琴生不等式1
琴生（Jensen）不等式
所以
( ) k+1
k+1
∑
∑
i= 1 λif(xi) ≥ f i= 1 λixi
证毕
Processing math: 100%
3）假设 n = k 时，琴生不等式成立，即
( ) k
k
∑
∑
i= 1λif(xi) ≥ f i= 1λixi ,
k
∑
i= 1λi = 1
则 n = k + 1 时：
∑ ∑ ∑ (∑ ) k+1
k
k λi
k λi
i= 1 λif(xi) = k + 1f(xk + 1) + i= 1λif(xi) = λk + 1f(xk + 1) + Ci= 1 C f(xi)kλi ≥ λk + 1f(xk + 1) + Cf i= 1 C xi
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琴生（ Jensen）不等式
若 f(x) 是区间 [a, b] 上的凹函数，则对任意的 x1, x2, . . . , xn ∈ [a, b]，且 ∑ni=1λi = 1, λi > 0，有不等式
( ) n
n
∑
∑
i= 1λif(xi) ≥ f i= 1λixi
当且仅当 x1 = x2 = . . . = xn 时等号成立。 证明：
证明过程采用数学归纳法。
1）当 n = 1 时，λ1 = 1，则不等式左侧为 f(x1)，不等式右侧为 f(x1)，不等式显然成立。
2）当 n = 2 时，λ1 + λ2 = 1，不等式左侧为 λ1f(x1) + λ2f(x2)，不等式右侧为 f(λ1x1 + λ2x2)，参考博客：，可知不等式成立。
琴生不等式
琴生不等式
琴生不等式是以丹麦数学家约翰·琴生（JohanJensen）命名的一个重要不等式。
琴生不等式也译为詹森不等式，它的本质是对凸函数性质的应用。
琴生不等式在证明不等式中发挥着巨大的作用，应用琴生不等式往往比借助任何一般性的理论都要容易得多。
函数凸凹性在高中阶段是没有做具体要求的，实际上这是高等数学研究的函数重要性质之一，但它的身影在练习题目和高考试题中却经常出现。
这也充分说明了高考命题源于课本，又高于课本的原则，同时也体现了高考为高校输送优秀人才的选拔性功能。
当然函数凹凸性的应用非常广泛，今天我们就从函数凸凹性的另一个终极定理——琴生不等式在高考题中的应用进行简单的研究。
一·琴生不等式
1·琴生不等式：
2·加权形式：
二·琴生不等式的应用1·证明代数不等式：
2·证明三角不等式：
3·证明数列不等式：。
琴生不等式
琴生不等式一、函数的凹凸性设连续函数()y f x =的定义域为(,)a b ，对于(,)a b 内任意两数12,x x ，如果都有：1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称函数()y f x =为(,)a b 上的凹函数；如果都有：1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称函数()y f x =为(,)a b 上的凸函数。
二、函数凹凸性证明的方法函数()y f x =的二阶导数''()0f x ≥⇔函数()y f x =为凹函数； 函数()y f x =的二阶导数''()0f x ≤⇔函数()y f x =为凸函数。
三、琴生不等式与凹凸函数的性质若函数()y f x =为区间(,)a b 上的凸函数：则对任意的12,,,(,)n x x x a b ∈，都有不等式1212()()()()nn x x x f x f x f x f nn++++++≤成立。
若函数()y f x =为区间(,)a b 上的凹函数：则对任意的12,,,(,)n x x x a b ∈，都有不等式1212()()()()nn x x x f x f x f x f nn++++++≥成立。
四、常见的凹凸函数凸函数：()sin ,cos ,ln f x x x x = 凹函数：23(),,x f x x x e = 五、例题讲解1、若函数()sin f x x =在区间(0,)π上是凸函数，则在ABC ∆中，sin sin sin A B C ++的最大值是 。
2、函数()ln ,0f x x a b =<<，若1(),(()())22a b p f q f r f a f b +===+，则下列关系式中正确的是（ ）A. q=r<pB. q=r>pC. p=r<qD. p=r>q3、求2sin sin 2y x x =+的最大值。
琴生不等式【学生版】
自招竞赛 数学讲义琴生不等式和幂平均不等式不等式问题在高考中较为简单，但是在自招和竞赛中，是非常重要且富于变化的一类问题。
在复旦大学近三年自主招生试题中，不等式题目占12%，其中绝大多数涉及到不等式的证明；交大华约中，不等式部分通常占10%-15%，其中还会涉及到一些考纲之外的特殊不等式。
本节介绍了琴生不等式以及它的一些简单推论诸如加权琴生和幂平均不等式，希望借助这些补充知识给同学们解决不等式问题提供一个思考的方向。
琴生不等式1. 凸函数的定义：设连续函数()f x 的定义域为[],a b ，对于区间[],a b 内任意两点12,x x ，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤，则称()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数； 反之，若有1212()()()22x x f x f x f ++≥，则称()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数。
常见的下凸（凸）函数有x y a =，[0,)2π上的tan y x =，R +上的2y x =，3y x =等常见的上凸（凹）函数有[0,)2π上的sin y x =，cos y x =，R +上的ln y x =等2. 琴生(Jensen)不等式若()f x 为[],a b 上的下凸（凸）函数，则1212()()()()n n x x x f x f x f x f n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤上式等号在12...n x x x ===时取到反之显然：若()f x 为[],a b 上的上凸（凹）函数，则上式不等号反向 琴生(Jensen)不等式证明（数学归纳）：1）2n =时，由下凸（凸）函数性质知结论成立；2）假设n k =时命题成立，即1212()()()()k k x x x f x f x f x f k k++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤那么当1n k =+时，设12111k k x x x A k ++++⋅⋅⋅+=+，1211111(1)(1)(1)()()()22k k k k k k x x x x k A k A k A k k f A f f k +++++++⋅⋅⋅++-+++-==11111()(1)()(1)()11[()()][]22ki k k i k k k f x x k A f x k f A f A f k k k++=+++-+-≤+≤+∑所以112112()()()()()(1)()k k k k kf A f x f x f x f x k f A +++≤++⋅⋅⋅+++-所以1121(1)()()()()()k k k k f A f x f x f x f x +++≤++⋅⋅⋅++，变形即得证。
琴生不等式 二阶导
琴生不等式二阶导
（原创版）
目录
1.琴生不等式的定义
2.琴生不等式的性质
3.琴生不等式与二阶导数的关系
4.琴生不等式的应用实例
正文
琴生不等式（Jensen"s Inequality）是一种在数学分析中常见的不等式，主要用于研究函数的凸性和二阶导数。
琴生不等式可以描述为：对于任意实数 a 和 b，以及任意凸函数 f(x)，有 f(a+b)/2 >= (f(a) + f(b))/2。
琴生不等式的性质包括：
（1）如果 f(x) 是偶函数，即 f(x) = f(-x)，那么琴生不等式可以转化为：f(a-b)/2 >= (f(a) - f(b))/2。
（2）如果 f(x) 是凹函数，即对于任意的 x1 和 x2，有 f(x1+x2) >= f(x1) + f(x2)，那么琴生不等式可以进一步强化为：f(a+b) >= f(a) + f(b)。
琴生不等式与二阶导数有着紧密的联系。
如果一个函数 f(x) 满足琴生不等式，那么它的二阶导数一定大于等于 0，即 f""(x) >= 0。
反过来，如果一个函数的二阶导数大于等于 0，那么它一定满足琴生不等式。
琴生不等式的应用实例非常广泛，例如在经济学中的效用最大化问题，物理学中的波动方程，以及机器学习中的损失函数设计等等。
在实际应用中，我们通常通过琴生不等式来判断一个函数的凸性，从而确定它的最优解。
总的来说，琴生不等式是一种强大的数学工具，它可以帮助我们理解和解决许多实际问题。
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琴生不等式的几何解释,凸组合
琴生不等式的几何解释,凸组合1.引言琴生不等式是数学中的一个重要定理，它描述了凸集合上的非负线性组合。
凸组合是一个凸集合中的重要概念，它与琴生不等式密切相关。
本文将从凸组合的定义入手，阐述琴生不等式的几何解释，并对其应用进行探讨。
2.凸集合和凸组合的定义2.1 凸集合凸集合是指在集合中任意两点之间的连线都包含在该集合内的集合。
对于集合内的任意两点a和b，当且仅当点(a+b)/2也属于该集合时，这个集合被称为凸集合。
凸集合具有非常重要的性质，在许多数学领域中都有广泛的应用。
2.2 凸组合凸组合是凸集合上一个非常重要的概念。
对于一个给定的凸集合S，取S中的n个点x1, x2, ..., xn，以及n个非负实数λ1, λ2, ..., λn，满足λ1+λ2+...+λn=1，即为一个凸组合。
凸组合的定义十分简单，但其在数学中的应用却是非常广泛的。
3.琴生不等式的几何解释琴生不等式是一个描述凸集合上的非负线性组合的重要定理。
琴生不等式的几何解释主要是指，对于一个凸集合S上的n个点x1, x2, ..., xn，以及n个非负实数λ1, λ2, ..., λn，满足λ1+λ2+...+λn=1，那么λ1x1+λ2x2+...+λnxn一定属于S。
凸组合在凸集合上的线性组合仍然属于该凸集合。
这就是琴生不等式的几何解释，它告诉我们对于凸集合上的凸组合，其线性组合依然属于该凸集合。
4.琴生不等式的应用琴生不等式在数学中有着广泛的应用，尤其在凸优化、凸分析等领域中起到了非常重要的作用。
在凸优化中，琴生不等式被广泛应用于描述凸集合上的非负线性组合，在凸分析中，琴生不等式则被运用于研究凸函数的性质和结构。
5.结论琴生不等式是数学中一个重要的定理，它描述了凸集合上的非负线性组合。
凸组合作为凸集合的一个重要概念，与琴生不等式密切相关。
通过凸组合的定义和琴生不等式的几何解释，可以更好地理解琴生不等式在数学中的应用和意义，这对于深入理解凸集合的性质和结构，以及在凸优化、凸分析等领域中的应用具有重要的意义。
琴生不等式及不等式综合(教师)
第四章 琴生不等式一、函数的凹凸性：定义：设连续函数()f x 的定义域为 (a ，b )，如果对于 (a ，b )内任意两数x 1，x 2，都有1212()()()22x x f x f x f ++≤①则称()f x 为 (a ，b )上的下凸函数．注：1．若把①式的不等号反向，则称这样的()f x 为区间 (a ，b )上的上凸函数．（或凹函数）2．下凸函数的几何意义：过()y f x =曲线上的任意两作弦，则弦的中点必在该曲线的上方（或曲线上）．二、琴生不等式：若()f x 是区间 (a ，b ) 上的凸函数，则对任意的点x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )，有12121()[()()()]nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++取“=”条件：x 1 = x 2 = … = x n 证明：注：更一般的情形：设()f x 是定义在区间 (a ，b ) 上的函数，如果对于(a ，b )上任意两点x 1，x 2，有 1212()()()pf x pf x f px qx +≥+（其中1p q R p q +∈+=，，），则称()f x 是(a ，b ) 上的下凸函数．其推广形式，即加权的琴生不等式：设12121n n q q q R q q q +∈+++=，，，，且，若()f x 是区间 (a ，b ) 上的下凸函数，则对任意的x 1，x 2，…，x n ∈(a ，b )有11221122()()()()n n n n f q x q x q x q f x q f x q f x +++≤+++．取“=”条件：12n x x x ===说明：以上各不等式反向，即得凹函数的琴生不等式． 例1 证明：(1) ()sin f x x =在[0)π，上是上凸函数(2) ()lg g x x =在(0)+∞，上是上凸函数 (3) ()tan )2h x x π=在[0，上是下凸函数证明：(1) 对12[0)x x π∀∈，，121212121212()()1(sin sin )sin cos sin ()222222f x f x x x x x x x x xx x f ++-++=+=≤=(2) 对12[0)x x ∀∈∞，，+1212lg lg lg 22x x x x++=≤ 即：1212()()()22g x g x x xg ++≤．(3) 当1202x x π≤<，时1212121212121212sin sin sin()2sin()tan tan cos cos cos cos cos()cos()x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+==++-1212122sin()2tan cos()12x x x x x x ++≥=++ （∵sin tan 1cos 2ααα=+）即：1212()()()22h x h x x xh ++≥．例2 用琴生不等式证明均值不等式n n A G ≥，即：12nn i a a a a R n++++∈≥，则证：∵i a R +∈设()lg f x x =，则()f x 为(0)+∞，上的上凸函数 由琴生不等式：12121(lg lg lg )lg nna a a a a a n n ++++++≤即12na a a n+++≤例3 a b c+∈R ，，，且a + b + c = 39．证明：设()f x =()(0)f x ∞为，+上的凹函数．由琴生：1[()()()]()(1)333a b cf a f b f c f f ++++≤==∴ ()()()9f a f b f c ++≤．例4 ()f x 定义在 (a ，b ) 上，()f x 在 (a ，b ) 上恒大于0，且对12()x x a b ∈，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥． 求证：当12()n x x x a b ∈，，，时，有1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．证明：由题：对12()x x a b ∀∈，，，有21212()()[()]2x x f x f x f +≥，两边取常对： 则有1212lg ()lg ()2lg ()2x x f x f x f ++≥ 即1212lg ()lg ()lg ()22f x f x x xf ++≥于是：令()lg ()g x f x =，则()g x 为(a ，b ) 上的凸函数 由琴生不等式：对12()n x x x a b ∈，，，，有1212lg ()lg ()lg ()lg ()n nf x f x f x x x x f n n ++++++≥即1212()()()[()]n nn x x x f x f x f x f n+++≥．三个重要的不等式强化练习 （均值、柯西、排序不等式）1． 用柯西不等式证明：若(1)i a R i n +∈=，求证：21212111()()n na a a na a a ++++++≥． 证：由柯西222222212()][()()()]n na n a a a ++++++≥．2． 设1211i n a R i n a a a +∈=+++=，，且．求证：222221212111(1)()()()n n n a a a a a a n+++++++≥证明：由柯西：22221111111111()1[1()][][11]nnnn nnii ii i i i i i i i i ia a a a a a a ======+≥+=+=+∑∑∑∑∑∑ 222111[1](1)nnii i ia n a ===+≥+∑∑ ∴ 222111()(1)ni i i a n a n=+≥+∑． 3． 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相等的正整数．证明：32122211112323na a a a n n++++≤++++． 证明：设b 1，b 2，…，b n 是a 1，a 2，…，a n 的一个排序，且b 1 < b 2 < … < b n又由于221112n <<<，由排序不等式 1212222211111122nnb b b a a a n n +++≤+++ ① (反序和) (乱序和)另一方面，∵ 1212n b b b n ≥≥≥，，， ∴ 212211122nb b b n n +++≤+++② 由①②知：212211122na a a n n +++≤+++ 其中，a k = b k = k 时，取“=”号．4． 若a b c R +∈，，，求a b cb c c a a b+++++的最小值． 解：不妨设111a b c b c c a a b≥≥≥≥+++，则 由排序不等式，有a b c b c ab c c a a b b c c a a b++≥++++++++（同≥乱） a b c c a bb c c a a b b c c a a b ++≥++++++++（同≥乱） 两式相加，可得32a b c b c c a a b ++≥+++ 当且仅当a = b = c 时取“=”号．。
琴生不等式积分形式
琴生不等式积分形式
琴生不等式是数学中常用的一种不等式，它的积分形式可以表示为：
∫a^b f(x)g(x)dx ≤ (∫a^b f(x)^pdx)^(1/p) * (∫a^b
g(x)^qdx)^(1/q)
其中，f(x)和g(x)是定义在区间[a,b]上的两个非负可积函数，p和q是满足1/p + 1/q = 1的正实数。
琴生不等式的积分形式在数学分析、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
它可以用来证明柯西-施瓦茨不等式、霍尔德不等式等多种数学定理，也可以用来计算各种复杂的积分。
对于初学者来说，学习琴生不等式的积分形式可以提高数学思维和解决问题的能力。
在应用中，对于一些需要估计或计算积分的问题，我们可以通过琴生不等式的积分形式来确定上限或下限，从而得到更为精确的结果。
总之，琴生不等式的积分形式是数学中的一种重要工具，具有广泛的应用价值。
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m+n=p+q，m>p>q>n ❖ 3求证∑ƒ(χĸ)⁄n≥ƒ(∑χĸ)⁄n。
试题分析
❖ 在1问中，如何运用数学归纳法来证明是，而 主要的问题也是集中在对第k→第k+1的处理， 而如何运用所假设更是成了重中之重，难中 之难。在这问中更是涉及到了在数学归纳中 对换元思想的运用，这是在高中数学比较少 见的，体现着数学归纳中蕴涵着的有限与无 限的思维方式。
琴生不等式
琴生不等式
❖ 琴生不等式是由琴生发现的重要不等式，它 在解决有关函数不等式方面的 问题具有重要 作用。它也有多种变通形式，运用时要根据 具体情况而定。
❖ 琴生不等式与函数或曲线的凹凸性相关，其 判定有多种方法，主要是定义法和二阶导数 法。
❖ 若为ƒ(χ)下凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≥ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似有 λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1-λ)χ₂)
高考中的考查
❖ 05年国家集训队试题
❖ 1求证1⁄√(1+λp)+1⁄√(1+λq)+1⁄√(1+λr)≤3⁄√ （1+λ²），其中0<λ≤3⁄2，p,q,r>0。
❖ 2求证1⁄√(1+λp)+1⁄√(1+λq)+1⁄√(1+λr)
❖ ）<2，其中p,q,r>0，
❖ λ>3⁄2。
❖ 在集训队的解释中，其构造了函数ƒ(χ) =1⁄√(1+еΧ)，通过判定ƒ(χ)的一阶和二阶导函数的 正负，并根据p,q,r，所在区间对三者与拐点进行比 较分析，而后在分类讨论。
是琴生不等式的一种形式。
❖ 08年江西卷（22）简化
高考中的考查
❖ 若x,y,z>0,且xyz=8。求证 ❖ 1⁄√(1+x)+1⁄√(1+y)+1⁄√(1+z)<2。 ❖ 作为压轴型的难题，其思维方式也大为迥异。
对考生的思维能力有很高的要求。我们再来 看一道相类似的试题。基于此，我们不难发 现高考与竞赛之间有着紧密的联系。这也就 提醒着我们的同学在平时学习过程中要对竞 赛类的试题也要有所接触，但不宜钻的过深。 造成基础不扎实，影响整体水平的发挥。只 需要对竞赛类的试题的处理方法有一定的了 解，掌握这类试题的分析和讨论的切入点， 以提高自身的应变能力。因为大多数的竞赛 试题在思维上，还是在创新上，都有着一定 的技巧。
❖ 若为ƒ(χ)上凸函数则 (ƒ(χ₁)+ƒ(χ₂))⁄2≤ƒ((χ₁+χ₂)⁄2)，类似有 λƒ(χ₁)+(1-λ)ƒ(χ₂)≤ƒ(λχ₁+(1-λ)χ₂)
琴生不等式
❖ 函数的凹凸性的判定定理：设在ƒ(χ)区间(a,b) 内具有二阶导数，
❖ 1若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)>0（ƒ₂(χ)为二阶导数， 下同），则函数ƒ(χ)在(a,b)是下凸的；
❖ 2若在区间(a,b)内ƒ₂(χ)<0，则函数ƒ(χ) (a,b) 是上凸的。
❖ 这个定理高诉我们，要定出函数的凹凸性， 只要在函数的考察内，定出的同号区间以及 相应的符号。
试题分析
❖ 一若ƒ(χ)满足λ₁+λ₂=1 λ₁ƒ(χ₁)+λ₂ƒ(χ₂)≥ƒ(λ₁χ₁+λ₂χ₂) ❖ 1求证Σλĸƒ(χĸ)≥ƒ(∑λĸχĸ)，其中
❖ 在2问中宜直接对提设的不等式进行变换，有 点定比分点的味道。
❖ 在3问ƒ(χ)=χ㏒₂χ+(1-χ) ㏒₂(1-χ)，求其最小值。 ❖ 2若pĸ满足∑pĸ(1~2ⁿ)=1,pĸ>0。求证 ❖ ∑pĸ㏒₂pĸ≥-n。 ❖ 1问借助导函数很容易判定。 ❖ 2问要用数学归纳原理，有一定的难度，事实上就