2008级 理工(A)高等数学(下)参考答案课程试题
2008级第二学期高等数学试题及答案[1].
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解 P = e x sin y + yx，Q = e x cos y + x 2
∂P = e x cos y + x，∂Q = e x cos y + 2x
∂y
∂x
原式 = ∫∫ xdxdy
D
1 2x
∫ ∫ = dx xdy 0x
∫= 1 x 2dx 0
A. 3x 2 sin y B. − 3 x 2 sin y C. 3x 2 cos y D. − 3x 2 cos y
得分 评阅人
2、曲线
⎪⎧ ⎨
x
2
+
⎪⎩ z =
y2 + z2 = x2 + y2
2在xOy面上的投影曲线方程为(
D
)
A.
⎧ ⎨ ⎩
x2 + y z=0
2
=
2
B.
⎧ ⎨ ⎩
x x
2+ =0
)
1 0
+
1 6
1e−y2d y2
0
= − 1 e −1 6
−
1 e−y2 6
1 0
= 1 (1 − 2e −1 ) 6
若积分次序反了图画对给 1 分
五、证明题(8 分)
设z =
y ，其中f (u)可导，
f(x2 − y2)
证明：1 ∂z + 1 ∂z = z x ∂x y ∂y y 2
证 ∂z = − 2 xyf ′
闭卷（√）
参考答案及评分标准 考试日期：2009.7.8
三 题号 一 二
四 五
123456712
(38)2008年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I 卷1至2页，第II 卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式： 如果事件互斥，那么球的表面积公式球的体积公式 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．是虚数单位，（ ） A ．B ．C ．D ．2．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．设函数，则是（ ） A ．最小正周期为的奇函数B ．最小正周期为的偶函数C ．最小正周期为的奇函数 D ．最小正周期为的偶函数 4．设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是（ ）A ．B ．C ．D ．5．设椭圆上一点到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则到右准线的距离为（ ） A ．6B ．2C ．D6．设集合，，，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．或7．设函数的反函数为，则（ ）A ．在其定义域上是增函数且最大值为1B ．在其定义域上是减函数且最小值为0C ．在其定义域上是减函数且最大值为1D ．在其定义域上是增函数且最小值为08．已知函数则不等式的解集是（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是增函数．令，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有．．中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A B ，24πS R =()()()P A B P A P B +=+34π3V R =A B ，R ()()()P A B P A P B =i 3i (i 1)i 1+=-1-1i -i x y ，012 1.x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥，≤，≥5z x y =+()sin 22f x x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭R ，()f x πππ2π2a b ，αβ，a b ⊥a b αβαβ⊥⊥，∥，a b αβαβ⊥⊥，，∥a b αβαβ⊂⊥，，∥a b αβαβ⊂⊥，∥，22221(1)1x y m m m +=>-P P 12{}23S x x =->{}8T x a x a =<<+S T =R a 31a -<<-31a --≤≤3a -≤1a -≥3a <-1a >-()1)f x x =<≤1()f x -1()f x -1()f x -1()f x -1()fx -10()10x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，，，≥，(1)(1)1x x f x +++≤{}11x x -≤{}1x x ≤{}1x x {}11x x ≤()f x R [)0+，∞2sin7a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭5cos 7b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭5tan 7c f π⎛⎫= ⎪⎝⎭b a c <<c b a <<b c a <<a b c <<A ．1344种B ．1248种C ．1056种D ．960种2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．的二项展开式中的系数是 （用数字作答）． 12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ． 13．已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．14．如图，在平行四边形中，，， 则 ．15．已知数列中，，，则 ． 16．设，若仅有一个常数使得对于任意的，都有满足方程，这时的取值的集合为 ．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知，． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 18．（本小题满分12分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球2次均未命中的概率为． （Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形．已知，，，，．（Ⅰ）证明平面；（Ⅱ）求异面直线与所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角的大小． 20．（本小题满分12分） 已知函数，其中． （Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．21．（本小题满分14分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是． （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2x 43πC 24y x =y x =4320x y --=C A B ，6AB =C ABCD (12)AC =，(32)BD =-，AD AC ={}n a 11a =111()3n n n a a n ++-=∈*N lim n n a →∞=1a >c []2x a a ∈，2y a a ⎡⎤∈⎣⎦，log log a a x y c +=a 2cos 410x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭324x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，sin x sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭12p 116p ξξP ABCD -ABCD 3AB =2AD =2PA =22PD =60PAB =∠AD ⊥PAB PC AD P BD A --()(0)af x x b x x=++≠a b ∈R ，()y f x =(2(2))P f ，31y x =+()f x ()f x 122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()10f x ≤114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，b C 1(30)F -，520x y -=C (0)k k ≠l C M N ，MN A BCDP BACD标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．22．（本小题满分14分）在数列与中，，，数列的前项和满足，为与的等比中项，．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求数列与的通项公式；（Ⅲ）设，证明．2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．A2．D3．B4．C5．B6．A7．D8．C9．A10．B二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分．11．4012．2413．14．315．16．三、解答题17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分．（Ⅰ）解法一：因为，所以，于是．．，即．又，从而，解得或．因为，所以．（Ⅱ）解：因为，故．，．所以，．18．本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．满分12分．（Ⅰ）解：设“甲投球一次命中”为事件，“乙投球一次命中”为事件，由题意得，解得或（舍去），所以乙投球的命中率为．（Ⅱ）解：由题设和（Ⅰ）知，，，．可能的取值为0，1，2，3，故812k{}na{}n b11a=14b={}n a n n S1(3)0n nnS n S+-+=12na+nb1nb+n∈*N2a2b{}na{}n b1212(1)(1)(1)n aa an nT b b b n=-+-++-∈*N…，223nT n n<，≥22(1)10x y+-=76{}2324xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，442xπππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin410xπ⎛⎫-==⎪⎝⎭sin sin sin cos cos sin444444x x x x⎛ππ⎫ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭41021025=+=x x=1cos sin5x x+=22sin cos1x x+=225sin5sin120x x--=4sin5x=3sin5x=-324xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4sin5x=324xππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos5x===-24sin22sin cos25x x x==-27cos22cos125x x=-=-sin2sin2cos cos2sin333x x xπππ⎛⎫+=+=⎪⎝⎭A B221(1())(1)16P B p-=-=34p=54p=341()2P A=1()2P A=3()4P B=1()4P B=ξ，， ，． 的分布列为的数学期望． 19．本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．满分12分．（Ⅰ）证明：在中，由题设，，，可得，于是．在矩形中，，又，所以平面．（Ⅱ）解：由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角． 在中，由余弦定理得 ．由（Ⅰ）知平面，平面，所以，因而，于是是直角三角形， 故． 所以异面直线与所成的角的大小为．（Ⅲ）解：过点作于，过点作于，连结． 因为平面，平面，所以．又，因而平面，故为在平面内的射影．由三垂线定理可知，．从而是二面角的平面角．由题设可得，，，，，． 于是在中，． 所以二面角的大小为． 20．本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力．满分12分． （Ⅰ）解：，由导数的几何意义得，于是． 由切点在直线上可得，解得． 所以函数的解析式为． （Ⅱ）解：． 当时，显然，这时在，内是增函数． 当时，令，解得． 当变化时，，的变化情况如下表：2111(0)()()2432P P A P B B ξ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭12(1)()()()()()P P A P B B C P B P B P A ξ==+211311722444232⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭2139(3)()()2432P P A P B B ξ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭15(2)1(0)(1)(3)32P P P P ξξξξ==-=-=-==ξξ0123P 1327321532932ξ171590123232323232E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=PAD △2PA =2AD =22PD =222PA AD PD +=AD PA ⊥ABCD AD AB ⊥PA AB A =AD ⊥PAB BC AD ∥PCB ∠PC AD PAB △222cos 7PB PA AB PA AB PAB =+-=AD ⊥PAB PB ⊂PAB AD PB ⊥BC PB ⊥PBC △7tan 2PB PCB BC ==PC AD 7arctan 2P PH AB ⊥H H HE BD ⊥E PE AD ⊥PAB PH ⊂PAB AD PH ⊥ADAB A =PH ⊥ABCD HEPE ABCD BD PE ⊥PEH ∠P BD A --sin 603PH PA ==cos601AH PA ==2BH AB AH =-=2213BD AB AD =+=413AD HE BH BD ==Rt PHE △39tan 4PH PEH HE ==P BD A --39arctan42()1af x x'=-(2)3f '=8a =-(2(2))P f ，31y x =+27b -+=9b =()f x 8()9f x x x=-+2()1af x x'=-0a ≤()0(0)f x x '>≠()f x (0)-∞，(0)+，∞0a >()0f x '=x a =±x ()f x '()f x x ()a --∞，a -(0)a -，(0)a ，a ()a +，∞()f x '+0--0+AB CDPHE所以在，内是增函数，在，内是减函数． （Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值为与中的较大者，对于任意的，不等式在上恒成立，当且仅当 即 对任意的成立． 从而得，所以满足条件的的取值范围是．21．本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．满分14分．（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得解得 所以双曲线的方程为． （Ⅱ）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得 ．此方程有两个不等实根，于是，且．整理得． ③由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，． 从而线段的垂直平分线的方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．将上式代入③式得， 整理得，．解得或． 所以的取值范围是． 22．本小题主要考查等差数列的概念、通项公式及前项和公式、等比数列的概念、等比中项、不等式证明、数学归纳法等基础知识，考查运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分14分．()f x (--∞，+∞((0()f x 114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)f 122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()10f x ≤114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1104(1)10f f ⎧⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪⎩≤，≤，39449b a b a ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，≤122a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，74b ≤b 74⎛⎤- ⎥⎝⎦∞，C 22221(00)x y a b a b-=>>，229a b b a⎧+=⎪⎨=⎪⎩，2245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，C 22145x y -=l (0)y kx m k =+≠11()M x y ，22()N x y ，221.45y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，① ②22()145x kx m +-=222(54)84200k x kmx m ----=2540k -≠222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>22540m k +->MN 00()x y ，12024254x x km x k +==-002554my kx m k =+=-MN 225145454m km y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭x y 29054km k ⎛⎫⎪-⎝⎭，29054m k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，2219981254542km m k k =--222(54)k m k-=0k ≠222(54)540k k k-+->22(45)(45)0k k k --->0k ≠0k <<54k >k 5555004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∞，，，，∞n（Ⅰ）解：由题设有，，解得．由题设又有，，解得． （Ⅱ）解法一：由题设，，，及，， 进一步可得，，，，猜想，，． 先证，． 当时，，等式成立．当时用数学归纳法证明如下： （1）当时，，等式成立． （2）假设当时等式成立，即，．由题设，， ① ．②①的两边分别减去②的两边，整理得，从而．这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的成立． 综上所述，等式对任何的都成立． 再用数学归纳法证明，． （1）当时，，等式成立．（2）假设当时等式成立，即，那么． 这就是说，当时等式也成立．根据（1）和（2）可知，等式对任何的都成立．解法二：由题设， ①． ②①的两边分别减去②的两边，整理得，，所以，，……，．将以上各式左右两端分别相乘，得， 由（Ⅰ）并化简得，． 上式对，也成立．由题设有，所以，即，． 令，则，即．由得，．所以 ．即 ，．12140a a a +-=11a =23a =22214a b b =14b =29b =1(3)0n n nS n S +-+=11a =14b =23a =29b =36a =316b =410a =425b =(1)2n n n a +=2(1)n b n =+n ∈*N (1)2n n n a +=n ∈*N 1n =11(11)2a ⨯+=2n ≥2n =22(21)2a ⨯+=n k =(1)2k k k a +=2k ≥1(3)k k kS k S +=+1(1)(2)k k k S k S --=+1(2)k k ka k a +=+[]1(1)(1)122(1)22k k k k k k k k a a k k +++++++===1n k =+(1)2n n n a +=2n ≥(1)2n n n a +=n ∈*N 2(1)n b n =+n ∈*N 1n =21(11)b =+n k =2(1)k b k =+[]22221124(1)(2)(1)1(1)k k k a k k b k b k ++++===+++1n k =+2(1)n b n =+n ∈*N 1(3)n n nS n S +=+1(1)(2)n n n S n S --=+1(2)n n na n a +=+2n ≥3224a a =4335a a =1(1)(1)n n n a n a --=+3n ≥2(1)!(1)!6n n n a a +-=2(1)(1)62n n n n n a a ++==3n ≥1n =22114n n n b b a ++=221(2)(1)n n b b n n +=++1221(1)(2)n n b b n n +=++n ∈*N 2(1)nn b x n =+11n n x x +=11n n x x +=11x =1n x =1n ≥21(1)nb n =+2(1)n b n =+1n ≥解法三：由题设有，，所以， ，……，．将以上各式左右两端分别相乘，得，化简得，．由（Ⅰ），上式对，也成立．所以，． 上式对也成立．以下同解法二，可得，．（Ⅲ）证明：．当，时，．注意到，故．当，时，．当，时，．当，时，．所以，从而时，有总之，当时有，即．选择填空解析2008年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2008•天津）i 是虚数单位，=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i1(3)n n nS n S +=+n ∈*N 214S S =3225S S =1(1)(2)n n n S n S --=+2n ≥112(1)45(2)n n S n S ⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯+……1(1)(2)(1)(2)236n n n n n n n S a ++++==⨯3n ≥1n =21(1)2n n n n n a S S -+=-=2n ≥1n =2(1)n b n =+1n ≥1212(1)(1)(1)n aa a n n Tb b b =-+-++-…(1)222223(1)(1)n n n +=--++-+…4n k =k ∈*N 222222222345(42)(41)(4)(41)n T k k k k =--++-----+++ (2)222(42)(41)(4)(41)324k k k k k ----+++=-(1)32(12)43242n k k T k k k +=⨯+++-=⨯-…224(44)4(4)343k k k k k n n =+-=+⨯=+41n k =-k ∈*N 22222(4)34(41)(1)3(1)(2)n T k k k n n n n =+⨯-+=+++-+=42n k =-k ∈*N 22222(4)34(41)(4)3(2)(3)33n T k k k k n n n n =+⨯-+-=+-+=---43n k =-k ∈*N 222234(41)(41)3(3)(4)(2)3n T k k k n n n n =⨯-++-=+-+++=--2234333424134n n n k n n n k T k n n k n n n k --=-⎧⎪---=-⎪=∈⎨=-⎪⎪+=⎩*N ，，，，，，， ，3n ≥22213259133312610141237113124812n n n n n T n n n n n n n⎧+<=⎪⎪⎪++<=⎪=⎨⎪<=⎪⎪⎪+<=⎩，，，，…，， ，，，…，， ，，，…，， ，，，…．3n ≥22n T n<22n T n <【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果．【解答】解：，故选A．【点评】本题考查复数的代数形式的运算，i的幂的运算，是基础题．2．（5分）（2008•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=5x+y的最大值为（）A．2B．3C．4D．5【考点】简单线性规划的应用．【专题】计算题．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=5x+y的最小值．【解答】解：满足约束条件的可行域如图，由图象可知：目标函数z=5x+y过点A（1，0）时z取得最大值，z max=5，故选D．【点评】在解决线性规划的问题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．3．（5分）（2008•天津）设函数，则函数f（x）是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．【分析】首先利用余弦的二倍角公式把原函数转化为y=Asinωx的形式，然后由y=Asinωx的性质得出相应的结论．【解答】解：f（x）==﹣=﹣sin2x所以T=π，且为奇函数．故选A．【点评】本题考查余弦的二倍角公式及函数y=Asinωx的性质．4．（5分）（2008•天津）设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是（）A．a⊥α，b⊥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α⊥βC．a⊂α，b⊥β，α⊥βD．a⊂α，b⊥β，α⊥β【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据题意分别画出错误选项的反例图形即可．【解答】解：A、B、D的反例如图．故选C．【点评】本题考查线面垂直、平行的性质及面面垂直、平行的性质，同时考查充分条件的含义及空间想象能力．5．（5分）（2008•天津）设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）A．6B．2C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题．【分析】根据椭圆定义，求出m，利用第二定义求出到右准线的距离，注意右焦点右准线的对应关系．【解答】解：由椭圆第一定义知a=2，所以m2=4，椭圆方程为所以d=2，故选B【点评】本题考查了椭圆的第一定义以及第二定义的应用6．（5分）（2008•天津）设集合S={x||x﹣2|＞3}，T={x|a＜x＜a+8}，S⊥T=R，则a的取值范围是（）A．﹣3＜a＜﹣1B．﹣3≤a≤﹣1C．a≤﹣3或a≥﹣1D．a＜﹣3或a＞﹣1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，易得S={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S⊥T=R，可得不等式组，解可得答案．【解答】解：根据题意，S={x||x﹣2|＞3}={x|x＜﹣1或x＞5}，又有S⊥T=R，所以，故选A．【点评】本题考查集合间的相互包含关系及运算，应注意不等式的正确求解，并结合数轴判断集合间的关系．7．（5分）（2008•天津）设函数的反函数为f﹣1（x），则（）A．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最大值为1B．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最小值为0C．f﹣1（x）在其定义域上是减函数且最大值为1D．f﹣1（x）在其定义域上是增函数且最小值为0【考点】反函数．【分析】根据本题所给出的选项，利用排除法比较方便，这样可以简化直接求解带来的繁琐．【解答】解：⊥为减函数，由复合函数单调性知f（x）为增函数，⊥f﹣1（x）单调递增，排除B、C；又f﹣1（x）的值域为f（x）的定义域，⊥f﹣1（x）最小值为0故选D【点评】本题很好的利用了排除法，显得小巧灵活，如果求出反函数再去研究，就会麻烦多了，可以比较一下感受感受，所以筛选法、排除法、验证法都是很好的解题方法，平时要用．8．（5分）（2008•天津）已知函数，则不等式x+（x+1）f（x+1）≤1的解集是（）A．B．{x|x≤1}C．D．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】对f（x+1）中的x分两类，即当x+1＜0，和x+1≥0时分别解不等式可得结果．【解答】解：依题意得所以故选：C．【点评】本题考查分断函数，不等式组的解法，分类讨论的数学思想，是基础题．9．（5分）（2008•天津）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数．令a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．b＜a＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考点】偶函数；不等式比较大小．【专题】压轴题．【分析】通过奇偶性将自变量调整到同一单调区间内，根据单调性比较a、b、c的大小．【解答】解：，因为，又由函数在区间[0，+∞）上是增函数，所以，所以b＜a＜c，故选A【点评】本题属于单调性与增减性的综合应用，解决此类题型要注意：（1）通过周期性、对称性、奇偶性等性质将自变量调整到同一单调区间内，再比较大小．（2）培养数形结合的思想方法．10．（5分）（2008•天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）A．1344种B．1248种C．1056种D．960种【考点】排列、组合的实际应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】根据题意，分2步进行，首先确定中间行的数字只能为1，4或2，3，然后确定其余4个数字的排法数，使用排除法，用总数减去不合题意的情况数，可得其情况数目，由乘法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有C21A22=4种排法，然后确定其余4个数字，其排法总数为A64=360，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法，余下两个数字有A42=12种排法，所以此时余下的这4个数字共有360﹣4×12=312种方法；由乘法原理可知共有4×312=1248种不同的排法，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意特殊方法的使用，如排除法．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）（2008•天津）的二项展开式中，x2的系数是40（用数字作答）．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出x2的系数．【解答】解：，令所以r=2，所以x2的系数为（﹣2）2C52=40．故答案为40【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．12．（4分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为24．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．【专题】计算题；综合题．【分析】由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的表面积．【解答】解：设球的半径为R，由得，所以a=2，表面积为6a2=24．故答案为：24【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．13．（4分）（2008•天津）已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．直线4x﹣3y﹣2=0与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB|=6，则圆C的方程为x2+（y ﹣1）2=10．【考点】抛物线的应用；圆的标准方程；直线和圆的方程的应用．【专题】计算题．【分析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而求得圆心，进而求得圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离，根据勾股定理求得圆的半径．则圆的方程可得．【解答】解：依题意可知抛物线的焦点为（1，0），⊥圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称．所以圆心坐标为（0，1），⊥，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=10故答案为x2+（y﹣1）2=10【点评】本题主要考查了抛物线的应用．涉及了圆的基本性质，对称性问题，点到直线的距离，数形结合思想等问题．14．（4分）（2008•天津）如图，在平行四边形ABCD中，，则=3．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】选一对不共线的向量做基底，在平行四边形中一般选择以最左下角定点为起点的一对边做基底，把基底的坐标求出来，代入数量积的坐标公式进行运算，得到结果．【解答】解：令，，则⊥．故答案为：3【点评】用基底表示向量，然后进行运算，比较困难．要启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．15．（4分）（2008•天津）已知数列{a n}中，，则=．【考点】数列的求和；极限及其运算．【专题】计算题；压轴题．【分析】首先由求a n可以猜想到用错位相加法把中间项消去，即可得到a n的表达式，再求极限即可．【解答】解：因为所以a n是一个等比数列的前n项和，所以，且q=2．代入，所以．所以答案为【点评】此题主要考查数列的求和问题，用到错位相加法的思想，需要注意．16．（4分）（2008•天津）设a＞1，若仅有一个常数c使得对于任意的x∈[a，2a]，都有y∈[a，a2]满足方程log a x+log a y=c，这时a的取值的集合为{2}．【考点】对数的运算性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】由log a x+log a y=c可以用x表达出y，转化为函数的值域问题求解．【解答】解：⊥log a x+log a y=c，⊥=c⊥xy=a c得，单调递减，所以当x∈[a，2a]时，所以，因为有且只有一个常数c符合题意，所以2+log a2=3，解得a=2，所以a的取值的集合为{2}．故答案为：{2}【点评】本题考查函数与方程思想，需要有较强的转化问题的能力．。
2008级985高等数学(下)及其参考答案
2008级高等数学下册试题（985） 一、填空题（每小题3分，共 15分1微分方程250y y y '''++=的通解为________________. 解：原微分方程对应的特征方程为2250r r ++= 解之，得特征根为：12r i =-± 故通解为：()12cos 2sin 2.x y e c x c x -=+2、设区域D 为221x y +≤，则()22____________.Dx y dxdy +=⎰⎰解：()21222..2Dx y dxdy d r rdr ππθ+==⎰⎰⎰⎰3．已知两直线的方程是1212321:,:,11211x y z x y z L L ---+-====-则过1L 且平行于2L 的平面方程是________________.解：可取所求平面的法向量为1013211ij kn i j k =-=-+. 又所求平面过点 ()1,2,3，由平面的点法式方程得，所求平面为：()()()1.1321.30x y z ---+-=，即320.x y z -++= 4、设S 是平面15x y z ++=被圆柱面221x y +=截出的限部分，则曲面积分_____________.Syds =⎰⎰解：由对称性知，显然0.Syds =⎰⎰5、设(){}222,,|1x y z x y z Ω=++≤，则2___.x dxdydz Ω=⎰⎰⎰解：由轮换对称性，知222.xd x d y d zy d x d y d zz d x d y d zΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 故()2122222211sin .33x dxdydz x y zdxdydz d d d ππθϕϕρρρΩΩ=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4.15π=二、选择题（每小题3，共 15 1. 级数14nn n ∞=∑的和为()A()49A ； ()29B ； ()19C ； ()8.9D解：令()()11,1,1.n n s x nxx ∞-==∈-∑则()011xnn xs x dx x x ∞===-∑⎰，()()21.11xs x xx '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- 故12111111114..4444449114n n n n n n s -∞∞==⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑ 另解：设 nn n nn S 441444342411432+-+++++=- （1）则114324414243424141+-+-+-++++=n nn n n n n S （2）（1）—（2），得14324414141414143+-+++++=n nn n S1441141141+--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn 1441131+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nn故14.3441194+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nnn S （3）注意到∑∞=+114n n n 收敛。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷·理科)(附答案,完全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分． 考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)kkn kn n P k C P P -=-一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算：{}|A B z z xy x A y B *==∈∈，，．设{}12A =，，{}02B =，，则集合A B *的所有元素之和为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的定义域是132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ）A ．132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．51023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．1033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．1limx →=（ ）A ．12B ．0C ．12-D ．不存在5．在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则n a =（ ） A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区是π3π22⎛⎫⎪⎝⎭，内的图象大致是（ ）7．已知12F F ，是椭圆的两个焦点，满足120M F M F =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．(01)，B ．102⎛⎤⎥⎝⎦，C．02⎛⎝⎭D．12⎫⎪⎪⎣⎭ 8．106(11⎛++ ⎝展开式中的常数项为（ ） A ．1B ．46C ．4245D ．42469．若120a a <<，120b b <<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（ ） A ．1122a b a b +B ．1212a a b b +C ．1221a b a b +D ．1210． 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦A B C D ，的长度分别等于M N ，分别为A B C D ，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦A B C D ，可能相交于点M ②弦A B C D ，可能相交于点N ③M N 的最大值为5④M N 的最小值为1其中真命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（ ）A ．B ． xC ． xD ．A ．1180B ．1288C ．1360D ．148012．已知函数2()22(4)1f x m x m x =+-+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(02)，B ．(08)，C ．(28)，D ．(0)-∞，2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上． 13．直角坐标平面内三点(12)(32)(97)A B C -，，，，，，若E F ，为线段B C 的三等分点，则AE AF =．14．不等式31122x x -+≤的解集为 ．15．过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A B ，两点（点A 在y 轴左侧），则A F F B= ．16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．图1图2有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在A B C △中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对的边长，a =，tan tan422A B C ++=，2sin sin cos2A B C =．求A B ，及b c ，．18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3，0.3，0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5，0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2，0.3，0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4，0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令1(12)i ξ=，表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数． （1）写出12ξξ，的分布列；（1）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（2）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264b S =，{}n a b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ； （2）证明：12111nS S S +++34<．20．（本小题满分12分）如图，正三棱锥O A B C -的三条侧棱O A O B O C ，，两两垂直，且长度均为2．E F ，分别是A B A C ，的中点，H 是E F 的中点，过E F 的一个平面与侧棱O A O B O C ，，或其延长线分别相交于111A B C ，，，已知132O A =．（1）证明：11B C ⊥平面O A H ； （2）求二面角111O A B C --的大小．21．（本小题满分12分）设点00()P x y ，在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线P A P B ，，切点为A B ，，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1） 过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求A M N △的垂心G 所在的曲线方 程；（2） 求证：A M B ，，三点共线．22．（本小题满分14分）已知函数()(0)f x x =+∈+∞，．（1） 当8a =时，求()f x 的单调区间； （2）对任意正数a ，证明：1()2f x <<．AB C H F OC 1A 1EB 12008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．D 9．A 10．C 11．C 12．B 二、填空题13．22 14．(3](01]-∞- ，， 15．1316．B ，D三、解答题 17．解：由tan tan422A B C ++=得cottan422C C +=化简得14sincos 22C C =所以1sin 2C =，又(0π)C ∈，即π6C =，或5π6C =由2sin sin cos 2A B C =得1sin sin [1cos()]2B C B C =-+即cos()1B C -= 所以π6B C ==2ππ()3A B C =-+=由正弦定理sin sin sin a b c ABC==得1sin 2sin 2Bb c aA ====18．解：（1）1ξ的所有取值为0.8，0.9，1.0，1.125，1.25 2ξ的所有取值为0.8，0.96，1.0，1.2，1.44， 1ξ，2ξ的分布列分别为（2）令A B ，分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，()0.150.150.3P A =+=，()0.240.080.32P B =+=．可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大． （3）令i η表示方案i 的预计利润，则所以114.75E η=，214.1E η=， 可见，方案一的预计利润更大．19．解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q-=依题意有13163(1)122642(6)64n n nd a d n d a b q q b q S b d q ++-+--⎧====⎪⎨⎪=+=⎩ ①由(6)64d q +=知q 为正有理数，又由62dq =知，d 为6的因子1，2，3，5之一．解①得2d =，8q =．故32(1)21n a n n =+-=+，18n n b -=．（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ 所以121111111132435(2)nS S S n n +++=++++⨯⨯⨯+1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭． 20．解法一：（1）依题设，E F 是A B C △的中位线， 所以E F B C ∥，则E F ∥平面O BC ，所以11EF B C ∥． 又H 是E F 的中点，所以AH EF ⊥， 则11AH B C ⊥．因为O A O B ⊥，O A O C ⊥， 所以O A ⊥平面O BC ， 则11O A B C ⊥．因此11B C ⊥平面O A H ．（2）作11O N A B ⊥于N ，连1C N ． 因为1O C ⊥平面11O A B ．根据三垂线定理知，111C N A B ⊥，1O N C ∠就是二面角111O A B C --的平面角，作1EM O B ⊥于M ，则E M O A ∥，则M 是O B 的中点． 则1E M O M ==． 设1O B x =，由111O B O A M B EM=得312x x =-．解得3x =．即113O B O C ==． 在11R t O A B △中，11A B ==，则1111O A O B O N A B ==所以11tan O C O N C O N∠==故二面角111O A B C --的大小为arctan解法二：（1）以直线O A O C O B ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则11(200)(002)(020)(101)(110)122A B C E F H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．ABC H F OC 1A 1 EB 1N M所以11122AH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，11122O H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(022)B C =-，，所以0AH BC = ，0OH BC =所以B C ⊥平面O A H 由E F B C ∥所以11B C BC ∥则11B C ⊥平面O A H ． （2）由已知13002A ⎛⎫⎪⎝⎭，，，设1(00)B z ，，， 则11012A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，1(101)EB z =-- ，，， 由1A E 与1EB 共线得：存在λ∈R 使11A E EB λ=得 121(1)z λλ⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩3z ⇒= 所以1(003)B ，，． 同理：1(030)C ，，． 所以113032A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，113302A C ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，设1111()n x y z =，，是平面111A B C 的一个法向量，则11111100A B n A C n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即111133023302x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令12x =得111y z ==所以1(211)n =，，．又2(010)n =，，是平面11O A B 的一个法向量所以121212cos6n nn nn n<>===，．由图可知，所求二面角的大小为arccos621．解：设1122()()A x yB x y，，，．由已知得到12y y≠，且22111x y-=，22221x y-=．（1）垂线A N的方程为：11y y x x-=-+，由11y y x xx y-=-+⎧⎨-=⎩得垂足112222x y x yN++⎛⎫⎪⎝⎭，，设重心()G x y，，所以1111111132132x yx xmx yy y⎧+⎛⎫=++⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎛⎫⎪=++⎪⎪⎝⎭⎩，解得1139341934x ymxy xmy⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y-=可得：1133332x y x ym m⎛⎫⎛⎫--+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即221239x ym⎛⎫--=⎪⎝⎭为重心G所在曲线方程．（2）设切线P A的方程为：11()y y k x x-=-由1122()1y y k x xx y-=-⎧⎨-=⎩得2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx------=从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k∆=-+--+-=．解得11xky=．因此P A的方程为：111y y x x=-同理P B的方程为：221y y x x=-又1()P m y，在P A P B，上，所以1011y y m x=-，2021y y m x=-即点1122()()A x y B x y ，，，都在直线01y y mx =-上． 又10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，也在直线01y y mx =-上，所以A M B ，，三点共线． 22．解：（1）当8a =时，1()3f x =，求导得()f x '=．于是当(]01x ∈，时，()0f x '≥；而当[)1x ∈+∞，时，()0f x '≤．即()f x 在(]01，上单调递增，而在[)1+∞，上单调递减．（2）对任意给定的0a >，0x >．因()f x =若令8b ax=，则8abx = ①．()f x =++②（一） 先证()1f x >111x>+111a>+111b>+．又由2a b x +++≥8=≥，得6a b x ++≥．所以111111()111f x xab=++>+++++32()()9()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b x ab ax bx a b x ab ax bx x a b x a b ++++++++++++=++++++≥1()()1(1)(1)(1)a b x ab ax bx abxx a b +++++++==+++．（二）再证()2f x <：由①，②式中关于x a b ，，的对称性， 不妨设x a b ≥≥，则02b <≤．（1）当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥．因为11<，1121+<，此时()2f x =++<．（Ⅱ）当7a b +< ③，由①得，8xab=1=因为222111114(1)2(1)bbbb b b b ⎡⎤<-+=-⎢⎥++++⎣⎦， 所以12(1)b b <-+ ④12(1)aa <-+ ⑤，于是1()2211a bf x a b ⎛<-+- ++⎝ ⑥今证明11a b ab+>++ ⑦，因为11a b ab +++≥只要证(1)(1)8abab a b ab >+++，即8(1)(1)ab a b +>++，也即7a b +<，据③，此为显然． 因此⑦得证，故由⑥得()2f x <．综上所述，对任何正数a x ，，皆有1()2f x <<．。
武汉理工大学whut08高数A(下)试卷及解答
222ds x y z++⎰将二次积分21(,xdx f x -⎰⎰以2π为周期，在围成的空间立体的表面外侧。
研究并求出空间曲线22:z x⎧=+Γ⎨试卷解答： 一、D 、D 、A 、A 、B ．二、1.（4，1，-2）；2.2π；3.10(,)dy f x y dx ⎰⎰; 4.2π; 5.3y x x =-.三、1. 1122211f f f dz dx dy f f '''+=+''++ 2. 特征根121,2r r =-=。
对应齐次方程的通解：212x x y c e c e -=+。
设非齐次方程的解为：()x y ax b e *=+代入方程得到：a =2,b =1.原方程得通解是：212(21)x x x yc e c e x e -=+++。
四、1．对z 轴的转动惯量为22()z I x y dS ρ∑=+⎰⎰=22221(x y x y ρ+≤+⎰⎰21302d r dr πθ=⎰⎰2．收敛域：（0，2）令x -1=t , 则111()(1)nnnn n n T t nt n t t ∞∞∞=====+-∑∑∑，而1111n n t t∞==--∑，211(1)1(1)nn n t t ∞=+=--∑， 2()(1)tT t t ∴=-。
和函数21()(1)(0,2)(2)x S x T x x x -=-=∈- 13()222nn n S ∞===∑。
五、1．加有向线段BO 、OA 。
其中B （0，3）、O （0，0）、A （2，0）,设曲线L+BO+OA 所包围的平面区域为D 。
原式=(sin 5)(cos 5)x x L BO OAe y y dx e y dy ++-+-⎰-(sin 5)(cos 5)x x BOe y y dx e y dy -+-⎰-(sin 5)(cos 5)x xOAe y y dx e y dy -+-⎰=3155(cos 5)sin3152Ddxdy y dy π+-=+-⎰⎰⎰。
2008年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)、数学(理)(有答案)
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合()UAB ð等于（ ）A ．{}|24x x -<≤ B ．{}|34x x x 或≤≥ C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤2．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin 5c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>3．“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)，的距离小1，则点P 的轨迹为（ ） A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线5．若实数x y ，满足1000x y x y x ⎧-+⎪+⎨⎪⎩，，，≥≥≤则23x yz +=的最小值是（ ）A ．0B ．1CD ．96．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-7．过直线y x =上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于y x =对称时，它们之间的夹角为（ ）A ．30B ．45C ．60D ．908．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知2()2a i i -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ．10．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么(2)+b a b 的值为 ．11．若231nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数之和为32，则n = ，其展开式中的常数项为 ．（用数字作答）12．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ；(1)(1)limx f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）A BCD MN P A 1B 1C 1D 113．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ．14．某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．ACBP17．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（Ⅲ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A 岗位服务的人数，求ξ的分布列．18．（本小题共13分） 已知函数22()(1)x bf x x -=-，求导函数()f x '，并确定()f x 的单调区间．19．（本小题共14分）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=时，求菱形ABCD 面积的最大值． 20．（本小题共13分）对于每项均是正整数的数列12n A a a a ：，，，，定义变换1T ，1T 将数列A 变换成数列1()T A ：12111n n a a a ---，，，，． 对于每项均是非负整数的数列12m B b b b ：，，，，定义变换2T ，2T 将数列B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列2()T B ； 又定义2221212()2(2)m m S B b b mb b b b =+++++++．设0A 是每项均为正整数的有穷数列，令121(())(012)k k A T T A k +==，，，． （Ⅰ）如果数列0A 为5，3，2，写出数列12A A ，；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列A ，证明1(())()S T A S A =；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列0A ，存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．D 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．1- 10．0 11．5 10 12．2 2-13．②14．(12)， (3402)， 三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（共13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()sin 222x f x x ωω-=+11sin 2cos 2222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>， 所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤， 所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤， 因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 16．（共14分）解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP =， PD AB ∴⊥． AC BC =， CD AB ∴⊥．ABDPPD CD D =， AB ∴⊥平面PCD ． PC ⊂平面PCD ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且ACPC C =，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP =，BE AP ∴⊥．EC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，2BE AB ==sin 3BC BEC BE ∴∠==． ∴二面角B AP C --的大小为arcsin（Ⅲ）由（Ⅰ）知AB ⊥平面PCD ， ∴平面APB ⊥平面PCD ．过C 作CH PD ⊥，垂足为H ． 平面APB 平面PCD PD =，CH ∴⊥平面APB ．CH ∴的长即为点C 到平面APB 的距离． 由（Ⅰ）知PC AB ⊥，又PC AC ⊥，且AB AC A =，PC ∴⊥平面ABC ． CD ⊂平面ABC ， PC CD ∴⊥．在Rt PCD △中，12CD AB ==PD PB ==2PC ∴==．23PC CD CH PD ∴==． ACBE P ACBDPH∴点C 到平面APB． 解法二：（Ⅰ）AC BC =，AP BP =， APC BPC ∴△≌△． 又PC AC ⊥， PC BC ∴⊥． AC BC C =，PC ∴⊥平面ABC ． AB ⊂平面ABC ， PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB ==2t ∴=，(002)P ，，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC =，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =--，，，(211)EB =--，，，cos 26EC EB BEC EC EB∴∠===． ∴二面角B AP C --的大小为． （Ⅲ）AC BC PC ==，C ∴在平面APB 内的射影为正APB △的中心H ，且CH 的长为点C 到平面APB 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C xyz -．2BH HE =，∴点H 的坐标为222333⎛⎫⎪⎝⎭，，．y23CH ∴=． ∴点C 到平面APB 的距离为3． 17．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． （Ⅲ）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“2ξ=”是指有两人同时参加A 岗位服务，则235334541(2)4C A P C A ξ===．所以3(1)1(2)P P ξξ==-==，ξ的分布列是18．（共13分）解：242(1)(2)2(1)()(1)x x b x f x x ----'=-3222(1)x b x -+-=-32[(1)](1)x b x --=--． 令()0f x '=，得1x b =-．当11b -<，即2b <时，()f x '的变化情况如下表：当11b ->，即2b >时，()f x '的变化情况如下表：所以，当2b <时，函数()f x 在(1)b -∞-，上单调递减，在(11)b -，上单调递增， 在(1)+∞，上单调递减．当2b >时，函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(11)b -，上单调递增，在(1)b -+∞，上单调递减．当11b -=，即2b =时，2()1f x x =-，所以函数()f x 在(1)-∞，上单调递减，在(1)+∞，上单调递减．19．（共14分）解：（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x=+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+．由2234x y y x n⎧+=⎨=-+⎩，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上，所以212640n ∆=-+>，解得33n -<<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232nx x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+．所以122ny y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，．由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线1y x =+上， 所以3144n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=， 所以AB BC CA ==．所以菱形ABCD 的面积2S AC =． 由（Ⅰ）可得22221212316()()2n AC x x y y -+=-+-=，所以2316)S n n ⎛=-+<< ⎝⎭．所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值 20．（共13分）（Ⅰ）解：0532A ：，，， 10()3421T A ：，，，， 1210(())4321A T T A =：，，，； 11()43210T A ：，，，，， 2211(())4321A T T A =：，，，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列A 为12n a a a ，，，， 则1()T A 为n ，11a -，21a -，，1n a -，从而112(())2[2(1)3(1)(1)(1)]n S T A n a a n a =+-+-+++-222212(1)(1)(1)n n a a a ++-+-++-．又2221212()2(2)n n S A a a na a a a =+++++++，所以1(())()S T A S A -122[23(1)]2()n n n a a a =----+++++2122()n n a a a n +-++++ 2(1)0n n n n =-+++=，故1(())()S T A S A =．（Ⅲ）证明：设A 是每项均为非负整数的数列12n a a a ，，，． 当存在1i j n <≤≤，使得i j a a ≤时，交换数列A 的第i 项与第j 项得到数列B ， 则()()2()j i i j S B S A ia ja ia ja -=+--2()()0j i i j a a =--≤． 当存在1m n <≤，使得120m m n a a a ++====时，若记数列12m a a a ，，，为C ，则()()S C S A =．所以2(())()S T A S A ≤． 从而对于任意给定的数列0A ，由121(())(012)k k A T T A k +==，，， 可知11()(())k k S A S T A +≤．又由（Ⅱ）可知1(())()k k S T A S A =，所以1()()k k S A S A +≤． 即对于k ∈N ，要么有1()()k k S A S A +=，要么有1()()1k k S A S A +-≤． 因为()k S A 是大于2的整数，所以经过有限步后，必有12()()()k k k S A S A S A ++===． 即存在正整数K ，当k K ≥时，1()()k k S A S A +=．。
2008年高考理科数学试卷及答案-全国卷
2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分、第Ⅰ卷1至2页、第Ⅱ卷3至10页、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回、第Ⅰ卷注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上、2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、不能答在试题卷上、3、本卷共12小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B = 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kk n P k C p p k n -=-=，，，，一、选择题1、设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤（ ）A 、{}01，B 、{}101-，，C 、{}012，，D 、{}1012-，，，2、设a b ∈R ，且0b ≠，若复数3()a bi +是实数，则（ ） A 、223b a = B 、223a b =C 、229b a =D 、229a b =3、函数1()f x x x=-的图像关于（ ）A 、y 轴对称B 、 直线x y -=对称C 、 坐标原点对称D 、 直线x y =对称4、若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ ） A 、a <b <cB 、c <a <bC 、 b <a <cD 、 b <c <a5、设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值（ ）A 、2-B 、4-C 、6-D 、8-6、从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（ ） A 、929B 、1029C 、1929D 、20297、64(1(1的展开式中x 的系数是（ ） A 、4-B 、3-C 、3D 、48、若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ）A 、1BCD 、29、设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ ） A、B、C 、(25)，D、(210、已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A 、13B、3C、3D 、2311、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为20x y +-=与740x y --=，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（ ） A 、3B 、2C 、13-D 、12-12、已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆、若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ） A 、1B 、2C 、3D 、22008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分、把答案填在题中横线上、13、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ 、 14、设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = 、 15、已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，过F 且斜率为1的直线交C 于A B ，两点、设FA FB >，则FA 与FB 的比值等于 、16、平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ； 充要条件② 、 （写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、 17、（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13B =-，4cos 5C =、 （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）设ABC △的面积332ABC S =△，求BC 的长、 18、（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金、假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立、已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-、（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）、19、（本小题满分12分）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=、 （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小、20、（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S 、已知1a a =，13n n n a S +=+，*n ∈N 、（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求a 的取值范围、21、（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点、 （Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值； （Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值、 22、（本小题满分12分） 设函数sin ()2cos xf x x=+、（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任何0x ≥，都有()f x ax ≤，求a 的取值范围、ABCD EA 1B 1C 1D 12008年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案和评分参考评分说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则、2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分、3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数、4、只给整数分数、选择题不给中间分、一、选择题1、B2、A3、C4、C5、D6、D7、B8、B9、B 10、C 11、A 12、C 二、填空题13、2 14、2 5、3+16、两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形、注：上面给出了四个充要条件、如果考生写出其他正确答案，同样给分、 三、解答题 17、解：（Ⅰ）由5cos 13B =-，得12sin 13B =， 由4cos 5C =，得3sin 5C =、所以33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=、 ····································· 5分 （Ⅱ）由332ABC S =△得 133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=， 由（Ⅰ）知33sin 65A =，故 65AB AC ⨯=， ·············································································· 8分又 sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==， 故 2206513AB =，132AB =、 所以 sin 11sin 2AB A BC C ⨯==、 ································································· 10分18、解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是p ，记投保的10 000人中出险的人数为ξ， 则4~(10)B p ξ，、（Ⅰ）记A 表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则A 发生当且仅当0ξ=， ····································································································· 2分()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=4101(1)p =--，又410()10.999P A =-，故0.001p =、 ······························································································· 5分 （Ⅱ）该险种总收入为10000a 元，支出是赔偿金总额与成本的和、 支出 1000050000ξ+，盈利 10000(1000050000)a ηξ=-+，盈利的期望为 1000010000500E aE ηξ=--， ·········································· 9分由43~(1010)B ξ-，知，31000010E ξ-=⨯，4441010510E a E ηξ=--⨯4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯、0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥ 15a ⇔≥（元）、故每位投保人应交纳的最低保费为15元、 ························································· 12分19、解法一：依题设知2AB =，1CE =、（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥、由三垂线定理知，1BD AC ⊥、 ········································································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点G ，由于1AA ACFC CE== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余、于是1AC EF ⊥、 1AC 与平面BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1AC ⊥平面BED 、 ·················································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H 、由三垂线定理知1A H DE ⊥，故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角、························································ 8分EF =CE CF CG EF ⨯==EG ==、 13EG EF =，13EF FD GH DE ⨯=⨯=又1AC ==11AG AC CG =-=、11tan A GA HG HG∠== 所以二面角1A DE B --的大小为 ················································· 12分 解法二：以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -、依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，、(021)(220)DE DB ==，，，，，，AB CDEA 1B 1C 1D 1 FH G11(224)(204)AC DA =--=，，，，，、 ····································································· 3分 （Ⅰ）因为10AC DB =，10AC DE =， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥、 又DBDE D =，所以1AC ⊥平面DBE 、 ·················································································· 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则DE ⊥n ，1DA ⊥n 、故20y z +=，240x z +=、令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n 、 ····················································· 9分1AC ，n 等于二面角1A DE B --的平面角， 11114cos 42AC AC AC ==，nn n 、 所以二面角1A DE B --的大小为、 ················································· 12分 20、解：（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+，由此得1132(3)n n n n S S ++-=-、 ······································································· 4分 因此，所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N 、① ······························································ 6分 （Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*n ∈N ， 于是，当2n ≥时，1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-，12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=∙+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 当2n ≥时，21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔∙+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥、又2113a a a =+>、综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，、 ························································· 12分 21、（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2214x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>、 ····································· 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=、①由6ED DF =知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==； 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+、 所以212k =+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =、 ······················································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为1h ==2h==·······················································9分又AB==AEBF的面积为121()2S AB h h=+1525(14k=+==≤当21k=，即当12k=时，上式取等号、所以S的最大值为 ························ 12分解法二：由题设，1BO=，2AO=、设11y kx=，22y kx=，由①得2x>，21y y=->，故四边形AEBF的面积为BEF AEFS S S=+△△222x y=+ ····································································································9分===当222x y=时，上式取等号、所以S的最大值为······································· 12分22、解：（Ⅰ）22(2cos)cos sin(sin)2cos1()(2cos)(2cos)x x x x xf xx x+--+'==++、 ·····························2分2008年高考各省各科真题及解析11 / 11当2π2π2π2π33k x k -<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x >-，即()0f x '>； 当2π4π2π2π33k x k +<<+（k ∈Z ）时，1cos 2x <-，即()0f x '<、 因此()f x 在每一个区间2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是增函数， ()f x 在每一个区间2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，（k ∈Z ）是减函数、 ····························· 6分 （Ⅱ）令()()g x ax f x =-，则22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+ 2232cos (2cos )a x x =-+++ 211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭、 故当13a ≥时，()0g x '≥、 又(0)0g =，所以当0x ≥时，()(0)0g x g =≥，即()f x ax ≤、 ························ 9分 当103a <<时，令()sin 3h x x ax =-，则()cos 3h x x a '=-、 故当[)0arccos3x a ∈，时，()0h x '>、因此()h x 在[)0arccos3a ，上单调增加、故当(0arccos3)x a ∈，时，()(0)0h x h >=， 即sin 3x ax >、于是，当(0arccos3)x a ∈，时，sin sin ()2cos 3x x f x ax x =>>+、 当0a ≤时，有π1π0222f a ⎛⎫=>∙ ⎪⎝⎭≥、 因此，a 的取值范围是13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，、 ··································································· 12分。
2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅱ.理)含详解
参考 式 如果 件 A B 互斥 那
球的表面
式
P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果 件 A B 相互独立 那
S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体 那 式
P ( A B ) = P ( A) P ( B )
如果 件 A 在一次试验中发生的概率是 p
V=
4 3 πR 3
sin x 2 + cos x
求 f ( x ) 的单调区间 如果对任何 x
0
都有 f ( x )
ax
求 a 的取值范围
an
n ∈ N*
求 a 的取值范围
21
本小题满
12
设椭圆中心在坐标原点 于点 D
A(2 0) B(0 1) 是它的 个 点 直线 y = kx(k > 0)
点
AB 相交
椭圆相交于 E F
uuu r uuur 若 ED = 6 DF
求 k 的值
求四边形 AEBF 面 的最大值
22
本小题满
12
设函数 f ( x ) =
1 − 0.99910
4
求一投保人在一 度内出险的概率 p 设保险 开办该项险种业 除赔偿金外的成本 50 000 元 保证盈利的期望
第 3
共 15
小于 0 求 19 本小题满
投保人 交纳的最 保费 单 12
元
如
四棱柱 ABCD − A1 B1C1 D1 中 证明
AA1 = 2 AB = 4
点 E 在 CC1 D1 A1
2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科 学(必修+选修Ⅱ)
第 卷1至2 第 卷 3 至 10
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2008级 高等数学（下）理工参考答案课程试题（A ）
一．1、原式=02
sin lim 13x y xy x y y xy
→→⎛⎫
++-+
⎪⎝
⎭
...............................................4 =2+1⋅2=4 . (6)
2、222
2
2
2
()()02d x y z d xyz x y z
+++
=++ (2)
即2
2
2
()()0xdx ydy zdz xy dz ydx xdy z x y z
+++++
=++ (4)
令1,0,1x y z ===-得2dz dx dy =-………………………………………………….6 3、
1z f y x
∂'=∂ (2)
2
1112
1
)z f x f y f
x y
∂'''''=++∂∂(………………………………………………………..……6 4、曲面在任意点
(,,)p x y z 处的法向量{2,2,1}n x y =-
，n
与平面240x y z +-=的
法向量{241}-，，平行，即221241
x y -==-，解得1,2,5x y z === (4)
故所求切平面方程为2(1)4(2)(5)0x y z -+---=，即245x y z +-= (6)
5、{2,2,1}AB =- ，单位向量221
{,,}333||
AB l AB ==-
(2)
2
2
2
2
2
2
11|{1,
,
}|{1,0,1}2
A A y z gradu x y z
y z
y z
==
-+
+++ (4)
故
1
|2
A u
gradu l l ∂=⋅=∂ (6)
二．1. 原式=2
sin x x dx dy x
π
⎰⎰
(4)
=20
sin xdx π
⎰=1 (6)
2 原式=222
1
12
2
1
()1
1D z x y z
dz z dxdy z dz dxdy
--+≤-=
⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
=1
221
(1)z z dz π--⎰ (4)
=1
2
4
4
2)15
z z dz ππ-=
⎰（ (6)
3 原式=22
14x x dx +⎰
(3)
=
1
222
20
1
13(14)(14)8
6
x d x ++=
⎰ (6)
4 原式=L OA
OA
+-
⎰
⎰
(2)
=20
()(1)a D
b a dxdy bx dx ---⎰⎰⎰
(4)
=
22
()22
b a a a b π
-+ (6)
5 原式=22
22
22
x y x
x y dxdy +≤+⎰⎰
(2)
=2cos 20
2
2d r rdr π
θπ
θ
-
⋅⎰⎰
(4)
=
3229
(6)
6 添加辅助面2211(1)z x y ∑=+≤：，取下侧…………………………………..……1 原式=1
1
∑+∑∑-
⎰⎰
⎰⎰
(2)
=22
1
3x y dv dxdy Ω+≤-+
⎰⎰⎰⎰⎰
(4)
=1
1
()
332
D z dz dxdy zdz π
πππ-+=-+=-
⎰⎰⎰
⎰………………………..……6 三 1 解 ：由于222
2
00
1lim (,)lim ()sin
0(0,0)x x y y f x y x y f x y
→→→→=+==+
所以(,)f x y 在点00（，）处连续 (2)
又2
(0,0)(0,0)
1(0,0)lim
lim sin
0()
x x x f x f f x x
x ∆→∆→+∆-'==∆=∆∆
同理 (0,0)0y f '=……………………………..……4 又
2
[(0,0)(0,0)]
1
sin
0(0)x y z f x f y ρρρ
ρ
''∆-∆+∆=→→
故(,)f x y 在点00（，）处可微 (8)
2 令2
22(2)02ln 10f x y x f x y y y
∂⎧=+=⎪∂⎪⎨∂⎪=++=∂⎪⎩的驻点-1
(0,)e (4)
又
2
2
2
2
2
2
2
12(2),
4,
2f f f y xy x x
x y
y
y
∂∂∂=+==+
∂∂∂∂ (6)
而在-1(0,)e 处，0,0,0,A B C >=>即20B AC -<，故(,)
f x y 在-1(0,)e 取极小值1.e
- (8)
四. 1 由于
1
1
11|(1)ln(1)|ln(1),n
n n n n
∞
∞
==-+
=
+
∑∑
而111ln(1)(1)2
p n
n
+=< ，而
1
1n n
∞
=∑
发散，所以1
1ln(1)n n
∞
=+
∑也发散 (3)
又111ln(1)ln(1),1
n n u u n
n +=+
>=+
+而1lim lim ln(1)0n n n u n
→∞
→∞
=+
=
所以交错级数1
1(1)ln(1)n
n n
∞
=-+
∑收敛。
故1
1(1)ln(1)n
n n
∞
=-+∑条件收敛 (6)
2 由于
2
111
1
1(
)2(1)(2)
312x x
x x x
x
=
=
+
+-+-+- (2)
=
1
1
11
1
1
(1)(||1)316
3
6
2
12
n n
n
n
n n x x x x x
∞
∞
==+
=
-+
<+-
∑∑ (4)
所以1
2
1
11()[(1)](||1)23
2
n
n n n x f x x
x x x
∞
++==
=
-+
<+-∑ (6)
3 200
2
0(1,2,),()1n b n a f x dx π
π
===
=⎰
(2)
20
2
2
2()cos cos sin
(1,2)2
n n a f x nxdx nxdx n n π
π
ππ
π
π
=
=
=
=⎰
⎰
(3)
故
1
1,0,212sin cos 0,,2
221,.22n x n nx x n x ππππππ∞
=⎧
≤<⎪⎪
⎪+
=<≤⎨⎪
⎪=⎪⎩
∑
(6)。