计算古典概率的若干简化方法
2.1古典概型的特征和概率计算公式
事件“出现的点数不大于4”包含哪几个基本事件？
“1点” “2点” “3点” “4点”
任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和
探究2： 以下每个基本事件出现的概率是多少？
试
验
1 正面向上
反面向上
P（“正面向上”） P（“反面向上”）
1
2
试
验
2
1点
P（“1点”）
2点
P（A）＝
A所包含的基本事件的个数 基本事件的总数
＝
2 21
例题： 同时掷两个骰子，计算：向上的点数之和是5的概
率是多少？
解：掷一个骰子的结果有6种，我们把两个骰子标上记号1，2以
便区分，它总共出现的情况如下表所示：
2号骰子 1号骰子
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）（1，2） （1，3）（（11，，4）） （1，5） （1，6）
六个基本事件 的概率都是 1
6
有限性
（1） 试验中所有可能出现的基本事件的个数 只有有限个
（2） 每个基本事件出现的可能性 相等
等可能性
上面两个试验都具有如下两个特征：
有限性
（1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
（2） 每个基本事件出现的可能性相等。
等可能性
我们将具有这两个特点的概率模型称为 古典概率模型，简称古典概型。
探究1：
实验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，观察硬币落地后哪一面朝上。 可能出现的结果有哪些？
实验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数。可能出 现的结果有哪些？
（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或 “反面朝上
古典概型的特征和概率计算公式教学
古典概型的特征和概率计算公式教学古典概型是概率论中最基本的概型之一，其特征和概率计算公式相当简单。
本文将详细介绍古典概型的特征和概率计算公式，并提供相关示例。
首先，古典概型的特征是指事件发生的场景或情况符合一定的条件，如硬币抛掷、骰子掷掷等。
这些特征包括以下几个方面：1.试验条件确定：古典概型的试验条件必须是确定的，即每次试验的结果只有有限个可能性。
取一个常见的抛硬币试验为例，其试验条件确定为硬币只能有两种可能的结果，即正面或反面。
2.结果互斥：每次试验的可能结果互斥，即只能出现其中一个结果而不能同时出现。
在硬币抛掷的例子中，硬币只能正面朝上或反面朝上，不能同时出现。
3.各结果等可能：每种结果出现的可能性相等。
在硬币抛掷的例子中，硬币正面朝上和反面朝上的概率均为0.5在古典概型中，事件的概率计算公式为P(A)=m/n，其中P(A)表示事件A的概率，m表示事件A发生的次数，n表示试验总次数。
下面通过几个具体的例子来说明古典概型的特征和概率计算公式。
例1：一枚均匀的骰子投掷一次，求投掷结果为1的概率。
解：试验条件确定为骰子的六个面，结果互斥为每个面只能出现一次，每个面出现的可能性相等。
事件A为投掷结果为1，即m=1，n=6根据概率计算公式，P(A)=1/6例2：一枚均匀的骰子投掷两次，求投掷结果为奇数的概率。
解：试验条件确定为骰子的六个面，结果互斥为每个面只能出现一次，每个面出现的可能性相等。
事件A为投掷结果为奇数，即m=3（骰子有三个奇数面），n=6根据概率计算公式，P(A)=3/6=1/2例3：从一副扑克牌中随机取出一张牌，求取出红心牌的概率。
解：试验条件确定为扑克牌的52张牌，结果互斥为每张牌只能取出一次，每张牌的可能性相等。
事件A为取出红心牌，即m=13（一副扑克牌有13张红心），n=52根据概率计算公式，P(A)=13/52=1/4总结起来，古典概型的特征是试验条件确定、结果互斥和各结果等可能。
6 古典概率
古典概率计算古典概率的方法基本计数原理：1. 加法原理：设完成一件事有m 种方式,其中第一种方式有1n 种方法，第二种方式有2n 种方法，……,第m 种方式有m n 种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为m n n n +++ 21.2. 乘法原理：设完成一件事有m 个步骤,其中第一个步骤有1n 种方法，第二个步骤有2n 种方法，……，第m 个步骤有m n 种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为 m n n n ⨯⨯⨯ 21.3. 排列组合方法 (1) 排列公式： (2) 组合公式；(3) 二项式公式.1111()n n n n n n nn n n a b a C a b C ab C b ---+=++++（一） 摸球问题1、 在盒子中有五个球（三个白球、二个黑球）从中任取两个。
问取出的两个球都是白球的概率？一白、一黑的概率？分析：说明它属于古典概型，从5个球中任取2个，共有C25种不同取法，可以将每一种取法作为一个样点。
则样本点总数C25是有限的。
由于摸球是随机的，因此样本点出现的可能性是相等的，因此这个问题是古典概型。
解：设A={}取到的两个球都是白球，B={}取到的两个球一白一黑 基本事件总数为C25A 的基本事件数为C 23,()2523C C A P = B 的基本事件数为1213C C ， ()251213C C C A P =。
计算古典概型的关键是“记数”，这主要利用排列与组合的知识。
在古典概型时常利用摸球模型，因为古典概型中的大部分问题都能形象化地用摸球模型来描述，若把黑球做为废品，白球看为正品，则这个模型就可以描述产品的抽样检查问题，假如产品分为更多等级，例如一等品，二等品，三等品，等外品等等，则可以用更多有多种颜色的摸球模型来描述。
2、 在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1，2，3，……，9，10，从中任摸一球，求此球的号码为偶数的概率。
古典概率的四种解法
例 袋中有3只白球2只黑球,从中随意取出2个球,求事件A：“取出两球是一个白球一个黑球”的概率.解：方法一（有序法）：将5只球编号为1，2，3，4，5.如果两球是依次取出，那么基本事件是一有序的结果，每两个有序数组(编号)构成一个基本事件，所以样本空间S={12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42，52，43，53，54}由乘法原理可知：||.5420S =×=事件A 所含的基本事件是：先从3个白球中任取一个，而后在2个黑球中取一个；和先从2个黑球中取一个，而后在3个白球中任取一个. 所以事件 A={14，15，24，25，34，35，41，51，42，52，43，53}由乘法原理、加法原理可知||322312A =×+×=. 由古典概率的定义可知：||123()||205A P A S ===. 方法二(无序法)：将5只球仍编号为1，2，3，4，5.如果两球是一次取出，那么基本事件是一个无序的结果，每两个数（两个号码）就构成一个基本事件，基本事件相当于从5个不同数中任取2个的一个组合，所以样本空间S={12，13，14，15，23，24，25，34，35，45} 由组合的定义可知：2554||102S C ×===. 事件A 包含的基本事件是：相当于有两只手同时取球（一只手在3个白球堆里取，一只手在2个黑球堆里取）放在一起的结果，所以事件 A={14，15，24，25，34，35}由乘法原理可知.1132||326A C C ==×=由古典概率的定义可知：||63()||105A P A S ===. 方法三（全排列法）：题目中所叙述的取球方法是从5个有区别的球中任取2个，考虑2个球的颜色，它等价于：将5个有区别的球随意排成一行，考虑前2个位置的颜色. 把每一个全排列结果作为一个基本事件，那么基本事件发生的可能性都一样. 此时样本空间S={12345，13245，14235，"，54321 }由排列的定义可知：.55||5!S P ==事件A 所含的基本事件相当于：“在3个白球中随意取一个放在第一位置，在2个黑球中随意取一个放在第二位置，和在2个黑球中随意取一个放在第一位置，在3个白球中随意取一个放在第二位置，余下3个球紧随其后的一个排列”. 所以事件A={14235，14253，14325，"，41235，41253，41325，"}由排列组合的定义、乘法原理和加法原理可知.11113223||()3A C C C C =+!由古典概率的定义可知：11113223()3||3()||5!5C C C C A P A S +!===. 方法四（有限区别法）：如果把5个球看作除颜色不同外是没有区别的. 随机试验相当于将5个球随意排成一行，考虑前2个位置球的颜色.显然，5个位置中白球位置固定下来则余下位置必然是放黑球，白球位置可以有种不同方法，每种放法都是等可能的，以这样的一种方法作为基本事件，那么样本空间35C S={白白白黑黑，白白黑白黑，白白黑黑白，白黑黑白白，白黑白黑白，白黑白白黑，黑黑白白白，黑白黑白白，黑白白黑白，黑白白白黑}由组合的定义可知：.35||10S C ==事件A 包含的基本事件是：第一、二位置中任取一个放白球，在余下3个位置中任选2个放白球，即事件A={白黑黑白白，白黑白黑白，白黑白白黑，黑白黑白白，黑白白黑白，黑白白白黑}由组合的定义、乘法原理可知：1223||6A C C ==.由古典概率的定义可知：122335||3()||5C C A P A S C ===.。
古典概型的概率计算例题和知识点总结
古典概型的概率计算例题和知识点总结在概率论中，古典概型是一种非常基础且重要的概率模型。
它具有简单直观、易于理解和计算的特点。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入理解古典概型的概率计算方法，并对相关知识点进行总结。
一、古典概型的定义与特点古典概型是指试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。
例如，掷一枚均匀的硬币，结果只有正面和反面两种，且出现正面和反面的可能性相等；掷一个均匀的骰子，结果有 1、2、3、4、5、6六种，每种结果出现的概率都是 1/6。
二、古典概型的概率计算公式如果一个试验有n 个等可能的结果，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
三、例题解析例 1：从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解：从 5 个球中取出 2 个球的组合数为 C(5, 2) ＝ 10 种。
取出 2 个红球的组合数为 C(3, 2) ＝ 3 种。
所以取出 2 个球都是红球的概率为 3 ／ 10 。
例 2：一个盒子里有 5 个完全相同的球，分别标有数字 1、2、3、4、5，从中随机摸出一个球，求摸到奇数球的概率。
解：总共有 5 个球，摸到每个球的可能性相等。
奇数球有 1、3、5 三个。
所以摸到奇数球的概率为 3 ／ 5 。
例 3：同时掷两个均匀的骰子，求点数之和为 7 的概率。
解：同时掷两个骰子，总的结果数为 6 × 6 ＝ 36 种。
点数之和为7 的情况有（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1），共 6 种。
所以点数之和为 7 的概率为 6 ／ 36 ＝ 1 ／ 6 。
四、古典概型概率计算的注意事项1、要确保试验结果的等可能性。
如果试验结果不是等可能的，就不能使用古典概型的概率计算公式。
2、计算基本事件总数和事件包含的基本事件数时，要注意不重不漏。
3、对于复杂的问题，可以通过分类讨论或分步计算来解决。
古典概率的题型与列举方法
古典概率的题型与列举方法古典概型本质上有三种题型：“依次放回取”、“依次不放回取”与“同时取”，列举的手段有：列“树枝图”和列“数对表”，因此学习古典概率时，要抓住题型并把握列举的方法，下面就古典概型的三种基本题型与列举法的具体操作举例说明，供参考。
一、依次不放回取例1．口袋里装有2个白球和2个黑球，大小形状完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球，求第二个人摸到白球的概率.解析：用a ，b 表示白球，用1，2表示黑球，则所有基本事件如“树枝图”：共有24个基本事件，其中“第二个人摸到白球的事件A 含有12个基本事件，如”树枝图”中加横线部分的事件，因此P （第二个人摸到白球的概率）=121242=。
点评：本题中的摸球问题相当于从4个球中依次不放回取4次，而依次不放回取的关键是取出的球不重复且顺序唯一，因此比较适宜列举手段是“树枝图”。
.二、依次放回取例2．某人有4把钥匙，其中有2把钥匙能把门打开，现每次随机地取1把钥匙试着开门，试过的钥匙不仍掉，求第二次和能打开门的概率。
解析：用a ，b 表示能打开门的钥匙，用1，2表示不能打开门的钥匙，则所有基本事件如右边的 “数对表”，共有16个基本事件，其中“第二次才能打开门”的事件含有4个基本事件，如“数对表”中加横线部分的事件。
因此P （第二次打开门的概率）=41164=。
点评：试过的钥匙不扔掉，相当于从a ，b ，1，2中依次放回取出2个数字或字母，考虑到有不同的顺序，故采用的列举手段是“数对表”，能清晰地分清先后顺序。
三、同时取例3．柜子里有3双不同的鞋，随机地取2只.试求下列事件的概率： ①取出的鞋不成对；②取出的鞋都是左脚；③取出的鞋都是同一只脚；④取出的鞋一只是左脚的一只是右脚的，但不成对。
解析：用A1，A 2分别表示第一双鞋的左右鞋，用B 1，B 2分别表示第二双鞋的左右脚，用C 1，C 2分别表示第三双鞋的左右鞋，则所有基本事件如右边的“数对表”，共有15个基本事件，其中“取出的鞋都是同一只脚的”的事件包含6个基本事件，如“数对表”中加横线部分的事件.。
古典概型的计算公式
古典概型的计算公式好的，以下是为您生成的关于“古典概型的计算公式”的文章：在咱们学习概率的这个大天地里，古典概型那可是个相当重要的角色。
要说这古典概型的计算公式，就像是打开概率世界大门的一把神奇钥匙。
先来说说啥是古典概型。
想象一下，咱有一个抽奖箱，里面的奖券数量有限，而且每张奖券被抽到的可能性都相等，这就是古典概型的一个简单例子。
古典概型的计算公式是：P(A) = n(A) / n(Ω) 。
这里的 P(A) 表示事件A 发生的概率，n(A) 是事件 A 包含的基本事件个数，n(Ω) 则是样本空间Ω包含的基本事件总数。
比如说，咱有一个盒子，里面装着 5 个红球和 3 个白球。
现在从盒子里随机摸一个球，摸到红球的概率是多少？这时候，样本空间Ω就是 8 个球，事件 A 就是摸到红球，红球有 5 个，所以摸到红球的概率P(A) 就是 5÷8 = 5/8 。
我想起之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小同学一脸迷糊地问我：“老师，这公式咋用啊？感觉好难！”我就跟他说：“别着急，咱来做个小游戏。
” 于是我拿出一堆卡片，上面写着不同的数字，然后跟他说：“咱们就假设从这里面随机抽一张，抽到数字3 的概率是多少？” 我们一起数了数总共有 20 张卡片，其中写着数字 3 的有 4 张。
然后按照公式，他自己算出了抽到数字 3 的概率是 4÷20 = 1/5 。
那小同学一下子就乐了，说：“原来这么简单呀！”再举个例子，咱扔骰子。
一个标准的骰子，扔一次，扔出 4 的概率是多少？这骰子一共 6 个面，也就是 6 种可能，而 4 就那一个面，所以扔出 4 的概率就是 1÷6 = 1/6 。
还有像从一副扑克牌里抽一张黑桃的概率，咱们知道扑克牌一共 54 张，其中黑桃 13 张，所以抽到黑桃的概率就是 13÷54 。
总之啊，古典概型的计算公式虽然看起来简单，但是要真正理解透，用得灵活，还得多做练习，多去实际的例子里感受感受。
计算古典概型的概率的基本步骤
计算古典概型的概率的基本步骤
(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；
(2)计算基本事件的总数n；
(3)应用公式()m
P A
n
=计算概率.
古典概型的概率公式：
()A
P A=包含的基本事件的个数
基本事件的总数
.应用公式的关键在于准确计算事件A
所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.
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关键词 ： 样本点 ； 样本空 间； 随机事件 ； 古典概型 ； 古典概率
以数学分析 、 测度论等众多确定 性数学学科 理论 为基础 ，
以研究和揭示 自然 界 、 社会 中广泛 存在 着 的随机 现象 的统计 规律性 ， 以便科学 地 服务 于人类 社会 生产 、 活活动 为已任 ， 生
ｎ １２ … ， 且 ｎ 所包含 的样本点数为 一｛ ， ， ２ ），
＝２ ｎ
再令 Ａ： ｛ 取 一球 的编 号 为奇 数 ）， Ａ一 （ ， ， ， 所 则 １ ３… ２ 一１ ｃ ， Ａ 所包含 的样本 点数 为 ｍ ｎ ） 且 —ｎ
以为进一步学 习数理统计学 。随机过程 等众多 随机 性数学 学
古典概率 的计算 ， 虽然有计算公式 ：
于是 ， 由古典概率计算公式 （） 有 ： １，
附 蒜 一
㈣
Ｐ（ ） Ａ 一
一
７ｎ。 壬
可资利用 ， 它绝不 同于运 用一 般 的数学计 算公 式进 行 的计 但
容易注意到 ： 当 ＝ １时 ， 述 两 种 解 法 是 完 全 相 同 的 。 上
注意设法选取 所谓 的“ 最小 ” 本空 间 ， 样 并使 欲求概率 的事
件 Ａ（ ， ＝ 或者 只要充 分注意利 用概率 的性质这 两方 面 ， ＝ 就有 可能避免复杂 的排 列组 合 的计算 ， 而导致 减少 与克 服古 典 从
概率计算 的困难 。下面 ， 我们 举例 说 明号 １２ …２ ，， ｎ的２ 个相同的球 ， 今从
袋中任取一球 ， 试求此 球的编号为奇数 的概率 。
解： 令 ｉ 表示“ 取一球 的编号 为 这 个结果 （ ＝１ ２ 所 ，， … ，ｎ 且将从装有编号为 １２ …， 的 ２ ２ ）， ，， 个相 同球 的袋 中 任取一球 的所有可能 的取球结果 取作 样本空间 ， 则
含 了该试 验所有 可提 的全部 ２ 个随 机事件 ， 而 则 只包含 了该试验部分可提 的随机 事件 ： ， ， ） ｛Ｊ） ｎｚ ｛ ，ｃ 。特别地 ， ￡ ２ 对 该试验可提 的随机事 件 Ｂ－ ｛ － 所取一球 的编 号为 １ 显然有 Ｂ ）， ｎ 而无 Ｂ ｃ ， ｚ 因此 ， 对 而言 ，Ｂ是 一随机 事件 ， 自然 可
ｍ 的计算 ， 除有 时能借助 于古 典概型 的样本空 间 ｎ及欲求 概 率的事件 Ａ 的“ 明确表示 ” 而获得外 ， 一般 要用 到排 列组合 的
计算方法和技巧 ， 由此就 自然 给古典 概率 的计算 带来 相 当大 的困难 。不过 ， 别地 ， 时在具 体计 算 量 与 ｍ一 ， 要 特 有 时 只
算 。因为古典概率 的计算重 点并 不在其计 算公式 （ ） １ 本身 ， 而
在其计算公式 （） １ 中所 涉及 的量 与 ？ ｒ 的计算 。对 量 与 ｔ
因为这 时就该试验 而言 ， 选取 的样 本 空间 ｎ 所 与 实质 上
是完全一 样 的， 因而它们都 包含该 试验所 有可提 的 ２ ＝４个 。
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数理 医药学杂急
文 章 编 号 ：０ ４４ ３ （０ ８ ０— ５３０ １ ０ —３ ７ ２０ ） ５０ ２—５ 中图 分 类 号 ：Ｒ １ ３１ 文献标识码 ： Ａ
２０ ０ ８年第 ２ 卷 第 ５ １ 期
・
方 法评 介 ・
计算古典概 率的若干简化方法
随机事件 ： ， ｛ ） ｛ ） ０ ，１ ，２ 与 ， ， ） ｛ ２ ｚ ｛ ，０ ｝。 ９ 当 ＞ １ ， 时 上述 两种 解法是 不相 同的 ， 无 疑都是 正 确 但
的。因为这时就该试验而 言 ， 所选取 的样本空 间 ｎ 与 是 不
完全相 同的， 同的是它们都包含 了欲求概率 的事件 Ａ ， 共 当然 还都包含有不可能事 件 和它们 自身 ； 而所 不 同的是 ： 包
思 研 讨 的 问题 。
此外， 根据对称性亦即等可能恒 ， 这里的例 １ 亦可采用下
述方法解之 。
事实上 ， 令 表 示“ 取一 球 的编 号 为奇 数” 个 结果 ， 所 这 表示“ 所取一球的编 号为偶数 ” 这个结果 ， 这试验 的样 本 则
空 间这 时 可 表 示 为 ： ２ ｛ ，Ｊ Ａ－ ｛ １（ 。 一 （ ）， － 鲫 ）二 ｔ ２ 二
科打下必备理论基 础 的概率 论 ， １ 纪 由于博 彩事 业 、 自 ７世 保
于是 ， 由古典概率计算公式 （） 有 Ｐ（ 一 一 １ １， Ａ） ｎ
险事业等 的发展诞 生 以来 ， 始终是 理 工农 医师 经管 等专业 学 生的必修课 在该课 程 中， 基本 的重要 经典 内容 当首推 古 最 典概型 ， 其中 ， 古典概率 的计算则 是我们 在本课程 教学 中碰到 的首个重点与难点 。突 出重点 ， 化解难 点 ， 疑是值 得我们 深 无
简化方法 。
１ 样 本 空 间 的 明 确 表 示 计 算 法
谈其概率 ， 且由古典概率计算公式 （ ） 可计算 出其概率 为 Ｐ １还 （ ： ｉ２ ； 对 而言 ， Ｂ） ／ｎ 而 Ｂ已不是 一随 机事件 ，即 Ｂ
空间为 ｎ ， 而不能选取样本空问为 ， 则 ， 否 Ｂ 。
李 荣 江
（ 西南 大 学数学 与 统计学 院
摘
重 庆 ４０ １ ） ０ ７５
要 ： 基 于古典概率计算这个概率论学科教学 中碰到的首个重点与难点 ， 出了突出重点 ， 提 化解难 点的若 干简化方法 。将 古
典概率 的计算 明确分解为两个步骤完成 ： 第一步是根据欲求概率的事件 Ａ 的本质特征选取适 当的样本空间 ｎ ， 使它满 足“ 有限 、 可 等