第十五章 含参变量的积分(数学分析)课件
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
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sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
多媒体教学课件
定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
高等数学 含参变量的积分
4
因此得
I ln 2
8
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重积分
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二、积分限含参变量的积分
在实际问题中, 常遇到积分限含参变量的情形, 例如,
设 f (x, y) 为定义在区域
(x) y (x)
D: axb
上的连续函数, 则
(x)
(x) f (x, y) d y ( x)
y y (x)
D
y (x)
oa
bx
也是参变量 x 的函数 , 其定义域为 [ a , b ] .
利用前面的定理可推出这种含参积分的性质.
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重积分
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定理4.(连续性) 若 f (x, y) 在区域
D :{(x, y) (x) y (x), a x b}
时, 求导与求积运算是可以交换顺序的 .
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重积分
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例1. 求 I 1 xb xa d x (0 a b). 0 ln x
解: 由被积函数的特点想到积分:
b a
xy d
y
xy ln x
b a
xb xa ln x
I
1
dx
b xy d y
a
D f (x, y) d x d y
推论: 在定理2 的条件下, 累次积分可交换求积顺序,
即
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定理3. (可微性) 若 f (x, y) 及其偏导数 fx (x, y) 都在
矩形域
R
[a,b][, ]上连续, 则(x)
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
微积分课程含参定积分
0
0 1 cos x
后者是三角有理式，利用换元 t tan x 可以变为以 t 为自变量的有理函数的积分。当 0 时， 2
F( ) 2 arctan t t
t0
2
1 2 arctan
t
1 1 t t0
π
yk
yk
因此 G 可微，且是 C1 的。对 G((y), ( y), y) 用链索法则，得到
( y)
f (x, y)dx
( y) f
(x, y)dx f ( ( y), y) ( y) f (( y), y) ( y) 。■
yk ( y)
(2)
f yk
(x,
y)
关于
y
在
y0
U
处连续，且这连续性对积分变量
x [a,b]
一致。
则 F(y)
b a
f
(x,
y)dx
关于
yk
在
y0
U
处可导，且
yk
b
f (x, y)dx
a y y0
b a
f yk
(x,
y0 )dx
。
证明：对任意 0 ，当 t ( ) 时，对任意 x [a,b] 及任意 0 s 1 ， y0 stek y0 st t ，
存 在 仅 由 决 定 的 正 数 ( ) 使 得 当 y U 满 足 y y0 ( ) 时 ， 对 任 意 x [a,b] 都 有
f ( x, y) f ( x, 0y ) 。
则 F(y)
b a
f
含参变量积分.ppt
定理2 如果函数 f ( x, y) 在矩形
R(a x b, y )
上连续,则
b
b
a [ f ( x, y)dy]dx [a f ( x, y)dx]dy.
公式（2）也可写成
b
b
a dx f ( x, y)dy dya f ( x, y)dx.
(2)
(2)
要点是:积分号与积分号的互换.
( xx )
( x)
f ( x x, y)dy f ( x, y)dy.
xx ( xx )
(x)f ( x ຫໍສະໝຸດ x, y)dy( xx )
(x)
( x)
f ( x x, y)dy f ( x x, y)dy
( xx )
(x)
( xx )
f ( x x, y)dy,
R(a x b, b )
上连续，那么由积分
(
x)
f
(
x,
y)dy
(a
x b)
确定的函数 ( x)在 [a, b]上也连续.
同理
x
x
x
f
x,
ydy
3
也是参变量 x的函数.
要点是:积分号与极限号的互换.
高等数学（下）
例1 求
lim 1 e xydx.
y0 0
高等数学（下）
定理1证 设 x 和 x x 是[a,b]上的两点，则 ( x x) ( x)
x 0
高等数学（下）
证 因为 ( x) lim ( x x) ( x) ,
x0
x
为了求 ( x)，先利用公式(1)作出增量之比
( x x) ( x)
x
f ( x x, y) x
陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)课后习题-含参变量积分(圣才出品)
7．设函数 具有二阶导数， 是可导的，证明函数
满足弦振动方程
以及初始条件
。
证明：直接计算，可得
所以
且显然成立
。
8．利用积分号下求导法计算下列积分：
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解：（1）设
于是
令
则
所以
（2）设
作变换
得到
则
。
。
则
。设 由于
。研究函数
的连续性。
解：设
由于
在
在 处连续。
设
则
。由于 在 上连续，且
上的最小值
当 时，成立
于是
上连续，可知 所以 在
由 连续。
可知
即
在
处不
§2 含参变量的反常积分
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1．证明下列含参变量反常积分在指定区间上一致收敛：
与
在
上一致收敛。所以
在
上一致收敛。
（ ii ） 当
对于
取
取
则当 充分大时，
由 Cauchy 收敛准则，
在
上不一致收敛，同理
在
上也不一致收敛，所以
在
上不一致收敛。
（3）（i）当
而
收敛，由 Weierstrass
判别法
在
上一致收敛。
（ii）当 取
由于
由 Cauchy 收敛准则，可知
在
（ 4 ）（ i ） 当
即
关于
一致有界，以及 单调，当
时 关于
致趋于零，由 Dirichlet 判别
含参变量的积分
ξ12.3 含参变量的积分一、含参变量的有限积分设二元函数f （x,u)在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）有定义，],,[βα∈∀u 一元函数f(x,u)在[a,b]可积，即积分dxu x f a b),(⎰存在 ],[βα∈∀u 都对应唯一一个确定的积分（值)),(u x f a b⎰dx .于是，积分dx u x f a b),(⎰是定义在区间],[βα的函数，记为],[,),()(βαϕ∈=⎰u dx u x f ab u ,称为含参变量的有限积分，u 称为参变量。
下面讨论函数)(u ϕ在区间 ],[βα的分析性质，即连续性、可微性与可积性定理 1 若函数),(u x f 在矩形域R ),(βα≤≤≤≤u b x a 连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间也连续。
证明有，使取],,[u ],,[βαβα∈∆+∆∈∀u u u.),(),()()(.)],(),([)()dx u x f u u x f abu u u dx u x f u u x f abu u u -∆+≤-∆+-∆+=-∆+⎰⎰ϕϕϕϕ（根据ξ10.2定理8，函数),(u x f 在闭矩形域R 一致连续，即,,:),(),(,0,02121221,1δδδε<-<-∈∀>∃>∀y y x x R y x y x 有ε<-),(),(2211y x f y x f .特别地，.:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有 .),(),(ε<-∆+u x f u u x f 于是，,δ<∆u 有)(),(),()()(a b dx u x f u u x f ab u u u -<-∆+≤-∆+⎰εϕϕ 即函数在区间连续.设[]βα,0∈u ，由连续定义，有)()(lim ),(limu u dx u x f a bu u u u ϕϕ==→→⎰=dx u x f a b dx u x f a b u u ),(lim ),(00→⎰⎰=. 由此可见，当函数),(u x f 满足定理1的条件时，积分与极限可以交换次序. 定理2 若函数),(u x f 与uf∂∂在矩形域R(βα≤≤≤≤u b x a ,)连续，则函数在区间[βα,]可导，且[]βα,∈∀u ，有dxu u x f a b u du d∂∂=⎰),()(ϕ 或dx u u x f a b dx u x f abdu d ∂∂=⎰⎰),(),(. 简称积分号下可微分.证明 [][],,u,,,βαβα∈∆+∆∈∀u u u 使取有[].),(),()()(dx u x f u u x f abu u u -∆+=-∆+⎰ϕϕ （1） 已知uf∂∂在R 存在，根据微分中值定理，有 .10,),(),(),('<<∆∆+=-∆+θθu u u x f u x f u u x f u 将它代入（1）式，等号两端除以u ∆，有.10,),()()('<<∆+=∆-∆+⎰θθϕϕdx u u x f ab u u u u u 在上面等式等号两端减去dx u x f abu ),('⎰，有d x u x f abu u u u u ),()()('⎰-∆-∆+ϕϕ dx u x f u u x f ab u u ),(),(''-∆+≤⎰θ. 根据 ξ10.2定理8，函数),('u x f u 在闭矩形域R 一致连续，即,0,0>∃>∀δε,:),(),,(δ<∆∈∆+∀u R u u x u x 有.),(),(''εθ<-∆+u x f u u x f u u 从而，有),(),()()('a b dx u x f abu u u u u -≤-∆-∆+⎰εϕϕ即 dx u x f abuu u u u u ),()()(lim '0⎰=∆-∆+→∆ϕϕ 或.),()(dx u u x f a b u dud∂∂=⎰ϕ 定理2指出，当函数),(u x f 满足定理2的条件时，导数与积分可以交换次序. 定理 3 若函数),(u x f 在矩形域R （βα≤≤≤≤u b x a ,）连续，则函数dx u x f abu ),()(⎰=ϕ在区间[]βα,可积，且.).(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ （2） 简称积分号下可积分.证明 根据定理1，函数)(u ϕ在[]βα,连续，则函数)(u ϕ在区间[]βα,可积.下面证明等式（2）成立.[]βα,∈∀t ，设.),()(,),()(21dx du u x f t a b t L du dx u x f a b t t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰αα根据4.8ξ定理1，有.),()('1dx t x f abt L ⎰=已知du u x f t ),(⎰α与du u x f tt ),(⎰∂∂α都在R 连续，根据定理2，有dx du u x f ta b dt d t L ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰),()('2α =dx du u x f t t a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎰⎰),(α =dx t x f ab),(⎰.于是，[]βα,∈∀t ，有()().'2'1t L t L =.由1.6ξ例1，()(),21C t L t L =-其中C 是常数.特别地,当α=t 时，()(),021==ααL L 则C=0,即()()β==t t L t L 当.21时，有()(),21ββL L =即.),(),(dx du u x f a b du dx u x f a b ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰⎰⎰αβαβ定理3指出，当函数),(u x f 满足定理3的条件时，关于不同变量的积分可以交换次序。
1含参变量的常义积分
同理可定义含参变量 x 的积分：
J ( x)
f ( x, y)dy ,
c
d
x [a , b]
一般就称为含参变量积分。 它们统称为含参变量常义积分，
x2 y2 例如： 计算 椭圆 1 (b a 0)的周 长。 2 2 a b
椭圆的参数方程： x a cos t , y b sin t ,
dI ( y ) dy
b
a
f y ( x , y )dx 。
定理3 的结论也可写成
d dy
b
a
f ( x , y )dx f ( x , y )dx 。 a y
b
说明求导运算和积分运算可以交换。
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定理4 设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
例3 解
设F ( y )
y
0
ln(1 xy) dx, y 0, 求F ( y )。 x
y
F ( y )
0
1 ln(1 y 2 ) dx 1 xy y
ln(1 xy) y ln(1 y 2 ) 0 y y 2 ln(1 y 2 ) y
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1 I ( )
0
1 dx 1 cos x
x 对 最 后 一 个 积 分 作 万代 能 换 t tan ， 2
0
1 dx 1 cos x
2dt 1 t 2 (1 t 2 )
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第十五章含参变量的积分教学目的与要求1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系；7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。
教学重点1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分；3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等6 Beta函数和Gamma函数的性质。
教学难点1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；§1 含参变量的常义积分教学目的1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.教学过程1 含参变量的常义积分的定义 （P373）2 含参变量的常义积分的分析性质 2.1 连续性定理P374Theorem 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续 , 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 .Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续.例 1 求下列极限 (1)dx y x y ⎰-→+11220lim(2) dx nxnn ⎰++∞→1)1(11lim2.2 积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.2.3 积分号下求导定理P375—376Theorem 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且⎰⎰=dc d c x dy y x f dy y x f dxd ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) .Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 函数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分⎰=)()(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上可微 , 且()())()(,)()(,),()(1122)()(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+='⎰. 例2 求下列函数的导数 (1) ⎰>+=122)0()ln()(y dx y xy F (2) ⎰-=22)(x xxy dx ey F例3 计算积分 dx x x I ⎰++=1021)1ln(.例 4 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数 ⎰---=x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ 的1-n 阶导数存在 , 且 )()()(x f x n =φ.2.4(P376定理15.1.4) 例4 求⎰++=yb y a dx x yxy F sin )(的导数例5 研究函数 ⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F 的连续性，其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。
解 令22)(),(yx x yf y x g +=，则),(y x g 在],[]1,0[d c ⨯连续，其中],[0d c ∉。
从而)(y F 在0≠y 连续。
当0=y 时，0)0(=F当0>y 时，记 0)(min ]1,0[>=∈x f m x ，则⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F ⎰+≥1 0 22dx y x y m y m 1arctan = 若)(lim 0y F y +→存在，则 ≥+→)(lim 0y F y y m y 1arctanlim 0+→)0(02F m =>=π故)(y F 在0=y 不连续。
或用定积分中值定理，当0>y 时， ]1,0[∈∃ξ，使⎰+=10 22)()(dx y x x yf y F ⎰+=1 0 22)(dx y x yf ξ yf yxf 1arctan )(arctan)(1ξξ==若)(lim 0y F y +→存在，则=+→)(lim 0y F y y f y 1arctan)(lim 0ξ+→02>≥m π故)(y F 在0=y 不连续。
问题1 上面最后一个式子能否写为y f y 1arctan)(lim 0ξ→0)(2>=ξπf 。
事实上，ξ是依赖于y 的，极限的存在性还难以确定。
例6 设)(x f 在],[b a 连续，求证⎰-=xcdt t x k t f k x y )(sin )(1)( （其中 ],[,b a c a ∈）满足微分方程 )(2x f y k y =+''。
证 令)(sin )(),(t x k t f t x g -=，则)(cos )(),(t x k t kf t x g x -=， )(sin )(),(2t x k t f k t x g xx --=它们都在],[],[b a b a ⨯上连续，则⎰-='xcdt t x k t f x y )(cos )()()()(sin )()( x f dt t x k t f kx y xc+--=''⎰y k y 2+'')()(sin )( x f dt t x k t f k x c +⎰--=⎰-+x c dt t x k t f k )(sin )()(x f =例7 设)(x f 为连续函数，ξηηξd d x f x F hh ])([)(00⎰⎰++=求)(x F ''。
解 令u x =++ηξ，则ξηηξd d x f x F hh ])([)(00⎰⎰++=⎰⎰+++=hx x hdu u f d ξξξ)(0])()([)(0⎰⎰+-++='hhd x f d h x f x F ξξξξ在第一项中令u h x =++ξ，在第二项中令u x =+ξ，则])()([)(2⎰⎰+++-='hx xhx hx du u f du u f x F)]()(2)2([)(x f h x f h x f x F ++-+=''问题2 是否有ξηηξd d x f x x F h h ])([)(00⎰⎰++∂∂='ξηηξd d x f x hh ])([00⎰⎰++∂∂=例8 利用积分号下求导法求积分dx xx a a I ⎰=2/0tan )tan arctan()(π， 1||<a解 令 xx a a x f tan )tan arctan(),(=2,0π=x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0，0),(lim 2=-→a x f x π，故补充定义a a f =),0(， 0),2(=a f π则f 在],[]2,0[b b -⨯π连续（10<<b ），从而)(a I 在)1,1(-连续。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<=<∈+=1|| ,2,0 ,01|| ),2,0( ,tan 11),(22a x a x x a a x f a ππ显然)0,(x f a 在2π=x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-⨯π和)1,0(]2,0[⨯π连续，故有⎰='2/0),()(πdx a x f a I a ⎰+=2/022tan 11πdx xa ， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a令t x =tan⎰+∞++='0222)1)(1(1)(dt t a t a I ⎰+∞++--+-=0222222222)1)(1(111dt t a t a t a t a a ⎰+∞+-+-=022222])1()1(1[11dt t a a t a |)|1(2a +=π， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a积分之1)1ln(2)(C a a I ++=π， )1,0(∈a2)1ln(2)(C a a I +--=π， )0,1(-∈a因为)(a I 在)1,1(-连续，故0)(lim )0(0==+→a I I a )(lim 0a I a -→=得021==C C ，从而得 |)|1ln(sgn 2)(a a a I +=π， 1||<a作业：P378----379 2、3、5、6、8（2）（3）、11§2 含参变量的反常积分教学目的1 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；2 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；教学过程1 含参变量的反常积分的一致收敛含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分.定义P379---381 无穷积分⎰+∞adx y x f ),(在区间],[d c :一致收敛: ],[,,0,000d c y A A A ∈∀>∀>∃>∀ε有ε<⎰+∞Adx y x f ),(;非一致收敛: ],[,,0,0000d c y A A A ∈∃>∃>∀>∃ε有00),(ε≥⎰+∞A dx y x f .2 一致收敛性的判别法 2.1(Cauchy 收敛原理) P381 2.2(s Weierstras 判别法)P382 例1 证明:无穷积分⎰+∞+122cos dx y x xy在R 一致收敛.2.3 (Abel 判别法和Dirichlet 判别法) P382----3852.4 (Dini 定理)P3853 一致收敛积分的分析性质 3.1 连续性定理3.2 积分次序交换定理 3.3 积分号下求导定理例 2 利用积分号下求导求积分⎰+∞++=12)()(n n a x dxa I ， （n 为正整数，0>a ） 解 因为10212)(1)(1+++≤+n n a x a x ， 00>≥a a而 ⎰+∞++0102)(n a x dx收敛，故 ⎰+∞++=012)()(n n a x dxa I 在00>≥a a 一致收敛。