数学分析ppt
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9-3 数学分析全套课件
n
称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
n
称 s(T ) miΔxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
i 1
mi inf f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
1 q
,
x
p q
( p,q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R( x) d x 0.
0
P74
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称 i Mimi (i 1, 2, L n) 为 f 在 [ xi1, xi ] 上的
振幅.
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结论
定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要
条件是： 0, 分割 T ,使
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
i 1
三、充分条件 i Mi mi sup | f ( x) f ( x) | .
T : a0 x0 x1 L xn b,
及任意 i xi1 , xi , i 1, 2,L , n,
n
当 T maxxi 时,必有 f (i )xi J i1 前页 后页 返回
二、充要条件 定义 设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
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四、可积性举例
例1 求证 f 在 [0,1]上可积，其中
0,
x0
f (x)
1
称 S(T ) MiΔxi 为 f 关于分割 T 的上和,其中
i 1
Mi sup f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
n
称 s(T ) miΔxi 为 f 关于分割 T 的下和,其中
i 1
mi inf f ( x) | x [ xi1 , xi ], i 1, 2, L n;
1 q
,
x
p q
( p,q 互素 ),
0 , x 0, 1 及 (0, 1) 中的无理数
在 [0, 1] 上可积,且
1
R( x) d x 0.
0
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称 i Mimi (i 1, 2, L n) 为 f 在 [ xi1, xi ] 上的
振幅.
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结论
定理9.3（可积准则）函数 f 在[a, b]上可积的充要
条件是： 0, 分割 T ,使
n
n
S(T ) s(T ) (Mi mi )Δxi iΔxi .
i 1
i 1
三、充分条件 i Mi mi sup | f ( x) f ( x) | .
T : a0 x0 x1 L xn b,
及任意 i xi1 , xi , i 1, 2,L , n,
n
当 T maxxi 时,必有 f (i )xi J i1 前页 后页 返回
二、充要条件 定义 设 f 在 [a, b] 上有界, 对任意分割
T : a x0 x1 ... xn b,
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四、可积性举例
例1 求证 f 在 [0,1]上可积，其中
0,
x0
f (x)
1
数学分析完整版本ppt课件
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牛 顿（I.Newton 1642.12.25—1727.3.3）
英国数学家和物理学家出生在一个农民家庭，出生前父亲就去世了， 三岁母亲改嫁，由外祖母抚养。1661年入剑桥大学，1665年获学士学位， 1668年获硕士学位。由于他出色的成就，1669年巴鲁（Barrow）把数学 教授的职位让给年仅26岁的牛顿。1703 年被选为英国皇家学会会长。牛 顿一生成就辉煌，堪称科学巨匠。最突出的有四项重大贡献：创立微积 分，为近代数学奠定了基础，推动了整个科学技术的发展。他发现了力 学三大定律，为经典力学奠定了基础；他发现了万有引力为近代天文学 奠定了基础；他对光谱分析的实验，为近代光学奠定了基础 。他的巨著 《自然哲学的数学原理》影响深远，他被公认为历史上伟大的科学家。可 惜他晚年研究神学，走了弯路。
n
n
1
i
2
n
1 n
它的面积
ΔSi
(1
i2 n2
)
1 n
所求的总面积
Sn
n (1 i1
i2 n2
)
1 n
1
1 n3
n
i
2
i 1
1
2n
2 3n 6n 2
1
2 3
我 们 分 别 取 n=10, 50, 100 用 计 算 机 把 它 的 图 象 画 出 来 ， 并 计
算出面积的近似值：
clf, n=10; x=0:1/n:1;
四．小结： 学习定积分，不仅要理解、记住定积分的定义，还要学习建立定积分概念
的基本思想，我们以后的学习中还会遇到其它类型的积分，比如勒贝格积分、
斯蒂疌斯积分等，只要理解了定积分的思想，其他类型的积分就很容易理解了。
现在我们再来总结一下定积分建立的的思想和方法：从定积分的实例和概念中
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分 (2)可编辑全文
ln
|
x
a
|
1 2a
ln
|
x
a
|
1 ln x a C. 2a x a
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例3 求 x 1 x2dx.
解
x 1 x2dx 1
1
1 x2 2d(x2 )
2
1
1
1 x2 2d 1 x2
2
1 2 1 x2
3
2 C
23
1 1 x2
3
dx 所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g(( x))( x)dx g(( x))d( x) G(( x)) C,
其中 G(u) g(u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax);
(2) dx d( x a);
(3)
xdx
1
1
d(x 1
a2 x2 dx a cos t d(a sin t)
a2
cos2t
dt
a2 2
(1 cos 2t)dt
a2 2
t
1 2
sin
2t
C
a2 2
arcsin
x a
x a
1
x a
2
C
1 2
a2
arcsin
x a
x
a2
x2
C.
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例8 求
解 设x
dx
a2 a tan
或 ( x) 0, x [a,b]. 因此 u ( x) 是严格单调
函数,从而 u ( x) 存在反函数 x 1(u), 且
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dx 1
.
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
数学分析课件
长度的计算
利用定积分可以计算曲线的长度，以及物体的周长。
06
高阶导数与高阶积分
高阶导数的计算与性质
高阶导数的计算方法
定义法：根据导数的定义，对函数进行多次求 导，适用于简单的函数。
莱布尼茨法则：利用已知的导数公式，通过递 推关系计算高阶导数，适用于较复杂的函数。
高阶导数的计算与性质
线性性质：若$f(x)$和$g(x)$的$n$阶导数存在 ，则$(a f+b g)^{(n)}=a f^{(n)}+b g^{(n)}$ 。
数学分析课件
目录
• 数学分析概述 • 数学分析的基本性质 • 极限理论及其应用 • 微分学及其应用 • 定积分及其应用 • 高阶导数与高阶积分 • 数学分析中的重要定理与问题
01
数学分析概述
定义与意义
定义
数学分析是研究函数、序列、极限、 微积分等概念与方法的分支，是数学 的基础学科。
意义
数学分析在数学领域中占据重要地位 ，为其他数学分支提供基础理论和工 具，也是许多实际应用领域的基础。
THANKS。
积分的基本性质
积分具有可加性、可减性、可乘性和可除性 。
积分的基本公式
积分的基本公式包括求导公式、微分公式、 乘积公式、幂函数公式等。
积分的方法
积分的方法包括换元法、分部积分法、有理 函数积分法等。
积分的应用：面积、体积、长度
面积的计算
利用定积分可以计算曲线下面积，以及平面图 形面积。
体积的计算
利用定积分可以计算旋转体的体积，以及立体 的体积。
分区求和法：将积分区间划分为若干小区间，在每个小 区间上应用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，再求和得到 总积分值。
数学分析PPT
从而 r r ∫ a dl = ∫∫ rota dS .
L S
Yunnan University
§3. 场论初步
注：散度与坐标的选择无关. r r r u r 例1. 设a = 3i + 20 j − 15k , 对下列数量场ϕ 分别求出
gradϕ 及div (ϕ a ) , 其中ϕ = ( x 2 + y 2 + z
2 2
3 − 2 2
)
+ 15 z ( x + y + z
2 2
3 − 2 2
)
例 2.
设 u ( x , y , z ) = xyz .
(1)求u ( x , y , z ) 在点P1 ( 0, 0, 0 ) , P2 ( 1,1,1) 及P3 ( 2,1,1) 处 r r r u r 沿b = 2i + 3 j − 4k的方向导数。
( )
( )
( )
∂P ∂Q ∂R = ∫∫∫ + + dV x ∂y ∂z V ∂
r ∂P ∂Q ∂R 向量 + + 称为向量a的散度，它形成一个数量场，记为 ∂x ∂y ∂z r ∂P ∂Q ∂R . diva = + + ∂x ∂y ∂z
Yunnan University
( )
( )
( )
r ∂R ∂Q ∂P ∂R ∂ Q ∂R , , 称向量 − − − 为向量a的旋度， ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y r 记为rot a .
Yunnan University
§3. 场论初步
即 r i r ∂ rot a = ∂x P r j ∂ ∂y Q r u k ∂ . ∂z R
《数学分析》课件
函数与极限
函数
函数是数学分析中的基本概念之一，它是一个从定义域到值域的映射。根据定义域和值域的不同，函数可以分为 不同的类型，如连续函数、可微函数等。
极限
极限是数学分析中描述函数在某一点的行为的工具。极限的定义包括数列的极限和函数的极限，它们都是描述函 数在某一点附近的行为。极限的概念是数学分析中最重要的概念之一，它是研究函数的连续性、可导性、可积性 等性质的基础。
复合函数的导数
复合函数的导数是通过对原函数进行 求导，再乘以中间变量的导数得到的 。
微分及其应用
微分的定义
微分是函数在某一点附近的小变化量 ，可以理解为函数值的近似值。
微分的应用
微分在近似计算、误差估计、求切线 、求极值等方面有着广泛的应用。例 如，在求极值时，可以通过比较一阶 导数在极值点两侧的正负性来确定极 值点。
数列的极限
总结词
数列极限的定义与性质
详细描述
数列极限是数学分析中的一个基本概念，它描述了数列随 着项数的增加而趋近于某个固定值的趋势。极限具有一些 重要的性质，如唯一性、四则运算性质、夹逼定理等。
总结词
数列极限的证明方法
详细描述
证明数列极限的方法有多种，包括定义法、四则运算性质 、夹逼定理、单调有界定理等。这些方法可以帮助我们证 明数列的极限并理解其性质。
含参变量积分的概念与性质
含参变量积分的概念
含参变量积分是指在积分过程中包含一个或多个参数的积分。这种积分在处理一些具有参数的物理问题时非常有 用。
含参变量积分的性质
含参变量积分具有一些重要的性质，如参数可分离性、参数连续性、参数积分区间可变性等。这些性质使得含参 变量积分在解决实际问题时更加灵活和方便。
反常积分与含参变量积分的计算方法
数学分析课件
算一些复杂的极限表达式。
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
连续性
01 02
连续性的定义
连续性是函数的一种性质，它描述了函数在某一点处的变化情况。如果 函数在某一点处的左右极限相等且等于该点的函数值，则函数在该点处 连续。
连续性的性质
连续性具有一些重要的性质，如局部保序性、介值定理等。这些性质在 数学分析中有着广泛的应用。
03
连续性的判定
判定一个函数是否连续，可以通过计算该函数的左右极限并检查它们是
否相等来实现。此外，还可以利用连续性的性质进行判定。
导数
导数的定义
导数是函数的一种性质，它描述了函 数在某一点处的切线斜率。导数的定 义包括函数在某一点的导数和函数在 某区间的导数。
导数的性质
导数的计算
计算导数的方法有很多种，如直接法、 乘积法则、复合函数求导法则等。这 些方法可以帮助我们计算一些复杂的 导数表达式。
电子工程
在电子工程中，数学分析用于信号处理、图像处 理和通信系统设计。
计算机科学
在计算机科学中，数学分析用于算法设计、数据 分析和人工智能等领域。
06 数学分析的习题与解答
CHAPTER
习题的选择与解答
精选习题
选择具有代表性的数学分析题目，涵盖各个知识点，难度适中， 适合学生巩固所学内容。
详细解答
极限的计算方法
计算极限的方法有很多种，如直接代入法、分解因式法、等价无穷小替换法、洛必达法则 等。根据不同的情况选择合适的方法可以简化计算过程。
导数问题
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数局部性质的一种体现。导数可以分为一阶导数、二阶导数等，高阶导 数可以用来研究函数的拐点、凸凹性等性质。
03 数学分析的定理与证明
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n n n x
分时,可用分部积分法使 xn 逐次降幂. 例11 求 x cos xdx.
2
2 2 2 x cos x d x x dsin x x sin x 2 x sin xdx 解
x 2 sin x 2 xdcos x
2
x sin x 2 xcos x 2 cos x dx
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三、分部积分法
定理8.6 (分部积分法) 若u(x)与v(x)可导, 不定积分 u( x )v( x )dx存在,
则 u( x )v( x )dx 也存在, 且
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
证 由 ( u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x ) 或
且 ( x ) , x [a , b]. 又u ( x )在[a , b
G ( u) C G ( ( x )) C . (1)
d 证 因为 G ( ( x )) G( ( x )) ( x ) g( ( x )) ( x ). dx
解
(a 0).
π , 2 2 1 dx a sec t 2 d t cos tdt 3 ( x 2 a 2 )2 a 4 sec4 t a 1 3 (1 cos 2t )dt 2a 1 x2 a2 3 ( t sin t cos t ) C x 2a t 1 x ax 3 arctan 2 C. 2 a a x a 2a x a tan t , | t |
x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C .
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2. 升幂法
求 x arctan x, x ln x, x arcsin x 等类型函数的不
定积分时,需要使用升幂法.
3 x 例12 ln xdx .
4 1 4 x 3 3 x ln x d x ln x d ( x ln x x dx ) 解 4 4 4 x (4 ln x 1) C . 16
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dx (a 0). 例1 求 2 2 a x 解 x d dx 1 a a 2 x 2 a x 2 1 a
1 du 1 arctan u C 2 a a 1 u
1 x arctan C . a a
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1
dx 1 . du ( x ) x 1 ( u )
d 1 1 F ( ( u)) F ( x ) 于是 dx ( x ) 1 g( ( x )) ( x ) g( u), ( x ) 所以(2)式成立.
第二类换元积分法常用在 f (a 2 x 2 ), f (a 2 x 2 ),
x
x2 a2
t
a
sec tdt ln | sec t tan t | C
x ln a
x2 a2 C ln x x 2 a 2 C1 , a
其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.
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dx 例10 求 2 ( x a 2 )2
d(sec x tan x ) ln | sec x tan x | C . sec x tan x
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二、第二换元积分法
定理8.5 (第二换元积分法)
若 g( u) 在 [ , ] 上有定义, u ( x )在[a , b] 上可导,
( x ) 0, 且 g( ( x )) ( x )dx F ( x ) C ,
所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g( ( x)) ( x)dx g( ( x))d ( x) G( ( x)) C ,
其中 G( u) g( u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax );
(2) dx d( x a );
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例8 求
a2 x2 π 解 设 x a tan t , | t | . 2 2 dx a sec tdt a 2 x 2 a sec t
dx
(a 0).
sec tdt ln | sec t tan t | C
ln( a 2 x 2 x ) C .
§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
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一、第一换元积分法
定理8.4 (第一换元积分法)
设 g ( u) 在 [ , ] 上有定义， 且 g(u)du G(u) C .
1 x a ln C. 2a x a
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2 求 x 1 x dx . 例3
1 2 2 解 x 1 x dx 1 x d(x ) 2 1 1 1 x 2 2d 1 x 2 2
2
1 2
3 2
1 2 1 x2 C 2 3 3 1 1 x2 2 C . 3
这里可借助辅助直角三 角形, 求出 sec t , tan t .
t
x2 a2
x
a
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例9 求
π 解 设 x a sec t , 0 t , 2 dx a sec t tan t x 2 a 2 a tan t dt
dx 2 2 x a
(a 0).
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4. 递推法
例14 求不定积分I n cos n xdx.
解 I1 cos xdx sin x C .
I n cosn xdx cosn1 xdsin x sin x cos
n1
x (n 1) cos
n 2
sin xdx
2
n
n
n
注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点.
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3. 循环法
求 e x sin x , e x cos x 类型的函数的不定积分时,用分
部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,
解出方程加上常数C 即可得不定积分. 例13 求 I1 eax cos bx dx 和 I 2 eax sin bx dx .
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I1 的另一种求法是: 1 ax ax I1 (e cos bx b e sin bx dx ) a 1 ax b (e cos bx sin bx deax ) a a 1 ax b ax b2 ax (e cos bx e sin bx e cos bxdx ) a a a 1 ax b ax b2 (e cos bx e sin bx I1 ) a a a b sin bx a cos bx ax 所以 I1 e C . I 2 的求法类似. 2 2 a b
(4)式代入(3)式,得
b ax 1 ax I1 [ e cos bx (e sin bx bI1 ) ]. a a
整理后得到
同理
b sin bx a cos bx ax I1 e C. 2 2 a b a sin bx b cos bx ax I2 e C. 2 2 a b
ax 1 解 I1 a cos bx d(e ) 1 ax (e cos bx b eax sin bx dx ) a 1 (eax cos bx bI 2 ), a
(3)
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1 I 2 sin bx d(eax ) 1 (eax sin bx b eax cos bxdx ) a a 1 ax (4) (e sin bx bI1 ). a
u( x )v( x ) ( u( x )v ( x )) u( x )v ( x ), 两边积分,得
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
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1. 降幂法
在求 x sin x , x cos x , x e 等类型函数的不定积
1 1 (3) x dx d(x ); (4) cos xdx d(sin x ); 1 (5) sin xdx d( cos x ); (6) 1 x dx d( ln x ); dx 2 d(arctan x ). (7) sec x d x d( tan x ); (8) 2 1 x
2 2
2 a a cos t dt (1 cos 2t )dt 2
2
2
2 a 1 a x x x t sin 2t C arcsin 1 C 2 2 2 a a a 1 2 x 2 2 a arcsin x a x C . 2 a 2
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例6 求 sec xdx .
cos x d(sin x ) dx 解 (解法一) sec xdx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 sin x ln C. 2 1 sin x
sec x(sec x tan x ) dx (解法二) sec xdx sec x tan x
sin x cosn1 x (n 1) cosn2 (1 cos2 x )dx sin x cos
分时,可用分部积分法使 xn 逐次降幂. 例11 求 x cos xdx.
2
2 2 2 x cos x d x x dsin x x sin x 2 x sin xdx 解
x 2 sin x 2 xdcos x
2
x sin x 2 xcos x 2 cos x dx
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三、分部积分法
定理8.6 (分部积分法) 若u(x)与v(x)可导, 不定积分 u( x )v( x )dx存在,
则 u( x )v( x )dx 也存在, 且
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
证 由 ( u( x )v( x )) u( x )v( x ) u( x )v ( x ) 或
且 ( x ) , x [a , b]. 又u ( x )在[a , b
G ( u) C G ( ( x )) C . (1)
d 证 因为 G ( ( x )) G( ( x )) ( x ) g( ( x )) ( x ). dx
解
(a 0).
π , 2 2 1 dx a sec t 2 d t cos tdt 3 ( x 2 a 2 )2 a 4 sec4 t a 1 3 (1 cos 2t )dt 2a 1 x2 a2 3 ( t sin t cos t ) C x 2a t 1 x ax 3 arctan 2 C. 2 a a x a 2a x a tan t , | t |
x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x C .
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2. 升幂法
求 x arctan x, x ln x, x arcsin x 等类型函数的不
定积分时,需要使用升幂法.
3 x 例12 ln xdx .
4 1 4 x 3 3 x ln x d x ln x d ( x ln x x dx ) 解 4 4 4 x (4 ln x 1) C . 16
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dx (a 0). 例1 求 2 2 a x 解 x d dx 1 a a 2 x 2 a x 2 1 a
1 du 1 arctan u C 2 a a 1 u
1 x arctan C . a a
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1
dx 1 . du ( x ) x 1 ( u )
d 1 1 F ( ( u)) F ( x ) 于是 dx ( x ) 1 g( ( x )) ( x ) g( u), ( x ) 所以(2)式成立.
第二类换元积分法常用在 f (a 2 x 2 ), f (a 2 x 2 ),
x
x2 a2
t
a
sec tdt ln | sec t tan t | C
x ln a
x2 a2 C ln x x 2 a 2 C1 , a
其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.
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dx 例10 求 2 ( x a 2 )2
d(sec x tan x ) ln | sec x tan x | C . sec x tan x
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二、第二换元积分法
定理8.5 (第二换元积分法)
若 g( u) 在 [ , ] 上有定义, u ( x )在[a , b] 上可导,
( x ) 0, 且 g( ( x )) ( x )dx F ( x ) C ,
所以(1)式成立.
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第一换元积分法亦称为凑微分法, 即
g( ( x)) ( x)dx g( ( x))d ( x) G( ( x)) C ,
其中 G( u) g( u). 常见的凑微分形式有
(1) adx d(ax );
(2) dx d( x a );
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例8 求
a2 x2 π 解 设 x a tan t , | t | . 2 2 dx a sec tdt a 2 x 2 a sec t
dx
(a 0).
sec tdt ln | sec t tan t | C
ln( a 2 x 2 x ) C .
§2 换元积分法与分部积分法
不定积分是求导运算的逆运算, 相应 于复合函数求导数的链式法则和乘法 求导公式, 不定积分有换元积分法和分 部积分法.
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
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一、第一换元积分法
定理8.4 (第一换元积分法)
设 g ( u) 在 [ , ] 上有定义， 且 g(u)du G(u) C .
1 x a ln C. 2a x a
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2 求 x 1 x dx . 例3
1 2 2 解 x 1 x dx 1 x d(x ) 2 1 1 1 x 2 2d 1 x 2 2
2
1 2
3 2
1 2 1 x2 C 2 3 3 1 1 x2 2 C . 3
这里可借助辅助直角三 角形, 求出 sec t , tan t .
t
x2 a2
x
a
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例9 求
π 解 设 x a sec t , 0 t , 2 dx a sec t tan t x 2 a 2 a tan t dt
dx 2 2 x a
(a 0).
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4. 递推法
例14 求不定积分I n cos n xdx.
解 I1 cos xdx sin x C .
I n cosn xdx cosn1 xdsin x sin x cos
n1
x (n 1) cos
n 2
sin xdx
2
n
n
n
注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点.
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3. 循环法
求 e x sin x , e x cos x 类型的函数的不定积分时,用分
部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,
解出方程加上常数C 即可得不定积分. 例13 求 I1 eax cos bx dx 和 I 2 eax sin bx dx .
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I1 的另一种求法是: 1 ax ax I1 (e cos bx b e sin bx dx ) a 1 ax b (e cos bx sin bx deax ) a a 1 ax b ax b2 ax (e cos bx e sin bx e cos bxdx ) a a a 1 ax b ax b2 (e cos bx e sin bx I1 ) a a a b sin bx a cos bx ax 所以 I1 e C . I 2 的求法类似. 2 2 a b
(4)式代入(3)式,得
b ax 1 ax I1 [ e cos bx (e sin bx bI1 ) ]. a a
整理后得到
同理
b sin bx a cos bx ax I1 e C. 2 2 a b a sin bx b cos bx ax I2 e C. 2 2 a b
ax 1 解 I1 a cos bx d(e ) 1 ax (e cos bx b eax sin bx dx ) a 1 (eax cos bx bI 2 ), a
(3)
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1 I 2 sin bx d(eax ) 1 (eax sin bx b eax cos bxdx ) a a 1 ax (4) (e sin bx bI1 ). a
u( x )v( x ) ( u( x )v ( x )) u( x )v ( x ), 两边积分,得
u( x)v( x)dx u( x)v( x) u( x)v( x)dx.
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1. 降幂法
在求 x sin x , x cos x , x e 等类型函数的不定积
1 1 (3) x dx d(x ); (4) cos xdx d(sin x ); 1 (5) sin xdx d( cos x ); (6) 1 x dx d( ln x ); dx 2 d(arctan x ). (7) sec x d x d( tan x ); (8) 2 1 x
2 2
2 a a cos t dt (1 cos 2t )dt 2
2
2
2 a 1 a x x x t sin 2t C arcsin 1 C 2 2 2 a a a 1 2 x 2 2 a arcsin x a x C . 2 a 2
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例6 求 sec xdx .
cos x d(sin x ) dx 解 (解法一) sec xdx 2 cos x 1 sin 2 x
1 1 sin x ln C. 2 1 sin x
sec x(sec x tan x ) dx (解法二) sec xdx sec x tan x
sin x cosn1 x (n 1) cosn2 (1 cos2 x )dx sin x cos