第四章 振 动

2
(1) (2)
x
(3) (4)
图 5-8
由（1） （2） （3） （4） （5）解得 a = −
x
+m
+
k x=0 J + m R2
此为谐振动
J +m 2 2π R T= = 2π ω k
m0 9 如图所示，一质量为 m 的弹簧振子，在光滑水平 k m 面上作谐振动，O 为平衡位置，振动的振幅为 A。当 m 运动到最大位移点 a 时，突然一质量为 m0 的物体 竖直落下并粘在 m 上，与 m 一起振动，求： O A a （1）该系统的圆频率和振幅； （2）若 m 运动到 O 点时，m0 落下并与 m 粘在一起振动，则系统振动的圆频率和振幅。 解： （1） m 到最大位移 a 点时速度为 v=0，m0 竖直落下，所以 m+m0 的速度为零
2 A = A1 +A2 2 + 2 A 1 A 2 cos ∆ϕ =
1 3 (0.05)2 + (0.06)2 + 2 × 0.05 × 0.06 cos π − π = 0.78m 4 4
tgϕ =
A 1 sin φ1 + A 2 sin φ 2 = 11 A 1 cos φ1 + A 2 cos φ 2
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3 一质点按余弦规律作简谐振动， 其速度—时间关系曲线如图所示,周期 T=2s， 试求振动 表达式。 2π 解： ω = =π v（m/s） T vm V V A= m = m ω π V π 根据 − m = −Vm sin ϕ 且 V < 0 ϕ = 0 t（s） 2 6 −vm/2 V π ∴ x = m cos( πt + ) −vm π 6 4 一弹簧振子沿 X 轴作谐振动，已知振动物体最大位移 xm=0.4m，最大恢复力 Fm=0.8N， 最大速度 Vm=0.8πm/s，已知 t=0,x0=0.2m,V0<0，求： （1）振动能量； （2）振动表达式。 解： （1）Q Fmax = kA
（2）当 t = 1 时
（3） Fmax = ma max = 10 × 10 −3 × Aω 2 = 10 × 10 −3 × 0.1 × (8π) 2 = 0.63N （4） E =
1 1 mA 2 ω2 = × 10 × 10 −3 × (0.1) 2 × (8π) 2 = 3.2 × 10 −2 J 2 2
mv 0 = (m + m 0 ) v ′ v′ = m m + m0 k A0 m k A0 m
∴
A′ =
v' = ω
m m + m0
k m + m0
=
m A0 m + m0
10 一匀质细杆质量 m，长ι，可绕水平轴 O 自由转动。一小球质量 m，以水平速度 v0 飞来粘住杆端，使杆作小角度振动，试证明杆作谐振动，并求振动表达式。 证明： 小球飞向杆端的过程，角动量守恒 1 4 mv 0 l = ( ml 2 + ml 2 )ω = ml 2 ω 3 3 小球粘住杆端后任一时刻对 o 点的转动定律 l − mgl sin θ − mg sin θ = Jα 2 Q sin θ ~ θ 3 4 ∴ −mg lθ ≈ ml 2 θ 2 3 & & + 9g θ = 0 θ 即 8l 杆的运动为谐振动 又杆、地球系统机械能守恒，取平衡位置重力势能为零 1 2 l Jω = mgl(1 − cos θ m ) + mg (1 − cos θ m ) 2 2
f = −2 ysρg = −(2ρgs) y
由牛顿运动定律得
d2y dt
2
− (2ρgs) y = m
d2y dt 2
即
m
+
2ρgs y=0 m
此为简谐振动
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ω=
2ρgs m
T=
2π m = 2π ω 2ρgs
8 如图所示，物体的质量为 m，放在光滑的斜面上，斜面与水平面的倾角为α，弹簧的 弹性系数为 k，滑轮的转动惯量为 J，半径为 R。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后 由静止释放，试证明物体作谐振动，并求振动周期。 解：以物体受力平衡点为坐标原点，如图建立坐标
mg sin θ − T1 = ma (T1 − T2 )R = Jα T2 = k ( x + x 0 ) mg sin θ = kx 0 a = Rα (5) k J R2 ∴ d2x dt
∴k = E= Fmax A
1 1 1 kA 2 = Fmax A = × 0.8 × 0.4 = 0.16J 2 2 2 A （2）Q t = 0 x0 = v0 < 0 2 π ∴ϕ = 3 v 又 v m = ωA 所以 ω = m = 2π A π 则 x = 0.4 cos( 2πt + ) 3 5 一弹簧振子，由弹性系数为 k 的弹簧和质量为 M 的物块组成，将弹簧一端与顶板连接， 如图所示。开始时物块静止，一质量为 m，速度为 v0 的子弹由下而上射入物块，并停留 在物块中，试求： （1）振子振动的振幅和周期； （2）物块由初位置运动到最高点所需的时间；
ω = 8π s T= Φ= 2 π 3 A = 0.1m
2π = 0.25s ω 2 2 位相： ωt + ϕ = 8π ×1 + π = 8 π 3 3 2 速度： v = −Aω sin(ωt + ϕ) = 0.1× 8π sin(8πt + π) 3 2 v1 = 0.8π sin(8π + π) = 2.175 m s 3
解： （1）子弹打入木块动量守恒 初时位置
mg = kx 0 V2 ω
2
mv 0 = (m + M)V
K
A = x2 0 + =
= (
mg 2 mv 0 ) + M+m k
2
k M+m
M
kv 2 mg 0 1+ k ( m + M )g 2
m
v0
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（其中 ω =
km+M = 2π ω k mg k （取向上为正，平衡位置在 x 0 = ) m+M k
mv 0 v v M +m （2） tgϕ = − =− =− 0 x0ω g mg k k m+M
最高点 x = A
∴
ωt + ϕ = 0
0 − ϕ 2π = =ω ∆t T M + m −1 v 0 tg ( k g k ) M+m
x=
2 v0 9g π cos( t− ) 2gl 8l 2
11 有两个同方向的谐振动，它们的方程为
3 x 1 = 0.05 cos10t + π 4 1 x 2 = 0.06 cos10t + π 4
式中 x 以 m 计，t 以 s 计，求： （1）它们合成振动的振幅和初位相； （2）若另有一振动 x3 =0.07cos(10t+φ)，则φ为何值时，x1+x3 的振幅为最大？φ为何 值时，x2+x3 的振幅为最小？ 解： （1）
∴A = 2Fx = 0.204 k k =2 m
K
m F O x
ω= ϕ=π
∴ x = 0.204 cos( 2t + π)(m)
7 如图所示，质量为 m 的水银装在 U 形管中，管的截面积为 S，若使两边水银面相差 2y0， 然后使水银面上下振动，试证明其为谐振动，并求其振动周期。 解：设水银面在同一水平面上为坐标原点，取向上为 y 正方向，两面压力差
第五章
振
动
1 如图为一谐振动的振动曲线，求： （1）t=1s 和 t=0.5s 时刻的位相差Δφ； （2）若质点 x (cm) 质量 m=1 ㎏，则此质点作谐振动的能量 E=？ 解： （1）由振动曲线可知 π t=0 ϕ0 = − A 3 A/2 π t =1 ϕ1 = 1 t(s) 2
∴ ∆ϕ = ϕ1 − ϕ 0 = 5 π −A 6 ∆ϕ ∆t 12 = ⇒T= 2π T 5 ϕ − ϕ t −t ∆ϕ′ 0.5 = 1 = 1 0.5 2π 2π T 5 ∆ϕ′ = π 12 1 1 1 2π 25 2 2 E = mv 2 m (ω A ) 2 = × 1 × ( A ) 2 = π A m = 2 2 2 T 72
2 解： （1） A 2 = A1 + A 2 − 2AA1 cos
π = 10cm 6 π 2
2 （2） A 2 = A1 + A2 2 + 2A1 A 2 cos ∆ϕ ⇒ ∆ϕ =
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ϕ = 84 0 48' 3 3 （2） ϕ 3 − π = 0 ϕ3 = π 4 4 1 5 ϕ' 3 − π = π ϕ' 3 = π 4 4 12、两同方向同频率的谐振动,其合振动振幅为 20cm,与第一谐振动的位相差为φ-φ1= —— π/6，若第一个谐振动的振幅为 10 √3 cm，求： （1）第二个振动的振幅 A2； （2）第一，第二，两个谐振动的位相差。
2 ∴A = x0 +
v2 0 ω2
= A0
ω=
k m + m0
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（2）圆频率 ω′ =
k 不变 m + m0 k A0 m