第二章第9讲知能训练轻松闯关

x＋1，x≤0.
(1)求 g[f(1)]的值； (2)若方程 g[f(x)]－a＝0 有 4 个实数根，求实数 a 的取值范围． 解：(1)利用解析式直接求解得 g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令 f(x)＝t，则原方程化为 g(t)＝a，易知方程 f(x)＝t 在 t∈(－∞，1)内有 2 个不同的 解， 则原方程有 4 个解等价于函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 的图象有 2 个不同的交点，作出函数 5 y＝g(t)(t<1)的图象(图略)，由图象可知，当 1≤a< 时，函数 y＝g(t)(t<1)与 y＝a 有 2 个不同 4 5 的交点，即所求 a 的取值范围是 1，4. 4． 已知二次函数 f(x)的最小值为－4， 且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3， x∈R}． (1)求函数 f(x)的解析式； f（x） (2)求函数 g(x)＝ －4ln x 的零点个数． x 解：(1)因为 f(x)是二次函数，且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}， 所以 f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且 a>0. 所以 f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝x2－2x－3. x2－2x－3 3 (2)因为 g(x)＝ －4ln x＝x－ －4ln x－2(x>0)， x x 3 4 （x－1）（x－3） 所以 g′(x)＝1＋ 2－ ＝ . x x x2 令 g′(x)＝0，得 x1＝1，x2＝3. 当 x 变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下： x g′(x) g(x) (0，1) ＋ ↗ 1 0 极大值 (1，3) － ↘ 3 0 极小值 (3，＋∞) ＋ ↗
m∈R， 5 1 m<－1 ，即－ <m<－ . 2 6 2 m>－5. 6
5 1 故 m 的取值范围是 －6，－2.
1 m<－ ， 2
x 2 －1，x≤0， 1．已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)＝ 若方程 f(x)＝x＋a 有两个不 f（x－1），x>0，
)
x＋2，x>a， 6．(2016· 郑州第一次质量预测)已知函数 f(x)＝ 2 函数 g(x)＝f(x)－2x x ＋5x＋2，x≤a，
恰有三个不同的零点，则实数 a 的取值范围是( ) A．[－1，1) B．[0，2] C．[－2，2) D．[－1，2)
2－x，x>a， 解析：选 D.由题意知 g(x)＝ 2 因为 g(x)有三个不同的零点，所以 2－x x ＋3x＋2，x≤a，
1 2 故函数 g(x)＝f(x)－ 的零点所构成的集合为－1， ， 2. 2 2
答案：－1，


2 ， 2 2
1|x| 9．若函数 y＝ 2 －m 有两个零点，则 m 的取值范围是________． 1|x| 解析：在同一直角坐标系内，画出 y1＝ 2 和 y2＝m 的图象，如图所示，由于函数有两 个零点，故 0<m<1.
答案：(0，1) 1 x 10 ． (2016· 河北省衡水中学模拟 ) 已知函数 f(x) ＝ 2 ， g(x) ＝ log 1 x ，记函数 h(x) ＝
2
g（x），f（x）≤g（x）， 则函数 F(x)＝h(x)＋x－5 的所有零点的和为________． f（x），f（x）>g（x），
当 0<x≤3 时，g(x)≤g(1)＝－4<0.
行胜于言
又因为 g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而 g(x)在(3，＋∞)上只有 1 个零点． 故 g(x)在(0，＋∞)上只有 1 个零点．
x 2 ，x≤0， 1 8． 已知函数 f(x)＝ 则函数 g(x)＝f(x)－ 的零点所构成的集合为________． 2 |log2x|，x>0，
行胜于言
x≤0， x>0， 1 2 解析：令 g(x)＝0，得 f(x)＝ ，所以 x 1 或 1 解得 x＝－1 或 x＝ 2 或 x＝ 2 2 ＝2 |log2x|＝2， 2，
行胜于言
1．(2016· 皖北四校联考(一))已知函数 y＝f(x)的图象是连续不断的曲线，且有如下的对 应值表： x y 1 124.4 2 33 3 －74 4 24.5 5 －36.7 6 －123.6
则函数 y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( ) A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 解析：选 B.依题意，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，根据零点存在性定理可知，f(x)在 区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上均至少含有一个零点，故函数 y＝f(x)在区间[1，6]上的零点至 少有 3 个． 2．(2016· 太原模拟)已知实数 a>1，0<b<1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所在的区间是 ( ) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 1 解析：选 B.因为 a>1，0<b<1，f(x)＝ax＋x－b，所以 f(x)为增函数，f(－1)＝ －1－b<0， a f(0)＝1－b>0，则由零点存在性定理可知 f(x)在区间(－1，0)上存在零点． 3．若函数 f(x)＝ax2－x－1 有且仅有一个零点，则实数 a 的值为( ) A．0 1 C．0 或－ 4 1 B．－ 4 D．2
若方程 f(x)＝x＋a 有两个不同的实数根，则函数 f(x)的图象与直线 y＝x＋a 有两个不同
行胜于言
交点， 故 a<1，即 a 的取值范围是(－∞，1)． 2．(2016· 南宁模拟)已知函数 f(x)＝ln x＋3x－8 的零点 x0∈[a，b]，且 b－a＝1，a，b∈ * N ，则 a＋b＝________． 解析：因为 f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数 f(x)＝ln x＋3x－8 在(0，＋∞)上为增函数， 所以 x0∈[2，3]，即 a＝2，b＝3. 所以 a＋b＝5. 答案：5 3．(2016· 北京海淀区模拟)已知函数 f(x)＝－x2－2x， 1 x＋4x，x>0， ＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当 a＝1，b＝－2 时，求函数 f(x)的零点； (2)若对任意 b∈R，函数 f(x)恒有两个不同零点，求实数 a 的取值范围． 解：(1)当 a＝1，b＝－2 时，f(x)＝x2－2x－3，令 f(x)＝0，得 x＝3 或 x＝－1. 所以函数 f(x)的零点为 3 或－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0 有两个不同实根，所以 b2－4a(b－1)>0 恒成立，即 对于任意 b∈R，b2－4ab＋4a>0 恒成立， 所以有(－4a)2－4×(4a)<0⇒a2－a<0， 解得 0<a<1， 因此实数 a 的取值范围是(0，1)．
解析：选 C.当 a＝0 时，函数 f(x)＝－x－1 为一次函数，则－1 是函数的零点，即函数 仅有一个零点； 当 a≠0 时，函数 f(x)＝ax2－x－1 为二次函数， 并且仅有一个零点， 则一元二次方程 ax2 1 －x－1＝0 有两个相等实根，则 Δ＝1＋4a＝0，解得 a＝－ . 4 1 综上，当 a＝0 或 a＝－ 时，函数仅有一个零点． 4 4．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( A．1 B．2 C．3 D．4 )
－
同实根，则 a 的取值范围为( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(0，1) D．(－∞，＋∞) －x 解析：选 A.x≤0 时，f(x)＝2 －1，0<x≤1 时，－1<x－1≤0， － － f(x)＝f(x－1)＝2 (x 1)－1. 故 x>0 时，f(x)是周期函数， 如图所示．
行胜于言
解析：选 B.(数形结合法)因为 a>0，所以 a ＋1>1. 而 y＝|x2－2x|的图象如图，
2
所以 y＝|x2－2x|的图象与 y＝a2＋1 的图象总有两个交点． 5． 已知三个函数 f(x)＝2x＋x， g(x)＝x－2， h(x)＝log2x＋x 的零点依次为 a， b， c 则( A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b 1 1 解析：选 B.由于 f(－1)＝ －1＝－ <0. 2 2 f(0)＝1>0， 且 f(x)为单调递增函数， 故 f(x)＝2x＋x 的零点 a∈(－1，0)． 因为 g(2)＝0，所以 g(x)的零点 b＝2； 1 1 1 因为 h 2＝－1＋2＝－2<0， h(1)＝1>0. 且 h(x)为单调递增函数， 1 所以 h(x)的零点 c∈ 2，1， 因此 a<c<b.
行胜于言
12．已知关于 x 的二次方程 x ＋2mx＋2m＋1＝0 有两根，其中一根在区间(－1，0)内， 另一根在区间(1，2)内，求 m 的取值范围．
2
解：由条件，抛物线 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 与 x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2) 内，如图所示，得 f（0）＝2m＋1<0， f（－1）＝2>0， f（1）＝4m＋2<0，⇒ f（2）＝6m＋5>0
＝0 在 x>a 时有一个解，由 x＝2 得 a<2.由 x2＋3x＋2＝0 得 x＝－1 或 x＝－2，则由 x≤a 得 a≥－1.综上，a 的取值范围为[－1，2)，所以选 D. （x－2）ln x 7．函数 f(x)＝ 的零点个数是________． x－3 解析：函数的定义域是(3，＋∞)，且由 f(x)＝0 得 x＝2 或 x＝1，但 1∉(3，＋∞)，2∉(3， ＋∞)，故 f(x)没有零点． 答案：0