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数学丨河南省2025届高三上学期10月联考(二)数学试卷及答案
2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，平面向量，数列，不等式.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+.，若{}15A B x x =<< ，则a =（）A.0B.1C.2D.32.已知符号）（表示不平行，向量(1,2)a =--，(,7)b m m =+ .设命题:(0,)p m ∀∈+∞，a ）（b ，则（）A.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题B.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为真命题C.:(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题D.:(0,)p m ⌝∀∈+∞，//a b，且p ⌝为假命题3.若||0a b >>，则下列结论一定成立的是（）A.22a b ab> B.2211ab a b> C.33a b< D.a c c b->-4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且31S ma =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知函数3()log f x x =，若0b a >>，且a ，b 是()f x 的图像与直线(0)y m m =>的两个交点对应的横坐标，则4a b +的最小值为（）A.2B.4C.6D.86.三角板主要用于几何图形的绘制和角度的测量，在数学、工程制图等领域被广泛应用.如图，这是由两块直角三角板拼出的一个几何图形，其中||||AB AC = ，||||BD BC =，0BD BC ⋅= .连接AD ，若AD x AB y AC =+，则x y -=（）A.1B.2D.327.若0a ≠，()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，则（）A.0a > B.0bc +> C.0c > D.16b c a-=-8.已知A 是函数()e 3xf x x =+图象上的一点，点B 在直线:30l x y --=上，则||AB 的最小值是（）A.72e 22e- B.3C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且3n an b =，则下列结论不正确的是（）A.若{}n a 是递增数列，则{}n S 是递增数列B.若{}n a 是递减数列，则{}n S 是递减数列C.若{}n a 是递增数列，则{}n T 是递增数列D.若{}n a 是递减数列，则{}n T 是递减数列10.已知(31)f x +为奇函数，(3)1f =，且对任意x ∈R ，都有(2)(4)f x f x +=-，则必有（）A.(11)1f =-B.(23)0f =C.(7)1f =- D.(5)0f =11.已知函数()sin sin 3f x x x =+，则（）A.()f x 的图象关于点(π,0)中心对称B.()f x 的图象关于直线π4x =对称C.()f x 的值域为⎡⎢⎣⎦D.()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且1a =，3b =，1cos 3C =，则ABC △外接圆的面积是__________.13.已知某种污染物的浓度C （单位：摩尔/升）与时间t （单位：天）的关系满足指数模型(1)0ek t C C -=，其中0C 是初始浓度（即1t =时该污染物的浓度），k 是常数.第2天（即2t =）测得该污染物的浓度为5摩尔/升，第4天测得该污染物的浓度为15摩尔/升，若第n 天测得该污染物的浓度变为027C ，则n =__________.14.1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则162121tan2k k α==+∑__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，4cos 5A =，2cos 3cos a C c A =.（1）求sin C 的值；（2）若3a =，求ABC △的周长.16.（15分）已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x b A ωϕωϕ=++>><<的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的零点；（3）将()f x 图象上的所有点向右平移π12个单位长度，得到函数()g x 的图象，求()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17.（15分）已知函数3()33xx a f x ⋅=+，且()()66log 3log 122f f +=.（1）求a 的值；（2）求不等式()22310f x x +->的解集.18.（17分）已知函数2()(2)ln(1)2f x ax x x x =++--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间与极值；（2）当0x ≥时，()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围.19.（17分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的n +∈N ，都有2n n S kS =（k 为非零常数），则称数列{}n a 为“和等比数列”，其中k 为和公比.（1）若23n a n =-，判断{}n a 是否为“和等比数列”.（2）已知{}n b 是首项为1，公差不为0的等差数列，且{}n b 是“和等比数列”，2n b nc =，数列{}n c 的前n 项和为n T .①求{}n b 的和公比；②求n T ；③若不等式2134(1)22nn n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，求m 的取值范围.2024-2025年度河南省高三年级联考（二）数学参考答案1.C 由题意可得{}13A x x =<<.因为{}15A B x x =<< ，所以1,35a a ≥⎧⎨+=⎩，解得2a =.2.A :(0,)p m ⌝∃∈+∞，//a b ，当(7)2m m -+=-，即7m =时，//a b，所以p ⌝为真命题.3.B 当3a =，2b =-时，2218,12a b ab =-=，此时22a b ab <，则A 错误.因为||0a b >>，所以a b >，且0ab ≠，所以2210a b >，所以2211ab a b>，则B 正确.当2a =，1b =-时，338,1a b ==-，此时33a b >，则C 错误.当2a =，1b =，3c =时，1a c -=-，2c b -=，此时a c c b -<-，则D 错误.4.A 设{}n a 的公比为q ，则()23123111S a a a q q a ma =++=++=.因为10a ≠，所以21q q m ++=.由7m =，得217q q ++=，即260q q +-=，解得2q =或3q =-.由2q =，得7m =，则“7m =”是“{}n a 的公比为2”的必要不充分条件.5.B 由题意可得01a b <<<，1b a=，则44a b +≥，当且仅当42a b ==时，等号成立.故4a b +的最小值为4.6.A 如图，以A 为原点，AB ，AC的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立直角坐标系，设1AB =，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，故(1,0)AB = ，(0,1)AC =.作DF AB ⊥，交AB 的延长线于点F .设||1AB = ，则||||1BF DF ==，所以(2,1)D ，所以(2,1)AD = .因为AD x AB y AC =+，所以2,1x y ==，则1x y -=.7.B 因为[0,8]x ∈，所以πππ7π,6666x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦.当[0,1)x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；当()1,7x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭；当(7,8]x ∈时，ππsin 066x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭.因为()2ππsin 066x ax bx c ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭对[0,8]x ∈恒成立，所以1，7是20ax bx c ++=的两根，且0a <，则17,17,b ac a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩故80b a =->，70c a =<，15b c a -=-，0b c a +=->.8.D由题意可得()(1)e x x f x +'=.设()()g x f x '=，则()(2)e xg x x '=+，当1x <-时，()0f x '<，当1x >-时，()0g x '>，()f x '单调递增.因为(0)1f '=，所以()(1)e 1xf x x '=+=，得0x =，此时(0,3)A ，故min ||AB ==.9.ABD当7n a n =-时，{}n a 是递增数列，此时{}n S 不是递增数列，则A 错误.当12n a n =-+时，{}n a 是递减数列，此时{}n S 不是递减数列，则B 错误.由{}n a 是递增数列，得{}n b 是递增数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故C 正确.由{}n a 是递减数列，得{}n b 是递减数列，且0n b >，则{}n T 是递增数列，故D 错误.10.CD由(31)f x +为奇函数，可得(31)(31)f x f x -+=-+，则()f x 的图象关于点(1,0)对称.又(2)(4)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，则()f x 是以8为周期的周期函数，所以(7)(3)1f f =-=-，(5)(1)0f f ==，(11)(3)1f f ==，(23)(7)1f f ==-，故选CD.11.ACD因为(π)(π)sin(π)sin 3(π)sin(π)sin 3(π)0f x f x x x x x ++-=++++-+-=，所以()f x 的图象关于点(π,0)中心对称，则A 正确.由题意可得()sin sin 32sin 2cos f x x x x x =+=，则ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππππ2sin 2cos 2cos 2cos 4244f x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图象不关于直线π4x =对称，则B 错误.由题意可得3()2sin 2cos 4sin 4sin f x x x x x ==-.设sin [1,1]t x =∈-，则3()44y g t t t ==-+，故()22()124431g t t t '=-+=--.由()0g t '>，得3333t -<<；由()0g t '<，得313t -≤<-或313t <≤，则()g t 在31,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭和3,13⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，在33,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增.因为(1)(1)0g g -==，38339g ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，38339g ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以8383()99g t ⎡∈-⎢⎣⎦，即()f x 的值域是838399⎡-⎢⎣⎦，则C 正确.当π3π,24x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2sin 2t x ⎤=∈⎥⎣⎦.因为sin t x =在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()g t在,13⎤⎥⎣⎦上单调递减，所以()f x 在π3π,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则D 正确.12.9π4由余弦定理可得22212cos 1921383c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，则c =因为1cos 3C =，所以22sin 3C =，则ABC △外接圆的半径32sin 2c R C ==，故ABC 外接圆的面积为29ππ4R =.13.7由题意可得030e 5,e 15,k kC C ⎧=⎨=⎩则2e 3k =，解得ln32k =.因为(1)00e 27k n C C -=，即3ln(1)200e 27n C C -=，所以ln 3(1)2e 27n -=，所以ln 3(1)ln 273ln 32n -==，解得7n =.14.15由题可知2π17α=，则222π11tan 1tan π217cos 17k k k α+=+=，则161616162211112π2π2π2cos 1cos 16cos 1717171tan 2k k k k k k k k α====⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭+∑∑∑∑.由161611π2π(21)π(21)π33πππ2sin cos sin sin sin sin 2sin 17171717171717k k k k k ==+-⎡⎤⋅=-=-=-⎢⎥⎣⎦∑∑，得1612πcos117k k ==-∑，故原式16115=-=.15.解：（1）因为4cos 5A =，且0πA <<，所以3sin 5A ==.因为2cos 3cos a C c A =，所以2sin cos 3sin cos A C C A =，所以342cos 3sin 55C C ⨯=⨯，即cos 2sin C C =.因为22sin cos 1C C +=，所以21sin 5C =.因为0πC <<，所以5sin 5C =.（2）由（1）可知3sin 5A =，4cos 5A =，5sin 5C =，25cos 5C =，则3254525sin sin()sin cos cos sin 55555B AC A C A C =+=+=⨯+⨯=.由正弦定理可得sin sin sin a b cA B C==，则sin sin a B b A ==sin sin a Cc A==，故ABC △的周长为3a b c ++=+.16.解：（1）由图可知3(1)22A --==，3(1)12b +-==，()f x 的最小正周期7ππ2π1212T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.因为2π||T ω=，且0ω>，所以2ω=.因为()f x 的图象经过点π,312⎛⎫⎪⎝⎭，所以ππ2sin 2131212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 16ϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以ππ2π()62k k ϕ+=+∈Z ，即π2π()3k k ϕ=+∈Z .因为0πϕ<<，所以π3ϕ=.故π()2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）令()0f x =，得π1sin 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则ππ22π()36x k k +=-∈Z 或π5π22π()36x k k +=-∈Z ，解得ππ4x k =-或7ππ()12k k -∈Z ，故()f x 的零点为ππ4k -或7ππ()12k k -∈Z .（3）由题意可得πππ()2sin 212sin 211236g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ4π2,663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.当ππ262x +=，即π6x =时，()g x 取得最大值π36g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；当π4π263x +=，即7π12x =时，()g x 取得最小值7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.故()g x 在7π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1⎡⎤⎣⎦.17.解：（1）因为3()33x x a f x ⨯=+，所以221393(2)333933x x x x a a af x --+⨯-===+++，则33()(2)3333x xx a a f x f x a ⨯+-=+=++.又666log 3log 12log 362+==，所以()()66log 3log 12f f a +=，从而2a =.（2）由（1）可知236()23333x x x f x ⨯==-++，显然()f x 在R 上单调递增.因为1(0)2f =，所以由()22310f x x +->，可得()23(0)f x x f +>，则230x x +>，解得3x <-或0x >，故不等式()22310f x x +->的解集为(,3)(0,)-∞-+∞ .18.解：（1）当0a =时，2()2ln(1)2f x x x x =+--，其定义域为(1,)-+∞，则()222(2)22111x x x x f x x x x x ---+'=--==+++.当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，()f x 的单调递增区间为(1,0)-，当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 的单调递减区间为(0,)+∞，故()f x 的极大值为(0)0f =，无极小值.（2）设1t x =+，[1,)t ∈+∞，2()(2)ln 1g t at a t t =+--+，[1,)t ∈+∞，则2()ln 2at a t t a tg -=+-+'.设()()h t g t '=，则222222()2a a t at a h t t t t --++-'=--=.设2()22m t t at a =-++-，则函数()m t 的图象关于直线4at =对称.①当2a ≤时，()m t 在[1,)+∞上单调递减.因为(1)240m a =-≤，所以2()220m t t at a =-++-≤在[1,)+∞上恒成立，即()0h t '≤在[1,)+∞上恒成立，则()h t 在[1,)+∞上单调递减，即()g t '在[1,)+∞上单调递减，所以()(1)0g t g ''≤=，所以()g t 在[1,)+∞上单调递减，则()(1)0g t g ≤=，即()0f x ≤在[0,)+∞上恒成立，故2a ≤符合题意.②当2a >时，()m t 在[1,)+∞上单调递减或在[1,)+∞上先增后减，因为(1)240m a =->，所以存在01t >，使得()00m t =.当()01,t t ∈时，()0m t >，即()0h t '>，所以()g t '在()01,t 上单调递增.因为(1)0g '=，所以()0g t '>在()01,t 上恒成立，所以()g t 在()01,t 上单调递增，则()0(1)0g t g >=，故2a >不符合题意.综上，a 的取值范围为(,2]-∞.19.解：（1）因为23n a n =-，所以121n a n +=-，所以12n n a a +-=.因为11a =-，所以{}n a 是首项为-1，公差为2的等差数列，则22n S n n =-，所以2244n S n n =-，所以222444422n n S n n n S n n n --==--.因为442n n --不是常数，所以{}n a 不是“和等比数列”.（2）①设等差数列{}n b 的公差为d ，前n 项和为n S ，则21(1)1222n n n d d S nb d n n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，所以222(2)n S dn d n =+-.因为{}n b 是“和等比数列”，所以2n n S kS =，即222(2)22kd kd dn d n n k n ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以2,22,2kd d kd d k ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得4,2,k d =⎧⎨=⎩即{}n b 的和公比为4.②由①可知12(1)21n b n n =+-=-，则212n n n c -=，所以35211232222n n n T -=++++ ，所以2352121112122222n n n n nT -+-=++++ ，所以235212121211122311111422222212nn n n n n n T -++⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++-=- ，即2132344332n n n T ++=-⨯，所以21834992nn n T -+=-⨯.③设2121212134834348103429922992n n n n n n n n n n P T ----++++=-=--=-⨯⨯，12121103710345(1)092924n n n n nn n n P P ++-+++-=-⨯+⨯=>.不等式2134(1)22n n n n T m -+->--对任意的n +∈N 恒成立，即不等式(1)2n n P m >--对任意的n +∈N 恒成立.当n 为奇数时，()1min 23n m P P --<==-，则1m >；当n 为偶数时，()2min 122n m P P -<==-，则32m <.综上，m 的取值范围是31,2⎛⎫⎪⎝⎭.。
浙江杭州周边重点中学四校2024年高二10月联考数学试题(原卷版)
2024学年第一学期高二年级10月四校联考数学 学科 试题卷命题人：浦江中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号（填涂）； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.310y −−=的倾斜角为（ ） A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2. 若圆锥的表面积为12π，底面圆的半径为2，则该圆锥的体积为（ ） A. 4√33πB.C.π3D.3. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线1l ：ax ＋2y －1＝0与直线2l ：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 在四面体OABC 中，记OA a = ，OB b =，OC c = ，若点M 、N 分别为棱OA 、BC 的中点，则MN =（ ）A. 111222a b c ++B. 111222a b c −++C111222a b c −+D.111222a b c +−5. 直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y −+=上，则ABP面积的取.值范围是（ ） A []2,6B. []4,8C.D.6. 已知圆22:20C x y x +−=，直线:10l x y ++=，P 为l 上的动点，过点P 作圆C 的两条切线P A 、PB ，切点分别A 、B ，当·PC AB 最小时，直线AB 的方程为（ ）A. 0x y +=B. 0x y −=C. 2210x y −+=D. 2210x y ++=7. 设函数()()2ln f x x ax b x =++，若()0f x ≥，则a 的最小值为（ ）A. 2−B. 1−C. 2D. 18. 已知三棱锥A BCD −的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面ABC ，90BAC ∠=°，2AD =，若球O 的表面积为29π，则三棱锥A BCD −的侧面积的最大值为A. 254B.C. 272+D. 252二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9. 已知圆()22:24C x y ++=，直线()():1210R l m x y mm ++−+=∈，则（ ） A. 直线l 恒过定点()1,1− B. 直线l 与圆C 有两个交点C. 当1m =时，圆C 上恰有四个点到直线l 的距离等于1D. 圆C 与圆222880x y x y +−++=恰有三条公切线10. 定义在R 上偶函数()f x ，满足()()()21f x f x f +−=，则（ ） A. ()10f =B. ()()110f x f x −++=C. ()()1212f x f x +=−D.201()10i f i ==∑11. 球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球O 的半径为R ，A ，B ，C 为球面上三点，劣弧BC 的弧长记为a ，设a O 表示以O 为圆心，且过B ，C 的圆，同理，圆,b c O O 的劣弧,AC AB 的弧长分别记为,b c ，曲面ABC （阴影部分）叫做曲面三角形，a b c ==，则称其为曲面等边三角形，线段OA ，OB ，OC 与曲面ABC 围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面O ABC −．设.的,,BOC AOC AOB αβ∠=∠=∠=γ，则下列结论正确的是（ ）A. 若平面ABC2的等边三角形，则a b c R === B. 若222a b c +=，则222αβγ+=C. 若π3a b c R ===，则球面O ABC −的体积3V > D. 若平面ABC 为直角三角形，且π2ACB ∠=，则222a b c +=三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12 若圆()22121C x y −+=：与圆222:460C x y x y m ++++=有且仅有一条公切线，m =______ . 13. 已知函数()π2sin 0,02yx ωϕωϕ+>≤≤的图象经过点(，且在y 轴右侧的第一个零点为π4，当[]0,2πx ∈时，曲线sin y x =与()2sin y x ωϕ+的交点有__________个，14. 如图，在长方形ABCD 中，3AB =，2BC =，E 为DC 中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点.现将AFD △沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ，在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t ，则t 的取值范围是_______.四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 某校为提高学生对交通安全的认识，举办了相关知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，发现得分均在区间[]30,90内.现将100个样本数据按[)30,40，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[)70,80，[]80,90分成6组，并整理得到如下频率分布直方图..的（1）请估计样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（精确到0.1）； （2）学校决定表彰成绩排名前30％的学生，学生甲的成绩是76，请估计该学生能否得到表彰，并说明理由.16. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()1,1，动点P 满足PA =（1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）若直线l 过点()1,2Q 且与轨迹C 相切，求直线l 的方程.17. 已知函数()2x xb a f x x a−=−（0a >且1a ≠b ∈R ）是定义在R 上的奇函数，且()512f =−； （1）求a ，b 的值； （2）解不等式()()21570f xf x −+−<．18. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线BD 和BF 上移动，且BM 和BN 的长度保持相等，记(0BM BN a a ==<<．（1）证明：//MN 平面BCE ；（2）当a =MNA 与平面MNB 夹角的余弦值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当ABC 的三个内角均小于120°时，使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°的点P 即为费马点；当ABC 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . （1）若tan tan cos()cos tan tan 1A CA CB AC −+=−.①求B ；②若ABC P 为ABC 的费马点，求PA PC ⋅的取值范围；（2）若ABC 内一点P 满足PAB PBC PCA θ∠=∠=∠=，且PB 平分ABC ∠，试问是否存在常实数t ，使得2b tac =，若存在，求出常数t ；若不存在，请说明理由.。
天一大联考齐鲁名校联盟2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题
“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,62.已知0,0m n >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.17502π9B.1750π9C.17502π3D.17502π5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A .4- B.2- C.3D.57.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.58.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x xy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a b c cc >∈R ，则a b >C.若a b >，则22a b >D.函数2sin sin y x x=+的最小值为2210.如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559nn S =-⋅11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D.当3a <时，()f x 有唯一的零点三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan232θθ=-=）14.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值.18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫==⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？“天一大联考·齐鲁名校联盟”2024—2025学年高三年级第二次联考数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =ð（）A.{}2,4,5,6 B.{}4,6 C.{}2,4,6 D.{}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U=，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = ð.故选：A.2.已知0,0mn >>，且3m n +=，则21m n +++的最大值为（）A.8B.23C.22D.572+【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值.【详解】由0,0mn >>，3m n +=，得6(2)(1)2(2)(1)m n m n =+++≥++，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，因此221(21)62(2)(1)23m n m n m n +++=+++=+++≤，所以21m n +++的最大值为23.故选：B3.函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可.【详解】函数)()(e e x x f x x -=-的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x -=-=--，因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x -<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意.故选：B4.一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（）A.2π9B.1750π9C.2π3D.17502π【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h=2211ππ10π333V r h ==⋅⋅=，截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h==2200011ππ5π333V r h ==⋅⋅=，所以该圆台的体积为0π27π31π33VV -=-=.故选：C5.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++=->，即N n *∀∈，10n a q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件.故选：D6.函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（）A.4- B.2- C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值.【详解】当2x <-时，函数()21x f x =-在(,2)-∞-上单调递增，31()4f x -<<-；当2x ≤-时，函数2()2f x x =-在[2,0]-上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=-，所以当0x =时，min ()2f x =-.故选：B7.已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+-，所以11a =，211k ka a =+-=，32211a k k a =+-=+，43312k k a a =+-=，因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =⨯⇒2k =或0k =（舍去）.故选：A8.已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442x x y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(i i i x y =+=∑（）A.0B.20252C.2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442x xy =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =--，得()(1)1f x f x +-=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42xxg x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x x g x g x --+-=+=+=++++⋅，因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同，则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i --= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y --+=+=，20262026()()2i i i i x y x y --+++=，所以202512(202520252)i i i x y =+=⨯=∑.故选：C 【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若,a b c >∈R ，则22ac bc >B.若22,a bc c c>∈R ，则a b >C.若ab >，则22a b > D.函数2sin sin y x x=+的最小值为【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c=时，22ac bc =，故A 错误；对B ，当22a b c c >，则20c >，则a b >，故B 正确；对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =-时，2sin 3sin y x x=+=-<D 错误.故选：BC.10.如图，有一列曲线012,,,P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线kP 所围成图形的面积，则（）A.3P 的边数为128 B.24027S =C.n P 的边数为34n⨯ D.834()559n n S =-⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD.【详解】依题意，令0P 图形的边长为a ，2314a =，边数是3；根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34⨯；2P 图形边长为23a，边数为234⨯；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ⨯，C 正确；3P 的边数为334192⨯=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P -所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为23()43n a ⨯，则1213(34)()43n nn n a SS --=+⨯⨯，整理得1114()39n n n S S ---=⨯，数列1{}nn S S --是等比数列，1P 图形的面积213413()433a S =+⨯⨯=，121321144[1(]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S ---=+⨯-=+-+--⨯++=- ，D 正确；2831640558127S =-⨯=，B 正确.故选：BCD 11.已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（）A.()f x 的图象关于点()0,2对称B.(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C.当1a=时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+= D.当3a <时，()f x 有唯一的零点【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =-，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax =-的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =-+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A 正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a=时，()32f x x x =-+，()231f x x '=-.由()2f x '=⇒2312x -=⇒1x =或1x =-.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =-，则2y =，所以()f x 在1x =-处的切线方程为：()221y x -=+即240x y -+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a '=-，若0a ≤，则()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x '<⇒3333x -<<，由()0f x '>⇒33x <-或33x >.所以函数()f x 在3,3⎛-∞-⎝⎭和3,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有03f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭（因为()02f =，所以03f ⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭不成立），即3332033a ⎛⎫-⋅+> ⎪ ⎪⎝⎭⇒3a <，得0<<3a .综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确.故选：ACD 【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______.【答案】{0,2}【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =--=，显然B ≠∅，由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得BA ，当0a=时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x -++=的根为1和2a，显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a=，解得2a =，此时{1}B =，符合题意，所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13.蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 232θθ=-=）【答案】924【解析】【分析】根据蜂房的结构特征，即可根据锐角三角函数以及三角形面积公式求解.【详解】依题意，由10928GPIIPK KPG θ'∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ'∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接G I 并取其中点O，连接OH ，则2224tan2GOOH GO GI θ===，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 603AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG 是平行四边形，有=3GI AC =，则26=44OH GI =，因此一个菱形的面积为1632223244GHISGI OH =⋅⋅=⨯=，所以上顶的面积为3292344⨯=.故答案为：92414.已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】①.1e-②.[]0,2【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x ='-显然，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，′>0，()f x 单调递增；所以()f x 的最小值为11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；由题可知，()()22ln g x x af x x ax x=-=-所以()2ln g x x a x a =--'由题可知()2ln 0g x x a x a '=--≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞'→-，故不成立；当0a=时，()2g x x '=，因为∈0,+∞，所以()20g x x '=>，故成立；当0a >时，由2ln 0x a x a --≥恒成立，得21ln xax +≥恒成立，即max 21ln x a x +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭不妨令()1ln x h x x +=，所以()2ln xh x x -='所以显然当∈0,1时，ℎ′>0，ℎ单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′<0，ℎ单调递减；所以()()max 11h x h ==，即2102a a ≥⇒<≤综上所述：[]0,2a ∈故答案为：1e-；0,2【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a <（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=---，再求n S 进行判断即可.【小问1详解】因为211n n n a a a +=-+⇒()2212110n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=-+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>.故20242026a a <.【小问2详解】由211n n n a a a +=-+⇒()2111n nn n n a a a a a +-=-=-，所以()11111111n n n n n a a a a a +==----⇒111111n n n a a a +=---.所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+⎛⎫==- ⎪--⎝⎭∑∑1111111111n n a a a ++=-=----.由（1）可知：12n a +>，所以1n S <.16.已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.（1）判断()y f x '=的奇偶性；（2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析（2）(1,0)(1,)-+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x -=-两边同时求导即可证明；（2）构造函数2()()ex f x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案.【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=，所以()y f x '=为偶函数.【小问2详解】因为当0x >时，()2()f x f x '->，所以()2()f x f x '>.构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()e xf x f x h x '-'=，所以当0x >时，()0,()h x h x >'在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，又因为2e 0x>，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞--上小于零，在(1,0)-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)-+∞ .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,2,5PA AB BC AD CD =====.（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC与平面PAD 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案.【小问1详解】记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ，所以ADOCDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD ︒∠=∠=，即AC BD ⊥，又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥，因为AC PA A ⋂=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ，所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OAOD ==，则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P ---，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =-==--=，设平面PAD 的法向量为()111,,m x y z =，同理设平面PBC的法向量为()222,,n x y z =，则2222220n PB x y z n BC x y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取(1,1,1)n =- .所以15cos ,553m n m n m n ⋅===-⋅⨯，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值为155，所以平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值为105.【点睛】18.设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠.（1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线.（i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).【答案】（1）答案见解析；（2）（i ）(1)ln(1)11k kty x k t t t =++----；（ii ）不经过.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小.【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+-的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111kx k f x x x --'=+=--，当0k <时，11k ->，由()0f x '<，得11x k <<-；由()0f x '>，得1x k >-，函数()f x 在(1,1)k -上单调递减，在(1,)k -+∞上单调递增，当0k>时，11k -<，则恒有()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k -，单调递增区间是(1,)k -+∞；当0k>时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间.【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t '=+-，而()ln(1)f t t k t =+-，则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y kt k t x t t +--=+--，即(1ln(1)11k kt y x k t t t =++----.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11kkt y x k t t t =++----，当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k ktt y k t k t t t t -=++--=++----，令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t -=+-=-+---，而2t >，求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t -'=-+=>---，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增，因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t -++-≠-，所以直线l 不经过点(2,2).19.设数阵111202122x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -= ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；（2）若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；（4）如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0（2）40（3）证明见解析（4）()013BTX =【解析】【分析】（1）先写出12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，再计算得22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，最后相加即可；（2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可；（4）直接代入计算得11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，21336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得到答案.【小问1详解】因为021,{2,5}34X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，1X 经过5M变换后得到数阵22134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，所以()021340B T X =-+-+=.【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，可得()010,4B T X =-种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，12min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()010,8BT X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈，则32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭或32134X -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0BT X 取值的和为404(10)8104040⨯+⨯-+⨯+⨯=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；③同时含有11x和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；④不含11x也不含21x 的子集共421-个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x .若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中，①含有11x的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ，其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --；②不含11x的子集共521-个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x --，其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ；综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++--+++++++=--同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x --.所以所有()0BT X 取值的和为()112112222x x x x ----，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8-.【小问4详解】如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X --⎛⎫= ⎪--⎝⎭，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X ⎛⎫=⎪⎝⎭，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。
2024年10月精诚联盟联考高二数学试卷
高二数学学科 试题 第1页(共4页)绝密★考试结束前2024学年第一学期浙江省精诚联盟10月联考高二年级数学学科 试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.130y ++=的倾斜角为( )A ．30B ．120C ．60D ．1502. 已知()()1,2,2,3,,3,a b λ==- 且(),a a b ⊥-则λ的值为( )A. 3B.4C.5D.6 3．直线1:10l x y +-=与直线2:2250l x y +-=的距离是( ) A．2B．4CD．4. 已知空间向量()()()1,2,3,2,1,1,9,2,AB AC AD x ==--=- ,若,,,A B C D 四点共面，则实数x 的值为( )A.1-B.0C.32D.25．已知点()0,2P 关于直线10x y -+=对称的点Q 在圆C ：2220x y x m +++=外，则实数m 的取值范围是( ) A ．4m >-B ．1m <C ．41m -<<D ．41m m <->或6. 已知点A 坐标为() 1,1,2，直线l 经过原点且与向量α=(1,2,2)平行，则点A 到直线l 的距离为( ) A.73B.136C.3D.7 67．已知(0,1)A B -，直线:2230l ax y ---=上存在点P ，满足||||2PA PB +=，则l 的倾斜角的取值范围是( )A ． 2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．50,,36πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C ．5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,,3226ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦8. 正三角形ABC 边长为2,D 为BC 的中点，将三角形ABD 沿AD 折叠，使83AB AC ⋅= .则三棱锥B ADC -的体积为( )A.9B.2C.9D.16高二数学学科 试题 第2页(共4页)二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个给出的选项中，有多项符合题目要求。
天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题
天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题一、单选题1．已知12i z =+，则1=z（ ） A ．12i 55- B ．12i 55+ C ．12i 55-- D ．12i 55-+2．已知向量()1,2a =r ，(),3b x =r ，若()a ab ⊥+rr r ，则实数x =（ ）A ．4-B ．11-C ．11D ．43．已知函数π()cos 2(0)12f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 的对称轴可以是（ ）A ．5π24x =B ．5π12x =C ．π6x =D ．π3x =4．已知函数||1()22x f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其图象无限接近直线1y =但又不与该直线相交，则1()2f x >的解集为（ ） A ．(,2)(2,)-∞-+∞U B ．()2,2- C ．(,1)(1,)-∞-+∞UD ．()1,1-5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，“20250a =”是“()40494049,n n S S n n *-=<∈N ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A ，B 两点，若在直线6x =上存在点()()6,0P t t >，使得四边形OAPB 是平行四边形，则t =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A ，B 两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成45︒的夹角，则A ，B 两点在水平方向的距离约为（ ）A ．30mB ．40mC ．60mD ．120m8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x ，y ，z 若x ，y 的样本相关系数为1213，y ，z 的样本相关系数为45，则x 、z 的样本相关系数的最大值为（ ）附：相关系数()()niix x y y r --=∑A ．4865B ．6365C ．6465D ．1二、多选题9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A ．估计该年级学生成绩的众数为75B ．0.05a =C ．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5010．已知曲线:44C x x y y =-．点1F，2(0,F ，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P ，使得124PF PF -= C ．直线2y x =与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向2y x =±作垂线，垂足分别为A ，B ，则45QA QB ⋅=11．已知1x ，2x ，…，5x ，6x 为1，2，…，5，6的任意排列，设{}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x =，{}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =．则（ ）A ．任意交换123,,x x x 的顺序，不影响X 的取值B ．满足123x x x <<及456x x x <<的排列有20个C ．4X =的概率为15D ．X Y >的概率为910三、填空题 12．已知1sin()2αβ+=，tan 5tan αβ=，则sin()αβ-=． 13．已知正三棱柱111ABC A B C -的体积与以ABC V 的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为．14．定义在[]0,1上的函数()f x 满足：①()()11f x f x +-=；②1()32x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()12120)1(f x f x x x ≤≤<≤，则()1f =，12025f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC V 的面积为S ，且()22a b c +=+(1)求角A ；(2)若ABC V 为锐角三角形，且4b c +=，求a 的取值范围． 16．已知函数ln ()ln 1xf x a x x=-+，R a ∈ (1)当1a =时，求()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值；(2)求()f x 的零点个数．17．如图，四棱锥P ABCD -中，4AB PA ==，2CD CB ==，PD =60ABC ∠=︒，平面PAB ⋂平面PCD l =，且//l 平面ABCD ，平面PAD ⊥平面ABCD .(1)求四棱锥P ABCD -的体积；(2)设Q 为PC 上一点，若QA QB =，求二面角Q AB C --的大小.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴，过点M 且与椭圆C 有且只有一个公共点的直线与x 轴交于点P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)点R 是椭圆C 上异于M 的一点，且三角形MPR 的面积为24，求直线MR 的方程； (3)过点P 的直线交椭圆C 于D ，E 两点（D 在E 的左侧），若N 为线段FP 的中点，直线NE 交直线MF 于点Q ，T 为线段DF 的中点，求线段TQ 的最大值．19．黎曼ζ函数()s ζ与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关.()s ζ是这样定义的：记()Re s 为复数s 的实部，()()11kk s n s n n ψ*==∈∑N .当()Re 1s >时，有()lim ()k k s s ζψ→+∞=，故()k s ψ对()s ζ的研究具有重要意义.(1)已知对任意正整数n ，都存在唯一的整数n a 和n b ，使得2n b n n a =⨯，其中n a 为奇数，n b 为自然数，求()101n n n a b =+∑；(2)试判断是否存在正整数k ，使得()12024k ψ=，并证明你的结论； (3)求证：332k ψ⎛⎫< ⎪⎝⎭.。
齐鲁名校联盟-天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题(解析版)
绝密★启用前“天一大联考·齐鲁名校联盟” 2024—2025学年高三年级第二次联考数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =（ ） A {}2,4,5,6 B. {}4,6 C. {}2,4,6D. {}2,5,6【答案】A 【解析】【分析】由集合的交集运算、补集运算即可求解.【详解】由题意集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则{}1,3A B = ，(){}2,4,5,6U A B = .故选：A.2. 已知0,0m n >>，且3m n +=的最大值为（ ） A. 8B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最大值..【详解】由0,0m n >>，3m n +=，得6(2)(1)m n =+++≥，当且仅当213m n +=+=，即1,2m n ==时取等号，+≤的最大值为. 故选：B3. 函数)()(e e x x f x x −=−的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数()f x 奇偶性排除两个选项，再利用0x >时，函数值的正负判断即可. 【详解】函数)()(e e x x f x x −=−的定义域为R ，()()(e )e x x f x x f x −=−=−−， 因此函数()f x 是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AC ；当0x >时，0e e 1x x −<<<，则()0f x <，排除D ，选项B 符合题意. 故选：B4. 一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120 ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（ ）A.π B.1750π9C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，求出原扇形及截去的小扇形围成的圆锥体积，再利用圆台的定义求出圆台体积.【详解】半径为30，圆心角为120 的扇形围成圆锥的底面圆半径r ，则2π2π303r =⋅，解得10r =，该圆锥的高h =，体积为2211ππ1033V r h ==⋅⋅=， 截去半径为15的小扇形围成圆锥的底面圆半径0r ，则02π2π153r =⋅，解得05r =，该圆锥的高0h =2200011ππ5π33V r h ⋅⋅，所以该圆台的体积为0πV V −=−. 故选：C5. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由321a a a >>可得10,01a q <<<或10,1a q >>，由{}n S 递增得出0n a >恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】令等比数列{}n a 的公比为q ，由321a a a >>，得1112a a a q q >>，则10,01a q <<<或10,1a q >>，由数列{}n S 为递增数列，得110n n n a S S ++−>，即N n ∗∀∈，10na q >，因此10,0a q >>，所以“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的既不充分也不必要条件. 故选：D6. 函数221,2()2,2x x f x x x −<−= −≥−的最小值为（ ）A. 4−B. 2−C. 3D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，分段探讨函数()f x 的单调性，进而求出最小值. 【详解】当2x <−时，函数()21x f x =−在(,2)−∞−上单调递增，31()4f x −<<−； 当2x ≤−时，函数2()2f x x =−在[2,0]−上单调递减，在[0,)+∞上单调递增，()(0)2f x f ≥=−， 所以当0x =时，min ()2f x =−. 故选：B7. 已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】【分析】根据递推公式求出2a ，4a ，再根据124,,a a a 成等比数列，可求k 的值.【详解】因为点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上， 所以11n n a a kn ++=+⇒11n n kn a a +=+−， 所以11a =，211k k a a =+−=，32211a k k a =+−=+，43312k k a a =+−=， 因为124,,a a a 成等比数列，所以212k k =×⇒2k =或0k =（舍去）. 故选：A8. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =−−，若函数442xxy =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y ，则20251)(iii x y =+=∑（ ） A. 0 B.20252C. 2025D.60752【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出函数()f x 及442xx y =+的图象的对称中心，再结合中心对称图形的性质计算即得.【详解】依题意，由()1(1)f x f x =−−，得()(1)1f x f x +−=，则函数()y f x =的图象关于点11(,)22对称，令4()42x x g x =+，则114444()(1)1424242424x x x x x x xg x g x −−+−=+=+=++++⋅， 因此函数()y g x =的图象关于点11(,)22对称，显然函数()y f x =与()y g x =的图象对称中心相同， 则函数()y f x =与()y g x =的图象的交点关于点11(,)22对称，不妨令点(,)i i x y 与20262026(,)(1,2,3,,2025)i i x y i −−= 关于点11(,)22对称，则202620261,1i i i i x x y y −−+=+=，20262026()()2i i i i x y x y −−+++=， 所以202512(202520252)i ii x y =+=×=∑. 故选：C【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，①存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +−=⇔++−=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.②存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =−⇔+=−，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ） A. 若,a b c >∈R ，则22ac bc > B. 若22,a bc c c >∈R ，则a b > C. 若a b >，则22a b > D. 函数2sin sin y x x=+的最小值为 【答案】BC 【解析】【分析】对A 举反例即可；对B 根据不等式性质即可判断；对C ，利用指数函数单调性即可判断；对D 举反例即可.【详解】对A ，当0c =时，22ac bc =，故A 错误； 对B ，当22a b c c>，则20c >，则a b >，故B 正确； 对C ，根据指数函数2x y =在R 上单调递增，且a b >，则22a b >，故C 正确；对D ，当sin 1x =−时，2sin 3sin y x x=+=−<D 错误. 故选：BC.10. 如图，有一列曲线012,,, P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k += 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（ ）A. 3P 的边数为128B. 24027S =C. n P 的边数为34n ×D. 834()559nn S =−⋅【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定信息，归纳可得n P 的边数判断AC ；依次计算归纳得n P 所围图形的面积判断BD. 【详解】依题意，令0P 图形边长为a21=，边数是3； 根据图形规律，1P 图形边长为3a，边数为0P 边数的4倍，即34×； 2P 图形边长为23a，边数为234×；依此类推，n P 图形边长为3n a ，边数为34n ×，C 正确；3P 的边数为334192×=，A 错误；由图形规律知曲线n P 所围图形的面积n S 等于曲线1n P −所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，2()3n a，的则121(34)()3n n n n a S S −−=+×，整理得1114()39n n n S S −−−=×，数列1{}n n S S −−是等比数列，1P图形的面积21413()33a S =+=， 121321144[1()]4183499()433559()9()()1n n n n n S S S S S S S S −−−=+×−=+−+−−×++=− ，D 正确； 2831640558127S =−×=，B 正确.故选：BCD11. 已知函数()32,f x x ax a =−+∈R ，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()0,2对称B. (),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C. 当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y −+=D. 当3a <时，()f x 有唯一的零点 【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性判断A ，根据三次函数的性质判断B ，根据导数的意义求切线判断C ，利用极值点的符号判断D.【详解】对A ：设()3g x x ax =−，则函数()g x 为奇函数，图象关于原点()0,0对称，将()3g x x ax=−的图象向上平移2个单位，得函数()32f x x ax =−+的图象，故函数()f x 的图象关于点()0,2对称，A正确；对B ：由三次函数的性质可知，函数()f x 要么有2个极值点，要么没有极值点，所以B 错误；对C ：当1a =时，()32f x x x =−+，()231f x x ′=−. 由()2f x ′=⇒2312x −=⇒1x =或1x =−.若1x =，则2y =，所以()f x 在1x =处的切线方程为：即2y x =；若1x =−，则2y =，所以()f x 在1x =−处的切线方程为：()221y x −=+即240x y −+=.故C 正确；对D ：因为()23f x x a ′=−， 若0a ≤，则()0f x ′≥在(),−∞+∞上恒成立，则()f x 在(),−∞+∞上单调递增，由三次函数的性质可知，此时函数()f x 只有一个零点；若0a >，由()0f x ′<⇒x <<()0f x ′>⇒x <或x >.所以函数()f x 在,−∞和 +∞ 上单调递增，在上单调递减，要使函数()f x 只有1个零点，须有0f >（因为()02f =，所以0f < 不成立），即320a −+>⇒3a <，得0<<3a . 综上可知：当3a <时，函数()f x 有唯一的零点，故D 正确. 故选：ACD【点睛】方法点睛：本题可以结合三次函数的图象和性质进行分析.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=−++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是______. 【答案】{0,2} 【解析】【分析】用列举法表示集合A ，利用充分不必要条件的定义，借助集合的包含关系分类求解即得.【详解】依题意，{1,2}A =，{|(2)(1)0}B x ax x =−−=，显然B ≠∅， 由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，得B A ，当0a =时，{1}B =，符合题意，当0a ≠时，方程2(2)20ax a x −++=的根为1和2a， 显然22a ≠，否则B A =，不符合题意，因此21a，解得2a =，此时{1}B =，符合题意， 所以实数a 的所有取值组成的集合是{0,2}.故答案为：{0,2}13. 蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ′∠=∠=∠=≈ ，设1BC =，则上顶的面积为______.（参考数据：1cos ,tan 32θθ=−）【解析】.【详解】依题意，由10928GPI IPK KPG θ′∠=∠=∠=≈ ，得10928GHI θ′∠=≈ ，在菱形PGHI 中，连接GI 并取其中点O ，连接OH，则tan2GOOHθ==，由正六边形ABCDEF 的边长1BC =，得2sin 60AC AB == ，由蜂巢结构特征知，AG CI =，又,AG CI 都垂直于平面ABCDEF ，则//AG CI ，于是四边形ACIG是平行四边形，有GI AC =OH =因此一个菱形面积为1222GHI S GI OH =⋅⋅ ，所以上顶的面积为3.的故答案14. 已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为______；设函数()()2g x x af x =−，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是______.【答案】 ①. 1e− ②. []0,2 【解析】【分析】空1，直接求导利用()f x 的单调性去求其最小值即可；空2，利用导数与单调性的关系建立不等式，利用不等式的恒成立解决参数范围即可.【详解】由题可知()ln f x x x =定义域为()0,∞+()ln 1f x x =′− 显然，当10,e x ∈时，ff ′(xx )<0，()f x 单调递减；当1,+e x ∞ ∈时，ff ′(xx )>0，()f x 单调递增； 所以()f x 的最小值为11e ef =−； 由题可知，()()22ln g x x af x x ax x =−=− 所以()2ln g x x a x a =−−′ 由题可知()2ln 0g x x a x a ′−−≥恒成立，当0a <，显然当0x →时，()g x ∞′→−，故不成立；当0a =时，()2g x x ′=，因为xx ∈(0,+∞)，所以gg ′(xx )=2xx >0，故成立；为当0a >时，由2ln 0x a x a −−≥恒成立，得21ln x a x+≥恒成立， 即max21ln x a x +≥ 不妨令()1ln xh x x+=，所以()2ln x h x x −=′ 所以显然当xx ∈(0,1)时，ℎ′(xx )>0，ℎ(xx )单调递增；当()1,+x ∞∈时，ℎ′(xx )<0，ℎ(xx )单调递减；所以()()max11h x h ==，即2102a a≥⇒<≤ 综上所述：[]0,2a ∈ 故答案为：1e−；[0,2]【点睛】关键点点睛，当不等式化简时，不要在不等式两边去随意乘或者除以一个未知数，要保证知道其正或负，再去作乘除计算.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==−+∈N.（1）比较20242026,a a 的大小，并写出过程；（2）设数列1n a的前n 项和为n S ，证明：1n S <.【答案】（1）20242026a a < （2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）证明数列的单调性，可比较给出的两项的大小.（2）先根据统计得到111111n n n a a a +=−−−，再求n S 进行判断即可. 【小问1详解】因为211n n n a a a +=−+⇒()2212110n n n n n a a a a a +−=−+=−≥，所以1n n a a +≥.若1n n a a +=，则211n n n n a a a a +=−+=⇒1n a =，这与12a =矛盾.所以1n n a a +>. 故20242026a a <. 【小问2详解】由211n n n a a a +=−+⇒()2111n n n n n a a a a a +−=−=−，所以()11111111n n n n n a a a a a +==−−−−⇒111111n n n a a a +=−−−. 所以11111111nnn i i i i i S a a a ==+==− −−∑∑1111111111n n a a a ++=−=−−−−. 由（1）可知：12n a +>，所以1n S <16. 已知函数()f x 与其导函数()f x ′的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f −>=′.（1）判断()y f x ′=的奇偶性； （2）解不等式()0f x >.【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2）(1,0)(1,)−+∞ 【解析】【分析】（1）对()()f x f x −=−两边同时求导即可证明； （2）构造函数2()()exf x h x =，求导得到其单调性即可得到()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零，再根据其为奇函数即可得到答案. 【小问1详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x −=−， 两边同时求导可得()()f x f x ′′−−=−，即()()f x f x ′′−=， 所以()y f x ′=为偶函数. 【小问2详解】.因为当0x >时，()2()f x f x ′−>，所以()2()f x f x ′>. 构造函数2()()e x f x h x =，则2()2()()exf x f x h x ′−′=， 所以当0x >时，()0,()h x h x >′在(0,)+∞上单调递增，又因为(1)0f =，所以(1)0,()h h x =在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零， 又因为2e 0x >，所以()f x 在(1,)+∞上大于零，在(0,1)上小于零， 因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以(0)0,()f f x =在(,1)∞−−上小于零，在(1,0)−上大于零， 综上所述，()0f x >的解集为(1,0)(1,)−+∞ .17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）首先证明AC BD ⊥，再利用线面垂直的性质得PA BD ⊥，最后线面垂直的判定即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，最后根据面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】 记AC BD O = ，如图.因为,AB BC AD CD ==，BD BD =，所以ABD CBD ≅ ， 所以ADO CDO ∠=∠，由等腰三角形三线合一知90AOD COD °∠=∠=，即AC BD ⊥， 又PA ⊥底面,ABCD BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥， 因为AC PA A ∩=，且AC ⊂平面,PAC PA ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥平面PAC .【小问2详解】取PC 的中点M ，连接OM ，则//OM PA ，所以OM ⊥平面ABCD ， 所以,,OC OD OM 三条直线两两互相垂直，以,,OC OD OM 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ，由题意及（1）知1,2OA OD ==， 则(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,0,2)A B C D P −−−，所以(1,2,2),(1,2,0),(1,1,2),(1,1,0)PD AD PB BC =−==−−=，设平面PAD 的法向量为mm��⃗=(xx 1,yy 1,zz 1)， 同理设平面PBC 的法向量为nn�⃗=(xx 2,yy 2,zz 2)， 则2222220n PB x y z n BC x y ⋅=−−= ⋅=+= ，可取(1,1,1)n =− .所以cos ,m nm n m n ⋅===⋅所以平面PBC 与平面PAD所以平面PBC 与平面PAD18. 设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+−≠. （1）讨论()f x 的单调区间.（2）已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线. （i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2). 【答案】（1）答案见解析； （2）（i ）(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−；（ii ）不经过. 【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，再按0k <和0k >分类求出()f x 的单调区间.（2）（i ）由（1）结合导数的几何意义求出切线l 的方程；（ii ）令2x =，求出y 的值并判断与2的大小. 【小问1详解】函数()ln(1)f x x k x =+−的定义域为(1,)+∞，求导得(1)()111k x k f x x x −−′=+=−−， 当0k <时，11k −>，由()0f x ′<，得11x k <<−；由()0f x ′>，得1x k >−， 函数()f x 在(1,1)k −上单调递减，在(1,)k −+∞上单调递增，当0k >时，11k −<，则恒有()0f x ′>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，所以当0k <时，函数()f x 的单调递减区间是(1,1)k −，单调递增区间是(1,)k −+∞； 当0k >时，函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无递减区间. 【小问2详解】（i ）由（1）知，()11kf t t ′=+−，而()ln(1)f t t k t =+−， 则直线l 的方程为ln(1)](1))1[(y k t k t x t t +−−=+−−，即(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−.（ii ）由（i ）知，直线l 的方程为(1)ln(1)11k kt y x k t t t =++−−−−， 当2x =时，22(1)ln(1)2[ln(1)]111k kt t y k t k t t t t −=++−−=++−−−−， 令21()ln(1)1ln(1)11t g t t t t t −=+−=−+−−−，而2t >， 求导得22112()0(1)1(1)t g t t t t −′=−+=>−−−，函数()g t 在(2,)+∞上单调递增， 因此()(2)0g t g >=，即2t ∀>，()0g t ≠，而0k ≠，于是22[ln(1)]21tk t t −++−≠−， 所以直线l 不经过点(2,2).19. 设数阵111202122x x X x x=，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k Bn n n =⊆ ，其中*12,k n n n k <<<∈N 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t −，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t −，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n −=”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X ，以此类推，最后将1k X −经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X 中四个数的和为()0B T X .（1）若{}021,2,534X B ==，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值； （2）若{}012321,,,34X Bn n n==，求所有()0B T X 取值的和；（3）对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8−；（4）如果01336X=，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？【答案】（1）0 （2）40（3）证明见解析 （4）()013B T X = 【解析】【分析】（1）先写出12134X − =−，再计算得22134X −=− ，最后相加即可； （2）分{1,2,3,4}B ⊆和{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈以及{}11,5,6,{1,2,3,4}B n n =∈讨论即可；（3）分若1121x x ≠和1121x x =两大类讨论即可； （4）直接代入计算得11336X −− = −−，21336X= 即可得到答案. 【小问1详解】因为021,{2,5}34X B==，0X 经过2M 变换后得到数阵12134X −= −，1X 经过5M 变换后得到数阵22134X − =−， 所以()021340B T X =−+−+=. 【小问2详解】若{1,2,3,4}B ⊆，则32134X −= − 或32134X − = −，可得()00,4B T X =种情况；若{}32,3,B n =或{}331,4,,{5,6}B n n =∈，则32134X −−= −−，可得()010,4B T X =−种情况；若{}123,,B n n n =，从{1,4}和{2,3}中各取出一个元素a ，b ，123min{,},max{,},{5,6}n a b n a b n ==∈，则32134X=，可得()010,8B T X =种情况；若{}11,5,6,{1,2,3,4}Bn n =∈，则32134X −= − 或32134X − = −，可得()00,4B T X =种情况.综上，所有()0B T X 取值的和为404(10)8104040×+×−+×+×=.【小问3详解】若1121x x ≠，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中， ①含有11x 且不含21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ， 其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ②含有21x 且不含11x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ， 其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ③同时含有11x 和21x 的子集共42个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−， 其中含有偶数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ； ④不含11x 也不含21x 的子集共421−个，其中含有奇数个元素的集合有8个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−， 其中含有偶数个元素的集合有7个，经过变换后第一列均仍为1121,x x . 若1121x x =，在{1,2,3,4,5,6}的所有非空子集中， ①含有11x 的子集共52个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ， 其中含有偶数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−； ②不含11x 的子集共521−个，其中含有奇数个元素的集合有16个，经过变换后第一列均变为1121,x x −−， 其中含有偶数个元素的集合有15个，经过变换后第一列均仍为1121,x x ； 综上，经过变换后，所有k X 的第一列数的和为()()()112111211121(88881616)(88871615)2x x x x x x +++++−−+++++++=−−同理，经过变换后所有k X 的第二列数的和为()12222x x −−.所以所有()0B T X 取值的和为()112112222x x x x −−−−，又因为11122122,,,{1,2,3,4,5,6}x x x x ∈，所以所有()0B T X 取值的和不超过8−. 【小问4详解】如果01336X=，其他条件不变，0X 经过2M 变换后得到数阵11336X −−= −− ，1X 经过5M 变换后得到数阵21336X=，则（1）中()013B T X =.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用分类讨论的思想，分1121x x ≠和1121x x =讨论即可.。
山东省齐鲁名校联盟天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考(10月)数学试题
山东省齐鲁名校联盟·天一大联考2024-2025学年高三上学期第二次联考（10月）数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}13,5A =,，{}1,2,3B =，则()U A B =I ð（ ）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．已知0,0m n >>，且3m n += ）A ．8B ．C ．D 3．函数)()(e e x x f x x -=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．一块扇形薄铁板的半径是30，圆心角是120o ，把这块铁板截去一个半径为15的小扇形后，剩余铁板恰好可作为一个圆台的侧面，则该圆台的体积为（ ）A B ．1750π9C D ．5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“数列{}n S 为递增数列”是“321a a a >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数221,2()2,2x x f x x x ⎧-<-=⎨-≥-⎩的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．3D ．57．已知数列{}n a 满足：11a =，点()1,n n n a a ++在函数1y kx =+的图象上，其中k 为常数()0k ≠，且124,,a a a 成等比数列，则k 的值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．58．已知定义在R 上的函数()f x 满足()1(1)f x f x =--，若函数442xx y =+与函数()y f x =的图象的交点为112220252025(),),(,),,(,x y x y x y L ，则20251)(i i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．20252C ．2025D ．60752二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．若,a b c >∈R ，则22ac bc > B ．若22,a b c c c >∈R ，则a b > C ．若a b >，则22a b >D ．函数2sin sin y x x=+的最小值为10．如图，有一列曲线012,,,L P P P ，已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形，1(0,1,2,3,)k P k +=L 是对k P 进行如下操作得到的：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记k S 为曲线k P 所围成图形的面积，则（ ）A ．3P 的边数为128B ．24027S =C ．n P 的边数为34n ⨯D ．834()559n n S =-⋅11．已知函数()32,f x x ax a =-+∈R ，则（ ）A ．()f x 的图象关于点()0,2对称B ．(),a f x ∃∈R 仅有一个极值点C ．当1a =时，()f x 图象的一条切线方程为240x y -+=D ．当3a <时，()f x 有唯一的零点三、填空题12．已知集合*2{13,{|(2)20}|}A x x B x ax a x =∈≤<=-++=N ，若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件，则实数a 的所有取值组成的集合是.13．蜜蜂被举为“天才的建筑师”，蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材最少的结构.如图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱,,,,,AG BH CI DJ EK FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形,,PGHI PIJK PKLG 构成，10928GPI IPK KPG θ'∠=∠=∠=≈o ，设1BC =，则上顶的面积为.（参考数据：1cos ,tan 32θθ=-=14．已知函数()ln f x x x =，则()f x 的最小值为；设函数()()2g x x af x =-，若()g x 在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围是.四、解答题15．已知数列{}n a 满足()2*112,1n n n a a a a n +==-+∈N .(1)比较20242026,a a 的大小，并写出过程；(2)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：1n S <.16．已知函数()f x 与其导函数()f x '的定义域均为R ，且()f x 为奇函数，当0x >时，()()()2,10f x f x f ->='.(1)判断()y f x '=的奇偶性； (2)解不等式()0f x >.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD AB BC ⊥，且2,PA AB BC AD CD =====(1)证明：BD ⊥平面PAC ；(2)求平面PBC 与平面PAD 夹角的正弦值. 18．设函数()ln(1)(0)f x x k x k =+-≠. (1)讨论()f x 的单调区间.(2)已知直线l 是曲线()y f x =在点(,())(2)t f t t >处的切线. （i ）求直线l 的方程；（ii ）判断直线l 是否经过点(2,2).19．设数阵111202122x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，其中{}11122122,,,1,2,3,4,5,6x x x x ∈.设{}{}12,,,1,2,3,4,5,6k B n n n =⊆L ，其中*12,k n n n k <<<∈N L 且6k ≤.定义变换t M 为“对于数阵的每一列，若其中有t 或t -，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t 且没有t -，则这一列中每个数都乘以()121,,,k t n n n -=L ”，()0B M X 表示“将0X 经过1n M 变换得到1X ，再将1X 经过2n M 变换得到2,X L ，以此类推，最后将1k X -经过k n M 变换得到k X ”.记数阵k X中四个数的和为()0B T X .(1)若{}021,2,534X B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，写出0X 经过2M 变换后得到的数阵1X ，并求()0B T X 的值；(2)若{}012321,,,34X B n n n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求所有()0B T X 取值的和；(3)对任意确定的一个数阵0X ，证明：所有()0B T X 取值的和不大于8-；(4)如果01336X ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其他条件不变，你研究（1）后得出什么结论？。
河南省洛阳多校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)
河南省洛阳多校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．在空间四边形PABC 中,( )A. B. C. D.2．在空间直角坐标系Oxyz 中,点关于x 轴对称点的坐标为( )A. B. C. D.3．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作,其在卷第五《商功》中描述的几何体“阳马”实为“底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥”.如图,在“阳马”中,E 为的重心,若,,,则( )A. B. C. D.4．设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为，则t 等于( )A.1B. C.或1D.25．已知为平面内一点,若平面的法向量为,则点到平面的距离为( )6．已知空间中三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为( )PB AB AC -+=AP PC ABAC()1,1,2A ()1,1,2-()1,1,2-()1,1,2--()1,1,2-A OBCD -ACD △AB a =AC b = AD c = BE =1122a b c-++1133a b c-++2233a b c++1133a b c-+-()1,1,0a =(),0,1b t =60︒1-1-()1,2,1A -αα()1,1,1n =-()1,1,3P -α()0,0,0A ()1,1,2B -()1,2,1C --AB AC7．已知向量,,则向量在向量上的投影向量的坐标为( ) A. B. C. D.8．在正三棱柱中,,,M为棱上的动点,N为二、多项选择题9．若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间的一个基底的是( ) A.,, B.,,C.,,D.,,10．如图,四边形ABCD,ABEF都是边长为2的正方形,平面平面ABEF,P,Q分别是线段AE,BD的中点,则( )A.D.11．在平行六面体中,,,若,其中m,n,,则下列结论正确的为( )(2,3,0)a=-(0,3,4)b=ab1827,,01313⎛⎫- ⎪⎝⎭1827,,01313⎛⎫-⎪⎝⎭27360,,2525⎛⎫⎪⎝⎭27360,,2525⎛⎫--⎪⎝⎭111ABC A B C-2AB=1AA=2BO=11B C={},,a b ca b+a b-c a b+b c+c a+34a b-23b c-36a c-a b+a b c++2cABCD⊥//PQ DFDFQ△1111ABCD A B C D-12AB AD AA===1160DAB A AB A AD∠=∠=∠=︒1AQ mAB nAD p AA=++[0,1]p∈A.若点Q 在平面内,则B.若,则C.当D.当三、填空题12．设向量,,若,则________.13．在空间直角坐标系中,点A,B,C,M 的坐标分别是,,,,若A,B,C,M 四点共面,则________.14．如图,在三棱锥中,点G为底面的重心,点M 是线段OG 上靠近点G 的三等分点,过点M 的平面分别交棱,,于点D ,E ,F ,若,,________.四、解答题15．已知空间向量,,,.（1）求;（2）判断与以及与的位置关系.16．已知正四面体OABC 的棱长为2,点G 是的重心,点M 是线段AG 的中点.1111A B C D 1p =CQ DB ⊥m n =p =-m n +=()1,,3a m = ()4,1,0b =- a b ⊥m =O xyz -()2,0,2()2,1,0()0,4,1-()0,,5m -m =O ABC -ABC △OA OB OC OD kOA = OE mOB =OF nOC= 11m n+=11,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11,,122b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 12,3,2c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 311,,24d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ()a cb +⋅a b c dOBC △（1）用,,表示（2）求.17．如图,在长方体中,,,,,,分别为棱,,,的中点.（1）证明:,,,四点共面;（2）若点在棱,且平面,求CP 的长度.18．如图,四棱柱的底面ABCD 为矩形,,M 为BC 中点,平面平面ABCD ,.（1）证明:平面;（2）求二面角的平面角的余弦值.19．在三棱台中,平面ABC ,,D ,E 分别为CA ,CB 的中点.OA OB OC OMOM AB ⋅1111ABCD A B C D -2AB BC ==14AA =2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD 2A 2B 2C 2D P 1CC 1A P ⊥2222A B C D 1111ABCD A B C D -2AD AB =11AA D D ⊥11AA A D AD ==1A D ⊥11ABB A 1B A A M --111ABC A B C -1CC ⊥1122AB BC AC A B ====（1）证明:平面;（2）已知,F 为线段AB 上的动点（包括端点）.①求三棱台的体积;②求与平面所成角的正弦值的最大值.1//A B 1C DE 11BC A C ⊥111A B C ABC -1C F 11ABB A参考答案1．答案：B解析：.故选:B.2．答案：C解析：点关于x 轴对称点的坐标为.故选:C.3．答案：B解析：连接AE 并延长交CD 于点F ,因为E 为的重心,则F 为CD 的中点,且.故选:B.4．答案：C解析：因为法向量a ，b 所成的角与两平面所成的角相等或互补，所以.5．答案：B解析：,面的法向量为,则点到平面故选:B.PB AB AC PB BA AC PC -+=++=()1,1,2A ()1,1,2--ACD △23AE AF=()2211133233BE AE AB AF AB AC AD AB AC AD AB ∴=-=-=⨯+-=+- 1133a b c =-++ =1=±()2,1,4PA =- α()1,1,1n =-()1,1,3P -α6．答案：D解析：，夹角的余弦值为，夹角的正弦值为，为邻边的平行四边形的面积为.故选D.7．答案：D解析：因为,,所以,则向量在向量.故选:D.8．答案：D解析：因为正三棱柱中,有,所以O为的中点,取中点Q,连接,如图,以O为原点,,,为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则,,,,因为M是棱上一动点,设,且,因为所以ABACcos,AB ACAB ACAB AC⋅===⋅ABACsin,AB AC=AB ACsin,S AB AC AB AC=⋅⋅==(2,3,0)a=-(0,3,4)b=203304a b⋅=⨯-⨯+⨯=-5=ab99(0,3,4)27360,,22555525b⎛⎫---⨯=-⎪⎭=⎝111ABC A B C-2BC BO=BC11B COQ OC OA OQ(0,0,0)O A1(B-1C11B C(M a[1,1]a∈-(MA a=-=2MOMNMA===于是令,,,,又函数上为增函数,所以当,即线段故选:D.9．答案：AB解析：设,所以,无解,所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故A 正确;设,则,所以,无解,所以,,是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B 正确;因为,所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C 错误;因为,所以,,是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D 错误.故选:AB.10．答案：AC解析：因为四边形ABCD ,ABEF 都是边长为2的正方形,平面平面ABEF ,所以,又平面平面,平面ABCD ,所以平面ABEF ,由题意知AB ,AD ,AF 两两互相垂直,以A 为坐标原点,AD ,AB ,AF 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴t =t ∈233t t t t -==-t ∈y t =-t =min 3t t ⎫-==⎪⎭MN ()=+a b a b c λμ+- =110λλμ⎧⎪=-⎨⎪=⎩a b + a b - c()()a b m b c n c a +=+++ ()a b na mb m n c +=+++ 110n m m n =⎧⎪=⎨⎪+=⎩a b + b c + c a+ ()3634223a c a b b c -=-+-34a b - 23b c - 36a c - ()122a b a b c c +=++-34a b - 23b c - 36a c - ABCD ⊥AD AB ⊥ABCD ABEF AB =AD ⊂AD ⊥建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,又P ,Q 分别是线段AE ,BD 的中点,所以,,所以,,又PQ ,DF 不共线,所以,故A 正确;,,设异面直线AQ ,PF 所成角为,则,所以;由,因为所以的面积故选:AC.11．答案：ABD解析：对于选项A,若点Q 在平面内,易知有,(0,0,0)A ()0,2,0B ()2,0,0D ()0,2,2E ()0,0,2F ()0,1,1P ()1,1,0Q ()1,0,1PQ =- ()2,0,22DF PQ =-=- //PQ DF ()1,1,0AQ = ()0,1,1PF =-θcos AQ PF AQ PF θ⋅==⋅ π0,2⎛⎤∈ ⎥⎝⎦θ=()0,1,1PF =- ()2,0,2DF =- ====//PQ DF DFQ △12S ==⨯=1111A B C D 11111AQ A B A D AB AD λμλμ=+=+所以,又,则,故A 正确;对于选项B,由题意易得,,且,又,即,故,解得,故B 正确;对于选项C,由题易知四面体为正四面体,设在平面ABCD 内的射影为点H ,则H 为的中心,易得当所以,又,由基本不等式可知111AA AQ AB AD AA AQ λμ+==++ 1AQ mAB nAD p AA =++1p =1122cos 602AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=1()(1)(1)CQ AQ AC AQ AB AD m AB n AD p AA =-=-+=-+-+ DB AB AD =-CQ DB ⊥0CQ DB ⋅=2(1)2(1)0CQ DB m n ⋅=---=m n =1A ABD 1A ABD △AH =1A H =p =11132Q ABD ABD V S A H -=⋅⋅=△211)(1)AB n AD p AA -+-+ 222222111(1)(1)2(1)(1)2(1)2(1)m AB n AD p AA m n AB AD p m AB AA p n AD AA =-+-++--⋅+-⋅+-⋅ 24444mn p p =-+-2214444434342mn p p p mn mn ⎛⎫-+-=-+-≥- ⎪⎝⎭22m n mn +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭n p ===故选:ABD.12．答案：4解析：因为,所以,即,解得.故答案为:413．答案：6解析：由题意,得,,,又A,B,C,M 四点共面,则存在x ,,使得,即,即,解得,所以.故答案为:6./4.5解析：由题意可知,,因为D ,E ,F ,M 四点共面,所以存在实数,,使,所以,所以,所以a b ⊥0a b ⋅=1400m ⨯-+=4m =()0,1,2AB =- ()2,4,3AC =-- ()2,,7AM m =--y ∈R AM xAB y AC =+()()()2,,70,1,22,4,3m x y --=-+--224723y m x yx y -=-⎧⎪=+⎨⎪-=--⎩216x y m =⎧⎪=⎨⎪=⎩6m =22221()()33332OM OG OA AG OA AB AC ⎡⎤==+=+⨯+⎢⎥⎣⎦211222=()()333999OA OB OA OC OA OA OB OC ⎡⎤+-+-=++⎢⎥⎣⎦λμDM DE DF λμ=+()()OM OD OE OD OF OD λμ-=-+- (1)(1)OM OD OE OF kOA mOB mOC λμλμλμλμ=--++=--++(1)2929k m n λμλμ⎧--=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩11999(1)222m n λμλμ+=--++=15．答案：（1）（2）;.解析：（1）由题知,,所以.（2）因为,,所以,所以;因为,,所以,所以.16．答案：（1）（2）解析：（1）因为点M 是线段AG 的中点,点G 是的重心,所以,因为,,（2）3-a b ⊥ //c d ()1,5,0a c +=-()()111,5,0,,1322a c b ⎛⎫+⋅=-⋅-=- ⎪⎝⎭11,2,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 11,,122b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 1111210222a b ⎛⎫⋅=⨯+⨯-+⨯= ⎪⎝⎭ a b ⊥ 12,3,2c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 311,,24d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 3121,,224c d ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ //c d 111266OM OA OB =++ OM =23-OBC △11112111112222322266OM OA OG OA OB OC OA OB OC ⎛⎫=+=+⨯+=++ ⎪⎝⎭ 22cos 602OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=22222111111436366618OM OM OA OB OC OA OB OA OC OB OC==+++⋅+⋅+⋅ 1111114442222436366618=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=OM =∴111()266OM AB OA OB OC OB OA ⎛⎫⋅=++⋅- ⎪⎝⎭.17．答案：（1）证明见解析（2）3解析：（1）证明:连接,,,因为,,,分别为棱,,,的中点,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又,所以,所以,,,四点共面.（2）以C 为坐标原点,以CD,CB,所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,由,,,,,分别为棱,,,的中点,可得,,,,则,,设,即,则,221111132666OA OB OA OB OB OC OA OC =⋅-++⋅-⋅11111224422326663=⨯-⨯+⨯+⨯-⨯=-22B C 11B D 22A D 2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD 1122//D B D A 2112B A D D =2112A B D D 1122//B D A D 1122//B D B C 2222//B C A D 2A 2B 2C 2D 1CC 2AB BC ==14AA =2A 2B 2C 2D 1BB 11B C 11C D 1DD ()20,2,2A ()20,1,4B ()21,0,4C ()12,2,4A ()220,1,2B A =- ()221,1,0C B =-()04CP t t =≤≤()0,0,P t ()12,2,4A P t =---由平面,故,即,解得,所以.18．答案：（1）证明见解析解析：（1）证明:因为底面ABCD 是矩形,所以,又平面平面ABCD ,平面平面,平面ABCD ,所以平面,又平面,所以,因为,所以,所以,又,,平面,所以平面;（2）取AD 的中点O ,连接,因为,所以,又平面平面ABCD ,平面平面,平面,所以平面ABCD ,连接OM ,又底面ABCD 为矩形,所以,所以OM ,AD ,两两互相垂直,以O 为坐标原点,,,为x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设,则,,,,所以,,.由（1）知平面,所以是平面的一个法向量.设平面的一个法向量为,则1A P ⊥2222A B C D 12212200A P B A A P C B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩()2240t ---=3t =3CP =AB AD ⊥11AA D D ⊥11AA D D ABCD AD =AB ⊂AB ⊥11AA D D 1A D ⊂11AA D D 1AB A D ⊥11AA A D AD ==22211AA A D AD +=11AA A D ⊥1AA AB A = 1AA AB ⊂11ABB A 1A D ⊥11ABB A 1AO 11A A A D =1AO AD ⊥11AA D D ⊥11AA D D ABCD AD =1A O ⊂11AA D D 1A O ⊥OM AD ⊥1OA OM OD 1OA1AB =()0,1,0A -()0,1,0D ()10,0,1A ()1,0,0M ()10,1,1AA = ()10,1,1A D =- ()1,1,0AM =1A D ⊥11ABB A 1A D11ABB A 1A AM (),,n x y z =,令,则.设二面角的平面角为由图可知二面角的平面角为锐角,所以二面角19．答案：（1）证明见解析解析：（1）证明:设交于点G ,连接EG ,如图,在三棱台中,,,又D 为AC 的中点,所以,,四边形是平行四边形,G 为的中点.又E 为BC 的中点,所以,又平面,平面,10n AA y z n AM x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1x =()1,1,1n =- 1B A A M --θ11cos A D n A D n θ⋅===⋅1B A A M --1B A A M --1AC 1C D 111ABC A B C -11//A C AC 1112A C AC =11//A C DC 11A C DC =11A C CD 1AC 1//EG AB EG ⊂1C DE 1A B ⊄1C DE所以平面.（2）①连接BD ,因为平面ABC ,且平面,所以平面平面,因为,D 为CA 的中点,所以,又平面平面,平面,所以平面,由平面,所以,又,,,平面,所以平面,由平面,所以,故四边形为菱形,,所以三棱台②如图所示建立平面直角坐标系,则,,,,不妨设,则,,设平面的一个法向量为,则,得,令,可得,设与平面所成角为,则所以与平面1//A B 1C DE 1CC ⊥1CC ⊂11AA C C ABC ⊥11AA C C AB BC =BD AC ⊥ABC 11AA C C AC =BD ⊂ABC BD ⊥11AA C C 1A C ⊂11AA C C 1BD A C ⊥11BC A C ⊥1BC BD B = 1BC BD ⊂1BDC 1A C ⊥1BDC 1DC ⊂1BDC 11A C DC ⊥11A C CD 11CC =111A B C ABC -1⨯=()10,0,1C ()11,0,1A ()B FA BA λ=()2,0F λ-()12,1C F λ=-- 11ABB A (),,n x y z =100n AA n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩0x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩1y =n = 1C F 11ABB A θ1sin cos ,n C F θ==≤=1C F 1ABB A。
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四ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ教育的功能
（一）根据作用的对象分类
根据作用的对象分类，教育功能可分为个体功能和社会功能。个体功能是教育对个体的 生存和发展所产生的影响，也称教育的本体功能；社会功能是教育对社会的稳定、运行和发 展所产生的影响。教育的社会功能是教育的个体功能在社会结构中的衍生，是教育的派生功
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2020 年当老师—联考 D 类面授平移课（疫情期间）
六、教育发展阶段及特征
（一）原始社会的教育 在原始社会，教育还没有独立的形态，也没有从社会生产和生活中分化出来并成为独立 的社会活动。原始社会的教育具有许多共同特征，主要有以下四个方面。 1．教育具有无阶级性、公平性 原始社会全体社会成员教育机会平等，教育目标一致，只有性别差异，没有阶级之分。 2．教育与生产劳动和社会生活融合在一起 原始状态的教育，没有完全从生产劳动和社会生活中分离出来，具体表现在：没有专职 的教育人员和专门的教育场所。 3．教育内容简单 原始社会由于人类在生产劳动和社会生活中积累的经验还很少，教育的内容与生产劳动 和社会生活的实际环境、实际需要相一致，仅以各种生产劳动技能和社会生活习俗为主。 4．教育方法单一 原始社会由于没有文字，教育手段只限于口耳相传、动作示范与观察模仿以及生活劳动 中的耳濡目染。 （二）古代社会的教育 古代社会的教育一般指奴隶社会和封建社会的学校教育。 1．古代中国 （1）夏商时期的教育 ① 五帝时期的“成均”“庠”——学校的萌芽 根据文献记载，五帝时期已有名为“成均”和“庠”的教育场所。“成均”是五帝时期 的乐教机构，“庠”是养老兼教育的机构，它们就是学校的萌芽。 ② 夏朝的“序”“校”——学校的雏形 夏朝已有学校的设置，主要有两类：一类是“序”，一类是“校”。 “序”设在王都，最初是教射场所，后来成为奴隶主贵族的一切公共活动，如议政、祭 祀、养老的场所，也成为奴隶主贵族教育子弟的场所（教育是其中的一个职能）。“校”是
济功能、政治功能、文化功能等往往是强调教育正面的、积极的功能。 负向功能是指教育阻碍社会进步和个体发展的消极影响和作用。教育的负向功能是由于
教育与政治、经济发展不相适应，教育者的价值观念与思维方式不正确、教育内部结构不 合理等因素，使教育在不同程度上，对社会和人的发展产生阻碍作用。
（三）根据作用的呈现形式分类 根据作用的呈现形式分类，教育功能可分为显性功能和隐性功能，显性和隐性也是社会 学家默顿分析教育功能的一个维度。 显性功能是指客观结果与主观预期相符合的情况，也就是说，事物的结果是事前所期待 或希望出现的。 隐性功能是指事物发展的结果不在预期之中，也未被觉察到，发生着潜移默化的影响。 可见，显性功能是有意实现的功能，有明确的目的性；隐性功能是无意实现的功能，具 有非预期性和隐蔽性。
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教育学
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教育及其发展
一、教育的概念 （一）教育的词源 在我国，“教育”一词最早见于《孟子·尽心上》中的“得天下英才而教育之，三乐也”。
东汉许慎在《说文解字》中解释道，“教，上所施，下所效也”；“育，养子使作善也”。 （二）教育的定义 广义的教育是指凡是增进人们的知识和技能、影响人们的思想观念的活动，包括社会教
三、教育的属性
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（一）教育的本质属性
教育是有目的地培养人的活动，是教育区别于其他事物现象的根本特征，是教育的质的 规定性，也是教育的本质。教育的本质可以从以下三个方面来理解。
1．教育是人类特有的一种有意识的社会实践活动 2．教育是人类有意识地传递社会经验的过程 3．教育是以人的培养为直接目标的社会活动 （二）教育的社会属性
育、家庭教育和学校教育。 狭义的教育专指学校教育，是指教育者按一定社会（或阶级）的要求，有目的、有计划、
有组织地对受教育者的身心施加影响，把他们培养成为一定社会（或阶级）所需要的人的活
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动。 （三）教育的形态 教育形态是指由教育者、受教育者、教育影响所构成的教育系统在不同时空背景下的变
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② 学校类型——稷下学宫 稷下学宫是战国时代齐国齐桓公（田午）在都城临淄的稷门附近地区所创办的一所著名 学府，它是一所由官家操办、私家主持的特殊形式的学校，集讲学、著述、育才活动为一体 并兼有咨政、议政作用的高等学府。在管理规范上制定了我国第一个学生守则——《弟子职》。 （4）两汉时期的教育 ① 教育政策——“罢黜百家，独尊儒术” 西汉时，汉武帝采纳董仲舒“罢黜百家，独尊儒术”的建议，实行思想专制的文教政策。 ② 学校体系——太学、郡国学、鸿都门学 为了落实“独尊儒术”的教育政策，汉武帝在中央设立太学，这是当时最高的教育机构。 西汉除了在中央设立官学外，还在地方设立官学，郡国学就是朝廷设立的地方官学，始于汉 景帝时期的“文翁兴学”。 鸿都门学是东汉灵帝在洛阳办的官学，因校址在洛阳鸿都门而得名。它在性质上属于一 种研究文学艺术的专门学校，是世界上最早的文学艺术专门学校。 ③ 选官制度——察举征辟制 汉代实行一种重要的选官制度——察举征辟制。察举，就是由州、郡等地方官，在自己 管辖区内进行考察，发现统治阶级需要的人才，以“孝廉”“茂才异等”“贤良方正”等名 目，推荐给中央政府，经过一定的考核，任以相应的官职；征辟，是由皇帝或地方长官直接 进行征聘。 ④ 董仲舒 第一，“罢黜百家，独尊儒术”。第二，“兴太学以养士”。第三，“重视选举，任贤 使能”。 教育作用 董仲舒认为，人性中兼有善恶的因素，教育的作用就是发展人性，使人成为善人。董仲 舒提出了“性三品说”。 （5）隋唐时期的教育 ① 学校体系——六学二馆 唐代从中央到地方形成了相当完备的官学教育体系，六学（国子学、太学、四门学、律 学、书学、算学）和二馆（崇文馆、弘文馆）组成了官学的主干。 ② 选官制度——科举制 隋唐时期采取“重振儒术，三教（儒、道、佛）并重”的文教政策，在选士制度上采取 科举制。科举制产生于隋朝，经唐、宋、明、清各朝代的发展更加完备。明代以后，八股文 成为科举考试的固定格式。八股文的出现，标志着封建社会教育开始走向衰落。直至 1905 年，科举制才被废除。科举制在我国存续了 1300 多年，是我国封建社会中持续时间最长、 影响范围最广的选士制度。 （6）宋、元、明、清时期的教育 ① 学校体系——书院 宋代书院盛行，主要有六所著名的书院：白鹿洞书院、石鼓书院、岳麓书院、应天府书
五、教育的起源
（一）神话起源说 神话起源说是人类关于教育起源的最古老的观点，所有的宗教都持这种观点。 我国古代学者朱熹也持有这种观点。 （二）生物起源说 生物起源说是教育史上第一个正式提出的有关教育起源的学说。 生物起源说者以达尔文的生物进化论为指导，把教育的起源归于动物的本能行为，教育 过程即按生物学规律进行的本能过程，完全否认了人与动物的区别，否认了教育的社会性。 代表人物：法国的利托尔诺和英国的沛西·能。 （三）心理起源说 心理起源说者认为，教育起源于儿童对成人的无意识模仿，把全部教育都归于无意识状 态下产生的模仿行为。 代表人物：美国的孟禄。 生物起源说和心理起源说这两种学说从不同角度揭示了教育的起源，共同缺陷是都否认 了教育的社会属性，否认了教育是一种自觉有意识的活动，把动物本能和儿童无意识模仿同
能。 教育的个体功能与社会功能是教育功能相互联系的两个方面，它们共同构成了完整的教
育功能。 （二）根据作用的方向分类 根据作用的方向分类，教育功能可分为正向功能和负向功能。正向功能和负向功能是美
国社会学家默顿（R.K.Merton）在 20 世纪 50 年代末提出的功能分析的一个维度。 正向功能是指教育有助于社会进步和个体发展的积极影响和作用。教育的育人功能、经
化形式，也是“教育”理念的历史实现，根据不同的标准，可以划分出不同的教育形态。从 教育系统所赖以运行的空间特征来看，可以将教育形态划分为家庭教育、学校教育与社会教 育三种类型。
1．家庭教育 家庭教育通常是指父母或其他年长者在家庭中对子女或其他晚辈的教育。家庭教育的特 点有：先导性、感染性、权威性、针对性、终身性、个别性等。 2．社会教育 社会教育主要是指学校以外的社会文化教育机构对青少年及成年人的教育。社会教育的 特点有：开放性、群众性、多样性、补偿性、融合性。 3．学校教育 学校教育是指各级各类学校对学生的教育。其主要任务是有组织、有计划、有目的地向 学生系统传授社会规范、价值标准、知识和技能，把他们培养成为一定社会或阶级服务的人。 学校教育的特点有：具有职能的专门性、组织的严密性、作用的全面性、内容的系统性、 手段的有效性及形式的稳定性等。
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有意识的教育混为一谈，都是不正确的。 （四）劳动起源说 劳动起源说的直接理论依据和方法论基础是恩格斯的著作《劳动在从猿到人的转变过程