第一章集合与常用逻辑用语 第四课时

若綈p⇒綈q，且綈q⇒綈p，即：綈p⇔綈q，则p是q的充 要条件．
若綈q⇒綈p，且綈p 件． 若綈p⇒綈q，且綈q 件． 若綈p 必要条件． 綈q且綈q
綈q，则p是q的充分不必要条 綈p，则p是q的必要不充分条 綈p，则p是q的既不充分又不
(3)集合法：用集合的观点进行判断，即 设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
变式探究
教师用书备选题 (2009年黄冈质检) 已知函数f(x)＝
解析：
1．判断充分条件、必要条件、充要条件的方法 (1)定义法：即直接利用定义判断； (2)逆否法：即利用其逆否命题进行判断 若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件． 若綈q⇒綈p，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
若p2＋q2＝2，求证：p＋q≤2. 思路分析：用反证法．即证明逆否命题“若p＋q>2，则 p2＋q2≠2”成立．
点评： 使用反证法的基本步骤是 (1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立． (2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛 盾．
(3)由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成 立．实际上是通过证明命题“若p，则q”的逆否命题“若 綈q，则綈p”成立从而得到“若p，则q”成立的结论．在 证明过程中，一定要注意对假设的利用．
解析：判别式大于0，关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有实根；但关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，判别 式既可大于0，也可以等于0，故选A. 答案：A 点评：注意区分充分条件、必要条件、充要条件的概念， 能准确利用它们的定义进行判断．
变式探究 1．“a＝1”是“对任意的正数x,2x＋≥1”的( A )
③与假设矛盾；
④自相矛盾.
答案：1．(1)充分不必要条件 (2)必要不充分条件 (3)充要条件 (4)既不充分也不必要条件 2.(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成 立 (2)从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出矛 盾 (3)由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成 立
基础自测
a 1．(2010年陕西卷)“a＞0”是“ ＞0”的(
1 1．(2010年广东卷)“m< ＋m＝0有实数解”的( )4
Hale Waihona Puke A．充分非必要条件C．必要非充分条件
”是“一元二次方程x2＋x
B．充分必要条件
D．非充分必要条件

解析：由x2＋x＋m＝0知，x＋22＝ 4 ≥0⇔m≤4. 故选A.
1
1－4m
1
答案：A
2．(2011· 湖南卷)“x＞1”是“|x|＞1”的(
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件 解析：因“x＞1”“⇒”“|x|＞1”，反之，“|x| ＞1”⇒“x＞1或x＜－1”，不一定有“x＞1”． 答案：A
祝
您
第一章 集合与常用逻辑用语
第四课时
充分、必要、充要条件
考纲要求 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义． 2.会用反证法证明命题.
知识梳理 1．用推出符号“⇒”概括充分、必要、充要条件
(1)若p⇒q，q
(2)若p
p，则p是q的________；
q，q⇒p，则p是q的________；
(3)若p⇒q，q⇒p，则p是q的________；
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
证明：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有根为1的充要 条件是a＋b＋c＝0.
思路分析：证明充要条件就是要证充分性和必要性，即 证原命题和其逆命题同时成立．
证明：必要性：即证若“关于 x的方程ax2＋bx＋c＝0有根为 1”，则“a＋b＋c＝0”．
答案：两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且 全等；对角线交于一点；底面是平行四边形． 注：上面给出了四个充要条件．还可写出其他正确答 案．
(2010年南宁模拟) 设p：b2－4ac>0，q：关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0 有实根，则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
答案：充要
4．(2010年柳州模拟)平面内的一个四边形为平行四边形 的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空 间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件① ____________________________________________________ ____________________； 充要条件② ____________________________________________________ ____________________. (写出你认为正确的两个充要条件)
(4)若p q，q p，则p是q的________．
2．用反证法证明命题的一般步骤
(1)_____________________________________________ ___________________________；
(2)_________________________________________ _______________________________； (3)__________________________________________ ______________________________． 出现矛盾的几种常见形式有： ①与定义、定理、公理矛盾； ②与已知条件矛盾；
)
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：∵a>0⇒︱a︱>0，但︱a︱>0 ⇒ a>0，∴“a＞0” 是“︱a︱> 0”的充分不必要条件，故选A. 答案：A
2．(2011年福州模拟)已知集合M＝{x|x2－2x≤0}，N＝ x≤0，则“x∈M”是“x∈N”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
因为x＝1是方程的根，将1代入方程，得a＋b＋c＝0，即得 证． 充分性：即证若“a＋b＋c＝0”，则“关于 x的方程ax2＋bx ＋c＝0有根为1”． 将1代入方程，左边＝a＋b＋c，因为a＋b＋c＝0，左边＝右 边，所以x＝1是方程的根．
综上所述得证．
点评：判定充要条件要从充分性和必要性两方面来论述，确 定充分条件或必要条件时可以根据充要条件作调整．
解析：∵M＝ [0，2] ，N＝ [0，2) ，由x∈M x∈N， 而由x∈N⇒x∈M，∴“x∈M”是“x∈N”的必要不充分条 件，故选B. 答案：B
3．(2012年佛山南海一中月考)在锐角三角形ABC中， A>B是sin A>sin B的________条件．
解析：∵0<A，B< ，∴A>B⇔a>b⇔sin A>sin B，所以填： 充要．
变式探究 2．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋4＝0，①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0.②
求使方程①②都有实根的充要条件．
解析：方程①有实数根的充要条件是Δ1＝(－4)2－16m≥0， 即m≤1，且m≠0；方程②有实数根的充要条件是Δ2＝(－4m)2 －4(4m2－4m－5)≥0，即m≥－5／4.∴方程①②都有实数根 的充要条件是－5／4 ≤m≤1，且m≠0.
①若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充 分不必要条件； ②若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必 要不充分条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若A 件． B，且B A，则p是q的既不充分也不必要条
2．反证法理论依据是：原命题为真，则它的逆否命题 也为真．在直接证明原命题有困难时．就可转化为证明他 的逆否命题成立．即所谓“正难则反”．