014-第14课时函数应用
数学高考复习名师精品教案：第14课时：第二章 函数-二次函数
数学高考复习名师精品教案第14课时：第二章 函数——二次函数一．课题：二次函数 二．教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．三．教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．四．教学过程：（一）主要知识：1．二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．2．二次函数的图象及性质；3．二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．（二）主要方法：1．讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②函数在此区间上的单调性；2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．（三）例题分析：例1．函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 （ A ）()A 0b ≥ ()B 0b ≤ ()C 0b > ()D 0b <分析：对称轴2b x =-，∵函数2([0,)y x bxc x =++∈+∞是单调函数， ∴对称轴2b x =-在区间[0,)+∞的左边，即02b -≤，得0b ≥．例2．已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．解：∵二次函数的对称轴为x =2()(f x a x b =+，又∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩， 122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =+-．例3．已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值 ． 分析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-， ∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2at =， （1）当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）． （2）当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增， 由max 111242y a a =-+-+=，得103a =． （3）当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减， 由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）． 综上可得：a 的值为2a =-或103a =．例4． 已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．解法一：由题知关于x 的方程22(21)20x a x a --+-=至少有一个非负实根，设根为12,x x则120x x ≤或1212000x x x x ∆≥⎧⎪>⎨⎪+>⎩，得94a ≤． 解法二：由题知(0)0f ≤或(0)0(21)020f a >⎧⎪--⎪->⎨⎪∆≥⎪⎩，得94a ≤≤．例5．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，（1）当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =的图象上,A B 两点的横坐标是()f x 的不动点，且,A B 两点关于直线2121y kx a =++对称，求b 的最小值．解：（1）2()3f x x x =--，0x 是()f x 的不动点，则2000()3f x x x x =--=，得01x =-或03x =，函数()f x 的不动点为1-和3．（2）∵函数()f x 恒有两个相异的不动点，∴2()(1)0f x x ax bx b -=++-=恒有两个不等的实根，224(1)440b a b b ab a ∆=--=-+>对b R ∈恒成立， ∴2(4)160a a -<，得a 的取值范围为(0,1)．（3）由2(1)0ax bx b ++-=得1222x x b a +=-，由题知1k =-，2121y x a =-++，设,A B 中点为E ，则E 的横坐标为21(,2221b b a a a -++，∴212221b b a a a -=++，∴2112142ab a a a =-=-≥-++，当且仅当12(01)a a a =<<，即2a =时等号成立， ∴b的最小值为4-． （四）巩固练习：1．若函数2(2)3([,]y x a x x a b =+++∈的图象关于1x =对称则b = 6 ．2．二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．3．m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．。
中考数学 课堂讲本第14课时 反比例函数
现有以下 4 个结论：①k1k2>0；②不等式 k1x＋b>kx2的解集 是 x1<x<x2；③x1＋x2＝－kb1；④S△AOP＝S△BOQ.
其中正确结论的序号是_①__③__④___．(填上你认为正确的
所有结论的序号)
考点5反比例函数的实际应用
例7【2021·乐山】通过试验研究发现：初中生在数学课 上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时， 学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态， 随后开始分散．
①xB＝yA；②xD＋yA＝0；③xA＋xC＝0 且 xB＋xD＝0； ④AC，BD 都经过点 O.
【点拨】
∵点 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)在双 曲线 y＝kx(k>0)上，且 0<xA<xB，xD<xC<0，∴xA·yA＝xB·yB＝ xC·yC＝xD·yD＝k.若①xB＝yA，则 yB＝xA，∴点 A 与点 B 关于 直线 y＝x 对称，OA＝OB；若②xD＋yA＝0，则 xD＝－yA， ∴yD＝－xA，∴点 A 与点 D 关于直线 y＝－x 对称，OA＝OD；
考点2反比例函数的图象与性质
例 2【2021·厦门质检·4 分】在平面直角坐标系 xOy 中， 点 A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)在双曲线 y＝kx(k>0)上，且 0<xA<xB，xD<xC<0.要使得四边形 ABCD 是 矩形，至少要满足条件①__③__(_或__①__④__或__②__③__或__②__④__，___写__出__一_ 种 即__可_．)(只需写出一种符合题意的答案，填写相应的序号即可)
例 5 已知点 A(－1，6)，B(－3，m)在反比例函数 y＝kx(k≠0) 的图象上，动点 C 在 y 轴上，过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D，
第14课时___二次函数
课题：二次函数教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．教学重点： 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．（一） 主要知识：1.二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．2.二次函数的图象及性质；3.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．（二）主要方法：1.讨论二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题：①注意对称轴ab x 2-=与区间[]q p ,的相对位置；②函数()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性.2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．二次函数是高考考查的永恒主题 （三）典例分析：问题1．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=--，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为 ，求()f x 的解析式问题2．已知223()222m f x xm x m =++--，当()0,x ∈+∞时，()0f x >，求实数m 的取值范围.问题3．函数2()44f x xx =--在闭区间[],1t t +（t R ∈）上的最小值记为()g t ，()1试写出()g t 的函数表达式；()2作出()g t 的图像并求出()g t 的最小值问题4． ()1方程2240xax -+=的两根均大于1，求实数a 的取值范围()2方程2240x ax -+=的一根大于1，一根小于1，求实数a 的取值范围()3方程2240x ax -+=的根在()0,1内，另一根在()6,8，求实数a 的取值范围问题5．已知二次函数 2()f x axbx =+（,a b 为常数，且0a ≠）满足条件：(5)(3)f x f x -+=-，且方程()f x x =有等根.()1求()f x 的解析式；()2是否存在实数m 、n （m n <），使()f x 的定义域和值域分别是[],m n 和[]3,3m n .如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由.问题6．对于函数()f x ，若存在0xR ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，()1当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；()2对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；★问题7．已知二次函数2()1f x axbx =++（a 、b R ∈，0a >），设方程()f x x = 的两个实根为1x 、2x .()1如果1224x x <<<，设函数()f x 的对称轴为0x x =，求证：01x >-；()2如果12x <，212x x -=，求b 的取值范围.（四）巩固练习：1.已知二次函数的对称轴为x =，截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．2.（04江苏）二次函数c bx ax y ++=2（x R ∈）的部分对应值如下表：则不等式c bx ax ++20>的解集是3.函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 .A 0b ≥ .B 0b ≤ .C 0b > .D 0b <4.函数2()45f x x m x =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则(1)f 的取值范围是 .A (1)f ≥25 .B (1)25f = .C (1)f ≤25 .D (1)25f >5.已知,0,)(2≠⋅+=b a bx ax x f 且,2006)()(21==x f x f则=+)(21x x f（五）课后作业：1.（03上海）若函数2(2)3y x a x =+++（[,]x a b ∈）的图象关于1x =对称，则b =2.若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（ ）.A 0.B 2- .C 52-.D 3-3.已知2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时()f x ≥0恒成立，则a 的范围是4.（04云南二检）已知实数0a >，0a b c -+<，其中a 、b 、c R ∈，则一定有 .A 240b ac ->.B 24b a c -≤0.C 240b ac -< .D 24b a c -≥05.设a 、b 、c R ∈，且440a b c -+>，20a b c ++<，则下列结论中正确的是 .A 2b ≤ac.B 2b a c > .C 2b ac >且0a >.D 2b a c >且0a <6.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的范围．7.关于x 的方程()94340xxa ++⋅+=有实数解，则实数a 的范围是8.m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．9.二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．10.已知函数2y x bx c =++且)()1(x f x f -=+，则下列不等式中成立的是.A )2()0()2(f f f <<- .B )2()2()0(f f f <-< .C )2()2()0(-<<f f f .D )2()0()2(-<<f f f11.不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的范围是12.已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)21(-f 的值.13.设函数2()22f x x x =-+（[],1x t t ∈+）的最小值为()g t ，求()g t 的解析式14.设函数12)(2++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。
九年级数学总复习课件：第14课时二次函数的图象及性质
∵点M为对称轴上一点， ∴OM=BM， ∴OM+AM=BM+AM=AB， 则此时OM+AM最小， 过A点作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中， AB＝ AN 2 BN 2 42 42 4 2 ， 因此OM+AM最小值为 4 2 .
类型二 二次函数的图象与性质 例2已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象 如图所示，
（３）若已知抛物线与ｘ轴的两个交点或是
一个交点和对称轴，要想到用两点式来求抛 物线的解析式，即设抛物线的解析式为： y=a(x-x1)(x-x2)；2.代入点坐标：用待定系数 法将已知点坐标代入相应的解析式中，得到 关于待定系数的方程（组）；3.求解：解方 程（组），求出待定系数的值，从而得出函 数的解析式.
抛物线与x轴有一个
二次函数
交点( b , 0 ),x= b
2a
2a
y=ax2+bx+c(a b2-4ac＝0 是方程ax2+bx+c=0的
≠0)，若y=0 时，得一元 二次方程 ax2+bx+c=0
两个相等的实数根，
即x1＝x2＝
b 2a
抛物线与x轴没有交
点，即方程 b2-4ac ＜0
ax2+bx+c=0没有实数
3.二次函数的平移 由于抛物线的开口方向与开口大小均由二
次项系数a确定，所以两个二次函数如果a相 等，那么其中一个图象可以由另一个图象平 移得到.
移动方向
平移后的解析 式
简记
向左平移 y=a(x-h+m)2+k 左加
m个单位
向右平移
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h-m)2+k m个单位
2015年浙江省杭州数学中考总复习课件第14课时：二次函数的应用
二次函数的应用
第14课时┃ 二次函数的应用
考 点 聚 焦
考点1 二次函数与几何图形的综合应用
[2014·北京] 已知点 A 为某封闭图形边界上一定点，动点 P 从点 A 出发，沿其边界顺时针匀速运动一周，设点 P 运动的时间 为 x，线段 AP 的长为 y，表示 y 与 x 的函数关系大致如图 14－1 所示，则该封闭图形可能是 ( A )
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第14课时┃ 二次函数的应用
杭 考 探 究
探究一 用二次函数解决抛物线形实际问题
例 1 [2014·天水] 如图 14－3，排球运动员站在 O 处练习 发球，将球从点 O 正上方 2 米的点 A 处发出，把球看成点，其运 行的高度 y(米)与运行的水平距离 x(米)满足关系式 y＝a(x－ 2 6) ＋h.已知球网与点 O 的水平距离为 9 米，高度为 2.43 米，球 场的边界与点 O 的水平距离为 18 米． (1)当 h＝2.6 时，求 y 与 x 的关系式；
考点聚焦
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第14课时┃ 二次函数的应用
根据问题信息求出函数表达式， 并求相应的 自变量的值及函数最值．
思路点津
考点聚焦
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第14课时┃ 二次函数的应用
解：(1)y＝ (2)设销售 A 类杨梅 x 吨，则 ①当 2≤x＜8 时，w＝x(－x＋14)＋9(20－x)－3×20－x－ [12＋3(20－x)]＝－x2＋7x＋48. 当 x≥8 时，w＝6x＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)] ＝－x＋48. 所以函数表达式为 w＝
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第14课时┃ 二次函数的应用
第14课时 二次函数
精品课题：二次函数教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值．教学重点： 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化．（一） 主要知识：1.二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式．2.二次函数的图象及性质；3.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．（二）主要方法：1.讨论二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题：①注意对称轴a bx 2-=与区间[]q p ,的相对位置；②函数()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性.2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置．二次函数是高考考查的永恒主题 （三）典例分析：问题1．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=--，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为 ()f x 的解析式问题2．已知223()222m f x x mx m =++--，当()0,x ∈+∞时，()0f x >，求实数m 的取值范围.问题3．函数2()44f x x x =--在闭区间[],1t t +（t R ∈）上的最小值记为()g t ，()1试写出()g t 的函数表达式；()2作出()g t 的图像并求出()g t 的最小值问题4． ()1方程2240x ax -+=的两根均大于1，求实数a 的取值范围()2方程2240x ax -+=的一根大于1，一根小于1，求实数a 的取值范围()3方程2240x ax -+=的根在()0,1内，另一根在()6,8，求实数a 的取值范围问题5．已知二次函数 2()f x ax bx =+（,a b 为常数，且0a ≠）满足条件：(5)(3)f x f x -+=-，且方程()f x x =有等根.()1求()f x 的解析式；()2是否存在实数m 、n （m n <），使()f x 的定义域和值域分别是[],m n 和[]3,3m n . 如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，请说明理由.问题6．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点，已知函数2()(1)(1)(0)f x ax b x b a =+++-≠，()1当1,2a b ==-时，求函数()f x 的不动点；()2对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；★问题7．已知二次函数2()1f x ax bx =++（a 、b R ∈，0a >），设方程()f x x =的两个实根为1x 、2x .()1如果1224x x <<<，设函数()f x 的对称轴为0x x =，求证：01x >-；()2如果12x <，212x x -=，求b 的取值范围.（四）巩固练习：1.已知二次函数的对称轴为x =截x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析式．2.（04江苏）二次函数c bx ax y ++=2（x R ∈）的部分对应值如下表：则不等式c bx ax ++20>的解集是3.函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是 .A 0b ≥ .B 0b ≤ .C 0b > .D 0b <4.函数2()45f x x mx =-+在区间[)2,-+∞上是增函数，则(1)f 的取值范围是 .A (1)f ≥25 .B (1)25f = .C (1)f ≤25 .D (1)25f >5.已知,0,)(2≠⋅+=b a bx ax x f 且,2006)()(21==x f x f则=+)(21x x f（五）课后作业：1.（03上海）若函数2(2)3y x a x =+++（[,]x a b ∈）的图象关于1x =对称， 则b =2.若不等式210x ax ++≥对一切102x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，成立，则a 的最小值为（ ）.A 0 .B 2- .C 52- .D 3-3.已知2()3f x x ax a =++-，若[]2,2x ∈-时()f x ≥0恒成立，则a 的范围是4.（04云南二检）已知实数0a >，0a b c -+<，其中a 、b 、c R ∈，则一定有.A 240b ac -> .B 24b a c -≤0 .C 240b ac -< .D 24b a c -≥05.设a 、b 、c R ∈，且440a b c -+>，20a b c ++<，则下列结论中正确的是.A 2b ≤ac .B 2b ac > .C 2b a c >且0a > .D 2b ac >且0a <6.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的范围．7.关于x 的方程()94340x x a ++⋅+=有实数解，则实数a 的范围是8.m 取何值时，方程227(13)20x m x m m -++--=的一根大于1，一根小于1．9.二次函数()f x 的二次项系数为负值，且(2)(2)()f x f x x R +=-∈，问2(12)f x -与2(12)f x x +-满足什么关系时，有20x -<<．10.已知函数2y x bx c =++且)()1(x f x f -=+，则下列不等式中成立的是.A )2()0()2(f f f <<- .B )2()2()0(f f f <-< .C )2()2()0(-<<f f f .D )2()0()2(-<<f f f11.不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的范围是12.已知)(x f 为二次函数，且x x x f x f 42)1()1(2-=-++，求)21(-f 的值.13.设函数2()22f x x x =-+（[],1x t t ∈+）的最小值为()g t ，求()g t 的解析式14.设函数12)(2++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。
2015届中考数学一轮复习教学案：第14课时函数的应用(一)
第14课时函数的应用（一）【复习目标】1．能够从运动变化中发现变量，建立函数模型．体会数学来源于生活．2．会用一次函数、反比例函数解决实际问题，初步形成数学模型的解题思想．【知识梳理】1．用函数知识解决实际问题的步骤：(1)设：设定题目中的两个变量，一般是设x是自变量，y为x的________．(2)列：根据题目中的等量关系，列出函数解析式．(3)定：根据数学意义和实际意义确定自变量的取值范围．(4)解：利用相关性质解决问题．(5)答：检测后写出合适的答案．2．利用一次函数解决实际问题：一次函数的实际应用关键在于通过建立一次函数模型，去解决实际问题，其基本解题思路是：问题情境→建立模型→解决问题→拓展应用．3．利用反比例函数解决实际问题：实际问题中的反比例函数限于实际问题的要求，其函数值与自变量的值均为_______，这就决定了其函数图象只能是双曲线的两个分支中位于第一象限内的部分，据此情况来具体分析．它的基本解题思路与一次函数类似．【考点例析】考点一一次函数的实际应用例1星期天8：00－8：30，燃气公司给平安加气站的储气罐注入天然气，注完气之后，一位工作人员以每车20米3的加气量，依次给在加气站排队等侯的若干辆车加气．储气罐中的储气量y（米3）与时间x（小时）的函数关系如图所示．(1)8：00～8：30，燃气公司给储气罐注入了_______米3的天然气；(2)当x≥8.5时，求储气罐中的储气量y(米3)与时间x（小时）之间的函数解析式；(3)正在等候的第20辆车加完气后，储气罐内还有天然气_______米3，这第20辆车在当天9：00之前能加完气吗？请说明理由．提示(1)认真观察图象获取有用的信息；(2)利用待定系数法确定函数解析式：(3)根据一次函数解析式及图象中的信息解决问题．例2(德州)现从A、B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜．A、B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨．从A到甲地运费为50元，吨，到乙地为30元/吨；从B地到甲运费为60元／吨．到乙地为45元／吨．(1)设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：(2)设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式；(3)怎样调运蔬菜才能使运费最少？提示(1)A处共有14吨，运到甲地x吨，则运到乙地(14－x)吨．甲地共需15吨，A 运x吨，则B运(15－x)吨，乙地需要蔬菜13吨，A运了(14－x)吨，B需要运13－(14－x）＝(x－1)吨；(2)用每吨的运费分别乘以相应的重量即可；(3)由于A、B到甲、乙两地运送蔬菜的重量为非负数，据此可求出x的取值范围．再根据⊥随x的增大而变化的情况，代入相应的x求最小值即可．考点二反比例函数的实际应用例3矩形的长为x，宽为y，面积为9，则y与x之间的函数关系用图象表示大致为()提示由矩形的面积公式，得xy＝9，可知它的长x与宽y之间的函数关系式为y＝9(x>0)，是反比例函数的图象，且其图象在第一象限．x例4据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“药薰消毒”，已知药物在燃烧及释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x(分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答如下问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？提示(1)首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，用待定系数法可得函数的关系式，进一步求解可得答案；(2)根据反比例函数的性质求解即可．【反馈练习】1．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例关系．其函数图象如图所示，则电流强度I(A)与电阻R(Ω)的函数解析式是 ( )A ．I ＝2R(R>0) B ．I ＝3R (R>0) C ．I ＝6R (R>0) D ． I ＝－6R（R>0） 2．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x(m)成反比例[即y ＝k x（k ≠0）]，已知200度近视眼镜的镜片焦距为0.5 m ，则y 与x 之间的函数关系式是_______．3．某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年人活动中心，这样必须把1 200m 3的生活垃圾运走．(1)假如每天能运x m 3，所需时间为y 天，写出y 与x 之间的函数关系式；(2)若每辆拖拉机一天能运12 m 3，则5辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？(3)在(2)的情况下，运了8天后，剩下的任务要在不超过6天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？4．小丁每天从报社以每份0.5元买进报纸200份，然后以每份1元卖给读者，卖不完，当天可退回，但只按0.2元退回，如果平均每天卖出x 份，纯收入为y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式（要求写出自变量x 的取值范围）；(2)如果每月按30天计算，那么至少每天要卖多少份，才能保证每月收入不低于2000元？5．在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通，下图是甲、乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数图象，请根据图象所提供的信息，解答下列问题：(1)乙工程队每天修公路多少米？(2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y（米）与施工时间x（天）之间的函数关系式；(3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？。
三角函数第14课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用 (10)
答案 C
解析 α 是第二象限角，α2是第一或第三象限角．
－
1－cos2π－α＝－ 2
1－sin2α2
＝－cos2α＝cosα2，
∴α2为第三象限角．
4．已知 cosθ－π2＝45，且 sinθ－cosθ>1，则 sinθ－32πsin(π－θ)＝(
由①＋②得(sinα＋cosα)2＝218699，
由②－①得(sinα－cosα)2＝14699．
又∵α∈π4，π2，∴sinα>cosα>0，
即 sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0， ∴sinα＋cosα＝1173，③ sinα－cosα＝173，④ 由③＋④得 sinα＝1123，由③－④得 cosα＝153． 9．已知 f(α)＝sinπc－osαπ＋coαs－sinα－sinα2π＋α． (1)化简 f(α)； (2)若角 A 是△ABC 的内角，且 f(A)＝35，求 tanA－sinA 的值． 解 (1)f(α)＝ sinαcosαcosα ＝cosα．
＝－sin[90°－(75°＋α)]－cos(75°＋α)
＝－cos(75°＋α)－cos(75°＋α)
＝－2cos(75°＋α) ＝－23． 2．若 sin(π＋α)＝35，且 α 是第三象限角，则
ssiinnπ2π2＋－αα－－ccoossπ2π2＋－αα＝(
)
A．1 B．7 C．－7 D．－1
答案 B
解析 由 sin(π＋α)＝35，则 sinα＝－35．
又 α 是第三象限角，所以 cosα＝－45，
所以ssiinnππ22＋－αα－－ccoossππ22－＋αα＝ccoossαα＋ －ssiinnαα＝－ －4545＋ －－－3535＝7，故选 B．
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函数的应用
主备人：刘洪武时间：2010-9-2 一．教学目标：1．能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；
2．培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力．二．教学重点：建立恰当的函数关系．
三．教学过程：
（一）主要知识：函数的综合问题主要有如下几个方面：
1．函数的概念、性质和方法的综合问题；
2．函数与其它知识，如方程、不等式、数列的综合问题；
3．函数与解析几何的综合问题；
4．联系生活实际和生产实际的应用问题．
（二）主要方法：解数学应用题的一般步骤为：（1）审题；（2）建模；（3）求解；（4）作答．
四、课前练习：
1. 以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图），已知篱
笆的总长为定值l，则这块场地的最大面积是
2. 若用距离为20米，在限速为100千米每小时的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑模型2
y=来描述汽车紧急刹车后滑行的距离y与刹车时的速度x的关系，而某种型ax
号的汽车在速度为60千米每小时时，紧急刹车后滑行的行的距离为50米，这辆车
行驶（填是否超速）
3. 建造一个容积为8立方米，深为2米的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方为120元和80元，则水池的最低总造价为元
4 某工厂生产A,B两种成本不同的产品，由于市场变化，A产品连续两次提价20%，同时B产品连续两次降20%，结果都以每件23.04元售出，若同时出售A,B产品各一件，则（填盈或亏）元
五、例题讲解：
例1（二次函数模型2007湖北文，3+2）
某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，0≤x≤30）的平方成正比。
已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件。
（1）将一个星期的商品利润表示成x的函数；
（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
例2.（含无理函数的模型）如图，100公里长的铁路线AB之旁的C处有一个工厂，与铁路的垂直距离为20公里，由铁路上的B处向工厂提供原料，公路与铁路每吨公里的货物运价比为5：3，为节约运费，在铁路的D处修一货物转运站，沿CD修一公路，为了使原料从B处运到工厂C处的运费最省，D点应选在何处？
例 3.（指数函数模型）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完
毕后，y与t的函数关系式为
1
16
t a
y
-
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，
回答下列问题：
（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；
（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室．
六、随堂检测及反馈
1 . 无盖圆柱形容器的容积为π32
立方米，用来做底的金属片每平方米造价为3元，做侧面
的金属片每平方米造价2元。
为使材料费用最低，容器的底面半径应是
2. 某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元和70元的单片软件和盒装
磁盘。
根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有种
3.如果在今后若干年内我国国民经济生产总值都保持年平均9%的增长率，则要达到国民经
济生产总值比2006年翻两番的年份大约是___.(0374.2109lg ,4771.03lg ,3010.02lg ===)
4.在x 克浓度a %的盐水中加入y 克浓度b %的盐水，浓度变为c %，则x 与y 的函数关系
式为_____________.
5.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部客满，若收费每提高2元便减少10张
客床租出，则为多获利每床每天应提高收费________元.
6. 某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为
7. 某种细胞开始有2个，1小时以后分裂成4个并死去1个，2小时以后分裂成6个并死
去1个，3小时以后分裂成10个并死去1个，……，按照这种规律下去，6小时后细胞的
存活数是 个
8. 某学校要装备一个实验室，需要购买实验设备若干套，与厂家协商，同意按出厂价结
算，若超过50套就可以以每套比出厂价低30元给予优惠，如果按出厂价购买应付a 元，
但再多买11套就可以按优惠价结算恰好也付a 元（价格为整数），则a 的值为
9.上因特网的费用由两部分组成：电话费和上网费，以前某地区上因特网的费用为：电话费
0.12元/3分钟；上网费0.12元/分钟.根据信息产业部调整因特网资费的要求，该地区上因特
网的费用调整为电话0.16元/3分钟；上网费为每月不超过60小时，以4元/小时计算，超
过60小时部分，以8元/小时计算.
(1)根据调整后的规定，将每月上因特网的费用表示为上网时间(小时)的函数(每月按30天
算)；
(2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔每月上因特网60小时的费用开支，资费调整后，
若要不超过其家庭经济预算中的上因特网费的支出，该网民现在每月可上网多少小时?进一步从经济角度分析调整前后对网民的利弊.
10.某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为本1.2%，试解答下列问题
(1)写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系式；
(2)计算10年以后该城市的人口总数（精确到0.1）；
(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人.。