2017_2018版高中数学第1讲优选法四分数法(一)练习新人教A版选修4_7

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2017-2018学年高中数学选修4-5全册学案含解析人教A版115P

2017~2018学人教A版高中数学选修4-5全册学案解析版目录第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1不等式的基本性质第一讲不等式和绝对值不等式一不等式2基本不等式第一讲不等式和绝对值不等式一不等式3三个正数的算术_几何平均不等式第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式1绝对值三角不等式第一讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式2绝对值不等式的解法第二讲证明不等式的基本方法一比较法第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法第二讲证明不等式的基本方法二综合法与分析法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式第三讲柯西不等式与排序不等式二一般形式的柯西不等式第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法第四讲用数学归纳法证明不等式二用数学归纳法证明不等式举例1．不等式的基本性质1．实数大小的比较(1)数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小．在数轴上，右边的数总比左边的数大．(2)如果a－b＞0，则a＞b；如果a－b＝0，则a＝b；如果a－b＜0，则a＜b.(3)比较两个实数a与b的大小，归结为判断它们的差与0的大小；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差与0的大小．2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质：(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即a＞b⇔b＜a.(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c.即a＞b，b＞c⇒a>c.(3)如果a＞b，那么a＋c>b＋c.(4)如果a＞b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2)．(6)如果a>b>0n∈N，n≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：(1)等式两边同乘一个数仍为等式，但不等式两边同乘同一个数c(或代数式)结果有三种：①c＞0时得同向不等式；②c＝0时得等式；③c<0时得异向不等式．(2)a＞b，c＞d⇒a＋c>b＋d，即两个同向不等式可以相加，但不可以相减；而a>b>0，c>d>0⇒ac>bd，即已知的两个不等式同向且两边为正值时，可以相乘，但不可以相除．(3)性质(5)(6)成立的条件是已知不等式两边均为正值，并且n∈N，n≥2，否则结论不成立．而当n取正奇数时可放宽条件，a>b⇒a n>b n(n＝2k＋1，k∈N)，a>b⇒na>nb(n＝2k＋1，k∈N*)．已知x ，y 均为正数，设m ＝x ＋y ，n ＝x ＋y ，试比较m 和n 的大小．两式作差――→变形转化为因式乘积形式――→与0比较判断正负，得出大小 m －n ＝1x ＋1y －4x ＋y ＝x ＋y xy －4x ＋y ＝x ＋y 2－4xy xy x ＋y ＝x －y 2xy x ＋y ，∵x ，y 均为正数，∴x >0，y >0，xy >0，x ＋y >0，(x －y )2≥0. ∴m －n ≥0，即m ≥n (当x ＝y 时，等号成立)．比较两个数(式子)的大小，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等．1．已知a ，b ∈R ，比较a 4＋b 4与a 3b ＋ab 3的大小．解：因为(a 4＋b 4)－(a 3b ＋ab 3) ＝a 3(a －b )＋b 3(b －a ) ＝(a －b )(a 3－b 3) ＝(a －b )2(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2≥0. 当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以a 4＋b 4≥a 3b ＋ab 3.2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判断A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？解：因为6a 29＋a 4－1＝－a 2－29＋a 4≤0，所以6a29＋a4≤1.当且仅当a ＝±3时，等号成立，所以当a ≠±3时，A 点在B 点左边，当a ＝±3时，A 点与B 点重合.已知a >b >0，c <d <0，e <0.求证：ea －c >eb －d.可以作差比较，也可用不等式的性质直接证明．法一：ea －c －eb －d＝e b －d －a ＋c a －c b －d ＝e b －a ＋c －da －cb －d，∵a >b >0，c <d <0，∴b －a <0，c －d <0. ∴b －a ＋c －d <0.又∵a >0，c <0，∴a －c >0.同理b －d >0， ∴(a －c )(b －d )>0. ∵e <0，∴e b －a ＋c －d a －c b －d >0，即e a －c >e b －d.法二：⎭⎪⎬⎪⎫c <d <0⇒－c >－d >0a >b >0⇒⎭⎪⎬⎪⎫a －c >b －d >0⇒1a －c <1b －d e <0⇒e a －c ＞e b －d.进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．3．已知x ≥1，y ≥1，求证：x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y . 证明：左边－右边＝(y －y 2)x 2＋(y 2－1)x －y ＋1 ＝(1－y )＝(1－y )(xy －1)(x －1)．因为x ≥1，y ≥1，所以1－y ≤0，xy －1≥0，x －1≥0. 所以x 2y ＋xy 2＋1≤x 2y 2＋x ＋y .4．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b .证明：因为a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，所以x a >y b ，所以a x <by.故a x ＋1yy ＋b.(1)已知－2≤α≤β≤2，求α－β的取值范围．(2)已知－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的取值范围．求代数式的范围应充分利用不等式的基本性质． (1)∵－π2≤α≤β≤π2，∴－π2≤α≤π2，－π2≤－β≤π2，且α≤β.∴－π≤α－β≤π且α－β≤0.∴－π≤α－β≤0.即α－β的取值范围为．(2)设a ＋3b ＝λ1(a ＋b )＋λ2(a －2b )＝(λ1＋λ2)a ＋(λ1－2λ2)b . 解得λ1＝53，λ2＝－23.∴－53≤53(a ＋b )≤53，－2≤－23(a －2b )≤－23.∴－113≤a ＋3b ≤1.即a ＋3b 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，1.求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．5．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．解：设2α－β＝m (α＋β)＋n (α－β)，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，n ＝32.又∵1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12≤12α＋β，－3≤32α－β－32⇒－52≤2α－β≤12.∴2α－β的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，12.6．三个正数a ，b ，c 满足a ≤b ＋c ≤2a ，b ≤a ＋c ≤2b ，求b a的取值范围．解：两个不等式同时除以a ，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，①b a ≤1＋c a ≤2·ba ，②将②×(－1)，得⎩⎪⎨⎪⎧1≤b a ＋ca≤2，－2·b a ≤－1－c a ≤－ba，两式相加，得1－2b a ≤b a －1≤2－b a ，解得23≤b a ≤32.即b a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，32.课时跟踪检测(一)1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a 0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a 0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a 0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a 0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝a －b 2a ＋b ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴a －b2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又20，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)．当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1，∴(a2－1)(a3－1)>0，即a5＋1>a3＋a2.(2)根据(1)可得a m＋n＋1＞a m＋a n.证明如下：a m＋n＋1－(a m＋a n)＝a m(a n－1)＋(1－a n)＝(a m－1)(a n－1)．当a>1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0.当0<a<1时，0<a m<1,0<a n<1，∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m＋n＋1>a m＋a n.2．基本不等式1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是a ＝b . 2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式 (1)a 2＋b 2≥a ＋b22；(2)ab ≤a 2＋b 22；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22； (5)(a ＋b )2≥4ab .已知a ，＋求证：1a ＋1b ＋1c≥9.解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．法一：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc＝3＋⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋ab ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c b ＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．即1a ＋1b ＋1c≥9.法二：∵a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝1＋b a ＋c a ＋a b ＋1＋c b ＋a c ＋b c＋1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立． ∴1a ＋1b ＋1c≥9.用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．1．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.证明：因为x 1，x 2，x 3为正实数，所以x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，当且仅当x 1＝x 2＝x 3时，等号成立．所以x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .证明：∵a ，b ，c ，a 2b ，b 2c ，c 2a 均大于0，又a 2b＋b ≥2 a 2b ·b ＝2a ，b 2c＋c ≥2 b 2c ·c ＝2b ，c 2a ＋a ≥2 c 2a·a ＝2c ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2c ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2a ＋a ≥2(a ＋b ＋c )．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .当且仅当a 2b ＝b ，b 2c ＝c ，c 2a＝a ，即a ＝b ＝c 时，等号成立.(1)求当x >0时，f (x )＝x 2＋1的值域； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值． (1)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x. ∵x ＋1x ≥2，∴0<1x ＋1x≤12.∴0<f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．即f (x )＝2xx 2＋1的值域为(0,1]． (2)∵0<x <32，∴3－2x >0.∴y ＝4x (3－2x )＝2≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－2x 22＝92.当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∴y ＝4x (3－2x )的最大值为92.(3)∵x >0，y >0，1x ＋9y＝1，∴x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9x y＋10≥6＋10＝16.当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号．故当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 的最小值为16.在应用基本不等式求最值时，分以下三步进行：(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值； (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．3．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值．解：xy ＝135(5x ·7y )≤135⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋7y 22＝135×⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝207.当且仅当5x ＝7y ＝10，即x ＝2，y ＝107时，等号成立，所以xy 的最大值为207.4．若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，(1)求ab 的取值范围；(2)求a ＋b 的取值范围．解：(1)∵a ，b ∈R ＋，∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3. 令y ＝ab ，得y 2－2y －3≥0，∴y ≥3或y ≤－1(舍去)． ∴ab ＝y 2≥9.∴ab 的取值范围是＝17·1＋3b ＋23a ＋2＋a ＋3b ＋2＋4≥17·⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋2 3b ＋23a ＋2·a ＋3b ＋2＝97，当且仅当3b ＋23a ＋2＝a ＋3b ＋2，即a ＝19，b ＝89时取等号．所以13a ＋2＋43b ＋2的最小值为97.促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2017年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)将2017年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数； (2)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式． (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用， ∴年生产成本为32x ＋3＝32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时，年销售收入为150%⎣⎢⎡⎦⎥⎤32⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋35t ＋＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1 ≤50－2 t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42， ∴该企业2015年的促销费投入7万元时，企业的年利润最大．利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．6．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费为50元，且在销售完该次所进货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？解：设一年的运费和库存费共y 元，由题意，知y ＝50 000x ×50＋x 2×20＝25×105x ＋10x ≥2 25×106＝104，当且仅当25×105x＝10x 即x ＝500时，等号成立，y min ＝10 000，即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．7.某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留 3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．解：(1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240，当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，为676 m 2.课时跟踪检测(二)1．下列不等式中，正确的个数是( ) ①若a ，b ∈R ，则a ＋b2≥ab ； ②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2； ③若x ∈R ，则x 2＋1＋1x 2＋1≥2； ④若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 显然①不正确，③正确；虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4.2．已知a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b ，则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C ∵a ＋b ＝2×12＝1，a >0，b >0，∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab≥1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝5，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立．3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立，所以a ≥4，故选B.4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设底面矩形的长和宽分别为a m ，b m ，则ab ＝4.容器的总造价为20ab ＋2(a ＋b )×10＝80＋20(a ＋b )≥80＋40ab ＝160(元)(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)．5．已知函数f (x )＝4x ＋a x(x ＞0，a ＞0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 解析：∵x ＞0，a ＞0， ∴f (x )＝4x ＋a x≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝a x时等号成立，此时a ＝4x 2，由已知x ＝3时函数取得最小值，∴a ＝4×9＝36. 答案：366．若log 2x ＋log 2y ＝4，则x ＋y 的最小值是________．解析：由题意知x >0，y >0，log 2xy ＝4，得xy ＝4， ∴x ＋y ≥2xy ＝4(当且仅当x ＝y 时，等号成立)．答案：47．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x >0)的最小值是________．解析：∵x >0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1.当且仅当x ＋1＝3时，等号成立．答案：23－18．已知a ，b 是正数，求证： (1)a 2＋b 22≥a ＋b2； (2)ab ≥21a ＋1b. 证明：(1)左边＝ a 2＋b 2＋a 2＋b 24≥a 2＋b 2＋2ab4＝a ＋b24＝a ＋b2＝右边，原不等式成立．(2)右边＝21a ＋1b≤221ab＝ab ＝左边，原不等式成立．9．设x >0，y >0且x ＋y ＝4，要使不等式1x ＋4y≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：由x >0，y >0且x ＋y ＝4，得x ＋y4＝1，∴1x ＋4y ＝x ＋y 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y x ＋4x y ＋4＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y≥14⎝⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝94. 当且仅当y x ＝4xy时，等号成立．即y ＝2x (∵x >0，y >0，∴y ＝－2x 舍去)．此时，结合x ＋y ＝4，解得x ＝43，y ＝83.∴1x ＋4y 的最小值为94，∴m ≤94， ∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94.10．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0.由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中飞行物，即存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根 ⇒Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇒a ≤6.所以当a 不超过6(千米)时，可击中飞行物．3．三个正数的算术—几何平均不等式1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．(1)不等式a ＋b ＋c3≥3abc 成立的条件是：a ，b ，c 均为正数，而等号成立的条件是：当且仅当a ＝b ＝c .(2)定理3可变形为：①abc ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .(3)三个及三个以上正数的算术－几何平均不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正、二定、三相等”．2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a nn≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．已知a ，b ＋b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3. 欲证不等式的右边为常数3，联想到不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)，故将所证不等式的左边进行恰当的变形．b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc ＝⎝⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋ac ＋⎝⎛⎭⎪⎫c a ＋a b ＋bc －3 ≥33b a ·c b ·a c ＋33c a ·a b ·b c－3＝6－3＝3.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．(1)不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．(2)运用三个正数的平均不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．1．已知x ＞0，y ＞0，求证：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy . 证明：因为x ＞0，y ＞0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2＞0，1＋x 2＋y ≥33x 2y ＞0，故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥33xy 2·33x 2y ＝9xy .2．已知a 1，a 2，…，a n 都是正数，且a 1a 2…a n ＝1，求证：(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n. 证明：∵a 1是正数，根据三个正数的平均不等式，有2＋a 1＝1＋1＋a 1≥33a 1. 同理2＋a j ≥3 3a j (j ＝2,3，…，n )．将上述各不等式的两边分别相乘即得(2＋a 1)(2＋a 2) (2)a n )≥(33a 1)(33a 2)…(33a n )＝3n ·3a 1a 2…a n .∵a 1a 2…a n ＝1，∴(2＋a 1)(2＋a 2)…(2＋a n )≥3n. 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n ＝1时，等号成立.(1)求函数y ＝(x －1)2(3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1<x <2的最大值．(2)求函数y ＝x ＋4x －2(x >1)的最小值．对于积的形式求最大值，应构造和为定值． (2)对于和的形式求最小值，应构造积为定值． (1)∵1<x <32，∴3－2x >0，x －1>0.y ＝(x －1)2(3－2x )＝(x －1)(x －1)(3－2x )≤⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋x －1＋3－2x 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，当且仅当x －1＝x －1＝3－2x ，即x ＝43∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32时，y max ＝127.(2)∵x ＞1，∴x －1>0，y ＝x ＋4x －2＝12(x －1)＋12(x －1)＋4x －2＋1≥3312x －12x －4x －2＋1＝4，当且仅当12(x －1)＝12(x －1)＝4x －2，即x ＝3时，等号成立．即y min ＝4.(1)利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．(2)应用平均不等式定理，要注意三个条件即“一正、二定、三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如配系数、拆项、分离常数、平方变形等．3．设x >0，则f (x )＝4－x －12x2的最大值为( ) A ．4－22B ．4－ 2C ．不存在 D.52解析：选D ∵x >0，∴f (x )＝4－x －12x 2＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x 2＋12x 2≤4－33x 2·x 2·12x 2＝4－32＝52. 4．已知x ，y ∈R ＋且x 2y ＝4，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x ，y 的值．解：∵x ，y ∈R ＋且x 2y ＝4，∴x ＋y ＝12x ＋12x ＋y ≥3314x 2y ＝3314×4＝3.当且仅当x 2＝x2＝y 时，等号成立．又∵x 2y ＝4，∴当x ＝2，y ＝1时，x ＋y 取最小值3.大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？根据题设条件建立r 与θ的关系式→将它代入E ＝k sin θr2→得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式 →用平均不等式求函数的最值→获得问题的解 ∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.∴E2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108. 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号，即tan 2θ＝12，tan θ＝22.∴h ＝2tan θ＝ 2.即h ＝2时，E 最大．本题获解的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．5．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．解：设长方体的体积为V ，长、宽、高分别是a ，b ，c ，则V ＝abc ，S ＝2ab ＋2bc ＋2ac .V 2＝(abc )2＝(ab )(bc )(ac )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋bc ＋ac 33＝⎝ ⎛⎭⎪⎫S 63＝S 3216.当且仅当ab ＝bc ＝ac ，即a ＝b ＝c 时，上式取等号，V 2取最小值S 3216.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝c ，2ab ＋2bc ＋2ac ＝S ，解得a ＝b ＝c ＝6S6.即当这个长方体的长、宽、高都等于6S 6时，体积最大，最大值为S 6S 36. 课时跟踪检测(三)1．已知x 为正数，下列各题求得的最值正确的是( ) A ．y ＝x 2＋2x ＋4x3≥33x 2·2x ·4x3＝6，∴y min ＝6.B ．y ＝2＋x ＋1x ≥332·x ·1x＝332，∴y min ＝332.C ．y ＝2＋x ＋1x≥4，∴y min ＝4. D ．y ＝x (1－x )(1－2x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋－x ＋－2x 33＝881， ∴y max ＝881.解析：选C A 、B 、D 在使用不等式a ＋b ＋c ≥33abc (a ，b ，c ∈R ＋)和abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 33(a ，b ，c ∈R ＋)都不能保证等号成立，最值取不到．C 中，∵x >0，∴y ＝2＋x ＋1x＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≥2＋2＝4，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立．2．已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋c a有( ) A ．最小值3B ．最大值3C ．最小值2D ．最大值2解析：选A a b ＋b c ＋ca ≥33ab ×bc ×c a ＝3，当且仅当a b ＝b c ＝c a，即a ＝b ＝c 时，等号成立． 3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( )A.3322B.833C.332D.223解析：选A 由log x y ＝－2，得y ＝1x 2.而x ＋y ＝x ＋1x2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x2，即x ＝32时，等号成立． 4．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列不等式总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18πD ．V ≤18π解析：选B 设圆柱底面半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r 2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时，等号成立． 5．若a >2，b >3，则a ＋b ＋1a －b －的最小值为________．解析：∵a >2，b >3，∴a －2>0，b －3>0，则a ＋b ＋1a －b －＝(a －2)＋(b －3)＋1a －b －＋5 ≥33a －b －1a －b －＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1a －b －，即a ＝3，b ＝4时，等号成立．答案：86．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为 ________. 解析：∵0<x <1，∴1－x >0.故x (1－x )2＝12×2x (1－x )(1－x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋－x ＋＋x 33＝12×827＝427(当且仅当x ＝13时，等号成立)．答案：4277．已知关于x 的不等式2x ＋1x －a2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：2x ＋1x －a＝(x －a )＋(x －a )＋1x －a＋2a .∵x －a >0， ∴2x ＋1x －a2≥33x －a x －a1x －a2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1x －a2即x ＝a ＋1时，等号成立．∴2x ＋1x －a2的最小值为3＋2a .由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 答案：28．设a ，b ，c ∈R ＋，求证： (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴2(a ＋b ＋c )＝(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥33a ＋b b ＋c c ＋a >0.1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥331a ＋b ·1b ＋c ·1a ＋c >0， ∴(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1a ＋c ≥92.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．9．已知正数a ，b ，c 满足abc ＝1，求(a ＋2)(b ＋2)·(c ＋2)的最小值．解：因为(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)＝(a ＋1＋1)(b ＋1＋1)(c ＋1＋1) ≥3·3a ·3·3b ·3·3c ＝27·3abc ＝27，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．所以(a ＋2)(b ＋2)(c ＋2)的最小值为27.10．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：法一：因为a ，b ，c 均为正数，由平均值不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23.又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．法二：因为a ，b ，c 均为正数，由基本不等式，得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1ac，②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3ac≥63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立；当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立，即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. (2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在点A 或点C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |； ②点B 不在点A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．已知|A －a |<3，|B －b |<3，|C －c |<3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .原式――→变形重新分组――→定理转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )| ＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )| ≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c | ≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3，所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s3＝s .所以|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．设a ，b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b ||D ．|a －b |<|a |＋|b |解析：选B ∵ab <0且|a －b |2＝a 2＋b 2－2ab ， ∴(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab <|a －b |2. ∴(|a |＋|b |)2＝a 2＋b 2＋2|ab |＝|a －b |2. 故A 、D 不正确；B 正确；又由定理1的推广知C 不正确． 2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.(1)(2)设a ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解． (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4. 法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4. ∴y max ＝4，y min ＝－4. (2)∵|x |≤1，|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x | ＝|a ||x 2－1|＋|x |≤|x 2－1|＋|x | ＝1－|x 2|＋|x |＝－|x |2＋|x |＋1 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54.∴|x |＝12时，|f (x )|取得最大值54.(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．(江西高考)x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为________．解析：|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，|y |＋|y －1|≥|y －(y －1)|＝1，所以|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≥2，当且仅当x ∈，y ∈时，|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|取得最小值2，而已知|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，所以|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，此时x ∈，y ∈，所以x ＋y ∈．答案：4．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．解：∵|x －1|＋|x ＋1|＝|1－x |＋|x ＋1|≥|1－x ＋x ＋1|＝2，当且仅当(1－x )(1＋x )≥0，即－1≤x ≤1时取等号．∴当－1≤x ≤1时，函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|取得最小值2. 5．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．解：由题意知a <|x ＋1|－|x －2|对任意实数恒成立，∴a<min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．课时跟踪检测(四)1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，A不正确，显然B正确；当a ＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确，D显然不正确．2．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选B 原不等式即为|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<0. 3．已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有( )A．|a|>|b|>|c| B．|ab|>|bc|C．|a＋b|>|b＋c| D．|a－c|>|a－b|解析：选D ∵a，b，c∈R，且a>b>c，令a＝2，b＝1，c＝－6.∴|a|＝2，|b|＝1，|c|＝6，|b|<|a|<|c|，故排除A.又|ab|＝2，|bc|＝6，|ab|<|bc|，故排除B.又|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，|a＋b|<|b＋c|，排除C.而|a－c|＝|2－(－6)|＝8，|a－b|＝1，∴|a－c|>|a－b|.4．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|>2B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不可能比较大小解析：选B 当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a ＋b )(a －b )<0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |<2. 5．不等式|x －1|－|x －2|<a 恒成立，则a 的取值范围为________．解析：若使不等式|x －1|－|x －2|<a 恒成立，只需a >(|x －1|－|x －2|)max . 因为|x －1|－|x －2|≤|x －1－(x －2)|＝1，故a >1.故a 的取值范围为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)6．设a ，b ∈R ，|a －b |＞2，则关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集是________．解析：∵|x －a |＋|x －b |＝|a －x |＋|x －b |≥|(a －x )＋(x －b )|＝|a －b |＞2， ∴|x －a |＋|x －b |＞2对x ∈R 恒成立，故解集为(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞) 7．下列四个不等式： ①log x 10＋lg x ≥2(x >1)； ②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是______(把你认为正确的序号都填上)．解析：log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0时，b a 与a b同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④正确．综上可知①③④正确．答案：①③④8．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1.证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|. 由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )| ＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1.9．设f (x )＝x 2－x ＋b ，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．证明：∵f (x )－f (a )＝x 2－x －a 2＋a ＝(x －a )(x ＋a －1)， |f (x )－f (a )|＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x－a||x＋a－1|<|x＋a－1|＝|(x－a)＋2a－1|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋2|a|＋1<2|a|＋2＝2(|a|＋1)，∴|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．10．设函数y＝|x－4|＋|x－3|.求：(1)y的最小值；(2)使y<a有解的a的取值范围；(3)使y≥a恒成立的a的最大值．解：(1)y＝|x－4|＋|x－3|＝|x－4|＋|3－x|≥|(x－4)＋(3－x)|＝1，∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1，要使y<a有解，∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可，∴a max＝1.。

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必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图 2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换必修5第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.2应用举例1.3实习作业第二章数列2.1数列的概念与简单表示法2.2等差数列2.3等差数列的前n项和2.4等比数列2.5等比数列的前n项和第三章不等式3.1不等关系与不等式3.2一元二次不等式及其解法3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2简单的线性规划问题3.4基本不等式选修1-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.2双曲线2.3抛物线第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的计算3.3导数在研究函数中的应用3.4生活中的优化问题举例选修1-2第一章统计案例1．1回归分析的基本思想及其初步应用1．2独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1数系的扩充和复数的概念3．2复数代数形式的四则运算第四章框图4．1流程图4．2结构图选修2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2立体几何中的向量方法选修2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3导数在研究函数中的应用1.4生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.2复数代数形式的四则运算选修2-3第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1回归分析的基本思想及其初步应用3.2独立性检验的基本思想及其初步应用选修3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修3-2选修3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何选修3-4第一讲平面图形的对称群第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第三讲对称与群的故事选修4-1第一讲相似三角形的判定及有关性质第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修4-3选修4-4第一讲坐标系第二讲参数方程选修4-5第一讲不等式和绝对值不等式第二讲证明不等式的基本方法第三讲柯西不等式与排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式选修4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修4-8选修4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（B）教材目录介绍必修一第一章集合1．1 集合与集合的表示方法 1．2 集合之间的关系与运算第二章函数2．1 函数2．2 一次函数和二次函数2．3 函数的应用（Ⅰ）2．4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1 指数与指数函数3．2 对数与对数函数3．3 幂函数3．4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1 平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3 圆的方程2．4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2．2 用样本估计总体2．3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3．2 古典概型3．3 随机数的含义与应用3．4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ)1．1 任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1 向量的线性运算2．2 向量的分解与向量的坐标运算2．3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式1．3 绝对值不等式的解法 1．4 绝对值的三角不等式 1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式(选学) 2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3．1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。

2017-2018学年数学人教A版选修4-5优化练习：第一讲达标检测 Word版含解析

达标检测时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a >b >c ，则1b －c －1a －c( ) A ．大于0 B ．小于0C ．小于等于0D ．大于等于0 解析：∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0，∴1a －c <1b －c ，∴1b －c －1a －c>0.故选A. 答案：A2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( )A ．a >b >－b >－aB ．a >－b >－a >bC ．a >－b >b >－aD ．a >b >－a >－b解析：∵a ＋b >0，b <0，∴a >－b >0,0>b >－a ，∴a >－b >b >－a .答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322B ．2333 C.32 3 D ．23 2 解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2，而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3232.答案：A4．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由|x －a |<b 得，a －b <x <a ＋b ，由已知得⎩⎨⎧ a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎨⎧ a ＝3，b ＝1.答案：C5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( )A ．2B ． 2C ．4D ．6解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2.答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1解析：y ＝(x －1)22x －2＋12x －2＝x －12＋12(x －1)≤－21－x 2·12(1－x )＝－1.答案：C7．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是() A ．a ＜－1 B ．|a |≤1C ．|a |＜1D ．a ≥1解析：取a ＝0时，|x |≥0恒成立，所以a ＝0符合，可以排除A ，D.取a ＝1时，|x |≥x 恒成立，所以a ＝1符合，从而排除C ，所以正确答案为B.答案：B8．使 3－|x ||2x ＋1|－4有意义的x 所满足的条件是( ) A ．－3≤x <32B ．－52<x ≤3C ．－3≤x <－52或32<x ≤3D ．－3≤x ≤3解析：使式子有意义的x 所满足的条件为⎩⎨⎧ 3－|x |≥0，|2x ＋1|－4>0，或⎩⎨⎧ 3－|x |≤0，|2x ＋1|－4<0.即⎩⎨⎧ |x |≤3，|2x ＋1|>4， ∴⎩⎨⎧ －3≤x ≤3，2x ＋1>4或2x ＋1<－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤x ≤3，x >32或x <－52.∴－3≤x <－52或32<x ≤3.故选C.答案：C9．一个长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c 且a ＋b ＋c ＝9，当长方体体积最大时，长方体的表面积为( )A ．27B ．54C ．52D ．56解析：∵9＝a ＋b ＋c ≥33abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时取得最大值27∴abc ≤27，此时其表面积为6×32＝54.故选 B.答案：B10．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1的最小值是( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1 ＝(1－a )(1＋a )(1－b )(1＋b )a 2b 2＝(1＋a )(1＋b )ab＝2ab ＋1， ∵a ＋b ＝1，∴2ab ≤1.。

2017-2018学年人教A版高中数学选修4-4全册同步练习题集解析版95P

2017~2018学年人教A版高中数学选修4-4全册同步训练题汇编目录✧第一讲坐标系1.1平面直角坐标系练习✧第一讲坐标系1.2极坐标系练习✧第一讲坐标系1.3简单曲线的极坐标方程练习✧第一讲坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介练习✧第一讲坐标系测评✧第二讲参数方程2.1曲线的参数方程练习✧第二讲参数方程2.2圆锥曲线的参数方程练习✧第二讲参数方程2.3直线的参数方程练习✧第二讲参数方程2.4渐开线与摆线练习✧第二讲参数方程测评✧模块综合测评A✧模块综合测评B一平面直角坐标系课后篇巩固探究A组1.若点P(-2 015,2 016)经过伸缩变换后所得的点在曲线y'=上,则k=()A.1B.-1C.2 016D.-2 016P(-2 015,2 016),所以将其代入y'=,得k=x'y'=-1.2.在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线x'2+8y'2=1,则曲线C 的方程为()A.49x2+128y2=1B.49x2+64y2=1C.49x2+32y2=1D.x2+y2=1伸缩变换代入x'2+8y'2=1中,得49x2+128y2=1,故曲线C的方程为49x2+128y2=1.3.曲线y=sin经过伸缩变换后的曲线方程是()A.y'=5sinB.y'=sinC.y'=5sinD.y'=sin将其代入y=sin中,得y'=sin,即y'=5sin.4.导学号73574002已知平面内有一条固定的线段AB,|AB|=4.若动点P满足|PA|-|PB|=3,点O为线段AB的中点,则|OP|的最小值是()A.B.C.2 D.3AB的中点O为原点,AB所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可知点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的一支.∵2c=4,∴c=2.∵2a=3,∴a=.∴b2=c2-a2=4-.∴点P的轨迹方程为=1.由图可知,当点P为双曲线与x轴的右交点时,|OP|最小,|OP|的最小值是.5.点(2,3)经过伸缩变换后得到的点的坐标为.即变换后的点的坐标为(1,9).6.到直线x-y=0和直线2x+y=0的距离相等的动点的轨迹方程为.(x,y),则依题意有,整理得x2+6xy-y2=0.2+6xy-y2=07.将椭圆=1按φ:变换后的曲线围成图形的面积为.=1上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后对应的点的坐标为P'(x',y'),由φ:将其代入椭圆方程,得=1,即x'2+y'2=1.因为圆的半径为1,所以圆的面积为π.8.导学号73574003已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上的中线,则BE与CF的位置关系是.,以△ABC的顶点A为原点O,边AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(c,0),F.设C(x,y),则E,所以k BE=-,k CF=.由b2+c2=5a2,得|AC|2+|AB|2=5|BC|2,即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2],整理得2y2=(2x-c)(2c-x).所以k BE·k CF==-1.所以BE与CF互相垂直.9.已知在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC>AD,求证:|AC|=|BD|.BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.设A(-a,h),B(-b,0),则D(a,h),C(b,0).所以|AC|=,|BD|=.所以|AC|=|BD|.10.在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.(1)5x+2y=0;(2)x2+y2=2.由伸缩变换得将其代入5x+2y=0,得10x'+6y'=0,即5x'+3y'=0.故经过伸缩变换后,直线5x+2y=0变成了直线5x'+3y'=0.(2)将代入x2+y2=2,得经过伸缩变换后的图形的方程是=2,即=1.故经过伸缩变换后,圆x2+y2=2变成了椭圆=1.11.导学号73574004在同一平面直角坐标系中,分别求一个伸缩变换使其满足下列曲线的变换,并叙述变换过程.(1)曲线y=2sin变换为正弦曲线y=sin x;(2)圆x2+y2=1变换为椭圆=1.将变换后的曲线方程y=sin x改写为y'=sin x'.设满足题意的伸缩变换为将其代入y'=sin x'得μy=sin λx.将其即y=sin λx,与原曲线的方程比较系数得所以满足题意的伸缩变换为即先使曲线y=2sin上的点的纵坐标不变,将曲线上的点的横坐标缩短为原来的,得到曲线y=2sin=2sin x,再将其纵坐标缩短到原来的,横坐标不变,得到正弦曲线y=sin x.(2)将变换后的椭圆方程=1改写为=1.设满足题意的伸缩变换为将其代入=1,得=1,即x2+y2=1.将其与x2+y2=1比较系数得即所以满足题意的伸缩变换为即先使圆x2+y2=1上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍,得到椭圆+y2=1,再将该椭圆的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,得到椭圆=1.B组1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是()A.正方形B.矩形C.菱形D.正方形、菱形或矩形,图形的形状是由其在平面直角坐标系中的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则变换后的图形可能是菱形或正方形;若顶点在象限内,则变换后的图形可能是矩形或正方形.2.到两定点的距离之比等于常数k(k≠0)的点的轨迹是 ()A.椭圆B.抛物线C.圆D.直线或圆A,B所在的直线为x轴,以AB的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系(图略).设(,0),B(a,0),P(x,y),|PA|=k|PB|.显然当k=1时,点P的轨迹是直线(即线段AB的中垂线);当k≠1,且k≠0时,代入两点间的距离公式化简可知点P的轨迹为圆.3.在同一平面直角坐标系中,在伸缩变换φ:的作用下,仍是其本身的点的坐标为.P(x,y)在伸缩变换φ:的作用下得到点P'(λx,μy),依题意得因为λ>0,μ>0,λ≠1,μ≠1,所以x=y=0,即P(0,0)为所求.4在平面直角坐标系xOy中,直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上的一点,且满足∠MPO=∠AOP.当点P在l上运动时,则点M的轨迹E的方程|PM|=|OM|.因为∠MPO=∠AOP,所以动点M满足MP⊥l或M在x轴的负半轴上.设M(x,y),①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|OM|=,|x+2|=,化简得y2=4x+4(x≥-1).②当M在x轴的负半轴上时,y=0(x≤-1).综上所述,点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1).2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1)5已知B村庄位于A村庄的正西方向1 km处,原计划在经过B村庄且沿着北偏东60°的方向上埋设一条地下管线l,但在A村庄的西北方向400 m处,发现一古代文物遗址W.根据初步勘察的结果,文物管理部门将遗址W周围100 m内的范围划为禁区.试问,埋设地下管线l的计划需要修改吗?A为坐标原点,正东方向和正北方向分别为x轴、y轴的正半轴,建立如图所示的平面直角坐标系.则A(0,0),B(-1 000,0).由W位于A的西北方向及|AW|=400,得W(-200,200).由直线l经过点B且倾斜角为90°-60°=30°,得直线l的方程是x-y+1 000=0.点W到直线l的距离为d==500-100()≈114>100,所以埋设地下管线l的计划不需要修改.6.导学号73574005圆C:x2+y2=4向着x轴均匀压缩,压缩系数为,在压缩过程中,圆上的点的横坐标保持不变.(1)求压缩后的曲线方程.(2)过圆C上一点P()的切线,经过压缩后的直线与压缩后的曲线有何关系?P(x,y),压缩后的点为P'(x',y'),则(1)将其代入x2+y2=4,得(x')2+(2y')2=4,即x'2+4y'2=4,则压缩后的曲线方程为x2+4y2=4.(2)因为点P()满足()2+()2=4,所以点P在圆上.故过点P的切线方程为x+y=4,压缩后变为x'+×2y'=4,即x'+2y'=2,即压缩后的方程为x+2y=2.由联立得x2-2x+2=0,由Δ=8-4×2=0,得直线x+2y=2与曲线x2+4y2=4相切.7.导学号73574006由甲导弹驱逐舰、乙导弹驱逐舰、丙综合补给舰组成的护航编队奔赴某海域执行护航任务,对商船进行护航.某日甲舰在乙舰正东6 km处,丙舰在乙舰北偏西30°,两舰相距4 km.某时刻甲舰发现商船的某种求救信号.由于乙、丙两舰比甲舰距离商船远,因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援,则行进的方位角应是多少?A,B,C,P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船.以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(3,0),B(-3,0),C(-5,2).由题意,得|PB|=|PC|,所以点P在线段BC的垂直平分线上.因为k BC=-,线段BC 的中点D(-4,),所以直线PD的方程为y-(x+4).①又因为|PB|-|PA|=4,所以点P在以A,B为焦点的双曲线的右支上,双曲线方程为=1(x≥2).②联立①②,解得点P的坐标为(8,5).所以k PA=.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.二极坐标系课后篇巩固探究A组1.在极坐标系中,点(-2,-2)的一个极坐标可以是()A. B.C. D.==2,tan θ=1,且点在第三象限,可取θ=,故极坐标可以是.2.下列的点在极轴所在直线的上方的是()A.(3,0)B.C. D.(3,0)在极轴上,点在极轴所在直线的下方,点在极轴所在直线的上方,故选D.3.将点的直角坐标(-2,2)化为极径ρ是正值,极角在0到2π之间的极坐标是()A. B.C. D.4.下列极坐标对应的点中,在直角坐标平面的第三象限的是()A.(3,4)B.(4,3)C.(3,5)D.(5,6)ρcos θ,y=ρsin θ,对选项A来说,x=3cos 4<0,y=3sin 4<0,满足在第三象限,故选A.5.若A,B两点的极坐标分别为A(4,0),B,则线段AB的中点的极坐标为()A. B.C. D.A,B的直角坐标分别为(4,0),(0,4),则线段AB的中点的直角坐标为(2,2).由ρ2=x2+y2,得ρ=2.因为tan θ==1,且点(2,2)在第一象限,所以θ=.故线段AB的中点的极坐标为.6.在极坐标系中,点关于极轴所在直线对称的点的极坐标是.ρ=3,θ=,所以所求极坐标是.7.以极点为原点,极轴的方向为x轴的正方向,取相同的单位长度,建立平面直角坐标系,则极坐标M表示的点在第象限.x=ρcos θ=2 016cos=1 008,y=ρsin θ=2 016sin=-1 008,故点(1 008,-1 008)在第四象限.8.导学号73574008若点M的极坐标为,则点M关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的直角坐标为.点M的极坐标为,∴x=6cos=6×=3,y=6sin=6×=-3,∴点M的直角坐标为(3,-3).故点M关于y轴对称的点的直角坐标为(-3,-3).-3,-3)9.将下列各点的极坐标化成直角坐标:(1);(2);(3)(5,π).x=·cos=1,y=·sin=1,所以点的直角坐标为(1,1).(2)x=6·cos=3,y=6·sin=-3,所以点的直角坐标为(3,-3).(3)x=5·cos π=-5,y=5·sin π=0,所以点(5,π)的直角坐标为(-5,0).10.将下列各点的直角坐标化为极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).(1)(,3);(2)(-3,0).ρ==2,tan θ=.又因为点在第一象限,所以θ=.所以点(,3)的极坐标为.(2)ρ==3,由题易知极角为π,所以点(-3,0)的极坐标为(3,π).11.导学号73574009在极坐标系中,B,D,试判断点B,D的位置是否具有对称性,并求出点B,D关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,θ∈[0,2π)).B,D,知|OB|=|OD|=3,极角的终边关于极轴对称.所以点B,D关于极轴对称.设点B,D关于极点的对称点分别为E(ρ1,θ1),F(ρ2,θ2),且ρ1=ρ2=3.当θ∈[0,2π)时,θ1=,θ2=,故E,F即为所求.B组1.在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,取相同的单位长度,建立极坐标系.若点P的直角坐标与其极坐标在数值上相同,则点P在()A.x轴上B.y轴上C.射线Ox上D.射线Oy上2.导学号73574010在极坐标系中,若等边三角形ABC的两个顶点是A,B,则顶点C的坐标可能是()A. B.C.(2,π)D.(3,π),由题设可知A,B两点关于极点O对称,即O是AB的中点.设点C的极坐标为(ρ,θ),又|AB|=4,△ABC为等边三角形,所以ρ=|OC|=2.因为∠AOC=,所以在[0,2π)内点C的极角θ=或θ=,即点C的极坐标为.3.已知点P在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,则当ρ>0,θ∈[0,2π)时,点P 的极坐标为.点P(x,y)在第三象限角的平分线上,且到横轴的距离为2,∴x=-2,且y=-2.∴ρ==2.又tan θ==1,且θ∈[0,2π),∴θ=.因此,点P的极坐标为.4.如图,点P的极坐标为.,连接OP.∵OQ是圆的直径,∴∠OPQ=90°.又∠OQP=60°,∴∠POQ=30°,即∠POQ=.∴|OP|=|OQ|cos=2×.故点P的极坐标为.5.在极坐标系中,已知三点M,N(2,0),P,将M,N,P三点的极坐标化为直角坐标,并判断M,N,P三点是否在同一条直线上.点M的极坐标为,∴点M的直角坐标为,即为M(1,-).同理可得点N的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(3,).∵k MN=,k PN=,∴k MN=k PN.∴M,N,P三点在同一条直线上.6.导学号73574011已知两点的极坐标A,B,求:(1)A,B两点间的距离;(2)△AOB的面积;(3)直线AB与极轴正方向所成的角.,∵|OA|=|OB|=3,∠AOB=,∴△AOB为等边三角形.(1)A,B两点间的距离为3.(2)△AOB的面积S=×3×3×sin.(3)直线AB与极轴正方向所成的角为π-.7.导学号73574012已知∠AOB=,点P在OA上,点Q在OB上,点M是线段PQ 的中点,且△POQ的面积为8,试问能否确定|OM|的最小值?若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.O为极点,OB为极轴建立如图所示的极坐标系.设P,Q(ρ2,0),M(ρ,θ),则由题意知ρ1ρ2sin=8,即ρ1ρ2=.因为S△POM=ρρ1sin=4,S△QOM=ρρ2sin θ=4,所以两式相乘,得ρ2·ρ1ρ2sin sin θ=64.所以ρ2=.当且仅当cos=1,即θ=时,ρ2取到最小值8.故|OM|的最小值为2.三简单曲线的极坐标方程课后篇巩固探究A组1.在极坐标系中,过点且与极轴平行的直线方程是()A.ρ=2B.θ=C.ρcos θ=1D.ρsin θ=的点的直角坐标为(1,),过该点且与极轴平行的直线的直角坐标方程为y=,其极坐标方程为ρsin θ=,故选D.2.极坐标方程sin θ=(ρ≥0)表示的曲线是()A.余弦曲线B.两条相交直线C.一条射线D.两条射线3.在极坐标系中,点A(1,π)到直线ρcos θ=2的距离是()A.1B.2C.3D.4A(1,π)化为直角坐标为(-1,0),直线ρcos θ=2化为直角坐标方程为x=2.因为点A(-1,0)到直线x=2的距离为3,所以点A(1,π)到直线ρcos θ=2的距离为3.4.若极坐标方程ρ=ρ(θ)满足ρ(θ)=ρ(π-θ),则ρ=ρ(θ)表示的图形()A.关于极轴对称B.关于极点对称C.关于直线θ=对称D.不确定ρ(θ)=ρ(π-θ)可知ρ=ρ(θ)表示的图形关于直线θ=对称.5.在极坐标系中,点F(1,0)到直线θ=(ρ∈R)的距离是()A. B. C.1 D.θ=(ρ∈R)的直角坐标方程为y=x,即x-y=0,点F(1,0)的直角坐标也为(1,0),所以点F(1,0)到直线x-y=0的距离为.6.两条直线ρsin=2 016,ρsin=2 017的位置关系是.(填“垂直”“平行”或“斜交”)x+y=2 016,y-x=2 017,故两条直线垂直.7.在极坐标系中,若曲线C1:ρcos θ=1与C2:ρ=4cos θ的交点分别为A,B,则|AB|=.x=1与x2+y2=4x,而圆x2+y2=4x的圆心坐标是C2(2,0)、半径是2,圆心C2(2,0)到直线x=1的距离为1,因此|AB|=2=2.8.在极坐标系中,过点A引圆ρ=4sin θ的一条切线,则切线长为.,将点的极坐标转化为直角坐标,再利用解直角三角形求其切线长.圆的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,点A的直角坐标为(0,-4),点A与圆心的距离为|-4-2|=6,所以切线长为=4.9.在极坐标系中,直线l的方程是ρsin=1,求点P到直线l的距离.P的直角坐标为(,-1).直线l:ρsin=1可化为ρsin θ·cos-ρcos θ·sin=1,即直线l的直角坐标方程为x-y+2=0.则点P(,-1)到直线x-y+2=0的距离为d=+1.故点P到直线ρsin=1的距离为+1.10.导学号73574015在极坐标系中,已知圆C经过点P,圆心为直线ρsin=-与极轴的交点,求圆C的极坐标方程.OP,PC,在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1,则圆C的圆心坐标为(1,0).因为圆C经过点P,所以圆C的半径|PC|==1,于是圆C过极点,所以圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ.11.导学号73574016已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程;(2)P是l上的点,射线OP交圆C于点R,点Q在OP上,且满足|OQ|·|OP|=|OR|2,当点P在l 上移动时,求点Q轨迹的极坐标方程.将x=ρcos θ,y=ρsin θ分别代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程分别为C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2.(2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ)(ρ≠0),(ρ2,θ),则由|OQ|·|OP|=|OR|2,得ρρ1=(ρ≠0).又ρ2=2,ρ1=,所以=4(ρ≠0).故点Q轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0).B组1.极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示的图形是()A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0),得ρ=1或θ=π,其中ρ=1表示以极点为圆心,半径为1的圆,θ=π(ρ≥0)表示以极点为起点与Ox反向的射线.2.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是()A.ρ=2cosB.ρ=2sinC.ρ=2cos(θ-1)D.ρ=2sin(θ-1),设圆心C(1,1),P(ρ,θ)为圆上除极点外的任意一点,连接OP,CP,过点C作CD⊥OP于点D.∵|CO|=|CP|,∴|OP|=2|DO|.在Rt△CDO中,∠DOC=|θ-1|,∴|DO|=cos(θ-1).∴|OP|=2cos(θ-1),因此ρ=2cos(θ-1).∵极点适合上述方程,∴圆的极坐标方程为ρ=2cos(θ-1).3.在极坐标系中,圆O:ρ2+2ρcos θ-3=0的圆心到直线ρcos θ+ρsin θ-7=0的距离,再由点到直线的距离公式求距离的大小.圆的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4,圆心为(-1,0),直线的直角坐标方程为x+y-7=0,所以圆心到直线的距离为=4.4.在极坐标系中,曲线ρ=2sin θ与ρcos θ=-1的交点的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)θ,得ρ2=2ρsin θ,其直角坐标方程为x2+y2=2y,ρcos θ=-1的直角坐标方程为x=-1.联立解得点(-1,1)的极坐标为.5.在极坐标系中,A,B分别是直线3ρcos θ-4ρsin θ+5=0和圆ρ=2cos θ上的动点,则A,B两点之间距离的最小值是.3x-4y+5=0,圆的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1,则圆心(1,0)到直线的距离d=,所以A,B两点之间距离的最小值为d-1=-1=.6.在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρcos=1,M,N分别为曲线C与x轴、y轴的交点.(1)写出曲线C的直角坐标方程,并求点M,N的极坐标;(2)设线段MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程.由ρcos=1,得ρ=1.从而C的直角坐标方程为x+y=1,即x+y-2=0.当θ=0时,ρ=2,所以点M的极坐标为(2,0);当θ=时,ρ=,所以点N的极坐标为.(2)因为点M的直角坐标为(2,0),点N的直角坐标为,所以点P的直角坐标为,则点P的极坐标为.所以直线OP的极坐标方程为θ=,ρ∈R.7.导学号73574017求过点A,且极轴到直线l的角为的直线l的极坐标方程.,设M(ρ,θ)是直线l上除点A外的任意一点,连接OM.∵A,∴|OA|=3,∠AOB=.由已知得∠MBx=,∴∠OAB=.∴∠OAM=π-.又∠OMA=∠MBx-θ=-θ.在△MOA中,根据正弦定理,得.①∵sin =sin,将sin展开,化简①式得ρ(sin θ+cos θ)=.显然点A的坐标适合该式.故过点A且极轴到直线l的角为的直线l的极坐标方程为ρ(sinθ+cos θ)=.8.导学号73574018在极坐标系中,从极点O作直线与另一条直线l:ρcos θ=4相交于点M,在OM上取一点P,使|OM|·|OP|=12.(1)求点P的轨迹的极坐标方程;(2)设R为l上任意一点,试求|RP|的最小值.方法一)(1)设动点P的极坐标为(ρ,θ)(ρ≠0),则点M为(ρ0,θ).因为|OM|·|OP|=12,所以ρ0ρ=12,即ρ0=.因为点M在直线ρcos θ=4上,所以ρ0cos θ=4,即cos θ=4,ρ=3cos θ.于是ρ=3cos θ(ρ>0)为所求的点P的轨迹的极坐标方程.(2)由于点P的轨迹的极坐标方程为ρ=3cos θ=2×cos θ(ρ>0),所以点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉极点).又直线l:ρcos θ=4过点(4,0)且垂直于极轴,点R在直线l上,由此可知|RP|的最小值为1.(方法二)(1)直线l:ρcos θ=4的直角坐标方程为x=4,设点P(x,y)(x>0)为轨迹上的任意一点,点M(4,y0),由,得y0=(x>0).又|OM|·|OP|=12,则|OM|2·|OP|2=144,所以(x2+y2)=144,整理得x2+y2=3x(x>0),化为极坐标方程为ρ=3cos θ(ρ>0).故点P的轨迹的极坐标方程为ρ=3cos θ(ρ>0).(2)由上述可知,点P的轨迹是圆心为,半径为的圆(去掉原点).又点R在直线l:x=4上,所以|RP|的最小值为1.四柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A组1.已知点A的球坐标为,则点A的直角坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)A的直角坐标为(x,y,z),则x=3×sin×cos=0,y=3×sin×sin=3,z=2×cos=0,所以直角坐标为(0,3,0).2.若点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是()A. B.C. D.M的柱坐标为(ρ,θ,z),则ρ==2,θ=,z=3,所以点M的柱坐标为,故选C.3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的()A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面D.以原点为球心,半径为3的球面4.导学号73574021已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为()A.2B.C.2D.4M的直角坐标为(x,y,z),因为(r,φ,θ)=,所以即M(-2,2,2).故点M到Oz轴的距离为=2.5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.B.C.D.P的柱坐标(ρ,θ,z)知,当θ=时,点P在平面yOz内,故选A.6.若点P的直角坐标为(,3),则它的柱坐标是.7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为,则|OM|=.M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=ρ2=4,故|OM|==3.8.若点M的球坐标为,O为原点,则点M到原点的距离为,OM与平面xOy所成的角为.9.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.O为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.则有O(0,0,0),A,B,C,D(1,0,0),E,F,G.10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标:P,Q.(2)将下列各点的球坐标化为直角坐标:A,B,C.设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=ρcos θ=cos,y1=ρsin θ=sin,z1=,故点P的直角坐标为.设点Q的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=4cos=-2,y2=4sin=2,z2=-3,故点Q的直角坐标为(-2,2,-3).(2)设点A的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=r sin φcosθ=4sin×cos=4×1×=2,y1=r sin φsin θ=4sin sin=4×1×=-2,z1=r cos φ=4×cos=0,故点A的直角坐标为(2,-2,0).设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sin cosπ=8××(-1)=-4,y2=8sin sin π=0,z2=8cos=8×=-4.故点B的直角坐标为(-4,0,-4).设点C的直角坐标为(x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=0,即点C的直角坐标为(0,0,0).11.导学号73574022在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是线段A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.,过点M作底面xCy的垂线MN.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=.故点M的直角坐标为.由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=,∠ECN=,故点M的柱坐标为.B组1.在柱坐标系中,方程z=C(C为常数)表示()A.圆B.与xOy平面垂直的平面C.球面D.与xOy平面平行的平面2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若M的球坐标为(r,φ,θ),则应有()A.φ=B.θ=C.φ=D.θ=M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知θ=.3.在柱坐标系中,满足的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积为.据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=πr2h=2π.π4.导学号73574023在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点,另两个顶点的坐标分别为A1(8,0,10),C1,则该长方体外接球的体积为.8,6,10,则其外接球的半径为5.故其外接球的体积为×(5)3=.5.如图,点P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P的柱坐标为,求该圆柱的体积.P作PP'垂直于底面,垂足为P',因为P,所以点P'的柱坐标为.因此圆柱的底面半径为6,高为5.故圆柱的体积为V=π×62×5=180π.6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区……十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的柱坐标系,把点A的柱坐标求出来.O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203 m,极轴Ox按逆时针方向旋转,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8 m,因此我们可以用柱坐标来表示点A的准确位置.所以点A的柱坐标为.7.导学号73574024建立适当的柱坐标系,表示棱长为3的正四面体(棱长都相等的三棱锥)的各个顶点的坐标.,找到相应坐标.B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴,过点O 且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的柱坐标系.过点A作AA'垂直于平面BCD,垂足为A',连接BA',则|BA'|=3×,|AA'|=,∠A'Bx=,则A,B(0,0,0),C,D.第一讲坐标系测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.将曲线y=sin 3x按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A.y=3sin xB.y=3sin 3xC.y=3sin 6xD.y=sin x,得将其代入y=sin 3x,有=sin x',即y'=3sin x'.所以变换后的曲线方程为y=3sin x.2.在极坐标系中,已知M,则下列所给出的不能表示点M的坐标的是()A.B.C.D.3.若点A的球坐标为,则它的直角坐标为()A.B.C.D.A的直角坐标为(x,y,z),则x=r sin φcos θ=5·sin cos=-,y=r sin φsin θ=5sin sin,z=r cos φ=5cos=-,所以直角坐标为.4.在极坐标系中,过点且与极轴垂直的直线方程为()A.ρ=-4cos θB.ρcos θ-1=0C.ρsin θ=-D.ρ=-sin θM(ρ,θ)为直线上除以外的任意一点,则有ρcos θ=2·cos,则ρcos θ=1,经检验符合方程.所以直线的极坐标方程为ρcos θ-1=0.5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ(0≤θ<2π)的圆心的极坐标是()A. B.C.(1,0)D.(1,π)ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+(y+1)2=1,其圆心坐标为(0,-1),所以其极坐标为.6.可以将椭圆=1变为圆x2+y2=4的伸缩变换是()A.B.C.D.x2+y2=4改写为x'2+y'2=4,设满足题意的伸缩变换为将其代入x'2+y'2=4,得λ2x2+μ2y2=4,即=1,与椭圆=1,比较系数得解得故满足题意的伸缩变换为即7在极坐标系中,圆ρ=22sin θ的圆心到极轴的距离为()A.11B.11C.11D.22ρ=22sin θ,得ρ2=22ρsin θ,即圆的直角坐标方程为x2+y2-22y=0,标准方程为x2+(y-11)2=121,所以圆心C(0,11)到极轴的距离为11.8.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ与直线2ρcos=-1的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.无法确定ρ=2cos θ与直线2ρcos=-1的直角坐标方程分别为圆(x-1)2+y2=1与x-y+1=0,圆心(1,0)到直线的距离为d==1=r,所以直线与圆相切.9若曲线的极坐标方程为ρ=8sin θ,则它的直角坐标方程为()A.x2+(y+4)2=16B.x2+(y-4)2=16C.(x-4)2+y2=16D.(x+4)2+y2=16x=ρcos θ,y=ρsin θ,即ρ2=x2+y2,可得x2+y2=8y,整理得x2+(y-4)2=16.10.导学号73574029在球坐标系中,集合M=(r,φ,θ)2≤r≤6,0≤φ≤,0≤θ<2π表示的图形的体积为()A.B.C.D.r,φ,θ的含义知,该图形的体积是两个半径分别为6,2的半球的体积之差.故V=×63-×208=.11.在极坐标系中,圆ρ=2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为()A.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=2B.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2C.θ=(ρ∈R)和ρcos θ=1D.θ=0(ρ∈R)和ρcos θ=1ρ=2cos θ化为直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.所以圆的垂直于x轴的两条切线的直角坐标方程分别为x=0和x=2,再将两条切线的直角坐标方程化为极坐标方程分别为θ=(ρ∈R)和ρcos θ=2,故选B.12.导学号73574030圆ρ=r与圆ρ=-2r sin(r>0)的公共弦所在直线的方程为()A.2ρ(sin θ+cos θ)=rB.2ρ(sin θ+cos θ)=-rC.ρ(sin θ+cos θ)=rD.ρ(sin θ+cos θ)=-rρ=r的直角坐标方程为x2+y2=r2,①圆ρ=-2r sin=-2r=-r(sin θ+cos θ),两边同乘ρ,得ρ2=-r(ρsin θ+ρcos θ),所以x2+y2+rx+ry=0,②由①-②,并化简得(x+y)=-r,即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线(x+y)=-r化为极坐标方程为ρ(cos θ)=-r.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在极坐标系中,点P(2,0)与点Q关于直线θ=对称,则|PQ|=.θ=的直角坐标方程为y=x.设点P到直线的距离为d,则|PQ|=2d==2.14.已知曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρcos θ=3,ρ=6sin θ,则曲线将②代入①,得6sin θcos θ=3,∴sin 2θ=1.∵0≤2θ<π,∴θ=.代入①得ρ=3.∴C1与C2交点的极坐标为.15.已知点M的柱坐标为,则点M的直角坐标为,球坐标(x,y,z),球坐标为(r,φ,θ).由由得即所以点M的直角坐标为,球坐标为.16.导学号73574031在极坐标系中,由三条直线θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1围成的图形的面积是.θ=0,θ=,ρcos θ+ρsin θ=1在平面直角坐标系中对应的直线方程分别为y=0,y=x,x+y=1.三条直线围成的图形如图阴影部分所示.则点A(1,0),B.所以S△AOB=×1=.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知伸缩变换表达式为曲线C在此变换下变为椭圆+y'2=1,求曲线C的方程.所以将其代入方程+y'2=1,得=1,即x2+=1.故曲线C的方程为x2+=1.18.(本小题满分12分)已知定点P.(1)将极点移至O'处,极轴方向不变,求点P的新坐标;(2)极点不变,将极轴顺时针转动角,求点P的新坐标.设点P的新坐标为(ρ,θ),如图所示,由题意可知,|OO'|=2,|OP|=4,∠POx=,∠O'Ox=,所以∠POO'=.在△POO'中,ρ2=42+(2)2-2×4×2×cos=16+12-24=4,则ρ=2.又,所以sin∠OPO'=×2,即∠OPO'=.所以∠OP'P=π-,则∠PP'x=,∠PO'x'=.故点P的新坐标为.(2)如图所示,设点P的新坐标为(ρ,θ),则ρ=4,θ=.故点P的新坐标为.19.(本小题满分12分)以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知C1:ρ=2cos θ-4sin θ,C2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0.(1)将C1的方程化为直角坐标方程;(2)求曲线C1和C2两交点A,B之间的距离.由ρ=2cos θ-4sin θ,得ρ2=2ρcos θ-4ρsin θ.∴x2+y2=2x-4y.∴C1的直角坐标方程为(x-1)2+(y+2)2=5.(2)C2:ρsin θ-2ρcos θ+1=0化为直角坐标方程为y-2x+1=0.∵圆心(1,-2)到直线的距离d=,∴|AB|=2.20.(本小题满分12分)已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角∠OPA=.在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当点P在极轴所在直线的上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.Q,P的坐标分别是(ρ,θ),(ρ1,θ1),则θ=θ1.在△POA中,|OP|=ρ1=·sin,|PA|=.又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得ρ=2a cos.故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2a cos.21.导学号73574032(本小题满分12分)在极坐标系中,已知圆C的圆心C,半径r=3.(1)求圆C的极坐标方程;(2)若点Q在圆C上运动,点P在OQ的延长线上,且=2,求动点P的轨迹的极坐标方程.设M(ρ,θ)是圆C上除极点外的任意一点,连接OM,CM.在△OCM中,∠COM=,由余弦定理得|CM|2=|OM|2+|OC|2-2|OM||OC|cos∠COM,。

2017-2018学年人教A版高中数学选修4-1课件本讲整合1 相似三角形的判定及有关性质

(2)解:由(1)知△EDM∽△FBM,∴
∵点 F 是 BC 的中点,∴DE=2FB.∴DM=2BM. 1 ∴BM=3DB=3.
��
=
�� . ��
反思感悟1.判定两个三角形相似,要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边. 2.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,可间接证明线段相等等.
变式训练2如图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC 的平行线DE,交BA的延长线于点E.求证:
(1)△ABC≌△DCB; (2)DE· DC=AE· BD. 证明:(1)∵四边形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC. 又BC=CB,∴△ABC≌△DCB. (2)由(1)知,△ABC≌△DCB, ∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB. ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC. 又ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC. ∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB. ∴△ADE∽△CBD,∴DE∶BD=AE∶CD. ∴DE· DC=AE· BD.
3.直角三角形相似的判定 (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似. (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. (2)相似三角形周长的比等于相似比. (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方.

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必修 1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）2． 1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数第三章函数的应用3． 1 函数与方程3．2 函数模型及其应用必修 2第一章空间几何体1 ．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置关系2 ．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程3． 1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3 ． 3 直线的交点坐标与距离公式必修 3第一章算法初步1 ．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术第二章统计2 ．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2 ．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图人教 A 版高中数学目录2． 3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱第三章概率3 ．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3． 2 古典概型3． 3 几何概型必修 4第一章三角函数1 ．1 任意角和弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的诱导公式1． 4 三角函数的图象与性质1． 5 函数 y=Asin （ωx+ψ）1． 6 三角函数模型的简单应用第二章平面向量2 ．1 平面向量的实际背景及基本概念2． 2 平面向量的线性运算2． 3 平面向量的基本定理及坐标表示2． 4 平面向量的数量积2． 5 平面向量应用举例第三章三角恒等变换3 ．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3． 2 简单的三角恒等变换必修 5第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.2 应用举例1.3 实习作业第二章数列2.1 数列的概念与简单表示法2.2 等差数列2.3 等差数列的前n 项和2.4 等比数列2.5 等比数列的前n 项和第三章不等式3.1 不等关系与不等式3.2 一元二次不等式及其解法3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题3.3.1 二元一次不等式（组）与平面区域3.3.2 简单的线性规划问题3.4 基本不等式选修 1-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1 椭圆2.2 双曲线2.3 抛物线第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.2 导数的计算3.3 导数在研究函数中的应用3.4 生活中的优化问题举例选修 1-2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用第二章推理与证明2．1合情推理与演绎证明2．2直接证明与间接证明第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算第四章框图4． 1 流程图4． 2 结构图人教 A 版高中数学目录选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.2椭圆2.3双曲线2.4抛物线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.2 立体几何中的向量方法选修 2-2第一章导数及其应用1.1变化率与导数1.2导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5定积分的概念1.6微积分基本定理1.7定积分的简单应用第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.2直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算选修 2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理1.2排列与组合1.3二项式定理第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2二项分布及其应用2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4正态分布第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用选修 3-1第一讲早期的算术与几何第二讲古希腊数学第三讲中国古代数学瑰宝人教 A 版高中数学目录选修 3-2选修 3-3第一讲从欧氏几何看球面第二讲球面上的距离和角第三讲球面上的基本图形第四讲球面三角形第五讲球面三角形的全等第六讲球面多边形与欧拉公式第七讲球面三角形的边角关系第八讲欧氏几何与非欧几何第二讲直线与圆的位置关系第三讲圆锥曲线性质的探讨选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法第三讲逆变换与逆矩阵第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量选修 4-3选修 4-4第一讲坐标系第二讲参数方程第四讲平面解析几何的产生第五讲微积分的诞生第六讲近代数学两巨星第七讲千古谜题第八讲对无穷的深入思考第九讲中国现代数学的开拓与发展选修 3-4第一讲平面图形的选修 4-5对称群第一讲不等式和绝对值不等式第二讲代数学中的对称与抽象群的概念第二讲证明不等式的基本方法第三讲对称与群的故事第三讲柯西不等式与排序不等式选修 4-1第四讲数学归纳法证明不等式第一讲相似三角形的判定及有关性质选修 4-6第一讲整数的整除第二讲同余与同余方程第三讲一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用选修 4-7第一讲优选法第二讲试验设计初步选修 4-8选修 4-9第一讲风险与决策的基本概念第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介高中人教版（ B）教材目录介绍必修一第一章集合1． 1 集合与集合的表示方法1．2 集合之间的关系与运算人教 A 版高中数学目录第二章函数2．1 函数2． 2 一次函数和二次函数2． 3 函数的应用（Ⅰ）2． 4 函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3 ．1 指数与指数函数3． 2 对数与对数函数3．3 幂函数3． 4 函数的应用（Ⅱ）必修二第一章立体几何初步1．1 空间几何体1． 2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2 ．1 平面真角坐标系中的基本公式2． 2 直线方程2． 3 圆的方程2． 4 空间直角坐标系必修三第一章算法初步1．1 算法与程序框图1． 2 基本算法语句1． 3 中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1 随机抽样2． 2 用样本估计总体2． 3 变量的相关性第三章概率3．1 随机现象3． 2 古典概型3． 3 随机数的含义与应用3． 4 概率的应用必修四第一章基本初等函(Ⅱ )1 ．1 任意角的概念与弧度制1． 2 任意角的三角函数1． 3 三角函数的图象与性质第二章平面向量2 ．1 向量的线性运算2 ．2 向量的分解与向量的坐标运算2． 3 平面向量的数量积2．4 向量的应用第三章三角恒等变换3．1 和角公式3．2 倍角公式和半角公式3．3 三角函数的积化和差与和差化积必修五第一章解直角三角形1．1 正弦定理和余弦定理1．2 应用举例第二章数列2．1 数列2．2 等差数列2．3 等比数列第三章不等式3 ．1 不等关系与不等式3．2 均值不等式3．3 一元二次不等式及其解法3．4 不等式的实际应用3．5 二元一次不等式（组）与简单线性规划问题选修 1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题与量词1．2 基本逻辑联结词1．3 充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线第三章导数及其应用3．1 导数3．2 导数的运算3．3 导数的应用选修 1－2第一章统计案例第二章推理与证明第三章数系的扩充与复数的引入第四章框图选修 4－5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1 ．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法1．2 基本不等式人教 A 版高中数学目录1．3 绝对值不等式的解法1．4 绝对值的三角不等式1．5 不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2． 1 柯西不等式2．2 排序不等式2．3 平均值不等式 ( 选学 )2．4 最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3． 1 数学归纳法原理3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。

2017-2018学年课堂讲义高二人教A版数学选修4-7练习：

一、基础达标1.下列说法中，正确的个数为()①分数法在确定下一个试点时，需要对前两个试点的试验结果进行比较；②对分法、分数法、0.618法均做了2次试验后，才舍弃试验范围的1 3；③用对分法做试验较0.618法好，因为每次可以舍弃试验范围的一半；④若做一次试验，根据结果可以决定下次试验的方向，就可以用对分法.A.1B.2C.3D.4解析①③④正确，所以正确答案有3个，选C.答案 C2.下列说法中，不正确的个数为()①影响盲人爬山法效果的因素为起点与步长；②盲人爬山法的原理就是单峰函数的最佳点与好点在差点的同侧；③盲人爬山法在实践中往往采取“两头大，中间小”，即先在各方向上用大步试探开始；④盲人爬山法应用于某些可变因素要调到某点，必须经过由小到大或由大到小的连续过程的问题.A.0B.1C.2D.3解析③应为“两头小，中间大”，而①②④正确，所以答案为B.答案 B3.用0.618法和对分法安排试验，找出蒸馒头时合适的放碱量，哪种方法更有效()A.0.618法B.对分法C.一样好D.无法确定解析对分法更简单，易操作.答案 B4.有一条1 000 m 长的输电线路出现了故障，在线路的开始端A 处有电，在末端B 处没有电，现用对分法检查故障所在位置，则第二次检查点在( )A.500 m 处B.250 m 处C.750 m 处D.250 m 或750 m 处解析若在AB 的中点测试有电，则第二次检查点为750 m 处；若AB 的中点检查没电，则第二次检查点为250 m 处.答案 D5.用对分法进行试验，4次试验后精度为__________.解析精度δ4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116. 答案 1166.用对分法寻找最佳点时，达到精度为0.01的要求至少需要__________次试验.解析由12n ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1100⇒n ≥7， ∴至少需要7次.答案 7二、能力提升7.调试仪器中的可变电阻，可变电容常常采用的优选法为__________. 答案盲人爬山法8.看商品猜价格的具体规则：主持人出示一件物品，参与者每次估算出一个价格，主持人只能回答：“高了”、“低了”、“正确”.若猜中，则游戏结束，否则在规定时间内继续猜下去，直到猜中为止.若现在一个价格在范围为[1 000，2 000](价格数为整数，单位为元)的商品，请你用对分法来猜.(1)若第一次就能猜中，则这个商品的价格是多少？(2)哪几个价格猜三次就可以猜到？解 (1)由对分法知，每次都是取因素范围的中点值，第一次的中点值是1 500，故能一次就猜中的价格是1 500元.(2)第三次能猜中，即第三次取的试验点就是猜中的价格.由第一次的中点值为1 500，此时可得存优范围为[1 000，1 500]或[1 500，2 000]，第二次的中点值取上述两个范围内的中点值，即为1 250或1 750，此时存优范围为[1 000，1 250]，[1 250，1 500]，[1 500，1 750]，[1 750，2 000]中的任一个.故第三次的中点值可分别为1 125，1 375，1 625，1 875，即猜三次就猜中的价格是1 125元，1 375元，1 625元，1 875元中的一个.9.某同学在借助计算器求“方程lg x ＝2－x 的近拟解(精确度为0.1)”时，设f (x )＝lg x ＋x －2，算得f (1)<0，f (2)>0；在以下过程中，他用“对分法”又取了4个x 的值，计算了其函数值的正负，并得出判断，方程的近似解x ≈1.8，那么他取的x 的4个值分别依次是________.解析 ∵f (1)<0，f (2)>0，∴方程的根x ∈(1，2).取x 1＝1＋22＝1.5，则f (1.5)<0，故方程的根x ∈(1.5，2).取x 2＝1.5＋22＝1.75，则f (1.75)<0，故方程的根x ∈(1.75，2).取x 3＝1.75＋22＝1.875，则f (1.875)>0，故方程的根x ∈(1.75，1.875).取x 4＝1.75＋1.8752＝1.812 5，则f (1.812 5)>0，故方程的根x ∈(1.75，1.812 5). 又|1.812 5－1.75|<0.1，故可把x ≈1.8作为其近似值.答案 1.5，1.75，1.875，1.812 5三、探究与创新10.程序设计中有一种折半查找检索算法，其原理与对分法类似，也有所不同，如查找范围[a ，b ]内某一值c (c ∈[a ，b ]，b ≥a )，且a ，b ，c 都是正整数，先取m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b 2(式子[x ]表示不超过x 的最大整数)为试验点，比较c 与m 的大小，如果相等，则查找成功；如果c ＜m ，则查找范围为[a ，m －1]；若c ＞m ，则查找范围为[m ＋1，b ]，按此下去，直至c ＝m 为止.每比较一次称为查找一次，设找到c 的查找总次数记为f (c ).(1)若查找范围是[1，7]，求f (4)，f (3)，f (7)的值.(2)设x ∈[1，2n －1]，你能得出f (x )的最大值与最小值吗？解 (1)易知查找范围是[1，7]时，第一个试验点m ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋72＝[4]＝4，所以f (4)＝1. 求f (3)，由于第一次比较后的查找范围为[1，3]，接着第二个试验点为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋32＝2＜3，所以此时范围为[3，3].由第三个试验点值为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋32＝[3]＝3，查找结束，所以f (3)＝3.同理查找f (7)的查找范围依次为[1，7]，[5，7]，[7，7]，在[7，7]中找得第三个试验点为7，所以f (7)＝3.(2)由(1)知，当x ＝1＋（2n －1）2＝2n －1时，f (x )取最小值，此时f (x )min ＝1. 易知第一次查找的范围内的个数值为2n －1个，第二次查找的范围是[1，2n －1－1]或[2n －1＋1，2n －1]，不论哪种情况，此时范围内的个数为2n －1－1个.即查找一次，如果不成功，则查找范围变为原来的一半减半个.第三次查找的范围的个数是2n －2－1个.…最后到了22－1＝3个时，比如此时存优范围是[1，3]，取中值m ＝2，考虑查找次数最大值的情况，再得到存优范围[1，1]或[3，3].再对范围为[1，1]或[3，3]再取一次就是.此时查找的次数为n 次，如f (1)＝f (2n －1)＝n ，即f (x )max ＝n .。

2017-2018学年人教A版高中数学选修4-7第1讲优穴四分数法二练习-最新教学文档

四分数法（二）一、基础达标1.某试验采用分数法，精度要求±1，试验范围为(60，81)，则第一个试点为( )A.68B.73C.76D.70解析 x 1＝60＋1321×(81－60)＝73.所以答案为B. 答案 B2.现有10层梯田需要灌溉，需要从山脚用水泵往上抽水，抽到某一层的水可以灌溉到这层及以下的所有层.现在有2台功率一样大的水泵，可以安置在10层梯田中的任一层，安置后不能移动.为了使所有的梯田被灌溉而做功最少，设从下到上依次为第1，2，…，10层，采用两头各设虚点.则第一个试点，第二个试点分别为( )A.8，5B.3，8C.7，4D.6，9解析现有10个试点，再虚设两个试点，共12＝F 6－1.∴x 1为对应813的第8层，x 2为对应的513的第5层. 答案 A3.南海舰队在某海岛修建一个军事设施，需要大量加入抗腐蚀剂的特种混凝土预制件.该种混凝土预制件质量很受混凝土搅拌时间影响.搅拌时间不同，混凝土预制件的强度也不同.根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数，为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从12个试点中找出最佳点，则需要做的试次数至多是( )A.5次B.6次C.7次D.8次解析 12＝F 5＋1－1⇒n ＝5，所以答案为A.答案 A4.目标函数是单峰函数，若用分数法需要从12个试点中找出最佳点，则前两个试点放在因素范围的位置为( )A.38，58B.513，813C.1321，821D.25，35解析 ∵12＝F 6－1，∴前两个试点放在因素范围的位置分别为F 5F 6＝813，F 4F 6＝513，所以答案为B. 答案 B5.下列关于分数法的叙述：①分数法是用分数值代替黄金分割常数，分数法与0.618法并无其他不同；②分数法在第一试点确定后，后续试点都可以用“加两头，减中间”的方法来确定； ③在目标函数为单峰的情形，通过n 次试验，最多能从(F n ＋1－1)个试点中保证找出最佳点；④在目标函数为单峰的情形，只有使用分数法安排试验才能通过n 次试验保证从(F n －1)个试点中找出最佳点.其中正确的叙述有__________.解析正确的叙述为①②③.④应为F n ＋1－1.答案 F n ＋1－16.在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，经验表明，加入量大于130 mL 肯定不好，用150 mL 的锥形量杯计量加入量.该量杯的量程分为15格，每格代表10 mL.若第一个试点好于第二个试点，则第三试点在__________处.解析第一个试点为x 1＝0＋813×(130－0)＝80，第二个试点为x 2＝0＋130－80＝50，∵x 1是好点，去掉x 2以下部分，存优范围为(50，130).∴第3个试点x 3＝50＋130－80＝100.答案 100二、能力提升7.在目标函数为单峰的情形下，只有按照________安排试验，才能通过n 次试验保证从(F n ＋1－1)个试点中找出最佳点.答案分数法8.“杏子甜果汁”在加工过程中，有一道工序是将罐子在沸水中进行杀菌，为了优选杀菌的时间，需要对两种大小规格的罐子进行优选试验，精度要求达到1 min.(1)若小罐的试数据从2 min 到8 min ，技术员小刘准备用分数法进行优选试验，问前二次的试点值各是多少？(2)若大罐的试验范围是5～26 min ，技术员小刘又如何安排实验？解 (1)因为试验数据是 2 min ，3 min ，…，7 min ，8 min ，为了便于用分数法进行优选，可在两端增加虚点1 min ，9 min ，使因素范围凑成8格，第一个试点选在1＋58×(9－1)＝6(min)，第二个试点选在1＋9－6＝4(min).(2)因为试验数据范围是[5，26]，等分为21段，分点为6，7，…，24，25，第一个试点选在5＋1321×(26－5)＝18(min)，第二个试点选在5＋26－18＝13(min).9.一个爱好品茶的人，对泡碧螺春时开水的温度用分数法进行优选.试验范围为71～92 ℃，精度要求±1 ℃.若最佳点为75 ℃，求第三个试点.解 ∵x 1＝71＋1321×(92－71)＝84， x 2＝71＋92－84＝79.∵最佳点为75 ℃，又最佳点与好点同侧.∴试验过程中，试点x 2好于x 1，故舍去84 ℃以上温度)，∴x 3＝(71＋84)－79＝76(℃).三、探究与创新10.金属切削加工中的可变因素很多.例如，切削用量中的转速n 、走刀量S 、吃刀深度t 、加工材料、刀具的几何形状、加工性质等.这是一个多因素问题，而且转速n 和走刀量S 是断续变化而不是连续变化的，所在这个试验中0.618法是不适宜的.某钢铁公司矿区机械厂把分数法运用于金属切削加工中，取得了一定的良好效果.他们的方法是在所有可变因素中，只留下一个，运用分数法进行优选，其余的因素都给予固定.这样就把一个多因素问题转化为单因素问题.试验过程如下.根据过去的经验，所选用的切削因素用量如下：n ＝305转/分，S ＝0.4～0.45 mm/转，t ＝3～4 mm.试验时，首先固定吃刀深度t ，转速n ，用分数优选法走刀量S .他们取走刀量范围共13段(如图)，将各级由小到大顺序排列.请完成以下填空：先做两个试验，第一试点S 1在________，即________处.第二试点S 2在________，即________处.试验结果，第一次机动时间为5.3 min ，第二次机动时间为6.5 min ，结果表明________比________好，因此，就把________不再考虑了.第三试点S 3选在1013处，即0.65 mm/转，试验结果机动时间为4.5 min ，________比________好.第四试点S 4选在1113，即0.71 mm/转处，试验结果S 4比S 3差.因此，就把走刀量S 固定在________. 解析由F n －1F n ＝813，F n －2F n ＝513可知， S 1在813即0.55 mm/转处，S 2在513，即0.45 mm/转处，显然S 1比S 2好，因此就把0.45 mm/转以下部分不再考虑，同理可得S 3比S 1好，又S 4比S 3差，故把走刀量S 固定在S 3＝0.65 mm/转位置.答案 813 0.55 mm/转 5130.45 mm/转 S 1 S 2 S 2＝0.45 mm/转以下部分S 3 S 1 S 3＝0.65 mm/转。

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四分数法（一）
一、基础达标
1.有一种叫做“喷嚏麦”的花草，新的一枝从叶腋长出，而另外的新枝从旧枝长出来，老枝和新枝条每层树叶片数如图所示，则最上层“？”处的树叶数为(
)
A.12
B.13
C.14
D.15
解析符合斐波那契数列，利用逆推关系可知“？”处为13，所以答案为B. 答案
B
A.512
B.1219
C.1033
D.1
解析
1
3＋
13＋13＝10
33，所以答案为C. 答案 C
3.用斐波那契数列{F n }：F 0＝1，F 1＝1，F 2＝2，…表示黄金分割常数ω＝5－1
2
的渐近分数中的分子和分母，即F n
F n ＋1
，则ω的第8个渐近分数是( ) A.813
B.1321
C.2134
D.3435
解析第8个渐近分数为F 7F 8＝21
34
.
答案 C
4.记ω是黄金分割常数，则下列各式不正确的是( )
解析 D 选项⇒ω2
－ω－1＝0⇒ω＝1±52≠－1＋52.
答案 D
答案 2
6.卡那霉素发酵液生物测定，一般都规定培养温度为(37±1) ℃，培养时间在16 h 以上.某制药厂为了缩短时间，决定优选培养温度，试验范围定为29～50 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法安排试验，则第一试点在__________处，第二试点在__________处. 解析 x 1＝29＋13
21
×(50－29)＝42(℃)，
x 2＝29＋50－42＝37(℃)
所以答案为45 ℃，37 ℃. 答案 45 ℃，37 ℃ 二、能力提升
7.在斐波那契数列{F n }中，F 0＝1，F 1＝1，F n ＋2＝F n ＋1＋F n (n ≥0，n ∈N *
)，则F 10＝__________.
解析利用递推公式可得.F 2＝2，F 3＝3，F 4＝5，F 5＝8，F 6＝13，F 7＝21，F 8＝34，F 9＝55，F 10＝89. 答案 89
9.“椰子果汁”在加工过程中，有一道工序是将罐在沸水中进行杀菌，为了优化这道工序，技术员小刘准备用分数法进行优选试验，试验范围为5 min到39 min，如何安排前二次的试验？
解因为试验数据范围是[5，39]，等分为34段，分点为6，7，…，37，38，
第一个试验点选在5＋21/34×(39－5)＝26(min)，
第二个试验点选在5＋39－26＝18(min).
三、探究与创新。