高三数学(理人教版)二轮复习高考小题标准练：(九) Word版含解析
高考数学(理)二轮练习【专题6】(第2讲)椭圆、双曲线、抛物线(含答案)
第2讲椭圆、双曲线、抛物线考情解读 1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质|x|≤a，|y|≤b |x|≥a x≥0热点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 若椭圆C ：x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，且|PF 2|＝4则∠F 1PF 2等于( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°(2)已知抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线x 2－y 2＝－12的一个焦点重合，且在抛物线上有一动点P 到x 轴的距离为m ，P 到直线l ：2x －y －4＝0的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 思维启迪 (1)△PF 1F 2中利用余弦定理求∠F 1PF 2；(2)根据抛物线定义得m ＝|PF |－1.再利用数形结合求最值． 答案 (1)C (2)5－1解析 (1)由题意得a ＝3，c ＝7，所以|PF 1|＝2. 在△F 2PF 1中，由余弦定理可得cos ∠F 2PF 1＝42＋22－(27)22×4×2＝－12.又因为cos ∠F 2PF 1∈(0°，180°)，所以∠F 2PF 1＝120°. (2)易知x 2＝2py (p >0)的焦点为F (0,1)，故p ＝2， 因此抛物线方程为x 2＝4y .根据抛物线的定义可知m ＝|PF |－1，设|PH |＝n (H 为点P 到直线l 所作垂线的垂足)， 因此m ＋n ＝|PF |－1＋|PH |.易知当F ，P ，H 三点共线时m ＋n 最小， 因此其最小值为|FH |－1＝|－1－4|5－1＝5－1.思维升华 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，画出合理草图．(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( ) A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( ) A ．y 2＝9x B ．y 2＝6x C ．y 2＝3x D ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝4b 2.∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20. ∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|， ∴∠BCB 1＝30°，∴∠A 1AF ＝60°. 连接A 1F ，则△A 1AF 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.热点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)已知离心率为e 的双曲线和离心率为22的椭圆有相同的焦点F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，若∠F 1PF 2＝π3，则e 等于( )A.52 B.52 C.62D ．3 (2)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，22 B.⎝⎛⎦⎤0，33 C.⎣⎡⎭⎫22，1D.⎣⎡⎭⎫33，1思维启迪 (1)在△F 1F 2P 中利用余弦定理列方程，然后利用定义和已知条件消元；(2)可设点P 坐标为(a 2c ，y )，考察y 存在的条件．答案 (1)C (2)D解析 (1)设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，焦距为2c ，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，且不妨设m >n ，由m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2得m ＝a 1＋a 2，n ＝a 1－a 2. 又∠F 1PF 2＝π3，∴4c 2＝m 2＋n 2－mn ＝a 21＋3a 22，∴a 21c 2＋3a 22c 2＝4，即1(22)2＋3e 2＝4，解得e ＝62，故选C. (2)设P ⎝⎛⎭⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫b 22c ，y 2， 当2QF k 存在时，则1F P k ＝cy a 2＋c 2，2QF k ＝cyb 2－2c 2， 由12F P QF k k ⋅＝－1，得 y 2＝(a 2＋c 2)·(2c 2－b 2)c 2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当2QF k 不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0， 此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫33，1.思维升华 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，以OF 为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A 、B ，若(AO →＋AF →)·OF →＝0，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3(2)(2014·课标全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B ．3 C.3m D ．3m 答案 (1)C (2)A解析 (1)设OF 的中点为C ，则 AO →＋AF →＝2AC →，由题意得， 2AC →·OF →＝0，∴AC ⊥OF ，∴AO ＝AF ， 又∠OAF ＝90°，∴∠AOF ＝45°， 即双曲线的渐近线的倾斜角为45°， ∴ba ＝tan 45°＝1， 则双曲线的离心率e ＝1＋(ba)2＝2，故选C.(2)双曲线C 的标准方程为x 23m －y 23＝1(m >0)，其渐近线方程为y ＝±33m x ＝±m mx ，即my ＝±x ，不妨选取右焦点F (3m ＋3，0)到其中一条渐近线x －my ＝0的距离求解，得d ＝3m ＋31＋m＝ 3.故选A.热点三 直线与圆锥曲线例3 过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 作斜率为2的直线，与椭圆的另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ，已知AB →＝613BC →.(1)求椭圆的离心率；(2)设动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ，且与直线x ＝4相交于点Q ，若x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，求椭圆的方程．思维启迪 (1)根据AB →＝613BC →和点B 在椭圆上列关于a 、b 的方程；(2)联立直线y ＝kx ＋m 与椭圆方程，利用Δ＝0，PM →·QM →＝0求解．解 (1)∵A (－a,0)，设直线方程为y ＝2(x ＋a )，B (x 1，y 1)， 令x ＝0，则y ＝2a ，∴C (0,2a )， ∴AB →＝(x 1＋a ，y 1)，BC →＝(－x 1,2a －y 1)，∵AB →＝613BC →，∴x 1＋a ＝613(－x 1)，y 1＝613(2a －y 1)，整理得x 1＝－1319a ，y 1＝1219a ，∵点B 在椭圆上，∴(1319)2＋(1219)2·a 2b 2＝1，∴b 2a 2＝34，∴a 2－c 2a 2＝34，即1－e 2＝34，∴e ＝12.(2)∵b 2a 2＝34，可设b 2＝3t ，a 2＝4t ，∴椭圆的方程为3x 2＋4y 2－12t ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2－12t ＝0y ＝kx ＋m ，得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12t ＝0，∵动直线y ＝kx ＋m 与椭圆有且只有一个公共点P ， ∴Δ＝0，即64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12t )＝0， 整理得m 2＝3t ＋4k 2t ，设P (x 1，y 1)则有x 1＝－8km 2(3＋4k 2)＝－4km 3＋4k 2， y 1＝kx 1＋m ＝3m 3＋4k 2，∴P (－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2)， 又M (1,0)，Q (4,4k ＋m )，∵x 轴上存在一定点M (1,0)，使得PM ⊥QM ，∴(1＋4km 3＋4k 2，－3m3＋4k 2)·(－3，－(4k ＋m ))＝0恒成立， 整理得3＋4k 2＝m 2.∴3＋4k 2＝3t ＋4k 2t 恒成立，故t ＝1. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.思维升华 待定系数法是求圆锥曲线方程的基本方法；解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1.因为椭圆C 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)， 得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ， 直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ， 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t.又1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上，F 2P →·F 2Q →的取值范围为[－1，125232)．1．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦的问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3．求双曲线、椭圆的离心率的方法：(1)直接求出a ，c ，计算e ＝ca ；(2)根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4．通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短．椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5．抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1|F A |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．真题感悟1．(2014·湖北)已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A.433B.233C ．3D ．2答案 A解析 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2(r 1>r 2)，|F 1F 2|＝2c ，椭圆长半轴长为a 1，双曲线实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2， 由(2c )2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos π3， 得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2.由⎩⎪⎨⎪⎧ r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2得⎩⎪⎨⎪⎧r 1＝a 1＋a 2，r 2＝a 1－a 2，∴1e 1＋1e 2＝a 1＋a 2c ＝r 1c. 令m ＝r 21c 2＝4r 21r 21＋r 22－r 1r 2＝41＋(r 2r 1)2－r 2r 1＝4(r 2r 1－12)2＋34，当r 2r 1＝12时，m max ＝163， ∴(r 1c )max ＝433， 即1e 1＋1e 2的最大值为433. 2．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A.12 B.23 C.34 D.43答案 D解析 抛物线y 2＝2px 的准线为直线x ＝－p 2，而点A (－2,3)在准线上，所以－p2＝－2，即p ＝4，从而C ：y 2＝8x ，焦点为F (2,0)．设切线方程为y －3＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k8y 2－y ＋2k ＋3＝0(k ≠0)①，由于Δ＝1－4×k 8(2k ＋3)＝0，所以k ＝－2或k ＝12.因为切点在第一象限， 所以k ＝12.将k ＝12代入①中，得y ＝8，再代入y 2＝8x 中得x ＝8，所以点B 的坐标为(8,8)， 所以直线BF 的斜率为43.押题精练1．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是_____________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ， 由题意可知|OE |＝a4，由OE →＝12(OF →＋OP →)，可知E 为FP 的中点．由双曲线的性质，可知O 为FH 的中点， 所以OE ∥PH ，且|OE |＝12|PH |，故|PH |＝2|OE |＝a2.由双曲线的定义，可知|PF |－|PH |＝2a (P 在双曲线的右支上)， 所以|PF |＝2a ＋|PH |＝5a 2. 因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE .又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在△PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2， 即(2c )2＝(a 2)2＋(5a2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.2．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，O为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明：直线OP 的斜率k 满足|k |> 3. (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，y 0≠0.由题意，有x 20a 2＋y 20b2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP · k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20， 代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)证明 方法一 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b2＝1. 消去y 0并整理，得x 20＝a 2b 2k 2a 2＋b 2，② 由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a 1＋k 2， 代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝⎛⎭⎫a b 2＋4.又a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3.方法二 依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P 的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b2＝1. 因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③ 由|AP |＝|OA |及A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a 1＋k 2. 代入③，得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3， 所以|k |> 3.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32D. 3 答案 D解析 由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)以及双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为( ) A ．2或233B.6或233 C ．2或 3 D.3或 6 答案 A解析 由题意，可知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则b a ＝33或 3. 则e ＝c a ＝c 2a 2＝ 1＋(b a )2＝233或2. 故选A. 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 29＝1 答案 B解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ>0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.故选B. 4．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)，A (4,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且AC →·BC →＝0，|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，则其焦距为( ) A.463B.433C.863D.233 答案 C解析 由题意，可知|OC →|＝|OB →|＝12|BC →|，且a ＝4， 又|OB →－OC →|＝2|BC →－BA →|，所以，|BC →|＝2|AC →|.故|OC →|＝|AC →|.又AC →·BC →＝0，所以AC →⊥BC →.故△OAC 为等腰直角三角形，|OC →|＝|AC →|＝2 2.不妨设点C 在第一象限，则点C 的坐标为(2,2)，代入椭圆的方程，得2242＋22b 2＝1，解得b 2＝163. 所以c 2＝a 2－b 2＝42－163＝323，c ＝463. 故其焦距为2c ＝863. 5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334 B.938 C.6332 D.94答案 D解析 由已知得焦点坐标为F (34，0)， 因此直线AB 的方程为y ＝33(x －34)， 即4x －43y －3＝0.方法一 联立抛物线方程，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝(y A ＋y B )2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. 方法二 联立方程得x 2－212x ＋916＝0， 故x A ＋x B ＝212. 根据抛物线的定义有|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝212＋32＝12，同时原点到直线AB 的距离为h ＝|－3|42＋(－43)2＝38， 因此S △OAB ＝12|AB |·h ＝94. 6．椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且 PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12] B ．[12，22] C ．(22，1) D ．[12，1) 答案 B解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )，PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－c 2.又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方，所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 1→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12， 所以12≤e ≤22.故选B. 二、填空题7．(2014·北京)设双曲线C 经过点(2,2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．答案 x 23－y 212＝1 y ＝±2x 解析 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ， 将点(2,2)代入上式，得λ＝－3，∴C 的方程为x 23－y 212＝1， 其渐近线方程为y ＝±2x .8．已知点P (0,2)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，线段PF 与抛物线C 的交点为M ，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q ，若∠PQF ＝90°，则p ＝________.答案 2解析 由抛物线的定义可得|MQ |＝|MF |，F (p 2，0)，又PQ ⊥QF ，故M 为线段PF 的中点，所以M (p 4，1)，把M (p 4，1)，代入抛物线y 2＝2px (p >0)得，1＝2p ×p 4， 解得p ＝2，故答案为 2.9．抛物线C 的顶点在原点，焦点F 与双曲线x 23－y 26＝1的右焦点重合，过点P (2,0)且斜率为1的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，则弦AB 的中点到抛物线准线的距离为________． 答案 11解析 因为双曲线x 23－y 26＝1的右焦点坐标是(3,0)． 所以p 2＝3，所以p ＝6. 即抛物线的标准方程为y 2＝12x .设过点P (2,0)且斜率为1的直线l 的方程为y ＝x －2，联立y 2＝12x 消去y 可得x 2－16x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝16，所以弦AB 的中点到抛物线准线的距离为x 1＋x 2＋p 2＝16＋62＝11.故填11. 10．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，点P 在双曲线上且不与顶点重合，过F 2作∠F 1PF 2的角平分线的垂线，垂足为A .若|OA |＝ b ，则该双曲线的离心率为_______． 答案 2解析 延长F 2A 交PF 1于B 点，则|PB |＝|PF 2|，依题意可得|BF 1|＝|PF 1|－|PF 2|＝2a .又因为点A 是BF 2的中点．所以得到|OA |＝12|BF 1|，所以b ＝a . 所以c ＝2a .所以离心率为 2.三、解答题11．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)的距离之比为 2.(1)求曲线C 的方程；(2)过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |＝4，求直线l 的方程．解 (1)由题意得|P A |＝2|PB | 故(x ＋1)2＋y 2＝2(x －1)2＋y 2化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求．(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1.将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2，所以|MN |＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2，由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k 2， 解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点，过F 1且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|P A |＝|PB |，求E 的方程．解 (1)由椭圆定义知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ，因为2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AB |＝43a . l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝a 2－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 化简得(a 2＋b 2)x 2＋2a 2cx ＋a 2(c 2－b 2)＝0，则x 1＋x 2＝－2a 2c a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(c 2－b 2)a 2＋b2. 因为直线AB 的斜率为1，所以|AB |＝2|x 2－x 1|＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2].故43a ＝4ab 2a 2＋b2，得a 2＝2b 2， 所以E 的离心率e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22. (2)设AB 的中点为N (x 0，y 0)，由(1)知x 0＝x 1＋x 22＝－a 2c a 2＋b2＝－23c ，y 0＝x 0＋c ＝c 3. 由|P A |＝|PB |，得k PN ＝－1，即y 0＋1x 0＝－1， 得c ＝3，从而a ＝32，b ＝3.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．(2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点． (1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0) ∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32. ∴|AC |＝|y A －y C |＝ 3.∴菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形．∵点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，∴可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， ∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k. 又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．∴OABC 不是菱形，这与假设矛盾．综上，四边形OABC 不是菱形．。
高三数学二轮复习解三角形练习含试题答案
解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置. [知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一 利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧 (1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a sin A ＝4b sin B ，ac ＝5(a 2－b 2－c 2).(1)求cos A 的值； (2)求sin(2B －A )的值.解 (1)由a sin A ＝4b sin B 及a sin A ＝bsin B ，得a ＝2b .由ac ＝5(a 2－b 2－c 2)及余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝－55ac ac＝－55. (2)由(1)，可得sin A ＝255，代入a sin A ＝4b sin B ，得sin B ＝a sin A 4b ＝55. 由(1)知，A 为钝角，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255. 于是sin 2B ＝2sin B cos B ＝45，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝35，故sin(2B －A )＝sin 2B cos A －cos 2B sin A ＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55－35×255＝－255.2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得PA 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74，∴PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α，在△PBA 中，由正弦定理得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α，故tan α＝34，即tan∠PBA ＝34. 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且1a ＋b ＋1a ＋c ＝3a ＋b ＋c. (1)求角A 的大小；(2)若c b ＝12＋3，a ＝15，求b 的值.解 (1)由题意，可得a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c a ＋c ＝3，即c a ＋b ＋ba ＋c＝1， 整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理知，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)根据正弦定理，得cb ＝sin C sin B ＝sin (A ＋B )sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B sin B ＝sin Atan B＋cos A ＝32tan B ＋12＝12＋3， 解得tan B ＝12，所以sin B ＝55.由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A＝15×5532＝2.4.设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值. 解 (1)∵b sin A ＝3a cos B ，由正弦定理得sin B sin A ＝3sin A cos B . 在△ABC 中，sin A ≠0， 即得tan B ＝ 3. ∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵sin C ＝2sin A ，由正弦定理得c ＝2a ， 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即9＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3，解得a ＝3，∴c ＝2a ＝2 3. 考点二 三角形的面积方法技巧 三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长. 解 (1)由已知及正弦定理得，2cos C (sin A cos B ＋sin B ·cos A )＝sin C ，2cos C sin(A ＋B )＝sin C ，故2sin C cos C ＝sin C .因为0＜C ＜π，所以cos C ＝12，所以C ＝π3.(2)由已知，12ab sin C ＝332，又C ＝π3，所以ab ＝6，由已知及余弦定理得，a 2＋b 2－2ab cosC ＝7，故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25，可得a ＋b ＝5.所以△ABC 的周长为5＋7.6.在△ABC 中，已知C ＝π6，向量m ＝(sin A ，1)，n ＝(1，cos B )，且m ⊥n .(1)求A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且3BD →＝BC →，AD ＝13，求△ABC 的面积. 解 (1)由题意知m ·n ＝sin A ＋cos B ＝0，又C ＝π6，A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0. 所以sin A －32cos A ＋12sin A ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝0.又0＜A ＜5π6，所以A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3，所以A －π6＝0，即A ＝π6.(2)设|BD →|＝x ，由3BD →＝BC →，得|BC →|＝3x ， 由(1)知，A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝3x ，B ＝2π3.在△ABD 中，由余弦定理，得(13)2＝(3x )2＋x 2－2·3x ·x cos 2π3，解得x ＝1，所以AB ＝BC ＝3，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12·3·3·sin 2π3＝934.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2.(1)求cos B 的值；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)或cos B ＝1517.故cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517，得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6， 得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B ) ＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4.所以b ＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f (x )＝sin 2ωx －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω为常数且12＜ω＜1，函数f (x )的图象关于直线x ＝π对称. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝14，求△ABC 面积的最大值.解 (1)f (x )＝12－12cos 2ωx －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3－12cos 2ωx ＝－14cos 2ωx ＋34sin 2ωx ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6.令2ωx －π6＝π2＋k π，解得x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .∴f (x )的对称轴为x ＝π3ω＋k π2ω，k ∈Z .令π3ω＋k π2ω＝π， 解得ω＝2＋3k6，k ∈Z .∵12＜ω＜1， ∴当k ＝1时，ω＝56，∴f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6.∴f (x )的最小正周期T ＝2π53＝6π5.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35A ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝14，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.∴A ＝π3.由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－12bc ＝12，∴b 2＋c 2＝bc ＋1≥2bc ， ∴bc ≤1.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34，∴△ABC 面积的最大值是34. 考点三 解三角形的综合问题方法技巧 (1)题中的关系式可以先利用三角变换进行化简.(2)和三角形有关的最值问题，可以转化为三角函数的最值问题，要注意其中角的取值. (3)和平面几何有关的问题，不仅要利用三角函数和正弦、余弦定理，还要和三角形、平行四边形的一些性质结合起来.9.(2017·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ， 所以由sin B ＝35，得cos B ＝45.由已知及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝a sin Bb ＝31313. 所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226.10.△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1＋tan A tan B ＝2c3b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，求函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围.解 (1)因为1＋tan A tan B ＝2c 3b ，所以由正弦定理，得1＋sin A cos B cos A sin B ＝sin (A ＋B )cos A sin B ＝2sin C3sin B .因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin C cos A sin B ＝2sin C3sin B ，因为sin C ≠0，sin B ≠0，所以cos A ＝32，故A ＝π6. (2)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＝π6，所以B ＋C ＝5π6. 所以y ＝2sin 2B －2sin B cosC ＝1－cos 2B －2sin B cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B＝1－cos 2B ＋3sin B cos B －sin 2B ＝1－cos 2B ＋32sin 2B －12＋12cos 2B ＝12＋32sin 2B －12cos 2B ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12.又△ABC 为锐角三角形，所以π3＜B ＜π2⇒π2＜2B －π6＜5π6，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.故函数y ＝2sin 2B －2sin B cosC 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.11.(2017·咸阳二模)设函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R )， (1)求函数f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，c ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)函数f (x )＝sin x cos x －sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4(x ∈R ).化简可得f (x )＝12sin 2x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x －12. 令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2(k ∈Z )，则k π－π4≤x ≤k π＋π4(k ∈Z )，即f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ).令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，则k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )，即f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ).(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＝0，得sin C ＝12， 又因为△ABC 是锐角三角形， 所以C ＝π6.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，将c ＝2，C ＝π6代入得4＝a 2＋b 2－3ab ，由基本不等式得a 2＋b 2＝4＋3ab ≥2ab ，即ab ≤4(2＋3)， 所以S △ABC ＝12ab sin C ≤12·4(2＋3)·12＝2＋3，即△ABC 面积的最大值为2＋ 3.12.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2a －c ，cos C )，n ＝(b ，cos B )，m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝1，当△ABC 的面积取得最大值时，求△ABC 内切圆的半径.解 (1)由已知可得(2a －c )cos B ＝b cos C ，结合正弦定理可得(2sin A －sin C )cos B ＝sinB cosC ，即2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又sin A ＝sin(B ＋C )＞0，所以cos B ＝12，所以B ＝π3.(2)由(1)得B ＝π3，又b ＝1，在△ABC 中，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，所以12＝a 2＋c 2－ac ，即1＋3ac ＝(a ＋c )2.又(a ＋c )2≥4ac ，所以1＋3ac ≥4ac ， 即ac ≤1，当且仅当a ＝c ＝1时取等号.从而S △ABC ＝12ac sin B ＝34ac ≤34，当且仅当a ＝c ＝1时，S △ABC 取得最大值34.设△ABC 内切圆的半径为r ，由S △ABC ＝12(a ＋b ＋c )r ，得r ＝36.例 (12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(a ＋b ，sin A －sin C )，向量n ＝(c ，sin A －sin B )，且m ∥n . (1)求角B 的大小；(2)设BC 的中点为D ，且AD ＝3，求a ＋2c 的最大值及此时△ABC 的面积. 审题路线图向量m ∥n ―→边角关系式――――→利用正弦定理转化△ABC 三边关系式――――→余弦定理求得角B ――――→引进变量(设角θ)用θ表示a ＋2c (目标函数)―→辅助角公式求最值―→求S △ABC 规范解答·评分标准 解 (1)因为m ∥n ，所以(a ＋b )(sin A －sin B )－c (sin A －sin C )＝0，………………………………………………………………………………………………1分 由正弦定理，可得(a ＋b )(a －b )－c (a －c )＝0，即a 2＋c 2－b 2＝ac . ……………………3分由余弦定理可知，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.…………5分(2)设∠BAD ＝θ，则在△BAD 中，由B ＝π3可知，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3.由正弦定理及AD ＝3，有BDsin θ＝ABsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3sinπ3＝2，所以BD ＝2sin θ，AB ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝3cos θ＋sin θ，所以a ＝2BD ＝4sin θ，c ＝AB ＝3cos θ＋sin θ，………………………………………8分 从而a ＋2c ＝23cos θ＋6sin θ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6.由θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，2π3可知，θ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当θ＋π6＝π2，即当θ＝π3时，a ＋2c 取得最大值4 3 (11)分此时a ＝23，c ＝3，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝332.………………………………………………………………………………………………12分 构建答题模板[第一步] 找条件：分析寻找三角形中的边角关系.[第二步] 巧转化：根据已知条件，选择使用的定理或公式，确定转化方向，实现边角互化. [第三步] 得结论：利用三角恒等变换进行变形，得出结论. [第四步] 再反思：审视转化过程的合理性.1.(2016·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B )＝tan Acos B ＋tan Bcos A. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值. (1)证明 由题意知，2⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin B cos A cos B.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ， 即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .(2)解 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝38⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －14≥12，当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.2.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A 为锐角，向量m ＝(2sin A ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2A ，2cos 2A 2－1，且m ∥n .(1)求A 的大小；(2)如果a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由m ∥n ，可得2sin A ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2A 2－1＋3cos 2A ＝0，即2sin A ·cos A ＋3cos 2A ＝0，所以sin 2A ＝－3cos 2A ，即tan 2A ＝－ 3.因为A 为锐角，故0°＜2A ＜180°，所以2A ＝120°，A ＝60°.(2)如果a ＝2，在△ABC 中，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，即bc ≤4，所以S ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3， 故△ABC 面积的最大值为 3.3.在海岸A 处，发现北偏东45°方向距A 为3－1海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 为2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间.(注：6≈2.449)解 设缉私船追上走私船所需时间为t 小时，如图所示，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里.在△ABC 中，因为AB ＝(3－1)海里，AC ＝2海里，∠BAC ＝45°＋75°＝120°， 根据余弦定理，可得BC ＝(3－1)2＋22－2·2·(3－1)cos 120°＝6(海里). 根据正弦定理，可得sin∠ABC ＝AC ·sin 120°BC ＝2·326＝22. 所以∠ABC ＝45°，易知CB 方向与正北方向垂直，从而∠CBD ＝90°＋30°＝120°. 在△BCD 中，根据正弦定理，可得sin∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12， 所以∠BCD ＝30°，∠BDC ＝30°， 所以DB ＝BC ＝6海里.则有10t ＝6，t ＝610≈0.245(小时)＝14.7(分钟).故缉私船沿北偏东60°方向，最快需约14.7分钟才能追上走私船.4.(2017·济南一模)已知f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).(1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若f (C )＝1，c ＝3，a ＋b ＝23，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝23sin x cos x －cos(π＋2x ).化简可得f (x )＝3sin2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z . ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z . (2)由(1)可知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵f (C )＝1，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， 0＜C ＜π，可得2C ＋π6＝5π6，∴C ＝π3. 由a ＋b ＝23，可得a 2＋b 2＝12－2ab . ∵c ＝3，根据余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab， 可得12－2ab －c 22ab ＝12，解得ab ＝3. 故△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32＝334. 5.已知向量a ＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ，34，b ＝(cos x ，－1). (1)当a ∥b 时，求cos 2x －sin 2x 的值；(2)设函数f (x )＝2(a ＋b )·b ，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝2，sin B ＝63，求f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3的取值范围. 解 (1)因为a ∥b ，所以34cos x ＋sin x ＝0，所以tan x ＝－34.cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －2sin x cos x sin 2x ＋cos 2x ＝1－2tan x 1＋tan 2x ＝85. (2)f (x )＝2(a ＋b )·b ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋32. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝22， 所以A ＝π4或A ＝3π4，因为b ＞a ，所以A ＝π4， f (x )＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π12， 所以32－1≤f (x )＋4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6≤2－12. 所以所求取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－1，2－12.。
高三数学二轮复习讲练测第1讲 集合及集合思想应用(讲+练)(原卷及答案)(新高考专用)(学生专用)
高三二轮复习讲练测第1讲集合及集合思想应用目录讲高考 (2)题型全归纳 (2)【题型一】集合中元素表示 (2)【题型二】集合元素个数 (3)【题型三】知识点交汇处的集合元素个数 (3)【题型四】由元素个数求参 (4)【题型五】子集关系求参 (5)【题型六】集合运算1：交集运算求参 (5)【题型七】集合运算2：并集运算求参 (6)【题型八】集合运算3：补集运算求参 (7)【题型九】应用韦恩图求解 (8)【题型十】集合中的新定义 (15)专题训练 (10)讲高考1.（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()U A B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}- 2．（2021·北京·高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<<B ．{}|12x x -<≤C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤3．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<4．（2021·全国·高考真题（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=（ ）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,45．（2007·全国·高考真题（文））已知集合{}cos sin ,02E θθθθπ=<≤≤∣，{}tan sin F θθθ=<∣，那么E F 为区间（ ）A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34π B ．π C ．2π D ．3π题型全归纳【题型一】集合中元素表示【讲题型】例题1：已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ）（1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅A ．（1）（2）B ．（1）（3）C ．（2）（3）D ．（2）（4）例题2、设集合{|24k M x x πππ+==-，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则（ ） A ．M NB ．M NC ．M N ⊆D ．M N1.以下四个写法中：① {}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆；③{}{}0,1,2,3=2,3,0,1；④A A ⋂∅=，正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2.下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（ ）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤3.若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（ ） A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【题型二】集合元素个数【讲题型】例题1.已知集合11|3381x A x Z -⎧⎫=∈<≤⎨⎬⎩⎭，2|03x B x N x +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9例题2.，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =_______，则12310...A A A A ++++=_______．【练题型】1.若集合{}2N log 3A x x =∈<，{B x y ==，则A B 的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62.已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,x B x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为 A ．3B ．4C ．6D ．93.集合{}2*|70,A x x x x =-<∈N ，则*6|,B y y A y N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型三】知识点交汇处的集合元素个数【讲题型】例题1.1.已知全集{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，集合S U ⊆，若S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =均对称，且(2,3)S ∈，则S 中的元素个数至少有A ．4个B ．6个C ．8个D ．10个例题2.若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．41.设集合{2,1,0,1,2}A =--,{1,0,1}B =-,22(,)1,,43x y C x y x A y B ⎧⎫⎪⎪=+≤∈∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则集合C 中元素的个数为( )A ．11B ．9C ．6D ．42.已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．303.若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=A ．50B ．100C ．150D ．200【题型四】由元素个数求参【讲题型】例题1.若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或4例题2.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥1.已知集合{}2220A x x ax a =++≤，若A 中只有一个元素，则实数a 的值为（ ）A ．0B ．0或2-C ．0或2D ．2 2.．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥3.如果集合{}2210A x ax x =++=中只有一个元素，则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定【题型五】子集关系求参【讲题型】例题1.已知集合{}(){}1,0A B x x x a ==-<，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．(),1-∞ B ．()1,+∞ C ．(),2-∞ D ．()2,+∞ 例题2.已知集合{}2230A x x x =--<，非空集合{}21B x a x a =-<<+，B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）.A ．(],2-∞B ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭1.若集合{}|2135A x a x a =+≤≤-，{}|516B x x =≤≤，则能使A B ⊆成立的所有a 组成的集合为（ ）A ．{}|27a a ≤≤B ．{}|67a a ≤≤C ．{}7|a a ≤D ．∅2. {}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3m <B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．23m <<3.已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ）A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，【题型六】集合运算1：交集运算求参【讲题型】例题1.已知集合(){},0A x y x ay a =+-=，()(){},2310B x y ax a y =++-=.若A B =∅，则实数=a （ ）A ．3B ．1-C ．3或1-D ．3-或1例题2.已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为（ ）A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--1.已知集合{}12A x x =<<，集合{B x y =，若A B A =，则m 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(]1,4C ．[)1,+∞D ．[)4,+∞2.设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ）A ．–4B ．–2C ．2D ．43.已知集合(){}22240,(1)2101x A x B x x a x a a x ⎧⎫-==-+++<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．{}()12,∞⋃+C ．{}[)12,+∞D ．[)2,+∞ 【题型七】集合运算2：并集运算求参【讲题型】例题1..已知{|A x y =，{}2|220B x x ax a =-++≤，若A B A ⋃=，那么实数a的取值范围是（ ）A ．(12)-，B ．182,7⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．181,7⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．181,7⎛⎤- ⎥⎝⎦例题2.设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x ≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）【练题型】1.设集合{}2|(3)30A x x a x a =-++=，{}2|540B x x x =-+=，集合A B 中所有元素之和为8，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{0} B ．{03}，C ．{013,4}，， D ．{13,4}，2.非空集合{|03}A x N x =∈<<，2{|10,}B y N y my m R =∈-+<∈，A B A B =，则实数m 的取值范围为（ ） A ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．170,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．102,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．517,24⎛⎤ ⎥⎝⎦3．已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（ ） A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【题型八】集合运算3：补集运算求参【讲题型】例题1.已知集合，集合，集合，若A B C ⋃⊆，则实数m 的取值范围是______________.例题2..已知集合1121A x R x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，()(){}2210B x R x a x a =∈---<，若()R A B =∅，则实数a 的取值范围是 A ．[)1,+∞ B ．[)0,+∞C ．()0,∞+D ．()1,+∞【讲技巧】补集运算：1.符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．2.图形语言：【练题型】1.设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}21,1,4A a =-，{}2,3UA a =+，则a 的值为（ ）A ．2±B ．C ．2-D ．22.已知全集{}22,4,U a =，集合{}4,3A a =+，{}1UA =，则a 的所有可能值形成的集合为（ ） A ．{}1- B ．{}1 C ．{}1,1-D ．∅3.已知全集{}{}2{2,3,23},1,2,3U U a a A a C A a =+-=+=+,则a 的值为__________湖北省荆州市沙市中学2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试题【题型九】应用韦恩图求解【讲题型】例题1.全集U =R ，集合04xA xx ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞例题2.已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,1【练题型】1.若全集U =R ，集合(){}|lg 6A x y x ==-，{}|21xB x =>，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,3B ．(]1,0-C ．[)0,6D ．(],0-∞2.已知全集U R =，集合{}2313100M x x x =--<和{}2,N x x k k Z ==∈的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有交集运算韦恩图符号语言 Venn 图表示A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }补集运算韦恩图图形语言：A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷个3.已知集合{|{||1|2}M x y N x x ==+≤，且 M 、M 都是全集 I 的子集，则右图韦恩图中阴影部分表示的集合为A ．{|1}x x ≤≤B ．{|31}z z -≤≤C ．{|3z z -≤<D ．{|1x x <≤【题型十】集合中的新定义【讲题型】例题1定义运算.()(),()()()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C A C B -⎧*=⎨-<⎩若{}()(){}221,2,20A B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =_______.例题2..对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-. 已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【练题型】1.设A 、B 、C 是集合，称(,,)A B C 为有序三元组，如果集合A 、B 、C 满足||A B =||||1B C C A ==，且A B C =∅，则称有序三元组(,,)A B C 为最小相交（其中||S 表示集合S 中的元素个数），如集合{1,2}A =，{2,3}B =，{3,1}C =就是最小相交有序三元组，则由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的最小相交有序三元组的个数是________2.．集合{}6666,11135,2333,10,99111,1,198,1000,0,M π=---有10个元素，设M 的所有非空子集为()1,2,,1023i M i =⋅⋅⋅，每一个i M 中所有元素乘积为()1,2,,1023i m i =⋅⋅⋅，则1231023m m m m +++⋅⋅⋅+=_____.3.设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x ∈R 满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00x x a <-<，称0x 为集合X 的聚点，则在下列集合中：①{}0x x ∈≠Z ；②{},0x x x ∈≠R ；③1,x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭N ；④,1n x x n n *⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭N 以0为聚点的集合有______．专题训练一、单选题1．已知集合{}N 23A x x =∈-<<，则集合A 的所有非空真子集的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．14D ．152．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4,5}3．如图，设U 是全集，,,M P S 是U 的三个子集，则阴影部分所表示的集合为（ ）A ．()M P SB ．()U M P S ⋂⋂C ．()M P SD ．()U M P S ⋂⋃4．设集合P ，Q 都是实数集R 的子集，且()RP Q =∅，则P Q =（ ）A ．∅B ．RC ．QD ．P5．设集合{}2,,0A a a =-，{}2,4B =，若{}4A B ⋂=，则实数a 的值为（ ）A ．2±B ．2或-4C ．2D ．-46．集合{1A x x =<-或3}x ≥，{}10B x ax =+≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．113a a ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭B ．113a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．{}10a a a <-≥或D ．10013a a a ⎧⎫-≤<<<⎨⎬⎩⎭或7．用()C A 表非空集合A 中元素的个数，定义()()()()()()()(),*,C A C B C A C B A B C B C A C A C B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，若{}(){}21,20A B x x x ax ==++=∣，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，则()C S =（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．98．已知集合{}12A x x =->，集合{}10B x mx =+<，若A B A ⋃=，则m 的取值范围是（ ） A ．1,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．1,0(0,1]3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭二、填空题9．若集合{}3|1A x x =-≤<，{}|B x x a =≤，且{|1}A B x x ⋃=<，则实数a 的取值范围为_________.10．已知A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，B ＝{}222124a a a ，，且a 1＜a 2＜a 3＜a 4，其中ai ∈Z （i ＝1，2，3，4），若A ∩B ＝{a 2，a 3}，a 1+a 3＝0，且A ∪B 的所有元素之和为56，求a 3+a 4＝_____．11．已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________.12．已知集合M ＝{x ∈N |1≤x ≤21}，集合A 1，A 2，A 3满足①每个集合都恰有7个元素； ②A 1∪A 2∪A 3＝M ．集合Ai 中元素的最大值与最小值之和称为集合Ai 的特征数，记为Xi （i ＝1，2，3），则X 1+X 2+X 3的最大值与最小值的和为___．答案讲高考1.（2022·全国·高考真题（理））设全集{2,1,0,1,2,3}U =--，集合{}2{1,2},430A B x x x =-=-+=∣，则()UA B ⋃=（ ）A ．{1,3}B ．{0,3}C ．{2,1}-D ．{2,0}-【答案】D【分析】解方程求出集合B ,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，{}{}2=4301,3B x x x -+==，所以{}1,1,2,3A B ⋃=-,所以(){}U2,0A B ⋃=-.故选：D.2．（2021·北京·高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤ C ．{}|01x x ≤< D ．{}|02x x ≤≤【答案】B【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.【详解】由题意可得：{}|12A B x x =-<≤.故选：B.3．（2021·浙江·高考真题）设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．{}1x x >- B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<【答案】D【分析】由题意结合交集的定义可得结果.【详解】由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<.故选：D.4．（2021·全国·高考真题（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()UM N ⋃=（ ）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：{}1,2,3,4MN =，则(){}5UM N =.故选：A.5．（2007·全国·高考真题（文））已知集合{}cos sin ,02E θθθθπ=<≤≤∣，{}tan sin F θθθ=<∣，那么EF 为区间（ ）A ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．35,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合E ，F ，再利用交集的运算求解.【详解】∵5{cos sin ,02}44E πθθθθπθθπ⎧⎫=<≤≤=<<⎨⎬⎩⎭∣∣， {}tan sin ,2F k k k πθθθθπθππ⎧⎫=<=+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣∣，∴2EF πθθπ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭∣.故选：A.6．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34πB ．πC ．2πD ．3π【答案】B【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积. 【详解】设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为三角形ABC 的中心，且23633BO =⨯=361226PO -=因为5PQ =，故1OQ =，故S 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆，而三角形ABC 内切圆的圆心为O ，半径为2364136=>⨯，故S 的轨迹圆在三角形ABC 内部，故其面积为π故选：B题型全归纳【题型一】集合中元素表示【讲题型】例题1：已知集合{}{,}A =∅∅，下列选项中均为A 的元素的是（ ） （1）{}∅（2）{}{}∅（3）∅（4）{}{},∅∅ A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（2）（4） 【答案】B【分析】根据元素与集合的关系判断． 集合A 有两个元素：{}∅和∅， 故选：B 例题2、设集合{|24k M x x πππ+==-，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，则（ ） A ．M N B ．M N C ．M N ⊆ D ．M N【答案】B【分析】对于集合N ，令2()k m m =∈Z 和21()k m m Z =-∈，即得解. 【详解】{|24k M x x ππ==+，}k Z ∈，{|42k N x x ππ==+，}k Z ∈，对于集合N ，当2()k m m =∈Z 时，22m x ππ=+，m Z ∈；当21()k m m Z =-∈时，24m x ππ=+，m Z ∈．M N∴，故选：B ．1.以下四个写法中：① {}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆；③{}{}0,1,2,3=2,3,0,1；④A A ⋂∅=，正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C对于①，{}00,1,2∈正确；对于②，因为空集是任何集合的子集，所以{}1,2∅⊆正确；对于③，根据集合的互异性可知{}{}0,1,2,3=2,3,0,1正确；对于④， A ∅=∅，所以A A⋂∅=不正确；四个写法中正确的个数有3个，故选C.2.下面五个式子中：①{}a a ⊆；②{}a ∅⊆；③{a }∈{a ，b }；④{}{}a a ⊆；⑤a ∈{b ，c ，a }；正确的有（ ）A ．②④⑤B ．②③④⑤C ．②④D ．①⑤【答案】A【分析】根据元素与集合，集合与集合之间的关系逐个分析即可得出答案. ①中，a 是集合{a }中的一个元素，{}a a ∈，所以①错误；空集是任一集合的子集，所以②正确；{}a 是{},a b 的子集，所以③错误；任何集合是其本身的子集，所以④正确；a 是{},,bc a 的元素，所以⑤正确.故选：A.3.若{}21,3,a a ∈，则a 的可能取值有（ ）A ．0B ．0，1C ．0，3D ．0，1，3【答案】C【分析】根据元素与集合的关系及集合中元素的性质，即可判断a 的可能取值.0a =，则{}1,3,0a ∈，符合题设；1a =时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；3a =时，则{}1,3,9a ∈，符合题设；∴0a =或3a =均可以.故选：C【题型二】集合元素个数【讲题型】例题1.已知集合11|3381x A x Z -⎧⎫=∈<≤⎨⎬⎩⎭，2|03x B x N x +⎧⎫=∈<⎨⎬-⎩⎭，则集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B 【分析】解指数不等式求得集合A ，解分式不等式求得集合B ，由此求得集合{}|,,z z xy x A y B =∈∈的元素个数. 【详解】 由113381x -<≤得411333x --<≤，411x -<-≤，解得32x -<≤，所以{}2,1,0,1,2A =--.由203x x +<-解得23x -<<，所以{}1,0,1,2B =-.所以{}|,,z z xy x A y B =∈∈{}2,0,2,4,1,1,4=---，共有7个元素.故选：B. 例题2.，若n A 表示集合n A 中元素的个数，则5A =_______，则12310...A A A A ++++=_______． 【答案】11； 682． 【详解】 试题分析：当时，，，即，，由于不能整除3，从到，，3的倍数，共有682个，【练题型】1.若集合{}2N log 3A x x =∈<，{B x y ==，则A B 的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】分别求出集合,A B ，然后，由交集定义求得交集后可得元素个数．由题意得，{}{}081,2,3,4,5,6,7A x x =∈<<=N ，{}3B x x =≥，故{}3,4,5,6,7A B =，有5个元素. 故选：C2.已知集合{}1,0,1A =-，(),|,,xB x y x A y A y ⎧⎫=∈∈∈⎨⎬⎩⎭N ，则集合B 中所含元素的个数为A ．3B ．4C ．6D ．9【答案】B【分析】根据几何A 中的元素，可求得集合B 中的有序数对，即可求得B 中元素个数. 因为x A ∈，y A ，xy∈N ，所以满足条件的有序实数对为()1,1--，()0,1-，()0,1，()1,1．故选:B.3.集合{}2*|70,A x x x x =-<∈N ，则*6|,B y y A y N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭中元素的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D{}{}{}2**|70,|07,1,2,3,4,5,6A x x x x x x x =-<∈=<<∈=N N ,{}*6|,1,2,3,6B y y A y ⎧⎫=∈∈=⎨⎬⎩⎭N ,则B 中的元素个数为4个.本题选择D 选项.【题型三】知识点交汇处的集合元素个数【讲题型】例题1.1.已知全集{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，集合S U ⊆，若S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =均对称，且(2,3)S ∈，则S 中的元素个数至少有 A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．10个【答案】C求出点(2,3)关于原点、坐标轴、直线y x =的对称点，其中关于直线y x =对称点，再求它关于原点、坐标轴、直线y x =的对称点，开始重复了．从而可得点数的最小值． 因为(2,3)S ∈,S 中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线y x =对称，所以(2,3),(2,3),(2,3),(3,2),(32),S S S S S --∈-∈-∈∈--∈，(32),S ∈，-(32),S -∈，所以S 中的元素个数至少有8个， 故选：C.例题2.若正方体12341234A A A A B B B B -的棱长为1，则集合{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】将1111=()i j i j AB A A A B B B ++代入11i j A B A B ⋅,结合111j A B A A ⊥和111j A B B B ⊥({}2,3,4j ∈)化简即可得出集合中元素的个数.①当11i j A B A B ≠时 正方体12341234A A A A B B B B -∴111j A B A A ⊥ 故:1110j A B A A ⋅=({}2,3,4j ∈)∴111j A B B B ⊥ 故:1110j A B B B ⋅= ({}2,3,4j ∈)1111()i j i j A B A A A B B B =++∴ 11111111()i j i j A B A B A B A A A B B B ⋅=⋅++2111111111j j A B A A A B A B B B =⋅++⋅={}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.②11=i j A B A B 时.2111111111i j x A B A B A B A B A B =⋅=⋅==此时{}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.综上所述, {}{}11{|,1,2,3,4,1,2,3,4}i j x x A B A B i j =⋅∈∈中元素的个数为1.故选:A.【讲技巧】集合知识点交汇处，多涉及到集合与函数，集合与向量，集合与数列，集合与立体几何，集合与圆锥曲线等等相关知识的综合应用。
【世纪金榜】高三数学(人教版理)二轮复习练习：1.2.4导数的简单应用及定积分(含答案)
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课时巩固过关练六导数的简单应用及定积分(35分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.2【解析】选D. f′=3x2-12=3,令f′=0,得x=-2或x=2,易知f在上单调递减,在上单调递增,故f的极小值为f,所以a=2.2.(2016·益阳一模)函数f(x)=x2-2lnx的单调减区间是()A.(0,1]B.[1,+∞)C.(-∞,-1)∪(0,1]D.[-1,0)∪(0,1] 【解析】选A.f′(x)=2x-=(x>0),令f(x)≤0,解得:0<x≤1.3.(2016·承德二模)在平面直角坐标系中,过原点O的直线l与曲线y=e x-2交于不同的两点A,B,分别过A,B作x轴的垂线,与曲线y=lnx交于点C,D,则直线CD的斜率为()A.3B.2C.1D.【解析】选C.设直线l的方程为y=kx(k>0),且A(x1,y1),B(x2,y2)，故kx1=,kx2=⇒x1=,x2=,则k CD====1.4.(2016·莱芜一模)设函数f′(x)是函数f(x)(x∈R)的导函数,f(0)=1,且3f(x)=f′(x)-3,则4f(x)>f′(x)的解集为()A.B.C.D.【解析】选B.因为3f(x)=f′(x)-3,所以f′(x)=3f(x)+3,可设f(x)=ae bx+c,由f(0)=1,所以a+c=1,又3f(x)=f′(x)-3,所以3ae bx+3c=abe bx-3,即(3a-ab)e bx=-3-3c,所以解得b=3,c=-1,a=2.所以f(x)=2e3x-1,x∈R,又4f(x)>f′(x),所以8e3x-4>6e3x,即e3x>2,解得x>,所求不等式的解集为.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·衡阳一模)曲线f(x)=2x2-3x在点(1,f(1))处的切线方程为__________.【解析】f′(x)=4x-3,f′(1)=1,f(1)=-1,所以切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0.答案:x-y-2=06.(2016·汕头一模)若过点A(2，m)可作函数f(x)=x3-3x对应曲线的三条切线，则实数m的取值范围为__________.【解题导引】设切点为(a，a3-3a)，利用导数的几何意义，求得切线的斜率k=f′(a)，利用点斜式写出切线方程，将点A代入切线方程，可得关于a的方程有三个不同的解，利用参变量分离可得2a3-6a2=-6-m，令g(x)=2x3-6x2，利用导数求出g(x)的单调性和极值，则根据y=g(x)与y=-6-m有三个不同的交点，即可得到m的取值范围.【解析】设切点为(a，a3-3a)，因为f(x)=x3-3x，所以f′(x)=3x2-3，所以切线的斜率k=f′(a)=3a2-3，由点斜式可得切线方程为y-(a3-3a)=(3a2-3)(x-a)，因为切线过点A(2，m)，所以m-(a3-3a)=(3a2-3)(2-a)，即2a3-6a2=-6-m，因为过点A(2，m)可作曲线y=f(x)的三条切线，所以关于a的方程2a3-6a2=-6-m有三个不同的根，令g(x)=2x3-6x2，所以g′(x)=6x2-12x=0，解得x=0或x=2，当x<0时，g′(x)>0，当0<x<2时，g′(x)<0，当x>2时，g′(x)>0，所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增，所以当x=0时，g(x)取得极大值g(0)=0，当x=2时，g(x)取得极小值g(2)=-8，关于a的方程2a3-6a2=-6-m有三个不同的根，等价于y=g(x)与y=-6-m的图象有三个不同的交点，所以-8<-6-m<0，所以-6<m<2，所以实数m的取值范围为(-6，2).答案：(-6，2)三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·合肥二模)已知函数f(x)=lnx+(a>0).(1)当a=2时,求出函数f(x)的单调区间.(2)若不等式f(x)≥a对于x>0的一切值恒成立,求实数a的取值范围.【解题导引】(1)对函数求导,令导函数为0,得导函数的根,做表,通过导函数的正负确定原函数的增减.(2)将所要证明的式子变形,建立一个函数,求导后再建立一个新的函数,再求导.需要用到两次求导.再来通过最值确定正负号,然后确定原函数的单调性.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),a=2时,f(x)=lnx+,f′(x)=-=,令f′(x)=0,得x=e.①当0<x<e时,f′(x)<0,则f(x)在区间(0,e)上是单调递减的.②当e<x时,f′(x)>0,则f(x)在区间(e,+∞)上是单调递增的.所以f(x)的递减区间是(0,e),递增区间是(e,+∞).(2)原式等价于xlnx+a+e-2-ax≥0在(0,+∞)上恒成立.令g(x)=xlnx+a+e-2-ax.因为g′(x)=lnx+1-a,令g′(x)=0,得x=e a-1.①0<x<e a-1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,②e a-1<x时,g′(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)的最小值为g(e a-1)=(a-1)e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1.令t(x)=x+e-2-e x-1.因为t′(x)=1-e x-1,令t′(x)=0,得x=1,且③0<x<1时,t′(x)>0,t(x)单调递增,④1<x时,t′(x)<0,t(x)单调递减.所以当a∈(0,1)时,g(x)的最小值t(a)>t(0)=e-2-=>0.当a∈[1,+∞)时,g(x)的最小值为t(a)=a+e-2-e a-1≥0=t(2).所以a∈[1,2].综上得:a∈(0,2].8.(2016·葫芦岛一模)已知函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R).(1)若在f(x)的图象上横坐标为的点处存在垂直于y轴的切线,求a的值.(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点,求a的取值范围.(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,试求出实数m的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)依题意,f′=0,因为f′(x)=-3x2+2ax,所以a=1.(2)若f(x)在区间(-2,3)内有两个不同的极值点.则f′(x)=0在(-2,3)内有两个不同的实根.又f′(x)=-3x2+2ax=-x(3x-2a),x1=0,x2=,所以-2<<3.解得-3<a<,且a≠0,所以a∈(-3,0)∪.(3)在(1)的条件下,a=1.要使函数f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1的图象恰有三个交点,等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1,即方程x2(x2-4x+1-m)=0恰有三个不同的实根.因为x=0是一个根,所以应使方程x2-4x+1-m=0有两个非零的不等实根,则Δ>0,1-m≠0,解得m>-3,m≠1.所以存在m∈(-3,1)∪(1,+∞)使得两个函数图象恰有三个交点.【加固训练】(2016·洛阳二模)已知函数f(x)=(m,n∈R)在x=1处取到极值2.(1)求f(x)的解析式.(2)设函数g(x)=lnx+,若对任意的x1∈[-1,1],总存在x2∈[1,e],使得g(x2)≤f(x1)+,求实数a的取值范围.【解题导引】(1)利用函数的求导公式计算函数的导数,根据函数在x=1处取到极值得出函数在x=1处的导数值为0,再把x=2代入函数,联立两式求出m,n的值即可.(2)由(1)知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x).故f(x)为奇函数.f(0)=0,x>0时,f(x)>0,f(x)=≤2.当且仅当x=1时取“=”.故f(x)的值域为[-2,2].从而f(x1)+≥.依题意有g(x)最小值≤.【解析】(1)f′(x)==.由f(x)在x=1处取到极值2,故f′(1)=0,f(1)=2,即解得m=4,n=1,经检验,此时f(x)在x=1处取得极值.故f(x)=.(2)由(1)知f(x)的定义域为R,且f(-x)=-f(x).故f(x)为奇函数.f(0)=0,x>0时,f(x)>0,f(x)=≤2.当且仅当x=1时取“=”.故f(x)的值域为[-2,2].从而f(x1)+≥.依题意有g(x)最小值≤.函数g(x)=lnx+的定义域为(0,+∞),g′(x)=.①当a≤1时,g′(x)>0,函数g(x)在[1,e]上单调递增,其最小值为g(1)=a≤1<合题意;②当1<a<e时,函数g(x)在[1,a)上有g′(x)<0,单调递减,在(a,e]上有g′(x)>0,单调递增,所以函数g(x)最小值为f(a)=lna+1,由lna+1≤,得0<a≤.从而知1<a≤符合题意;③当a≥e时,显然函数g(x)在[1,e]上单调递减,其最小值为g(e)=1+≥2>,不合题意.综上所述,a的取值范围为a≤.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.曲线C:y=xlnx在点M(e,e)处的切线方程为()A.y=x-eB.y=x+eC.y=2x-eD.y=2x+e【解析】选 C.因为y=xlnx,所以y′=lnx+1,所以k=lne+1=2,所以切线方程为y-e=2(x-e),即y=2x-e.【加固训练】在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是()A.(0,0)B.(2,4)C.D.【解析】选D.y′=2x,设切点为(a,a2),所以y′=2a,得切线的斜率为2a,所以2a=tan45°=1,所以a=,在曲线y=x2上切线倾斜角为的点是.2.若函数f(x)=x2-lnx+1在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围为()A.[1,+∞)B.C.[1,2)D.【解析】选B.因为f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-=,由f′(x)>0得,x>;由f′(x)<0得,0<x<;因为函数f(x)在其定义域内的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,所以0≤k-1<<k+1,所以1≤k<.3.函数f(x)(x>0)的导函数为f′(x),若xf′(x)+f(x)=e x,且f(1)=e,则() A.f(x)的最小值为e B.f(x)的最大值为eC.f(x)的最小值为D.f(x)的最大值为【解析】选A.设g(x)=xf(x)-e x,所以g′(x)=f(x)+xf′(x)-e x=0,所以g(x)=xf(x)-e x为常数函数.因为g(1)=1×f(1)-e=0,所以g(x)=xf(x)-e x=g(1)=0,所以f(x)=,f′(x)=,当0<x<1时,f′(x)<0,当x>1时,f′(x)>0,所以f(x)≥f(1)=e.【加固训练】设定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足xf′(x)-f(x)=xlnx,f=,则f(x)()A.有极大值,无极小值B.有极小值,无极大值C.既有极大值,又有极小值D.既无极大值,也无极小值【解析】选D.f(x)的定义域为(0,+∞),因为xf′(x)-f(x)=xlnx,所以=,所以′=,所以=ln2x+c,所以f(x)=xln2x+cx.因为f=ln2+c×=,所以c=.所以f′(x)=ln2x+lnx+=(lnx+1)2≥0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上既无极大值也无极小值.4.设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(4,+∞)【解析】选C.由题意知:f′(x0)=·cos=0,所以x0=,所以m2>+[f(x0)]2=+3sin2=+3,故>3,解得m>2或m<-2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.若函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+3=0,则f(1)-2f′(1)=__________.【解析】依题意得:当x=1时,y=2,即f(1)=2,又因为切线方程为x-2y+3=0,所以切线的斜率为,所以f′(1)=,所以f(1)-2f′(1)=2-2×=1.答案:1【加固训练】已知直线l:y=kx+b与曲线y=x3+3x+1相切,则斜率k取最小值时,直线l的方程为__________.【解题导引】求出原函数的导函数,得到导函数的最小值,求出此时x的值,再求出此时的函数值,由直线方程的点斜式,求得斜率k最小时直线l的方程.【解析】由y=x3+3x+1,得y′=3x2+3,则y′=3(x2+1)≥3,当y′=3时,x=0,此时f(0)=1,所以斜率k最小时直线l的方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0.答案:3x-y+1=06.已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,给出下列命题:①f(3)=0;②直线x=-6是函数f(x)的图象的一条对称轴;③函数y=f(x)在[-9,-6]上为增函数;④函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为__________.【解析】对于任意x∈R,都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立,令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+f(3),又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(3)=0,故①正确.②由(1)知f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6,又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期为6,所以f(x+6)=f(-6+x),f(-x)=f(-x+6),所以:f(-6-x)=f(-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴,故②正确.③当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,所以函数y=f(x)在[0,3]上为增函数,因为f(x)是R上的偶函数,所以函数y=f(x)在[-3,0]上为减函数,而f(x)的周期为6,所以函数y=f(x)在[-9,-6]上为减函数,故③错误.④f(3)=0,f(x)的周期为6,所以:f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)=0,函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点,故④正确.答案:①②④三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.设函数f(x)=ae x(x+1)(其中e=2.71828…)，g(x)=x2+bx+2，已知它们在x=0处有相同的切线.(1)求函数f(x)，g(x)的解析式.(2)求函数f(x)在[t，t+1](t>-3)上的最小值.(3)若对∀x≥-2，kf(x)≥g(x)恒成立，求实数k的取值范围.【解题导引】(1)求导函数，利用两函数在x=0处有相同的切线，可得2a=b，f(0)=a=g(0)=2，即可求函数f(x)，g(x)的解析式.(2)求导函数，确定函数的单调性，再分类讨论，即可求出函数f(x)在[t，t+1](t>-3)上的最小值.(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2，对∀x≥-2，kf(x)≥g(x)恒成立，可得当x≥-2时，F(x)min≥0，即可求实数k的取值范围.【解析】(1)f′(x)=ae x(x+2)，g′(x)=2x+b，由题意，两函数在x=0处有相同的切线.所以f′(0)=2a，g′(0)=b，所以2a=b，f(0)=a=g(0)=2，所以a=2，b=4，所以f(x)=2e x(x+1)，g(x)=x2+4x+2.(2)f′(x)=2e x(x+2)，由f′(x)>0得x>-2，由f′(x)<0得x<-2，所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增，在(-∞，-2)上单调递减.因为t>-3，所以t+1>-2.①当-3<t<-2时，f(x)在[t，-2]上单调递减，在[-2，t+1]上单调递增，所以f(x)min=f(-2)=-2e-2.②当t≥-2时，f(x)在[t，t+1]上单调递增，所以f(x)min=f(t)=2e t(t+1).所以f(x)min=(3)令F(x)=kf(x)-g(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2，由题意当x≥-2时，F(x)min≥0.因为∀x≥-2，kf(x)≥g(x)恒成立，所以F(0)=2k-2≥0，所以k≥1，F′(x)=2ke x(x+1)+2ke x-2x-4=2(x+2)(ke x-1)，因为x≥-2，由F′(x)>0得e x>，所以x>ln；由F′(x)<0得x<ln.所以F(x)在上单调递减，在上单调递增.①当ln<-2，即k>e2时，F(x)在[-2，+∞)上单调递增，F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=(e2-k)<0，不满足F(x)min≥0.②当ln=-2，即k=e2时，由①知，F(x)min=F(-2)=(e2-k)=0，满足F(x)min≥0.③当ln>-2，即1≤k<e2时，F(x)在上单调递减，在上单调递增.F(x)min=F=lnk(2-lnk)>0，满足F(x)min≥0.综上所述，满足题意的k的取值范围为[1，e2].8.已知函数f(x)=ax+-2a+1(a>0).(1)求f(x)的单调区间.(2)若f(x)≥lnx在[1，+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.(3)证明：ln>.【解题导引】(1)求出f(x)的定义域，以及导函数，根据导函数的正负与增减性的关系判断即可确定出f(x)的单调区间.(2)令g(x)=ax+-2a+1-lnx，x∈[1，+∞)，求出g(1)的值以及导函数，根据导函数的正负与增减性的关系确定出f(x)≥lnx在[1，+∞)上恒成立时实数a的取值范围即可.(3)令a=，根据第二问的结论列出关系式，进而可得lnx2<x-(x>1)(*)，所证不等式等价于>，令x=>1(n>2)，代入不等式(*)，整理即可得证.【解析】(1)f(x)的定义域为{x|x≠0}，f′(x)=a-=(a>0)，当0<a≤1时，f′(x)>0恒成立，此时，f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上是增函数；当a≥1时，令f′(x)=0得：x1=-，x2=，列表如下：此时，f(x)的递增区间是(-∞，-)，(，+∞)；递减区间是，.(2)令g(x)=ax+-2a+1-lnx，x∈[1，+∞)，则g(1)=0，g′(x)=a--==，(i)当0<a<时，>1，若1<x<，则g′(x)<0，g(x)是减函数，所以g(x)<g(1)=0，即f(x)<lnx，故f(x)≥lnx在[1，+∞)上不恒成立；(ii)当a≥时，≤1，若x>1，则g′(x)>0，g(x)是增函数，所以g(x)>g(1)=0，即f(x)>lnx，故当x≥1时，f(x)≥lnx，综上所述，所求a的取值范围是.(3)在(2)中，令a=，可得不等式：lnx≤(x≥1)(当且仅当x=1时等号成立)，进而可得lnx2<x-(x>1)(*)，ln>⇒ln>，令x=>1(n>2)，代入不等式(*)得：ln<-=-=，则所证不等式成立.【加固训练】已知函数f(x)=e x+a|x-1|.(1)当a=3时,求函数f(x)在区间[0,2]上的值域.(2)若f(x)≥0对一切实数x∈[0,+∞)恒成立,求a的取值范围.【解析】(1)当a=3时,f(x)=e x+3|x-1|=则函数的导数f′(x)=当0<x<1时,f′(x)=e x-3<0,此时函数单调递减,当1<x<2时,f′(x)=e x+3>0,此时函数单调递增,所以函数的最小值为f(1)=e,又f(0)=4,f(2)=e2+3,则函数在[0,2]上的最大值为e2+3,即函数的值域为[e,e2+3].(2)当x=1时,f(1)=e>0,对一切x≥0都恒成立,所以此时a为任意实数. 当x≠1时,f(x)≥0等价为e x+a|x-1|≥0,即a≥,设g(x)=,则g(x)=g′(x)=即g(x)在[0,1)上单调递减,在(1,2]上单调递增,在(2,+∞)上单调递减, 所以g(x)的极大值为g(2)=-e2,所以a≥-e2,且a≥g(0)=-1,综上a≥-1.1.(2016·包头一模)已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若a=-2,求证:函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.(2)求函数f(x)在[1,e]上的最小值及相应的x值.【解析】(1)当a=-2时,f(x)=x2-2lnx,当x∈(1,+∞)时,f′(x)=>0,故函数f(x)在(1,+∞)上是增函数.(2)f′(x)=(x>0),当x∈[1,e]时,2x2+a∈[a+2,a+2e2].若a≥-2,f′(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,f′(x)=0),故函数f(x)在[1,e]上是增函数,此时[f(x)]min=f(1)=1.若-2e2<a<-2,当x=时,f′(x)=0;当1≤x<时,f′(x)<0,此时f(x)是减函数;当<x≤e时,f′(x)>0,此时f(x)是增函数.故[f(x)]min=f=ln-.若a≤-2e2,f′(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f′(x)=0),故函数f(x)在[1,e]上是减函数,此时[f(x)]min=f(e)=a+e2.综上可知,当a≥-2时,f(x)的最小值为1,相应的x值为1;当-2e2<a<-2时,f(x)的最小值为ln-,相应的x值为;当a≤-2e2时,f(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e.2.设函数f(x)=lnx+x2-2mx+m2,m∈R.(1)当m=0时,求函数f(x)在[1,3]上的最小值.(2)若函数f(x)在上存在单调递增区间,求实数m的取值范围.(3)若函数f(x)存在极值点,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=0时,f(x)=lnx+x2,其定义域为(0,+∞),f′(x)=+2x.所以f(x)在[1,3]上是增函数,当x=1时,f(x)取得最小值为f(1)=1.故函数f(x)在[1,3]上的最小值为1.(2)依题意,可知f′(x)=+2x-2m=.设g(x)=2x2-2mx+1,则区间上存在子区间使得不等式g(x)>0成立.因为函数g(x)的图象是开口向上的抛物线,所以只要g>0,或g>0即可.由g>0,即-m+1>0,解得m<,由g>0,即-3m+1>0,解得m<,因此,实数m的取值范围是.(3)由(2)可知f′(x)=+2x-2m,假设函数f(x)不存在极值点,所以函数f(x)在定义域内恒单调,所以f′(x)≥0恒成立,所以+2x-2m≥0恒成立,所以m≤,所以若函数存在极值点,m的取值范围是(,+∞).关闭Word文档返回原板块。
2023届高考二轮总复习试题适用于老高考旧教材 数学(理) 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题含解析
考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(2022·湖南岳阳质检二)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a>b>0),F 为上焦点,左顶点P 到F 的距离为√2,且离心率为√22,设O 为坐标原点,点M 的坐标为(0,2). (1)求椭圆C 的标准方程;(2)若过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点,证明:∠OMA=∠OMB.2.(2022·陕西西安四区县联考一)已知抛物线x 2=ay (a>0),过点M 0,a2作两条互相垂直的直线l 1,l 2,设l 1,l 2分别与抛物线相交于A ,B 及C ,D 两点,当A 点的横坐标为2时,抛物线在点A 处的切线斜率为1. (1)求抛物线的方程;(2)设线段AB ,CD 的中点分别为E ,F ,O 为坐标原点,求证:直线EF 过定点.3.(2022·北京石景山一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的短轴长等于2√3,离心率e=12. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过右焦点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ,判断|PF ||AB |是否为定值,请说明理由.4.(2022·全国乙·理20)已知椭圆E 的中心为坐标原点,对称轴为x 轴、y 轴,且过A (0,-2),B (32,-1)两点. (1)求E 的方程;(2)设过点P (1,-2)的直线交E 于M ,N 两点,过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ,点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明:直线HN 过定点.5.(2022·河南濮阳一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的离心率e=√32,且圆x 2+y 2=2过椭圆C 的上、下顶点.(1)求椭圆C 的方程;(2)若直线l 的斜率为12,且直线l 与椭圆C 相交于P ,Q 两点,点P 关于原点的对称点为E ,点A (-2,1)是椭圆C 上一点,若直线AE 与AQ 的斜率分别为k AE ,k AQ ,证明:k AE ·k AQ ≤0.6.(2022·广西柳州三模)已知点A (2,√3),B (-2,-√3),点M 与y 轴的距离记为d ,且点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d24-1,记点M 的轨迹为曲线W. (1)求曲线W 的方程;(2)设点P 为x 轴上除原点O 外的一点,过点P 作直线l 1,l 2,l 1交曲线W 于C ,D 两点,l 2交曲线W 于E ,F 两点,G ,H 分别为CD ,EF 的中点,过点P 作x 轴的垂线交GH 于点N ,设CD ,EF ,ON 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,求证:k 3(k 1+k 2)为定值.考点突破练15 圆锥曲线中的定点、定值、证明问题1.(1)解 左顶点P 到F 的距离为√2,可得a=√2,又e=ca=√22,故c=1,从而b=1.∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)证明 当l 与y 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°.当l 与y 轴不重合时,设l 的方程为y=kx+1,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线MA ,MB 的斜率之和为k MA +k MB =y 1-2x 1+y 2-2x 2=kx 1-1x 1+kx 2-1x 2=2k-(1x 1+1x 2)=2k-x 1+x 2x 1x 2,联立方程{y =kx +1,y 22+x 2=1,可得(2+k 2)x 2+2kx-1=0,x 1+x 2=-2k 2+k2,x 1x 2=-12+k2,∴2k-x 1+x 2x 1x 2=2k-2k=0,从而k MA +k MB =0,故直线MA ,MB 的倾斜角互补,∴∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 2.(1)解 ∵y'=2xa ,由题意得2×2a=1,∴a=4,∴抛物线的方程为x 2=4y. (2)证明 由题意得直线l 1,l 2的斜率都存在且都不为0,由M (0,2),可设直线AB 的方程为y=kx+2(k ≠0), 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{y =kx +2,x 2=4y ,得x 2-4kx-8=0,则x 1+x 2=4k ,∴y 1+y 2=k (x 1+x 2)+4=4k 2+4,∴AB 的中点E (2k ,2k 2+2).∵l 1⊥l 2,∴直线CD 的斜率为-1k,同理可得CD 的中点F -2k ,2k2+2,∴EF 的方程为y-(2k 2+2)=2k 2+2-2k 2-22k+2k(x-2k ),化简整理得y=k-1k x+4, ∴直线EF 恒过定点(0,4).3.解 (1)由题意得b=√3,e=√1-b 2a 2=√1-3a 2=12,解得a=2,所以椭圆的方程为x 24+y23=1.(2)是定值.理由如下:由椭圆的方程x 24+y 23=1,得右焦点F (1,0),设直线l 的方程为y=k (x-1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k (x -1),x 24+y23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,则x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2, |AB|=√1+k 2|x1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=12(1+k 2)3+4k 2,设线段AB 的中点为D (x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22=4k 23+4k2,则y 0=k (x 0-1)=-3k3+4k2,即D (4k 23+4k2,-3k 3+4k 2),所以直线l 的中垂线的方程为y--3k3+4k2=-1k x-4k 23+4k 2.令y=0,得x P =k 23+4k 2,所以|PF|=|x P -1|=|k 23+4k 2-1|=3(k 2+1)3+4k 2,所以|PF ||AB |=3(k 2+1)3+4k 212(1+k 2)3+4k2=14. 4.(1)解 设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1(m>0,n>0), 则{4n =1,94m +n =1,解得{m =13,n =14. 故椭圆E 的方程为x 23+y 24=1. (2)证明 由点A (0,-2),B (32,-1),可知直线AB 的方程为y=23x-2.当过点P 的直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为x=1.由{x =1,x 23+y 24=1,解得{x =1,y =2√63或{x =1,y =-2√63,则点M (1,-2√63),N (1,2√63). 将y=-2√63代入y=23x-2,得x=3-√6,则点T (3-√6,-2√63). 又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (5-2√6,-2√63),所以直线HN 的方程为y-2√63=-2√63-2√635-2√6-1x-1),即y=(2√63+2)x-2, 所以直线HN 过点(0,-2).当过点P 的直线MN 的斜率存在时,设直线MN 的方程为y+2=k (x-1),点M (x 1,y 1),N (x 2,y 2). 由{y +2=k (x -1),x 23+y 24=1,消去y ,得(4+3k 2)x 2-6k (k+2)x+3k (k+4)=0,则Δ>0,x 1+x 2=6k (k+2)4+3k 2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k 2. 将y=y 1代入y=23x-2,得x=32(y 1+2),则点T (32(y 1+2),y 1).又MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =TH ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以点H (3y 1+6-x 1,y 1).所以直线HN 的方程为(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)=(y 1-y 2)(x-x 2),即(3y 1+6-x 1-x 2)(y-y 2)-(y 1-y 2)(x-x 2)=0.将x=0,y=-2代入上式,整理得12-2(x 1+x 2)+3y 1y 2+6(y 1+y 2)-x 1y 2-x 2y 1=0.(*) 因为x 1+x 2=6k (k+2)4+3k2,x 1x 2=3k (k+4)4+3k2,所以y 1+y 2=k (x 1-1)-2+k (x 2-1)-2=-8k -164+3k 2,x 1y 2+x 2y 1=x 1[k (x 2-1)-2]+x 2[k (x 1-1)-2]=-24k4+3k 2,y 1y 2=[k (x 1-1)-2][k (x 2-1)-2]=-8k 2+16k+164+3k 2,所以(*)式左边=12-12k (k+2)4+3k2+-24k 2+48k+484+3k2+-48k -964+3k2−-24k 4+3k 2=0=右边,即(*)式成立.所以直线HN 过点(0,-2).综上所述,直线HN 恒过定点(0,-2).5.(1)解 由题可知{b =√2,c a =√32,a 2=b 2+c 2,解得a=2√2,b=√2,∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1. (2)证明 设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则E (-x 1,-y 1).设直线l 为y=12x+t ,代入椭圆方程得x 2+2tx+2t 2-4=0,则Δ=4t 2-4(2t 2-4)>0,解得-2<t<2,x 1+x 2=-2t ,x 1x 2=2t 2-4,则k AE +k AQ =y 2-1x 2+2+-y 1-1-x 1+2=(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)(2+x 2)(2-x 1),又y 1=12x 1+t ,y 2=12x 2+t ,∴(2-x 1)(y 2-1)-(2+x 2)(y 1+1)=2(y 2-y 1)-(x 1y 2+x 2y 1)+x 1-x 2-4=x 2-x 1-(x 1x 2+tx 1+tx 2)+x 1-x 2-4=-x 1x 2-t (x 1+x 2)-4=-(2t 2-4)-t (-2t )-4=0,即k AE +k AQ =0,∴k AE =-k AQ .于是k AE ·k AQ =-k AQ 2≤0.6.(1)解 设M (x ,y ),由题意得d=|x|,MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,√3-y ),MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2-x ,-√3-y ), ∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =d 24-1,∴(2-x ,√3-y )·(-2-x ,-√3-y )=d 24-1,∴x 2-4+y 2-3=x 24-1.∴3x24+y 2=6,M 的轨迹方程为x 28+y 26=1. (2)证法一 显然GH 斜率存在,设P (x 0,0),设GH 的方程为y=k 4x+m ,由题意知CD 的方程为y=k 1(x-x 0),联立方程{y =k 1(x -x 0),y =k 4x +m ,解得{x =k 1x 0+mk 1-k 4,y =k 1(k 4x 0+m )k 1-k 4,可得G k 1x 0+m k 1-k 4,k 1(k 4x 0+m )k 1-k4,设C (x C ,y C ),D (x D ,y D ),则有x C28+y C26=1,x D28+y D26=1,两式相减得:x C 2-x D28+y C 2-y D26=0,则有k 1=y C -y D x C-x D=-34·x C +xD y C+y D,又G 为CD 中点,则有k 1=-34·k 1x 0+mk1(k 4x 0+m ),将G 坐标代入CD 的方程可得4(k 4x 0+m )k 12+3x 0k 1+3m=0,同理可得4(k 4x 0+m )k 22+3x 0k 2+3m=0,故k 1,k 2为关于k 的方程4(k 4x 0+m )k 2+3x 0k+3m=0的两实根. 由韦达定理得k 1+k 2=-3x 04(k4x 0+m ).将x=x 0代入直线GH :y=k 4x+m ,可得N (x 0,k 4x 0+m ),故有k 3=k 4x 0+m x 0,则k 3(k 1+k 2)=k 4x 0+m x 0[-3x 04(k 4x 0+m )]=-34, 故k 3(k 1+k 2)为定值-34.证法二 由题意知直线CD ,EF ,ON 的斜率都存在,分别为k 1,k 2,k 3,设P (t ,0),N (t ,k 3t )(t ≠0),则直线CD ,EF 的方程分别为y=k 1(x-t ),y=k 2(x-t ),两直线分别与曲线W 相交,联立方程{y =k 1(x -t ),x 28+y 26=1,得(6+8k 12)x 2-16k 12tx+8k 12t 2-48=0,解得{x G =x 1+x 22=4k 12t3+4k 12,y G =-3k 1t3+4k 12,可得G (4k 12t3+4k 12,-3k 1t3+4k 12),同理可得H (4k 22t3+4k 22,-3k 2t3+4k 22),。
2022年高考化学二轮复习培优训练——选择题标准练(三)
【解析】选 D。根据图知，a 电极上 Cr 元素化合价由＋3 价变为＋6 价，失电子发生氧化反应，则 a 为阳极，b 为阴极，阳极反应式为 2Cr3＋＋7H2O－6e－===Cr2O27－ ＋14H＋，Cr2O27－ 将环己醇氧 化生成环己酮，阴极反应式为 2H＋＋2e－===H2↑，阳极电势大于阴极电势，据此分析解答。A．阳 极上 Cr3＋发生氧化反应生成 Cr2O27－ ，Cr2O27－ 将环己醇氧化生成环己酮同时生成 Cr3＋，结合图中 信息可知，制取环己酮在常温常压下通过电解完成，且 Cr3＋及 Cr2O27－ 可以循环使用，故 A 正确； B.通过以上分析知，a 极为阳极、b 极为阴极，则 a 极电势高于 b 极，故 B 正确；C.由图中信息可 知 a 极上 Cr3＋转化为 Cr2O27－ ，电极反应式为 2Cr3＋＋7H2O－6e－===Cr2O27－ ＋14H＋，故 C 正确； D.理论上由环己醇(C6H12O)转化为 1 mol 环己酮(C6H10O)时，C 元素化合价由－53 变为－43 ，转移 电子物质的量＝1 mol×6×[－43 －(－53 )]＝2 mol，则生成 3 mol 环己酮有 6 mol 电子发生转移，结 合“2Cr3＋＋7H2O－6e－===Cr2O27－ ＋14H＋”知，有 1 mol Cr2O27－ 转化为 2 mol Cr3＋，故 D 错误。
7.B2O3 的气态分子结构如图 1 所示,硼酸(H3BO3)晶体结构为层状,其二维平面结构如
图 2 所示。下列说法错误的是( )
A.两分子中 B 原子分别采用 sp 杂化、sp2 杂化
B.硼酸晶体中层与层之间存在范德华力
C.1 mol H3BO3 晶体中含有 6 mol 氢键 D.硼原子可提供空轨道,硼酸电离的方程式为 H3BO3+H2O
2022高考数学(文)二轮复习高考小题标准练(二) Word版含答案
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高考小题标准练(二)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B={x ∈R|x 2-2x>0}，则A ∩(R B)所含的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A ，求出B 中不等式的解集，确定出B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集，即可确定出元素个数.【解析】选C.由集合A 中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1<x+2≤3， 解得：-1<x ≤1，且x 为整数，所以A={0，1}；由集合B 中的不等式变形得：x(x-2)>0，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以R B=[0，2]，所以A ∩(R B)={0，1}，即元素有2个.2.设i 是虚数单位，a 为实数，复数z=1+ai i为纯虚数，则z 的共轭复数为( )A.-iB.iC.2iD.-2i 【解析】选B.由于z=1+ai i=(1+ai)i i 2=−a+i −1=a-i ，由于z 为纯虚数，故a=0，所以z=-i ， 则z ̅=i.3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲，乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)人数234951据此估量允许参与面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P=100400=14，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14=6，观看表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.5.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a10−a12a6−a8的值为( )A.2B.4C.8D.16【解题提示】结合已知条件得到q4=4，再利用等比数列的性质即可. 【解析】选B.由于a3=2，a4a6=16，所以a4a6=a32q4=16，即q4=4，则a10−a12 a6−a8=q4(a6−a8)a6−a8=q4=4.6.当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.6B.30C.120D.360【解题提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120.【解析】选C.模拟执行程序框图，可得m=6，n=3，k=6，S=1，不满足条件k<m-n+1=4，S=6，k=5；不满足条件k<m-n+1=4，S=30，k=4；不满足条件k<m-n+1=4，S=120，k=3；满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120. 7.实数x，y满足{x≥1,y≤a,a>1,x−y≤0,若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为( )A.4B.3C.2D.32【解析】选C.画出可行域得直线y=-x+z过(a，a)点时取得最大值，即2a=4，a=2.8.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A.83B.43C.4√3D.2√3【解析】选A.结合三视图，借助正方体想象该棱锥的直观图，如图所示.该棱锥是四棱锥P-ABCD.其底面ABCD为一个底边长为2√2和2的矩形，面积S=4√2，高是P点到底面ABCD的距离，即h=√2，故此棱锥的体积V=13Sh=83.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x-3，则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为推断两函数交点个数问题，最终依据奇函数的对称性确定答案.【解析】选C.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在x>0时有一个零点，又依据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3，故选C.【加固训练】函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为( )A.0B. 1C.2D.4 【解析】选B.由于f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)>0，得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，而f(0)=7>0，f(2)=-1<0，由零点存在定理可知，函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为1.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为(−b2a,−14a)，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0，4)和F2(0，-4)，则点(b，c)所在曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.结合二次函数的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，依据题意可得Δ=b 2-4ac=1，①，二次函数图象和x轴的两个交点分别为(−b+12a,0)和(−b−12a,0)，利用射影定理即得：-(−b+12a×−b−12a)=16 1-b2=64a2，结合①先求出a和c之间的关系，代入①可得到，(b，c)所在的曲线为b2+c24=1，表示椭圆.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知a=(1，2)，b=(4，2)，设a，b的夹角为θ，则cosθ= .【解析】由平面对量的夹角公式得，cosθ==1212√x1+y1·√x2+y2=√5×√20=45.答案：45【加固训练】已知向量a=(1，√3)，b=(3，m).若向量b在a方向上的投影为3，则实数m= .【解析】依据投影的定义：|b|·cos<a，b>==3+√3m2=3；解得m=√3. 答案：√312.已知函数f(x)={x 3+1,x ≥0,x 2+2,x <0,若f(x)=1，则x= .【解析】若x ≥0则x 3+1=1，所以x=0，若x<0则x 2+2=1无解，所以x=0.答案：013.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b-c)(sin B+ sin C)=(a-√3c)·sinA ，则角B 的大小为 .【解题提示】由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2-b 2=√3ac ，由余弦定理可求 cos B ，结合B 的范围即可得解.【解析】由正弦定理，可得sinB=b2R，sin C=c2R，sinA=a2R， 所以由(b-c)(sin B+sin C)=(a-√3c)·sin A 可得(b- c)(b+c)=a(a-√3c)，即有c 2+a 2-b 2=√3ac ，则cos B=a 2+c 2−b 22ac=√32，由于0°<B<180°，则B=30°. 答案：30°14.已知三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O 的表面积为 .【解析】三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，由于SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，所以BC=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，所以∠ABC=90°. 所以△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=12AC=1，所以球O 的半径R=√12+(2√32)2=2，所以球O 的表面积S=4πR 2=16π. 答案：16π15.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)，则b 的值为 . 【解题提示】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a ，b ，k 的方程，再求出在点(1，3)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最终解方程组即可得，从而问题解决.【解析】由于直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)， 所以{k +1=3,1+a +b =3,①又由于y=x 3+ax+b ，所以y ′=3x 2+a ，当x=1时，y ′=3+a 得切线的斜率为3+a ，所以k=3+a ， ②所以由①②得：b=3. 答案：3关闭Word 文档返回原板块。
2015届高考理科数学二轮复习：提能专训9 三角函数的图象与性质Word版含解析
提能专训(九) 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2014·皖南八校联考)sin 2α＝2425，0<α<π2，则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A.15 B ．－15 C.75 D ．±15 [答案] C[解析] 因为sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫π4－α－1，所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝±1＋sin 2α，因为sin 2α＝2425，所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝±75， 因为0<α<π2，所以－π4<π4－α<π4，所以2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝75，故选C.2．(2014·温州十校联考)若sin α＋cos α＝713(0<α<π)，则tan α＝( )A ．－13 B.125 C ．－125 D.13 [答案] C[解析] 由sin α＋cos α＝713(0<α<π)两边平方，得1＋sin 2α＝49169，sin 2α＝－120169，又sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1，∴2tan αtan 2α＋1＝－120169，60tan 2α＋169tan α＋60＝0，∴tan α＝－125或tan α＝－512， 又sin α＋cos α>0，∴|sin α|>|cos α|， 即|tan α|>1，故tan α＝－125，故选C.3．(2014·大连双基测试)在斜三角形ABC 中，“A >B ”是“|tan A |>|tan B |”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 在斜三角形ABC 中，|tan A |>|tan B |⇔|sin A cos B |>|cos A sin B |⇔(sin A cos B )2－(cos A sin B )2>0⇔(sin A cos B ＋cos A sin B )·(sin A cos B －cos A sin B )>0⇔sin(A ＋B )·sin(A －B )>0⇔sin C sin(A －B )>0⇔sin(A －B )>0；又－π<A －B <π，因此sin(A －B )>0⇔0<A －B <π，即A >B .因此，在斜三角形ABC 中，“A >B ”是“|tan A |>|tan B |”的充分必要条件，故选A.4．(2014·辽宁五校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则角B 等于( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° [答案] C[解析] 由正弦定理，得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，即sin(B ＋A )＝sin C sin C ，因为sin(B ＋A )＝sin C ，所以sin C ＝1，∠C＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理，得S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，代入已知得12bc sin A ＝14·2bc cos A ，所以tan A ＝1，A ＝45°，因此B ＝45°，故选C.5．(2014·昆明调研)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38 [答案] B[解析] 由正弦定理，得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34，故选B.6．(2014·合肥质检)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc .若a ＝3，S 为△ABC 的面积，则S ＋3cos B cos C 的最大值为( )A ．3 B. 2 C ．2 D. 3 [答案] A[解析] 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32⇒A ＝5π6，又a ＝3，故S ＝12bc sin A ＝12·a sin Bsin A ·a sin C ＝3sin B sin C ，因此S ＋3cos B cos C ＝3sin B sin C ＋3cos B cos C ＝3cos(B －C )，于是当B ＝C 时取得最大值3，故选A.7．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1±5D ．－1－ 5 [答案] B[解析] 由题意，得sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m 2，解得m ＝1±5，又∵Δ＝4m 2－16m ≥0，解得m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－5，故选B.8．(2014·河北衡水中学五调)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( )A ．－45B ．－35 C.45 D .35 [答案] C[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，∴32sin α＋32cos α＝－435， ∴32sin α＋12cos α＝－45.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝cos αcos 2π3－sin αsin 2π3＝－12cos α－32sin α＝45，故选C.9．(2014·东北四市二联)△ABC 中角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，满足b a ＋c ＋ca ＋b≥1，则角A 的范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 B.⎝⎛⎦⎥⎤0，π6 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π [答案] A [解析] 由b a ＋c ＋c a ＋b≥1，得b (a ＋b )＋c (a ＋c )≥(a ＋c )(a ＋b )，化简得b 2＋c 2－a 2≥bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ≥12，即cos A ≥12(0<A <π)，所以0<A ≤π3，故选A.10．如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA ，OB ，再修建一长度为AB 的围栏，围栏的造价与AB 的长度成正比．现已知墙角∠AOB 的度数为120°，当△AOB 的面积为3时，就可起到保护作用．则当围栏的造价最低时，∠ABO ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° [答案] A[解析] 只要AB 的长度最小，围栏的造价就最低．设OA ＝a ，OB ＝b ，则由余弦定理，得AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，又S △AOB ＝12ab sin 120°＝3，所以ab ＝4.故AB 2≥12，即AB 的最小值为2 3.由a ＝b 及3ab ＝12，得a ＝b ＝2.由正弦定理，得sin ∠ABO ＝a sin 120°AB ＝223×32＝12.故∠ABO ＝30°，故选A. 11．(2014·德阳二诊)已知△ABC 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为( )A.34B.56C.710D.23 [答案] A[解析] 依题意，不妨设三边长a ＝m －1，b ＝m ，c ＝m ＋1，其中m ≥2，m ∈N ，则有C ＝2A ，sin C ＝sin 2A ＝2sin A cos A ，c ＝2a ×b 2＋c 2－a 22bc ，bc 2＝a (b 2＋c 2－a 2)，m (m ＋1)2＝(m －1)(m 2＋4m )，由此解得m ＝5，因此cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52＋62－422×5×6＝34，故选A.12．(2014·石家庄一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1 B. 2 C ．3 D. 3 [答案] D[解析] ∵c sin A ＝3a cos C ， ∴sin C sin A ＝3sin A cos C ， ∵sin A ≠0，∴tan C ＝3， ∵0<C <π，∴C ＝π3，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－A ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6，∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6， ∴32<3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6≤3， ∴sin A ＋sin B 的最大值为3，故选D. 二、填空题13．(2014·广州综合测试一)设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝________. [答案] 210[解析] 由于α为锐角，则0<α<π2， 则π6<α＋π6<2π3，因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6>0， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4 ＝45×22－35×22＝210.14．(2014·潍坊一模)若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 2αsin 2α＋4cos 2α的最大值为________．[答案] 12[解析] ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan α∈(0，＋∞)， ∴sin 2αsin 2α＋4cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋4cos 2α＝2tan αtan 2α＋4 ＝2tan α＋4tan α≤22tan α×4tan α＝12， 当且仅当tan α＝4tan α，即tan α＝2时取等号．15．(2014·贵阳适应性考试)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0，则A ＝________.[答案] π3[解析] 由题意，得sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin B ＋sin C ， ∴sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin(A ＋C )＋sin C ，∴sin A cos C ＋3sin A sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin C . ∵sin C ≠0，∴3sin A －cos A ＝1， 即32sin A －12cos A ＝12， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12， ∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.16．(2014·云南第一次检测)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，若cos B ＝45，a ＝10，△ABC 的面积为42，则b ＋asin A 的值等于________．[答案] 16 2[解析] 依题，可得sin B ＝35，又S △ABC ＝12ac sin B ＝42，则c ＝14. 故b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝62， 所以b ＋a sin A ＝b ＋bsin B ＝16 2. 三、解答题17．(2014·江南十校联考)已知函数f (x )＝12λsin ωx ＋32λcos ωx (λ>0，ω>0)的部分图象如图所示，其中点A 为最高点，点B ，C 为图象与x 轴的交点，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝c ＝3，且满足(2c －3a )cos B －3b cos A ＝0.(1)求△ABC 的面积；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解：(1)由(2c －3a )cos B －3b cos A ＝0，得B ＝π6.在△ABC 中，BC 边上的高h ＝c sin B ＝32，BC ＝2c cos B ＝3， 故S △ABC ＝12×BC ×h ＝334.(2)f (x )＝12λsin ωx ＋32λcos ωx ＝λsin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又T ＝2BC ＝2πω＝6，则ω＝π3， 故f (x )＝λsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π3由－π2＋2k π≤πx 3＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )， 可得6k －52≤x ≤6k ＋12(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －52，6k ＋12(k ∈Z )．18．(2014·四川5月高考热身)已知向量m ＝(3sin x ，－1)，n ＝(cos x ，cos 2x )，函数f (x )＝m ·n ＋12.(1)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，f (x )＝33，求cos 2x 的值； (2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足2b cos A ≤2c －3a ，求f (B )的取值范围．解：(1)f (x )＝m ·n ＋12＝3sin x cos x －cos 2x ＋12＝32sin 2x －12cos 2x －12＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴－π6≤2x －π6≤π3.又∵f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝33>0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＝63. ∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6×32－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 ＝63×32－12×33＝22－36.(2)由2b cos A ≤2c －3a ，得2b ·b 2＋c 2－a 22bc ≤2c －3a ，即a 2＋c 2－b 2≥3ac .∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥32，∴0<B ≤π6，从而得－π6<2B －π6≤π6，故f (B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12. 19．(2014·贵阳适应性考试)已知向量a ＝(sin x ，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫3cos x ，－12，函数f (x )＝(a ＋b )·a －2. (1)求函数f (x )的最小正周期T ；(2)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，其中A 为锐角，a ＝23，c ＝4，且f (A )＝1，求△ABC 的面积S .解：(1)f (x )＝(a ＋b )·a －2＝|a |2＋a ·b －2＝sin 2x ＋1＋3sin x cos x ＋12－2＝1－cos 2x 2＋32sin 2x －12＝32sin 2x －12cos 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 因为ω＝2，所以T ＝2π2＝π.(2)f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝1. 因为A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，2A －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6， 所以2A －π6＝π2，A ＝π3.又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以12＝b 2＋16－2×4b ×12， 即b 2－4b ＋4＝0，则b ＝2.从而S ＝12bc sin A ＝12×2×4×sin π3＝2 3.20．(2014·衡水一模)在△ABC 中，a ，b ，c 是角A ，B ，C 对应的边，向量m ＝(a ＋b ，c )，n ＝(a ＋b ，－c )，且m ·n ＝(3＋2)ab .(1)求角C ；(2)函数f (x )＝2sin(A ＋B )cos 2(ωx )－cos(A ＋B )sin(2ωx )－12(ω>0)的相邻两个极值的横坐标分别为x 0－π2，x 0，求f (x )的单调递减区间．解：(1)因为m ＝(a ＋b ，c )，n ＝(a ＋b ，－c )，m ·n ＝(3＋2)ab ，所以a 2＋b 2－c 2＝3ab ，故cos C ＝32， ∵0<C <π，∴C ＝π6.(2)f (x )＝2sin(A ＋B )cos 2(ωx )－cos(A ＋B )sin(2ωx )－12 ＝2sin C cos 2(ωx )＋cos C sin(2ωx )－12 ＝cos 2(ωx )＋32sin(2ωx )－12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 因为相邻两个极值的横坐标分别为x 0－π2，x 0，所以f (x )的最小正周期为T ＝π，ω＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π6<x <k π＋2π3，所以f (x )的单调递减区间为k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z .。
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高考小题标准练(九)
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一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合M={x|x2-3x-4<0}，N={x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )
A.(0，4]
B.[0，4)
C.[-1，0)
D.(-1，0] 【解析】选B.因为集合M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4}.N={x|0≤x≤5}，所以M∩N={x|0≤x<4}.
2.设复数z=3+i(i为虚数单位)在复平面中对应的点为A，将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OB，则点B在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【解析】选B.复数z=3+i对应复平面上的点A(3，1)，将OA逆时针旋转90°后得到OB，故B(-1，3)，在第二象限.
3.某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的支持态度”是否有关，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=7.069，则认为“学生性别与支持活动有关”的犯错误的概率不超过( )
A.0.1%
B.1%
C.99%
D.99.9%
附：
【解析】选B.因为7.069>6.635，所以认为“学生性别与支持活动有关系”出错的概率不超过1%.
4.已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=2，cosA=，则△ABC面积的最大值为( )
A.2
B.
C.
D.
【解析】选B.由a2=b2+c2-2bccosA得4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所
以bc≤3，S=bcsinA=bc·≤×3×=.
5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见此日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则第二天走了( )
A.96里
B.48里
C.192里
D.24里
【解析】选A.由题意，得该人每天走的路程形成以为公比、前6项和为378的等比数列，设第一天所走路程为a1，则=378，
解得a1=192，a2=96，即第二天走了96里.
6.若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增，且
f>f，则ω的一个可能值是( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间上单调递增，得≤⇒ω≤.
由f>f，得>，
ω>，所以<ω≤.故选C.
7.如图所示的程序框图中，循环体执行的次数是( )
A.50
B.49
C.100
D.99
【解析】选B.从程序框图反映的算法是S=2+4+6+8+…，i的初始值为2，由i=i+2知，执行了49次时，i=100，满足i≥100，退出循环.
8.设m，n∈R，若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切，。