高的要求。我们再来 看一道相类似的试题。基于此，我们不难发 现高考与竞赛之间有着紧密的联系。这也就 提醒着我们的同学在平时学习过程中要对竞 赛类的试题也要有所接触，但不宜钻的过深。 造成基础不扎实，影响整体水平的发挥。只 需要对竞赛类的试题的处理方法有一定的了 解，掌握这类试题的分析和讨论的切入点， 以提高自身的应变能力。因为大多数的竞赛 试题在思维上，还是在创新上，都有着一定 的技巧。
琴生不等式
函数的凹凸性的判定定理：设在ƒ(χ)区间 (a,b)内具有二阶导数， 1若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)>0（ƒ₂(χ)为二阶 导数，下同），则函数ƒ(χ)在(a,b)是下凸 的； 2若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)<0，则函数ƒ(χ) (a,b)是上凸的。 这个定理高诉我们，要定出函数的凹凸性， 只要在函数的考察内，定出的同号区间以及 相应的符号。
凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理
凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。
②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。
此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。
②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。
20第二十讲 函数的凸性,詹森不等式
f ( x0 + h) − h
f ( x0 )
=
f+′( x0 ) .
f−′( x0 ) 的存在性留作练习 .
注 开区间上的凸函数左右导数处处存在,但不一定
处处可导.
例子同时证明了：开区间上凸函数是连续函数.
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§5 函数的凸性与拐点
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中的任意三点 x1 < x2 < x3 ,有
f ( x2 ) − f ( x1 ) ≤ f ( x3 ) − f ( x1 ) ≤ f ( x3 ) − f ( x2 ) . (4)
x2 − x1
x3 − x1
x3 − x2
y
注 (4) 式与 (1) 式是等价
的. 所以有些教材将 (4) f (x3)
f (x1)
式作为凸函数的定义.
f (x2)
O x1
x2
对于凹函数，请大家自行写出相应的定理.
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x3 x
§5 函数的凸性与拐点
由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要
则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有
f (λ x1 + (1 − λ )x2 ) ≥ λ f ( x1 ) + (1 − λ ) f ( x2 ), (2)
则称 f 为 I 上的一个凹函数. 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号, 则相应 的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
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§5 函数的凸性与拐点
全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf
1. ABC 中，求 sin A sin B sin C 的最大值。
2. f (x) ax 2 bx c ，若 a 0 ，证明 f (x) 是下凸的；若 a 0 ，证明 f (x) 是上凸的。
3. 用函数 f (x) lg x 的凸函数性质证明平均值不等式：对 ai 0 （ i 1,2,..., n ）有
2
x分
别是 (0,
), (0,)
上的下凸函数。
f
(x)
sin
x, lg
x
分别是 [0,
], (0,)
上的上凸函数。
2
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
幂平均：
设
a1, a2 ,..., an
是任意
n
个正数，我们称 ( a1r
a2r n
...
an r
1
)r
(r
在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例. 不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题 作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中， 以不等式性质或其运用作为 素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现 逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命 题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.
高一对函数单调性的证明， 由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以
我们将证明 f (x1 )与f (x2 ) 的大小关系，转化为判断 f (x1 ) f (x2 ) 的符号问题，从而以 f (x1 ) f (x2 ) 的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.
上凸下凸的极致——琴生不等式
上凸下凸的极致——琴生不等式
函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。
这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。
当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。
通过以上例题，我们会惊奇地发现利用琴生不等式可以帮助我们解决很多不等式问题，当然熟练琴生不等式的整体结构，准确选择适合题意的函数，明确其凸凹性，是运用好琴生不等式的关键。
尽管琴生不等式不是高中必须掌握的内容，但是我们多次在模拟题和真题，以及竞赛试题中看到它的身影，所以了解以及熟练运用琴生不等式们应该是不无裨益的。
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凸函数和琴生不等式
的最大值为
中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=π
A
21 B 2
3
C 223
D 23
分析：
时，取等号
当且仅当上是凸函数
在分析：最小值
的，试求：为定值是一组实数，且若n n n n n n n a a a n
k a a a n
k n a a a a a a n x x f a a a k k a a a a a a ===≥
+++∴=+++≥+++∴+∞-∞=+++=+++ΛΛΛΛΘΛΛΛ2122
22212
22212
222122
22212121)()(1),()()(,,.2
时，取等号；
时，即当且仅当上是凹函数，则：
在3
sin sin sin 23
3sin sin sin 2
360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin π
π=
====≤
++=︒=++≤++=C B A C B A C B A C B A C B A x y Θ)11()11)(11(21n
x x x +++
=Λn
n x x x x x x x x x x x x x x x n n n n n
n n
n n 1
11)1(1)]11()11)(11[(2121211
21121=
+++≤
+
=+≥+++∴ΛΛΘΛΛΛ又n n
n
n n n n n n n n n
n n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )1
1()11()11(])11()11()11[(1)1()1
1()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++
=+++≥=>ΛΛΘΛΛΛ证：求证：，，已知);)(1)]1()1)(1[((1
22111
2211n
n n n n n a b a b a b a b a b a b ΛΛ+≥+++利用结论：
'
sin 'sin 'sin sin sin sin )sin sin (sin '
sin 'sin 'sin sin sin sin 'sin sin 'sin sin 'sin sin ;'''30.42γβαγβαγβαγβαγβααγγββαγβαγβα=∴=⇒⎪⎭⎪
⎬⎫
====∠=∠=∠=∠=∠=∠︒∠∠∠∆PA PC PC PB PB PA PCB PBA PAC PCA PBC PAB PCA PBC PAB ABC P 依正弦定理有：、、，且、、证：设；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若
︒<︒≥︒≤∴≤
∴≤∴30150,302
1
sin ,)2
1
(sin sin sin 3
γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在
补充练习：
;)1
()1()1)(1(1),1(.122111
n n n n
i i i n
n x x x x x x x n i R x +≥+++
=≤≤∈∑=+
Λ，求证：若 ;2:1,0,0.23322xy y x y x y x ≥
+=+>>，求证已知
;2
3
cos cos cos .3≤++∆C B A ABC C B A 的三个内角，求证：为、、
n n n
n n n n
n n n n x x x n x x x n
x x x )1()1
1()11()11()1()1
1()11)(11(1)]1
1()11)(11[(21211
21+≥++++++
+≥+++∴+≥+++∴ΛΛΛ6
66
)21()6'''(sin )
6
'sin 'sin 'sin sin sin sin (
=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα。