高考数学压轴题解题思路

高考数学压轴题解题思路
一、数学归纳法的工具显神通. 案例一
下面是：2016年北京理科高考数学压轴题。

设数列A ：1a ，2a ,…N a (N ≥2)。

如果对小于n(2≤n ≤N)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。

记“G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合.
（I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则G （A ）≠ ∅ ； (I I I ）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2,3, …,N ）,则G （A ）的元素个数不小于1a a N -. 仅证第三小问.
分析：(I I I ）记|)|A G （表示集合中元素个数.
（1）2=n 时，当1|)(|,12=>A G a a ，又112≤-a a ，则.|(|12a a A G -≥）
当0|)(|012=≤-A G a a ，显然，，）12|(|a a A G -≥2=∴n 成立.
（2）假设k n =成立,如何利用k n =去证1+=k n 成立是个难点.首先对k n =成立的理解.其实质是k 个元素，k b b b ,,21.如果),2.(11k n b b n n =≤--,则)(A G 元素个数不小于1b b k -，k b b b ,,21,可能是k a a a ,,21，也可能是 n a a a ,,21中任k 个元素组成的数列，只要新数列后一项减去前一项不超过1，就可以利用归纳假设.在利用k n =来证1+=k n 成立时.必须对121,+k a a a 减少一个元素，减少谁呢？显然，根据“G 时刻定义”，去掉最大或最小元素对处理G 时刻增加或减少较好处理.
选择最小元素所在位置为分类标准.
①在121,+k a a a 中如果最小元素是1+k a ，011≤-+a a k 显然成立. ②如果最小元素是1a ，去掉1a 后，12+k a a ，)1,,3,11+=≤--k n a a n n （符合k n =成立的条件.令12+k a a 的G 时刻组成的集合为)A G （，则.|(|21a a A G k -≥+）因为1a 是最小元素，121,+k a a a 的G 时刻元素个数为
1n .1|)(|)()(1|(|122111+=∴+≤-+-=-+++k A G a a a a a a A G k k ，）成立.
③如果最小元素是在中间某个元素i a ，去掉i a ，要想1,1121,,++-k i i a a a a a ，对k n =成立，必须111i ≤--+i a a 成立,才能利用假设。

0,111≤-≤--+i i i i a a a a .1)()(1111≤-+-=-∴-+-+i i i i i i a a a a a a ，∴对于
1,1121,,++-k i i a a a a a 可以利用归纳假设，11|(|a a A G k -≥+）。

i a 是最小元
素，
121,+∴k a a a 中G 时刻元素个数等于1,1121,,++-k i i a a a a a 中G 时刻元素个数，1+=∴k n 成立. 综上所述命题为真.
说明：本题关键：①对k n =本质的理解;②选择了最小数，由最小数的位置，有利于确定G 时刻元素个数.当然，也可以选择最大数的位置去处理.
二、数列不等式中找递推
案例二：2016年浙江高考理科数学压轴题. 设数列{}n a 满足1
12
n n a a +-
≤，n *∈N ． （I ）证明：()1122n n a a -≥-，n *∈N ；
（II ）若32n
n a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，n *∈N ，证明：2n a ≤，n *
∈N ．
仅分析第二小问.分析：
1111 1.22
n n n n a a a a ++-
≤∴-≤-≤，如果11=1;122n n n n a a
a a ++--=-.我们能得出什
么样的递推关系呢？当然是：)2(22)2(2211+=+-=-++n n n n a a a a ；.那么对于不等式同样可得出相应的递推关系：)2(221-≥-+n n a a 且
)2(221+≤++n n a a .若2>∃ k a ，由)2(221-≥-+n n a a ，易得，
≥≥-≥-≥--+-++ )22)2(2222
1k n k n k n a a a （
2)2(2),2(2+-≥-+ k n k n k n a a a .用反证法，只需找到
k n k n a +≥-）（2
3)2(2成立
的n ，只需2)23(34-> k k n a ）（，而+∞→n ，+∞→n
）（34，2)23(-
k k a 是常数，所以，
n ∃使 k n k n a ++>)23(||，与题设n n a )2
3
(||≤矛盾，所以2>∃ k a 不可能.同理，利用)2(221+≤++n n a a 递推关系，若2-<∃
k a 也不可能,所以2n a ≤n *∈N .
说明：本题关键：①在不等式1
12
n n a a +-≤中，找出递推关系;②反证法的应用.
三、基础小问是桥梁。

2016年江苏高考压轴题. （记{}1,2,
,100U =．对数列{}n a （*n ∈N ）和U
的子集T ，若T =∅，定义
0T S =；
若{}12,,
,k T t t t =，定义12k
T t t t S a a a =++
+．例如：{}1,3,66T =时，
1366T S a a a =++．
现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =． ⑴ 求数列{}n a 的通项公式；
⑵ 对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆，求证：1T k S a +<；
⑶ 设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C
D
D S S S +≥．
仅分析(2)、（3）问.
分析：（2）由（1）可知13-=n n a ，对1T k S a +<，只需考虑极端情形：1
+<k k a s 就可以.由2
13,31-==+k k
k k s a ，则k k s a 21>+，即1T k S a +<.
（3）（a ）当C 、D 有一个为φ，显然成立。

（b ）当C 、D 不为φ，（2）证明中得到：k k s a 21>+很重要.
令{}
{}i j D D D D C C C C 2121,,==，， ①当1i +≥D C j 时，由(2)可知，
D D j S S a i
22≥>成立.D C S S 2>∴∴2C C
D
D S S S +≥．
②当i j D C ≤+1时，则由（2）可知，C C D S S a i
22j
≥>，
C D S S 2>∴与C D S S ≥矛盾.故不可能.
③当i C D =j 时，若D C =,则显然成立.若D C ≠，则除去C 和
D 中的相同项.令
{}
{}
,,,,,,2121j D C D C i i i j j S S D C S S D D D D C C C C p k ''>∴≠≥='=' p k i j D C ≠.如果1j +≥p k i D C .则由（2）可知
=-+->'')()(2D D C D C D C S S S S S S
0)>--'''D D C S S S （ .如果当i D C ≤++11j 时，则由（2）可知，C C D S S a i 22j ≥>，
C D S S 2>∴与C D S S ≥矛盾.故不可能.
综上所述:2C C D
D S S S +≥成立.说明：
本题的关键①基础小问的利用;②合理分类.
四、特殊位置找出路
2016年天津高考理科数学压轴题.
设函数f (x )=（x-1）3-ax -b,x ∈R ，其中a ,b ∈R. (I)求f (x )的单调区间；
(II)若f (x )存在极值点x 0，且f (x 1)=f (x 0)，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； (III)设a ＞0,函数g (x )=∣f (x )∣,求证：g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于4
1.
仅分析第(III)问.
分析：(III)只需找到某一点的值不小于4
1
就可以.在[]2,0中，找那些点呢？当然，中点、端点、极值点就是最特殊的点，极值点不一定在定义域中，所以首先考虑中点、端点。

（1）如果
(0)1,
(1)
,
(2f b
f a b
f a b
=-
-=--=--。

这三个中有一个绝对值不小于41就可以了。

（2）如果没有，则 1
1
(0)4411(1)4
411
(2)44
f f f -<<
-<<-<< 即 ① ②
③.考虑极值点。

=
,
，显然必须考虑 的范围，才能确定极值点在不在定义域中。

当然a 的范围尽量小，①+③化简得，a 范围最小，
,
，
，当 时，
，当
时，
>
.综上所述，问题解决。