捕食_被捕食二维Lotka_Volterra模型的_持续生存与_绝灭

又因为 x1 (0) > β ，所以 x1 (t) > β, t ∈ [0, η ]，则有 x1 (η ) > β 。矛盾！ 由 (i) 和 (ii) 的证明知 x1 (t) 永远 β 持续生存。 (II) 考虑 r11 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) + ≤0 a12 −a2 12 a21 时，此时对任意的 t ∈ [0, +∞) x2 (t) ≥ 显然成立，所以 在 [0, +∞) 上可得 dx1 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) r11 ≤ x1 r11 − a11 x1 − a12 + dt a12 −a2 12 a21 = a11 x1 又因为 x1 (0) ≤ 所以由比较定理知 x1 (t) ≤ 所以可得 ∆1 − a11 a22 β − x1 . −a12 a21 ∆1 − a11 a22 β , −a12 a21 ∆1 − a11 a22 β , −a12 a21 r11 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) + a12 −a2 12 a21
阎慧臻1 , 马知恩2 , 刘 燕1
(1- 大连工业大学信息科学与工程学院，大连 116034; 摘 2- 西安交通大学数学系，西安 710049)
要: 利用极限理论与延拓方法，研究了捕食-被捕食二维 Lotka-Volterra 模型在有限时间内的持续生 存与绝灭问题，即 β 持续生存与 β 绝灭问题。所得结论表明：种群的 β 持续生存和 β 绝灭与种群 的初始数量有关。在一定条件下，只要控制食饵种群与捕食种群的初始数量在一定范围内，即可 保证两种群永远 β 持续生存。 中图分类号: O29; Q141 文献标识码: A
则存在 δ > 0，使得 t ∈ [T, T + δ ] 时，上面的式子也成立。
第1期
阎慧臻等：捕食-被捕食二维 Lotka-Volterra 模型的 β 持续生存与 β 绝灭
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因为 x1 (T ) > β ，所以存在 δ1 > 0，使得 t ∈ [T, T + δ1 ] 时，x1 (t) > β 。若 x2 (T ) > r11 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) + , a12 −a2 12 a21
t→+∞
lim x1 (t) ≥ β > 0.
再由引理 1 知 x1 (t) 有界，所以
t→+∞
lim
ln x1 (t) − ln x1 (0) = 0. t
把式 (1) 变形得 ln x1 (t) − ln x1 (0) = r11 − a11 x1 − a12 x2 , t ln x2 (t) − ln x2 (0) = r21 − a21 x1 − a22 x2 . t 用式 (2) 乘以 (−a22 ) 并加上式 (3) 乘以 a12 ，得 a12 · 因为 lim
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阎慧臻等：捕食-被捕食二维 Lotka-Volterra 模型的 β 持续生存与 β 绝灭
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2) 当 a11 a22 + a12 a21 ≥ 0 时，若 β > 2 ，则 x2 (t) 在有限时间内 β 绝灭。 证明 1) 利用反证法。假设 t ∈ [0, +∞) 时，x1 (t) > β ，则
t→+∞
(2) (3)
ln x1 (t) − ln x1 (0) ln x2 (t) − ln x2 (0) − a22 · = ∆ · x1 − ∆1 . t t
(4)
a12 ·
ln x1 (t) − ln x1 (0) ln x2 (t) − ln x2 (0) − a22 · t t
≤ a12 lim = a12 lim 所以对 (4) 式两边取极限得
关键词: 捕食-被捕食模型；β 持续生存；β 绝灭 分类号: AMS(2000) 92B05
1
引言
对于由 Logistic 方程所描述的一维种群模型和由二维 Lotka-Volterra 方程所描述的两种群 模型，由解的唯一性知：从任一正初始值出发的解都不可能在有限时间内变为零，反映在生 物学上即表示种群不可能在有限时间内绝灭。但在实际中，如果环境中毒素浓度很大，或种 群的数量少于一定的限度，种群就将无法生存而很快地绝灭。因此，有必要研究种群在有限 时间内的持续生存与绝灭问题，即 β 持续生存与 β 绝灭问题[1-3] 。本文研究了捕食-被捕食二 维 Lotka-Volterra 模型的 β 持续生存与 β 绝灭的问题，给出了 β 持续生存与 β 绝灭的一些充分 条件。
∗ 基金项目:
收稿日期: 2008-06-06. 作者简介: 阎慧臻 (1965年11月生)，女，博士，教授. 研究方向：生物数学. 辽宁省教育厅科技研究项目 (2009A075).
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第27卷
其中 a11 > 0, a22 > 0，即种群 x1 (t), x2 (t) 均为密度制约的。当参数 a12 > 0, a21 < 0 时，称模 型 (M ) 为捕食-被捕食系统 (并假设 r11 > 0, r21 < 0，即捕食者 x2 (t) 仅以食饵 x1 (t) 为食)。 为书写方便，引入以下记号：记 a11 a12 , ∆ = det(A) = a11 a22 − a12 a21 , A= a21 a22 ∆1 = a22 r11 − a12 r21 , x
r11 a11 ；由
∆1 r11 < , ∆ a11 ∆1 ∆1 < , ∆ a11 a22
∆ > a11 a22 ⇒
∆1 所以 β < a11 a22 。 (I) 考虑
r11 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) + >0 a12 −a2 12 a21 时，(i) 首先证明如下命题。若 β < x1 (T ) ≤ ∆1 − a11 a22 β , −a21 a12 r11 − a11 β r11 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) ≤ x2 (T ) ≤ + , 2 a12 −a12 a21 a12
2
定义及引理
定义 1 对于给定常数 β > 0，如果当 0 ≤ t < T (0 < T ≤ +∞) 时，有 x(t) > β,
t→T −
lim x(t) = β,
则称种群 x(t) 于时刻 T 在种群水平 β 上走向绝灭，或称 β 绝灭；如果种群 x(t) 在 [0, T ] 上的任 一时刻均不 β 绝灭，则称种群 x(t) 于 [0, T ] 上在种群水平 β 上持续生存，或称 β 生存。 考虑如下两种群 Lotka-Volterra 模型 dx1 dt = x1 (r11 − a11 x1 − a12 x2 ) (M ) (1) dx2 = x (r − a x − a x ) 2 21 21 1 22 2 dt
则存在 0 < δ < δ1 ，使得 t ∈ [T, T + δ ] 时 x2 (t) ≥ 若 x2 (T ) = 则 dx2 dt = x2 (T ) r21 − a21 x1 (T ) − a22 > x2 (T ) r21 − a21 β − a22 = x2 (T ) · a11 (a11 a22 β − ∆1 ) r11 + a12 −a2 12 a21 r11 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) + . a12 −a2 12 a21 r11 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) + , a12 −a2 12 a21
∗
∆2 = a11 r21 − a21 r11 , x
∗
x =
1 ttx(Fra bibliotek)ds,0
= lim x = lim inf x ,
t→∞ t→∞
= lim x = lim sup x .
t→∞ t→∞
并假设 ∆ > 0, ∆1 > 0, ∆2 > 0，即假设模型 (M ) 中的 x1 (t), x2 (t) 是永久持续生存的[4] 。 引理 1[4] 捕食-被捕食系统 (M ) 从第一象限出发的解均有界，且最终一致有界。
∆2 ∆ ,
则 x1 (t) 永远 β 持续生存。 2) 对于捕食种群 x2 (t)，当 β <
a11 a22 + a12 a21 ≥ 0 时，若 β < x2 (0) ≤ ∆2 − a11 a22 β , −a12 a21
a22 β − r21 r21 a22 (∆2 − a11 a22 β ) ≤ x1 (0) ≤ + , −a21 a21 a12 a2 21 则 x2 (t) 永远 β 持续生存。 证明 1) 由 ∆2 > 0 ⇒ 所以 β <
第27卷 第1期 2010年02月
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CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
Vol. 27 No. 1 Feb. 2010
文章编号:1005-3085(2010)01-0139-06
捕食-被捕食二维 Lotka-Volterra 模型的 β 持续生存与 β 绝灭∗
ln x2 (t) − ln x2 (0) ln x1 (t) − ln x1 (0) − a22 lim t→+∞ t→+∞ t t
t→+∞
ln x2 (t) − ln x2 (0) ≤ 0, t
0 ≥ lim (∆ · x1 (t) − ∆1 ) = ∆ · lim x1 (t) − ∆1 ≥ ∆ · β − ∆1 ,
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主要结果
定理 1 考虑捕食-被捕食系统 (M )。 1 1) 对于食饵种群 x1 (t)，当 β < ∆ ∆ , a11 a22 + a12 a21 ≥ 0 时，若 β < x1 (0) ≤ ∆1 − a11 a22 β , −a21 a12 r11 a11 (a11 a22 β − ∆1 ) r11 − a11 β + ≤ x2 (0) ≤ , 2 a12 −a12 a21 a12