【高二数学期末试题】重庆市西南师大附中09-10学年高二上学期期末考试(数学文)
【高二数学期末试题】重庆市西南师大附中10-11学年高二上学期期末考试(数学理)
西南师大附中2010—2011学年度上期期末考试高二数学试题（理科）（总分：150分 考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 直线x + 3y – 6 = 0的倾斜角的大小是（ ）A ．钝角B ．锐角C ．直角D ．无法确定2． 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1 = 2，E 为棱CC 1上的点，则B 1D 1与AE 所成的角（ ） A ．30︒B ．45°C ．60︒D ．90°3． 若PQ 是圆229x y +=的弦，PQ 的中点是（1，2），则直线PQ 的方程是（ ） A ．230x y +-= B ．250x y +-= C ．240x y -+= D ．20x y -=4． 若椭圆C 1的离心率为513，焦点在x 轴上且长轴长为26．若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）A ．221169x y -=B ．22116925x y -=C ．221916x y -=D ． 221169144x y -=5． 已知F 1、F 2为椭圆C ：22153x y +=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=︒，则12||||PF PF =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．86． 下面各命题中正确的是（ ）A ．直线m ，n ，m ∥面α，n ∥面α，则m ∥n ；B ．直线m ∥n ，m ⊂面α，n ⊂面β，则α∥β；C ．直线m ⊥面α，直线n ⊥面α，则m ∥n ；D ．直线m ⊂面α，n ⊂面β，α∥β，则m ，n 异面．7． 设抛物线y 2 = 4x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF的斜率为||PF =（ ） A．B ．8C．D ．48． 设双曲线C ：22194x y -=的右焦点为F ，右准线为l ，设某条直线m交其左支、右支和右（第2题图）准线分别于P 、Q 、R ，则PFR QFR ∠∠和的大小关系是（ ）A ．大于B ．小于C ．等于D ．大于或等于9． 若点O 和点F 分别为椭圆22143x y+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．810． 已知点P 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（ ） ABC ．b aD ．a b二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11． 三条直线10280350x y x y ax y ++=-+=+-=，，只有两个不同的交点，则a = ．12． 在四面体PABC 中，各棱长均为2，M 为棱AB 的中点，则异面直线PA 和CM 所成角的余弦值为 ．13． 变量x 、y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =-的最大值为 ．14． 若点A 的坐标为(32)-，，F 为抛物线24y x =-的焦点，点P 是抛物线上的动点，当||||PA PF +取最小值时，P 的坐标为 ．15． 右图是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一种平面展开图，在这个正方体中，E 、F 、M 、N 均为所在棱的中点 ① NE ∥平面ABCD ； ② FN ∥DE ；③ CN 与AM 是异面直线； ④ FM 与BD 1垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是 ．（第10题图）A BCPM（第12题图）（第15题图）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分13分)已知圆C 的圆心在y 轴上，半径为1，且经过点P （1，2）． (1) 求圆的方程；(2) 直线l 过点Pl 的方程．17． (本小题满分13分)如图所示，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒． (3) 求证：BC ⊥PB ；(4) 若AB = BC = 2，PA=，E 为PC 中点，求AE 与BC 所成角的余弦值．18． (本小题满分13分)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1) 写出该抛物线的方程及其准线方程；(2) 若直线AB 与x 轴交于点M （x 0，0），且124y y =-，求证：点M 的坐标为（1，0）． 19． (本小题满分12分)如图，边长为a 的正三角形ABC ，PA ⊥平面ABC ，PA = a ，QC ⊥平面ABC ， QC =2a，PQ 与AC 延长线交于F 点．(1) 若D 为PB 中点，证明：QD ∥平面ABC ； (2) 证明：BF ⊥平面PAB ．20． (本小题满分12分)已知点3(1)2P -，是椭圆E ：22221x y a b+=（a > b > 0）上一点，F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．BACQPDPAEBC（第19题图）（第17题图）(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设A 、B 是椭圆E 上两个动点，是否存在λ，满足PO PB PA λ=+（0<λ<4，且λ≠2），且M （2，1）到AB 的距离为5？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．21． (本小题满分12分)如图，设抛物线C 1：24(0)y mx m =>的准线与x 轴交于F 1，焦点为F 2；以F 1，F 2为焦点，离心率12e =的椭圆C 2与抛物线C 1在x 轴上方的交点为P 。
重庆市名校高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）l ()1,1a =-l A ． B ． 45︒90︒C ． D ．120︒135︒【答案】D【分析】由直线的方向向量的概念，即可求出直线的斜率，进而求出直线倾斜角.l l 【详解】由于直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为l (1,1)a =-l 1-l .135︒故选：D.2．是等差数列，且，则的值为（ ） {}n a 14725815,24a a a a a a ++=++=369a a a ++A ．24 B ．27C ．30D ．33【答案】D【分析】根据等差数列的性质计算．【详解】解：因为是等差数列，设公差为，则，{}n a d ()2581473a a a a a a d ++-++=，()3692583a a a a a a d ++-++=所以，，也成等差数列， 147a a a ++258a a a ++369a a a ++所以． 369a a a ++2582()a a a =++147()a a a -++2241533=⨯-=故选：D ．3．已知椭圆的离心率，则的值可能是（ ）22159x y k +=+13e =k A ．3 B ．7 C ．3或 D ．7或41874【答案】C【分析】根据给定的方程，按焦点位置分类求解作答.【详解】椭圆的离心率，22159x y k +=+13e =当椭圆焦点在x 轴上时，，即，，解得，59k +>4k >2(5)9159k e k +-==+418k =当椭圆焦点在y 轴上时，，即，，解得， 059k <+<54k -<<29(5)199k e -+==3k =所以的值可能是3或. k 418故选：C4．若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）221343x y m m +=+-m A ． B ． C ． D ．()4,3,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭()4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭43,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据方程表示双曲线，由求解.221343x y m m +=+-()()3430m m +-<【详解】解：因为方程表示双曲线，221343x y m m+=+-所以，即，()()3430m m +-<()4303m m ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭解得或，43m >3m <-所以实数的取值范围为，m ()4,3,3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭故选：C5．直线与圆的位置关系是（ ） 1y kx =+22230x y y ++-=A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切【答案】D【分析】求出动直线过的定点，再判断该定点与圆的位置关系即可作答. 【详解】，当时，恒有，即直线过定点， R k ∀∈0x =1y =1y kx =+(0,1)A 在圆中，当时，方程成立， 22230x y y ++-=0,1x y ==22230x y y ++-=即点在圆上，(0,1)A 22230x y y ++-=所以直线与圆的位置关系是相交或相切 1y kx =+22230x y y ++-=故选：D6．已知一个乒乓球从米高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度是原来高度的h (01)m m <<倍，则当它第2023次着地时，经过的总路程是（ ） A ．B ．h()2023211hm m h m -+-()2022211hm m m -+-C ．hD ．()202311hm m m-+-()202211hm m h m-+-【答案】B【分析】根据等比数列的求和公式求解即可.【详解】解：从第1次着地到第2次着地经过的路程为 ，第2次着地到第3次着地经过的路2mh程为，，组成以为首项，公比为的等比数列， 22m h 2mh m 所以第1次着地到第次着地经过的路程为，2023()2022211mh m m--所以经过的总路程是.()2022211mh m h m-+-故答案为：B.7．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮席为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八O O O 等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）AB BO OC CD ===A B C D【答案】B【分析】设双曲线的标准方程为，求出圆与双曲线在第一象限内的交点()222210,0x y a b a b-=>>O E的坐标，将点的坐标代入双曲线的方程，可得出的值，再利用双曲线的离心率公式可求得该双E ba 曲线的离心率.【详解】设双曲线的标准方程为，()222210,0x y a b a b-=>>设圆与双曲线在第一象限内的交点为，连接、，则O E DE OE 22OE OD OC CD OC a ==+==，因为坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，则，O O 1π2π84DOE ∠=⨯=故点，)E将点，所以，，E1=ba所以，该双曲线的离心率为. c e a ===故选：B.8．已知数列的前项和，设为数列的前项和.若对任意的{}n a n 23122n S n n =-11,n n n n b T a a +={}n b n ，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）*n ∈N 124n T n λ<+λA ． B ． C ． D ．(),64∞-(),48-∞(),32-∞()16,∞+【答案】A【分析】根据的关系求出数列的通项公式，再根据裂项相消法求得，从而根据不等式,n n a S {}n a n T 恒成立求实数的取值范围. λ【详解】当时，， 2n ≥2213131(1)(1)322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦当时满足上式，1n =111a S ==所以，32,n a n n *=-∈N 所以， ()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭所以121111111113434733231n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以， 11133131n T nn n ⎛⎫-= ⎪⎭=++⎝由可得， 124n T n λ<+12431nn n λ<++即恒成立， 24(31)1496n n n n λ+⎛⎫<=⨯++ ⎪⎝⎭因为对勾函数在单调递增， 14(96)y x x=++[)1,+∞所以当时有最小值为64，1n =1496n n ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭所以， 64λ<故选:A.二、多选题9．下列结论错误的是（ ）A ．过点的直线的倾斜角为()()1,3,3,1A B -30 B ．若直线与直线垂直，则 2360x y -+=20ax y ++=32a =C ．直线与直线 240x y +-=2410x y ++=D ．已知，点在轴上，则的最小值是5 ()()2,3,1,1A B -P x PA PB +【答案】AC【分析】求出直线倾斜角判断A ；利用垂直关系求出a 判断B ；求出两条平行线间距离判断C ；利用对称求出最小值判断D 作答.【详解】对于A ，直线倾斜角，斜率，而，A 不AB α131tan 312k α-===--tan 30= 30α≠o 正确;对于B ，直线与直线垂直，则，解得，B 正确； 2360x y -+=20ax y ++=230a -=32a =对于C ，直线与直线平行，它们间的距离，C 不正2480x y +-=2410x y ++=d =确；对于D ，令点关于x 轴的对称点为，连接交x 轴于，P 为x 轴上任意点，连接B (1,1)B '--AB 'P '，如图，PB '则，当且仅当点P 为线段与x 轴的交点时取等||||||||||||||PA PB PA PB AB AP P B ''''+=+≥=+AB 'P '号，，因此的最小值是5，D 正确. ||5AB '==PA PB +故选：AC10．已知等差数列满足，前3项和，则（ ） {}n a 343a =33S =A ．数列的通项公式为 {}n a 1423n a n =-B ．数列的公差为{}n a 13C ．数列的前项和为{}n a n 236n n nS +=D ．数列的前20项和为11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭4511【答案】BCD【分析】通过基本量计算得和d ，可判断ABC ；用裂项相消法求和可判断D. 1a 【详解】设等差数列的公差为{}n a ,d 由题知，，解得，则，3131423333a a d S a d ⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩121,33a d ==2111(1)3333n a n n =+-=+，故A 错，BC 正确； 22(1)133236n n n n nS n -+=+⨯=记的前n 项和为，因为， 11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 11999(1)(2)12n n a a n n n n +==-++++所以 ()9999999()()((23349999)12222452n T nn n n n =-+-+-+⋅⋅-==+⋅++-++所以，故D 正确. 209204522211T ⨯==⨯故选：BCD11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，若某直线上存在点，使得点到点的距离比到直线的距离()0,2M :4l y =-P P M l 小2，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点轨迹曲线是抛物线P B ．点的轨迹与直线是没有交会轨迹（即两个轨迹没有交点） P 0:1l y =-C ．是“最远距离直线” 29y x =-D ．不是“最远距离直线” 1223y x =-【答案】ABD【分析】确定出点轨迹是抛物线，再确定此抛物线与BCD 中的直线有无公共点即可得．P【详解】解：平面上点到点的距离比到直线的距离小，则点到点的距离P ()0,2M :4l y =-2P M 与它到直线的距离相等，=2y -因此其轨迹是以焦点，直线为准线的抛物线，其轨迹方程是，故A 正确， M =2y -28x y =此抛物线与直线一定无交点，故B 正确；28x y =0:1l y =-由得，即，， 2829x y y x ⎧=⎨=-⎩28(29)x x =-216720x x -+=216472320∆=-⨯=-<方程组无实数解，因此抛物线与直线无交点， 29y x =-即直线上不存在点满足题意，故C 错误；29y x =-P 由得，，方程组无实数解，281223x yy x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩216403x x -+=21616(4)41033∆=--⨯⨯=-<因此抛物线与直线无公共点，所以直线上不存在点满足题意，故D 正确，1223y x =-1223y x =-P 故选：ABD ．12．如图，正方体的棱长为2，点是线段的中点，点是正方形所1111ABCDA B C D -E 1DD M 11CDD C 在平面内一动点，下列说法正确的是（ ）A ．若点是线段的中点，则 F AB 1//CF A E B ．若点是线段的中点，则平面G AD 1C G ⊥1A BE C ．若平面，则点轨迹在正方形1//B M 1A BE M 11CDD C D ．若点到的距离与到的距离相等，则点轨迹是抛物线 M BC 1DD M 【答案】BD【分析】根据给定的正方体，以点A 为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A ，B ；设出点M 的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出点M 的轨迹判断C ；利用抛物线定义判断D 作答.【详解】在棱长为2的正方体中，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标1111ABCD A B C D -系，则，111(0,0,0),(2,0,0),(0,0,2),(2,2,0),(2,0,2),(2,2,2),(0,2,1),(1,0,0),(0,1,0)A B A C B C E F G 对于A ，，显然向量与不共线，因此直线与直线不平1(1,2,0),(0,2,1)FC A E ==- FC 1A E CF 1A E 行，A 不正确；对于B ，，则有，11(2,0,2),(2,1,2)A B GC =-= 1122(2)20A B GC ⋅=⨯+-⨯=，即，，从而，， 1121(1)20A E GC ⋅=⨯+-⨯= 11A B GC ⊥ 11A E GC ⊥11A B GC ⊥11A E GC ⊥又平面，所以平面，B 正确；11111,,A B A E A A B A E =⊂ 1A BE 1C G ⊥1A BE 对于C ，由选项B 知，向量是平面的一个法向量，设，1(2,1,2)GC =1A BE (,2,)M x z ，02,02x z ≤≤≤≤，因为平面，则， 1(2,2,2)B M x z =-- 1//B M 1A BE 11B M GC ⊥于是得，整理得，112(2)22(2)0B C M G x z =-++-⋅=3x z +=所以，得，02032x z x ≤≤⎧⎨≤=-≤⎩12x ≤≤满足，的点M 轨迹是正方形内的线段，其中， 3x z +=12x ≤≤11CDD C 12M M 12(2,2,1),(1,2,2)M M所以点轨迹在正方形内的长度为，C 不正确；M 11CDD C 12||M M =对于D ，在正方体中，平面，而点平面， 1111ABCD A B C D -BC ⊥11CDD C ,M C ∈11CDD C 显然点M 与C 不重合，否则，矛盾，即有，0CD =MC BC ⊥因此点到直线的距离等于点到点的距离，又平面，直线，M BC M C 1DD ⊂11CDD C C ∉1DD依题意，在平面内，点M 到定点C 的距离等于它到定直线的距离，点轨迹是抛物11CDD C 1DD M 线，D 正确. 故选：BD【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的轨迹问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的运算建立动点坐标的关系解决.三、填空题13．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设.向OABC 2BD DC =E AD ,,OA a OB b OC c === 量表示向量__________.,,a b cOE =【答案】111236a b c ++【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底及线性运算求解作答.【详解】依题意，由得：，2BD DC =111()()333BD BC OC OB c b ==-=- 则，而点为的中点，121()333OD OB BD b c b b c =+=+-=+E AD 所以. 11121111()()22233236OE OA OD a b c a b c =+=++=++ 故答案为：111236a b c ++14．圆关于直线的对称圆的标准方程为__________. 22230x y y ++-=20x y --=【答案】22(1)(2)4x y -++=【分析】求出圆的圆心和半径，再求出圆心关于直线的对称点坐标，即可作答. 20x y --=【详解】圆的圆心，半径， 22(1)4x y ++=(0,1)C -2r =设点关于直线的对称点，(0,1)C -20x y --=(,)C a b '则有，解得，因此所求圆的圆心，半径为，1112022b aa b +⎧=-⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩1,2a b ==-(1,2)C '-2r =所以所求圆的标准方程为：. 22(1)(2)4x y -++=故答案为：22(1)(2)4x y -++=15．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂12,F F P 12PF PF >1PF 直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为__________. 2F 1e 2e 2132e e +【答案】66+【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义，利用半焦距c 及双曲线实半轴长表示椭圆的长半轴长，再利用离心率的意义列式，借助均值不等式求解作答.【详解】令，椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为， 12(,0),(,0),0F c F c c ->(0)a a c ''<<因为线段的垂直平分线过，则有，1PF 2F 212||||2PF F F c ==依题意，，，于是得，而12||2||22PF a PF a c =-=-12||2||22PF a PF a c ''=+=+2a a c '=+，12,c c e e a a =='因此21333(2)36662222e a c a c c a c e c a c a c a ''++=+=+=++≥+='''当且仅当，即时取等号， 32a cc a '='c '=所以的最小值为2132e e +6故答案为：6【点睛】关键点点睛：椭圆长短半轴长分别为a ，b ，半焦距为c 满足关系式：；双曲线222a b c =+的实半轴、虚半轴、半焦距分别为、、满足关系式：，在同一问题中出现认真a 'b 'c '222c a b '''=+区分，不要混淆.四、双空题16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们常把沙滩上的沙粒或小石子用数表示，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究.如图，图形中的圆点数分别为，以此类推，第7个图形对应的圆点数为__________；若这些数构成数列，则1,5,12,22,⋯{}n a__________. 322412324a a a a ++++=【答案】 70 438【分析】根据给定的信息，令第n 个图形对应的圆点数为，利用观察法探求，再n a 1(2)n n a a n --≥利用累加法求出数列通项即得；求出，再利用等差数列前n 项和公式求解作答. n a n【详解】令第n 个图形对应的圆点数为，观察图形得：，n a 1211,4113a a a =-==+⨯，327123a a -==+⨯，因此有，，4310133a a -==+⨯113(1)n n a a n --=+-,2n n *∈≥N 则当时， 2n ≥12132431()()()()3[123(1)]n n n a a a a a a a a a a n n -=+-+-+-++-=+++++- ，显然满足上式，即有， 3(11)(1)(31)22n n n n n +---=+=11a =(31)2n n n a -=所以第7个图形对应的圆点数；770a =，显然数列是首项为1，公差为的等差数列， 312n a n n -={}n a n 32所以. 3224124233241438232422a a a a ⨯++++=⨯+⨯= 故答案为：70；438五、解答题17．已知等差数列的前项和为，，，求：{}n a n n S 864S =611a =(1)；n S (2)若、、成等比数列，求.3S 1413S S -k S k 【答案】(1)2n S n =(2)9k =【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出通项1a d 1a d 公式与；n S （2）由（1）可得、、的值，再根据等比中项的性质得到方程，解得即可.3S 1413S S -k S 【详解】（1）解：设等差数列的首项为，公差为，1a d 由，，所以，解得，所以， 864S =611a =8161878642511S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩121d a =⎧⎨=⎩21n a n =-则. ()21212n n n S n +-==（2）解：由（1）可知，，，2339S ==14141327S a S =-=2k S k =又、、成等比数列，3S 1413S S -k S 所以，即，解得或（舍去）.()214133k S S S S =-⋅22279k =⨯9k =9k =-18．如图，直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，111ABC A B C -ABC 是侧棱上一点. ,2,4,AB AC AB AC AA M ⊥===1CC(1)若，求的值； 1BM A C ⊥1C M MC(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.2MC =1BA ABM 【答案】(1)3【分析】(1)根据垂直的空间向量的坐标表示求解；(2)根据线面夹角的空间向量的坐标表示即可求解.【详解】（1）因为平面,平面,所以，1AA ⊥ABC ,AB AC ⊂ABC 11,AA AB AA AC ⊥⊥且，所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， AB AC ⊥A所以，设，1(2,0,0),(0,2,0),(0,0,4)B C A (0,2,)M h 所以1(2,2,),(0,2,4),BM h A C =-=- 因为，所以解得，1BM A C ⊥1440BM A C h ⋅=-= 1h =所以，所以. 13,1C M MC ==13C M MC=（2）因为，所以，2MC =(0,2,2)M ,1(2,0,4),(2,0,0),(0,2,2)BA AB AM =-== 设平面的法向量为，直线与平面所成角为，ABM (,,)m x y z = 1BA ABM θ所以令，所以， 20220AB m x AM m y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1,0,1y x z =-==(0,1,1)m =- 所以111sin cos ,BA m BA m BA m θ⋅==== 19．已知圆圆心为直线与轴的交点，半径等于直线与直线E ()4y k x =-x 3450x y +-=的距离.34100x y ++=(1)若直线与圆交于两点，求.20x y +-=E A B ､AB (2)过点作圆的切线分别交轴与轴于点，若O 为坐标原点，求.(5,E x yC D ､OCD S A 【答案】(1)【分析】（1）根据给定条件，求出圆的方程，再利用圆的性质求出弦AB 长作答.E （2）由（1）的信息，求出切线方程，进而求出点C ，D 的坐标，再求出三角形面积作答.【详解】（1）直线交轴于点，直线与直线的距离()4y k x =-x (4,0)E 3450x y +-=34100x y ++=，3d ==依题意，圆的圆心，半径，方程为，E (4,0)E 3r =22(4)9x y -+=圆心到直线的距离 (4,0)E 20x y +-=d ==所以AB ==（2）显然点在圆：上，则过点的圆的半径所在直线斜率为(5,E 22(4)9x y -+=(5,E=因此过点的圆切线斜率为， (5,E 5)y x -=-令得：，令得：，则有 0y =(13,0)C 0x =D ||13,||OC OD ==所以. 11||||1322OCD S OC OD ==⨯=A 20．已知数列满足，数列的前项和为. {}n a 2212372222n n n n a a a ++++= {}n a n n S (1)求数列的通项公式；{}n a (2)求.n S 【答案】(1) 322n n n a +=(2) 3882n nn S +=-【分析】（1）利用“退一作差”法求得.n a （2）利用错位相减求和法求得. n S 【详解】（1）依题意， 2212372222nn n n a a a ++++= 当时，， 1n =1137525,22a a +===当时，由， 2n ≥2212372222nn n n a a a ++++= 得， ()()222112131713422222n n n n n n a a a ---+-+-+++== 两式相减得， ()32232,22n n n nn a n a n +=+=≥也符合上式，所以. 1a 322n nn a +=（2）， 25832222n n n S +=+++ ， 231158322222n n n S ++=+++ 两式相减得， 2311533332222222n n n n S ++=++++- 213333252222n n n n S -+=++++- . 1311322251212n n n -⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+--3882n n +=-21．如图，在四棱锥中，，，P ABCD -122PD PCCB BA AD =====//AD CB ，平面平面，为中点.90CPD ABC ∠=∠= PCD ⊥ABCD E PD(1)求证：面；//CE PAB (2)求证：面；PD ⊥PCA (3)点在棱上，设，若二面角. Q PA (01)PQ PA λλ=<< P CD Q --λ【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 12λ=【分析】（1）取中点F ，连接，，即可得到且，从而得到，即PA EF BF //EF BC EF BC =//CE BF 可得证；（2）依题意可证，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由CD AC ⊥AC ⊥PCD PD AC ⊥，即可得证；PC PD ⊥（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：取中点F ，连接，，因为为中点，PA EF BF E PD 则且，又且， //EF AD 12EF AD =//BC AD 12BC AD =∴且，//EF BC EF BC =∴四边形是平行四边形，EFBC ∴，//CE BF 又面，面，CE ⊄PAB BF ⊂PAB ∴面；//CE PAB（2）证明：由题意：，，2BC AB ==90ABC ∠=∴，AC ==CD =又，∴，4=AD 222CD AC AD +=∴，CD AC ⊥又平面平面，平面平面， 平面，PCD ⊥ABCD PCD ABCD CD =AC ⊂ABCD ∴平面，平面，AC ⊥PCD PD ⊂PCD ∴，PD AC ⊥又且面，面，，PC PD ⊥PC ⊂PCA AC ⊂PCA PC AC C ⋂=∴面；PD ⊥PCA（3）解：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，C则，，，， (0,0,0)C ()0,A ()D P∴，，， ()CD = CP = (PA = 由，(01)PQ PA λλ=<<有，)),)CQ CP PQ CP PA λλλ=+=+=-- 令是平面的一个法向量，(,,)n x y z = CDQ 则即， 00n CD n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩))0110x y z λλ⎧=⎪-⋅+⋅+-⋅=令，有， 1y =20,1,1n λλ⎛⎫= ⎪-⎝⎭取面的一个法向量，PCD (0,1,0)m = 由. cos ,n 〈= 12λ=22．设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为，已知是抛物线22221(0)x y a b a b+=>>F A 12A 的焦点，到抛物线的准线的距离为1.22(0)y px p =>Fl (1)求椭圆的方程和抛物线的方程；(2)设上两点关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点l ,P Q x AP (B B )A BQ x ，若的面积为，求直线的方程.D APD △AP 【答案】(1)椭圆的方程为，抛物线的方程为 22143x y +=28y x =(2)或360x -=360x -=【分析】（1）由于为抛物线焦点，到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率A F l 11a c -=为，求出、、，即可得出椭圆的标准方程和抛物线方程；12c a b （2）设直线方程为设，解出、两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联AP 2(0)x my m =+≠P Q AP 立解出点坐标，写出所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为B BQ D APD △求出，得出直线的方程.m AP 【详解】（1）解：设，，(),0F c -(),0A a 依题意可得，，，解得，，，于是， 12c a =2p a =1a c -=2a =1c =4p =2223b a c =-=所以椭圆的方程为，抛物线的方程为. 22143x y +=28y x =（2）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，AP ()20x my m =+≠l 2x =-42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭故， 42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭将与联立，消去整理得，解得，或， 2x my =+22143x y +=x ()2234120m y my ++=0y =21234m y m -=+由点异于点，可得点， B A 2226812,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭由，可得直线的方程为， 42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭BQ ()2221246842203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭令，解得，故， 0y =224326m x m =+-2246,032m D m ⎛⎫- ⎪+⎝⎭所以， 2222461223232m m AD m m -=-=++又因为的面积为 APD △221124232m m m⨯⨯=+整理得， 230m -=m =所以直线的方程为或.AP 360x +-=360x -=【点睛】思路点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．。
重庆市西南师大附中高二上学期期中考试(数学文).doc
西南师大附中—上期期中考试高二数学试题（文科）（总分：150分考试时间：1）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．20y--=的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．12．过点P（– 2，3）且与直线132y x=-垂直的直线方程是（）A．280x y-+=B．240x y+-=C．270x y-+=D．210x y++=3．若圆22210x y ax y+--+=关于直线x–y– 1 = 0对称的圆的方程是22430x y x+-+=，则a的值等于（）A．0 B．2C．– 2 D．± 24．直线20x y+-=与圆24cos14sinxyθθ=-+⎧⎨=+⎩的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．不能确定5．设变量x、y满足约束条件20510080x yx yx y-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数z = 3x– 4y的最小值为（）A．3 B．– 8 C．– 11 D．– 306．不等式221xx+>+的解集是（）A．(10)(1)-+∞U，，B．(1)(01)-∞-U，，C．(10)(01)-U，，D．(1)(1)-∞-+∞U，，7．正实数x，y满足x + y = 1a恒成立的a的最小值是（）A BC ．2D ．8． 对任意实数k ，圆C ：2286110x y x y +--+=与直线l ：430kx y k --+=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．与k 的取值有关9． 已知点P （– 4，2），点A 在圆C ：22(2)16x y -+=上运动，则线段P A 的中点M 的轨迹方程是 （ ）A ．22(8)(2)64x y -++=B ．22(1)(1)4x y -+-=C ．22(1)(1)8x y ++-=D ．22(1)(1)4x y ++-=10． 已知函数()29f x x x ax a =+--+，若对任意[)1()0x f x ∈+∞≥，都有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5a ≤ B ．5a <C ．5a ≥D ．5a >二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11． 经过点A （0，– 5）、B （1，0）的直线方程是 ．12． 点（1，1）在圆22()()4x a y a -++=的外部，则a 的取值范围是________________． 13． 过点（1，2）且与圆22230x y x +--=相切的直线方程为 ． 14． 圆C ：222220x y x y +++-=被直线1y x =+截得的弦长为________________．15． 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是_______________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分13分)已知△ABC 的顶点是A （2，3）、B （1，– 1）、C （– 3，– 2）． (1) 求BC 边上的中线AD 所在直线的方程； (2) 求∠ABC 的平分线BE 所在直线的方程．17． (本小题满分13分)y(1) 已知圆C 经过A （– 3，1），B （1，3）两点，且圆心C 在直线6y x =+上，求圆C 的方程． (2) 过点P （2，2）的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程．18． (本小题满分13分)已知实数x y ，满足221x y +=． 1、 求12y x ++的取值范围； 2、 求2268x x y y -++的取值范围．19． (本小题满分12分)已知圆C 经过P （– 2，0），Q （–1，1)两点，且在y 轴上截得的线段长为221，求圆C 的方程．20． (本小题满分12分)设F （1，0），M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且2MN MP PM PF =⊥u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，，当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．21． (本小题满分12分)如下图，O 1（– 2，0），O 2（2，0），圆O 1与圆O 2的半径都是1，1． 过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN (M 、N 分别为切点)，使得||2|PM PN =．求动点P 的轨迹方程；2． 若直线l y x m =+：交圆O 2于A 、B ，又点C （3，1），当m 取何值时，△ABC 的面积最大？西南师大附中—上期期中考试高二数学试题参考答案（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．B 8．A 9．D 10．A 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．550x y --= 12．a > 1或a < – 1 13．y = 214．1415．[1223]-，三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：(1) BC 中点D （– 1，32-）33()322(1)2ADk --==-- ∴ AD 方程为 33(2)2y x -=-即 320x y -= ··············································································· 6分解法二：线段AB 的中点为（– 1，2），ABCExy311142AB k -==+ ∴ 线段AB 的中垂线方程为2y x =-由2264y x x y x y =-=-⎧⎧⎪⎪⎨⎨=+=⎪⎪⎩⎩解得 ∴ 圆心C （– 2，4）半径||r CA ==∴ 圆C 的方程为22(2)(4)10x y ++-= ·········································· 7分(2) 显然l 斜率设l 的方程为：2(2)y k x -=- ··························································· 8分 即 (22)0kx y k -+-= ∴·································································· 10分 解得 3k =-1或3······································································ 12分∴ l 的方程为：123(2)2(2)3y x y x -=---=-或即380340x y x y +-=-+=或 ························································ 13分18．解：(1) 设P （x ，y ），Q （– 2，– 1），则12PQy k x +=+ 当PQ 与圆相切时，设为1(2)21y k x kx y k +=+-+-=即由d = r 1=，得k = 0或43∴ 4[0]3PQ k ∈，∴14[0]23y x +∈+， ··························· 7分 (2) 设cos sin x y θθ==，，则226816cos 8sin 110sin()x x y y θθθϕ-++=-+=++∴ 2268[911]x x y y -++∈-， ························································· 13分19．解：设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，令x = 0，得20y Ey F ++=设它的两根为y 1，y 2，由题意知12||y y -=∴ 2484E F -=① ········································· 3分又 ∵ 圆C 过P 、Q 两点∴ 24020D F D E F -++=⎧⎨-+++=⎩ ········································ 7分由①②③解得 4166141228D D E E F F =-=⎧⎧⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪=-=⎩⎩或···································································· 10分 ∴ 圆的方程为2246120x y x y +-+-=或221614280x y x y ++-+= ············ 12分21．解：(1) ∵ 2222221122||||||||||||||2||PM PO MO PN PO NO PM PN =-=-=，， ∴ 2212||2||1PO PO =-设P （x ，y ），则2222(2)2[(2)]1x y x y ++=-+-整理得221230x y x +-+=，即为所求 ·················································· 6分②③(方法二) ⊙O 2方程为22(2)1x y -+=由22(2)1x y y x m⎧-+=⎨=+⎩，得 232(24)30x m x m +-++= 22(24)42(3)0m m ∆=--⨯+>①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 21212322m x x m x x ++=-=，||AB ==C 到AB 的距离d =∴ 1||2S AB d ==g==当2(2)11m m +==-即或– 3时，S 取得最大值，而m = – 1，– 3满足①式 ∴ m = – 1或 – 3 ······························································· 12分。
重庆市2020_2021学年高二数学上学期期末考试试题(含答案)
重庆市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。
第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。
第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。
答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则等于A. B. C. D.2.已知实数a，b，m满足记满足此条件的m的值形成的集合为M，则函数，且的最小值为A. B. C. D.3.已知双曲线E：的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若，则E的离心率为A. B. C. D.4.已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是A. B. C. D.5.有下列命题：“或”是“”的必要不充分条件；已知命题对任意负实数x，都有，则是：存在非负实数x，满足；已知数列与满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件；已知分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的动点，则的最小值为其中所有真命题的个数是A. 4B. 3C. 2D. 16.三棱锥的三个侧面两两垂直，则顶点P在底面ABC的射影为的A. 内心B. 外心C. 重心D. 垂心7.设圆C：，直线l：，点，若存在点，使得为坐标原点，则的取值范围是A. B. C. D.8.将参加数学竞赛决赛的500名同学编号为：001，002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的号码为003，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到352在第二考点，从353到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为A. 14B. 15C. 16D. 17二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）9.下列命题正确的是A. 已知R，则“”是“”的充分不必要条件B. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则C. 若随机变量，且，则D. 已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，，则不等式的解集为10.在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则下列说法正确的是A. 恰好取到一件次品有不同取法；B. 至少取到一件次品有不同取法；C. 两名顾客恰好一人买到一件次品一人买到一件正品有不同取法；D. 把取出的产品送到检验机构检查能检验出有次品的有不同种方式．11.已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是A.B. 若，则C. 的最小正周期为4D. 在上的零点个数最少为1010个12.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点焦点的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是A. 曲线C过坐标原点B. 曲线C关于坐标原点对称C. 曲线C关于坐标轴对称D. 若点在曲线C上，则的面积不大于三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数，求曲线过点处的切线方程______．14.关于函数有如下四个命题：是的周期；的图象关于原点对称；的图象关于对称；的最大值为其中所有真命题是________填命题序号15.已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点，若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为____________．16.已知向量，，若函数在区间上是增函数，则t的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．求角C的大小；若，，的周长为12，求的面积．18.已知数列满足：，且对任意的，都有1，成等差数列．证明数列等比数列；已知数列前n和为，条件：，条件：，请在条件中仅．选择一个条件作为已知条件．．．．．．．．．．．．来求数列前n和．19.已知中，，，，分别取边AB，AC的中点D，E，将沿DE折起到的位置，设点M为棱的中点，点P为的中点，棱BC上的点N满足．求证：平面；试探究在折起的过程中，是否存在一个位置，使得三棱锥的体积为18，若存在，求出二面角的大小，若不存在，请说明理由．20.某市高考模拟考试数学试卷解答题的网上评卷采用“双评仲裁”的方式：两名老师独立评分，称为一评和二评，当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1分时，取两者平均分为该题得分；当两者所评分数之差的绝对值大于1分时，再由第三位老师评分，称之为仲裁，取仲裁分数和一、二评中与之接近的分数的平均分为该题得分；当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时，取仲裁分数和一、二评中较高的分数的平均分为该题得分．有的学生考试中会做的题目答完后却得不了满分，原因多为答题不规范，比如：语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等等，把这样的解答称为“缺憾解答”该市教育研训部门通过大数据统计发现，满分为12分的题目，这样的“缺憾解答”，阅卷老师所评分数及各分数所占比例如表：教师评分11 10 9分数所占比例将这个表中的分数所占比例视为老师对满分为12分题目的“缺憾解答”所评分数的概率，且一、二评与仲裁三位老师评分互不影响．已知一个同学的某道满分为12分题目的解答属于“缺憾解答”．求该同学这个题目需要仲裁的概率；求该同学这个题目得分X的分布列及数学期望精确到整数．21.已知抛物线的焦点为F，直线l与抛物线C交于两点．若l过点F，抛物线C在点P处的切线与在点Q处的切线交于点记点G的纵坐标为，求的值．若，点在曲线上且线段的中点均在抛物线C 上，记线段的中点为N，面积为用表示点N的横坐标，并求的值．22.已知函数．求不等式的解集；函数，若存在，，使得成立，求实数a的取值范围；答案和解析1.【答案】A【解析】【试题解析】【分析】本题考查交集及其运算，先分别得出集合A、B，再取交集即可，属于基础题．【解答】解：集合，，，故选A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，涉及基本不等式与一元二次不等式的解法，是中档题．由已知得，结合，可求出m的取值范围求，设，求，研究的单调性和最值，从而可的单调性和最小值．【解答】解：根据题意，得又，当且仅当时等号成立，所以，所以，解得．因为，所以，设，则，当时，，当时，，所以当时，，即当时，恒成立，所以当且时，恒成立，所以在上单调递增，在上单调递增，所以当时，函数取得最小值，且．故选D．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的方程与性质，考查向量知识的运用，确定a，b，c之间的关系是关键，考查运算能力，属于中档题．设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，用a，b表示，，再求出，由，得，可得a，b，c的关系式，结合离心率公式即可得出所求值．【解答】解：设O为坐标原点，直线FM交y轴于点R，，，因为，，，所以，，，所以．又因为，所以．又由，得，即，结合整理可得，即离心率．故选B．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查向量法求解相关范围问题，属于中档题根据椭圆的离心率可设椭圆E的标准方程为，设，由向量关系得到然后将点的坐标代入椭圆方程，得到由即可得到答案．【解答】解：设，，则由，可得，解得，，即由题意可设椭圆E的标准方程为，所以消去，的平方项，得，由，即，解得，又，所以，所以，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查命题的真假判定，属于中档题，分别进行充分性和必要性判断即可，根据全称量词命题否定判断即可，根据等差数列的定义结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可，由题意求出的最小值即可判断．【解答】解：充分性：当“且”时，令，，此时，不能推出””的结论，因此充分性不成立必要性：当“”时，令，，此时不能推出“且”的结论，因此必要性不成立。
重庆市高二上学期期末考试 数学
高二数学试题命题学校：重庆市綦江中学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．考试结束后，将答题卷交回。
第I 卷（选择题 共60分）一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上. 1．（原创）直线的倾斜角为（ ） 10x +=A ． B ． C ． D ． 0 45 90 135 2．（原创）在等差数列中，是方程的两根，则的值为（ ）{}n a 35a a 、2430x x -+=4a A ．2B ．3C ．±2D ．323．（改编）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，下列结论正确l (,1,3)m a →=α(2,,1)b n →=-的是（ ）A ．若，则．B ．若，则． l α∥32=+n m l α⊥23m n -=C ．若，则．D ．若，则． l α∥20mn +=l α⊥20mn +=4．（改编）北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题。
南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出了一些新的垛积公式。
高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第22项为（ ）A ．231B ．232C ．233D ．2345．（改编）已知直线上，过点向圆引切线，则切线长是（ ）:40l x y +-=P ()02y ，P 221x y +=ABC ．D ．16．（改编）已知抛物线，F 为其焦点，若直线C 在第一象限交于点24C y x =：l y =：M ，则（ ） MF =A ．1B ．2C ．3D ．47．（改编）已知正项等比数列的前n 项和为，前n 项积为，满足，则取最小值{}n a n S n T 12311,238a a S a ==-n T 时n=（ ） A ．4B ．3或4C ．4或5D ．58．（改编）已知EF 是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M 在正方体的棱上运动，则的最ME MF ⋅小值为（ ） A ．-48B ．-32C ．-16D ．0第11题图二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（原创）已知等差数列的前n 项和，其公差则下列结论正确的是{}n a n S 0,d >202220230a a +=，（ ）A ．B ．20220a <n S 的最小值为2022S C ．D ．40450a =40440S =10．（改编）在平面直角坐标系中，已知，，，光线从A 点发出经线段BC 反射与圆()01，A ()10，B ()30，C 相交，则相交弦长度可以是（） ()()94322=-+-y x A ．3B ．4C ．5D ．6 11．（改编）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面P ABCD -PA ⊥ABCD PB ABCD π4为直角梯形，，点为棱上一点，满足ABCD ,22π,1ABC BAD AD PA BC ∠=∠====E PD ，下列结论正确的是（ ）()01PE PD λλ=≤≤A ．平面平面；PAC ⊥PCD B．点到直线P CD C ．当时，异面直线与所成角的1=2λCE ABD ．点A到平面． PCD 12．（改编）已知椭圆C ：，焦点（-c ，0），，下顶点为B ．过点的22221(0)x y a b a b+=>>1F ()2,0(0)F c c >1F 直线l 与曲线C 在第四象限交于点M ，且与圆相切，若，则下列()2221:24A x c y c ++=2120MF F F ⋅= 结论正确的是（ ）A ．椭圆C 上存在点Q ，使得；B ．直线l 的斜率为； 12QF QF ⊥33-C ．椭圆C 与圆A 外切；D ．椭圆的离心率为.33第II 卷（非选择题 共90分）三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上. 13．（原创）已知直线与，则两直线间的距离为 ．1:210l x y +-=2:4230l x y ++=14．（原创）已知在正方体中，、分别为棱和的中点，且1111ABCD A B C D -P Q 11B C AB ，则实数n 的值为． 11122PQ AB AD nAA =--+15．（改编）若点依次为双曲线的左、右焦点，且，，12,F F ()2222:10,0x y C a b a b -=>>126F F =()10,B b -. 若双曲线C 上存在点P ，使得，则实数b 的取值范围为 . ()20,B b 121B P B P ⋅=-16．（改编）已知数列满足，，则 ，若数列的前{}n a 14a =()121n n na n a +=+=4a {}(1)(2)na n n ++n项和，则满足不等式的的最小值为．n S 14n S ≥n 四、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》.）17．（原创）（本小题满分10分）已知圆过点、，且圆心在直线上． M ()20A ，()0-2B ，x y =（1）求圆的标准方程; M （2）若过点的直线交圆于、两点，若弦的长为的方程. ()31，Q l M E F EF l18．（改编）（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD ，，是的中点，是线段上靠近M 的三等分点. 2PD DA ==1DC =M BC Q PM （1）证明：； DQ AP ⊥（2）求直线DQ 与平面所成角的正弦值. PCD19．（改编）（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为到双2:2(0)C x py p =>,F F 曲线的渐近线的距离为2． 2213yx -=（1）求抛物线的标准方程；C （2）过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为B ，求线段的中点的轨迹方(),0A a C AB ABD 程． 20．（改编）（本小题满分12分）已知数列满足,． {}n a )(431*+∈-=N n a a n n 15a =（1）证明：数列为等比数列；{}2n a -（2）数列的前项和为，求数列的前项和． {}n b n 2n S n ={}n n a b n n T21．（改编）（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，111ABC A B C -为的中点，点是112,AB AC BC AA AC =====1A B =M 11B C N 上一点，且.11CA 113C N NA =（1）求点A 到平面的距离；1A BC （2）求平面与平面所成平面角的余弦值.1BCC AMN 第18题图第21题图22．（改编）（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F，直线()2222:10x y C a b a b +=>>与椭圆C 交于点A ，B ，()0y kx k =≠AF BF +=（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 关于x 轴的对称点为，点P 是C 上与A 、不重合的动点，且直线PA ，与x 轴分A 'A 'PA '别交于G ，H 两点，O 为坐标原点，证明：为定值. OG OH2022—2023学年度第一学期期末七校学情调查高二数学答案13【15详解】设双曲线上的点满足，即，(),P x y 121B P B P ⋅=-2221x y b +=-又， 2222222221x y b y x b a b a -=⇒=-，即， 2222121b x b a ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭222221c x b a =-，且，22x a x a ≥⇒≥ 29c =2219b b ∴-≥⇒≥又，实数b 的取值范围是.3b c <=∴故答案为：.【16详解】在数列中，，由得：，而，{}n a 14a =()121n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a =于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，{}n a n142n n an -=⋅12n n a n +=⋅所以数列的通项公式为；则.{}n a 12n n a n +=⋅41442=128a +=⨯显然，， 121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++则，324354121222222222222)))2324354121(((((2n n n n n n S n n n n n ++++-+-+-++-+-=+=-+++ 由得：，即，令，则，即数列是递增数14n S ≥222142n n +-≥+22162n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n n b n b n ++=>+{}n b 列，由，得，而，因此，，从而得，22162n n +≥+16n b ≥67452322128112=16,=1663777b b =<=>=5n b b ≥5n ≥，min5n =所以满足不等式的的最小值为5.14n S ≥n 17．【详解】（1）设圆M 的标准方程为：222()()x a y b r -+-=由题意得，..........................................3分 222222(2)(2)a b r a b r a b⎧-+=⎪+--=⎨⎪=⎩解得20,4a b r ===所以圆M 的方程为． ..........................................5分 224x y +=（2）当直线l 斜率不存在时，其方程为，圆心M 到直线l 的距离为1，1x =..........................................7分 AB ∴==当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为即3(1)y k x -=-30kx y k -+-=则圆心M 到直线l，直线l 方程为 ..................9分AB ∴==43k =4350x y -+=综上，直线的方程为或． ...............................10分 1x =4350x y -+=18．【详解】（1）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所PD ⊥ABCD ABCD D DA DC DP 在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系全科试题免费下载公众x y z D xyz -号《高中僧课堂》如图：则，，，，，， ()2,0,0A ()0,0,0D ()0,1,0C ()1,1,0M ()002P ,,222,,333Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.........3分，，222,,333DQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()2,0,2AP =- ∵，∴ 0DQ AP ⋅=DQ AP ⊥ ..........................................6分（2）由（1）可知平面的一个法向量为 ..........................................8分PCD ()1,0,0m =.........................................10分cos ,m DQ m DQ m DQ⋅===⋅∴直线DQ 与平面PCD .........................................12分19．【详解】（1）双曲线，2213y x -=0y -=又抛物线的焦点的坐标为， .........................3分 2:2(0)C x py p =>F 0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭由题可得：，解得，故抛物线方程为： .........................6分222p=8p =216x y =（2）设过点与抛物线相切的直线方程为， .................8分(),0A a C (),0y k x a k =-≠联立抛物线方程可得， 216x y =216160x kx ka -+=则，又，则，2216640k ka ∆=-=0k ≠4a k =所以，， .......................................................10分8B x k =24B y k =设点的坐标为，则，即，代入，D (),x y 206,222B B a x y x k y k ++====6x k =22y k =可得，又，故； 218x y =0k ≠0x ≠则点的轨迹方程为：.......................................12分D ()2180x y x =≠20．【详解】（1）由题知()1232n n a a +-=-因为,则,是等比数列。
【高二数学期末试题】重庆市一中08-09学年高二上学期期末(数学文)
2009年重庆一中高2010级期末考试 数 学 试 题（文科）2009.1本卷共4页，满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦擦干净后，在选涂其他答案标号。
3．答非选择题时，必须用0.5mm 黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线sin 2y x π=的倾斜角为（ ）A.45B.90C.135D.1502.双曲线22149x y -=-实轴长为 ( ) A ．2 B ．4 C ．3 D ．63.抛物线218y x =的焦点到准线的距离为（ ）A.116B.14 C.4 D.2 4设集合M ＝{异面直线所成的角｝，N ＝｛直线与平面所成的角｝，P ＝｛二面角｝，则下列关系正确的是（ ）A ．M N P ≠≠⊂⊂ B ．M N P ≠⊆⊂ C ．M N P ≠=⊂ D ． M N P =⊆ 5.给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ）Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件 C ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 6. 如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，11AA =，则AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成角的正弦值为（ ）B.23 D.137.已知二面角l αβ--的大小为3π，点P α∈，P 到平面α的距离为1，则点P 到棱l 的距离为（ ） A ．12 BCD8.若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确的个数为（ ） ①//m n n m αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭②//m m n n αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭③//m m n n αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭④//m n m n αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9.若实数x 、y 满足22(2)3x y -+=，则yx的最大值为（ ）A.12B.10.已知圆2220x y x +-=与双曲线2218x y m-=的一条准线相切，则m 的值等于（ ）A.24B.8C.2D.11.若实数,x y 满足 010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩， 则2x y +最大值是（ ）A ．2B ．32 C ．23 D ．1212.过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点F 作x 轴的垂线，交椭圆于A ，B 两点，点O 是椭圆中心，现将坐标平面沿x 轴折成直二面角，此时60AOB ∠=，设椭圆的离心率为e ，则2e =（ ） A．3 B．32 C．12 D．12二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
重庆市西南大学附中2021-2022学年高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
重庆市西南大学附中2021-2022学年高二上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、抛物线x2=4y的准线方程为（）A. x=1B. x=−1C. y=1D. y=−12、设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3，a14是方程x2−4x+3=0的两根，则S16=（）A. 32B. 30C. 28D. 263、若在等比数列{a n}中，a1+a2=8，a3+a4=12，那么a5+a6=（）A. 20B. 18C. 16D. 144、在数列{a n}中，若a n+12−a n2=p(n∈N∗,p是常数)，则{a n}称为“等方差数列”，下列对“等方差数列”的判断，其中不正确的为（）A. 若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列B. 若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等方差数列C. {(−1)n}是等方差数列D. 若{a n}是等方差数列，则{a2n}是等方差数列5、已知F1，F2是双曲线C：x2−y2=2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|⋅|PF2|等于（）A. 2B. 4C. 6D. 86、已知等差数列{a n}共有2n+1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n+1的值为（）A. 30B. 29C. 28D. 277、已知双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作一条渐近线的垂线，垂足为P，若△PF1F2的面积为c22，则该双曲线的离心率为（）A. 3B. 2C. √3D. √28、已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，过点F分别作两条直线l1,l2，直线l1与抛物线C交于A、B两点，直线l2与抛物线C交于D、E两点，若l1与l2的斜率的平方和为2，则|AB|+|DE|的最小值为（）A. 24B. 20C. 16D. 12二、多选题（本大题共4小题，共20分）9、已知曲线C 的方程为x 2m+1+y 2m−3=1(m ≠−1且m ≠3)，则下列结论正确的是（ ）A. 当m =2时，曲线C 是焦距为4的双曲线B. 当m =4时，曲线C 是离心率为√22的椭圆C. 曲线C 可能是一个圆D. 当m =1时，曲线C 是渐近线方程为x ±y =0的双曲线10、已知等比数列{a n }满足a 1=1,q =12，则（ ）A. 数列{a 2n }是等比数列B. 数列{1a n}是递减数列C. 数列{log 2a n }是等差数列D. 数列{a n2}是等比数列 11、如图，在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AB =1，AA 1=√3，若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0,1]，则（ ） A. 当λ=12时，D 1P ⊥A 1C 1B. 四棱锥P −BB 1C 1C 体积的最大值为√3C. 当平面PB 1D 1截直四棱柱所得截面面积为158时，λ=34 D. 四面体A 1C 1DP 的体积为定值12、已知F 为椭圆C ：x 24+y22=1的左焦点，直线l ：y =kx(k ≠0)与椭圆C 交于A 、B 两点，AE ⊥x 轴，垂足为E ，BE 与椭圆C 的另一个交点为P ，则（ ）A. 1|AF|+4|BF|的最小值为2 B. △ABE 的面积的最大值为√2 C. 直线BE 的斜率为k2D. ∠PAB 为直角三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、已知直线l 1：ax −3y +1=0与直线l 2：2x +(a +1)y +1=0垂直，则a =______． 14、在等比数列{a n }中，a 1=2，a 4=128，若数列{b n }满足b n =log 2a n ，则数列{b n }的前20项和为______．15、直线l ：y =m(x +1)−1与圆C ：(x −1)2+y 2=6交于A 、B 两点，当弦AB 的长度最短时，则三角形ABC 的面积为______．16、已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =n +1(n ∈N ∗)，若an+1a n≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，则实数λ的取值范围为______．四、解答题（本大题共6小题，共72分）17、(本小题12.0分)在等差数列{a n }中，记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知：a 2+a 5=−10，S 5=−30． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求使S n =a n 成立的n 的值． 18、(本小题12.0分)已知圆C ：x 2+y 2+Dx +Ey −3=0关于直线x −y −1=0对称，且圆心C 在x 轴上． (1)求圆C 的方程；(2)直线l ：x +y +b =0与圆C 交于A 、B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，求直线l 的方程． 19、(本小题12.0分)已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，BA =BC =BB 1=2，∠ABC =90°，E 、F 分别是AC 、AA 1的中点，D 为棱B 1C 1上的点． (1)证明：BF ⊥DE ；(2)当B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 时，求直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值．20、(本小题12.0分) 已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =12x ，且双曲线C 过点(2√2,1)．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)过点M(3,0)的直线与双曲线C 的左、右支分别交于A 、B 两点，是否存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．21、(本小题12.0分)已知抛物线E ：y 2=2px(p >0)上横坐标为3的点P 到焦点F 的距离为4． (1)求抛物线E 的方程；(2)点A 、B 为抛物线E 上异于原点O 的两不同的点，且满足k OA +k OB =2.若直线AB 与椭圆x 23+y 2m=1恒有公共点，求m 的取值范围．22、(本小题12.0分)设O 为坐标原点，动点P 在圆O ：x 2+y 2=1上，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q 且QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求动点D 的轨迹E 的方程；(2)直线l 与圆O ：x 2+y 2=1相切，且直线l 与曲线E 相交于两不同的点A 、B ，T 为线段AB 的中点．线段OA 、OB 分别与圆O 交于M 、N 两点，记△AOT ，△MON 的面积分别为S 1，S 2，求S1S 2的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：本题主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y 轴正半轴上以及2p =4，即可求出其准线方程． 因为抛物线的标准方程为：x 2=4y ， 所以焦点在y 轴正半轴上； 且2p =4，即p =2， 所以：p2=1， ∴准线方程y =−1， 所以选：D ．2.答案：A解析：∵a 3，a 14是方程x 2−4x +3=0的两根， ∴a 3+a 14=4，∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ， ∴S 16=16(a 1+a 16)2=8(a 1+a 16)=8(a 3+a 14)=8×4=32．所以选：A ．根据已知条件，结合韦达定理，以及等差数列的前n 项和公式，即可求解． 本题主要考查韦达定理，以及等差数列的前n 项和公式，属于基础题．3.答案：B解析：∵a 1+a 2=8，a 3+a 4=12， ∴a 3+a 4=q 2(a 1+a 2)，即q 2=32，∴a 5+a 6=q 2(a 3+a 4)=32×12=18． 所以选：B ．根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解． 本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．4.答案：B解析：对于A ，{a n }是等方差数列，可得a n+12−a n 2=p(n ∈N ∗,p 为常数)，即{a n2}是首项为a 12，公差为d 的等差数列，∴A 正确，对于B ，例如：数列{√n}是等方差数列，但是数列{n}不是等方差数列，所以B 不正确，对于C ，数列{(−1)n }中，a n+12−a n 2=[(−1)n+1]2−[(−1)n ]2=0，(n ∈N ∗)，∴数列{(−1)n }是等方差数列．故C 正确，对于D ，∵{a n }是等方差数列，∴a 2n+22−a 2n+12=p ，a 2n+12−a 2n 2=p ，∴a 2n+22−a 2n 2=2p ，所以数列{a 2n }是等方差数列，故D 正确． 所以选：B ．用等方差的定义和等差数列的定义进行演算即可．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列的定义，属于中档题．5.答案：D解析：∵双曲线C 的方程为：x 2−y 2=2， ∴a 2=b 2=2，得c =√a 2+b 2=2 由此可得F 1(−2,0)，F 2(2,0)，焦距|F 1F 2|=4， ∵∠F 1PF 2=60°，∴|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|⋅|PF 2|cos60°，即|PF 1|2+|PF 2|2−|PF 1|⋅|PF 2|=16① 又∵点P 在双曲线C ：x 2−y 2=2上，∴||PF 1|−|PF 2||=2a =2√2，平方得|PF 1|2−2|PF 1|⋅|PF 2|+|PF 2|2=8② ①−②，得|PF 1|⋅|PF 2|=8， 所以选：D ．根据双曲线方程，算出焦距|F 1F 2|=4，△F 1PF 2中利用余弦定理，结合双曲线的定义列出关于|PF 1|、|PF 2|的方程组，联解即可得到|PF 1|⋅|PF 2|的值．本题考查了余弦定理和双曲线的定义、简单性质等知识，属于中档题．6.答案：B解析：∵等差数列{a n }共有2n +1项， ∴奇数项共有n +1项，其和为a 1+a 2n+12×(n +1)=(n +1)⋅a n+1=290①，偶数项共有n 项，其和为a 2+a 2n2×n =n ⋅a n+1=261②，①−②得， a n+1=29， 所以选：B ． 由等差数列的性质知a 1+a 2n+12=a 2+a 2n2=a n+1，结合求和公式化简即可．本题考查了等差数列的性质及其应用，属于基础题．7.答案：D解析：双曲线x 2a 2−y 2b2=1的渐近线方程为y =±b ax ，在△OPF 2中，|PF 2|=b ，|OF 2|=c ，|OP|=a ，S △F 1PF 2=2S △OPF 2=ab =c 22， ∴4a 2(c 2−a 2)=c 4，∴e 4−4e 2+4=0，∴e 2=2，∴离心率e =√2． 所以选：D ．求出双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，三角形的面积，转化求解离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.答案：C解析：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F(1,0)，设直线l 1的方程为x =m 1y +1，直线l 2的方程为x =m 2y +1， 联立{x =my 1+1y 2=4x可得y 2−4m 1y −4=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，可得y 1+y 2=4m 1，x 1+x 2=m 1(y 1+y 2)+2=4m 12+2， 则|AB|=x 1+x 2+2=4m 12+4，同理可得|DE|=4m 22+4， 所以|AB|+|DE|=4m 12+4m 22+8，由l 1与l 2的斜率的平方和为2，可得1m 12+1m 22=2，由1m 12+1m 22≥2|m 1m 2|，可得|m 1m 2|≥1，则4m 12+4m 22+8≥8|m 1m 2|+8≥16，当且仅当|m 1|=|m 2|=1取得等号，所以|AB|+|DE|的最小值为16． 所以选：C ．求得抛物线的焦点，设直线l 1的方程为x =m 1y +1，直线l 2的方程为x =m 2y +1，分别与抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的方程和性质，以及直线与抛物线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．9.答案：AD解析：当m =2时，曲线C ：x23−y 2=1，∴a 2=3，b 2=1，∴c 2=3+1=4，∴c =2，∴曲线C 是焦距为4的双曲线，故A 正确；当m =4时，曲线C 的方程为x 25+y 2=1，∴a 2=5，b 2=1，∴a =√5，c 2=5−1=4，∴c =2，∴e =√5=2√55，故B 错误； 由m +1=m −3无解，故曲线C 不可能是圆，故C 错误； 当m =1时，曲线C 的方程为x 22−y 22=1，a 2=2，b 2=2，∴a =√2，b =√2，∴曲线C 是渐近线方程为x ±y =0，故D 正确． 所以选：AD ．分别对m 的不同取值计算可判断各选项的正确性． 本题考查圆锥曲线的几何性质，属于基础题．10.答案：CD解析：∵等比数列{a n }满足a 1=1,q =12， ∴a n =a 1q n−1=1×(12)n−1=(12)n−1，对于A ，a 2n =(12)2n−1=2×(14)n ，a2na 2(n−1)=14，故数列{a 2n }为等比数列，故A 错误， 对于B ，1a n=2n−1，数列{1a n}是递增数列，故B 错误，对于C ，log 2a n =log 221−n =1−n ，log 2a n+1−log 2a n =[1−(n +1]−(1−n)=−1，故数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确，对于D ，∵a n =(12)n−1，a n 2=(12)2n−2，∴a n+12a n2=(12)2(n+1)−2(12)2n−2=14，故数列{a n 2}是等比数列，故D 正确．所以选：CD ．根据已知条件，先求出等比数列{a n }的通项公式，即可依次求解． 本题主要考查等比数列，等差数列的性质，属于基础题．11.答案：AD解析：在直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是正方形，AB =1，AA 1=√3， 对于A ，当λ=12时，点P 为线段AC 中点，连DP ，A 1C 1，如图，DP⊥AC，而DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则AC⊥DD1，又DD1∩DP=D，DD1，DP⊂平面DD1P，则有AC⊥平面DD1P，而D1P⊂平面DD1P，于是得D1P⊥AC，又对角面ACC1A1是矩形，即AC//A1C1，所以D1P⊥A1C1，A正确；依题意，AB⊥平面BCC1B1，而点P在AC上，则点P到平面BCC1B1距离的最大值为AB=1，而矩形BCC1B1面积为BC⋅BB1=√3，所以四棱锥P−BB1C1C体积的最大值为√33，B不正确；对于C，当λ=34时，点P在AC上靠近点C的四等分点，平面PB1D1截直四棱柱ABCD−A1B1C1D1所得截面为等腰梯形B1D1EF，如图，显然EF//B1D1//BD，则EF=12BD=√22，B1F2=B1B2+BF2=(√3)2+(12)2=134，等腰梯形B1D1EF的高ℎ=√B1F2−(B1D1−EF2)2=√134−(√2−√222)2=5√24，等腰梯形B 1D 1EF 的面积S =EF+B 1D 12⋅ℎ=3√24×5√24=158，由几何体的对称性知，当平面PB 1D 1截直四棱柱所得截面面积为158时，λ=14或λ=34，C 不正确；因AC//平面A 1C 1D ，则点P 到平面A 1C 1D 的距离等于点A 到平面A 1C 1D 的距离，为定值，又△A 1C 1D 的面积为定值，所以四面体A 1C 1DP 的体积为定值，D 正确． 所以选：AD ．根据给定条件逐一分析各个选项，再推理、计算并判断作答．本题主要考查锥体体积的计算，立体几何中的定值问题等知识，属于中等题．12.答案：BC解析：对于A ：因为O 为AB 的中点，O 也是FF 2的中点， 所以AFBF 2为平行四边形， 所以BF =AF 2，所以AF +BF =AF +AF 2=2a =4， 所以1AF +4BF=14(1AF +4BF )(AF +BF)=14(5+BF AF +4AF BF )≥14(5+4)=94，故A 错误；对于B ：设A(m,n)，B(−m,−n)，E(m,0)，P(x 1,y 1)， 因为A 在椭圆上，所以m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2， 所以S =12⋅m ⋅2n =mn ≤√2，当且仅当m =√2，n =1时取等号，故B 正确；对于C ：因为k =k OA =nm ， 所以k BE =n2m =k2，故C 正确； 对于D ：因为A ，P 在椭圆上，所以m 24+n 22=1，x124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，即(n+y 1)(n−y 1)(m+x 1)(m−x 1)=−12，即k PB ⋅k PA =−12， 所以k2⋅k PA =−12，所以k ⋅k PA =−1，所以∠PAB 为直角，故D 错误， 所以选：BC ．对于A ：根据题意可得AFBF 2为平行四边形，则AF +BF =AF +AF 2=2a =4，又1AF +4BF=14(1AF +4BF)(AF +BF)=14(5+BF AF +4AFBF )，结合基本不等式，即判断A 是否正确；对于B ：设A(m,n)，B(−m,−n)，E(m,0)，P(x 1,y 1)，利用基本不等式可得m 24+n 22=1≥2√m 2n 28，即mn ≤√2，再计算△ABE 的面积的最大值，即可判断B 是否正确；对于C ：根据题意可得k =k OA =nm ，k BE =n 2m =k2，即可判断C 是否正确；对于D ：根据题意可得m 24+n22=1，x 124+y 122=1，两式相减得n 2−y 12m 2−x 12=−12，化简即可得出答案，即可得出答案．本题考查椭圆的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．13.答案：−3解析：∵直线l 1：ax −3y +1=0与直线l 2：2x +(a +1)y +1=0垂直， ∴a ×2+(−3)(a +1)=0，解得a =−3 所以答案为：−3由垂直关系可得a ×2+(−3)(a +1)=0，解方程可得a 值． 本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．14.答案：400解析：本题主要考查等差数列的前n 项和公式，考查转化能力，属于中档题．求出等比数列{a n }的通项公式，可得出{b n }的通项公式，再结合等差数列的前n 项和公式，即可求解． 设等比数列{a n }的公比为q ，则q =√a4a 13=4，a n =a 1q n−1=2×4n−1=22n−1，故b n =log 2a n =2n −1，b n+1−b n =2(n +1)−1−(2n −1)=2， 数列{b n }为等差数列， 故数列{b n }的前20项和为S 20=20×(1+2×20−1)2=400．所以答案为：400．15.答案：√5解析：因为直线l ：y =m(x +1)−1恒过定点P(−1,−1)， 圆C ：(x −1)2+y 2=6的圆心C(1,0)，半径为√6， 所以当CP ⊥AB 时，弦AB 的长度最短， 因为|CP|=√(−1−1)2+(−1−0)2=√5， 所以|AB|=2√6−5=2，所以三角形ABC 的面积为12|AB||CP|=12×2×√5=√5，所以答案为：√5．由于直线l 过定点P(−1,−1)，所以当CP ⊥AB 时，弦AB 的长度最短，先求出CP 的长，再利用勾股定理可求出AB 的长，从而可求出三角形ABC 的面积． 本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题．16.答案：[32,+∞)解析：∵a 1a 2a 3…a n =n +1， ∴a 1a 2a 3…a n+1=n +2， ∴a n+1=n+2n+1， ∴a n+1a n =n(n+2)(n+1)2=(n+1)2−1(n+1)2=1−1(n+1)2∵an+1a n≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，∴λ≥1−1(n+1)2，易知数列{1−1(n+1)2}为递增数列，∴1−1(n+1)2<1，∴λ≥1，故实数λ的取值范围为[1,+∞)， 所以答案为：[1,+∞)．根据题意可得a n+1=n+2n+1，由an+1a n ≤λ对任意n ∈N ∗恒成立，可得λ≥1−1(n+1)2，再根据数列的函数特征，即可求出λ的取值范围．本题考查了数列的函数的特征，考查了运算能力和求解能力，属于中档题．17.答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 2+a 5=−10，S 5=−30，∴{2a 1+5d =−105a 1+10d =−30，解得{a 1=−10d =2， 故a n =a 1+(n −1)d =2n −12， 故数列{a n }的通项公式为：a n =2n −12． (2)由(1)知，S n =a 1+a n 2⋅n =n(n −11)，∵S n =a n ，∴n(n −11)=2n −12，即n 2−13n +12=0，解得n =1或n =12， 故S n =a n 成立的n 的值是n =1或n =12．解析：(1)根据已知条件，结合等差数列的通项公式，即可求解． (2)由(1)知，S n =a 1+a n2⋅n =n(n −1)，由S n =a n 可得，n(n −11)=2n −12，解得n =1或n =12．本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．18.答案：(1)由题意得：直线x −y −1=0过圆心C(−D 2,−E2)，即−D 2+E 2−1=0，且−E 2=0， 解得：E =0，D =−2，所以圆C 的方程为x 2+y 2−2x −3=0；(2)x 2+y 2−2x −3=0的圆心为C(1,0)，半径为2， 由题意得：AB =2√2，圆心C(1,0)到直线l ：x +y +b =0的距离为√2， 即√2=√2，解得：b =1或−3，所以直线l 的方程为：x +y +1=0或x +y −3=0．解析：(1)根据题意得到等量关系，求出E =0，D =−2，进而求出圆的方程；(2)结合第一问求出的圆心和半径，及题干条件得到圆心C (1,0)到直线l ：x +y +b =0的距离为√2，列出方程，求出b 的值，进而得到直线方程．本题考查了圆的方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．19.答案：(1)证明：∵直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，且∠ABC =90°，∴BA ，BC ，BB 1两两垂直，以B 为坐标原点，以BA ，BC ，BB 1所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则B(0,0,0)，E(1,1,0)，F(0,2,1)，设D(t,0,2)，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t,1,−2)， ∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BF ⊥DE ． (2)∵B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴D(12,0,2)， ∴DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,1,−2)，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,2,−1)， 设平面DEF 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +y −2z =0m⃗⃗⃗ ⋅DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +2y −z =0，令x =2，得m ⃗⃗⃗ =(2,1,1)， 设直线BF 与平面DEF 所成角为θ，则sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m⃗⃗⃗ |⋅|BF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3√5⋅√6=√3010，∴直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值为√3010．解析：(1)建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BF ⊥DE ．(2)求出平面DEF 的法向量，利用向量法能求出直线BF 与平面DEF 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：(1)依题意，{b a =128a 2−1b2=1，解得：{a =2b =1，所以双曲线C 的标准方程是x 24−y 2=1；(2)假定存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，显然AB 不垂直于y 轴，否则|AM|⋅|BM|=5， 设直线AB ：x =my +3，由{x =my +3x 2−4y 2=4消去x 并整理得：(m 2−4)y 2+6my +5=0， 因直线AB 与双曲线C 的左右支分别交于A 、B 两点，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 于是得{m 2−4≠0Δ=36m 2−20(m 2−4)=16(m 2+5)>0，y 1+y 2=−6mm 2−4，y 1y 2=5m 2−4， 则有m 2>4，即m <−2或m >2，因此，|AM|⋅|BM|=√1+m 2⋅|y 1−0|⋅√1+m 2⋅|y 2−0|=(1+m 2)⋅|y 1y 2|=5(1+m 2)m 2−4=10，解得m =±3，所以存在直线AB ，使得|AM|⋅|BM|=10成立，此时直线AB 的方程为：x −3y −3=0或x +3y −3=0．解析：(1)根据给定的渐近线方程及所过的点列式计算作答．(2)假定存在符合条件的直线AB ，设出其方程，借助弦长公式计算判断作答． 本题考查了双曲线的方程及直线与双曲线相交的弦长问题，属于中档题．21.答案：(1)抛物线E ：y 2=2px(p >0)的焦点F(p 2,0)，准线方程为x =−p2，由抛物线的定义可得3+p2=4，解得p =2， 则抛物线E 的方程为y 2=4x ；(2)设A(t 24,t)，B(n 24,n)，则4t +4n =2，即有tn =2(t +n)， 直线AB 的斜率为k =t−nt 24−n 24=4t+n ，直线AB 的方程为y −t =4t+n(x −t 24)，化为y =4t+n x +t −t 2t+n ，即y =4t+n x +2， 则直线AB 恒过定点(0,2)，若直线AB 与椭圆x 23+y2m=1恒有公共点，则03+4m ≤1，解得m ≥4，即m 的取值范围是[4,+∞)．解析：(1)由抛物线定义可得p 的方程，解方程可得p 的值，进而得到所求抛物线的方程；(2)设A(t 24,t)，B(n 24,n)，由直线的斜率公式，可得直线AB 的方程，求得直线恒过的定点，代入椭圆方程可得m 的不等式，解不等式可得所求范围．本题考查抛物线的定义、方程和性质，以及直线恒过定点的求法、直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．22.答案：(1)设点D(x,y)，则Q(0,y)，因为QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√2QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则有P(√2y)， 又点P 在圆O ：x 2+y 2=1上， 即(√2)2+y 2=1，所以动点D 的轨迹E 的方程是x 22+y 2=1．(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为：y =kx +m ， 因为直线l 与圆O 相切，则√1+k=1，即m 2=1+k 2，而k =0时，直线l 与椭圆E 相切，不符合题意，因此k ≠0， 由{y =kx +m x 2+2y 2=2，消去x 并整理得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2−2=0， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则x 1+x 2=−4km 2k 2+1,x 1x 2=2m 2−22k 2+1，而点T 是线段AB 中点，则有S 1S 2=12S △AOBS ΔMON=12(12|OA|⋅|OB|sin∠AOB)12|OM|⋅ON|sin∠MON =12|OA|⋅|OB|=12√x 12+y 12⋅√x 22+y 22=12√x 12+1−x 122⋅√x 22+1−x 222=14√(x 12+2)(x 22+2)=14√x 12x 22+2(x 12+x 22)+4=14√(x 1x 2)2+2(x 1+x 2)2−4x 1x 2+4=14√(2m 2−22k 2+1)2+2(−4km 2k 2+1)2−4⋅2m 2−22k 2+1+4=14√(2k22k 2+1)2+32k 2(k 2+1)(2k 2+1)2−8k22k 2+1+4=14√20k 4+24k 2(2k 2+1)2+4，令2k 2+1=t >1， 则S 1S 2=14√5(t−1)2+12(t−1)t 2+4=14√−7t 2+2t +9=14√−7(1t −17)2+647，而1t∈(0,1)， 当1t =17，即t =7时，(S1S 2)max =2√77，当1t =1，即t =1时，(S 1S 2)min =12， 而t >1，于是得S1S 2∈(12,2√77],当直线l 的斜率不存在时，直线l ：x =±1,|OA|=|OB|=√32，此时S 1S 2=12|OA|⋅|OB|=34∈(12,2√77],所以S1S 2的取值范围是(12,2√77]． 解析：(1)设出点D 的坐标，借助向量运算表示出点P 的坐标代入圆O 的方程计算作答．(2)在直线l 的斜率存在时设出其方程，与轨迹E 的方程联立，借助韦达定理表示出S1S 2，再利用二次函数性质计算得解，然后计算直线l 的斜率不存在的值作答． 本题考查了动点的轨迹方程，直线与椭圆的综合，属于难题．。
(完整word版)高二数学期末考试试题及其答案
禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共60分.1. （5分）已知集合 M={1, 2, 3}, N={2, 3, 4},则下列式子正确的是（ A. M?NB. N?MC. MAN={2, 3} D. M U N={1 , 4}C.向左平移单位B.向右平移单位 ……冗、,D.向右平移亏单位7 .下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据：根据上表提供的数据，若求出y关于x 的线性回归方程为 ? 0.7x 0.35 ,那么表中t 的值为B. 3.158 .已知 f (x) = (x — m) (x — n) +2,并且 m, n, a, 3的大小关系可能是（2.已知向量 a=(-b l)f 正⑵ -3),则 2%-b 等于（） A. (4, - 5) B. (—4, 5) C. (0, T) D. (0, 1) 3.在区间（1, 7）上任取一个数，这个数在区间 5, 8）上的概率为4.要得到函数B-i7Ty=sin （4x-F-）的图象，只需将函数y=sin4x 的图象 5.已知两条直线m, n,两个平面鹏 8给出下面四个命题:①m H n, m± a? n± a ② a// & m? a, n?仅 m // n @ aJ & m " n, m± ? n± 3 其中正确命题的序号是 A.①③B.②④C.①④D.②③ 6.执行如图所以的程序框图，如果输入 a=5 ,那么输出 n=（A. 2B. 3C. 4D. 5A.向左平移 ，单位x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A. 3 a 、 D. 4.53是方程f （x ） =0的两根，则实数A. a< mvnv 3 B- m< a< 3< n C. m< a< n< 3 D. a< mv 3< n 9 .已知某锥体的三视图（单位： cm ）如图所示，则该锥体的体积为（ ）10 .在等月ABC 中，/BAC=90°, AB=AC=2,同=2而I,菽=3凝，则前■刘的值为（）Dy11 .已知一个三角形的三边长分别是 5, 5, 6, 一只蚂蚁在其内部爬行， 若不考虑蚂蚁的大小,13.若直线 2X + (m+1) y+4=0 与直线 mX+3y+4=0 平行，则 m=y<l15 .若变量x 、y 满足约束条件 y+y>口 ,则z=x-2y 的最大值为bkx 3,x 016 .已知函数f X 1k，若方程f f X 2 0恰有三个实数根，则实数k 的-,x 02取值范围是三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17 .在△ ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC. (I) 求B 的大小；(n) 若 b=" A=T\求^ ABC 的面积.r . ..-18 .已知：a 、b 、c是同一平面上的三个向量，其中a=(l, 2).A. 2cm 3B. 4cm 3C. 6cm 3D . 8cm 3B.则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过 2的概率是（B. 1-C. 1 -12.已知函数f （x ）= ,X 1 , X 2 , X 3, X 4, X 5 是方程 f (x) =m 的五个不等的实数根，则 X 1+X 2+X 3+X 4+X 5的取值范围是（A. (0,同 B .（一兀，兀） C. (lg ，兀 1) D. ( 为 10)二、填空题（每题 5分，，茜分20分）14.已知sinOL IcosCl①若|C 1=2 j5,且c // a,求C的坐标.… .. 5②右|b |=——,且a +2 b与2 a -b垂直，求a,与b的夹角219.设S n是等差数列｛a n｝的前n项和，已知S3=6, a4=4.(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若bn=3 — 3 %,求证：—+---+ , , •+ ——<—.b L b2 L 420为了了解某省各景点在大众中的熟知度，随机对15〜65岁的人群抽样了n人，回答问题15 25 35 45 55 e5 学龄(1)分别求出a,b,x,y的值;(2)从第2, 3, 4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2, 3, 4组每组各抽取多少人？(3)在(2)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.21.在三柱ABC-A i B i C i中，△ ABC是边长为2的正三角形，侧面BB i C i C是矩形，D、E分别是线段BB i、AC i的中点.(i)求证：DE//平面A i B i C i；(2)若平面ABC，平面BB i C i C, BB i=4 ,求三棱锥A- DCE的体积.22.已知圆C: x2+y2+2x- 3=0.(i)求圆的圆心C的坐标和半径长；(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A (xi, yi)、B (X2, y2)两点, 求证：1 :工为定值;町K2(3)斜率为i的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使^ CDE的面积最大.禄劝一中高中2018-2019学年高二（上）期末数学模拟试卷参考答案选择题（每小题分，共分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBCBCBABAACD、填空题（每小题 5分，共12分）,、M A TV - n 2n 兀 兀 n 解：A =——，，C =兀- =———4 q 3 3 2••,|b=V3, B =-^-JbsinC V5 ^/218.解：①设 c (x, y) • •• c // a 且|C |二2 J52x y 0•• 2 2 x 2 y 2 202 c =(2,4)或 c =(-2, -4).13.-3 14. — 15. 3 16.1,17 (I)解：:2bsinB= (2a+c) sinA+ (2c+a) sinC,由正弦定理得, 2b 2= (2a+c) a+ (2c+a) c, 化简彳导,a 2+c 2B=2TT...sinC=sin (2L 』)=、3 「 JT由正弦定理得,SliTT-COS-^-COS-SLIT^ bI sinC sinBcsinBsin号X 炳乂配yXsin-TT 3^/3b 2+ac=0.・•.△ABC 的面积②「( a+2b ) ± (2a-b)，( a+2b) (2a-b) =0,-r -to- -► —*■• -2a 2+3a b-2 b 2=0• •.2|a |2+3| a | b||cos -2|b |2=02X 5+3X v -'5 X — cos -2X - =0, cos = -1 2 4打九 2k Tt, 长［0,兀］「. 0 =Tt.9 CL— 2520解：（1）由频率表中第 4组数据可知，第 4组总人数为 —再结合频率分布直方图可知n ----------- 1000.025 10a 100 0.01 10 0.5 519.解：（1）设公差为 d,则解得=1-a n =n. (2)证明：b n =3—3 、=3n+1— 3n=2?3n,0.36 (1分)•｝是等比数列.，q1b 100 0.03 10 0.9 2乙x 180.9, y — 0,220 15(2)因为第2, 3, 4组回答正确的人数共有 54人，所以利用分层抽样在 54人中抽取6人,每组分别抽取的人数为:(3)设第2组2人为：A 1, A 2；第3组3人为：B 1, B 2, B 3；第4组1人为：C 1 .则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：(A1,A 2), (A 1,B 1), (A 1,B 2), (A 1,B 3), (A 1C1),(A 2,B 1), (A 2, B 2), (A 2,B 3), (A2,C I ), (B I ,B2), (B I ,B3), (B 1,C 1), (B 2,B 3), (B2,C I ), (B 3,C I )共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件, ……，一，…— …31，所抽取的人中恰好没有第 3组人的概率是：P - -155贝U 由EF 是△ AA 1C 1的中位线得 EF // AA 1, 又 DB 1//AA 1, DB 1卷AA 1 所以 EF // DB 1, EF = DB 1所以DE //平面A 1B 1C 1(n)解：因为E 是 AC 1 的中点，所以 V A DCE =V D ACE =2过A 作AH ，BC 于H 因为平面平面 ABC ，平面BB 1C 1C,所以AHL 平面BB 1C 1C,所以 V A DCE =V D —ACE =「5二「7 (4)第2组:18 54 2人;第3组:27 54 3人;第4组:9 54…(8分)21. (1)证明：取棱A i C i 的中点F,连接EF 、B 1F…(10分)…(12分)故四边形DEFB 1是平行四边形，从而 DE// B1FEF122.解：（1）圆 C: x 2+y 2+2x-3=0,配方得（x+1） 2+y 2=4,则圆心C 的坐标为（-1,0）,圆的半径长为 2;（2）设直线l 的方程为y=kx,联立方程组工卜了 +2x3=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
西南师大附中2009—2010学年度上期期末考试高二数学试题（文科）（总分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线2x –y + 1 = 0的斜率为（）A．2 B．-2 C．12D．12-2．已知A(-1，2)、B(3，-4)，则线段AB的中点为（）A．(1，-1) B．(-2，3) C．(2，-3) D．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭3．已知双曲线2213x ym-=的离心率e = 2，则m =（）A．3 B．32C．1 D．124．圆22(1)(1x y-+=的切线方程中有一个是（）A．x-y = 0 B．x + y = 0 C．x = 0 D．y = 05．如果实数x、y满足条件101010x yyx y-+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x-y的最大值为（）A．2 B．1 C．-2 D．-36．如右图，已知锐二面角α-l-β，A为α面内一点，A到β的距离为，到l的距离为4，则二面角α-l-β的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°7．已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①②D．③④8．空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，则对角线AC与BD所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°1 A9． 在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．34B ．43 C ．38D ．8310． 已知直线l 交椭圆4x 2 + 5y 2 = 80于M 、N 两点，椭圆与y 轴的正半轴交于B 点，若△BMN的重心恰好是椭圆的右焦点，则直线l 的方程是（ ） A ．5x + 6y –28 = 0 B ．5x – 6y -28 = 0C ．6x + 5y – 28 = 0D ．6x -5y -28 = 0二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11． “直线l 在平面α内”用数学符号表示为____________________．12． 以x 轴为对称轴，且过点P (-2，-4)的抛物线的标准方程为____________________．13． 已知双曲线22139x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于_______________．14． 如图，△ABC 是直角三角形，∠ABC =90°，PA ⊥平面ABC ，此图形中有_______________个直角三角形．15． 过抛物线y 2 = 4x 焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB | = 10，O 为坐标原点，则△OAB 的重心的坐标是__________________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)已知圆C ：x 2+y 2-4x -6y +12=0，求：(1) 圆C 的半径；(2) 若直线y =kx +2与圆C 有两个不同的交点，求k 的取值范围．PA BC'A'CA17．(本小题满分12分)直线l：y=2x+1与抛物线y2=2px交于A、B，若|AB18．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N，Q分别PB，PC，AB的中点．求证：(1) MN∥平面PAD；(2) QN∥平面PAD．C19．(本小题满分13分)如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′=O，求：(1)AO与A′C′所成角；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角．20．(本小题满分13分)已知中心在原点，顶点A1、A2在x的双曲线经过点P(6，6)，(1)求双曲线的方程；(2)动直线l经过△A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问是否存在直线l使G平分线段MN．试证明你的结论．21．(本小题满分13分)已知A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点，BC 过椭圆中心O (如图)，且0AC BC =，|BC | = 2|AC |． (1) 求椭圆的方程；(2) 如果椭圆上有两点P 、Q ，使∠PCQ 的平分线垂直于AO ，是否总存在实数λ，使PQ AB λ=，请给出证明．（命题人：褚晓燕 审题人：潘 丹）C西南师大附中2009—2010学年度上期期末考试高二数学试题参考答案（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．A 3．C 4．C 5．B 6．C 7．B 8．D 9．B 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．l ⊂α； 12．y 2=-8x ； 13．2；14．4； 15．83⎛± ⎝， 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(12分) 解：(1) 化为标准方程得：(x -2)2+(y -3)2=1，则圆C 的半径为1； ····················· 5分(2) 联立方程组，消y 得：(x -2)2+(kx -1)2=1，化简得：(k 2+1)x 2-2(k +2)x +4=0， ····························································· 7分 则∆=4(k +2)2-16(k 2+1)>0，化简得：3k 2-4k <0， ·································· 10分解得：403k << ······················································································ 12分17．(12分) 解：联立方程组，消y 得4x 2+ (4-2p )x +1=0， ·······················································3分则|AB )4=⎢ ⎪⎝⎭⎢⎣， ············································· 8分 解得：p =6，或p =-2，∴抛物线的方程为y 2=12x ，y 2=-4x ······························································· 12分18．(12分) 证明：(1) ∵M 、N 分别是PB 、PC 的中点，∴MN ∥BC ， ··································· 2分又∵AD ∥BC ，∴MN ∥AD ， ·································································· 4分 又∵AD ⊂平面PAD ，∴MN ∥平面PAD ； ············································ 6分 (2) 连结MQ ，∵M 、Q 分别是PB 、AB 的中点，∴MQ ∥PA ， ·············· 8分又∵MN ∩MQ =M ，∴平面MNQ ∥平面PAD ， ································· 10分 又∵QN ⊂平面MNQ ，∴QN ∥平面PAD ；········································ 12分19．(13分) 解：(1) ∵A ′C ′∥AC ∴AO 与A ′C ′所成角就是∠OAC∵OC ⊥OB ，AB ⊥平面BC ′ ∴OC ⊥OA在Rt △AOC中，OC =AC = ∴∠OAC = 30°······························································································ 4分 (2) 如图，作OE ⊥BC 于E ，连结AE∵平面BC ′⊥平面ABCD∴OE ⊥平面ABCD ，∠OAE 为OA 与平面ABCD 所成角 在Rt △OAE 中，12OE =，AE ==∴tan OE OAE AE ∠== ············································································ 9分 (3) ∵OC ⊥OA ，OC ⊥OB ∴OC ⊥平面AOB 又∵OC ⊂平面AOC ∴平面AOB ⊥平面AOC即平面AOB 与平面AOC 所成角为90° ···················································· 13分20．(13分) 解：(1) 设所求的双曲线方程为22221x y a b-=，∵c e a ==且双曲线经过点P (6，6)，则2222661a b =⎨⎪-=⎪⎩，解得：22912a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ∴所求的双曲线方程为221912x y -= ·························································· 6分(2) P 、A 1、A 2的坐标分别为(6，6)，(-3，0)，(3，0)，∴G 点坐标为(2，2)， 假设存在直线l 使G (2，2)平分线段MN ， 设M 、N 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，∴22112222129108.......(1)129108. (2)x y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩(1)-(2)得：12(x 12-x 22) = 9(x 12-x 22) ，12(x 1+x 2) (x 1-x 2) = 9(y 1+y 2) (y 1-y 2)C'A'C又1222x x +=，1222y y +=，即x 1+ x 2 = 4，y 1 + y 2 = 4， ∴1211243MN y y k k x x -===-， ∴l 的方程为42(2)3y x -=- ····································································· 11分由2212910842(2)3x y y x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩消去y 整理得x 2-4x +28 = 0 ∵∆ = (-4)2-4×28 < 0，∴所求直线不存在． ·················································································· 13分21．(13分) 解：(1) 设所求的椭圆方程为22221x y a b+=，其中2a = 4∵0AC BC =，|BC | = 2|AC |，则∠ACB = 90°，且|OA | = 2，OC OB AC ==∴C (1，1)代入椭圆方程得243b =，即椭圆方程为223144x y +=(2) 若PCQ ∠的平分线垂直于OA ，则PC 、QC 倾斜角互补， 设PC 所在的直线方程为y -1 = k (x -1)， 由方程组221(1)3144y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得(3k 2 +1)x 2 + (6k -6k 2)x + 3(k -1)2-4 = 0， ∵226631P C k kx x k -+=+，且x C = 1， ∴2236131P k k x k --=+，代入y -1= k (x -1)中可得2232131P k k y k --+=+，同理可得2236131Q k k x k +-=+，2232131Q k k y k -++=+， ∴222222223213211313133613613131PQk k k k k k k k k k k k k -++--+-++==+----++又13AB k =，∴PQ ∥AB 总存在λ使PQ AB λ= ································ 13分。