2018年山东中考数学试题研究题库--几何动态探究问题 动点+动面

几何动态探究问题—动点+动面1.已知在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE
⊥DE，AB＝12，BE＝16，F为线段BE上一点，EF＝7，连接AF．如图①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM＝90°，NG＝6，MG＝8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图②，△GMN从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D 匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问题：
第１题图
（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；（3）在整个运动过程中，设△GMN与△AEF重叠部分的面积为S．请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围; (4)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使得S:S△GMN=1:2?若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由. 解：（1）在Rt△GMN中，GN＝6，GM＝8，∴MN＝10．由题意，易知点G的运动线路平行于BC．如解图①所示，过点G作BC的平行线，分别交AE、AF于点Q、R．
第1题解图①
∵∠AED ＝∠EGM ＝90°，∴AE//GM ． ∴四边形QEMG 为平行四边形， ∴QG ＝EM ＝10， ∴t ＝
1
10
＝10秒； （2）存在符合条件的点P ．
在Rt △ABE 中，AB ＝12，BE ＝16，由勾股定理得：AE ＝20．设∠AEB ＝θ，则sin θ＝5
3，cos θ＝5
4， ∵NE ＝t ，∴QE ＝NE •cos θ＝54t ， AQ ＝AE −QE ＝20−5
4t ，
△APQ 是等腰三角形，有三种可能的情形： ①AP ＝PQ ．如解图②所示：
第1题解图②
过点P 作PK ⊥AE 于点K ，则AK ＝AP •cos θ＝5
4t ．
∵AQ ＝2AK ，∴20−54t ＝2×5
4t ， 解得t ＝
3
25； ②AP ＝AQ ．如解图③所示：
第1题解图③
有t ＝20−54t ，
解得t ＝9
100
；
③AQ ＝PQ ．如解图④所示：
第1题解图④
过点Q 作QK ⊥AP 于点K ，则AK ＝AQ •cos θ＝
441620165525t t ⎛⎫-⨯=- ⎪
⎝
⎭． ∵AP ＝2AK ，∴t ＝2（16−
t 25
16
），
解得：t ＝
57
800
． 综上所述，当t ＝325，9100或57
800秒时，存在点P ，使△APQ 是等腰三角形．
（3）如解图①所示，点N 到达点F 的时间为t ＝7； 由（1）知，点G 到达点Q 的时间为t ＝10； QE ＝10×5
4＝8，AQ ＝20−8＝12， ∵GR//BC ，∴EF QR ＝AE AQ ，即7QR ＝2012
， ∴QR ＝
5
21
． ∴点G 到达点R 的时间为t ＝10＋
521＝5
71； 点N 到达终点B 的时间为t ＝16． 则在△GMN 运动的过程中： ①当0≤t ＜7时，如解图⑤所示：
第1题解图⑤ 第1题解图⑥
QE ＝NE •cos θ＝5
4t ，QN ＝NE •sin θ＝5
3
t ，
S ＝21QE •QN ＝225
6
535421t t t =⋅⨯，
②当7≤t ＜10时，如解图⑥所示： 设QN 与AF 交于点I ， ∵tan ∠INF ＝
34=GN GM ，tan ∠IFN ＝3
4
=BF AB ， ∴∠INF ＝∠IFN ，△INF 为等腰三角形．
底边NF 上的高h ＝()()73
23
472
1tan 2
1-=⨯-⨯=∠⋅t t INF NF ．
S △INF ＝()()()2731
73272
121-=-⨯-⨯=⋅t t t h NF ，
∴S ＝S △QNE −S △INF ＝()3
49
314757731256222-+-=--t t t t ；
③当10≤t ＜5
71
时，如解图⑦所示：
第1题解图⑦ 第1题解图⑧ 由②得：S △INF ＝()273
1-t ，
∴S ＝S △GMN −S △INF ＝24−()3
233143173122++-=-t t ； ④当
5
71
≤t ≤16时，如解图⑧所示：
FM ＝FE −ME ＝FE −（NE −MN ）＝17−t ． 设GM 与AF 交于点I ，过点I 作IK ⊥MN 于点K ． ∵tan ∠IFK ＝
3
4
=BF AB ， ∴可设IK ＝4x ，FK ＝3x ，则KM ＝3x ＋17−t ． ∵tan ∠IMF ＝431734=-+=t x x KM IK ，解得x ＝()t -177
3
． ∴IK ＝4x ＝
()t -177
12
． ∴S ＝()2177
6
21-=⋅t IK FM ．
综上所述，S 与t 之间的函数关系式为：
2
2226(07)2571449(710)25331142371(10)3335671
(t 17)(16)
7
5t t t t t s t t t t ⎧≤<⎪⎪
⎪-+-≤<⎪=⎨
⎪-++≤<⎪⎪⎪-≤≤⎩； （4）存在，理由如下：
当S :S △GMN =1:2时，S =⨯2121
×MG ×NG =12,
当S =12时，代入S=25
6
t 2,得t =25（舍去）,
代入S= 3493147572-+-t t ,得t=25-707
15
，
代入S= ，3
23314312++
-t t 得t=13或t=1（舍去）， 代入S=()2177
6-t ,得t =1417±（舍去）， ∴存在满足条件的时刻t 的值为13.
２.如图，已知正方形ABCD 的边长与Rt △PQR 的
直角边PQ 的长均为4cm ，QR =8cm ，AB 与QR 在同一直线
l 上，开始时点Q 与点A 重合，让△PQR 以1cm /s 的速度在
直线l 上运动，同时M 点从点Q 出发以1cm /s 沿QP 运动，
直至点Q 与点B 重合时，都停止运动，设运动的时间为t （s ），
四边形PMBN 的面积为S （cm 2
）．
第2题图 （1）当t =1s 时，求S 的值；
（2）求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范
围（不考虑端点）；
（3）是否存在某一时刻t ，使得四边形PMBN 的面积S=
4
1
S △PQR .若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由； （4）是否存在某一时刻t ，使得四边形PMBN 为平行四边形？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由． 解：（１）当t =1时，AQ =MQ =1,AB =PQ =4, ∴MP =QB =4-1=3, ∵QR =8, ∴BR =8-3=5,
∵在Rt △PQR 中，PQ =4,QR =8, ∴tan ∠PRQ =
QR PQ =2
1
, ∴
21
=BR BN , ∴2
1
5=BN , ∴BN =2.5， S 四边形PMBN =
4
33
23)5.23(=⨯+(0≤t ≤4); （2）由题意得，
AQ =MQ =t ,PM =BQ =4-t ,BR =8-(4-t )=4+t , ∴BN =2+2
1t ,
∴S 四边形PMBN =142(4)
22
t t t ⎛
⎫-++- ⎪⎝⎭
=1244
1
2+-t t (0<t<4);
（3）由题意得，
842
1
41124412⨯⨯⨯=+-t t ， 解得t 1=8+24(舍去)，t 2=8-24, ∴t 的值为8-24； （4）存在，理由如下:
∵四边形PMBN 是平行四边形， ∴PM =BN ,
∴PM =4-t ,BN =2+2
1t , ∴4-t =2+2
1t ,
∴t =34,
∴t =3
4
时，四边形PMBN 是平行四边形.。