数学分析学期论文：函数的微分

题目：函数的微分
学院：数学与统计学院
专业：信息与计算科学
姓名、学号： xxx 20101910012 任课教师： xxx
时间： 2010年秋季学期
摘要
利用泰勒公式直接定义一元函数的高阶微分，避免了教材中用上一阶微分在定义下一阶微分的情况。

再一次讨论了复合函数高阶微分不在具有形式不变性。

此外，我还讨论了教材中没有的参数方程的微分。

关键词：微分高阶微分参数方程
函数的微分
在教材中对高阶微分的定义是用一阶微分的微分定义二阶微分，用二阶微分的微分定义三阶微分，以此类推，得出函数的n 阶微分为()()()n n n d f x f x dx =。

而这种方法显得很繁琐，且感觉上也不是很好，为此引入一下定义。

一、一元函数的高阶微分
定义1 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量
00()()y f x x f x ∆=+∆-，
如果其增量可表示为
()y A x o x ∆=∆-∆，
其中A 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处一阶可微，并称A x ∆为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分，记作dy ，即
0|x x dy A x ==∆。

可证 A=0'()f x 即
00|'()x x dy f x dx ==。

定义2 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量
00()()y f x x f x ∆=+∆-
如果其增量可表示为
()2
()2!
B y A x x o x ∆=∆+
∆-∆， 其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处二阶可微，并称A x ∆，2()B x ∆为
函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分，记作2,dy d y ，即
0|x x dy A x ==∆，022|()x x d y B x ==∆。

可证
00'(),''()A f x B f x ==
即
00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =。

根据以上形式，我们可以借助第五章的泰勒公式来定义函数的更高阶的微分
定义3 设函数()y f x =在点0x 的某领域0()U x 内有定义，给变量x 在0x 处一个增量x ∆，且0()o x x U x +∆∈时，相应地函数有增量
00()()y f x x f x ∆=+∆-
如果其增量可表示为
()()()2212!!
n n
n A A y A x x x o x n ∆=∆+
∆++∆-∆ ， 其中A ，B 不依赖于x ∆，则称函数()y f x =在点0x 处n 阶可微，并称22
23
2
22
2
tan (tan )'tan (cos )'
sec tan 3cos sin dy tdx
t d y dx td x a t t dx td x a t t
=--=--=
--为函数()y f x =在点0x 处的一阶微分、二阶微分……n 阶
微分，记作2,dy d y ，……，n d y 即
002212|,|()x x x x dy A x d y A x ===∆=∆，……，0|()n n x x n d y A x ==∆。

又根据函数()f x 在0x x =点的泰勒公式
()()()()02
000000''()()()'()()()2!!
n
n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x n =+-+-++-+ ，
得
()()()()02
000000''()()()'()()()2!!
n
n
n f x f x y f x f x f x x x x x x x o x
n ∆=-=-+-++-+∆
即
()()1020',''A f x A f x ==，……，()()0n
n A f x =
所以
00|'()x x dy f x dx ==，()220''d y f x dx =，……，()(
)
()00|n
n n x x d y f x dx ==。

注：
1．在泰勒公式中0x x -与x ∆是等价的。

2．因为()n
o x ∆是()n x ∆的高阶无穷小量，所以，在等式的右边加或减去一个()n
o x ∆都不会影响到的精确度。

二、微分的运算法则
1．()()()()d f x g x df x dg x ±=±⎡⎤⎣⎦；
2．()()()()()()d f x g x g x df x f x dg x ∙=+⎡⎤⎣⎦；
3．()()()()()()()2
f x
g x df x f x dg x d g x g x ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦
()()0g x ≠； 4．复合函数的微分
()()()()()()''''dy dy du
f g x g x dx du dx dy f g x g x dx =∙=∴=
例 求的()()
u x y v x =二阶微分。

解：()()()()
()
2
v x du x u x dv x dy v
x -=
()()()()()()()()()()()()()()()()()
2222
42()
v x dv x du x v x d u x du x dv x u x d v x v x dv x v x du x u x dv x d y v x +----=
()()()()()()()()()()()
2232()
v x v x d u x d v x dv x v x du x u x dv x v x ---=。

对于一般函数，其n 阶微分可表示为
()()()n n
n d y f x dx =. 对于复合函数的一阶微分，也可表示为
()'dy f u du =，
并称这种形式为一阶微分的形式不变性。

但是，复合函数的高阶微分不在具有形式不变性。

对于复合函数
()y f u =， 有
()()()()()()222
''''''.d y d f u du df u du f u d du f u du f u d u ==+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
当且仅当2d u =0时，函数()y f u =具有形式不变性。

此时，只可能有()u x ax b =+。

而对于复合函数，()u x ax b =+只是()u x 的一种形式，即：在复合函数 ()y f u =中，二阶以上可微，就有20d u ≠。

当2
0d u =时，有
()()()32322'''''''d y d f u du f u du f u d u ⎡⎤==+⎣⎦。

而此时，有22
d u
所以，复合函数的高阶微分不在具有形式不变性。

注：
式中的f 一定三阶可微。

三、参数方程的微分
在找到高阶微分的又一定义及讨论了复合函数的高阶微分后，我想讨论一下参数方程的微分。

解参数方程
{()(),
x t y t ϕψ==
的二阶微分。

解：因为，
()()
'''t dy
y dx t ψϕ==， 所以，
'dy y dx = ()1
()
()
''t dx t ψϕ=
， 22(')'''()d y d y dx y dx y d dx ==+ ()2
()()()()()22
3'''''''()(')'()
t t t t t dx d x x t ψϕψϕψϕϕ-=
+。

有（1）、（2）可知参数方程和复合函数有相似的性质，即：参数方程也具有一阶微分
的形式不变性和高阶微分不在具有形式不变性。

例：设⎩⎨⎧==.
sin ,cos 3
3t a y t a x ,求y d dy 2
,. 解：因为，
223sin cos tan 3cos sin dy a t t t dx a t t
==--， 所以，
tan dy tdx =- ，
22
23
(tan )'tan (cos )'
t d y dx td x a t -=- 2222
sec tan 3cos sin t dx td x a t t
-=--。

参考文献
[1]数学分析习题集解，吉米多维奇原著，费定晖等编著，山东大学出版社，2005.
[2]论如何加强数学人才在求职中的优势，杨汉春，张庆，高等理科教育，No.4（2003）：
22－26.。