施密特正交化)
施密特正交化
施密特正交化1. 简介施密特正交化是一种线性代数中常用的算法，用于将一个线性无关的向量组转换为一个正交向量组。
这个算法的基本思想是通过迭代的方式将原始向量组中每一个向量减去前面的向量在当前向量的投影，从而使得每一个新的向量与前面的向量正交。
2. 算法步骤施密特正交化算法的具体步骤如下：1.输入一个线性无关的向量组V = {v1, v2, …, vn}。
2.初始化正交向量组 Q 为空集。
3.对于每一个向量v ∈ V，执行如下操作：如果 v 与 Q 中的所有向量都正交，则将 v 加入到 Q 中。
否则，通过减去 v 在 Q 中所有向量的投影，得到一个正交于 Q 中向量的新向量，将其加入到 Q 中。
4.输出正交向量组 Q。
3. 算法示例以下是一个示例来说明施密特正交化算法的具体过程。
假设有一个线性无关的向量组 V = {v1, v2, v3}，其中 v1 = [1, 2, 3]，v2 = [4, 5, 6]，v3 = [7, 8, 9]。
首先将 v1 加入到正交向量组 Q 中，得到 Q = {v1}。
然后对于 v2，先计算其在 v1 上的投影。
投影计算公式如下：proj(v, u) = (v · u) / (u · u) * u其中 ·表示向量的点积运算。
计算投影时，需要注意点积的顺序。
在这个例子中，我们需要计算 v2 在 v1 上的投影，因此需要计算 proj(v2, v1)。
计算结果为 [9/14, 18/14, 27/14]。
接下来，我们需要减去 v2 在 v1 上的投影，得到一个与 v1 正交的新向量。
计算结果为 [-5/14, -22/14, -21/14]。
将这个新向量加入到正交向量组 Q 中，得到 Q = {v1, [-5/14, -22/14, -21/14]}。
最后，我们对于 v3 重复以上步骤。
计算 v3 在 v1 上的投影为 [42/35, 84/35, 126/35]，减去投影后得到新向量为 [-37/35, -82/35, -99/35]。
施密特正交化的几何意义
施密特正交化的几何意义【摘要】施密特正交化是线性代数中的一个重要概念，通过一系列步骤将原始向量组转化为正交的规范正交基。
这种方法在几何学中具有重要意义，可帮助解决向量空间中的问题并简化计算。
施密特正交化的几何意义在于通过构建正交基来描述向量空间的结构，从而更清晰地理解向量之间的关系。
这种正交化方法也被广泛应用于几何问题的解决和数据分析中，能够提高计算效率和结果的准确性。
施密特正交化也存在一定的局限性，可能会引入舍入误差或导致正交性不完全。
未来，随着数据科学和机器学习的快速发展，施密特正交化方法需要不断改进和适应新的领域需求，以更好地发挥其作用。
施密特正交化的实际意义在于提供一种有效的数学工具，但需要在实践中谨慎使用并充分考虑其局限性和适用性。
【关键词】1. 引言1.1 施密特正交化的重要性施密特正交化是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用价值和理论意义。
在实际问题中，我们常常需要处理高维度的数据，并且这些数据可能存在多重相关性。
而施密特正交化的作用就在于将原始的线性无关的数据转化为正交的基向量，方便进行数据分析和处理。
通过施密特正交化，我们可以更好地理解数据之间的关系，提取出数据中的主要信息，减少数据冗余，从而提高数据处理的效率和准确性。
施密特正交化还可以用来解决各种几何问题，如求解投影、距离等，为几何学和计算几何学提供了重要的数学工具。
施密特正交化在数学理论和实际应用中都有着重要的地位，对于数据分析、几何问题和其他领域的研究具有重要的意义和作用。
1.2 施密特正交化的定义施密特正交化是一种特殊的向量正交化方法，用于将一组线性无关的向量组转化为一组正交化的向量组。
在施密特正交化中，首先选取一个向量作为新的基向量，然后将其他向量投影到这个基向量上，得到一个新的正交向量。
接着选取第二个向量作为新的基向量，重复上述步骤，直到所有向量都被处理过。
最终得到的向量组就是一组正交化的基向量。
施密特正交化的核心思想是通过投影的方式将原始向量组转化为正交向量组，使得向量之间彼此垂直。
矩阵施密特正交化
矩阵施密特正交化矩阵施密特正交化是一种线性代数中常用的方法，用于将一个线性无关的向量组转化为一个标准正交基。
本文将从以下几个方面对矩阵施密特正交化进行详细介绍。
一、矩阵施密特正交化的定义矩阵施密特正交化是指将一个线性无关的向量组转化为一个标准正交基的过程。
具体来说，就是对于给定的向量组V={v1,v2,...,vn}，通过一系列变换得到另一个向量组Q={q1,q2,...,qn}，使得Q是一个标准正交基，即满足以下两个条件：1. 向量组Q中的所有向量都互相垂直（即内积为0）；2. 向量组Q中的所有向量都具有单位长度（即模长为1）。
二、矩阵施密特正交化的步骤矩阵施密特正交化一般分为两个步骤：Gram-Schmidt过程和单位化过程。
1. Gram-Schmidt过程Gram-Schmidt过程是指对于给定的向量组V={v1,v2,...,vn}，通过以下公式计算出新的向量组Q={q1,q2,...,qn}：q1 = v1 / ||v1||q2 = (v2 - projq1(v2)) / ||(v2 - projq1(v2))||q3 = (v3 - projq1(v3) - projq2(v3)) / ||(v3 - projq1(v3) -projq2(v3))||...qn = (vn - projq1(vn) - ... - projqn-1(vn)) / ||(vn - projq1(vn) - ... - projqn-1(vn))||其中，projqi表示向量vi在向量qi上的投影，即：projqi(vi) = (vi·qi) / (qi·qi) * qi这个公式的意义是，对于每一个新的向量qi，先将它与前面的所有向量做内积并投影到它们所张成的空间中，然后将这个投影出来的部分从原始向量中减去，得到一个新的向量。
这个新的向量就是当前向量组中与前面所有向量都垂直的一个单位向量。
施密特正交化GramSchmidt
施密特正交化GramSchmidt施密特正交化 GramSchmidt施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process，是由Gram和schmidt两个⼈⼀起发明的，但是后来因为施密特名⽓更⼤，所以该⽅法被简记为施密特正交化。
借⽤《线性代数》P117-例2 的例⼦来运⾏代码。
a1=(1,2,−1)T a2=(−1,3,1)T a3=(4,−1,0)T正交化后：a1=(1,2,−1)T a2=53(−1,1,1)T a3=2(1,0,1)T单位化后：a1=1√6(1,2,−1)T a2=1√3(−1,3,1)T a3=1√2(4,−1,0)T代码实现python3 的 sympy 包实现了 GramSchmidt ⽅法。
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l)计算结果如下：[Matrix([[ 1],[ 2],[-1]]),Matrix([[-5/3],[ 5/3],[ 5/3]]),Matrix([[2],[0],[2]])]单位化也就是在调⽤函数的时候传⼊参数。
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)计算结果如下：[Matrix([[ sqrt(6)/6],[ sqrt(6)/3],[-sqrt(6)/6]]),Matrix([[-sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3]]),Matrix([[sqrt(2)/2],[ 0],[sqrt(2)/2]])]sympy.Matrix 与 Numpy 的互操作Matrix 转 Numpy.arrayimport numpy as npfrom sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)m = np.array(o)内积计算(m[0] * m[1]).sum() References Processing math: 100%。
施密特正交化方法
施密特正交化方法
1.引言
正交化是在线性代数和数值计算中使用的一种技术，属于建模技术。
它可以将一个多元函数拟合到期望值，并使多变量的线性函数系数之积最大化。
然后，通过分析这些系数，可以获取相关的数据结构以及这些函数的响应状态，从而为我们提供有用的信息。
同时，正交化也可以用于定义软件中的因素，以及解决若干个多元函数之间的冲突和调整。
正交化的技术中，最著名的是Schmidt正交化方法，也称作Gram-Schmidt正交化法，它是一种简便的正交化方法，可以将任意一组线性无关的向量用正交互补的方法正交化。
本文将讨论Schmidt正交化方法的原理，这个方法的主要应用，以及实现的一般步骤，以便让读者更好地理解它。
2.Schmidt正交化法原理
Schimidt正交化法的定义可以说是很宽泛的，即任意一个给定的无关向量组，可以使用此方法把它们正交化，并在此过程中产生一组正交向量组。
通过把正交向量的正交补偿引入，可以使得它们仍处于空间中，并保持它们之间的正交性。
首先， Schimidt正交化法需要确定一个原始向量，并且使用这个原始向量来产生其他的正交向量。
其次，需要计算出原始向量和当前向量的内积，并且把它们的结果成为比例系数。
施密特正交化推导过程
施密特正交化推导过程
高斯-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）是一种向量正交化方法，是有效正交化基底（orthonormal basis）状态的一种方法。
它是定义在实数向量空间上且有限维的。
它的目标是对给定的v1,v2,…,vn基向量族生成一组正交和成比例的替换向量基向量w1,w2,…,wn，从而得到一个正交且比例的基底。
它的推导公式很简单，首先把原来的基向量定义为V1,…,Vn，然后将第一个基向量标准化为Wi，同时Wi是一个和V1正交的基向量，以此类推，后面的基向量Wi，为了使它和前面的基向量正交，通过把它们分别减去与Wi，Wi−1相关的实际上是该线性组合，最后获得Wi。
它的实现算法如下：
(1)第一步：计算Wi=V1/||V1||（| |表示V1的范德蒙范数）；
(2)第二步：计算Wi+1=V2−(V2· Wi)Wi/ ||V2−(V2· Wi)Wi||；
(3)第三步：对于第n个基向量Vn，计算
Wn=Vn−(Vn· W1)W1−(Vn·W2)W2−…−(Vn · Wn−1)Wn−1/||Vn−(Vn·W1)W1−(Vn·W2 )W2−…−(Vn· Wn−1)Wn−1||
上述就是高斯-施密特正交化的推导过程，可以使任意多维向量空间的基向量被唯一的正交化。
它的算法比较简单，算法的复杂度只有O(n2)，所以，在线性代数运算中很常用。
施密特正交化
施密特正交化1.简介施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是一种将线性无关向量组转化为正交向量组的方法。
它是线性代数中非常常用的技巧之一，可应用于许多领域，包括信号处理、图像处理和机器学习。
在施密特正交化过程中，将给定的一组线性无关向量通过逐步正交化的方式，得到一组正交向量。
通过正交化，我们可以将原始向量表示为正交基上的线性组合，从而简化了向量的表示和计算。
2.算法步骤给定一组线性无关的向量 v1，我们要将其正交化得到一组正交向量 q1。
下面是施密特正交化的算法步骤：1.初始化q1’2.计算q1’ 的单位向量 q13.对于每个向量 vi，从 vi 中减去所有已经正交化的向量q1,…,qi-1 的投影，得到qi’4.计算qi’ 的单位向量 qi5.重复步骤 3 和步骤 4，直到所有向量都被正交化为止3.示例我们来看一个简单的示例，假设有两个线性无关向量 v1 和v2。
首先，初始化q1’。
计算 q1，得到 q1。
接下来，将向量 v2 减去向量 q1 的投影，得到q2’。
然后计算 q2。
最终，得到两个正交向量 q1 和 q2。
4.性质和应用施密特正交化的性质和应用包括：•正交向量组：经过施密特正交化处理后的向量组是正交向量组，即任意两个向量的内积为 0。
•最小表示误差：使用施密特正交化可以找到原始向量在正交基上的最小表示误差。
•正交矩阵：施密特正交化可用于生成正交矩阵，这在许多数值计算和优化算法中非常有用。
5.总结施密特正交化是一种将线性无关向量组转化为正交向量组的方法。
通过逐步正交化的过程，我们可以得到一组正交向量。
这种技巧在许多领域有广泛的应用，包括信号处理和机器学习等。
施密特正交化有许多重要的性质和应用，如生成正交向量组、最小表示误差和正交矩阵。
整个过程可以通过以上算法步骤进行实现。
施密特正交化
则 1, 2 , , s 两两正交.
(s ,s1 ) (s1 ,s1 ) s1
施密特正交化
设1,2 , s 线性无关,令
1 1
(2 ,1 )
2
2 (1 ,1 ) 1
(3 ,1 )
(3 ,2 )
3
3 (1 ,1 ) 1 (2 ,2 ) 2
i 0?
(s ,1 )
结论 施密特正交化靠谱！
推论 有限维欧氏空间必有标准正交基.
几何解释
(2 ,1 ) | 2 || 1 | cos
2
(2 ,1 ) 2 (1 ,1 ) 1
(2 ,1 ) 1
2
|1| |1|
1
2
| 2
|
cos
1 |1|
| 2 | cos
2
例子
例 将线性无关向量组化为标准正交向量组
(2 k1, 1 )
(2 , 1 ) k(1 , 1 ) 则k (2 ,1 )
(1 ,1 )
(s ,1 )
(s ,2 )
s
s (1 ,1 ) 1 (2 ,2 ) 2
则 1, 2 , , s 两两正交.
(s ,s1 ) (s1 ,s1 ) s1
施密特正交化
定理 设 1,2 , ,s 线性无关, 证：归纳假设s 1成立.s时
令
此时1, 2 ,
,
s
两两正交
1
1 1
令 s s k11 ks1 s1
(2 ,1 )
2
2 (1 ,1 ) 1
(3 ,1 )
(3 ,2 )
3
3 (1 ,1 ) 1 (2 ,2 ) 2
若0=(s , i )
(s , i ) k1(1, i ) ki (i , i ) ks1(s1, i )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
施密特正交化
在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够张成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。
Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。
这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。
在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。
在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。
因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。
记法
•：维数为n的内积空间
•：中的元素，可以是向量、函数，等等
•：与的内积
•：、……张成的子空间
•：在上的投影
基本思想
图1 v在V2上投影，构造V3上的正交基β
Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设。
V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v 不在V k上。
由投影原理知，v与其在V k上的投影之差
是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。
因此只要将β单位化，即
那么{η
1,...,η
k+1
}就是V k在v上扩展的子空间span{v,η
1
,...,η
k
}的标准正交
基。
根据上述分析，对于向量组{v
1,...,v
m
}张成的空间V n，只要从其中一个向量（不
妨设为v
1）所张成的一维子空间span{v
1
}开始（注意到{v
1
}就是span{v
1
}的正交
基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。
这就是Gram-Schmidt正交化。
算法
首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。
Gram-Schmidt正交化的过程如下：
这样就得到上的一组正交基，以及相应的标
准正交基。
例
考察如下欧几里得空间R n中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为<a, b> = b T a：
下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：
下面验证向量β1与β2的正交性：
将这些向量单位化：
于是{η1,η2}就是span{v1, v2}的一组标准正交基。
不同的形式
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。
例如，在实向量空间上，内积定义为：
在复向量空间上，内积定义为：
函数之间的内积则定义为：
与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。