2020高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的立体几何问题教师用书

【2019最新】精选高考数学大一轮复习高考专题突破五高考中的立体几何问题教师用书1．多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A. B．2 C. D.103答案D解析由三视图可知该几何体为一个三棱柱削去一个三棱锥得到的几何体，该三棱柱的体积为×2×2×2＝4，三棱锥的体积为××2×2×1＝，所以该几何体的体积为4－＝，故选D.2．正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC中点，E为A1C1中点，则DE与平面A1B1BA 的位置关系为( )A．相交B．平行C．垂直相交D．不确定答案B解析如图取B1C1中点为F，连接EF，DF，DE，则EF∥A1B1，DF∥B1B，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.3．(2016·沈阳模拟)设α，β，γ是三个平面，a，b是两条不同直线，有下列三个条件：①a∥γ，b⊂β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上)答案①或③解析由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，a⊂γ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.4．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于________．答案23解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，则＝(0,1,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,2)．设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥，n⊥，则令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1)．设CD与平面BDC1所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝.题型一求空间几何体的表面积与体积例1 (2016·全国甲卷)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)解由EF∥AC得＝＝.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.又由＝得EF＝.五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.所以五棱锥D′ABCFE的体积V＝××2＝.思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，则正棱锥侧面的斜高为＝.∴S侧＝3××2×＝9.∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2＝9＋6.(2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r＝(3＋2)r.又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2，∴(3＋2)r＝2，得r＝＝＝－2.∴S内切球＝4π(－2)2＝(40－16)π.V内切球＝π(－2)3＝(9－22)π.题型二空间点、线、面的位置关系例2 (2016·济南模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．(1)证明在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明方法一如图1，取AB中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.方法二如图2，取AC的中点H，连接C1H，FH.因为H，F分别是AC，BC的中点，所以HF∥AB，又因为E，H分别是A1C1，AC的中点，所以EC1綊AH，所以四边形EAHC1为平行四边形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F⊂平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.(3)解因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥E－ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.思维升华(1)①证明面面垂直，将“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，再将“线面垂直”问题转化为“线线垂直”问题．②证明C1F∥平面ABE：(ⅰ)利用判定定理，关键是在平面ABE中找(作)出直线EG，且满足C1F∥EG.(ⅱ)利用面面平行的性质定理证明线面平行，则先要确定一个平面C1HF满足面面平行，实施线面平行与面面平行的转化．(2)计算几何体的体积时，能直接用公式时，关键是确定几何体的高，不能直接用公式时，注意进行体积的转化．(2016·南京模拟)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.证明(1)由AS＝AB，AF⊥SB知F为SB中点，则EF∥AB，FG∥BC，又EF∩FG＝F，AB∩BC＝B，因此平面EFG∥平面ABC.(2)由平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB，AF⊂平面SAB，AF⊥SB，所以AF⊥平面SBC，则AF⊥BC.又BC⊥AB，AF∩AB＝A，则BC⊥平面SAB，又SA⊂平面SAB，因此BC⊥SA.题型三空间角的计算例3 (2016·金华十校调研)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2，AD＝4，点E，F 分别在AD，BC上，且AE＝1，BF＝3，将四边形AEFB沿EF折起，使点B在平面CDEF 上的射影H在直线DE上．(1)求证：CD⊥BE；(2)求线段BH的长度；(3)求直线AF与平面EFCD所成角的正弦值．(1)证明 ∵BH⊥平面CDEF ，∴BH⊥CD，又CD⊥DE，BH∩DE＝H ，∴CD⊥平面DBE ，∴CD⊥BE.(2)解 方法一 设BH ＝h ，EH ＝k ，过F 作FG 垂直ED 于点G ，∵线段BE ，BF 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得⎩⎪⎨⎪⎧ BE2＝BH2＋EH2，BF2＝BH2＋FH2＝BH2＋FG2＋GH2⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧ 5＝h2＋k2，9＝22＋h2＋2－k 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ h ＝2，k ＝1，∴线段BH 的长度为2.方法二 如图，过点E 作ER∥DC，过点E 作ES⊥平面EFCD ，分别以直线ER ，ED ，ES 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设点B(0，y ，z)(y>0，z>0)，由于F(2,2,0)，BE ＝，BF ＝3，∴解得于是B(0,1,2)，∴线段BH 的长度为2.(3)解 方法一 延长BA 交EF 于点M ，∵AE∶BF＝MA∶MB＝1∶3，∴点A 到平面EFCD 的距离为点B 到平面EFCD 距离的，∴点A 到平面EFCD 的距离为，而AF ＝，故直线AF 与平面EFCD 所成角的正弦值为.方法二 由(2)方法二知＝(－2，－1,2)，故＝＝(－，－，)，FA →＝＋＝(－，－，)，设平面EFCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)，直线AF 与平面EFCD 所成角的大小为θ，则sin θ＝＝.(2016·杭州学军中学高三5月模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°.(1)求证：平面PAD⊥平面PCD；(2)求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．(1)证明∵BC＝BD，取CD的中点E，连接BE，∴BE⊥CD，∵AB∥CD，且CD＝2AB，∴AB∥DE，且AB＝DE，∴四边形ABED是矩形，∴BE∥AD，且BE＝AD，AB⊥AD，又∵AB⊥PA，PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又∵CD⊂平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.(2)解以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立空间直角坐标系，如图所示．∵PB＝BC＝BD＝，CD＝2AB＝2，∠PAD＝120°，∴PA＝＝＝2，AD＝BE＝＝＝2，BC＝＝＝，则P(0，－1，)，D(0,2,0)，B(，0,0)，C(2，2,0)，PD →＝(0,3，－)，＝(－，－1，)，BC →＝(，2,0)．设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BC →＝2x ＋2y ＝0，n ·BP →＝－2x －y ＋3z ＝0，取x ＝，得n ＝(，－1，)，设直线PD 与平面PBC 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PD →·n |PD →||n| ＝＝，∴直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值为.1．(2016·山东牟平一中期末)如图，在四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD ，E ，F ，H 分别为AD ，CD ，DD1的中点，EF 与BD 交于点G.(1)证明：平面ACD1⊥平面BB1D ；(2)证明：GH∥平面ACD1.证明 (1)∵BB1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC⊥BB1.又AC⊥B1D，BB1∩B1D＝B1，∴AC⊥平面BB1D.∵AC ⊂平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D.(2)设AC∩BD＝O ，连接OD1.∵E，F 分别为AD ，CD 的中点，EF∩OD＝G ，∴G 为OD 的中点．∵H 为DD1的中点，∴HG∥OD1.∵GH⊄平面ACD1，OD1⊂平面ACD1，∴GH∥平面ACD1.2．(2016·咸阳模拟)如图，梯形ABEF中，AF∥BE，AB⊥AF，且AB＝BC＝AD＝DF＝2CE＝2，沿DC将梯形CDFE折起，使得平面CDFE⊥平面ABCD.(1)证明：AC∥平面BEF；(2)求三棱锥D－BEF的体积．(1)证明如图，取BF的中点M，设AC与BD交点为O，连接MO，ME.由题设知，CE綊DF，MO綊DF，∴CE綊MO，故四边形OCEM为平行四边形，∴EM∥CO，即EM∥AC.又AC⊄平面BEF，EM⊂平面BEF，∴AC∥平面BEF.(2)解∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD＝DC，BC⊥DC，∴BC⊥平面DEF.∴三棱锥D－BEF的体积为VD－BEF＝VB－DEF＝S△DEF·BC＝××2×2×2＝. 3．(2016·宁波高三上学期期末)如图，在多面体EF－ABCD中，四边形ABCD，ABEF 均为直角梯形，∠ABE＝∠ABC＝90°，四边形DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD.(1)求证：DF⊥平面ABCD；(2)若BC＝CD＝CE＝AB，求直线BF与平面ADF所成角的正弦值．(1)证明由四边形DCEF为平行四边形，知EF∥CD，所以EF∥平面ABCD.又平面ABEF∩平面ABCD＝AB，从而有AB∥CD∥EF.因为∠ABE＝∠ABC＝90°，所以AB⊥BE，AB⊥BC，又因为BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCE，因为CE⊂平面BCE，所以AB⊥CE.又四边形DCEF为平行四边形，有DF∥CE，所以DC⊥DF，又因为平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD＝DC，所以DF⊥平面ABCD.(2)解不妨设BC＝1，则BC＝CD＝CE＝1，AB＝2，四边形ABCD为直角梯形，连接BD，则有BD＝AD＝，则BD⊥AD，由DF⊥平面ABCD，知DF⊥BD，因为DF∩AD＝D，所以BD⊥平面FAD，则∠BFD即为直线BF与平面ADF所成角，在△BFD中，DF⊥BD，BD＝，DF＝1，则BF＝，所以sin∠BFD＝＝＝，所以直线BF与平面ADF所成角的正弦值为.4．(2016·全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；(2)求二面角E-BC-A的余弦值．(1)证明由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，DF∩FE＝F，所以AF⊥平面EFDC，又AF⊂平面ABEF，故平面ABEF⊥平面EFDC.(2)解过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.由(1)知∠DFE为二面角D-AF-E的平面角，故∠DFE＝60°，则DF ＝2，DG ＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)． 由已知，AB∥EF，AB ⊄平面EFDC ，EF ⊂平面EFDC ，所以AB∥平面EFDC ，又平面ABCD∩平面EFDC ＝CD ，故AB∥CD，CD∥EF，由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC ，所以∠CEF 为二面角CBEF 的平面角，∠CEF＝60°，从而可得C(－2,0，)．所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．设n ＝(x ，y ，z)是平面BCE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·EC →＝0，n ·EB →＝0，即所以可取n ＝(3,0，－)．设m 是平面ABCD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·AC →＝0，m ·AB →＝0.同理可取m ＝(0，，4)，则cos 〈n ，m 〉＝＝－.故二面角E-BC-A 的余弦值为－.5．(2016·绍兴期末)如图所示的几何体中，四边形ABCD 为梯形，AD∥BC，AB⊥平面BEC ，EC⊥CB，已知BC ＝2AD ＝2AB ＝2.(1)证明：BD⊥平面DEC ；(2)若二面角A －ED －B 的大小为30°，求EC 的长度．(1)证明 因为AB⊥平面BEC ，所以AB⊥EC.又因为EC⊥BC，AB∩BC＝B ，所以EC⊥平面ABCD.因为BD ⊂平面ABCD ，所以EC ⊥BD.由题意可知，在梯形ABCD 中，有BD ＝DC ＝，所以BD2＋DC2＝BC2，所以BD⊥DC.又EC∩CD＝C ，所以BD⊥平面DEC.(2)解 如图，以点B 为坐标原点，以BA 所在直线为z 轴，BC 所在直线为y 轴，以过点B 且平行于CE 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．设||＝a>0，则B(0,0,0)，E(a,2,0)，A(0,0,1)，C(0,2,0)，D(0,1,1)．设平面AED 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0，－ax －y ＋z ＝0，令x ＝1，得平面AED 的一个法向量为m ＝(1,0，a)，设平面BED 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，则即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋z ＝0，ax ＋2y ＝0，令x ＝2，得平面BED 的一个法向量为n ＝(2，－a ，a)．又二面角A －ED －B 的大小为30°，所以cos 30°＝||＝＝，得a ＝1，所以EC ＝1.。