施密特正交化方法
施密特正交化
施密特正交化1. 简介施密特正交化是一种线性代数中常用的算法，用于将一个线性无关的向量组转换为一个正交向量组。
这个算法的基本思想是通过迭代的方式将原始向量组中每一个向量减去前面的向量在当前向量的投影，从而使得每一个新的向量与前面的向量正交。
2. 算法步骤施密特正交化算法的具体步骤如下：1.输入一个线性无关的向量组V = {v1, v2, …, vn}。
2.初始化正交向量组 Q 为空集。
3.对于每一个向量v ∈ V，执行如下操作：如果 v 与 Q 中的所有向量都正交，则将 v 加入到 Q 中。
否则，通过减去 v 在 Q 中所有向量的投影，得到一个正交于 Q 中向量的新向量，将其加入到 Q 中。
4.输出正交向量组 Q。
3. 算法示例以下是一个示例来说明施密特正交化算法的具体过程。
假设有一个线性无关的向量组 V = {v1, v2, v3}，其中 v1 = [1, 2, 3]，v2 = [4, 5, 6]，v3 = [7, 8, 9]。
首先将 v1 加入到正交向量组 Q 中，得到 Q = {v1}。
然后对于 v2，先计算其在 v1 上的投影。
投影计算公式如下：proj(v, u) = (v · u) / (u · u) * u其中 ·表示向量的点积运算。
计算投影时，需要注意点积的顺序。
在这个例子中，我们需要计算 v2 在 v1 上的投影，因此需要计算 proj(v2, v1)。
计算结果为 [9/14, 18/14, 27/14]。
接下来，我们需要减去 v2 在 v1 上的投影，得到一个与 v1 正交的新向量。
计算结果为 [-5/14, -22/14, -21/14]。
将这个新向量加入到正交向量组 Q 中，得到 Q = {v1, [-5/14, -22/14, -21/14]}。
最后，我们对于 v3 重复以上步骤。
计算 v3 在 v1 上的投影为 [42/35, 84/35, 126/35]，减去投影后得到新向量为 [-37/35, -82/35, -99/35]。
施密特正交化 (2)
施密特正交化施密特正交化是一种线性代数中常用的方法，用于将一组线性无关的向量变换为一组正交的向量组。
这种正交化方法可以用于解决一些数学和工程上的问题，如最小二乘问题、特征向量和特征值计算等。
在本文档中，我们将详细介绍施密特正交化的原理、步骤和应用。
原理介绍施密特正交化的原理基于Gram-Schmidt正交化过程。
给定线性无关的向量组{$v_1,v_2,\\dots,v_n$}，施密特正交化的目标是构造一组正交向量组{$q_1,q_2,\\dots,q_k$}，其中$k\\leq n$。
这组正交向量组满足两个条件：首先，任意两个向量q q和q q的内积为0，即$\\langle q_i, q_j \\rangle = 0$；其次，这组向量与原向量组的张成空间相同，即$span\\{v_1,v_2,\\dots,v_n\\} =span\\{q_1,q_2,\\dots,q_k\\}$。
施密特正交化的原理在一个迭代过程中实现上述目标。
假设已经得到了前q−1个正交向量组{$q_1,q_2,\\dots,q_{k-1}$}，现在需要找到第q个正交向量q q。
则q q需要满足两个条件：首先，它与前q−1个向量组成的子空间正交，即$\\langle q_k,q_1 \\rangle = \\langle q_k, q_2 \\rangle = \\dots = \\langleq_k, q_{k-1} \\rangle = 0$；其次，它需要与原向量q q正交，即$\\langle q_k, v_k \\rangle = 0$。
为了满足这两个条件，我们可以通过以下步骤来计算q q：1.根据已有的前q−1个正交向量{$q_1,q_2,\\dots,q_{k-1}$}，计算出q q在这个子空间上的投影，记为q q：$$p_k = v_k - \\langle v_k, q_1 \\rangle q_1 - \\langle v_k, q_2 \\rangle q_2 - \\dots - \\langle v_k, q_{k-1} \\rangle q_{k-1}$$2.计算出q q，使其与q q正交，即$\\langle q_k, p_k\\rangle = 0$。
利用施密特正交化方法
《线性代数》课题组
（4）将总共得到的 n个单位正交特征向量作为矩
阵 Q 的列向量，则Q为所求正交矩阵； （5）Q1AQ 为对角矩阵，其主对角线上的元素为A
的全部特征值，它的排列顺序与 Q 中正交单位 向量的排列顺序相对应.
《线性代数》课题组
2 1 1
例2
用正交矩阵将
,3
1
0
1
1
1 1 1
2
2
(2 ,1) (1,1)
1
0 1
1
2
1 0
1 2
1
2
再将1, 2 ,3
单位化
1, 2 ,3 的模各是多少？
《线性代数》课题组
再单位化，得
1
2
1
1 1
1 2
,
2
2 2
0
将 3单位化，得
1
3
3
3 3
1
3
1
3
1
6
A
1
2
1
对角化.
1 1 2
解 矩阵 A的特征值为
1 2 1, 3 4
对应的特征向量为
1 1
1
1
1
,2
0
,
0
1
3 1
1
如何求A的 特征值与 特征向量
《线性代数》课题组
利用施密特正交化方法将 1 与2 正交化，得
1
1
1
1
,
0
1 1 1
1
1
,2
0
1
1 3
1
3
2
1T
3
3
(3, 1) (1, 1)
施密特正交化GramSchmidt
施密特正交化GramSchmidt施密特正交化 GramSchmidt施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process，是由Gram和schmidt两个⼈⼀起发明的，但是后来因为施密特名⽓更⼤，所以该⽅法被简记为施密特正交化。
借⽤《线性代数》P117-例2 的例⼦来运⾏代码。
a1=(1,2,−1)T a2=(−1,3,1)T a3=(4,−1,0)T正交化后：a1=(1,2,−1)T a2=53(−1,1,1)T a3=2(1,0,1)T单位化后：a1=1√6(1,2,−1)T a2=1√3(−1,3,1)T a3=1√2(4,−1,0)T代码实现python3 的 sympy 包实现了 GramSchmidt ⽅法。
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l)计算结果如下：[Matrix([[ 1],[ 2],[-1]]),Matrix([[-5/3],[ 5/3],[ 5/3]]),Matrix([[2],[0],[2]])]单位化也就是在调⽤函数的时候传⼊参数。
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)计算结果如下：[Matrix([[ sqrt(6)/6],[ sqrt(6)/3],[-sqrt(6)/6]]),Matrix([[-sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3]]),Matrix([[sqrt(2)/2],[ 0],[sqrt(2)/2]])]sympy.Matrix 与 Numpy 的互操作Matrix 转 Numpy.arrayimport numpy as npfrom sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)m = np.array(o)内积计算(m[0] * m[1]).sum() References Processing math: 100%。
施密特正交化详细计算
施密特正交化详细计算施密特正交化是一种常用的线性代数方法，用于将一个线性无关的向量组转化为一个正交的向量组。
它在许多领域中都有广泛的应用，如信号处理、图像处理、机器学习等。
施密特正交化的基本思想是通过逐步构造正交向量组来实现。
假设有n个线性无关的向量v1, v2, ..., vn，我们希望得到一个正交向量组q1, q2, ..., qn，使得它们满足以下两个条件：首先，每个qi都与之前的向量q1,q2, ..., qi-1都正交；其次，每个qi都与vi都正交。
首先，我们可以将第一个向量v1作为q1。
然后，对于第二个向量v2，我们需要将其投影到q1上，并将其投影部分从v2中减去。
这样得到的差值就是与q1正交的部分。
然后我们可以将这个差值作为q2。
接下来，对于第三个向量v3，我们需要将其投影到q1和q2上，并将投影部分从v3中减去。
这样得到的差值就是与q1和q2都正交的部分。
然后我们可以将这个差值作为q3。
以此类推，对于第i个向量vi，我们需要将其投影到q1, q2, ..., qi-1上，并将投影部分从vi中减去。
这样得到的差值就是与q1, q2, ..., qi-1都正交的部分。
然后我们可以将这个差值作为qi。
通过这样的逐步构造，我们最终可以得到一个正交向量组q1, q2, ..., qn。
这个向量组具有以下两个重要性质：首先，它们是两两正交的，即qi与qj（i≠j）正交；其次，它们与原始向量组v1, v2, ..., vn都正交。
施密特正交化的计算过程可以通过矩阵运算来实现。
假设有一个矩阵A，其中每一列都是一个向量vi。
首先，我们可以将第一列作为q1。
然后，对于第二列，我们需要计算其在q1上的投影，并将投影部分从第二列中减去。
这样得到的差值就是与q1正交的部分。
然后我们可以将这个差值作为矩阵A的第二列。
接下来，对于第三列，我们需要计算其在q1和q2上的投影，并将投影部分从第三列中减去。
这样得到的差值就是与q1和q2都正交的部分。
虚数向量施密特正交化
虚数向量施密特正交化
虚数向量施密特正交化的过程如下：
1. 假设给定n个虚数向量v1,v2,...,vn，其中vi表示第i个虚数向量。
2. 初始化一个正交向量集Q={q1,q2,...,qm}，其中qi表示第i 个正交向量，初始大小为m=0。
3. 对于第一个虚数向量v1，将其归一化得到单位向量u1，即u1 = v1 / |v1|，其中|v1|表示v1的模。
4. 将u1加入正交向量集Q，即Q = Q ∪ {u1}，即将u1作为正交向量的第一个元素。
5. 对于第i个虚数向量vi，通过施密特正交化的方法找到与前面的正交向量集Q中的向量正交的部分，即找到与vi垂直的向量，表示为p_i = vi - proj_Q(vi)，其中proj_Q(vi)表示vi在Q上的投影。
6. 如果p_i不为零向量，则将p_i归一化得到单位向量u_i，即u_i = p_i / |p_i|。
7. 将u_i加入正交向量集Q，即Q = Q ∪ {u_i}，即将u_i作为正交向量的第i个元素。
8. 重复步骤5-7，直到处理完所有的虚数向量。
9. 最终得到的正交向量集Q就是施密特正交化后的结果。
需要注意的是，对于虚数向量，它们的模是复数的绝对值，即|v| = |a + bi| = sqrt(a^2 + b^2)。
施密特正交化的过程可以通过基于复数的数学运算来进行，其中向量的加法和乘法可以直接应用于复数的加法和乘法运算。
施密特正交化推导过程
施密特正交化推导过程
高斯-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）是一种向量正交化方法，是有效正交化基底（orthonormal basis）状态的一种方法。
它是定义在实数向量空间上且有限维的。
它的目标是对给定的v1,v2,…,vn基向量族生成一组正交和成比例的替换向量基向量w1,w2,…,wn，从而得到一个正交且比例的基底。
它的推导公式很简单，首先把原来的基向量定义为V1,…,Vn，然后将第一个基向量标准化为Wi，同时Wi是一个和V1正交的基向量，以此类推，后面的基向量Wi，为了使它和前面的基向量正交，通过把它们分别减去与Wi，Wi−1相关的实际上是该线性组合，最后获得Wi。
它的实现算法如下：
(1)第一步：计算Wi=V1/||V1||（| |表示V1的范德蒙范数）；
(2)第二步：计算Wi+1=V2−(V2· Wi)Wi/ ||V2−(V2· Wi)Wi||；
(3)第三步：对于第n个基向量Vn，计算
Wn=Vn−(Vn· W1)W1−(Vn·W2)W2−…−(Vn · Wn−1)Wn−1/||Vn−(Vn·W1)W1−(Vn·W2 )W2−…−(Vn· Wn−1)Wn−1||
上述就是高斯-施密特正交化的推导过程，可以使任意多维向量空间的基向量被唯一的正交化。
它的算法比较简单，算法的复杂度只有O(n2)，所以，在线性代数运算中很常用。
求标准正交基的方法
求标准正交基的方法标准正交基是线性代数中的重要概念，它可以用来表示一个向量空间中所有的向量。
在实际应用中，求取标准正交基是非常常见的需求。
本文将介绍一些常用的方法来求取标准正交基。
1. 施密特正交化法施密特正交化法是最常用的求取标准正交基的方法之一。
这种方法基于一个简单的思想：将一个向量空间中的所有向量转化成互相垂直的向量，再将每个向量缩放成长度为1的向量。
下面是该方法的详细步骤：步骤 1：从初始向量集合中选取一个向量作为标准正交基的第一个向量，将该向量归一化。
步骤 2：对于剩下的每个向量，分别与前面已经求得的向量进行内积运算，并将该向量减去其在已有基向量上的投影。
这样就得到了一个新的向量，它跟已有的向量互相垂直。
步骤 3：将新向量归一化，并将其添加到标准正交基中。
步骤 4：重复步骤2和步骤3，直到向量集合中的所有向量都被处理完毕。
2. QR分解法QR分解是一种将矩阵分解成正交矩阵和三角矩阵的方法。
对于一个线性无关的向量集合，我们可以将它们组成一个矩阵，然后对该矩阵进行QR分解，得到一个正交矩阵和一个三角形矩阵。
正交矩阵中的每一列都作为标准正交基的一部分，而三角形矩阵则包含了向量集合的所有线性关系。
下面是对该方法的详细说明：步骤 1：将向量集合组成一个矩阵A。
步骤 2：对矩阵A进行QR分解，得到一个正交矩阵Q和一个上三角形矩阵R。
步骤 3：将Q的每一列作为标准正交基的一部分。
3. 基于特征分解的方法对于一个对称矩阵，我们可以通过其特征分解来求取其标准正交基。
特征分解将矩阵分解成一个特征值和特征向量的形式。
注意，该方法只适用于对称矩阵。
下面是具体步骤：步骤 1：对于一个对称矩阵A，求出它的特征值和特征向量。
综上所述，施密特正交化法、QR分解法和特征分解法是求取标准正交基的常用方法。
需要根据实际应用场景选择合适的方法。
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一般最小二乘法中f(x)的展开多项式可以为正交化的函数系，也可以为非正交化的函数系。
常用正交化的函数系有，Hermite 多项式，拉盖尔多项式和勒让德多项式等，也可以用正交三角函数系。
对于非正交化的矢量，可以进行人为正交化处理。
22
)()1()(x n n
x n n e dx d e x H -⋅-= )()(x n n n
x
n e x dx d e x L -⋅⋅= n n n
n n x dx
d x P )1(!21)(2-⋅=
Tn(x)=cos(narccosx)
施密特正交化方法：
已知有一组矢量集b i (i=1,----,n)，且无法找到这样一组常系数使得下式为0(实际含义为b i 矢量组可展开成n 维空间). 请用b i 矢量集构建一个正交化的n 维矢量集U i (i=1,----,n)。
01=∑=n i i i b
c
解：在求解之前，先说明一下行矢量点积的含义：两个行矢量点积为一个行矢量乘以另外一个行矢量的转置矢量(即变为列矢量)。
[]
[]
[]⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡====0 0 11 0 1),(0 0 11 0 1212121T b b b b b b
令b 1=U 1
则U 2应有如下表达式： 1111222U U U U b b U T T
-=
此时，可保证U 1和U 2正交，证明过程如下：
0),(11111
2121212=-==T T T
T T
U U U U U b U b U U U U 同理，U3表达式如下：
222231111
333U U U U b U U U U b b U T T T
T --=
∑-
=-=1
13i i i
T i
i T
i
i i U U U U b b U
通过以上步骤就依次构造了系列正交矢量U 1,---,Ui.
已知下式应变量被一组非正交基矢量进行展开，请将下列非正交基矢量修正成正交基矢量，并重新写出应变量在正交基矢量下的表达式。
(12) 0
∑=='n
k k k x a y
解：设第一个基矢量的k 为1，系数也为a k = 1
(13) 11x U =
(13)
41 432
22111
22
11112221x x x x dx x x dx
x x x U dx U U dx U x x U =-≠-=-=⎰⎰⎰⎰
证明(注意，以上积分有积分区间(而非不定积分)，积分后为一常数而非一变量(不定积分后任然为一变量)。
即如不等号后边所示)：
(13) 0)(1
111
22121=-=⎰⎰⎰⎰dx x dx x x dx
x x x x dx U U
因此，二者正交，证毕！
(13)
-)())(()( -)())(()(- 1
1
11
3111221112211122111
22331
1
11
3111221112211122111
22331
1
113
22223
331111
1111
x dx
x x dx x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x dx x x x dx
x dx x x dx x x x x x x
dx
x x dx x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x dx x x dx x x x dx x dx x x dx x x x x x U dx U U dx
U x U dx U U dx
U x x U ⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----=-----=-=
那么，如何证明U3与U2正交呢？
)- (2
1111
3222223232111132222232321111322223323=--=--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰dx U U dx U U dx U x dx U U dx U U dx U x dx U x dx U U dx U U dx U x dx U U dx U U dx U x dx U x dx
U U dx
U U dx U x U dx U U dx
U x x dx U U
上式积分均为有积分上下限的定积分，否则会出问题！。