江苏省泰州市2021届第一学期期未调研测试高三数学试题
2021届江苏省泰州市高三上学期期末数学试题(解析版)
2021届江苏省泰州市高三上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{}240∣=-<A xx ，{lg 0}B x x =<∣，则A B =（ ）A ．(2,1)-B ．(2,2)-C ．(0,1)D ．(0,2)【答案】C【分析】解不等式，求出集合A 与集合B 所表示区间，直接求交集.【详解】解：{}240(2,2)A xx =-<=-∣， {lg 0}(0,1)B x x =<=∣，故(0,1)AB =，故选：C.2．设x ∈R ，则“||1x <”是“31x <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性和必要性的定义，结合比较法和特例法进行判断即可. 【详解】当||1x <时，即11x -<<，32331(1)(1)0101x x x x x x -=-++<⇒-<⇒<，因此由||1x <能推出31x <，当31x <时，显然当2x =-时成立，但是||1x <不成立，因此由31x <不一定能推出||1x <，所以“||1x <”是“31x <”的充分不必要条件，故选：A3．若复数2z i =-，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A ．z 的虚部为i - B ．||5z =C ．2z i =--D ．234z i =-【答案】D【分析】根据复数的概念、复数的模、共轭复数的概念及复数的乘法运算逐项判断.【详解】2z i =-的虚部为1-，A 错误；||z ==B 错误；2z i =+，C 错误；()22244134z i i i =-=--=-，D 正确.故选：D4．人的血压在不断地变化，血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的度数就是收缩压和舒张压，度数120/80mmHg 为标准值.设甲某的血压满足函数式()()10224sin 160p t t π=+，其中()p t 为血压（单位：mmHg ），t 为时间（单位：min ），对于甲某而言，下列说法正确的是（ ） A ．收缩压和舒张压均高于相应的标准值 B ．收缩压和舒张压均低于相应的标准值 C ．收缩压高于标准值､舒张压低于标准值 D ．收缩压低于标准值､舒张压高于标准值【答案】C【分析】求得函数()p t 的最大值和最小值，结合收缩压和舒张压的标准值可得出结论. 【详解】()()10224sin 160p t t π=+，()min 1022478p t ∴=-=，()max 10224126p t =+=.所以，甲某血压的舒收缩压为126mmHg ，舒张压为78mmHg . 因此，收缩压高于标准值､舒张压低于标准值. 故选：C.5．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为（ ） A ．2278S d =B ．2272S d =C ．292S d =D ．21114S d =【答案】A【分析】根据已知条件结合球的体积公式3432d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出π的值，然后根据球的表面积公式242d π⎛⎫ ⎪⎝⎭求解出S 的表示，即可得到结果.【详解】d =，所以33941632d d V π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以278π=，所以2222727442848d d S d π⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到π的表示，再将π带入到球的表面积公式即可完成求解.6．已知向量(1,2)AB =，(cos ,sin )AC θθ=，则ABC 面积的最大值为（ ）A ．B ．12C D ．1【答案】C【分析】利用向量公式求出向量AB 与AC 的夹角及模长，利用三角形面积公式求得面积，运用三角函数性质求得最值. 【详解】(1,2)AB =，(cos ,sin )AC θθ=222125,cos 1AB AC ∴=+===,5cos sin()AB AC A AB ACθθθϕ⋅==+=+⋅，其中1tan 2ϕ=， 故sin cos()A θϕ=+，1sin )2ABCSAB AC A θϕ=⋅⋅=+，故当cos()1θϕ+=时，即2,k k Z θϕπ+=∈时，ABCS . 故选：C.7．已知0.1log 5x =，7log y = ）A ．0x y xy +<<B ．0xy x y <+<C ．0x y xy +<<D ．0xy x y <<+【答案】B【分析】先根据计算确定出,xy x y +的正负，然后将x yyx +的值与1比较大小，由此确定出,,0xy x y +之间的大小关系.【详解】因为0.1lg 5log 5lg 50lg 0.1x ===-<，771lg 5log log 5022lg 7y ===>，所以0xy <，又因为()lg 512lg 7lg 5lg 52lg 72lg 7x y -+=-=，因为12lg7lg10lg 490-=-<，所以0x y +<，又因为()5555511log 0.17log 0.12log 7log 0.149log 4.91x y xy x y+=+=+=+=⨯=<， 所以1x yxy+<且0xy <，所以x y xy +>，所以0xy x y <+<， 故选：B.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.8．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()(6)f x f x =-，且当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，其中a 为常数，则(2019)(2020)(2021)f f f ++的值为（ ） A ．2 B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】由()(6)f x f x =-，求得()f x 的周期，根据函数的奇偶性求得(1),(2),(3)f f f --的值，结合()(2019)(2020)(2021)3(2)(1)f f f f f f =+-+-++，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 满足()(6)f x f x =-，所以函数()f x 的周期为6T =，又由当03x ≤<时，21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩， 因为函数()f x 奇函数，所以()00f a =+=，所以0a =，则()1(1)1)2f f -=-=-+=-，()22(2)2(22)0f f -=-=-⨯-=，令3x =，可得(3)(36)(3)(3)f f f f =-=-=-，可得(3)0f =， 所以(2019)(2020)(2021)(33663)(33672)(33761)f f f f f f ++=⨯++⨯-+⨯-()3(2)(1)0022f f f =+-+-=+-=-.故选：B二、多选题9．已知抛物线2:4x y Γ=的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有（ ） A ．点F 坐标为(1,0) B ．抛物线Γ的准线方程为1y =- C ．线段MN 长为4 D ．直线2y x =-与抛物线Γ相切【答案】BC【分析】根据抛物线的标准方程和几何性质，可判定A 不正确，B 正确；令1y =，可得求得4MN =，可判定C 正确；联立方程组，根据∆<0，可判定D 不正确. 【详解】由抛物线2:4x y Γ=，可得24p =，即2p =，且焦点在y 轴上，所以焦点为(0,1)F ，准线方程为1y =-，所以A 不正确，B 正确；令1y =，可得24x =，解得2x =±，所以4MN =，所以C 正确；联立方程组224y x x y=-⎧⎨=⎩，整理得2480x x -+=，可得2(4)480∆=--⨯<，所以直线2y x =-与抛物线没有公共点，所以D 不正确. 故选：BC.【点睛】求解直线与抛物线的位置关系问题的方法：在解决直线与抛物线的位置关系的问题时，其方法类似于直线与椭圆的位置关系，在解决此类问题时，除考虑代数法外，还应借助平面几何的知识，利用数形结合法的思想来求解.10．已知函数()sin(cos )f x x =，则下列关于该函数性质说法正确的有（ ） A ．()f x 的一个周期是2πB ．()f x 的值域是[1,1]-C ．()f x 的图象关于点(,0)π对称D ．()f x 在区间(0,)π上单调递减【答案】AD【分析】根据正弦型函数的性质，结合余弦函数的性质逐一判断即可. 【详解】A ：因为(2)sin[cos(2)]sin(cos )()f x x x f x ππ+=+==， 所以2π是函数()f x 的周期，故本选项说法正确； B ：因为1cos 1x -≤≤，[1,1][,]22ππ-⊆-， 所以sin(1)sin(cos )sin1()[sin1,sin1]x f x -≤≤⇒∈-， 故本选项说法不正确；C ：因为()sin[cos()]sin(1)sin10f ππ==-=-≠， 所以()f x 的图象不关于点(,0)π对称， 故本选项说法不正确；D ：因为(0,)x π∈，所以函数cos y x =是单调递减函数， 因此有1cos 1x -≤≤，而[1,1][,]22ππ-⊆-，所以()f x 在区间(0,)π上单调递减，故本选项说法正确. 故选：AD11．引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量()11,m x y =，()22,n x y =，规定1212m n x x y y ⊗=-，则对于任意的向量a ，b ，c ，下列说法正确的有（ ） A ．a b b a ⊗=⊗ B ．()()a b a b λλ⊗=⊗ C ．()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅ D ．||||||a b a b ⋅≥⊗【答案】ABD【分析】根据坐标运算计算出每个等式等号左右两边的值，由此判断出AB 是否正确；理解C 选项中“”的含义，由此可判断是否正确；将不等号两边同时平方结合坐标形式下向量的模长公式，采用作差法判断是否正确.【详解】A ．因为12122121,a b x x y y b a x x y y ⊗=-⊗=-，所以a b b a ⊗=⊗，故正确；B ．因为()()()()()12121212a b x x y y x x y y a b λλλλλ⊗=-=-=⊗，故正确；C ．()()()()23231212,a b c x x y y a a b c x xy y c ⋅⊗=-⊗⋅=-，此时()()a b c a b c ⋅⊗=⊗⋅不恒成立，故错误；D ．因为()(2222222222112121221||||a b x x x y y x y x y ⋅==+++，2222212121212||=2a b x x y y x x y y ⊗+-，所以()()2222222122112121221||||||20a b a b x y x y x x y y x y x y ⋅-⊗=++=+≥，所以()22||||||0a b a b ⋅-⊗≥，且||||0a b ⋅≥，||0a b ⊗≥，所以||||||a b a b ⋅≥⊗，故正确， 故选：ABD.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解新运算的运算方法，将其与坐标形式下向量的数量积公式区分开来，通过坐标运算达到判断的目的. 12．已知()20122221nn n n n n n x x T T x T x T x ++=+++⋯+，*n ∈N ，其中in T 为()21nx x ++展开式中i x 项系数，0,1,2,,2i n =⋅⋅⋅，则下列说法正确的有（ ）A ．1477i iT T -=，0,1,2,,14i =⋅⋅⋅ B ．233778T T T +=C ．14671023i i i i T===∑∑D ．77T 是07T ，17T ，27T ，…，147T 是最大值 【答案】ACD【分析】由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A ，D 正确，根据计算可得233778T T T≠+，1467123i i i i T===∑∑，所以C 正确.【详解】由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，故1477i i T T -=，77T 是07T ，17T ，27T ，…，147T 的中间项，故77T 最大，所以A ，D 正确；令0x =可知：012201000n n n n n n T T T T T ⋅⋅⋯+⋅+==++；当7n =时，()71212241477711x xT x T x T x ++=+++⋯+，12772772128C C T =+=+=，31137677423577C C C T =+=+=，31138878112T C C C =+=，所以233778T T T ≠+.令1x =可知，141471477777711231i i i i T T T TT T ====+++⋯++=∑∑，即1477131i i T =-=∑；又因为7012713122(333...3)233131bbi i=-=++++=⋅=--∑. 故1467123ii i i T===∑∑，C 正确.故选：ACD【点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n r ≥，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．三、填空题13．函数()e x f x x =+(其中e 为自然对数的底数)的图象在点(0,(0))f 处的切线方程为________. 【答案】21y x =+【分析】先计算出()f x '，然后计算出()()0,0f f '，再根据直线的点斜式方程求解出切线方程.【详解】因为()e 1xf x '=+，所以()()0012,001f e f e '=+==+=，所以切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+， 故答案为：21y x =+.14．党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作.若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为________. 【答案】90【分析】首先将5名毕业生分组，然后再全排即可.【详解】将5名毕业生按2,2,1分组，则方法有2215312215C C C A ⋅⋅=， 分配到3所乡村小学，共有333216A =⨯⨯=，所以分配方案的总数为15690⨯=.故答案为：9015．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:17y x Γ-=的两个焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ON ≥，则OMON的值为________. 【答案】32【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再求圆的方程与渐近线方程联立可得M ，N 两点的横坐标，由OMON即为横坐标的绝对值的比可得答案.【详解】由已知得2221,7,8a b c ===，2c =，12(F F -，取双曲线的一条渐近线y =，所以圆的方程为(2232x y +=-，由(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=，解得2N M x x ==，32M NM O x x O N===.取双曲线的另一条渐近线y =，(2232y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x -=与上同，综上32OMON =.故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线、圆的位置关系，解答本题的关键是求出渐近线与圆的方程然后联立，得到M ，N 两点的横坐标再由绝对值做比值，考查了学生的运算求解能力.四、双空题16．已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中(0,1)x ∈，又1(0)2P X ==，1(1)4P X ==，则当x =________时，随机变量X 的方差的最小值为________.【答案】13 16【分析】由分布列的性质，求得1()4P X x ==，根据期望的公式，求得()14xE X +=，结合方差的计算公式，化简得的()232316x x D X -+=，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】由1(0)2P X ==，1(1)4P X ==，可得1()4P X x ==，所以随机变量X 的期望为()1111012444xE X x +=⨯+⨯+⨯=，则方差为()2222111111323(0)(1)()42444416x x x x x D X x +++-+=-⨯+-⨯+-⨯=， 所以当13x =时，方差取得最小值，最小值为()16D X =.故答案为：13，16.五、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos a C ，cos b B ，cos c A 成等差数列.（1）求角B 的大小； （2）若4cos 5A =，求sin C 的值.【答案】（1）3π；（2. 【分析】（1）根据三个数成等差数列列出对应等式，然后利用正弦定理进行边化角，再结合隐含条件A B C π++=求解出B 的值；（2）先计算出sin A 的值，然后根据()sin sin C A B =+结合两角和的正弦公式求解出sin C 的值.【详解】（1）cos ,a C ∴，cos b B ，cos c A 成等差数列，2cos cos cos b B a C c A ∴=+，由正弦定理，2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+，ABC 中，A B C π++=，sin()sin()sin A C B B π∴+=-=，2sin cos sin B B B ∴=，又(0,)B π∈，sin 0B ∴>，1cos 2B ∴=，3B π∴=. （2）(0,)A π∈，sin 0A ∴>，3sin 5A ∴==，sin sin()sin cos sin cos C A B A B B A ∴=+=+314525=⨯+=. 【点睛】易错点睛：利用正、余弦定理解三角形的注意事项： （1）注意隐含条件“A B C π++=”的使用；（2）利用正弦定理进行边角互化时，等式两边同时约去某个三角函数值时，注意说明其不为0.18．已知数列{}n a 的前n 项和为(1)2n n n S -=，各项均为正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，________，且34b =.在①23T =；②37T =；③4322b b b -=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n A ，求证：2n A <.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】条件选择见解析；（1）1n a n =-，12n n b -=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据(1)2n n n S -=，利用数列通项和前n 项和关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，选①23T =，由112134b b q b q +=⎧⎨=⎩求解；若选②，则2333T T b =-=，由112134b b q b q +=⎧⎨=⎩求解；若选③，由844q q-=求解. （2）根据1111(1)22n n n n a n n b ---⎛⎫==- ⎪⎝⎭，利用错位相减法求和.【详解】（1）当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，11n n n a S S n --==-，1n =时也成立，1n a n ∴=-，若选①23T =，设{}n b 的公比为q ，0q >，112134b b q b q +=⎧∴⎨=⎩，112b q =⎧∴⎨=⎩，则12n n b -=. 若选②，则2333T T b =-=，112134b b q b q +=⎧∴⎨=⎩, 112b q =⎧∴⎨=⎩，则12n n b -=. 若选③，则844q q-=，则2q ，12n n b -=,1n a n ∴=-，12n n b -=.（2）1111(1)22n n n n a n n b ---⎛⎫==- ⎪⎝⎭.22111111012(2)(1)22222n n n A n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭④，211111101(2)(1)22222n nn A n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑤，-④⑤得2111111(1)22222n nn A n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋯+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1111221(1)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-- ⎪⎝⎭-，1111(1)22n nn -⎛⎫⎛⎫=--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以21112(1)22n n n A n --⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，112(1)22n n -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为3的等边三角形，12A A =，点1A 在下底面上的射影是ABC 的中心O .（1）求证：平面1A AO ⊥平面1BCC B ； （2）求二面角1C AB C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）277.【分析】（1）证明1A O BC ⊥、AO BC ⊥即可推出BC ⊥平面1A AO ，从而证明两平面垂直；（2）建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标及平面1C AB 与平面ABC 的法向量，利用空间向量法求平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：A 在下底面上的射影是ABC 的中心O ，1A O ∴⊥底面ABC ，1AO BC ∴⊥， O 为ABC 的中心，且ABC 为等边三角形，AO BC ∴⊥，1A O ⊂平面1A AO ，AO ⊂平面1A AO ，1AO AO O ⋂=，BC ∴⊥平面1A AO ，BC ⊂平面11BCC B ，∴平面1A AO ⊥平面11BCC B .（2）取AB 中点E ，连接OE ，O 为ABC 的中心，且ABC 为等边三角形，OE AB ∴⊥，以点O 为原点，OE 所在直线为x 轴，过点O 作平行于AB 的直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系，13,22A ⎛⎫∴- ⎪ ⎪⎝⎭，132B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，(1,0,0)C -，13)A ， 13332C ⎛∴- ⎝，1(2,3,3)C A =--，(0,3,0)AB =，设平面1C AB 的一个法向量为1(,,)n x y z =，111233000030x z n C A n AB ⎧⎧=⋅==⎪⎪∴⇒⎨⎨⋅==⎪⎪⎩⎩，取3x =1C AB 的一个法向量为1(3,0,2)n =且平面ABC 的一个法向量2(0,0,1)n =，设二面角1C AB C --平面角为θ，1n ，2n 所成角为ϕ，显然θ为锐角，1212cos |cos |7n n n n θϕ⋅∴====⋅.【点睛】利用空间向量法求二面角的方法：（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角；（2）分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.以上两种方法各有利弊，要善于结合题目的特点选择适当的方法解题.20．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲､乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具质监部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分成“A ”､“B ”､“C ”三个等级，A ､B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表所示：(表一)(表二)在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销.（1）请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？（2）每件玩具的生产成本为30元，A ､B 等级产品的出厂单价分别为60元､40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A 等级，用样本的频率估计概率，试判断甲､乙两厂能否都能盈利，并说明理由.附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）列联表答案见解析，没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关；（2）甲厂能盈利，乙不能盈利，理由见解析.【分析】（1）根据A ，B ，C 等级的统计和表中的数据，完成2×2列联表.再由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++求值，与临界值表对照下结论.（2）根据甲厂又10件A 等级，65件B 等级，25件次品，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-，列出X 的分布列，再利用期望公式求解判断；根据乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，34-，列出X 的分布列，再利用期望公式求解判断； 【详解】（1）2×2列联表如下()2220075352565 2.38 3.84110010014060K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，∴没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关.（2）甲厂10件A 等级，65件B 等级，25件次品， 对于甲厂，单件产品利润X 的可能取值为30，10，34-. X 的分布列如下：()3010341010204E X ∴=⨯+⨯-⨯=>， ∴甲厂能盈利，对于乙厂有10件A 等级，55件B 等级，35件次品， 对于乙厂，单位产品利润Y 的可能取值为30，10，34-， Y 分布列如下：()30103401020205E Y ∴=⨯+⨯-⨯=-<，乙不能盈利. 【点睛】方法点睛：(1)求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 21．已知函数3211()232f x x ax x =--的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为1x ､2x ，且12x x <. （1）证明：函数()f x 有三个零点；（2）当[,)x m ∈+∞时，对任意的实数a ，()2f x 总是函数()f x 的最小值，求整数m 的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）最小值为2-.【分析】（1）由(0)0f =以及方程223120x ax --=的判别式大于0可知()f x 有3个零点；（2）利用导数可得()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减，当2x x ≠时，令2()()f x f x =，求出该方程的另一个根3x 的最大值为2-，根据三次函数的图象可得结果. 【详解】（1）因为函数3211()232f x x ax x =--的两个极值点分别为1x ､2x ，且12x x <.所以2()20f x x ax =--='有两个不等的实根1x ，2x ， 所以1220x x =-<，所以120x x <<， 令()21()231206f x x x ax =--=，得0x =或223120x ax --=， 由223120x ax --=可知29960a ∆=+>， 所以223120x ax --=有两个不等的非零实根，∴函数()f x 有三个零点.（2）根据()f x 的两个极值点分别为1x ､2x ，且12x x <，可得2()20f x x ax =--='的两根为12,x x ，且12x x <，根据二次函数知识可知当1x x <或2x x >时，()0f x '>，当12x x x <<时，()0f x '<， 所以()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增，在()12,x x 上单调递减， 当2x x ≠时，令()323222221111()223232f x f x x ax x x ax x =⇒--=-- ()()22222222323120x x x x a x x ax ⎡⎤⇒-+-+--=⎣⎦，所以()2222222323120x x a x x ax +-+--=有一根为2x 2(0)x >，设另一根为3x ，223234x a x x -∴+=-，23364a x x -∴=，又22220x ax --=，即2222ax x =-， 所以()22222223223263644x x ax x x x x ---==222223633442x x x x ⎛⎫--==-+ ⎪⎝⎭932282≤-=-，依题意根据三次函数的图象可得3m x ≥恒成立，而3x 的最大值为322-，所以32 2m≥-，m Z∈，2m∴≥-，∴整数m的最小值为2-.【点睛】关键点点睛：第二问的解题关键是找到与2x的函数值相等的自变量3x的最大值.22．如图，已知椭圆22:142x yΓ+=，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆Γ上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆Γ于点E，直线AE与椭圆Γ､y轴分别交于点F､G，直线CG交椭圆Γ于点H，DA的延长线交FH于点M.（1）设直线AE､CG的斜率分别为1k､2k，求证：12kk为定值；（2）求直线FH的斜率k的最小值；（3）证明：动点M在一个定曲线上运动.【答案】（1）证明见解析；（26（3）M在曲线22214xy+=上运动，证明见解析. 【分析】（1）由对称性，设出,,,A B E C点的坐标，求出直线AE，CG的斜率即可求证；（2）由直线CG的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点H坐标，直线AE的方程与椭圆方程联立利用韦达定理可求出点F坐标，即可表示出直线FH的斜率,利用基本不等式即可求最值；（3）求出直线FH的方程，令0x x=，可得点M纵坐标用y表示，利用点()00,x y在椭圆上，相关点法可求动点M的轨迹方程，即可求证.【详解】（1）由对称性，设0(,0)A x，(,0)B x-，()00,E x y--，()00,C x y-则00:()2y AE y x x t =-，得00,2y G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故0102y k x =，02032y k x =-，则1213k k =-， （2）由02:2y CG y k x =-， 联立()202220220221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200224212H y x k x -=+-⋅ ，所以()202024212H y x x k -=-+，所以()22020242212H y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+，可得()()2200202202024422,21212y y k y H x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又01:2y AE y k x =-，联立()202210110221224022240y y k x y k x k y x x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨⎪+-=⎩， 由根与系数的关系可得200214212F y x k x -=+-⋅ ，所以()220104212F y x x k -=-+，所以()2021*******F y k y y x k ⎛⎫- ⎪⎝⎭=--+可得：()()2200102201014422,21212y y k y F x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪- ⎪-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()()122211121212112212231121221112231212H F FHH F k k k k y y k k k k k x x k k k k k k ----++-====-+--++2111116614442k k k k +==+≥=，由图知10k >，所以116144k k +≥=即2FH k ≥, 当且仅当116144k k =即16k =取等.所以直线FH 的斜率k的最小值为2（3）易知()()220012012210101442162:421212y y k y k FH y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 令0x x = 可得()()2200120102210101442162421212y y k y k y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()()2200120102210101442162421212M y y k y k y x k x k x k ⎛⎫⎛⎫- ⎪- ⎪+⎝⎭=++- ⎪+-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 2020101104162424y y k x k k x -+=-+222101010110241644k x k x k x k k x -+=-+ 222220100001004444.22x k x x y y k x y +-+-===-，所以002M M x x y y =⎧⎨=-⎩ ， 因为2200142x y +=， 所以()222142M M y x -+=，即M 在曲线22214x y +=上. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为,x y 的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.。
江苏省泰州中学2021届高三上学期第一次月度检测数学试题及解析
17．在①
m
a
b,
c
a
，n
a
b,
c
，且
m
n
，②
2a
c
2b
cos
C
，③
sin
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______． （1）求角 B ； （2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值． 【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
试，实践操作能力测试结果分为四个等级水平，一、二等级水平的学生实践操作能力较弱，三、
四等级水平的学生实践操作能力较强，测试结果统计如下表：
等级 水平一 水平二 水平三 水平四
男生/名
4
8
12
6
女生/名
6
8
4
2
（1）根据表中统计的数据填写下面 2 2 列联表，并判断是否有 95% 的把握认为学生实践操作
18．设数列 an
的前
nLeabharlann 项和为Sn，点
n,
Sn n
，
n N
均在函数
y
x
的图象上．
（1）数列an 的通项公式；
（2）记数列
1 anan1
的前
n
项和为 Tn
，若对任意的
n N
，不等式
4Tn
a2
a
恒成立，求实数
a 的取值范围．
19．某学校八年级共有学生 400 人，现对该校八年级学生随机抽取 50 名进行实践操作能力测
C． f x1 f x2 0
江苏省泰州市泰州中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理(含解析)
江苏省泰州市泰州中学2021届高三数学上学期开学考试试题 理（含解析）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上．. 1.已知集合{}1,0,2,3U =-，{}0,3A =，则U C A =______. 【答案】{}1,2- 【解析】 【分析】根据补集定义直接求解可得结果.【详解】由补集定义可知：{}1,2U C A =- 本题正确结果：{}1,2-【点睛】本题考查集合运算中的补集运算，属于基础题.2.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x tt y t =+⎧⎨=-+⎩为参数），则圆C 的普通方程为_____.【答案】()()22324x y -++= 【解析】 【分析】利用22cos sin 1t t +=消去参数即可得到结果.【详解】由22cos sin 1t t +=可得：()()22324x y -++= 即圆C 的普通方程为：()()22324x y -++= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，属于基础题.3.设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的______________条件．（从“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”、“充要”中选择）． 【答案】充分不必要 【解析】x-<，得1＜x＜3；由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，再根据充分条件和必要条件的由21定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，（1，3）⊊（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），故“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值不等式以及一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键，属于基础题.4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为_______.【答案】8【分析】按照程序框图运行程序，直到4i时输出结果即可.【详解】按照程序框图运行程序，输入1i =，0S =1i =不是偶数，则011S =+=，1124i =+=<，循环2i =是偶数，则1j =，11225S =+⨯=，2134i =+=<，循环 3i =不是偶数，则538S =+=，3144i =+=≥，输出结果：8S =本题正确结果：8【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果，属于基础题.5.用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数是_____人. 【答案】900 【解析】 【分析】计算可得样本中高二年级人数，从而可计算得到抽样比，从而可求得学生总数. 【详解】由题意可知，高二年级抽取：45201015--=人 ∴抽样比为：151453= ∴该校学生总数为：13009003÷=人 本题正确结果：900【点睛】本题考查分层抽样的应用，关键是能够明确每层在样本中占比与该层在总体中的占比相同.6.两位男同学和两位女学生随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是______. 【答案】12【解析】 分析】利用捆绑法可求得两位女同学相邻的排法数；通过全排列求得四位同学排成一列的排法总数，根据古典概型概率公式求得结果.【详解】两位女同学相邻的排法共有：23232612A A =⨯=种排法四位同学排成一列共有：4443224A =⨯⨯=种排法∴两位女同学不相邻的概率：121242p == 本题正确结果：12【点睛】本题考查古典概型求解概率问题，关键是能够利用排列的知识求解出符合题意的排法数和总体的排法数，涉及到利用捆绑法解决排列中的相邻问题. 7.已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=_______.【解析】 【分析】根据二倍角公式可将已知等式化简为24sin cos 2cos ααα=，根据0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得1tan 2α=；根据同角三角函数关系，结合0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】由二倍角公式可知：sin 22sin cos ααα=，2cos 22cos 1αα=-24sin cos 2cos ααα∴=又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭cos 0α∴≠ 2sin cos αα∴=，即1tan 2α=sin 5α∴=【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系求解三角函数值的问题，关键是能够利用公式，结合角的范围来对已知等式进行化简.8.设函数()()(sin ,,f x A x A ωϕωϕ=+为参数，且)0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，则ϕ的值为______.【答案】3π 【解析】 【分析】根据图象首先求得()f x 最小正周期2T ππω==，从而解得2ω=；代入712f A π⎛⎫=-⎪⎝⎭可得到23k πϕπ=+，结合0ϕπ<<即可求得结果.【详解】由图象可得()f x 最小正周期：473126T πππ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭，即2ππω= 2ω∴= 又77sin 126f A A ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 73262k ππϕπ∴+=+，k Z ∈ 23k πϕπ∴=+，k Z ∈又0ϕπ<< 3πϕ∴=本题正确结果：3π 【点睛】本题考查根据三角函数图象求解函数解析式的问题，关键是能够通过整体对应的方式确定最值所对应的点，从而得到初相的取值.9.已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e axf x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3 【解析】 【分析】当0x >时0x ->，()()axf x f x e-=--=代入条件即可得解.【详解】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()axf x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e -=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性，对数的计算．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．10.若423401234(2x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为___.【答案】1 【解析】【详解】令1x =，得423014(2a a a a a =++++；令1x =-，得142340(2a a a a a =+---+；两式相加得22024130241302413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++⋅++--444(2(2(1)1=+⋅-=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)nax by a b +∈R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.11.在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为,,a b c ，已知3A π=，a =A 的平分线交边BC 于点D ，其中AD =ABC S ∆=______.【答案】【解析】 【分析】根据余弦定理可得()23112b c bc +-=；利用ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+和1sin 2ABC S bc A ∆=可构造方程求得13b c bc +=，代入余弦定理的式子可求出48bc =，代入三角形面积公式求得结果.【详解】由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得：()2223112b c bc b c bc +-=+-=)1133sin sin 2222ABC ACD ABD A A S S S b AD c AD b c ∆∆∆=+=⋅+⋅=+又13sin 2ABC S bc A ∆== )333b c =+ 13b c bc ∴+= ()2131129bc bc ∴-=，解得：48bc = 348123ABC S ∆∴== 本题正确结果：123【点睛】本题考查解三角形中三角形面积的求解问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用；本题的解题关键是能够通过面积桥的方式构造方程求得b c +和bc 之间的关系，进而结合余弦定理求得所需的值.12.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分,负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共已打ξ局， 则ξ的期望值()E ξ=______. 【答案】26681【解析】 【分析】首先确定ξ所有可能的取值；根据每个取值所对应的情况计算出其所对应的概率，从而根据数学期望计算公式求得结果.【详解】由题意可知ξ所有可能的取值为：2,4,6则()222152339P ξ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()3311221212204333381P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()520166198181P ξ==--=()520162662469818181E ξ∴=⨯+⨯+⨯=本题正确结果：26681【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望的求解，关键是能够准确求解出随机变量每个取值所对应的概率，从而结合公式直接求得结果，属于常考题型. 13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【答案】10【解析】 【分析】根据两角和差正切公式可构造方程求得1tan 3α=-或tan 2α=；利用两角和差余弦公式和二倍角公式可将cos 24πα⎛⎫-⎪⎝⎭)22cos sin 2sin cos αααα-+，根据正余弦齐次式的221tan 2tan 1tan ααα-++，代入tan α即可求得结果. 【详解】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭)222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin αααααααααα-+=-+=+221tan 2tan 1tan ααα-+=+当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-== ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用三角恒等变换公式化简求值、正余弦齐次式的求解问题，涉及到两角和差正切公式和余弦公式、二倍角公式的应用、同角三角函数关系的应用等知识；关键是能够将正余弦齐次式配凑出正切的形式. 14.设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】()0,1 【解析】 【分析】首先可确定12,P P 分别在分段函数的两段上，设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<，通过导数可求得切线斜率；根据12,l l 相互垂直可得到121=x x ；通过12,l l 的方程可求得,A B 两点坐标，从而得到2AB =；联立12,l l 求得P 点横坐标，从而将PAB ∆面积表示为1121PAB S x x ∆=+，根据()10,1x ∈可求得PAB ∆面积的取值范围.【详解】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<< ()1,011,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈且1y x x =+在()0,1上单调递减 111112x x ∴+>+= 01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1本题正确结果：()0,1【点睛】本题考查三角形面积取值范围的求解问题，求解取值范围的常用方法是能够将所求三角形面积表示为某一变量的函数，从而利用变量的范围求得面积的取值范围；本题的解题关键是能够熟练应用导数求解切线斜率，通过垂直关系得到斜率间的关系，进而能够进行化简消元.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．．．．．．．．．．．．．说明、证明或演算步骤．．．．．．．．．．.．15.已知矩阵0A a⎡=⎢⎣ 10⎤⎥⎦，矩阵0B b⎡=⎢⎣ 20⎤⎥⎦，直线1:40l x y -+=经矩阵A 所对应的变换得到直线2l ，直线2l 又经矩阵B 所对应的变换得到直线3:40l x y ++=. （1）求,a b 的值； （2）求直线2l 的方程. 【答案】（1）12a =，1b =-；（2）240x y --= 【解析】 【分析】（1）根据矩阵的乘法运算可建立关于,a b 的方程组，解方程组求得结果；（2）根据（1）可得矩阵A ，得到变换公式，从而可得所求方程.【详解】（1）020120000a BA b a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1l ∴变换到3l 的变换公式为：2x ax y by ''=⎧⎨=⎩可得到直线240ax by ++=即直线1:40l x y -+=211a b =⎧∴⎨=-⎩，解得：12a =，1b =-（2）由（1）知：01102A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦1l ∴变换到2l 的变换公式为：12x yy x =⎧''⎪⎨=⎪⎩ ∴直线2l 的方程为：240y x -+=，即240x y --=【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和直线在矩阵下的线性变换，关键是能够通过矩阵运算得到线性变换的公式，属于常考题型.16.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A =（1）求角B 的值； （2）若a =的面积．【答案】（1）π4B =（2）S = 【解析】 【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，由正弦定理化简已知等式可求1sinBtanB cosB==，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值． （2）由（1）及正弦定理可求b 的值，利用两角和的正弦函数公式可求sin C 的值，根据三角形面积公式即可计算得解．【详解】（1）在△ABC中，因为cos 3A =，0πA <<，所以sin A==因为cos cosa B A=，由正弦定理sin sina bA B=，得sin cos cosA B B A=．所以cos sinB B=．若cos=0B，则sin=0B，与22sin cos1B B+=矛盾，故cos0B≠．于是sin tan1cos B B B==．又因为0πB<<，所以π4B=．（2）因为a=sin3A=，由（1）及正弦定理sin sina bA B==，所以2b=．又()()sin sinπsinC A B A B=--=+=sin cos cos sinA B A B+32326=+⋅=．所以△ABC的面积为116sin22264S ab C+==⨯=.【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．17.如图，AE⊥平面ABCD，//CF AE，//AD BC，AD AB⊥，1AB AD==，2AE BC==.（1）直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值； （2）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长. 【答案】（1）49；（2）87. 【解析】 【分析】以A 为原点建立空间直角坐标系；（1）表示出,,,C E B D 的坐标，首先求解出平面BDE 的法向量()12,2,1n =，根据直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值等于11CE n CE n ⋅⋅可求得结果；（2）设()0CF t t =>得到()2,1,F t ，可求解出平面BDF 的法向量()2,,2n t t =-，从而得到122cos ,324n n t <>=+；根据二面角余弦值与法向量夹角余弦值的关系可建立方程24213324t t -=+，解方程求得结果.【详解】以A 为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：（1）由题意得：()2,1,0C ，()0,0,2E ，()0,1,0B ，()1,0,0D()2,1,2CE ∴=--，()1,1,0BD =-，()0,1,2BE =-设平面BDE 的法向量()1111,,n x y z =111111020BD n x y BE n y z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，则12y =，12x = ()12,2,1n ∴=设直线CE 与平面BDE 所成角为θ114224sin 339CE n CE n θ⋅--+∴===⨯⋅ 即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为：49（2）设()0CF t t =>，则()2,1,F t ()2,0,BF t ∴= 设平面BDF 的法向量()2222,,n x y z =222222020BD n x y BF n x tz ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令22z =-，则2x t =，2y t = ()2,,2n t t ∴=-由（1）知，平面BDE 的法向量()12,2,1n =1212212cos ,3nn n n n n t ⋅∴<>===⋅又二面角E BD F --的余弦值为1313=，解得：87t = ∴线段CF 的长为：87【点睛】本题考查空间向量法求解直线与平面所成角、利用平面与平面所成角求解其他量的问题；关键是能够熟练掌握直线与平面所成角、平面与平面所成角的向量求法，对于学生的计算能力有一定要求，属于常考题型.18.如图，一楼房高AB 为某广告公司在楼顶安装一块宽BC 为4米的广告牌，CD 为拉杆，广告牌的倾角为60EF 站在楼前观察该广传牌的安装效果：为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方：设AE x =米，该监理人员观察广告牌的视角BFC θ∠=.（1）试将tan θ表示为x 的函数； （2）求点E 的位置，使θ取得最大值. 【答案】（1）()23363tan 2x x θ+=>；（2）当121018AE =-米时，θ取得最大值. 【解析】 【分析】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FHAB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG⊥，垂足为N ；在Rt CFM ∆和Rt BFH ∆分别用x 表示出tan CFM ∠和tan BFH ∠，根据()tan tan CFM BFH θ=∠-∠，利用两角和差正切公式可求得结果；（2）根据（1）的结论，设18t x =+，可得23tan 38t tθ=+-1210t =时，tan θ取最大值，又tan θ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，可知1210t =时，θ最大，从而可得到结果. 【详解】（1）作CG AB ⊥，垂足为G ；作FH AB ⊥，垂足为H ，交CG 于M ；作BN CG ⊥，垂足为N ，如下图所示：在Rt CFM ∆中，4sin 601933203tan CM CN NM CFM MF AE BN ++-∠====- 在Rt BFH ∆中，183tan BH AB EF BFH HF AE -∠===()tan tan tan tan 1tan tan CFM BFHCFM BFH CFM BFHθ∠-∠∴=∠-∠=+∠∠221080x x +==-+ 监理人员必须在G 的右侧 2x ∴>综上所述：)tan 2x θ=> （2）由（1）可得：()218tan 221080x x x x θ+==>-+ 令18t x =+，则()20,t ∈+∞()()2tan 18218108038tt t t tθ∴==---++-1440t t +≥=（当且仅当1440t t =，即t=tanθ∴≤=∴当t =18x =时，tan θ取最大值又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan θ在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增tan θ∴最大时，θ最大 ∴当18AE =米时，θ取得最大值【点睛】本题考查函数模型的实际应用问题，涉及到两角和差正切公式的应用、利用基本不等式求解函数的最值问题；关键是能够建立起准确的函数模型，在求解最值时，将函数化为符合基本不等式的形式；易错点是忽略了函数模型中定义域的要求. 19.已知函数()()ln 425f x a x a ⎡⎤=-+-⎣⎦，()1ln g x a x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中a 为常数． ()1当3a =时，设函数()()()2221h x f x f x =--，判断函数()h x 在()0,+∞上是增函数还是减函数，并说明理由；()2设函数()()()F x f x g x =-，若函数()F x 有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）(]1,2{3⋃，4} 【解析】 【分析】()1代入a 的值，求出()h x 的解析式，判断函数的单调性即可；()2由题意把函数()F x 有且仅有一个零点转化为()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可．【详解】（1）由题意，当a 3=时，()()f x ln x 1=+，则()()222x h x ln x 0x 1=≠+，因为2222x 22x 1x 1=-++，又由22x 1+在()0,∞+递减， 所以222x 1-+在()0,∞+递增， 所以根据复合函数的单调性，可得函数()h x 在()0,∞+单调递增函数；()2由()F x 0=，得()()f x g x =，即()1ln 4a x 2a 5ln a x⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭， 若函数()F x 有且只有1个零点，则方程()1ln 4a x 2a 5ln a x ⎛⎫⎡⎤-+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭有且只有1个实数根， 化简得()14a x 2a 5a x-+-=-， 即()()24a x a 5x 10-+-+=有且只有1个实数根，a 4=①时，()()24a x a 5x 10-+-+=可化为x 10-+=，即x 1=，此时(4)12530130a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，②当a 4≠时，由()()24a x a 5x 10-+-+=得：()()4a x 1x 10⎡⎤---=⎣⎦，解得：14x a=-或x 1=，()i 当114a=-即3a =时，方程()()24510a x a x -+-+=有且只有1个实数根， 此时(4)12520120a a a -⋅+-=>⎧⎨-=>⎩，满足题意，()ii 当114a≠-即3a ≠时， 若1x =是()F x 的零点，则(4)125010a a a -⋅+->⎧⎨->⎩，解得：1a >，若14x a =-是()F x 的零点，则(4)1250114a a a a -⋅+->⎧⎪⎪⎨->⎪⎪-⎩，解得：2a >， 函数()F x 有且只有1个零点，所以12a a >⎧⎨≤⎩或12a a ≤⎧⎨>⎩，1a 2∴<≤，综上，a 的范围是(]1,2{3⋃，4}．【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中涉及到函数的单调性，函数的零点，以及二次函数的性质等知识点的综合应用，同时把函数()F x 有且仅有一个零点转化为方程有且只有1个实数根，合理令二次函数的性质，分类讨论是解答的关键，着重考查了转化思想，分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 20.已知实数0a ≠，设函数()=ln 0.f x a x x >（1）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间； （2）对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828...=为自然对数的底数.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3；（2）04a <≤. 【解析】 【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可.【详解】(1)当34a =-时，()3ln 4f x x =-()0,∞+，且： ()3433'4x x f x x -+=-+== 因此函数()f x 的单调递增区间是()3,+∞,单调递减区间是()0,3. (2)由1(1)2f a ≤，得04a <≤，当04a <≤时，()2f x a≤，等价于22ln 0x a a --≥， 令1t a=，则t ≥， 设()22lng t t x =，t ≥，则2()2ln g t t x =-， （i ）当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭则()(22)2ln g xg x =， 记1()ln ,7px x x =≥，则1()p x x '=== 列表讨论：()(1)0,()(22)2()0p x p g t g p x ∴=∴=（ii ）当211,7x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()g t g ≥=，令211()(1),,7q x x x x e ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦， 则()10q x'=>， 故()q x 211,7e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，1()7q x q ⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭，由（i ）得11(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,()0q x g t g ∴<∴≥=>，由（i ）（ii ）知对任意21,,),()0x t g t e ⎡⎫∈+∞∈+∞≥⎪⎢⎣⎭，即对任意21,x e ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2f x a≤，综上所述，所求的a 的取值范围是0,4⎛ ⎝⎦． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．。
江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷含解析
江苏省泰州市2021届新高考数学一模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若()()()20192019012019111x a a x a x -=+++++，x ∈R ，则22019122019333a a a ⋅+⋅++⋅的值为（ ） A ．201912-- B ．201912-+ C ．201912- D ．201912+【答案】A 【解析】 【分析】取1x =-，得到201902a =，取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-，计算得到答案.【详解】取1x =-，得到201902a =；取2x =，则2201901220193331a a a a +⋅+⋅++⋅=-.故22019201912201933312a a a ⋅+⋅++⋅=--.故选：A . 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，取1x =-和2x =是解题的关键.2．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则3a b -＝（ ）A BC ．D 【答案】D 【解析】 【分析】先计算a b ⋅，然后将3a b -进行平方，，可得结果. 【详解】 由题意可得：1cos1201212a b a b ⎛⎫⋅==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭∴()222369163643a ba ab b -=-⋅+=++=∴则343a b -=.故选：D.3．已知函数()cos sin 2f x x x =，下列结论不正确的是（ ） A ．()y f x =的图像关于点(),0π中心对称 B ．()y f x =既是奇函数，又是周期函数C ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称D ．()y f x =的最大值是2【答案】D 【解析】 【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【详解】解：:(2)cos(2)sin 2(2)cos sin 2()A f x x x x x f x πππ-=--=-=-，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()B f x x x x x f x -=--=-=-，为奇函数，周期函数，正确； :()cos()sin 2()cos sin 2()C f x x x x x f x πππ-=--==，正确；D ： 232sin cos 2sin 2sin y x x x x ==-，令sin t x =，[]1,1t ∈-则()322g t t t =-，()226g t t '=-，[1t ∈-，1]，则t <<时()0g t '>，1t -<<1t >>()0g t '<，即()g t 在⎛ ⎝⎭上单调递增，在1,3⎛-- ⎝⎭和,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；且39g ⎛=⎝⎭，()10g -=，max y g ∴==<⎝⎭，故D 错误． 故选：D ． 【点睛】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题．4．已知数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =+++()*n ∈N ，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n nb -=.∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n -=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---.∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤.则当2020n T <时，n 的最大值是9. 故选：B . 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，f 分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.5．在ABC 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，点D ，E 分别在线段AB ，CD 上，且2BD AD =，2CE ED =，则BE AB ⋅=（ ）． A ．3- B ．6-C ．4D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分析可得1AD =,由余弦定理求得DC 的值，由()BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅可得结果.【详解】根据题意，3,2AB BD AD ==，则1AD = 在ADC 中，又2AC =,60BAC ∠=︒则2222cos 3DC AD AC AD DC BAC =+⋅∠=-则DC =则CD AB ⊥则()32cos1806BE AB BD DE AB BD AB DE AB BD AB ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅=⨯⨯=- 故选：B 【点睛】此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目.6．已知定义在R 上的函数()2xf x x =⋅，3(log a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在0x >时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到3(log 2)b f =，比较33log 2,ln3三个数的大小，然后根据函数在0x >时的单调性，比较出三个数,,a b c 的大小. 【详解】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键. 7．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A1 B1CD．12【答案】B 【解析】 【分析】设(),P x y ，利用两点间的距离公式求出m 的表达式，结合基本不等式的性质求出m 的最大值时的P 点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可. 【详解】设(),P x y ，因为A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，所以()()0,1,0,1A F -， 则PA m PF====当0y >时，m ==≤= 当且仅当1y =时取等号，∴此时()2,1P ±，2PA PF ==，点P 在以,A F 为焦点的椭圆上，22c AF ==，∴由椭圆的定义得22a PA PF =+=，所以椭圆的离心率212c c e a a ====，故选B. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得0:p x R ⌝∃∈，200x ≤本题正确选项：B 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.9．已知函数()f x 在R 上都存在导函数()f x '，对于任意的实数都有2()e ()x f x f x -=，当0x <时，()()0f x f x '+>，若e (21)(1)a f a f a +≥+，则实数a 的取值范围是( )2⎡⎤2⎡⎤【解析】 【分析】先构造函数，再利用函数奇偶性与单调性化简不等式，解得结果. 【详解】令()()x g x e f x =，则当0x <时，()[()()]0xg x e f x f x ''=+>，又()()()()xx g x ef x e f xg x --=-==，所以()g x 为偶函数，从而()()211ae f a f a +≥+等价于211(21)(1),(21)(1)a a ef a e f ag a g a +++≥++≥+， 因此22(|21|)(|1|),|21||1|,3200.3g a g a a a a a a -+≥-+-+≥-++≤∴-≤≤选B. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性求解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题. 10．已知向量(,4)a m =-，(,1)b m =（其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=，所以a b ⊥；而当a b ⊥，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=，解得2m =或2m =-.所以 “2m =”是“a b ⊥”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.11．复数()(1)2z i i =++的共轭复数为（ ） A ．33i - B ．33i +C ．13i +D ．13i -【答案】D直接相乘，得13i +，由共轭复数的性质即可得结果 【详解】∵21()()13z i i i =++=+ ∴其共轭复数为13i -. 故选：D 【点睛】熟悉复数的四则运算以及共轭复数的性质. 12．函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)+∞D ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】 【分析】对a 分类讨论，当0a ≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减，当0a >，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解. 【详解】当0a ≤时，函数1()f x ax x=+在(2,)+∞上单调递减， 所以0a >，1()f x axx =+的递增区间是⎫+∞⎪⎭， 所以2≥14a ≥. 故选:B. 【点睛】本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年江苏省泰州市高三(上)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合A ={x|x 2−4<0}，B ={x|lgx <0}，则A ∩B =( )A. (−2,1)B. (−2,2)C. (0,1)D. (0,2)2. 设x ∈R ，则“|x|<1”是“x 3<1”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件3. 若复数z =2−i ，其中i 是虚数单位，则下列结论正确的是( )A. z 的虚部为iB. |z|=5C. z −=−2−iD. z 2=3−4i4. 人的心脏跳动时，血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg 为标准值设某人的血压满足函数式p(t)=102+24sin(160πt)，其中p(t)为血压(单位：mmHg)，t 为时间(单位：min)，则下列说法正确的是( )A. 收缩压和舒张压均高于相应的标准值B. 收缩压和舒张压均低于相应的标准值C. 收缩压高于标准值、舒张压低于标准值D. 收缩压低于标准值、舒张压高于标准值5. 我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”日：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.意思是：球的体积V 乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d ，由此我们可以推测当时球的表面积S 计算公式为( )A. S =278d 2 B. S =272d 2C. S =92d 2D. S =1114d 26. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ)，则△ABC 的面积最大值为( ) A. √32B. 12C. √52D. 17. 已知x =log 0.15，y =log 7√5，则( )A. x +y <xy <0B. xy <x +y <0C. x +y <0<xyD. xy <0<x +y8. 已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(1−x)=f(7−x)，且当0≤x <3时，f(x)={a +log √2(x +1),0≤x ≤12(x −2)2,1<x <3，其中a 为常数，则f(2019)+f(2020)+f(2021)的值为( )A. 2B. −2C. 12D. −129. 已知抛物线Γ：x 2=4y 的焦点为F ，过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于点M ，N ，则下列说法正确的有( )A. 点F 坐标为(1,0)B. 抛物线Γ的准线方程为y =−1C. 线段MN 长为4D. 直线y =x −2与抛物线Γ相切10. 已知函数f(x)=sin(cosx)，则下列关于该函数性质说法正确的有( )A. f(x)的一个周期是2πB. f(x)的值域是[−1,1]C. f(x)的图象关于点(π,0)对称D. f(x)在区间(0,π)上单调递减11. 引入平面向量之间的一种新运算“⊗”如下：对任意的向量m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1)，n ⃗ =(x 2,y 2)，规定m ⃗⃗⃗ ⊗n ⃗ =x 1x 2−y 1y 2，则对于任意的向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ ，下列说法正确的有( )A. a ⃗ ⊗b ⃗ =b ⃗ ⊗a ⃗B. (λa ⃗ )⊗b ⃗ =λ(a ⃗ ⊗b ⃗ )C. a ⃗ ⋅(b ⃗ ⊗c ⃗ )=(a ⃗ ⊗b ⃗ )⋅c ⃗D. |a ⃗ |⋅|b ⃗ |≥|a ⃗ ⊗b ⃗ |12. 已知(1+x +x 2)n =T n 0+T n 1x +T n 2x 2+⋯+T n 2n x 2n ，n ∈N ∗，其中T ni 为(1+x +x 2)n 展开式中x i 项系数，i =0，1，2，…，2n ，则下列说法正确的有( )A. T 7i =T 714−i，其中i =0，1，2，…，14 B. T 72+T 73=T 83 C. ∑T 7i 14i=1=2∑3i6i=0D. T 77是T 70，T 71，T 72，…，T 714的最大项 三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f(x)=e x +x(其中e 为自然对数的底数)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为______ ．14. 党的十九大报告提出“乡村振兴战略”，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”.为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作、若将这5名毕业生分配到该山区的3所乡村小学，每所学校至少分配1人最多分配2人，则分配方案的总数为______ ． 15. 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线Γ：x 2−y 27=1的两个焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心，F 1F 2长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ≥ON ，则OMON 的值为______ ．16. 已知随机变量X 有三个不同的取值，分别是0，1，x ，其中x ∈(0,1)，又P(X =0)=12，P(X =1)=14，则当x = ______ 时，随机变量X 的方差的最小值为______ ．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C，b cos B，c cos A成等差数列．(1)求角B的大小；(2)若cosA=45，求sin C的值．18.已知数列{a n}的前n项和为S n=n(n−1)2，各项均为正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，_____，且b3=4．在①T2=3；②T3=7；③b4−b3=2b2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并进行解答．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设数列{a nb n }的前n项和为An，求证：A n<2．19.在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为√3的等边三角形ABC，AA1=2，点A1在底面上的射影是△ABC的中心O．(1)求证：平面A1AO⊥平面BCC1B1；(2)求二面角C1−AB−C的余弦值．20.2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利，为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础.在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家玩具加工厂，加工同一型号的玩具.质检部门随机抽检了两个厂的各100件玩具，在抽取中的200件玩具中，根据检测结果将它们分为“A”、“B”、“C”三个等级，A、B等级都是合格品，C等级是次品，统计结果如表所示：等级A B C频数2012060(表一)厂家合格品次品合计甲75乙35合计(表二)在相关政策扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，但从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销毁．(1)请根据所提供的数据，完成上面的2×2列联表(表二)，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关？(2)每件玩具的生产成本为30元，A、B等级产品的出厂单价分别为60元、40元.另外已知每件次品的销毁费用为4元.若甲厂抽检的玩具中有10件为A等级，用样本的频率估计概率，试判断甲、乙两厂是否都能盈利，并说明理由．附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．21.已知函数f(x)=13x3−12ax2−2x的两个极值点(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)分别为x1，x2，且x1<x2．(1)证明：函数f(x)有三个零点；(2)当x∈[m,+∞)时，对任意的实数a，f(x2)总是函数f(x)的最小值，求整数m的最小值．22.如图，已知椭圆Γ：x24+y22=1，矩形ABCD的顶点A，B在x轴上，C，D在椭圆Γ上，点D在第一象限.CB的延长线交椭圆Γ于点E，直线AE与椭圆Γ、y轴分别交于点F、G，直线CG交椭圆Γ于点H，DA的延长线交FH于点M．(1)设直线AE、CG的斜率分别为k1、k2，求证：k1为定值；k2(2)求直线FH的斜率k的最小值；(2)证明：动点M在一个定曲线上运动．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵A={x|x2−4<0}={x|−2<x<2}，B={x|lgx<0}={x|0<x<1}，∴A∩B=(0,1)．故选：C．求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，对数函数不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由|x|<1，解得：−1<x<1，由x3<1，解得：x<1，故“|x|<1”是“x3<1”的充分不必要条件，故选：A．解不等式，根据集合的包含关系判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及不等式问题，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：复数z=2−i的虚部为−1，故A错误；|z|=√22+(−1)2=√5，故B错误；z−=2+i，故C错误；z2=(2−i)2=3−4i，故D正确．故选：D．由复数的基本概念判断A与C；求出|z|判断B；利用复数代数形式的乘除运算判断D．本题考查复数的基本运算，考查复数的有关概念，是基础题．4.【答案】C【解析】解：p(t)=102+24sin(160πt)， ∴−1≤sin(160πt)≤1， ∴p(t)∈[78,126]，即为收缩压为126，舒张压为78，∵120∈[78,126]，读数120/80mmHg 为标准值， ∴收缩压高于标准值、舒张压低于标准值， 即选项C 符合， 故选：C ．先根据函数p(t)=102+24sin(160πt)，求出最大值和最小值，进而可得到收缩压和舒张压的值，确定答案．本题主要考查正弦函数的最值的求法，属基础题．5.【答案】A【解析】解：根据题意： d =√16V 93，整理得V =916d 3，由于球的体积公式V =43⋅π⋅R 3=43⋅π(12d)3=16πd 3， 所以16π=916， 所以π=278，故S 表=4π⋅R 2=278d 2．故选：A ．直接利用球的体积公式和球的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：数学文化，球的体积公式和球的表面积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosθ,sinθ)， 所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1， 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，可得S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα=√52sinα， 可得当sinα=1时，即α为直角时△ABC 的面积最大，△ABC 的面积最大值为√52．故选：C ．由题意可求|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α，利用三角形的面积公式可得S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα=√52sinα，根据正弦函数的性质即可求解． 本题主要考查了三角形的面积公式，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了向量的运算，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：∵x =log 0.15<0，y =log 7√5>0， ∴xy <0，1x +1y =lg0.1lg5+lg712lg5=lg4.9lg5=log 54.9∈(0,1)，∴xy <x +y <0． 故选：B ．利用对数函数的单调性可得x <0，y >0，再利用对数运算性质化简1x +1y ，即可得出结论．本题考查了换底公式和对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：由f(1−x)=f(7−x)，得f(1−x)=f[6+(1−x)]， 可得f(x)是周期为6的周期函数，又f(x)为奇函数，且当0≤x <3时，f(x)={a +log √2(x +1),0≤x ≤12(x −2)2,1<x <3，∴f(2019)=f(336×6+3)=f(3)， f(2020)=f(336×6+4)=f(4)， f(2021)=f(336×6+5)=f(5)， 且f(0)=0，则a +log √21=0，即a =0． ∴f(x)={log √2(x +1),0≤x ≤12(x −2)2,1<x <3．∴f(5)=f(−1)=−f(1)=−log √22=−2， f(4)=f(−2)=−f(2)=0，f(3)=f(−3)=−f(3)，得f(3)=0．∴f(2019)+f(2020)+f(2021)=−2+0+0=−2． 故选：B ．由已知求解函数周期，再由周期性及已知函数解析式求解f(2019)，f(2020)，f(2021)的值，作和得答案．本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】BC【解析】解：A ，B 中：由抛物线的方程可得准线方程为：y =−1，焦点F 坐标(0,1)， 直接可得A 不正确，B 正确；C 中：过M ，N 作准线的垂线交于M′，N′，由抛物线的性质可得|MN|=|MM′|+|NN′|=2+2=4，所以C 正确；联立{y =x −2x 2=4y，整理可得：x 2−4x +8=0，D 中：因为△=16−4×8<0，所以方程无解，及直线与抛物线相离，所以D 不正确， 故选：BC ．由抛物线的方程可得焦点坐标及准线方程，进而可得选项A 不正确，B 正确，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离可得MN 的值，可判断C 正确，将直线y =x −2与抛物线联立可得判别式小于0，可得直线与抛物线相离，判断D 选项错误． 本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系的判断，属于中档题．10.【答案】AD【解析】解：由于f(x)=sin(cosx)，对于A ：所以函数满足f(x +2π)=f(x)，故A 正确；对于B ：由于x ∈R ，函数的cos x 的值域为[−1,1]，所以f(x)∈[−sin1,sin1]，故B 错误； 对于C ：当x =π时，f(π)=−sin1，故C 错误；对于D ：对于cos x 在(0,π)上单调递减，所以sin(cosx)单调递减，故正确． 故选：AD ．直接利用三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.【答案】ABD【解析】解：设a⃗=(x1,y1)，b⃗ =(x2,y2)，c⃗=(x3,y3)，对于A，a⃗⊗b⃗ =x1x2−y1y2，b⃗ ⊗a⃗=x2x1−y2y1，所以a⃗⊗b⃗ =b⃗ ⊗a⃗，故A正确；对于B，λa⃗=(λx1,λy1)，则(λa⃗ )⊗b⃗ =λx1x2−λy1y2，λ(a⃗⊗b⃗ )=λ(x1x2−y1y2)=λx1x2−λy1y2，所以(λa⃗ )⊗b⃗ =λ(a⃗⊗b⃗ )，故B正确；对于C，因为b⃗ ⊗c⃗=x2x3−y2y3，则a⃗⋅(b⃗ ⊗c⃗ )=(x2x3−y2y3)a⃗=(x1x2x3−x1y2y3,y1x2x3−y1y2y3)，(a⃗⊗b⃗ )⋅c⃗=(x1x2−y1y2)c⃗=(x1x2x3−x3y1y2,y3x1x2−y1y2y3)，故a⃗⋅(b⃗ ⊗c⃗ )与(a⃗⊗b⃗ )⋅c⃗不一定相等，故C错误；对于D，若|a⃗|⋅|b⃗ |=√x12+y12⋅√x22+y22，|a⃗⊗b⃗ |=|x1x2−y1y2|，(|a⃗|⋅|b⃗ |)2=(x12+y12)(x22+y22)=x12x22+y12y22+x12y22+x22y12，(|a⃗⊗b⃗ |)2=x12x22+y12y22−2x1x2y1y2，(|a⃗|⋅|b⃗ |)2−(|a⃗⊗b⃗ |)2=x12y22+x22y12+2x1x2y1y2=(x1y2+x2y1)2≥0，所以(|a⃗|⋅|b⃗ |)2≥(|a⃗⊗b⃗ |)2，即|a⃗|⋅|b⃗ |≥|a⃗⊗b⃗ |，故D正确．故选：ABD．由平面向量的新运算，逐个选项计算即可得出结论．本题主要考查新定义的应用，考查平面向量数量积的坐标运算，属于中档题．12.【答案】ACD【解析】解：(1+x+x2)7=[(1+x)+x2]7=C70(1+x)7+C71(1+x)6x2+C72(1+x)5x4+C73(1+x)4x6+C74(1+x)3x8+C75(1 +x)2x10+C76(1+x)x12+C77x14=1+7x+28x2+77x3+245x4+266x5+357x6+393x7+357x8+266x9+245x10+77x11+28x12+7x13+x14，由上式可知，选项ACD正确；由式子可得，T 72+T 73=105，而T 83=112，故选项B ，不正确； 故选：ACD ．将(1+x +x 2)n =T n 0+T n 1x +T n 2x 2+⋯+T n 2n x 2n ，n ∈N ∗，展开，可得出结论．本题考查了二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.【答案】2x −y +1=0【解析】解：f(x)=e x +x 的导数为f′(x)=e x +1， 可得切线的斜率为k =f′(0)=1+1=2， 切点为(0,1)，则切线的方程为y −1=2(x −0)， 即为2x −y +1=0， 故答案为：2x −y +1=0．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程． 本题考查导数的运用：求切线方程，以及直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.【答案】90【解析】解：根据题意，将5名应届大学毕业生按2、2、1分组，则方法数为C 52C 32A 22=15种，再分配到该山区的3所乡村小学，共有A 33=6种， 根据分步计数原理，共有15×6=90种， 故答案为：90．根据分步计数原理，将5名应届大学毕业生按2、2、1分组，再分配该山区的3所乡村小学去，可得结论．本题考查排列组合知识，考查分步计数原理，属于基础题．15.【答案】32【解析】解：双曲线Γ：x 2−y 27=1的两个焦点分别为F 1(−2√2,0)，F 2(2√2,0)，渐近线方程为y =±√7x ，圆F 2的方程为(x −2√2)2+y2=32，由{y =√7x (x −2√2)2+y 2=32，解得{x =−√2y =−√14或{x =3√22y =3√142，则√x 2+y 2=4或6，由OM ≥ON ，可得OM =6，ON =4， 则OMON =32， 故答案为：32．求得双曲线的焦点和渐近线方程，以及圆F 2的方程，求得M ，N 的坐标，由两点的距离公式，计算可得所求值．本题考查双曲线和圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】13 16【解析】解：由题意可得P(X =x)=1−P(X =0)−P(X =1)=1−12−14=14， 则E(X)=0×12+1×14+14x =14(1+x)，则D(X)=E(X 2)−E 2(X)=14+14x 2−116(1+x)2=316x 2−18x +316=316(x −13)2+16，x ∈(0,1)，所以当x =13时，D(X)取得最小值为16． 故答案为：13，16．由随机变量分布列的性质可得P(X =x)，进而求得E(X)，由公式D(X)=E(X 2)−E 2(X)将方差用x 表示，利用二次函数的性质即可求得结论．本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由题，a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，∴2bcosB =acosC +ccosA ， 又acosC +ccosA =b ，∴cosB =12，即B =π3． (2)由B =π3，得A +C =2π3，得C =2π3−A ，又cosA =45，所以sinA =35， ∴sinC =sin(2π3−A)=sin 2π3cosA −cos2π3sinA =√32×45−(−12)×35=4√3+310，故sin C 的值4√3+310．【解析】本题考查等差数列的性质及解三角形，熟练掌握掌握双基是解答本题的关键，本题属于基础题，难度中档．(1)先由等差数列的性质建立方程，再由acosC +ccosA =b 可得出B 的余弦值，从而求出角B 的值； (2)结合第一问得出C =2π3−A ，再利用正弦的差角公式展开即可求出sin C 的值．18.【答案】(1)∵S n =n(n−1)2，∴当n ≥2时，有a n =S n −S n−1=n(n−1)2−(n−1)(n−2)2=n −1，又当n =1时，a 1=S 1=0也适合上式， ∴a n =n −1，设等比数列{b n }的公比为q(q >0)， 若选条件①：由题设可得：{b 1q 2=4b 1(1+q)=3，解得：{b 1=1q =2，∴b n =2n−1； 若选条件②：由题设可得：{b 1q 2=4b 1(1+q +q 2)=7，解得：{b 1=1q =2， ∴b n =2n−1； 若选条件③：由题设可得：{b 1q 2=4b 1(q 3−q 2)=2b 1q ，解得：{b 1=1q =2， ∴b n =2n−1，综上，a n =n −1，b n =2n−1；(2)由(1)可得：a nb n=n−12n−1，∴A n =020+121+222+⋯+n−12n−1， 又12A n =021+122+⋯+n−22n−1+n−12n，两式相减得：12A n =12+122+⋯+12n−1+1−n 2n=12[1−(12)n−1]1−12+1−n 2n=1−n+12n，∴A n =2−n+12n−1<2．【解析】(1)先利用a n =S n −S n−1求得a n ，再利用所选条件及题设求得等比数列{b n }的首项b 1与公比q ，即可求得b n ；(2)先由(1)求得a nb n，再利用错位相减法求得A n ，进而证明结论．本题主要考查数列通项公式的求法、等比数列基本量的计算及错位相减法在数列求和与不等式证明中的应用，属于中档题．19.【答案】(1)证明：∵点A 1在底面上的射影是O ，∴A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥BC ， ∵O 为等边△ABC 的中心， ∴AO ⊥BC ，又A 1O ∩AO =O ，A 1O 、AO ⊂平面A 1AO ， ∴BC ⊥平面A 1AO ， ∵BC ⊂平面BCC 1B 1， ∴平面A 1AO ⊥平面BCC 1B 1．(2)解：取AB 的中点M ，取BC 靠近点B 的三等分点N ，连接OM ，ON ，则OM ⊥ON ， 以O 为原点，OM ，ON ，OA 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(12,−√32,0)，B(12,√32,0)，C(−1,0，0)，A 1(0,0，√3)，C 1(−32,√32,√3)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,√3,√3)，∵A 1O ⊥平面ABC ，∴平面ABC 的一个法向量为OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，√3)，设平面ABC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)，则{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{√3y =0−2x +√3y +√3z =0，令z =2，则x =√3，y =0，∴n ⃗ =(√3,0，2)，∴cos <OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗ |OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3√3×√3+4=2√77， 由图可知，二面角C 1−AB −C 为锐角， 故二面角C 1−AB −C 的余弦值为2√77．【解析】(1)易知A 1O ⊥平面ABC ，从而有A 1O ⊥BC ，由等边三角形的性质知，AO ⊥BC ，再结合线面垂直的判定定理与面面垂直的判定定理，得证；(2)取AB 的中点M ，取BC 靠近点B 的三等分点N ，连接OM ，ON ，以O 为原点，建立空间直角坐标系，由A 1O ⊥平面ABC ，知平面ABC 的一个法向量为OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出平面ABC 1的法向量n ⃗ 后，由cos <OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n⃗ >=OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |，即可得解． 本题考查空间中线与面的垂直关系、线面角的求法，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理或性质定理，以及利用空间向量处理线面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)根据所提供的数据，可得2×2列联表：由χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，可得K 2=200×(75×35−25×65)2100×100×140×60=2.38<3.841．故没有95%的把握认为产品的合格率与厂家有关． (2)甲厂10件A 等级，65件B 等级，25件次品， 对于甲厂，单件产品利润X 的取值可能为30，10，−34， X 的分布列如下：则E(X)=30×110+10×1320−34×14=1>0，故甲厂能盈利；对于乙厂有10件A等级，55件B等级，35件次品；对于乙厂，单位产品利润Y的取值可能为30，10，−34，X的分布列如下：则E(Y)=30×110+10×1120−34×720=−175<0，故乙厂不能盈利．【解析】(1)根据题目所给的数据可得2×2列联表，再由公式K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)计算k的值，从而查表即可；(2)用样本的频率估计概率，分别计算甲、乙两厂的获利期望可判断是否都能盈利．本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率、期望及计算能力的应用问题，是基础题目．21.【答案】解：(1)证明：∵函数f(x)=13x3−12ax2−2x的两个极值点分别为x1、x2，且x1<x2．∴f′(x)=x2−ax−2=0有两个不等的实根x1，x2，∴x1x2=−2<0，∴x1<0<x2，令f(x)=16x(2x2−3ax−12)=0，得x=0或2x2−3ax−12=0，由2x2−3ax−12=0，可知△=9a2+96>0，∴2x2−3ax−12=0有两个不等的非零实根，∴函数f(x)有三个零点．(2)根据f(x)的两个极值点分别为x1、x2，且x1<x2，可得f′(x)=x2−ax−2=0的两根为x1，x2，且x1<x2，根据二次函数知识可知当x<x1或x>x2时，f′(x)>0，当x1<x<x2时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,x1)，(x2,+∞)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减，当x≠x2时，令f(x)=f(x2)⇒13x3−12ax2−2x=13x23−12ax22−2x2⇒(x −x 2)[2x 2+(2x 2−3a)x +2x 22−3ax 2−12]=0，∴2x 2+(2x 2−3a)x +2x 22−3ax 2−12=0有一根为x 2(x 2>0)，设另一根为x 3，∴x 2+x 3=−2x 2−3a2，∴x 3=3a−4x 22，又x 22−ax 2−2=0，即ax 2=x 22−2，∴x 3=3ax 2−4x 222x 2=3(x 22−2)−4x 222x 2=−x 22−62x 2=−(12x 2+3x 2)≤−2√32=−√6，依题意根据三次函数的图象，可得m ≥x 3恒成立，而x 3的最大值为−√6， ∴m ≥−√6，∵m ∈Z ，∴m ≥−2， ∴整数m 的最小值为−2．【解析】(1)由f(0)=0以及方程2x 2−3ax −12=0的判别式大于0，可知f(x)有3个零点；(2)利用导数可得f(x)在(−∞,x 1)，(x 2,+∞)上单调递增，在(x 1,x 2)上单调递减，当x ≠x 2时，令f(x)=f(x 2)，求出该方程的另一个根x 3的最大值为−√6，根据三次函数的图象可得结果．本题考查了函数的零点，利用导数研究函数的单调性和最值，考查了转化思想和数形结合思想，属难题．22.【答案】证明：(1)设A(x 0,0)，B(−x 0,0)，C(−x 0,y 0)，D(x 0,y 0)，E(−x 0,−y 0)，则直线AE 的方程为：y =y2x 0x −y 02， 令x =0，解得y G =−y02，∴G(0,−y2)，则k CG =−3y02x 0，故k 1k 2=y 02x 0−3y 02x 0=−13，即k1k 2为定值；解：(2)由(1)知，直线CG 的方程为y =−3y2x 0x −y 02，将直线CG 与椭圆方程联立，可得(1+9y 022x 02)x 2+3y 02x 0x +12y 02−4=0．由x H +(−x 0)=−3y 02x 01+9y 022x 02，得x H =(2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02，∴H((2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02,−(4x 02+9y 02)y 02x 02+9y 02)，同理，将AE 的方程与椭圆方程联立，可得(1+y 022x 02)x 2−y 02x 0x +12y 02−4=0．由−x 0+x F =y 02x 01+y 022x 02，得x F =(2x 02+3y 02)x 02x 02+y 02，∴F((2x 02+3y 02)x 02x 02+y 02,y 032x 02+y 02). 则k =y H −yF x H−x F=−(4x 02+9y 02)y 02x 02+9y 02−y 032x 02+y 02(2x 02+3y 02)x 02x 02+9y 02−(2x 02+3y 02)x 02x 02+y 02=2x 02+3y 024y 02⋅y 0x 0≥2√6x 02y 024y 02⋅y 0x 0=√62，当且仅当2x 02=3y 02时取等号． ∴k min =√62； 证明：(3)HF 所在直线方程为y =2x 02+3y 024y 02⋅y 0x 0(x −2x 02+3y 022x 02+y 02x 0)+y 022x 02+y 02y 0， 令x =x 0，得y M =−y2， ∵x 024+y 022=1，∴x M24+2y M 2=1，可知动点M 在一个定曲线x 24+2y 2=1上运动．【解析】(1)设A(x 0,0)，B(−x 0,0)，C(−x 0,y 0)，D(x 0,y 0)，E(−x 0,−y 0)，写出直线AE 的方程，得到AE 的斜率，求出G 的坐标，进一步得到CG 的斜率，即可证明k 1k 2为定值；(2)分别写出直线CG 的方程与AE 的方程，与椭圆方程联立，求得H 与F 的坐标，写出FH 所在直线当斜率，然后利用基本不等式求最值； (3)写出HF 所在直线方程y =2x 02+3y 024y 02⋅y0x 0(x −2x 02+3y 022x 02+y 02x 0)+y 022x 02+y 02y 0，令x =x 0，得y M =−y02，结合x 024+y 022=1，即可证明动点M 在一个定曲线x 24+2y 2=1上运动．本题考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，综合性强，运算量大，属难题．。
江苏省泰州市2021届高三数学上学期期中调研试题2
江苏省泰州市2021届高三数学上学期期中调研试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合M ＝{}2log 1x x <，集合N ＝{}21x x -<<．则MN ＝A ．(0，1)B ．(﹣2，2)C ．(0，2)D ．(﹣2，1) 2．已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，则“ab ＝0”是“a ＋ib为纯虚数”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝A ．1B ．0C ．﹣1D ．1＋i4．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为A ．128.4米B ．132.4米C ．136.4米D ．110.4米 5．在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足1BE BC 2=，1DF DC 3=．若BD AE λ=+AF μ，则实数λ＋μ的值为A ．15-B ．15C ．75-D ．756．函数sin ()33x xx xf x -+=+的图像大致为7．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范， 亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表。
江苏省泰州市第二中学2021届高三上学期数学调研试题(一) 含答案
江苏省泰州市第二中学2020至2021学年高三年级第一学期教学质量调研（一）数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数z 满足i z i 2)1(=+，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 22、已知集合{}{}A x y y B x n y x A x ∈==-==,2|,)2(1|，则B A =（ ） A 、)2,(-∞ B 、)4,(-∞ C 、)2,0( D 、（0,4）3、已知γβ,,a 是三个不同的平面，且n m a ==γβγ ,，则n m ||是β||a 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件B 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件4、函数)sin()(x x e e x f -+=的图像大致为（ ）5、《九章算术》是我国古代的一本数学著作。
全书共有方田，栗米，衰分，少广，商宫，均输，盈不足，方程和勾股共九章，收录246个与生产、生活实践相关的实际应用问题。
在第六章“均输”中有这样一道题目：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各有几何？”其意思为：“现有5个人分5钱，每人所得成等差数列，且较多的两份之和等于较少的三份之和，问五人各得多少？”在该问题中，任意两人所得的最大差值为（ ）A 、31B 、32C 、61D 、656、在三棱锥ABC P -中，⊥PA 面ABC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，且3=PA ，则二面角A BC P --的大小为（ ）A 、 30B 、 45C 、 60D 、无法确定7、在平面直角坐标系xOy 中，点F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左焦点，A为椭圆的上顶点，过点A 作垂直于AF 的直线分别与x 轴正半轴和椭圆交于点N M ,，若3=，则椭圆C 的离心率e 的值为（ ） A 、22 B 、215- C 、21 D 、318、已知全集{}20201,|≤≤=∈=n n x N x U ，若集合∅=⊆⊆B A U B U A ,,，B A ,的元素个数相同，且对任意的B A n n ∈∈2,，则B A 的元素个数最多为（ ） A 、20 B 、18 C 、16 D 、以上结果都不正确二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省泰州中学 2021 届高三第一次月度检测(数学)及答案
x1 f x2
x1 x2
0．
当1 x1 x2 时， g x1 g x2 ∴ f x1 x1 f x2 x2 ，
∴
f
x1
f
x2
x1 x2 ，∴
f
x1 f x2
x1 x2
0．
D．正确；因为 ln x 1 时， f x 单调递增，又∵A 正确，
9．关于双曲线 C1 ：
x2 9
y2 16
1与双曲线 C2 ：
y2 9
x2 16
1 ，下列说法正确的是（
）．
A．它们有相同的渐近线
B．它们有相同的顶点
C．它们的离心率不相等
D．它们的焦距相等
10．函数 y Asin x （ A 0 ， 0 ， 0 π ）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）．
x2
即
x2
f
x1 x1 f
x2 ．
B．错误；因为令 g x f x x x ln x x ，∴ g x ln x 2 ，
∴ x e2, 时， g x 0 ， g x 单调递增， x 0, e2 时， g x 0 ， g x 单调递减．
∴ x1 f x1 与 x2 f x2 无法比较大小． C．错误；因为令 g x f x x x ln x x ， g x ln x ，
B
π 6
cos
B
1 2
这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答．
在△ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且______． （1）求角 B ；
（2）若 b 4 ，求△ABC 周长的最大值．
【注】如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．设数列 an