Mathematica在大学物理中的应用

目录一、绪论 (1)1.1微分方程的解析解 (1)1.1.1：求解微分方程的通解 (1)1.1.2：求微分方程的特解 (2)1.2利用Mathematica作图 (2)1.2.1利用Mathematic a作一维图像 (2)1.2.2利用Mathematica作二维图像 (4)1.3 Mathematica的动画效果 (4)二、运用Mathematic解决数学物理方法里的几个典型的方程 (5)2.1三维波动方的求解 (5)2.2三维输运方程的解 (6)2.3亥姆霍兹在球坐标系下方程的解 (7)三、Mathematica在电动力学中的应用 (11)3.1谐振腔 (11)3.2波导 (13)四、结论 (15)致谢 (17)参考文献 (18)1、绪论本文主要是介绍Mathematica 在大学物理方面的应用，主要的目的是让学生能够运用这个软件去解决大学学习中的一些复杂问题，在这方面国内外已经有很多学者把这个计算软件与各门学科联系起来，并且取得了不少的成就，它很好地结合了数值和符号计算引擎、图形系统、编程语言、文本系统、和与其他应用程序的高级连接。

很多功能在相应领域内处于世界领先地位。

本人在学习这个软件是发现它的计算功能确实很强大，用来计算我们大学物理中遇到的一些难题时会让我们的解题变的很轻松。

所以我想能不能把物理学习和Mathaematica 结合起来，这样能使我们在学习大学物理时省下更多的时间去思考而不是计算。

同时Mathematica 有很多其他强大的功能，我们同学如果有什么自己的想法可以通过Mathematica 来进行实验，验证我们的结论是否正确。

这是我的一点浅薄的想法。

本文主要采用了文献资料法和理论分析法，以及实验法。

以下是关于Mathematica 的一些常用的用法。

1.1微分方程的解析解Mathematica 提供了一个求解微分方程的函数dsolve ，方程求解可以通 过调用dsolve 来实现，其调用格式：Dsolve[f,y[x],x]，其中f 为求解微分方程的表达式；x 为初始条件（若省略则为求通解）；x 为描述微分方程 的自变量；对于f 的描述如：Dy 表示y'，D2y 表示y"，依次类推；初始条 件的描述如：y’[0]=1 表示y'(0)=1 1.1.1：求解微分方程的通解例1：用两种方式解非齐次一阶线性微分方程'y xy x +={[[],][],[,[],],[,,]}f D y x x x y x x DSolve f y x x DSolve f y x =+*== 22#122{[]'[],{{[]1[1]|}},{{1[1]}}}x xy x y x x y x eC y e C --⎛⎫+==->+->+ ⎪ ⎪⎝⎭例2：解非齐次二阶线性常系数常微分方程''cos y y x +={[[],{,2}][]2*cos[],[,[],]}f D y x x y x x DSolve f y x x =+==3{[]''[]2cos[],1{{[][2]cos[]cos[][1]sin[]2sin[](sin[2])}}}24y x y x x x y x C x x C x x x +==->+-++ 1.1.2：求微分方程的特解例1.求解二阶线性方程y ”+4y=3x 的处置条件y(0)=0和y ’(0)=1 的特解{[[[],{,2}]4[]3,[0]0,'[0]1,[,[],]}f D y x x y x x y y DSolve f y x x =+======{[[[],{,2}]4[]3,[0]0,'[0]1},11{{[](3sin[2])}}}42f D y x x y x x y y y x x x =+======->+例2.求解齐次微分方程y ’=(-2x+y)/(x+2y)在定解条件y(1)=1下的隐式特解[[],](2[])/(2[]);[1]1;{,}[,[],][,,,]eqn D y x x x y x x y x con y eqns eqn con sol DSolve eqns y x x Clear eqn com c sol ===-++=====2[]{'[],[1]1}2[]x y x y x y x y x -+==+222[]1[[][][2],{[]}][]4(1)y x Solve ArcTan Log Log y x y x xx xπ-+==--+ 1.2利用Mathematica 作图1.2.1利用Mathematic a 作一维图像绘制函数y=(e^x)*sin(20x)在区间【0，π】上的图形，函数y=tanx 在区间【-2 π，2 π】的图形，函数y=sinx/x 在区间【-2 π，2 π】的图形。

[[][20],{,0,}][[],{,2,2}][[]/,{,2,2}]Plot Exp x Sin x x Pi Plot Tan x x Pi Pi Plot Sin x x x Pi Pi *--图1.1 y=(e^x)*sin(20x)的图像图1.2 y=tanx的图像图1.3 y=sinx/x 的图像1.2.2利用Mathematica 作二维图像作函数z=1/((x-1)^2+(y-2)^2)在区域[-1.5，2]x[-2,4]上的图形，规定z 的范围在[0,1.5]中，且样本点增加到50点，添加上坐标轴的标签。

然后，改造这个图形，不画范围盒，改变视点位置，取消缺省的光线而代之以用与z 坐标有关的色调来着色，孔洞不再覆盖平面，不画网格线盒坐标轴。

将这两个图形列阵显示，来观察他们间的差异。

13[1/((1)^2(2)^2),{, 1.5,2},{,2,4},{0,1.5},int 50{'''','''',''''},];2[1,,int {1,0.7,1},g Plot D x y x y PlotRange PlotPo s AxesLabel x y z DisplayFunction Identity g Show g Boxed False ViewPo s Lighting Fal =-+---->->->->=->->->,,,,,];[[{1,2}]];se ColorFunction Hue ClipFill None Mesh False AxesEdge None DisplayFunction Identity Show GraphicsArray g g ->->->->->图1.4 曲面图形选用不同选项的差异1.3 Mathematica 的动画效果例：用函数Animate 作曲面动画，动画曲面是变化范围[0, π]是参数t 的函数z=e^[-(x^2+y^2)/80]*sin(√x^2+y^2+t(π-t)在矩形区域[-3 π,3 π]x[-3π,3 π]上的图形。

3;;max ;[3[[(^2^2)/80*[[^2^2](max )]),{,,},{,,},,,,{1.0,1.0},int 60],{,0,m Graphics Animation b Pi a b t Pi Animate Plot D Exp x y Sin Sqrt x y t t t x a b y a b Axes False Boxed False Mesh False PlotRange PlotPo s t t <<==-=-+++*-->->->->-->ax}][,,max]Clear a b t图1.5 三维动态图像2、运用Mathematic 解决数学物理方法里的几个典型的方程2.1三维波动方的求解这个物理问题会在以后所要学习的电动力学以及量子力学上都会有具体的应用，这里我们通过运用Mathematica 来解决这个问题，为后面学习打下基础。

同时使我们学生学会知识的结合应用。

tt u -a 2∆u=0 (2-1) 令u （x,y,z,t ）=T(t)v(x,y,z),带人（1）式分离变量得T "+λa 2T=0 （2-2）∆v+k 2v=0 （2-3）我们运用Mathematica 来解这种常微分方程比较容易。

[''[]^2^2[]0,[],]{{[],][2][][1][]}}DSolve T t k a T t T t t T t t C Cos akt C Sin akt +**==->+我们令m=C[2],n=C[1];由于上面方程中的a ,k,C[2],C[1],的值都是待定的我们可以给他们赋值 K[-5,5];a[0,50];m[0,100];n[0,100]2;2;50;50;k a m n ==== [[][],{,0,2}]Plot m Cos akt n Sin akt t Pi *+*图2.1 三维波动方程时间函数的图像2.2三维输运方程的解物体内部的温度分部不均匀，热量就要从温度高的放向温度低的地方，这种现象叫做热传导。

这里我们考虑时间和空间的变化。

三维热传导方程分有热源和无热源的，这里我们主要讨论无热源的三维热传导方程t u -a^2∆u=0 （2-4）我们分离时间与空间变量得到T '+ k 2a 2T=0 （2-5）∆v+k 2v=0（2-6） 运用Mathematica 对于上面方程中的时间变量进行求解，空间变量得求解我们放到后面一起求解。

22['[]^2^2[]0,[],]{{[][1]}}a k t DSolve T t k a T t T t t T t e C -+**==-> K[0,5];a[0,5],M[0,10] k = 1; a = 1; M = 2;22[[],{,10,10}]a k t Plot T t e M t -=-图2.3 三维热传导方程时间函数的图像2.3亥姆霍兹在球坐标系下方程的解这里我们把上面分离出来的空间变量也就是亥姆霍兹方程拿来分析一下，在平面坐标系下我们不易求的简易的解，故我们把平面坐标系转换成球坐标系下，得到下面的亥姆霍兹方程在球坐标系下的方程，22222222111((sin )0sin sin v v vr k v r r r r r δδδδθδδθδθδθθ∂+++=∂ϕ（2-7） 利用球坐标将方程分离变量得到v(r, θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ),带入上式得到222222221((sin )0sin sin R R Y R Y r k RY r r r r r δδδδθδδθδθδθθ∂+++=∂ϕ(2-8) 以2r /RY 乘遍上式并分离变量，得到两个方程，222()[(1)]0d dR r k r l l R dr dr +-+= (2-9) 22211(sin )(1)0sin sin Y Yl l Y δδθθδθδθθ∂+++=∂ϕ(2-10) 将上式（10）中的Y 分离变量得到Y （θ，ϕ）=Θ（θ）Φ（ϕ） 带入（10）式得到22sin 1(sin )(1)sin d d d l l d d d θθθθθΘ-Φ++=ΘΦϕ=λ （2-11）2sin (sin )(1)sin d d l l d d θθθλθθΘ++=Θ （2-12）21d d λ-Φ=Φϕ（2-13） 2sin (sin )((1)sin )0d d l l d d θθθλθθΘ++-Φ= （2-14） 0λΦ"+Φ= （2-15） 对于式14中的λ=2m ,m=0,1,2,3⋯ 运用Mathematica 进行运算[{''[]^2[]0},[],]{{[][2][][1][]}}[0,100];[0,100];[10,10]50;50;5;[[][[],{,0,2}]DSolve m C Cos m C Sin m A B m A B m Plot ACos m BSin m Pi Φφ+*Φφ==ΦφφΦφ->φ+φ-===Φφ=φ]+φφ图2.3 亥姆霍兹方程球坐标系下经度角函数的方程λ=2m 带入方程（14）22sin (sin )[(1)sin ]0d d l l m d d θθθθθΘ++-Θ= （2-16） 令cos x θ=,则sin d d dx dd dx d dxθθθ==- （2-17） 从而（16）式成为2222sin (sin )[(1)sin ]0d d l l m dx dxθθθΘ--++-Θ= （2-18） 即222[(1)][(1)]01d d m x l l dx dx xΘ-++-Θ=- （2-19） 此方程为l 阶缔合勒让德方程（也称斯-刘型）如果函数是关于球坐标系的极轴对称，即与ϕ无关，这时m =0是特例，此时方程变为l 阶勒让德方程222(1)2(1)0d d x xl l dx dxΘΘ--++Θ= （2-20） 我们对上面的方程进行求解2()[[[]'[]]/[](1)[]0,[],]{{[][1]}}l l DSolve D Sin Sin l l e C θθθθθθθθ--Θ++Θ==ΘΘ->而对于方程（9）即222()[(1)]0d dR r k r l l R dr dr+-+=为l 阶球贝塞尔方程，因为k >0。