2019届高三数学(文)一轮复习课件：第三章导数及应用3-2导数的应用(一)单调性

第2课时 导数的应用(一)——单调性
…2018 考纲下载… 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系． 2．导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于 研究函数的单调性．每年高考都从不同角度考查这一知识点，往 往与不等式结合考查．
请注意 利用导数求单调性是高考的重要热点： 1．若 f(x)在区间(a，b)上为减函数，则不能得出在(a，b)上 有 f′(x)<0； 2．划分单调区间一定要先求函数定义域； 3．单调区间一般不能并起来．
4 2．(课本习题改编 ) 当 x>0 时， f(x)＝x＋ x的单调减区间是 ( ) A．(2，＋∞) C．( 2，＋∞)
答案 解析 B 4 （x－2）（x＋2） f′(x)＝1－x2＝ <0， x2
B．(0，2) D．(0， 2)
又∵x>0，∴x∈(0，2)，∴选 B.
3．函数 y＝xcosx－sinx 在下面哪个区间上是增函数( π 3π A．( 2 ， 2 ) 3π 5π C．( 2 ， 2 ) B．(π ，2π ) D．(2π ，3π )
方法三：f′(x)＝x2－ax＋1，Δ＝a2－4， ①a2－4≤0，即－2≤a≤2 时，f′(x)≥0 恒成立， 此时 f′(x)单调递增． ②a2－4>0 即 a>2 或 a<－2 时， a－ a2－4 a＋ a2－4 令 f′(x)<0，此时 <x< 2 2
a－ a2－4 a＋ a2－4 ∴f(x)减区间为( ， ) 2 2 a－ a2－4 a＋ a2－4 1 由题意(2，3)⊆( ， ) 2 2 a－ ∴ a＋ a2－4 1 ≤2， 2 a2－4 ≥3 2 10 解得 a≥ 3
答案 解析 (0，2] a2 由 y′＝1－x2≥0，得 x≤－a 或 x≥a.
a2 ∴y＝x＋ x 的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)． ∵函数在[2，＋∞)上单调递增， ∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又 a>0，∴0<a≤2.
5．已知函数 f(x)＝x2(x－a)． (1)若 f(x)在(2，3)上单调，则实数 a 的取值范围是________； (2)若 f(x)在(2， 3)上不单调， 则实数 a 的取值范围是________．
答案 解析 9 (1)(－∞，3]∪[2，＋∞) 9 (2)(3，2)
2a (2)由 f(x)＝x3－ax2， 得 f′(x)＝3x2－2ax＝3x(x－ 3 )． 若
2a 3 ≠0， 9 f(x)在(2，3)上不单调，则有 可得 3<a<2. 2<2a<3， 3
x3 a 2 1 6．函数 f(x)＝ 3 －2x ＋x＋1 在区间(2，3)上单调递减，求实 数 a 的范围．
(3)定义域为 R. f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4 1 ＝4(x＋2)(e －2)．
答案 解析 10 a≥ 3 方法一：f′(x)＝x2－ax＋1.
1 1 ∵f(x)在(2，3)上单调递减，∴f′(x)≤0 在(2，3)上恒成立， 1 即 x2－ax＋1≤0 恒成立，∴ax≥x2＋1，∴a≥(x＋x)max 1 令 g(x)＝x＋x
1 g(x)在(2，1)上减，在(1，3)上增． 10 1 10 当 x＝3 时，g(3)＝ 3 >g(2)，∴a≥ 3 . 1 方法二：由题意 f′(x)＝x －ax＋1，∵函数 f(x)在区间(2，

1 3) 上 单 调 递 减 ， ∴ f ′ (x)≤0 在 区 间 ( 2 ， 3) 上 恒 成 立 ， ∴ 1 1 1 f′（ ）≤0， － a＋1≤0， 10 2 4 2 即 解得 a≥ 3 ，∴实数 a 的取值 f′（3）≤0， 9－3a＋1≤0， 10 范围为[ 3 ，＋∞)．
)
答案 解析 有下表：
B 方法一：(分析法)计算函数在各个端点处的函数值，
x
π 2
π
3π 5π 2π 2 2 1
3π
y －1 －π
2π －1 －3π
由表中数据大小变化易得结论 B 项． 方法二：(求导法)由 y′＝－xsinx>0，则 sinx<0，只有 B 项 符合，故选 B 项．
a2 4． 若 y＝x＋ x (a＞0)在[2， ＋∞)上是增函数， 则 a∈________．
授 人 以 渔
题型一
求函数的单调区间
求下列函数的单调区间． 1 (1)f(x)＝xlnx； 1 (2)f(x)＝4x2＋x； (3)f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x； sinx (4)f(x)＝ . 2＋cosx
【解析】 －（lnx＋1） （xlnx）2
(1) 定 义 域 为 {x|x>0 且 x≠1} ， f ′ (x) ＝
1． 若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a， b]上是先增后减的函数， 则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
答案 C 解析 根据题意 f′(x)在[a， b]上是先增后减的函数， 则在函 数 f(x)的图像上，各点的切线斜率是先随 x 的增大而增大，然后 随 x 的增大而减小，由四个选项的图形对比可以看出，只有选项 C 满足题意．
1 由 f′(x)>0，解得 0<x<e 1 由 f′(x)<0，解得 e<x<1 或 x>1 1 ∴f(x)增区间为(0，e )， 1 减区间为( e，1)，(1，＋∞)
1 (2)定义域为{x|x≠0}，y′＝8x－x2， 1 1 1 3 令 y′＞0，得 8x－x2＞0，即 x ＞8， ∴x＞2. 1 ∴f(x)单调递增区间为(2，＋∞)， 1 单调递减区间为(－∞，0)，(0，2)．
课前自助餐
函数的单调性 (1)设函数 y＝f(x)在某个区间内可导，若 f′(x)>0，则 f(x)为 增函数；若 f′(x)<0，则 f(x)为减函数． (2)求可导函数 f(x)单调区间的步骤： ①确定 f(x)的定义域； ②求导数 f′(x)； ③令 f′(x)>0(或 f′(x)<0)，解出相应的 x 的范围； ④当 f′(x)>0 时，f(x)在相应区间上是增函数，当 f′(x)<0 时，f(x)在相应区间上是减函数．