基底的单位正交化(含答案)-精品
施密特正交化的几何意义
施密特正交化的几何意义【摘要】施密特正交化是线性代数中的一个重要概念，通过一系列步骤将原始向量组转化为正交的规范正交基。
这种方法在几何学中具有重要意义，可帮助解决向量空间中的问题并简化计算。
施密特正交化的几何意义在于通过构建正交基来描述向量空间的结构，从而更清晰地理解向量之间的关系。
这种正交化方法也被广泛应用于几何问题的解决和数据分析中，能够提高计算效率和结果的准确性。
施密特正交化也存在一定的局限性，可能会引入舍入误差或导致正交性不完全。
未来，随着数据科学和机器学习的快速发展，施密特正交化方法需要不断改进和适应新的领域需求，以更好地发挥其作用。
施密特正交化的实际意义在于提供一种有效的数学工具，但需要在实践中谨慎使用并充分考虑其局限性和适用性。
【关键词】1. 引言1.1 施密特正交化的重要性施密特正交化是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用价值和理论意义。
在实际问题中，我们常常需要处理高维度的数据，并且这些数据可能存在多重相关性。
而施密特正交化的作用就在于将原始的线性无关的数据转化为正交的基向量，方便进行数据分析和处理。
通过施密特正交化，我们可以更好地理解数据之间的关系，提取出数据中的主要信息，减少数据冗余，从而提高数据处理的效率和准确性。
施密特正交化还可以用来解决各种几何问题，如求解投影、距离等，为几何学和计算几何学提供了重要的数学工具。
施密特正交化在数学理论和实际应用中都有着重要的地位，对于数据分析、几何问题和其他领域的研究具有重要的意义和作用。
1.2 施密特正交化的定义施密特正交化是一种特殊的向量正交化方法，用于将一组线性无关的向量组转化为一组正交化的向量组。
在施密特正交化中，首先选取一个向量作为新的基向量，然后将其他向量投影到这个基向量上，得到一个新的正交向量。
接着选取第二个向量作为新的基向量，重复上述步骤，直到所有向量都被处理过。
最终得到的向量组就是一组正交化的基向量。
施密特正交化的核心思想是通过投影的方式将原始向量组转化为正交向量组，使得向量之间彼此垂直。
单位化正交向量问题PPT课件02
4 2
∽
2 0
0 7
5.3.2 相似矩阵的性质
性质1 A∽ A（, 因为A E1AE) ;
性质2 若A∽ B,则 B∽ A;
性质3 若 A∽ B, B∽ C ,则 A∽C ;
性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同；
性质5 设 P1AP B, 是 A 与 B 的某个特征值,若 x 是
为正交矩阵，简称正交阵．
例如：
1
0
0
1
cos
sin
1
0
0
0
1 2
1
2
0
1 2
1 2
都是正交矩阵．
sin
cos
正交矩阵有下列性质：
性质1 若 A 为正交阵，那么 A 是可逆阵,且
A1 AT, A1或－１;
性质2 若 A 为正交阵，那么 A T 是正交阵；
； 性质3 A 为正交阵 A1AT
AE02 0210 10同解方程组为
x1 x2
x
x
2
2
通解为
x1 x2
c1
1
1
一基础解系为
1
p1
1
对 3 ，解方程 (A3E)x0 ,由于
A3E22
0010
00同解方程组为
x1 x2
0 x2
通解为
x1 x2
c2
0 1
,m等价.
1
例2
已知
1
1
1
,求一组非零向量 2 , 3 ,使1,2,3 两两正交.
解： 2 , 3 应该满足 1, x 0, 即 x1x2x3 0
其同解方程组为
x1 x2
人教版高中数学选修2-1空间向量的正交分解及其坐标表示课后习题
空间向量的正交分解及其坐标表示课时操练·促提高A组1.以下说法中正确的选项是()A.任何三个不共线的向量都可组成空间的一个基底B.不共面的三个向量便可组成空间的单位正交基底C.单位正交基底中的基向量模为1 且相互垂直D.不共面且模为 1 的三个向量可组成空间的单位正交基底分析 :单位正交基底中的三个向量一定是模等于1,且两两垂直 ,所以只有选项 C 正确 .答案 :C2.设 x= a+b,y= b+ c,z= c+ a,且{ a,b,c}是空间的一个基底,给出以下向量组: ①{ a,b,x}, ② { x,y,z}, ③{ b,c,z}, ④{ x,y,a+ b+ c}, 此中能够作为空间一个基底的向量组有()A.1 个分析 :如图 ,令B.2 个a=,b= ,c= ,C.3 个D.4个则 x=,y= ,z= ,a+ b+ c=.由 A,B1,C,D1四点不共面 ,可知向量x,y,z也不共面 ,同理b,c,z和x,y,a+ b+ c也不共面 ,应选 C. 答案 :C3.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC 的中点,且 = a,= b,=c,用a,b,c 表示向量为()A. a+ b+ cB. a-b+ cC.-a+ b+ cD. -a+ b-c分析 :如图 ,b+ c- a=- a+ b+c.答案 :C4.已知向量p 在基底{ a,b,c}下的坐标为(8,6,4),此中 a= i+j ,b=j+k ,c=k+i ,则向量 p 在基底{ i ,j,k}下的坐标是 ()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)分析 := 8a+ 6b+ 4c=8(i+j )+6(j+k )+4( k+i )=12i+14j+ 10k.答案 :A5.设OABC是四周体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG= 3GG1,若=x+y+z ,则(x,y,z)为()A. B.C. D.分析 :如图 ,由已知=)=)]=[() + ()]=,进而 x=y=z=.答案 :A6.设命题p:{ a,b,c} 为空间的一个基底,命题q:a,b,c是三个非零向量,则命题p 是 q 的条件 .分析 :若{ a,b,c} 为空间的一个基底,则a,b,c必定不共面.故a,b ,c中必定没有零向量;但当a,b,c是三个非零向量时 ,却不必定不共面 ,不必定能作为一个基底 .答案 :充足不用要1中 ,设 =a,= b,= c,A1 1与 B11的交点为 E,则 =.1 1 17.在正方体ABCD-A B C D C D分析 :如图 ,)= )=- a+b+ c.答案 :-a+ b+ c.8.已知 i,j ,k 是空间直角坐标系Oxyz 的坐标向量 ,而且 = -i+j-k ,= 3i-2j- 4k ,那么的坐标为分析 :由于 = (-i+j-k ) -(3i- 2j- 4k )=- 4i+3j+ 3k,所以 = ( -4,3,3) .答案 :(-4,3,3)9.如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,设 = a,= b,= c,E,F 分别是 PC 和 PB 的中点 ,用a,b,c 表示.解:)= )=- a-b+ c.=-=- )=- a-b+ c.2 的正方体 ,E,F 分别是 BB1和 DC 的中点 ,试找出空间的一个基底 , 10.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为并写出向量在此基底下的坐标 .解: 易知 {} 为空间的一个基底.=- ,所以的坐标为.=- ,所以的坐标为.,所以的坐标为.B组1.在正三棱柱ABC-A 1B1C1中 ,已知△ ABC 的边长为 1,三棱柱的高为2,成立如图所示的空间直角坐标系,则以下向量对应坐标正确的选项是()A. = (0,0,-2)B.C.= (0,1,2)D.分析 :设与方向同样的单位向量为i,j,k,则 i,j,= 2k,故= 2k,进而= (0,0, 2),故A不正确.i-j ,即,故 B 不正确 .j+ 2k ,即,故C不正确.=-=- i-j+ 2k ,即,故 D 正确 .答案 :D2.三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB= 1,M为PC的中点,N为AC的中点,以{}为基底 ,则的坐标为.分析 :如图 ,)-) =,故 .答案 :3.如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,而且PA=AD= 1,成立适合的坐标系 ,并写出的坐标 .解: ∵PA=AD=AB ,PA⊥平面 AC,AD ⊥ AB,∴可设 = e1,= e2,= e3.以 e1,e2,e3为单位正交基底成立空间直角坐标系,如图 .∵= )=- e2+ e3+ (-e3-e1+ e2 )=- e1+ e3,∴= (0,1,0) .4.已知{ e1,e2,e3}为空间的一个基底,且 = 2e1-e2+ 3e3,= e1+ 2e2-e3,=- 3e1+ e2+ 2e3,= e1+ e2 -e3.(1)判断 P,A,B,C 四点能否共面 ;(2)可否以 {} 作为空间的一个基底 ?若不可以 ,说明原因 ;若能 ,试以这一基底表示向量 .解:(1) 假定四点共面 ,则存在实数 x,y,z 使 =x+y+z ,且 x+y+z= 1,即 2e1-e + 3e =x (e + 2e -e )+y(-3e + e +2e )+z( e + e -e ),比较对应项的系数,获得对于 x,y,z 的方程23123123123组解得与 x+y+z= 1 矛盾 ,故四点不共面 .( 2) 若向量共面 ,则存在实数m,n 使=m+n ,同 (1)可证 ,这不行能 ,所以 {} 能够作为空间的一个基底.令 = a,= b,= c.+ 2e -e = a,-3e + e + 2e = b,e + e -e = c,联立获得方程组 ,进而解得由 e12 3123123所以 = 17-5-30.。
高中试卷-6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示(含答案)
第六章 平面向量及其应用6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示一、基础巩固1．向量1e u v ，2e u u v ，a r ，b r 在正方形网格中的位置如图所示，则a b -rr （ ）A ．1242e e --u v u u vB ．1224e e --u v u u vC ．123e e -u v u u vD ．123e e -u v u u v 【答案】C【详解】根据减法运算法则，求得a b -r r ，如下图：在1e u r ，2e u u r 的方向上进行分解，容易知：123a b e e -=-u r u u rr r 2．下列可作为正交分解的基底的是（ ）A ．等边三角形ABC 中的AB uuu v 和AC uuu vB ．锐角三角形ABC 中的AB uuu v 和AC uuu vC ．以角A 为直角的直角三角形ABC 中的AB uuu v 和ACuuu v D ．钝角三角形ABC 中的AB uuu v 和ACuuu v 【答案】C【详解】选项A 中，AB uuu r 与AC uuu r 的夹角为60°；选项B 中，AB uuu r 与AC uuu r的夹角为锐角；选项D 中，AB uuu r 与AC uuu r 的夹角为锐角或钝角.故选项,,A B D 都不符合题意.选项C 中，AB uuu r 与AC uuu r的夹角为90°，故选项C 符合题意.3．已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB uuu r 共线的单位向量为（ ）A ．4355æöç÷èø，或4355æö-ç÷èø，B ．3455æö-ç÷èø，或3455æö-ç÷èø，C ．4355æö--ç÷èø，或4355æöç÷èø，D ．3455æö--ç÷èø，或3455æöç÷èø，【答案】B【详解】因为()13A ，，()41B -，，所以向量()3,4AB =-uuu r ，所以与向量AB uuu r 共线的单位向量为3455æö-ç÷èø，或3455æö-ç÷èø，.4．已知A (3，7)，B (5，2)，把向量AB uuu r 按向量a u r =(1，2)平移后，所得向量A B ¢¢uuuu r 的坐标是（ ）A ．(2，－5)B ．(1，－7)C ．(0，4)D ．(3，－3)【答案】A【详解】由题意(5,2)(3,7)(2,5)AB =-=-uuu r ，∴(2,5)A B ¢¢=-uuuu r．5．已知ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1，7)，C (1，2)，则顶点D 的坐标为（ ）A ．(－7，0)B ．(7，6)C ．(6，7)D ．(7，－6)【答案】D【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =uuu r uuur.设D (x ，y )，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y )，即6182x y -=-ìí=-î解得76x y =ìí=-î， 因此D 点坐标为(7，－6)．6．在平面直角坐标系xOy 中，点()3,1P，将向量OP uuu r 绕点O 按逆时针方向旋转2p 后得到向量OQ uuu r ，则点Q 的坐标是（ ）A ．()2,1-B ．()1,2-C ．()3,1-D ．()1,3-【答案】D【详解】由()3,1P ，得2cos ,2sin 66P p p æöç÷èø，Q 将向量OP uuu r 绕点O 按逆时针方向旋转2p 后得到向量OQ uuu r ，\2cos ,2sin 6262Q p p p p æöæöæö++ç÷ç÷ç÷èøèøèø，又1cos sin 6262p p p æö+=-=-ç÷èø，3sin cos 6262p p p æö+==ç÷èø，\()1,3Q -.7．已知线性相关的变量x ，y ，设其样本点为(),i i i A x y （1,2,,6i =×××），回归直线方程为2y x b =+，若()1262,6OA OA OA ++×××+=-uuur uuuu r uuuu r （O 为坐标原点），则b =（ ）A ．3B ．53C ．12D ．12-【答案】B【详解】ö÷ø选项B. 9977022æö-´--´=ç÷èø,所以B 选项正确.选项C . ()91473023æöæö-´---´-=ç÷ç÷èøèø ,所以C 选项正确.选项D. 979702æö-´--´¹ç÷èø,所以选项D 不正确10．（多选）已知向量(1,0)i =v ，(0,1)j =u v ，对平面内的任一向量a v ，下列结论中错误的是（ ）A ．存在唯一的一对实数x ，y ，使得(,)a x y =v B ．若1212,,,x x y y ÎR ，()()1122,,a x y x y =¹v ，则12x x ¹，且12y y ¹C ．若,x y ÎR ，(,)a x y =v ，且0a ¹v ，则a v 的起点是原点OD ．若,x y ÎR ，0a ¹v ，且a v 的终点坐标是(,)x y ，则(,)a x y =v【答案】BCD【详解】由平面向量基本定理，可知A 中结论正确；(1,0)(1,3)a =¹r ，11=，03¹，故B 中结论错误；因为向量可以平移，所以(,)a x y =r 与a r 的起点是不是原点无关，故C 中结论错误；当a r 的终点坐标是(,)x y 时，(,)a x y =r 是以a r 的起点是原点为前提的，故D 中结论错误．11（多选）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（ ）A ．(0,1)-B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =uuu r uuu r时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；所以，(0,0),(1,0),(E A B 设(0,),(0,3),O y y BO Îuuu 所以23133y y -=-，解得：322OA OB OC OE OC OE ++=+==uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以选项C 正确；因为CE AB ^，0AB CE ×=uuu r uuu r，所以选项A 错误；123(,)33ED =uuu r ，(1,3)BC =uuu r ，ED uuu r 在BC uuu r 方向上的投影为127326BC BCED +×==uuu uuu r uuu r r ，所以选项D 正确.二、拓展提升13．已知e v 是直线l 上的一个单位向量，向量a v 与b v 都是直线l 上的向量，分别在下列条件下写出a v 与b v的坐标：（1）3a e =v v ，6b e =-v v ；（2）14a e =-vv ，2b e =v v .【答案】（1）a v 的坐标为3b v ，的坐标为6- （2）a v 的坐标为14-，b v 的坐标为2【详解】解：（1）3a e =r r Q ，6b e =-r r ，∴a r 的坐标为3，b r的坐标为6-.（2）a r 的坐标为14-，b r 的坐标为2.14．已知12,e e u v u u v 是平面内两个相互垂直的单位向量，且122a e e =-+u v u u v v ，1232b e e =-u v u u v v ，13c e =-u v v ，求,,a b c v v v 的坐标.【答案】(2,1)a =-v ， (3,2)b =-v ， (3,0)c =-v【详解】解：122a e e =-+r u r u u r Q ，又{}12,e e u r u u r 是（标准）正交基底，(2,1)a \=-r ，即a r 的坐标为(2,1)-，同理b r 的坐标为(3,2)-，c r的坐标为(3,0)-.15．已知向量(,2)a x =v ，(2,4)b =v ．（1）若//a b v v，求实数x 的值；（2）若6a b +=v v ，求实数x 的值．【答案】(1) 1x =．(2) 2x =-．【详解】解：（1）因为//a b r r ，(,2)a x =r ，(2,4)b =r ．422x \=´，解得1x =．（2）(,2)a x =r Q ，(2,4)b =r．(2,6)a b x \+=+r r ，2(2)36a b x \+=++r r ，2(2)366x \++=，解得2x =-．。
正交化定理量子力学中矢量空间和矢量的正交性质的描述原理
正交化定理量子力学中矢量空间和矢量的正交性质的描述原理正交化定理是量子力学中关于矢量空间和矢量正交性质的重要原理。
在量子力学中，矢量空间和矢量的正交性质是描述量子系统的基本特征之一。
本文将介绍正交化定理的定义、应用以及相关的数学描述原理。
一、正交化定理的定义正交化定理是指在一个矢量空间中，不同的矢量之间可以相互垂直，即它们的内积为零。
如果一个矢量空间中的不同矢量两两正交，那么它们构成了一个正交基底，可以用来表示该矢量空间中的任意矢量。
二、正交化定理的应用正交化定理在量子力学中有广泛的应用。
在描述量子系统的时候，我们常常需要将其表示为一个矢量空间中的矢量。
而矢量空间的正交基底则可以用来表示不同的测量结果。
例如，在描述一个自旋1/2的粒子时，我们可以将它的自旋向上态和自旋向下态分别表示为一个二维矢量空间中的两个正交基底。
那么，对于这个自旋1/2的粒子而言，它的自旋量子态可以表示为这两个基矢量的线性组合。
三、正交化定理的数学描述原理正交化定理的数学描述原理与内积（或标量积）有关。
在量子力学中，我们常常使用内积来描述矢量之间的相互关系。
对于两个矢量a和a，它们的内积记作〈a|a〉。
正交化定理可以用以下数学描述原理表示：1. 若两个矢量正交，即〈a|a〉= 0，那么它们在同一矢量空间中线性无关。
2. 若一个矢量与自身的内积为1，即〈a|a〉= 1，那么它被称为单位矢量。
3. 若矢量a和a在同一矢量空间中正交，那么它们的线性组合也正交于该矢量空间中。
在量子力学中，我们常常使用布拉符号（bra-ket notation）来表示矢量和内积。
例如，矢量a可以表示为|a〉，矢量a可以表示为|a〉，它们的内积可以表示为〈a|a〉。
通过使用布拉符号，我们可以方便地进行正交基底的表示和计算。
结语正交化定理是量子力学中关于矢量空间和矢量正交性质的重要原理。
它对于描述量子系统和表示测量结果起着重要的作用。
通过数学描述原理，我们可以理解正交化定理的概念和应用。
精品!正交分解练习,连这一套就够了
正交分解练习
1．如图所示，用与竖直方向成37°角，大小为100N的力推着一个质量为9kg的木块紧贴在竖直的墙壁上，若木块匀速下滑，求墙对木块的摩擦力的大小和方向以及木块与墙之间的动摩擦因数．（g=10m/s2）
2．如图所示，斜面倾角为θ=37°，在斜面上放着一重为100N的物体，问：
（1）当物块静止时所受摩擦力多大？
（2）如果物体和斜面间的动摩擦因数为0.2，那么让物体下滑，在下滑过程中物体受到的摩擦力多大？
（sin37°=0.6 cos37°=0.8）
3．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上，重为G的物体受到未知水平推力F的作用，使物体静止不动，则：
（1）物体对斜面的压力为多大？
（2）水平推力F为多大？
4．如图所示，轻质弹簧拉着一个质量为6kg的物体静止在倾角θ=30°的光滑斜面上，此时弹簧伸长量x1=10cm．
（1）求弹簧的劲度系数k；
（2）如果将斜面换成粗糙斜面，倾角不变，当弹簧的伸长量x2=15cm时，物体恰沿斜面向上做匀速直线运动，求物体与斜面间的动摩擦因数μ．
正交分解练习
参考答案
一．计算题（共2小题）
1．；2．；。
人教版高中数学选修2-1 空间向量的正交分解及其坐标表示课后习题
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时演练·促提升A组1.下列说法中正确的是()A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底C.单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直D.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底解析:单位正交基底中的三个向量必须是模等于1,且两两垂直,因此只有选项C正确.答案:C2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:如图,令a=,b=,c=,则x=,y=,z=,a+b+c=.由A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C.答案:C3.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为()A.a+b+cB.a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c解析:如图,b+c-a=-a+b+c.答案:C4.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)解析:=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.答案:A5.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为()A. B.C. D.解析:如图,由已知=)=)]=[()+()]=,从而x=y=z=.答案:A6.设命题p:{a,b,c}为空间的一个基底,命题q:a,b,c是三个非零向量,则命题p是q的条件.解析:若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面.故a,b,c中一定没有零向量;但当a,b,c是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底.答案:充分不必要7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则=.解析:如图,)=)=-a+b+c.答案:-a+b+c8.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且=-i+j-k,=3i-2j-4k,那么的坐标为. 解析:因为=(-i+j-k)-(3i-2j-4k)=-4i+3j+3k,所以=(-4,3,3).答案:(-4,3,3)9.如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,用a,b,c表示.解:)=)=-a-b+c.=-=-)=-a-b+c.10.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别是BB1和DC的中点,试找出空间的一个基底,并写出向量在此基底下的坐标.解:易知{}为空间的一个基底.=-,所以的坐标为.=-,所以的坐标为.,所以的坐标为.B组1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量对应坐标正确的是()A.=(0,0,-2)B.C.=(0,1,2)D.解析:设与方向相同的单位向量为i,j,k,则i,j,=2k,故=2k,从而=(0,0,2),故A不正确.i-j,即,故B不正确.j+2k,即,故C不正确.=-=-i-j+2k,即,故D正确.答案:D2.三棱锥P-ABC中,∠ABC为直角,PB⊥平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,以{}为基底,则的坐标为.解析:如图,)-)=,故.答案:3.如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,建立适当的坐标系,并写出的坐标.解:∵PA=AD=AB,PA⊥平面AC,AD⊥AB,∴可设=e1,=e2,=e3.以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系,如图.∵=)=-e2+e3+(-e3-e1+e2)=-e1+e3,∴=(0,1,0).4.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.(1)判断P,A,B,C四点是否共面;(2)能否以{}作为空间的一个基底?若不能,说明理由;若能,试以这一基底表示向量.解:(1)假设四点共面,则存在实数x,y,z使=x+y+z,且x+y+z=1,即2e1-e2+3e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z的方程组解得与x+y+z=1矛盾,故四点不共面.(2)若向量共面,则存在实数m,n使=m+n,同(1)可证,这不可能,因此{}可以作为空间的一个基底.令=a,=b,=c.由e1+2e2-e3=a,-3e1+e2+2e3=b,e1+e2-e3=c,联立得到方程组,从而解得所以=17-5-30.。
正交分解法(精选例题)
资源分配
02
在资源分配问题中，正交分解法用于优化资源配置，以实现经
济效率和社会福利的最大化。
产业组织
03
在产业组织理论中，正交分解法用于研究市场结构、企业行为
和绩效之间的关系，以制定有效的产业政策和竞争策略。
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控制系统
在航空航天和自动化领域，正交分解法用于设计 控制系统，以实现精确的轨迹跟踪和稳定的系统 性能。
信号处理
在通信和雷达系统中，正交分解法用于信号处理， 特别是在多径干扰抑制和信号分离方面。
在经济学中的应用
金融市场
01
在金融市场中，正交分解法用于分析股票价格、利率和汇率等
金融变量的动态变化，以预测市场趋势和制定投资策略。
电磁学
在电磁学中，正交分解法用于分 析电场和磁场，特别是在求解电 磁波的传播和散射问题时。
光学
在光学中，正交分解法用于研究 光的传播、干涉和衍射现象，特 别是在处理光波的偏振和干涉问 题时。
在工程学中的应用
1 2 3
结构分析
在土木工程和机械工程中，正交分解法用于分析 结构的静力和动力响应，特别是在处理多自由度 系统和复杂结构时。
正交分解法(精选例题)
• 正交分解法简介 • 正交分解法例题解析 • 正交分解法在数学中的重要性 • 正交分解法的扩展与进阶 • 正交分解法的实际应用
01
正交分解法简介
定义与性质
定义
正交分解法是一种将一个向量分解为 若干个正交向量的方法，即利用正交 基底来表示任意向量。
性质
正交分解法具有唯一性，即一个向量 只有一种正交分解方式。此外，正交 分解法还具有正交性，即分解后的正 交向量两两正交。
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基底的单位正交化
1．如图，在
OAB 中，点P 是线段OB 及线段AB 延长线所围成的
阴影区域(含边界)的任意一点，且OP xOA yOB =+则在直角坐标平面内，实数对(),x y 所示的区域在直线4y =的下侧部分的面积是__________________________. 答案：
92
2. （2006湖南文）如图1：OM ∥AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且y x +=，则实数对（x ,y ）可以是
A ．)43,41(
B . )32
,32(-
C. )43,41(- D . )5
7,51(-
3. （2006湖南理）如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB
域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+,则x 当1
2
x =-时,y 的取值范围是 .
4.（2006福建理）已知︱OA ︱=1，︱OB ︱=3,OB OA ∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠
AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R )，则
n
m
等于（ ） A.
31 B.3 C.3
3 D.3 5．在
ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，或AC AE AF λμ=+，其中λ、
μ∈R ，则λμ+=______________________.
答案：3
4
6．已知P 是
ABC 内任一点，且满足AP xAB yAC =+，y x R ∈、，则2y x -的取值
范围是_____________. 答案：()2,1-
A
A
7．在平面向量中有如下定理：设点O 、P 、Q 、R
则P 、Q 、R 三点共线的充要条件是：存在实数t ，使
(1)OP t OQ tOR =-
+．试利用该定理解答下列问题： 如图，在ΔABC 中，点E 为AB 边的中点，点F 在
AC 边上，且CF = 2F A ，BF 交CE 于点M ，设AM xAE yAF =+，则x + y = ．
答案：
75
8.如图，在OAB ∆中，点P 是线段OB 及AB 、AO 的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OP xOA yOB =+，则在直角坐标平面上，实数对(),x y 所表示的区域在直线3y x -=的右下侧部分的面积是 （ ▲ ）
A ． 9
2
B ．
72
C ．4
D ．5
9．（2009重庆市）在平行四边形ABCD 中，11
,,34
AE AB AF AD ==CE 与BF 相交于G 点.若,,AB a AD b ==则AG =（ ）
A.
2177a b + B. 2377a b + C . 3177a b + D. 42
77a b + 10．【台州市·理】设点P 是ABC ∆内一点（不包括边界），且(,)AP mAB nAC m n R =+∈，
则2
2
223m n m n +--+的取值范围是 . 答案：(
2
3
，3)， 基底单位正交化，数形结合。
25（2009重庆市）在平行四边形ABCD 中，11
,,34
AE AB AF AD ==CE 与BF 相交于G 点.若,,AB a AD b ==则AG =（ ） A.
2177a b + B. 2377a b + C. 3177a b + D. 42
77
a b + 答案：C
基底单位正交化，数形结合。
8.设点P 是三角形ABC 内一点（不包括边界），且AP m AB n AC →
→
→
=+,.m n R ∈,则
22(2)m n +-的取值范围为（B ）
C
A. B. (1,5) C. 1(,5)2 D. (2。