凸函数与琴生不等式拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理克赛求法
拉格朗日中值定理克赛求法拉格朗日中值定理？嘿，别一听这名字就觉得好像很高大上，实际上，理解起来一点也不难，甚至比你想象的还要简单。
你能不能想象，数学也可以像是跟朋友聊八卦一样轻松？当然可以！今天我们就来聊聊这个拉格朗日中值定理，它究竟是个什么鬼？它有什么用呢？嘿，先别急，听我慢慢给你捋一捋。
你知道什么叫“中值定理”吧？那不就是找出一个值，代表一个区间内的情况？看似简单对吧？但是，拉格朗日中值定理就像是数学里的一个魔法，它能告诉你，在两个点之间一定会有一个点，满足某个特定条件。
这听起来是不是有点像魔术？你站在这儿，我站在那儿，我们之间总得有一个地方能够“联系”起来，让我们俩之间的差异消失得无影无踪。
想明了吧？好了，咱们就从实际出发。
你有过这种体验吗？走路走着走着，突然发现前面某个地方跟你的脚步似乎对上了。
没错，你走得每一步都不是随机的，咱们的脚步和路面有种“默契”。
这就跟拉格朗日中值定理有点像：假设你走的是一条连续的路，从A点到B 点（比如从家到公司）。
按照这个定理，总能找到一处位置，恰好与A到B之间的“平均速度”吻合。
就是说，某个时刻，你的行走速度会等于你从A到B所走的总路程除以时间。
好吧，可能听起来有点儿抽象，但其实就是告诉你，只要符合一定的条件，总有一个时刻是特殊的。
拉格朗日中值定理到底要什么条件呢？嘿，你看，我们要的可不是那么简单的“随便走走”。
得保证路是“连续”的。
也就是说，这条路上不能有“坑”，你不能在走的过程中突然消失，然后又突然出现。
好比你不能在中途跳过某个地方，不然拉格朗日的法则就玩完了。
接着呢，你还得确保这条路不急转弯，否则咱们没法拿到“平均速度”。
不然这定理也没用了。
所以，条件其实很严格呢！但有了这些条件，你就可以“放马过来”，拉格朗日定理肯定能帮你搞定。
举个例子，我们可以想象一下：假设你跑步从起点到终点，总的距离是100米，你的起跑速度和到达终点的速度都不一样，但你总会在某个时刻达到与“平均速度”相同的状态。
拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点，并且函数在此闭区间内是连续的，的最大值为A，最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数f(x)在开区间在由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。
当一个函数在某个确定的区间内，存在着；内时，那么这一点就是这个函数的极值点。
在例1中，当1<x<3，，这就是拉格朗日中值定理最简单的形式。
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式是以丹麦数学家约翰·琴生（JohanJensen）命名的一个重要不等式。
琴生不等式也译为詹森不等式，它的本质是对凸函数性质的应用。
琴生不等式在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式往往比借助任何一般性的理论都要容易得多。
函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。
这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。
当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。
一·琴生不等式
1·琴生不等式：
2·加权形式：
二·琴生不等式的应用1·证明代数不等式：
2·证明三角不等式：
3·证明数列不等式：。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
利用拉格朗日中值定理证明不等式
《利用拉格朗日中值定理证明不等式》
拉格朗日中值定理是一个有用的数学定理，它可以用来证明不等式。
定理指出，如果在一个多边形内有n个点，那么它们的中点必须满足以下条件：这n个点的中点到多边形的任
意一边的距离之和等于这n个点到多边形的任意一边的距离之和。
这个定理可以用来证明不等式。
假设有一个多边形，它的边长为a，b，c，d，e，f，g，h，那么拉格朗日中值定理告诉我们，这些边长的中点到多边形的任意一边的距离之和等于这些边长到多边形的任意一边的距离之和。
根据这个定理，我们可以得出结论：a + b + c + d + e + f + g + h ≥ 2（a + b + c + d + e + f + g + h）。
这就是一个不等式，也就是说a + b + c + d + e + f + g + h ≥ 2。
综上所述，拉格朗日中值定理可以用来证明不等式，其中a + b + c + d + e + f + g + h ≥ 2。
它提供了一种有效的方法来证明不等式，并且可以被广泛应用于数学中的其他证明。
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式是由琴生发现的重要不等式，它 在解决有关函数不等式方面的 问题具有重要 作用。它也有多种变通形式，运用时要根据 具体情况而定。 琴生不等式与函数或曲线的凹凸性相关，其 判定有多种方法，主要是定义法和二阶导数 法。 若为ƒ(χ)下凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≥ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似 有λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1λ)χ₂) 若为ƒ(χ)上凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≤ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似 有λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1λ)χ₂)
高考中的考查
若x,y,z>0,且xyz=8。求证 1⁄√(1+x)+1⁄√(1+y)+1⁄√(1+z)<2。 作为压轴型的难题，其思维方式也大为迥异。 对考生的思维能力有很高的要求。我们再来 看一道相类似的试题。基于此，我们不难发 现高考与竞赛之间有着紧密的联系。这也就 提醒着我们的同学在平时学习过程中要对竞 赛类的试题也要有所接触，但不宜钻的过深。 造成基础不扎实，影响整体水平的发挥。只 需要对竞赛类的试题的处理方法有一定的了 解，掌握这类试题的分析和讨论的切入点， 以提高自身的应变能力。因为大多数的竞赛 试题在思维上，还是在创新上，都有着一定 的技巧。
琴生不等式
函数的凹凸性的判定定理：设在ƒ(χ)区间 (a,b)内具有二阶导数， 1若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)>0（ƒ₂(χ)为二阶 导数，下同），则函数ƒ(χ)在(a,b)是下凸 的； 2若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)<0，则函数ƒ(χ) (a,b)是上凸的。 这个定理高诉我们，要定出函数的凹凸性， 只要在函数的考察内，定出的同号区间以及 相应的符号。
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March凸函数的性质及其在证明不等式中的应用数学计算机科学学院摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果.关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用Nature of Convex Function and its Application in ProvingInequalitiesChen Huifei, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).We also have promoted and proved some inequality (Triangle inequality, Jensen inequality) and reached new results.Key words : Convex function;Logarithmic convex function ; Jensen inequality; Hadamard Inequality;Application1 引言在很多数学问题的分析与证明中，我们都需要用到凸函数，例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中.凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数,即曲线位于每一点切线的下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数.本文试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其作用.2 概念2.1 凸函数的定义上面对凸函数作了直观的描述，我们用分析式子给出其精确定义.定义[1]2.1设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，若对[,]a b 上任意两点12,x x 和正数λ∈（0,1）,总有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+- (A)则f 为区间[,]a b 上的凸函数.（同时也称为上凸函数，若是不等号反向则称为下凸函.）定义[1]2.2 若函数()f x 在D 上是正的,且ln ()f x 在D 上是下凸函数,则称()f x 是D 上的对数下凸函数这时, 对于任意,x y D ∈ 和(0,1)λ∈,有ln [(1)]ln ()(1)ln ()f x y f x f y λλλλ+-≤+-. 即(1)[(1)]()()f x y f x f y λλλλ-+-≤ (B)如果(2) 中的不等号反向,则称()f x 是D 上的对数上凸函数.2.2 对数凸函数的性质我们已经有了凸函数以及对数凸函数的定义，现在我们来看一下对数的一些引理，定理及其性质等.定理 2.1[2] (对数下(上) 凸函数的判定定理) 设()f x 是D 上的正值函数,且在D 上有二阶导数,则()f x 在D 上为对数下(上) 凸函数的充要条件为对于任意x ∈D ,有2()()(())0(0)f x f x f x '''-≥≤先证下引理引理 2.1[2] （1) 若()g x 是[,]a b 上的下(上) 凸函数,则()()g x f x e = 为[,]a b e e 上的对数下(上) 凸函数.（2) 若()f x 是[,]c d 上的对数下(上) 凸函数,则()ln ()g x f x =为[ln ,ln ]c d 上的下(上) 凸数.证明（1) 任取12,[,]c d x x e e ∈,由()g x 在[,]c d 上是下凸函数,对任意01λ<<有()()121212[(1)]()(1)()121()()112[(1)][][]()()g x x g x g x g x g x f x x e e e e f x f x λλλλλλλλλλ+-+---+-=≤==（2）任取12,[ln ,ln ]x x c d ∈ ,由()f x 是[,]c d 上的对数下凸函数,对任意01λ<<有11212121212[(1)]ln [(1)]ln[()][()]ln ()(1)ln ()()(1)()g x x f x x f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλ-+-=+-≤=+-=+-所以()g x 为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)下证定理2.1[2] “⇐” 设[,]D c d =，()ln ()g x f x =，则 ()()[ln ()]()f xg x f x f x '''==，22()()[()]()()f x f x f x g x f x '''-''= 所以()g x 是为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,根据引理1 得()ln ()()g x f x e e f x ==为[ c ,d] 上的对数下凸函数“⇒” 若()f x 为[,]c d 上的对数下凸函数,由引理1 得()ln ()g x f x =为区间[ln ,ln ]c d 上的下凸函数,从而()0g x ''≥ ,对()ln ()g x f x =求二阶导数即得2()()(())0f x f x f x '''-≥. (用类似方法可证上凸的情形) .推论2.1[2] 设12(),()f x f x 是D 上的对数下(上) 凸函数,则1212()(),()()f x f x f x f x +也是D 上的对数下(上) 凸函数证明：设1212()()(),,,(0,1)g x f x f x x x D λ=+∀∈∈121122121111112221221121122212((1))((1))((1))()()()()[()()][()()]()()g x x f x x f x x f x f x f x fx f x f x f x f x g x g x λλλλλλλλλλλλλλ----+-=+-++-≤+≤+⨯+= 其中(A) 由..H older 不等式得到根据定义 2.2 得出1121()()f x f x +是D 上的对数下凸函数.122112[()()]()()()()f x f x f x f x f x f x '''=+12211212[()()]()()2()()()()f x f x f x f x f x f x f x f x ''''''''=++2121212222221111222[()()][()()]{[()()]}(){()()[()]}(){()()[()]}0f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x '''-=''''''-+-≥根据定理2.1 得12(),()f x f x 是D 上的对数下凸函数. (用类似方法可证上凸的情形)用数学归纳法可将推论1 推广到有限情形.推论 2.2[2] 设()f x 是定义在D 上的正值函数,1) 若()f x 是对数下凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数上凸函数. 2) 若()f x 是对数上凸函数,则1()f x 在区间D 上是对数下凸函数. 证明 1) 设1()()x f x φ=22322224241()()()2(())()(),()[]()()()()()2(())()()()(())()()[()][][][]()()()f x f x f x f x x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x x x f x f x f x φφφφφ''''-''''==-=-'''''''--'''-=--=-显然是小于0的，所以1()()x f x φ=是对数上凸函数，同理可证2) . 定理 2.2[2] (Jensen 型不等式) 设()f x 是D 上的正值对数下凸函数, 12,01, (1)i i n x D λλλλ∈<<+++=12112212(...)()()...()n n n n f x x x f x f x f x λλλλλλ+++≤ （*）若()f x 是D 上的正值对数上凸函数,则(*) 中不等号反向.证明 (用数学归纳法) 当2n =时，由定义2.2 知不等式(*) 成立. 假设n k =时不等式(*) 成立,即121122121(...)()()...()(1,0)kkk k k i i i f x x x f x f x f x λλλλλλλλ=+++≤=>∑ ,(1,2,...,1),i x D i k ∈=+设1(1,0)ki i i λλ==>∑111211121111221111111121111211[...()()]()()...()()()()...()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x f x x x x x f x f x f x f f x f x f x f x f x λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ-+-+++--++++++-++-+++++++++≤+≤++ 所以当1n k =+时,不等式(*) 成立,从而对于一切自然数(2)n n ≥ 不等式(*) 成立. 用同样方法可证明上凸情形.当然这里的定理对凸函数也是成立的.在下面的运算性质中有介绍.也就是下面的Jensen 不等式 1,Jensen 不等式 2.引理 2.2[2] (凸函数的Hadamard 不等式) 设()x φ是区间D 上的下凸函数则对于任意,.a b D a b ∈≤有11()[()()]22b a a b x dx a b b aφφφφ+⎛⎫≤≤+ ⎪-⎝⎭⎰ （#） 若()x φ是区间D 上的上凸函数,则对于任意,.a b D a b ∈≤,(#)中不等号反向.定理 2.3[2] ( Hadamard 型不等式) 设():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则11()()[()()]2ln ()ln ()b a a b f f x dx f b f a b a f a f b +≤≤---⎰ （@） 若():[,](0,)f x a b →+∞对数下凸函数,则(5) 中不等号反向. 证明 由引理2.1 和引理2.2有1ln ()ln ()11ln ()()lim lim lim n f a bbf x naan i f a nn n b a f x dx edx e n +∆→∞=+∆→∞→∞-==≥=∑⎰⎰nn 由平均值i=1（b-a ）e（b-a ）11(ln ())()2lim ()ln ()()()()2ni b aif a bnn b aan a blmf b a ef x dxa bb a eb a f =-+∆-→∞+∑==-+≥-=-⎰1b-a （b-a)e（其中b a ∆=-）又令()ln ()x f x φ=，根据定义2.1，对于a x b <<，有()()()()()a b x b x a x b aφφφ-+-≤-()()()()()()ln ()()()()()()()()()()()exp()|()()[]()()ln ()ln (b a x b a a b x b x a bbbbf x x b aaaaa b a a b b a a b bbb ab aa ab a f x dx edx edx edxb a b a eedx ex b a b a b a b a e e b a f b f a φφφφφφφφφφφφφφφφφ-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦-+------==≤--⎡⎤==⎢⎥--⎣⎦--=-=--⎰⎰⎰⎰⎰[()()])f b f a - 定理得证.2．3[3] 凸函数的性质 在讨论了一些对数凸函数的定理，引理，我们来看一看凸函数的运算性质以及它们实用的定理：（1) 若()f x 与()g x 均为区间[,]a b 上的凸函数，则()f x +()g x 也是区间[,]a b 上的凸函数.（2）若()f x 与()g x 为区间[,]a b 上的凸函数，则ⅰ）0λ≥，则()f x λ是[,]a b 上的凸函数；ⅱ）0λ<，则()f x λ是[,]a b 上的凹函数.(3) 设()f x 与()g x 都是[,]a b 上的非负单调递增的凸函数，则()()()h x f x g x =也是[,]a b 上的凸函数.证明：对任意12,x x ∈[,]a b 且12x x <和任意λ∈(0,1)，因()f x 与()g x 在[,]a b 上单调递增，故 ：1212[()()][()()]0f x f x g x g x --≥即： 12211122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +≤+ (1) 又因为()f x 与()g x 在[,]a b 上的凸函数，故1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，2121g(x +(1-)x )g(x )+(1-)g(x )λλλλ≤而()0,()0f x g x ≥≥，设将上面两个不等式相乘，可得2122222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()](1)()()f x xg x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλλ+-+-≤+-++-又由⑴知21212222211211[(1)][(1)]()()(1)[()()()()(1)()()]f x x g x x g x f x f x g x f x g x f x g x λλλλλλλ+-+-≤+-++-=1122(1)()()()()f x g x f x g x λλ-+由凸函数的定义知：()()()h x f x g x =是[,]a b 上的凸函数. 注：1°()f x 与()g x 非负不能少,2°(),()f x g x 单调递增不能少.(4)[4][5] 设()u ϕ是单调递增的凸函数，()u f x =是凸函数，则复合函数[()]f x ϕ也是凸函数.对于其他情况也有类似的情况的命题，如下列：我们也可以看一下单值有反函数的函数的反函数与自身的凸凹性的关系. 如下表：(5) 若()f x 为区间I 内的凸函数，且()f x 不是常数，则()f x 在I 内部不能达到最大值.2.4[3] 凸函数的等价定义和判定设函数f 在区间(,)a b 上有定义，则下列命题彼此互相等价：（1）对任意12,x x ∈(,)a b 及任意恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-（2）对任意i x ∈(,)a b 及任意i p >0. 1,2,...,i n =. 11ni i p -=∑ 恒有11()n ni i i i i i f p x p f x ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ （3）对任意1,2,(,)x x x a b ∈, 12x x x <<,恒有12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x---≤≤---（4）在(,)a b 上曲线在其每一点处具有不垂直于x 轴的左、右切线，并且曲线在左、右切线之上.（5）若在(,)a b 内存在单调递增的函数()x ϕ.以及0x ∈(,)a b ，使得对任意(,)x a b ∈，恒有00()()()xx f x f x t dt ϕ-=⎰，（6）对任意12,x x ∈(,)a b ，12x x <，恒有21121221()()1()22x x x x f x f x f f t dt x x ++⎛⎫≤≤ ⎪-⎝⎭⎰（7）对任意12,(,)x x a b ∈，恒有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于凸函数定义等价性的证明，可参看[4]及[5].对于等价定义（5）事实上，我们也有类似的这样一个定理：定理 2.4 设函数f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，则f 在[,]a b 上为上(下)凸函数（严格上（下）凸函数）的一个必要充分条件f '是在(,)a b 上递增（减）（严格递增（减））.证明 先证条件是必要的.设()12,(,)x x a b ⊂.只要x x '与满足12x x x x '<<<，由于等价定义（3）可知12121212()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x x x '---≤≤'---在上式中令12,x x x x +-'→→，得211221()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.在是严格上凸函数的情形，我们取一点*x 满足*12x x x <<，从而得出**1212**12()()()()()()f x f x f x f x f x f x x x x x --''≤<≤--. 这样就得出了严格的不等式12()()f x f x ''<，必要性得证.再证充分性.设f '是在(,)a b 上递增.对任何()12,x x x ∈，由Lagrange 中值定理，可只存在()12,x x ξ∈与()12,x x η∈，使得11()()()f x f x f x x ξ-'=-，22()()()f x f x f x xη-'=-因为x ξη<<，所以()()f f ξη''≤.从而有1212()()()()f x f x f x f x x x x x--≤--所以，可知函数f 在[,]a b 上为上凸函数.容易看出，当f '严格递增时，()()f f ξη''<.上述不等式中成立着严格的不等号，从而函数f 在[,]a b 上是严格的上凸函数.同理可以证明下凸时的情景.当函数f 在[,]a b 内有二阶导数时，我们有下列应用起来就会更方便的定理 定理 2.5 设函数f 在[,]a b 上连续，f 在(,)a b 内有二阶导数，则f 在[,]a b 上为上凸函数（下凸函数）的充分条件0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立；而f 在[,]a b 上为严格上（下）凸函数的充分必要条件是0(0)f f ''''≥≤在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.证明 第一个结论，由于0f ''≥得出f '在(,)a b 上递增再由定理4可得出.同理可证明下凸时的情景； 第二个结论，先证充分性 由于0f ''≥在(,)a b 内成立并且在(,)a b 的任何开的子区间内f ''不恒等于0.对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，又由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，所以21()()f x f x ''>.所以函数f 在[,]a b 上为严格的凸函数.充分性得证. 再证必要性（反证法） 因为函数f 在[,]a b 上为严格凸函数，对任意12,(,)x x a b ∈，12x x <，则21()()f x f x ''>，而由于2121()()()x x f x f x f x dx ''''=+⎰，若是有一个(,)a b 的子区间恒等于0.不妨设为(,)(,)a b ξη⊂，对任意(,)x ξη∈，()0f x ''=.则由于21()()()x x f f f x dx ηξ''''=+⎰，()()f f ξη''=，这与已知条件相矛盾.所以，必要性得证.同理可证明下凸时的情景. 所以，定理得证.关于凸函数的判定有很多，应用范围最广的是Jensen 不等式.Jensen 不等式 1 设()f x 在区间I 上有定义，()f x 为凸函数，当且仅当12,,...,n x x x I∀∈1212...()()...()n n x x x f x f x f x f n n ++++++⎛⎫≤⎪⎝⎭（J1） 此外，当且仅当12...n x x x === 时，上式等号成立（证明略请参考附[1]）. Jensen 不等式 2 12,,...,[,]n x x x a b ∀∈，12,,...,0n λλλ>，且11ni i λ==∑，1.则()f x 为凸函数的充要条件为：11()()n ni i i i i i f x f x λλ==≤∑∑ （J2）此外，上式当且仅当12...n x x x === 时，等号成立.（证明略请参考附[1]）. 这里对任意12,,...,0n βββ>，若是令1ii nii βλβ==∑，那么就有1111()nni i i i i i n n i i i i x f x f ββββ====⎛⎫ ⎪ ⎪≤⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ (J3) 每个凸函数都有一个Jensen 不等式，Jensen 不等式的应用范围甚广，既可用于求解不等式问题，又可用于证明不等式定理，应用Jensen 不等式解题的关键有两条：一是必须先判明函数的上(下)凸性，二是直接应用Jensen 不等式有困难时，可以根据命题的特点，选择恰当的上凸函数和下凸函数，然后再进行解答.3 凸函数以及对数凸函数的应用在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.证明不等式是凸函数的一个重要应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数.例 1[1] 利用凸函数证明调和平均值H ≤几何平均值G ≤对数平均值L ≤指数平均值E ≤算术平均值A.证明：事实上，我们可以用凸函数理论证明，对任意0(1,2,...,)ix i n 有1212...111...nnx x x n nx x x +++≤≤+++ （2）只要将不等式各部分同时取对数，这时左边的不等式可变为121111...1111ln (ln ln ...ln )n nx x x n n x x x +++-≤----.从而由函数()ln f x x =-在(0,)+∞上的（严格）凸性可得；右边的不等式可直接由()ln g x x =上的(0,)+∞（严格）下凸性可得.（具体证明可参看[2]）为了证明例1 中的连不等式，我们先来看下面两个小题：（1） 设0(1,2,...,)i a i n >=且不全相等，0(1,2,...,)i p i n >=有不等式链11111ln ln exp exp n n nii i i i i i i i i nn n ii i i i n i i p a p a p a a p p p a ======⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （3） 证：凸函数()ln f x x =-的Jensen 不等式：取0i q >，11ni i q ==∑，0(1,2,...,).i a i n >=得11ln ln n n i i i i i i q a q a ==-≤-∑∑ [4] 111ln ln nni i i i i i q q a a ==-≤-∑∑ （5）在[4]中令1iini ii ip a q p a ==∑得 1111exp ln nn niiii ni i i i iii ip p p a p a a a ====⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ （6）又由（4），(5)可得 1111in nq i i i n i i i i ia q a q a ===≤≤∑∏∑ （7）在此令1ini i i p q p ==∑，可得111111ln exp nn ni i i i ii i i n n n ii i i i i ip p a p a p p p a ======⎛⎫ ⎪≤≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑ （8）联立(6),(8)既得证 (3).（2） 设()()f x p x 与在[,]a b 上正的连续函数且()f x ≠常数，在⑻中作代换i b a p p a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，i b a a f a i n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭并在“∑”号后均乘b a n -，由0b a ->，不改变原不等号方向.令n →∞ 便得(3)的积分形式：ln ln exp exp b bb ba aa ab b bba aa ap fdx pdxp fdx pfdx f p p pdx pdxdx dx f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪≤≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(3)'在(3)'中令()1,()p x f x x ==()11ln ln ln ln 2b ab a b a b ab a e ----+⎛⎫≤≤≤⎪-⎝⎭再联立(2)，得出H G L E A ≤≤≤≤.例 2 （1）在锐角ABC ∆中，证明1cos cos cos 2A B C ++≤， （2）12,,...,n a a a 设为正数，证明恒成立12...n a a a n +++≥证明 （1）令()cos()f x x =-，(0,)x π∈.由于()cos()0f x x ''=>，(0,)2x π∈.所以()f x 在(0,)2x π∈上凸函数，所以由于（J1）()()()()33f A f B f C A B C f ++++≥，即cos()cos()cos()s()33A B C A B C co ---++≥-1()2=-即1cos cos cos 2A B C ++≤；（2） 令()ln ,(0,)g x x x =-∈+∞，所以21()0,(0,)g x x x''=>∈+∞，故()g x 是在(0,)+∞上的上凸函数.也是根据（J1）121212121212()()...()...()ln ln ...ln ...ln()ln ln ...ln ...ln()n nn nn n g a g a g a a a a g n n a a a a a a n na a a a a a n n++++++≥++++++-≥-++++++≤即即从而，有12...n a a a n+++≥下面我们再看一个用对数凸函数证明的不等式题. 例 3[2]10,0,12ni i i πλλ=<<>=∑i 设x ，则12112212sin(...)sin sin ...sin n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ （&）12112212cos(...)cos cos ...cos n n n n x x x x x x λλλλλλ+++≥ (%)证明 设()sin()f x x =，由于2()()[()]10f x f x f x '''-=-<，故sin()x 是(0,)2π上的对数凸函数，同理cos()x 也是(0,)2π上对数凸函数.根据定理2即可得（&），(%).例 4 设()f x 在[,]a b 上可积，且()m f x M ≤≤，()t ϕ是在[,]m M 上的连续下凸函数，则11()(())b b a af x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 证明 令,()k n k f f a b a n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，,1()k n x b a n ∆=-.由于()t ϕ是凸函数，故有1,2,,1,2,,...()()...()n n n n n n n n f f f f f f n n ϕϕϕϕ++++++⎛⎫≥⎪⎝⎭. 由定积分的定义，上式就相当于,,,,11()n ni n i n i n i ni i f f b a b a ϕϕ==⎛⎫∆∆ ⎪ ⎪≥-- ⎪⎪⎝⎭∑∑，,1()k n x b a n ∆=-在上式中令n →∞时， 则有11()(())b b a a f x dx f x dx b a b a ϕϕ⎛⎫≥ ⎪--⎝⎭⎰⎰. 命题得证.例 5[7]设,i i a b R +∈，111,2,...,,,n n i i i i i n a b ====∑∑则21112nni i i i i ia a ab ==≥+∑∑.证明 记1ni i s a ==∑，11ni i a s ==∑，将21112nni i i i i i a a a b ==≥+∑∑变为11121n ii i ia b s a =≥+∑，那么取11i ib a +作为函数1()1f x x=+，则由于3()2(1)0f x x -''=+>，再令i i i b x a =，ii a sλ=所以根据凸函数性质和（J3）得出11111211ni n i i i ii i a b s x a λ==≥=++∑∑结论本文主要讨论了凸函数以及对数凸函数一类重要的函数的概念，包括它们的一些定义，性质，定理，引理和它们在证明一些不等式的重要应用.本文介绍了Jensen 不等式，Hadamard 不等式，叙述了一些定理，引理，性质并给出了它们的证明，并指出它们在判断凸函数的应用.本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用.最后举出了一些例题来具体的来体现凸函数以及对数凸函数在不等式证明的应用.参考文献：[1]汪文珑.数学分析选讲[M].绍兴文理学院数学系，2001[2]刘琼.对数凸函数的Jensen型和Hadamard型不等式[J].邵阳学报,邵阳,2005,3[3]查良凇.凸函数及其在不等式证明中的应用[J].浙江工贸职业技术学院学报,绍兴,2005,3[4]燕建梁,张喜善.凸函数的性质及其在不等式证明中的应用[J].太原教育学院学报,太原,2002,4[5]T.M菲赫金哥尔茨普.微积分教程[M].1965: 290-300[6]常庚哲,史济怀.数学分析教程（上册）(M).高等教育出版社，2003:167-176[7]李碧荣.凸函数及其性质在不等式证明中的应用[J].广西师范学院学报,南宁,2004,2[8]白景华.图函数的性质、等价定义及应用[J].开封大学学报,开封,2003,2[9]Satish Shirali, Harkrishan L. Vasudeva. Mathematical analysis[M]. Alpha Science International Ltd., c2006.[10]Tom M. Apostol.Mathematical analysis[M].China Machine Press, 2004.致谢这是本人的第一篇论文，所以在多方面没有指导老师张金洪老师的指导是很难进行下去的.张老师从我的选题开始便给予了很大帮助，在以后的开题，开题报告，初稿的资料搜索，初稿出来后的校正，进一步的改进都给予了极大帮助，使我在论文的完成进程中得以较为平坦地进行下去.在论文的写作的进行中，我同组等同学也给了我很多帮助.在此表示感谢.也在此对我们的学校安徽师范大学以及我校资料室提供这样一个学习环境和帮助，表示感谢.也感谢那在身后的帮助.。
凸函数
§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。
如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。
例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。
定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。
若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。
作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。
Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。
利用拉格朗日中值定理证明琴生不等式的一种形式
利用拉格朗日中值定理证明琴生不等式的一种形式对于定义域为(a,b)的一个凸函数其二阶导数小于0，利用拉格朗日中值定理证明对于任意n≥2且x1,x2,x3……xn∈(a,b)和正数a1,a2,a3……an且a1+a2+a3+……+an=1均满足f(a1x1+a2x2+a3x3+……anxn)>a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)图见下一页传说这个可以改编成高考题哦~~且看原题（2012韶关二模理数最后一题） 请注意：一下所有“L ”为省略号21．(本小题满分14分)已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值.（１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,n x x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .参考答案和评分标准21．(本题满分14分)解：（１）1()1f x m x '=++. 由(0)0f '=，得1m =-，此时()1x f x x '=-+. 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.∴函数()f x 在0x =处取得极大值，故1m =-.…………………………3分 （２）令121112()()()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=----，…………………4分 则1212()()()()f x f x h x f x x x -''=--. Q 函数()f x 在12(,)x x x ∈上可导，∴存在012(,)x x x ∈， 使得12012()()()f x f x f x x x -'=-. 1'，011()()()x x h x f x f x -'''∴=-=-=Q 当10(,)x x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，1()()0h x h x ∴>=； Q 当02(,)x x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，2()()0h x h x ∴>=； 故对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >.…………………………8分 （３）用数学归纳法证明.①当2n =时，121λλ+=Q ，且10λ>，20λ>，112212(,)x x x x λλ∴+∈，∴由（Ⅱ）得()()f x g x >，即121122112211112212()()()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>+-+=+-， ∴当2n =时，结论成立. …………………………9分②假设当(2n k k =≥时结论成立，即当121k λλλ+++=L 时，1122112()()()()k k k k f x x x f x f x f x λλλλλλ+++>+++L L . 当1n k =+时，设正数121,,,k λλλ+L 满足1211k λλλ++++=L ，令12k m λλλ=+++L ，1212,,,kk m m m λλλμμμ===L ， 则11k n m λ++=，且121k μμμ+++=L .112211()k k k k f x x x x λλλλ++++++L1111[()]k k k k f m x x x μμλ++=+++L1111()()k k k k mf x x f x μμλ++>+++L1111()()()k k k k m f x m f x f x μμλ++>+++L1111()()()k k k k f x f x f x λλλ++=+++L …………………………13分 ∴当1n k =+时，结论也成立.综上由①②，对任意2n ≥，n N ∈，结论恒成立. …………………………14分。
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凸函数与琴生不等式一．知识部分知识一、凸函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线 的弧的上方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凸的。
②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的上方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凸的。
此定义说明函数在区间上的凸性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≥+的成立是等价的 推广1. 任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≥+++ 推广2（琴生不等式） 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≤+++说明：此时凸函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是下凸函数知识二、凹函数的概念①第一定义： 函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上满足：任意两点之间的弦都在这两点之间曲线的弧的下方，则称函数)(x f y =在区间],[b a 上是凹的。
②第二定义（几何意义）：函数)(x f y =的图像在区间],[b a 上任意两点),(),,(2211y x y x 连线的中点 )2)()(,2(2121x f x f x x ++一定在曲线弧的中间点))2(,2(2121x x f x x ++的下方，则称函数 )(x f y =在区间],[b a 上是凹的。
此定义说明函数在区间上的凹性与不等式)2(2)()(2121x x f x f x f +≤+的成立是等价的 说明：凹函数)(x f y =也指函数)(x f y =在区间],[b a 上是上凸函数推广1（琴生不等式）.任意],[,,,21b a x x x n ∈ ，有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≤+++ ，当且仅当n x x x ===...21时取等号推广2（琴生不等式一般形式）. 对任意一列1,,,,2121=+++∈+n n a a a R a a a ，函数)(x f 是],[b a 上的凸函数，有)()()()(22112211n n n n x f a x f a x f a x a x a x a f +++≥+++定理1：设函数)(x f 在开区间I 上存在二阶导数：(1)若对任意I x ∈，有0)(>''x f ，则)(x f 在I 上为下凸函数;（)(/x f 递增即0)(>''x f ） (2)若对任意I x ∈，有0)(<''x f ，则)(x f 在I 上为上凸函数．（)(/x f 递减即0)(<''x f ） 定理2（拉格朗日中值定理）：若函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，在开区间()b a ,内可导，则在区间()b a ,内至少存在一点),(b a ∈ξ，使得ab a f b f f --=)()()(/ξ（利用数形证明：割线平移与曲线相切）下面对于一些常用的的函数的凹凸性作一个探讨．（法一：定义法 法二：定理法）（1）对数函数:)10(log ≠>=a a x y a 且若10<<a ，则为下凸函数；若1>a ，则为上凸函数． （2）指数函数)1,0(≠>=a a a y x且为下凸函数． （3）三角函数sin (0,)(,23cos (,)(,2222tan (,0)(022y x x x y x x x y x x x πππππππππ=∈∈=∈-∈=∈-∈，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;）是下凸函数;，是上凸函数;，）是下凸函数.（4）二次函数:)0(2≠++=a c bx ax y若0>a ，则为下凸函数；若0<a ，则为上凸函数．（5）反比例函数:)0(≠=k xky 当0>k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为上凸函数；若),0(+∞∈x ，则为下凸函数． 当0<k 时: 若)0,(-∞∈x ，则为下凸函数；若),0(+∞∈x ，则为上凸函数．（6）双勾函数:)0,0(>>+=b a xbax y 当)0,(-∞∈x 时，为上凸函数；当),0(+∞∈x 时，为下凸函数．二．例题部分一．函数的凹凸性及琴生不等式例1.已知0,1,2,,,2i a i n n >=≥ ,求证12na a a n+++≤证明: 令()ln ,0f x x x =>,则()()///211,0f x f x x x==-<,故()f x 在()0,+∞上是凹函数.由Jensen 不等式有：()12121ln ln ln ln n n a a a a a a n n ++++++≤ 。
化简得12na a a n+++≤ 。
【练习】1 在△ABC 中，证明：233sin sin sin ≤++C B A时，取等号当且仅当上是凸函数在分析：最小值的，试求：为定值是一组实数，且若n n n n n n n a a a nk a a a nk n a a a a a a n x x f a a a k k a a a a a a ===≥+++∴=+++≥+++∴+∞-∞=+++=+++ 2122222122221222212222212121)()(1),()()(,,.23 *,0,1,x y x y n N >+=∈，求证：222112n n n x y -+≥证明：构造函数n x y 2=，为上凸函数'sin 'sin 'sin sin sin sin )sin sin (sin 'sin 'sin 'sin sin sin sin 'sin sin 'sin sin 'sin sin ;'''30.42γβαγβαγβαγβαγβααγγββαγβαγβα=∴=⇒⎪⎭⎪⎬⎫====∠=∠=∠=∠=∠=∠︒∠∠∠∆PA PC PC PB PB PA PCB PBA PAC PCA PBC PAB PCA PBC PAB ABC P 依正弦定理有：、、，且、、证：设；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒<︒≥︒≤∴≤∴≤∴30150,3021sin ,)21(sin sin sin 3γγβαααγβαγβα中必有一个满足、时，否则中必有一个角满足、、在Q 3sin sin sin 233sin sin sin 2360sin )3sin()sin sin (sin 31),0(sin ππ=====≤++=︒=++≤++=C B A C B A C B A C B A C B A x y 666)21()6'''(sin )6'sin 'sin 'sin sin sin sin (=+++++≤+++++≤γβαγβαγβαγβα二．拉格朗日中值定理“下嫁”高考一、证明()f x a x >或()f x a x<成立（其中0x >） [2]例：（2007年高考全国卷I 第20题）设函数()x x f x e e -=-.（Ⅰ）证明：()f x 的导数()'2f x ≥； （Ⅱ）证明：若对所有0x ≥，都有()f x ax ≥ ，则a 的取值范围是(,2]-∞.（Ⅰ）略.（Ⅱ）证明：（i ）当0x =时，对任意的a ，都有()f x ax ≥(ii)当0x >时，问题即转化为x x e e a x--≤对所有0x >恒成立.令()()()00x xf x f e e G x x x ---==-，由拉格朗日中值定理知()0,x 内至少存在一点ξ（从而0ξ>），使得()()()'00f x f f x ξ-=-，即()()'G x fe e ξξξ-==+，由于()()''000f e e e e ξξξξ--=-=->，故()'f ξ在()0,x 上是增函数，让0x → 得()()()''min 02G x f e e f ξξξ-==+≥=，所以a 的取值范围是(,2]-∞.评注：第(2)小题提供的参考答案用的是初等数学的方法.即令()()g x f x ax =-，再分2a≤和2a > 两种情况讨论.其中，2a>又要去解方程()'0g x =.但这有两个缺点：首先，为什么a 的取值范围要以2为分界展开.其次，方程()'0g x =求解较为麻烦.但用拉格朗日中值定理求解就可以避开讨论，省去麻烦. 二、证明()()()2(),2a b g a g b g b a b a λ+⎛⎫+-<->⎪⎝⎭成立例：（2004年四川卷第22题）已知函数()()ln(1),ln f x x x g x x x =+-=.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）设02a b a <<<，证明：()()2()ln 22a b g a g b g b a +⎛⎫+-<- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：依题意，有()'ln 1g x x =+()()()()2222a b a b a b g a g b g g b g g g a ++⎛+⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由拉格朗日中值定理得，存在,,,22a b a b a b λμ++⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得 ()()()()()()''ln ln 2222a b a b b a b a g b g g g a g g μλμλ+⎛+⎫--⎛⎫⎛⎫---=-∙=-∙ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()4lnln ln ln 2222b a b b a a b ab a a a μλ---=∙<∙<∙=-评注：对于不等式中含有()()(),,2a b g a g b g a b +⎛⎫<⎪⎝⎭的形式，我们往往可以把()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫- ⎪⎝⎭，分别对()2a b g g a +⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2a b g b g +⎛⎫- ⎪⎝⎭两次运用拉格朗日中值定理.三、证明()()()1212f x f x x x λ->-成立[3][4]例： (2OO6年四川卷理第22题)已知函数()()22ln (0),f x x a x x f x x=++>的导函数是()'f x ，对任意两个不相等的正数12,x x ，证明：（１）当0a ≤时，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（２）当4a ≤时，()()''1212f x f x x x ->-.证明：（１）不妨设12x x <，即证()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由拉格朗日中值定理知，存在12121122,,,22x x x x x x ξξ++⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12ξξ<且 ()1222x x f x f +⎛⎫- ⎪⎝⎭()'2122x x f ξ-=∙，()()'12211122x x x x f f x f ξ+-⎛⎫-==∙ ⎪⎝⎭又'22()2a f x x x x=-+， ()''3242a f x x x =+-.当0a ≤时，()''0f x ≥.所以'()f x 是一个单调递减函数，故()()''12f f ξξ<从而()()12122122x x x x f x f f f x ++⎛⎫⎛⎫->-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，因此命题获证．（２）由()22ln f x x a x x =++得，'22()2af x x x x=-+，令()()'g x f x =则由拉格朗日中值定理得：()()()'1212()g x g x g x x λ-=-下面只要证明：当4a ≤时，任意0λ>,都有()'1g λ>，则有()'324g 21a x x x=+->，即证4a ≤时，24a x x <+恒成立.这等价于证明24x x +的最小值大于4.由于22422x x x x x +=++≥当且仅当x =时取到最小值，又4a ≤<故4a ≤时，32421ax x +->恒成立.所以由拉格朗日定理得：()()()()''12121212()g x g x g x x g x x x x λλ-=-=->-. 评注：这道题用初等数学的方法证明较为冗长，而且技巧性较强.因而思路较为突兀，大多数考生往往难以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理证明，思路较为自然、流畅.体现了高观点解题的优越性，说明了学习高等数学的重要性.四、证明()()()1212f x f x x x λ->-或()()()1212f x f x x x λ->-成立 例：（2008年全国卷Ⅱ22题）设函数()sin 2cos xf x x=+.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围. （Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：当0x =时，显然对任何a ，都有()f x ax ≤；当0x >时，()()()00f x f x f x x -=- 由拉格朗日中值定理，知存在()0,x ξ∈，使得()()()()'00f x f x f f x x ξ-==-.由（Ⅰ）知()()'22cos 12cos x f x x +=+，从而()()()()''22sin 2cos cos 12cos x x x fx x +-=+.令()''0f x ≥得，()()21,22x k k ππ∈++⎡⎤⎣⎦；令()''0f x ≤得，()2,21x k k ππ∈+⎡⎤⎣⎦.所以在()()21,22k k ππ++⎡⎤⎣⎦上，()'f x 的最大值()()()''max 1223f x f k π=+=在 ()2,21k k ππ+⎡⎤⎣⎦上，()'f x 的最大值()()''max 123fx f k π==.从而函数()'f x 在()2,22k k ππ+⎡⎤⎣⎦上的最大值是()'max13fx =.由k N ∈知，当0x >时，()'f x 的最大值为()'max 13f x =.所以，()'f ξ的最大值()'max 13f ξ=.为了使()'f a ξ≤恒成立，应有()'max f a ξ≤.所以a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 评注：这道题的参考答案的解法是令()()g x ax f x =-,再去证明函数()g x 的最小值()min 0g x ≥.这与上述的思路是一样的.但首先参考答案的解法中有个参数a ,要对参数a 进行分类讨论;其次为了判断()g x 的单调性,还要求()'0g x ≥和()'0g x ≤的解,这个求解涉及到反余弦arccos3a ,较为复杂.而用拉格朗日中值定理就可以避开麻烦，省去讨论.再次体现了高观点解题的优越性.五、证明()0,()f x x a >>成立，（其中()0f a =） 例：（2007年安徽卷18题）设()()20,1ln 2ln 0a f x x x a x x ≥=--+>.（Ⅰ）令()()'F x xfx =，讨论()F x 在()0,+∞内的单调性并求极值；（Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+. （Ⅰ）略；（Ⅱ）证明：即证()0f x >，由于1x >，则()()()111f x f x f x x -=--.由拉格朗日中值定理得，存在()1,x ξ∈，使得()()()'11f x f f x ξ-=-.由（Ⅰ）的解题过程知()'221ln af x x x x =-+，所以()()''22222222ln ln 1a f x x x a x x x x=-+-=--.令()''0f x ≥得，1a x e +≥.令()''0f x ≤得，11a x e +≤≤.故()'f x 在()1,x ∈+∞上最小值()()'1min af x f e+=()1111212210a a a a a a e e e e +++++-=-+=>.所以()()''min 0f f x ξ≥>.从而()01f x x >-.又1x >，则()0f x >成立，从而当0x >时，2ln 2ln 1x x a x >-+成立.评注：这道题的参考答案是用（Ⅰ）中()F x 在()0,+∞内的极小值()20F >得到()()'0F x x f x =>.又1x >，所以()'0f x >.从而()f x 在()1,+∞上单调递增,故()f x 的最小值()()min 10f x f >=，所以2ln 2ln 1x x a x >-+.但是如果没有（Ⅰ），很难想到利用()()'F x xf x =来判断()f x 的单调性.而用拉格朗日中值定理证明，就不存在这个问题.六、证明()()1212f x f x x x λ->-或()()1212f x f x x x λ-<-（其中12x x ≠）例：（2009年辽宁卷理21题） 已知函数21()(1)ln ,12f x x ax a x a =-+-> （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）证明：若5a <，则对任意()12,0,x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--.（Ⅰ）略； （Ⅱ）()'1212()()f x f x f x x ξ-=-.由（Ⅰ）得，()'1a f x x a x -=-+.所以要证1212()()1f x f x x x ->--成立，即证()'11a fa ξξξ-=-+>-.下面即证之.令()2(1)1g a a ξξξ=--+-，则()()()()214115a a a a ∆=---=--.由于15a <<，所以0∆<.从而()0g ξ>在R 恒成立.也即21a a ξξξ-+->-.又()12,x x ξ∈，()12,0,x x ∈+∞，故0ξ>.则211a a ξξξ-+->-，即()'11a f a ξξξ-=-+>-，也即1212()()1f x f x x x ->--. 评注：这道题（Ⅱ）小题存在两个难点：首先有两个变量12,x x ；其次a 的值是变化的.参考答案的解法是考虑函数()()g x f x x =+.为什么考虑函数()()g x f x x =+？很多考生一下子不易想到.而且()'g x 的放缩也不易想到.拉格朗日中值定理是数学分析的一个重要定理.是解决函数在某一点的导数的重要工具.近年来，不少高考压轴题以导数命题，往往可以用拉格朗日中值定理求解.固然，这些压轴题用初等数学的方法也可以求解.但初等数学的方法往往计算量较大.这时，用拉格朗日中值定理交易解决.充分体现了高等数学的优越性，有力反驳了“高数无用论”的错误的想法.从而使学生感受到高等数学与初等数学的联系，增加学习的兴趣.从以上六道题目与参考答案不同的解法中，我们可以感受到高等数学对初等数学具有居高临下的指导作用.近几年，高观点下的高考命题颇受命题者的青睐.因此加强对高等数学的研究就显得很有必要.练习：已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值. （１）求实数m 的值；（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；（３）已知正数12,,,n λλλL ，满足121n λλλ+++=L ，求证：当2n ≥，n N ∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,nx x x L ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>L 1122()()()n n f x f x f x λλλ+++L .解：（１）1()1f x m x '=++. 由(0)0f '=，得1m =-，此时()1xf x x '=-+. 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，函数()f x 在区间(1,0)-上单调递增； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递减.∴函数()f x 在0x =处取得极大值，故1m =-.…………………………3分（２）令121112()()()()()()()()f x f x h x f x g x f x x x f x x x -=-=----，…………………4分则1212()()()()f x f x h x f x x x -''=--.Q 函数()f x 在12(,)x x x ∈上可导，∴存在012(,)x x x ∈，使得12012()()()f x f x f x x x -'=-.1()11f x x '=-+Q ，000011()()()11(1)(1)x x h x f x f x x x x x -'''∴=-=-=++++ Q 当10(,)x x x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，1()()0h x h x ∴>=； Q 当02(,)x x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，2()()0h x h x ∴>=；故对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >.…………………………8分 （３）用数学归纳法证明.①当2n =时，121λλ+=Q ，且10λ>，20λ>，112212(,)x x x x λλ∴+∈，∴由（Ⅱ）得()()f x g x >，即121122112211112212()()()()()()()f x f x f x x x x x f x f x f x x x λλλλλλ-+>+-+=+-，∴当2n =时，结论成立. …………………………9分②假设当(2)n k k =≥时结论成立，即当121k λλλ+++=L 时，11221122()()()()kk kk f x x x f x f x f x λλλλλλ+++>+++L L . 当1n k =+时，设正数121,,,k λλλ+L 满足121k λλλ++++=L ，令12km λλλ=+++L ，1212,,,kk m mmλλλμμμ===L ， 则11k n m λ++=，且121k μμμ+++=L .112211()k k k k f x x x x λλλλ++++++L11 1111[()]k k k k f m x x x μμλ++=+++L1111()()k k k k mf x x f x μμλ++>+++L1111()()()k k k k m f x m f x f x μμλ++>+++L1111()()()k k k k f x f x f x λλλ++=+++L …………………………13分 ∴当1n k =+时，结论也成立.综上由①②，对任意2n ≥，n N ∈，结论恒成立. …………………………14分。