利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程
格拉姆施密特正交化证明过程
格拉姆施密特正交化证明过程嘿，咱今儿个就来聊聊格拉姆施密特正交化证明过程这档子事儿。
你说这格拉姆施密特正交化，就像是一个神奇的魔法，能把一堆杂乱无章的向量变得整整齐齐、相互正交。
这可太有意思啦！想象一下，那些向量就像是一群调皮的孩子，在那里跑来跑去，没个规矩。
而格拉姆施密特正交化呢，就像是一位厉害的老师，把这些孩子一个个地拉过来，教导他们要站直了，别歪七扭八的，要相互尊重，保持垂直。
咱先从第一个向量开始，把它当作基准，让其他向量都向它看齐。
这就好比是在一群人中先找出一个带头的，其他人都跟着他走。
然后呢，对于第二个向量，咱就把它投影到第一个向量上，把这个投影的部分去掉，剩下的不就是和第一个向量正交的部分啦？这多巧妙啊！就好像把一个东西拆分成两个不同的部分，一个是和别人有关系的，一个是独特的自己。
接着，对于第三个向量，咱又得把它分别投影到前面两个向量上，把那些重叠的部分去掉，留下那独一无二的正交部分。
这就跟搭积木似的，一层一层地往上搭，每一层都有自己的特点，但又和下面的层相互配合。
这样一步一步地进行下去，那些向量就变得越来越规矩，越来越正交啦！这证明过程不就像是一场奇妙的冒险嘛！在这个过程中，咱们得仔细地计算，不能有一点儿马虎。
你说这数学咋就这么神奇呢？能想出这么厉害的方法来让这些向量乖乖听话。
而且啊，这格拉姆施密特正交化在好多领域都有用呢，比如在信号处理啦，图像处理啦，都能看到它的身影。
咱普通人可能觉得这玩意儿高深莫测，但其实只要咱静下心来，好好琢磨琢磨，也能明白个大概。
就像爬山一样，一开始觉得那山好高好难爬，但只要一步一步地往上走，总能爬到山顶，看到那美丽的风景。
所以啊，别被这格拉姆施密特正交化证明过程给吓住啦！大胆地去探索，去发现，你会发现其中的乐趣和奥秘的。
相信我，等你真的搞懂了，你肯定会感叹：哇塞，原来这么神奇啊！这不就像是打开了一扇通往新世界的大门嘛！怎么样，准备好和我一起去探索这个神奇的数学世界了吗？。
施密特正交化计算的步骤
施密特正交化计算的步骤1. 引言嘿，大家好！今天我们来聊聊施密特正交化，这可是个数学界的小英雄，让我们在高维空间里轻松自如！听上去有点复杂，但其实就像做菜，只要掌握了步骤，轻松搞定不在话下。
要不，我们一起来“下厨房”，看看这道数学大餐该怎么做吧！2. 施密特正交化的基本概念首先，施密特正交化的目标就是把一组线性无关的向量，变成一组正交的向量。
哎呀，正交就是彼此垂直的意思，你想想，像两个小朋友玩“捉迷藏”，总得分开藏才行嘛！这不仅好看，而且在后续计算中可谓是事半功倍。
你只需拿出几根向量，就能创造出一片正交的天地，真是太酷了！2.1 向量的准备好的，我们先准备一些向量，假设有三个小伙伴，向量A、B、C。
哇，它们在一起真是热闹，但没经过施密特的洗礼，它们的关系有点“乱”，不太好相处。
我们要把它们理顺一下，先让A登场，大家伙准备好接招了吗？2.2 开始正交化首先，咱们把A向量给定为“第一位”，然后让它保持不变。
接着，B向量要向A的方向靠拢，先把它的“影子”投影到A上，记住，投影就像给B戴上了A的“面具”。
所以我们要从B中减去这个“面具”，这样B就变得更清晰，更好相处了。
接下来，C向量也不甘示弱，照样要经过A和B的考验。
就这么一来二去，向量们一个个都被正交化了，活脱脱像一群舞者在舞台上翩翩起舞。
3. 正交化的公式行了，数学公式也不能缺席。
施密特正交化的核心公式其实不复杂，记住几个简单的步骤就行。
首先，对于任意的向量，记得计算投影：。
projA(B) = frac{B cdot A{A cdot A A 。
这就像是在给B量身定制一件“A”的外套，太合身了。
然后，像刚才那样，用B减去这个投影。
接下来，我们来个“减法”运算，形成新的正交向量，记得这个过程可别偷懒哦！3.1 逐步推进随着我们的向量逐步正交化，大家是不是觉得越来越顺手了？每当你完成一个步骤，就像是完成了一道菜肴，总有种成就感油然而生。
最后的结果就是一组完全正交的向量，它们在空间中各自占据一席之地，再也不会“争风吃醋”了。
如何在 MATLAB 中用 行代码实现 Gram-Schmidt 正交化
如何在MATLAB 中用9行代码实现Gram-Schmidt 正交化Gram-Schmidt 方法利用n 个独立的向量a 1,…,a n (A 的列向量产生n 个正交的向量q 1,…,q n (Q 的列向量。
求得q j 首先要从a j 中去其在前面的q 的投影,然后除以向量的长度,得到一个单位矩阵。
内积q i T a j 产生一个满足A=QR 的方阵R 。
因为当i 大于j 时q i T a j =0,所以R 是上三角形阵(后面的q 正交于以前的a ,这就是这个方法的要点。
下面是由A 产生Q 和R 的只有9行的MATLAB 的代码。
首先执行[m,n]=size (A;Q=zeros (m,n;R=zeros (n,m;以使矩阵具有正确的大小。
for j=1:n %Gram-Schmidt 正交化v=A(:,j; %v 初始化为A 的第j 列for i=1:j-1R(i,j=Q(:,i’*A(:,j; %为提高精确度用A(:,j代替vv=v-R(i,j*Q(:,i; %减去投影 q i T a j q i =(q i T vq iend %v 现在和q 1,…,q j −1正交R(j,j=norm(v;Q(:,j=v/R(j,j; %将v 规范化使之成为单位向量q j end如果你重复最后的步骤和中间的步骤你会发现:R(j,j q j =(v 减去它的投影=(A 的第j 列- R(i,jq i j −1i=1将和移到左侧就是乘积A=QR 的第j 列。
第4行的“改进的Gram-Schmidt ”在从a j 转换到v 中作了关键的调整。
由运算可知R(i.j= q i T a j 和q i T v 相等。
(现在v 已经从a j 中减去了在q 1,…,q i −1的投影,但是新的q i 要和这些方向都正交。
实际上这种正交状态并不完全正确,计算时便会在Q 中产生一点误差。
多数情况下在代码中的那一步使用v 。
例A 是2阶方阵。
施密特正交化详细计算
施密特正交化详细计算施密特正交化是一种方法，用于将一个向量集转化为一个正交的向量集。
这个过程创建了一个正交基，可以更轻松地处理向量集。
在本文中，我们将详细介绍施密特正交化的计算步骤。
步骤1：给定向量集首先，我们需要有一个向量集，我们将其表示为 {v1, v2, ..., vn}，其中vi是向量集中的第i个向量。
步骤2：计算第一个正交向量我们将求解向量集中的第一个正交向量。
我们选择 v1 作为我们正交基的第一个向量，因为它是向量集中的第一个向量。
步骤3：计算第二个正交向量为了计算第二个正交向量，我们需要将向量 v2 投影到基 v1 上。
投影的计算公式如下所示：projv1(v2) = ( v2 • v1 / ||v1||^2 ) * v1其中，• 表示向量的点积运算，||v1|| 表示向量v1 的范数（长度）。
然后，我们从 v2 中减去投影，以得到第二个正交向量：u2 = v2 - projv1(v2)步骤4：计算第三个正交向量为了计算第三个正交向量，我们将向量 v3 投影到基 v1 和 v2 上，然后从 v3 中减去这两个投影。
首先，计算 v3 在 v1 上的投影：projv1(v3) = ( v3 • v1 / ||v1||^2 ) * v1然后，计算 v3 在 v2 上的投影：projv2(v3) = ( v3 • v2 / ||v2||^2 ) * v2最后，我们可以计算第三个正交向量：u3 = v3 - projv1(v3) - projv2(v3)步骤5：重复步骤4直到所有向量都被处理完对于具有 n 个向量的向量集，我们可以重复步骤4的过程 n - 1 次，直到我们得到所有的正交向量。
总结：总而言之，施密特正交化是一种将向量集转化为正交向量集的方法。
该方法的计算步骤包括：1. 给定一个向量集。
2. 计算第一个正交向量，将其作为正交基的第一个向量。
3. 计算每个向量在前面的正交向量（基）上的投影，并从原向量中减去这些投影，得到下一个正交向量。
施密特正交化GramSchmidt
施密特正交化GramSchmidt施密特正交化 GramSchmidt施密特正交化的原名是 Gram–Schmidt process，是由Gram和schmidt两个⼈⼀起发明的，但是后来因为施密特名⽓更⼤，所以该⽅法被简记为施密特正交化。
借⽤《线性代数》P117-例2 的例⼦来运⾏代码。
a1=(1,2,−1)T a2=(−1,3,1)T a3=(4,−1,0)T正交化后：a1=(1,2,−1)T a2=53(−1,1,1)T a3=2(1,0,1)T单位化后：a1=1√6(1,2,−1)T a2=1√3(−1,3,1)T a3=1√2(4,−1,0)T代码实现python3 的 sympy 包实现了 GramSchmidt ⽅法。
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l)计算结果如下：[Matrix([[ 1],[ 2],[-1]]),Matrix([[-5/3],[ 5/3],[ 5/3]]),Matrix([[2],[0],[2]])]单位化也就是在调⽤函数的时候传⼊参数。
from sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)计算结果如下：[Matrix([[ sqrt(6)/6],[ sqrt(6)/3],[-sqrt(6)/6]]),Matrix([[-sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3],[ sqrt(3)/3]]),Matrix([[sqrt(2)/2],[ 0],[sqrt(2)/2]])]sympy.Matrix 与 Numpy 的互操作Matrix 转 Numpy.arrayimport numpy as npfrom sympy.matrices import Matrix, GramSchmidtl = [Matrix([1,2,-1]), Matrix([-1,3,1]), Matrix([4,1,0])]o = GramSchmidt(l, True)m = np.array(o)内积计算(m[0] * m[1]).sum() References Processing math: 100%。
Gram-Schmidt正交化方法
Gram-Schmidt 正交化方法 正射影设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令;11αβ= 111122,,ββββααβ-=; (1)222231111333,,,,ββββαββββααβ--=;……111122221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ .则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1i ii ββγ= s i ,.2,1 =则},,,{21s γγγ 为规范正交组.将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中kk k i ik t βββα,,=,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k{},,,2,1,s j i ∈∀有∑∑-=-=++=1111,,j k jk jk i k i k ikji t tββββαα()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---101001011,2,2,11,1,121s s s s s s t t t t t t T则TTssssssssssssss⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----ββββββββαααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,,112211/21121112221212111上式左端的实方阵是sααα,,,21的格兰母矩阵，记为：()sGααα,,,21，上式右端中间的对角阵是sβββ,,,21的Gram矩阵.即有:()()TGTGssβββααα,,,,,,21/21=因此()()ssssGGβββββββββααα,,,,,,det,,,det22112121==注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram矩阵（或者事先给出定义）.例1 设sααα,,,21欧式空间V中向量，则（1）()⇔≠0,,,det21sGαααsααα,,,21线性无关;（2）()⇔=0,,,det21sGαααsααα,,,21线性相关.证明:只证（2）)⇐设sααα,,,21线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性表示:sskkααα++=221给s阶的行列式()sGααα,,,det21的第i行乘数()i k-加到第1行，si,,3,2=得()ssssssisiissiiisiiiskkkGααααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det2122212212221211121∑∑∑===---==)⇒法一：由上页证明推理过程立即得证。
施密特正交化推导过程
施密特正交化推导过程
高斯-施密特正交化（Gram-Schmidt Orthogonalization）是一种向量正交化方法，是有效正交化基底（orthonormal basis）状态的一种方法。
它是定义在实数向量空间上且有限维的。
它的目标是对给定的v1,v2,…,vn基向量族生成一组正交和成比例的替换向量基向量w1,w2,…,wn，从而得到一个正交且比例的基底。
它的推导公式很简单，首先把原来的基向量定义为V1,…,Vn，然后将第一个基向量标准化为Wi，同时Wi是一个和V1正交的基向量，以此类推，后面的基向量Wi，为了使它和前面的基向量正交，通过把它们分别减去与Wi，Wi−1相关的实际上是该线性组合，最后获得Wi。
它的实现算法如下：
(1)第一步：计算Wi=V1/||V1||（| |表示V1的范德蒙范数）；
(2)第二步：计算Wi+1=V2−(V2· Wi)Wi/ ||V2−(V2· Wi)Wi||；
(3)第三步：对于第n个基向量Vn，计算
Wn=Vn−(Vn· W1)W1−(Vn·W2)W2−…−(Vn · Wn−1)Wn−1/||Vn−(Vn·W1)W1−(Vn·W2 )W2−…−(Vn· Wn−1)Wn−1||
上述就是高斯-施密特正交化的推导过程，可以使任意多维向量空间的基向量被唯一的正交化。
它的算法比较简单，算法的复杂度只有O(n2)，所以，在线性代数运算中很常用。
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程格拉姆-施密特正交化在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。
Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。
这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。
在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。
在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。
因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。
记法•：维数为n的内积空间•：中的元素，可以是向量、函数，等等•：与的内积•：、……张成的子空间•：在上的投影基本思想Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设。
是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。
由投影原理知，与其在上的投影之差是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。
因此只要将单位化，即那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。
根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到的一组正交基。
这就是Gram-Schmidt正交化。
算法首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。
Gram-Schmidt正交化的过程如下：这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。
例考察如下欧几里得空间R n中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为<a, b> = b T a：下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：下面验证向量与的正交性：将这些向量单位化：于是就是的一组标准正交基底。
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利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程
格拉姆-施密特正交化
在线性代数中，如果内积空间上的一组向量能够组成一个子空间，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。
Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个正交基，并可进一步求出对应的标准正交基。
这种正交化方法以Jørgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他们更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已经发现了这一方法。
在李群分解中，这种方法被推广为岩泽分解（Iwasawa decomposition）。
在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是数值不稳定的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。
因此在实际应用中通常使用豪斯霍尔德变换或Givens旋转进行正交化。
记法
•：维数为n的内积空间
•：中的元素，可以是向量、函数，等等
•：与的内积
•：、……张成的子空间
•：在上的投影
基本思想
Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。
设。
是上的维子空间，其标准正交基为，且不在上。
由投影原理知，与其在上的投影之差
是正交于子空间的，亦即正交于的正交基。
因此只要将单位化，即
那么就是在上扩展的子空间的标准正交基。
根据上述分析，对于向量组张成的空间 ()，只要从其中一个向量（不妨设为）所张成的一维子空间开始（注意到就是的正交基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到的一组正交基。
这就是Gram-Schmidt正交化。
算法
首先需要确定已有基底向量的顺序，不妨设为。
Gram-Schmidt 正交化的过程如下：
这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。
例
考察如下欧几里得空间R n中向量的集合，欧氏空间上内积的定义为<a, b> = b T a：下面作Gram－Schmidt正交化，以得到一组正交向量：
下面验证向量与的正交性：
将这些向量单位化：
于是就是的一组标准正交基底。
不同的形式
随着内积空间上内积的定义以及构成内积空间的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表现出不同的形式。
例如，在实向量空间上，内积定义为：
在复向量空间上，内积定义为：
函数之间的内积则定义为：
与之对应，相应的Gram－Schmidt正交化就具有不同的形式。
利用C程序编写格拉姆-施密特正交化的过程
C语言程序如下：
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 3 //N表示基的个数
#define M 4 //M表示维数
float zj(float a[],float b[]) //这是求内积函数
{int i;
float k=0;
for(i=0;i<M;i++)
k+=a[i]*b[i];
return k;
}
main()
{float p[N][M],b[N][M],k[N];
int i,j,m;
for(i=0;i<N;i++)
{ printf("请输入第%d个向量：\n",i+1);
for(j=0;j<M;j++)
scanf("%f",p[i]+j);}
for(i=0;i<N*M;i++)
b[0][i]=p[0][i];
//下面是正交化过程
for(i=1;i<N;i++) //i表示第i个向量
{ for(m=0;m<i;m++)
k[m]=zj(b[i],b[m])/zj(b[m],b[m]); //k[m]表示正交化过程中向量前的系数for(j=0;j<M;j++) //j表示每个向量中的坐标
for(m=0;m<i;m++)
b[i][j]-=k[m]*b[m][j];
}
printf("正交化结果为：\n");
for(i=0;i<N;i++)
{ printf("第%d个向量是：\n",i+1);
for(j=0;j<M;j++)
printf("%g ",b[i][j]);
putchar('\n');}
//下面是单位化过程
for(i=0;i<N;i++)
for(j=0;j<M;j++)
p[i][j]=b[i][j]/sqrt(zj(b[i],b[i]));
printf("\n单位化结果为：\n");
for(i=0;i<N;i++)
{ printf("第%d个向量是：\n",i+1);
for(j=0;j<M;j++)
printf("%g ",p[i][j]);
putchar('\n');}
}
实验结果如下：
实践课总结：
在这次实践课的课题讨论中，我所在的这个组个个都发挥自己得能动性。
都积极主动。
拿到课题后，我们马上讨论分工，针对自己所分到得板块去查阅资料，然后再次讨论总结，最后每个人都提出问题共同解决。
当然，在整个过程中遇到问题也是必然的。
例如，由于对C语言不熟练而导致在程序设计时遇到种种困难，多而杂得程序设计在排版上不能让读者一目了然，感觉有点凌乱，并且在第一次试讲过程中老师和细心得同学都提出了几个疑议。
下来后我们再次讨论。
针对那些问题并进行机上调试。
结果得出，我们得设计可能繁杂冗长了些，但没有错，因为输入书上得例子后可以得到正确答案。
这次实践课题讨论让我们知道每一个题在深论时才发觉永远没有底限，源源不断地牵扯出来的新知识还等待学习和探索。
此外就是一个团队的团结和作至关重要，只有大家和谐有序地进行每一次讨论，效果才能事半功倍。