2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：3.1平面向量 Word版含解析
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第30讲 平面向量的概念及线性运算 含答案
1．平面向量(1)了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．(2)掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(3)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．(4)了解向量线性运算的性质及其几何意义．(5)了解平面向量的基本定理及其意义．(6)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(7)会用坐标表示平面向量的线性运算(加、减与数乘)．(8)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(9)理解平面向量数量积的含义及其物理意义．(10)了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(11)掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．(12)能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．(13)会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．2．复数(1)理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，了解复数的代数表示法及其几何意义．(2)会进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、相减的几何意义．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况续表2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况第2题复数的乘法运算向量和复数是每年高考的必考内容，从近5年高考全国卷Ⅰ和卷Ⅱ来看，直接考查向量的试题每年1道，占5分，复数每年1道，占5分，本部分共10分．平面向量在高考中，主要考查平面向量的基本定理，向量的基本运算，包括向量的线性运算和数量积运算，计算向量的模，向量的共线、垂直等．重点是向量数量积的运算，试题难度一般是易或偏易，主要分布在填空题第1、2题(全卷第13、14题)的位置，有时也在选择题第2至3题的位置．复数主要考查复数的概念(如实部、虚部、模、共轭等)，复数的几何意义，重点是考查复数的运算(主要是乘法、除法)．试题多为容易题，主要分布在试题的第2至3题的位置．向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，是中学数学的一个重要交汇点．在高考中，主要考查向量有关的基础知识，突出向量的工具作用．在复习时应注意高考考查的层次，分层次进行复习．第一层次：要充分理解平面向量的相关概念和掌握向量的线性运算(向量的加法、减法及数乘向量的几何意义)、坐标运算、数量积运算，掌握两向量的共线、垂直的充要条件．第二层次：平面向量本身的综合，特别是平面向量的坐标表示、线性运算、基本定理以及数量积的应用．第三层次：平面向量与平面几何、三角函数、解析几何等知识相联系的综合问题．通过对向量的学习，进一步体会数形结合思想、方程思想在解题中的运用．对复数的复习应掌握好以下几个方面：1．掌握好复数的基本概念和复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件．2．熟练掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算法则．在运算过程中要注意复数运算与实数运算法则的区别．3．重视复数相等的充要条件，注意利用复数相等将复数问题化归为实数问题进行处理．第30讲平面向量的概念及线性运算1．了解向量的实际背景，理解向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义．3．掌握向量的数乘运算，并理解其几何意义以及两个向量共线(平行)的意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量．用有向线段表示向量时，有向线段的长度表示向量的大小(叫做向量的模)，有向线段的箭头所指的方向表示向量的方向.(2)两个特殊向量长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(3)平行向量(或共线向量)①方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，因为任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．②规定0与任一向量平行．③长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．2．向量的线性运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法．②法则：向量的加法有三角形法则和平行四边形法则．③几何意义：如下图所示：④运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).(2)向量的减法①定义：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.②法则：向量的减法符合三角形法则．③几何意义如下图所示．(3)向量的数乘运算①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度和方向规定如下：(ⅰ)|λa|＝|λ||a|；(ⅱ)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.②运算律a，b为任意向量，λ，μ为实数．λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb.3．向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一实数λ，使b＝λa.1．在平行四边形中，如图：(1)若a ，b 为不共线的两个向量，则a ＋b ，a －b 为以a ，b 为邻边的平行四边形的两条对角线表示的向量． (2)AO →＝12(a ＋b )． (3)|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．2．在△ABC 中：(1)PG →＝13(P A →＋PB →＋PC →)(向量式) ⇔G 是△ABC 的重心．(2)G 为△ABC 的重心⇔GA →＋GB →＋GC →＝0.(3)λ(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)(λ≠0)所在直线(即∠BAC 的平分线所在直线)过△ABC 的内心．3．共线的有关结论：①A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．②OA →＝xOB →＋yOC →(x ，y 为实数)，若点A ，B ，C 共线，则x ＋y ＝1.4．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.特别地，一个封闭图形，首尾连结而成的向量和为零向量．热身练习1．下列命题中：①温度有零上和零下温度，所以温度是向量； ②重力有大小和方向，所以重力是向量； ③若|a|>|b|，则a>b ； ④若|a|＝|b|，则a ＝b. 其中真命题的个数是(A) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①温度的零上和零下只表示数量，但不表示方向，事实上温度没有方向，它只是一个数量，①假； ②重力既有大小又有方向，重力是向量，②真；③向量既有大小又有方向，两个向量不能比较大小，③假； ④大小相等和方向相同的两个向量才相等，④假． 由以上分析知，真命题的个数是1. 2．下列命题中：①零向量的长度为0； ②零向量的方向任意； ③单位向量都相等；④与非零向量a 共线的单位向量为±a|a|.其中真命题的个数是(C) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4①②④都是真命题，对于单位向量只规定了大小，没有规定方向，所以③是假命题． 3．下列命题中：①平行向量方向一定相同； ②共线向量一定相等；③向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线； ④若a ∥b 且b ∥c ，则a ∥c . 其中真命题的个数是(A) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3①假，平行向量方向不一定相同． ②假，共线向量即平行向量，不一定相等．③假，AB →与CD →是共线向量，AB 与CD 所在的直线不一定共线，故A ，B ，C ，D 四点不一定共线． ④假，当b ＝0时，a 与c 可以是任意向量．4．如图所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量CD →＝(A) A ．－BC →＋12BA →B ．－BC →－12BA →C.BC →－12BA →D.BC →＋12BA →(方法一：向量的加法)CD →＝CB →＋BD →＝－BC →＋12BA →.(方法二：向量的减法)CD →＝BD →－BC →＝12BA →－BC →.5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝ 12 .因为向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以λa ＋b ＝k (a ＋2b )，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，1＝2k ，所以λ＝12.向量的线性运算(经典真题)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →因为D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →， 所以B ，C ，D 三点共线，且D 在BC 的延长线上，如图：(方法一)在△ABD 中利用向量的加法： AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋BC →＋CD → ＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法二)在△ACD 中利用向量的加法： AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(方法三)在△ABD 中利用向量的减法： AD →＝BD →－BA →＝43BC →－BA →＝43(AC →－AB →)＋AB →＝－13AB →＋43AC →.A(1)本题综合考查了向量的共线、向量的加法、减法、数乘等基础知识，难度不是很大．(2)未知向量由已知向量来表示，要注意寻找未知向量与已知向量的联系，一般要用到平行四边形法则、三角形法则、平行(共线)向量的性质．1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →＝(A) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC → C.34AB →＋14AC → D.14AB →＋34AC →作出示意图如图所示，(方法一：在△EBD 中运用向量的加法)EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →. (方法二：在△ABE 中运用向量的减法) EB →＝AB →－AE →＝AB →－12AD →＝AB →－12×12(AB →＋AC →)＝34AB →－14AC →.共线定理的应用设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明：因为AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 所以BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，所以AB →，BD →共线，又它们有公共点， 所以A ，B ，D 三点共线． (2)因为k a ＋b 和a ＋k b 共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ，所以(k －λ)a ＝(λk －1)b ， 又a ，b 是不共线的两个非零向量， 所以k －λ＝λk －1＝0，所以k ＝±1.(1)证明三点共线问题，可转化为证明两向量平行，再说明两个向量有公共点． A ，B ，C 三点共线⇔AB →，AC →共线．(2)证两向量共线，其基本方法是利用两向量共线定理进行证明，即找到实数λ，使得b ＝λa (a 为非零向量)，则a 与b 共线．(3)三点共线等价关系：A ，B ，P 三点共线⇔AP →＝λAB →(λ≠0) ⇔OP →＝(1－t )·OA →＋tOB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，t ∈R ) ⇔OP →＝x ·OA →＋y ·OB →(O 为平面内异于A ，B ，P 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)．2．(2018·吉林期中)在△ABC 中，N 是AC 上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为 13.因为B ，P ，N 三点在同一直线上， 所以AP →＝λAB →＋μAN →，λ＋μ＝1. 又AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋29×3AN →＝mAB →＋23AN →，所以m ＋23＝1, 所以m ＝13.向量的线性运算的综合问题平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.设AB →＝a ，AD →＝b ，因为M ，N 分别为DC ，BC 的中点， 则有DM →＝12a ，BN →＝12b ，在△ABN 和△ADM 中可得：⎩⎨⎧a ＋12b ＝d ，b ＋12a ＝c ，解得⎩⎨⎧a ＝23(2d －c )，b ＝23(2c －d )，所以AB →＝23(2d －c )，AD →＝23(2c －d )．本题求解体现了思维的灵活性，考查了方程的思想方法．3．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝(B) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5因为MA →＋MB →＋MC →＝0，所以M 是△ABC 的重心．连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点．所以AM →＝23AD →，又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以AM →＝13(AB →＋AC →)，即AB →＋AC →＝3AM →，比较得m ＝3.1．在解决有关向量的概念及性质的判断问题时，要全面地考虑问题，要注意：①零向量、单位向量的特殊性；②向量平行与直线平行的区别和联系．零向量0是长度为0的向量，其方向不确定，它与任一向量平行，要注意零向量0与数0不同，0只是一个实数．2．向量共线的充要条件是由实数与向量的积推导出来的．向量共线也称为向量平行，它与直线平行有区别：直线平行不包括共线(重合)的情况，而向量平行则包括共线(重合)的情况，故用向量法证明AB 与CD 平行，可先证明AB →∥CD →，再证明AB 与CD 不共线．3．向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．。
2020版高考数学大二轮复习3.1平面向量课件理
[例 1] (1)[2019·河北衡水中学摸底]如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，且A→E＝2E→O，则E→D＝( )
A.13A→D－23A→B B.23A→D＋13A→B C.23A→D－13A→B D.13A→D＋23A→B
(2)[2019·四川绵阳联考]如图，在△ABC 中，D 为 BC 边上的一 点，且 BD＝2DC.若A→C＝mA→B＋nA→D(m，n∈R)，则 m－n＝( )
b〉＝|aa|··b|b|”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决． 2．求解向量数量积最值问题的两种思路 (1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值． (2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求
函数的最值.
『对接训练』
4．[2019·河北衡水中学三调]在△ABC 中，AB＝3，AC＝2，B→D
2．向量垂直 向量 a，b 是非零向量，a⊥b⇔a·b＝0⇒x1x2＋y1y2＝0.
[例 2] (1)[2018·全国卷Ⅲ]已知向量 a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若 c∥(2a＋b)，则 λ＝________；
(2)[2019·江西南昌二中期末]已知向量A→B＝a＋3b，B→C＝5a＋ 3b，C→D＝－3a＋3b，则( )
A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
【解析】 (1)2a＋b＝(4,2)，因为 c∥(2a＋b)，所以 4λ＝2，得
λ＝12.
(2)∵C→D＝－3a＋3b，B→C＝5a＋3b，∴B→D＝C→D＋B→C＝2a＋6b，
又A→B＝a＋3b，∴A→B＝12B→D，∴A→B∥B→D，∴A，B，D 三点共线．故
高考数学(文)二轮复习专题一 三角函数和平面向量 第2讲 平面向量、解三角形 Word版含答案
第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。
(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题一第2讲平面向量与复数课件理
2018 Ⅱ 1,4 复数的除法运算;平面向量的数量积
Ⅲ
2,13
复数的乘法运算;平面向量的坐标运算及几何意 义
Ⅰ 3,13 复数概念及运算;平面向量的数量积
Ⅱ 2017
Ⅲ
1,12 复数的除法运算;平面向量的坐标运算
2,12
复数的除法运算及复数的模;平面向量的坐标运 算及基本定理
Ⅰ 2,13 复数相等和模;平面向量的模及坐标运算
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+I
解析:z=12+i i
=
2i(1-i) (1+i)(1-i)
=
2+22i=1Ʒ
天津,理
9)i
是虚数单位,则
5-i 1+i
的值为
.
解析:15+-ii
=
(5-i)(1-i) 2
=
4-26i=2-3i.
5-i 1+i
=
4+9 =
∴cos<a,c>=|������������|··|������������|
=
2 1×3
=
23.
答案:23
11.(2019 天津,理 14)在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AB=2 3,AD=5,∠A=30°,点 E 在线段 CB 的延长线上,且
AE=BE,则������������ ·������������ =
答案:C
3.(2019全国Ⅱ,理2)设z=-3+2i,则在复平面内 ������ 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由z=-3+2i,得 ������ =-3-2i,则在复平面内 ������ 对应的点(-3,-2)位于第 三象限,故选C. 答案:C
2022年高考数学(文科)二轮复习 名师导学案：专题二 第3讲 平面向量 Word版含答案
第3讲 平面对量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面对量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式消灭.真 题 感 悟1.(2021·全国Ⅱ卷)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A.a ⊥b B.|a |＝|b | C.a ∥bD.|a |>|b |解析 由|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋2a·b ＋b 2＝a 2－2a·b ＋b 2，即a·b ＝0，故a ⊥b . 答案 A2.(2021·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 解析 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，由于a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 答案 73.(2021·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD → ＝2DC → ，AE → ＝λAC → －AB → (λ∈R )，且AD → ·AE →＝－4，则λ的值为________.解析 AB → ·AC → ＝3×2×cos 60°＝3，AD → ＝13AB → ＋23AC → ，则AD → ·AE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB → ＋23AC → ·(λAC → －AB → )＝λ－23AB → ·AC → －13AB → 2＋2λ3AC → 2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311. 答案3114.(2021·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]. (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值. 解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0.∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3.∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3，当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.考 点 整 合1.平面对量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa .(2)平面对量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面对量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面对量的三共性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|A B → |＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4.平面对量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP → ＝λ1OA → ＋λ2OB →(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP → 与向量OA → ，OB → 的关系是OP → ＝12(OA → ＋OB →).(3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔GA → ＋GB → ＋GC → ＝0⇔G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ＋x B ＋x C 3，y A ＋y B ＋y C 3.热点一 平面对量的有关运算【例1】 (1)(2022·全国Ⅰ卷)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ， BE ＝23BC .若DE → ＝λ1AB → ＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________.解析 (1)由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ， 所以a ·b ＝m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2. (2)DE → ＝DB → ＋BE → ＝12AB → ＋23BC → ＝12AB → ＋23(AC → －AB → )＝－16AB → ＋23AC → ， ∵DE → ＝λ 1AB → ＋λ2AC → ， ∴λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.答案 (1)－2 (2)12探究提高 对于平面对量的线性运算，首先要选择一组基底，同时留意共线向量定理的机敏运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.【训练1】 (2021·衡阳二模)如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC → ＝λAM → ＋μBN →，则λ＋μ＝( )A.2B.83C.65D.85解析 法一 如图以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，AM → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，BN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，AC →＝(1，1).∵AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2，λ2＋μ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－12μ＝1，λ2＋μ＝1，解之得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝65，μ＝25，故λ＋μ＝85.法二 以AB → ，AD →作为基底，∵M ，N 分别为BC ，CD 的中点， ∴AM → ＝AB → ＋BM → ＝AB → ＋12AD → ， BN → ＝BC → ＋CN → ＝AD → －12AB →， 因此AC → ＝λAM → ＋μBN → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫λ－μ2AB → ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又AC → ＝AB → ＋AD →， 因此⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ2＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝65且μ＝25.所以λ＋μ＝85.答案 D热点二 平面对量的数量积 命题角度1 平面对量数量积的运算【例2－1】 (1)(2021·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O ，记I 1＝OA → ·OB → ，I 2＝OB → ·OC → ，I 3＝OC → ·OD →，则( )A.I 1＜I 2＜I 3B.I 1＜I 3＜I 2C.I 3＜I 1＜I 2D.I 2＜I 1＜I 3(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE → ·CB → 的值为________；DE → ·DC →的最大值为________.解析 (1)如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，依据题意，I 1－I 2＝OA → ·OB → －OB → ·OC → ＝OB → ·(OA → －OC → )＝OB → ·CA →＝|OB → ||CA →|·cos∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ， 又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA → ||OB → |<|OC → ||OD →|， 而cos∠AOB ＝cos∠COD <0，∴OA → ·OB → >OC → ·OD →，即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2.(2)法一 如图，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)， 设E (t ，0)，t ∈[0，1]， 则DE → ＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)， 所以DE → ·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.由于DC → ＝(1，0)，所以DE → ·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ≤1，故DE → ·DC →的最大值为1. 法二 如图，无论E 点在哪个位置，DE → 在CB → 方向上的投影都是CB ＝1，所以DE → ·CB → ＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE → 在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，所以(DE → ·DC → )max ＝|DC →|·1＝1.答案 (1)C (2)1 1探究提高 1.求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.2.进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量.其次留意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形. 命题角度2 平面对量数量积的性质【例2－2】 (1)(2022·山东卷)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( ) A.4 B.－4 C.94D.－94(2)(2021·哈尔滨模拟)平面对量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝2，a ＋b 在a 上的投影为5，则|a －2b |的模为( ) A.2 B.4 C.8D.16解析 (1)∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0， ∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.(2)|a ＋b |cos 〈a ＋b ，a 〉＝|a ＋b |·（a ＋b ）·a |a ＋b ||a |＝a 2＋a ·b |a |＝16＋a ·b4＝5；∴a ·b ＝4.又(a －2b )2＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝16－16＋16＝16. ∴|a －2b |＝4. 答案 (1)B (2)B探究提高 1.求两向量的夹角：cos θ＝a ·b|a |·|b |，要留意θ∈[0，π].2.两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b |＝ |a ＋b |.3.求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： (1)a 2＝a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (2)|a ±b |＝（a ±b ）2＝a 2±2a ·b ＋b 2. (3)若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.【训练2】 (1)(2021·福建卷)已知AB → ⊥AC → ，|AB → |＝1t ，|AC → |＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP → ＝AB→|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB → ·PC → 的最大值等于( )A.13B.15C.19D.21(2)(2021·郴州二模)已知a ，b 均为单位向量，且(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，则向量a ，b 的夹角为________.解析 (1)建立如图所示坐标系，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC → ＝(0，t )，则AP → ＝AB→ |AB → |＋4AC→|AC →| ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t，0＋4t(0，t )＝(1，4). ∴点P (1，4)，则PB → ·PC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －1，－4·(－1，t －4) ＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，当且仅当4t ＝1t ，即t ＝12时取等号，故PB → ·PC →的最大值为13. (2)设单位向量a ，b 的夹角为θ， 则|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos θ. ∵(2a ＋b )·(a －2b )＝－332，∴2|a |2－2|b |2－3a ·b ＝－3cos θ＝－332，∴cos θ＝32，∵0≤θ≤π，∴θ＝π6.答案 (1)A (2)π6热点三 平面对量与三角的交汇综合【例3】 (2021·郑州质检)已知向量m ＝(2sin ωx ，cos 2ωx －sin 2ωx )，n ＝(3cos ωx ，1)，其中ω＞0，x ∈R .若函数f (x )＝m ·n 的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC 中，若f (B )＝－2，BC ＝3，sin B ＝3sin A ，求BA → ·BC →的值.解 (1)f (x )＝m ·n ＝23sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －sin 2ωx ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6.∵f (x )的最小正周期为π，∴T ＝2π2|ω|＝π.∵ω＞0，∴ω＝1.(2)设△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c . ∵f (B )＝－2，∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－2， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π6＝－1，解得B ＝2π3(B ∈(0，π)).∵BC ＝3，∴a ＝3，∵sin B ＝3sin A ，∴b ＝3a ，∴b ＝3. 由正弦定理，有3sin A ＝3sin2π3，解得sin A ＝12. ∵0＜A ＜π3，∴A ＝π6.∴C ＝π6，∴c ＝a ＝ 3.∴BA → ·BC → ＝ca cos B ＝3×3×cos 2π3＝－32. 探究提高 1.破解平面对量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、帮助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式消灭的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化. 2.这种问题求解的关键是利用向量的学问将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关学问进行求解. 【训练3】 (2021·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB → ·AC →＝－6，S △ABC＝3，求A 和a .解 由于AB → ·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6，又由于S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6， 因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4.又由于b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29， 所以a ＝29.1.平面对量的数量积的运算有两种形式：(1)依据模和夹角计算，要留意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不行求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数量化.2.依据平行四边形法则，对于非零向量a ，b ，当|a ＋b |＝|a －b |时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件|a ＋b |＝|a －b |等价于向量a ，b 相互垂直.3.两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面对量解决问题时要特殊留意两个向量夹角可能是0或π的状况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线.一、选择题1.(2022·全国Ⅲ卷)已知向量BA → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°解析 |BA → |＝1，|BC → |＝1，cos∠ABC ＝BA → ·BC→|BA → |·|BC → |＝32.∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.答案 A2.(2021·北京卷)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 存在负数λ，使得m ＝λn ，则m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2<0，因而是充分条件，反之m ·n <0，不能推出m ，n 方向相反，则不是必要条件.答案 A3.(2021·汉中模拟)已知向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，若(2a ＋b )⊥c ，则|b |＝( ) A.9 B.3 C.109D.310解析 向量a ＝(2，－4)，b ＝(－3，x )，c ＝(1，－1)，∴2a ＋b ＝(1，x －8)，由(2a ＋b )⊥c ，可得1＋8－x ＝0，解得x ＝9. 则|b |＝（－3）2＋92＝310. 答案 D4.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF → ＝2FO → ，则FD → ·FE →等于( )A.－34B.－89C.－14D.－49解析 ∵BF → ＝2FO → ，圆O 的半径为1，∴|FO → |＝13，∴FD → ·FE → ＝(FO → ＋OD → )· (FO → ＋OE → )＝FO → 2＋FO → ·(OE → ＋OD → )＋OD → ·OE → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋0－1＝－89. 答案 B5.(2021·安徽江淮十校联考)已知平面对量a ，b (a ≠0，a ≠b )满足|a |＝3，且b 与b －a 的夹角为30°，则|b |的最大值为( ) A.2 B.4 C.6D.8解析 令OA → ＝a ，OB → ＝b ，则b －a ＝AB → －OA → ＝AB →，如图.∵b 与b －a 的夹角为30°， ∴∠OBA ＝30°. ∵|a |＝|OA →|＝3，∴由正弦定理得|OA → |sin∠OBA ＝|OB → |sin ∠OAB ，|b |＝|OB →|＝6·sin∠OAB ≤6.答案 C 二、填空题6.(2021·全国Ⅲ卷)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________. 解析 由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2. 答案 27.(2021·德州模拟)已知平面对量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2，0)，|b |＝1，则 |a ＋2b |＝________.解析 ∵〈a ，b 〉＝60°，a ＝(2，0)，|b |＝1， ∴a ·b ＝|a ||b |·cos 60°＝2×1×12＝1，又|a ＋2b |2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝12， 所以|a ＋2b |＝12＝2 3. 答案 2 38.若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5 AM → ＝AB → ＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比值为________.解析 设AB 的中点为D ，由5AM → ＝AB → ＋3AC → ，得3AM → －3AC → ＝2AD → －2AM → ，即3CM → ＝2MD →.如图所示，故C ，M ，D 三点共线， 且MD → ＝35CD →， 也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5， 则△ABM 与△ABC 的面积比值为35.答案 35三、解答题9.设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值. 解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1.所以f (x )的最大值为32.10.(2021·贵阳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ，⎭⎪⎫sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋x ，b ＝(－sin x, 3sin x )，f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期及f (x )的最大值；(2)在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝1，a ＝23，求三角形ABC 面积的最大值.解 (1)∵a ＝(－sin x ，cos x )，b ＝(－sin x ，3sin x )， 则f (x )＝a ·b ＝sin 2x ＋3sin x cos x＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，即x ＝π3＋k π(k ∈Z )，f (x )取最大值是32.(2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＋12＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12，∴A ＝π3.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴12＝b 2＋c 2－bc ，∴b 2＋c 2＝12＋bc ≥2bc ，∴bc ≤12(当且仅当b ＝c ＝23时等号成立).∴S ＝12bc sin A ＝34bc ≤3 3.∴当三角形ABC 为等边三角形时面积取最大值是3 3. 11.已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x (x ∈R ).(1)当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，求函数f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，f (C )＝2，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，由于x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6.(2)由f (C )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＋1＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝12，而C ∈(0，π)，所以2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2C ＋π6＝56π，解得C ＝π3.由于向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线， 所以sin A sin B ＝12.由正弦定理得a b ＝12，①由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2－ab ＝9.②联立①②，解得a ＝3，b ＝2 3.。
2020届高考数学二轮复习全程方略课件：专题二 三角函数与平面向量(3)平面向量 Word版含答案
(2)|a＋b|cos〈(a＋b)，a〉＝|a＋b|·
＝
|a＋b||a|
|a|
16＋a·b ＝ 4 ＝5；
所以 a·b＝4.
又(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16－16＋16＝16.
所以|a－2b|＝4. 答案：(1)B (2)B
第二十一页，编辑于星期日：一点 五分。
[规律方法] 1．两向量的夹角 cos θ＝|aa|··b|b|，要注意 θ∈[0，π]． 2．两向量垂直的应用，两非零向量垂直的充要条件 是 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|. 3．利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题 中模和夹角已知的向量进行计算．
B．－12
C．1
D．－1
第七页，编辑于星期日：一点 五分。
解析：(1)因为 a∥b，所以 2λ＋6＝0，解得 λ＝－3， 当 λ＝－3 时，b＝(－1，－3)，a＝－2b，所以 a∥b 成立． (2)因为 E 为 BC 的中点， 所以A→C＝A→B＋A→D＝12A→B＋12A→B＋A→D＝12A→B＋A→E， 即A→E＝－12A→B＋A→C，
第二十三页，编辑于星期日：一点 五分。
解析：(1)向量 a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－ 1)，
所以 2a＋b＝(1，x－8)， 由(2a＋b)⊥c，可得 1＋8－x＝0，解得 x＝9. 则|b|＝ （－3）2＋92＝3 10.
第二十四页，编辑于星期日：一点 五分。
(2)设单位向量 a，b 的夹角为 θ， 则|a|＝|b|＝1，a·b＝cos θ. 因为(2a＋b)·(a－2b)＝－3 2 3， 所以 2|a|2－2|b|2－3a·b＝－3cos θ＝－323， 所以 cos θ＝ 23，
sin A，求B→A·B→C的值．
2020新课标高考数学(文)二轮总复习课件：1-7-3 平面向量+Word版含解析
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
考点一 向量的加、减法
[例 1] 已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A→C＝(－4，－3)，则向量B→C＝( )
A．(－7，－4)
B.(7,4)
C．(－1,4)
专题七 高效解答客观题 第三讲 平面向量
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
1．向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则 A，B，P 三点共线的充要条件是O→P →→
＝λ1OA＋λ2OB(其中 λ1＋λ2＝1)． 2．如果直线 l 的斜率为 k，则 a＝(1，k)是直线 l 的一个方向向量． 3．向量的投影：|b|cos〈a，b〉叫做 b 在向量 a 方向上的投影．即|b|cos θ＝a|a·b| . 4．若 a 与 b 不共线，且 λa＋μb＝0，则 λ＝μ＝_0__.
π
π
A.6
B.3
C.23π
D.56π
答案：B
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新课标高考第二轮总复习•文科数学
解析：∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝
|a||b|cos<a，b>－b2＝0，
∴cos<a，b>＝|a|b|||b2 |＝2|b|b|2|2＝12，∵<a，b>∈[0，π]，
∴<a，b>＝π3.
C.－3
D.－1
答案：D 解析：本题考查向量的坐标运算．依题意得 b＝2a－a－12b＝(－4,2)，2a＋b＝(－
2,6)，(2a＋b)∥c，则 6x＝－2×3＝－6，x＝－1.
2020版高考文科数学大二轮专题复习新方略讲义：命题 二、综合性——着眼题型 凸显能力
二、综合性——着眼题型凸显能力数学文化三角与向量解+析几何与向量函数与不等式概率与实际应用直线与圆锥曲线试题的综合性是高考试题的重中之重，其主要特征是多知识点的交汇，条件和结论由紧密相关的知识构成，是知识网的具体体现，该类问题多呈现在向量与三角、向量与解+析几何、概率与应用、直线与圆锥曲线、函数与不等式、数列与方程或函数、平面几何与立体几何等等．解答此类问题必须注意以下三点：(1)理清知识体系；(2)建立知识网络关系；(3)注重目标的达成．依题意知，题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6{2－x，x≤，x>0，则满足f(x＋时，函数f(x)＝2－x是减函数，则1.作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f(xy2＝a2记为②式，①OF为直径的圆与圆的相交弦所在直线的方程为x高考小题集训(二)1．[2019·河南郑州第二次质量预测]已知全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝ln(1－x 2)}，B ＝{y |y ＝4x －2}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．(－1,0)B ．[0,1)C ．(0,1)D ．(－1,0]详细分析：A ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，B ＝{y |y >0}，所以∁U B ＝{y |y ≤0}，所以A ∩(∁U B )＝(－1,0]，故选D.答案：D2．[2019·四川乐山调研]若a ＋b ii (a ，b ∈R )与(1－i)2互为共轭复数，则a －b 的值为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3详细分析：∵a ＋b i i ＝(a ＋b i )(－i )－i 2＝b －a i ，(1－i)2＝－2i. 又a ＋b ii 与(1－i)2互为共轭复数， ∴b ＝0，a ＝－2，则a －b ＝－2，故选A. 答案：A3．[2019·广东广州调研]已知实数a ＝2ln 2，b ＝2＋2ln 2，c ＝(ln 2)2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．a <c <b详细分析：因为0<ln 2<1，所以a ＝2ln 2∈(1,2)，c ＝(ln 2)2∈(0,1)． 又b ＝2＋2ln 2＝2＋ln 4∈(3,4)， 故c <a <b .故选B. 答案：B4．[2019·陕西渭南月考]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6<0，a 7>0，且a 7>|a 6|，则( )A ．S 11＋S 12<0B ．S 11＋S 12>0C ．S 11·S 12<0D ．S 11·S 12>0详细分析：∵a 6<0，∴S 11＝11a 6<0，又a 6<0，a 7>0，且a 7>|a 6|，∴S 12＝6(a 6＋a 7)>0. ∴S 11·S 12<0，故选C. 答案：C5．[2019·天津七校联考]已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( )A ．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB ．若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βC ．若m ∥n ，m ∥α，则n ∥αD ．若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β详细分析：若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β或γ与β相交，故A 不正确；若m ∥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥β或α与β相交，故B 不正确；若m ∥n ，m ∥α，则n ∥α或n ⊂α，故C 不正确；若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故D 正确．故选D.答案：D6．[2019·浙江杭州八中月考]在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，AB ＝4，AD →＝14AC →＋λAB →，则AC 的长为( )A ．3B ．6C ．9D ．12详细分析：∵AD →＝14AC →＋λAB →且B ，C ，D 三点共线，∴λ＝34，∴AD →＝14AC →＋34AB →， ∴BD →－BA →＝14BC →－14BA →－34BA →， ∴BD →＝14BC →.又AD 为∠A 的平分线， ∴AB AC ＝BD DC ＝13，又AB ＝4，∴AC ＝12.故选D.答案：D7．[2019·成都一诊]设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，2x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，则z ＝3x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．6详细分析：通解 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，画出直线3x ＋y ＝0，平移该直线，可知当直线经过点A (0,1)时z 取得最小值，z min ＝3×0＋1＝1，故选A.优解由⎩⎨⎧2x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，此时z ＝1；由⎩⎨⎧x ＝1，x ＋y －1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝0，此时z ＝3；由⎩⎨⎧x ＝1，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，此时z ＝6.综上，目标函数z ＝3x＋y 的最小值为1，故选A.答案：A8．[2019·北京第八十中学阶段测试]阅读如图所示的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，1]内，则输入的实数x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[0,2]C ．[－2，－1]D ．[－2,0] 详细分析：由程序框图可得分段函数y ＝⎩⎨⎧2x ，x ∈[－2，2]，2，x ∉[－2，2]，令2x∈[14，1]，则x ∈[－2,0]，∴输入的实数x 的取值范围是[－2,0]．故选D.答案：D9．[2019·河北衡水中学调研]在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则A ＝( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°详细分析：∵S ＝12bc sin A ，b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，∴12bc sin A ＝12bc cos A ，∴tan A ＝1，∵0°<A <180°，∴A ＝45°，故选C.答案：C10．[2019·河北六校联考]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.64－82π3B.64－42π3C.32－82π3D.32－42π3详细分析：由三视图知，这个几何体是由一个四棱锥S －ABCD 挖去18个球得到的，其直观图放在正方体(正方体是虚拟图，起辅助作用)中如图所示，故该几何体的体积为13×4×4×4－18×4π3×(22)3＝64－82π3，选A.答案：A11．[2019·广东珠海摸底]某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等20元、二等奖10元、三等奖5元、参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是( )A ．获得参与奖的人数最多B ．各个奖项中三等奖的总费用最高C ．购买奖品的平均费用为9.25元D ．购买奖品的费用的中位数为2元详细分析：设全班人数为a ，由扇形统计图可知，一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，参与奖占65%.获得参与奖的人数最多，故A 正确；一等奖的总费用为5%a ×20＝a ，二等奖的总费用为10%a ×10＝a ，三等奖的总费用为30%a ×5＝32a ，参与奖的总费用为65%a ×2＝1310a ，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B 正确；购买奖品的平均费用为5%×20＋10%×10＋30%×5＋65%×2＝4.8(元)，故C 错误；参与奖占65%，所以购买奖品的费用的中位数为2元，故D 正确．故选C.答案：C12．[2019·全国卷Ⅱ]2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1R B.M 22M 1RC.33M 2M 1RD.3M 23M 1R详细分析：本题主要考查考生对背景材料的审读能力、逻辑思维能力、化归与转化能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算．由M 1(R ＋r )2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R 2＋M 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1(1＋α)2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5(1＋α)2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5(1＋α)2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈3M 23M 1·R ，故选D.答案：D13．[2019·山西太原一中月考]已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值为________．详细分析：∵sin(3π＋α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α， ∴－sin α＝－2cos α，即sin α＝2cos α，∴tan α＝2，∴sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝tan α－45tan α＋2＝－16.答案：－1614．[2019·湖南郴州质量检测]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a log 3x ，x >0，1－x ，x ≤0，若f (f (－2))＝－2，则a ＝________.详细分析：f (f (－2))＝f (3)＝a ＝－2.答案：－215．[2019·河南期末联考]三棱锥P －ABC 的侧棱两两垂直，D 为棱P A 的中点，E ，F 分别为棱PB ，PC 上的点，DE ∥平面ABC ，PF ＝2FC ，若从三棱锥P －ABC 内部随机选取一点，则此点取自三棱锥P －DEF 内部的概率为________．详细分析：因为DE ∥平面ABC ，DE ⊂平面P AB ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，所以DE ∥AB ，所以V P －DEFV P －ABC＝12×12×23＝16，即所求概率为16.答案：16 16．[2019·江西红色七校第一次联考]已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.详细分析：将双曲线的方程x 2－y 2＝2化为x 22－y22＝1，则a ＝b ＝2，c ＝2. 因为|PF 1|＝2|PF 2|①， 所以点P 在双曲线的右支上．由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22②. 由①②，得|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 在△PF 1F 2中，根据余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.答案：34。
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解析：
如图，M，P，C三点共线，则 ＝m ＋(1－m) ＝mb＋ (1－m)a(m∈R)，又N，P，B三点共线，所以 ＝n ＋(1－n) ＝na＋ (1－n)b(n∈R)，所以 解得m＝ ，n＝ ，所以 ＝ a＋ b.故选B.
答案：B
8．[2019·辽宁葫芦岛六中月考]已知a＝(2sin 13°，2sin 77°)，|a－b|＝1，a与a－b的夹角为 ，则a·b＝()
答案：C
12．[2019·山东淄博一中期中]已知| |＝3，| |＝2， ＝m ＋n ，m，n∈R，若 与 的夹角为60°，且 ⊥ ，则 的值为()
A. B.
C．6 D．4
解析：通解∵| |＝3，| |＝2， 与 的夹角为60°，∴ · ＝3.又 ⊥ ，∴ · ＝0.又 ＝m ＋n ， ＝ － ，∴(m ＋n )·( － )＝0，即－m 2＋(m－n) · ＋n 2＝0，∴－9m＋3m－3n＋4n＝0，∴n＝6m，∴ ＝ .故选B.
答案：B
2．[2019·福建宁德五中期中]设O为△ABC的重心，若 ＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝()
A. B．2
C．－2 D.
解析：解法一∵O为△ABC的重心，∴ ＝ ，又 ＝λ ＋μ ，∴ ＋ ＝0.∵ 与 不共线，∴ ∴λ＝3，μ＝－1，∴λ＋μ＝2.故选B.
解法二 设BC的中点为D，连接AD，∵O为△ABC的重心，∴ ＝ ，又 ＝λ ＋μ ，∴ ＝ ＋μ ，∴ ＝ － .∵B，D，C三点共线，且D为BC的中点，∴ ＝－ ＝ ，∴λ＝3，μ＝－1，∴λ＋μ＝2.故选B.
A. －
B. ＋
C. －
D. ＋
(2)[2019·四川绵阳联考]如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC.若 ＝m ＋n (m，n∈R)，则m－n＝()
A．2 B．1
C．－2 D．3
【解析】(1) ＝ ＋ ＝－ ＋ ＝－ ( ＋ )＋ ＝ － .
(2)∵ ＝2 ，∴ － ＝2( － )，∴ ＝－ ＋ ，∴m＝－ ，n＝ ，∴m－n＝－2.故选C.
2．求解向量数量积最值问题的两种思路
(1)直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．
(2)建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值.
4．[2019·河北衡水中学三调]在△ABC中，AB＝3，AC＝2， ＝ ，则 · ＝()
A．－ B.
C．－ D.
解析：∵ ＝ ，∴ － ＝ ( － )，∴ ＝ ＋ .又 ＝ － ，∴ ＝ ，∴ · ＝ ＝－ .故选C.
答案：B
10．[2019·湖南怀化重点中学第三次联考]如图，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝ DC，过点D任意作直线分别交直线AB，AC于点M，N，若 ＝m ， ＝n ，则()
A．m＋n＝2 B．2m＋n＝3
C. ＋ ＝2 D. ＋ ＝3
解析：连接AD，因为M，D，N三点共线，所以 ＝λ ＋(1－λ) ＝λm ＋(1－λ)n .又BD＝ DC，所以 ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ － ＝ ＋ ，于是 解得 ＋ ＝3.故选D.
C．－a－2bD．a－3b
解析：设c＝λa＋μb，∵a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(3，－4)，∴ ∴ ∴c＝－a－2b.故选C.
答案：C
4．[2019·河南安阳一模]已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，若λa－b和2a＋b共线，则λ＝()
A．2 B.
C．－1 D．－2
解析：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,0)，∴λa－b＝(λ＋1，－λ)，2a＋b＝(1，－2)，又λa－b和2a＋b共线，∴－λ＝－2(λ＋1)，∴λ＝－2.故选D.
解法三 连接OB，OC，∵ ＝λ ＋μ ，∴ － ＝－λ ＋μ －μ ，即(－1＋λ＋μ) ＋ －μ ＝0，又O为△ABC的重心，∴ ＋ ＋ ＝0，∴－1＋λ＋μ＝1，μ＝－1，∴λ＝3，∴λ＋μ＝2.故选B.
答案：B
考点2向量的平行与垂直
1．向量平行(共线)
(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
(2)本题主要考查平面向量的数量积，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算．
设a＝(1,0)，b＝(0,1)，则c＝(2，－ )，所以cos〈a，c〉＝ ＝ .
【答案】(1)C(2)
1．一般地，用向量方法解决模的问题的途径有三：一是利用公式|a|2＝a2，将模的平方转化为数量积问题；二是利用模的几何意义；三是坐标法．解决向量的夹角问题主要是利用公式“cos〈a，b〉＝ ”将向量的夹角问题转化为数量积及模的问题来解决．
【答案】(1) (2)B
共线向量定理的应用
(1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线，若存在实数λ，使 ＝λ ，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值，利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
[提醒]证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点.
A. B.
C. D.
解析：设所求向量为n＝λm(λ>0)，∵m＝(5,12)，∴n＝(5λ，12λ)．∵|n|＝1，∴25λ2＋144λ2＝1，得λ＝ ，∴n＝ .故选A.
答案：A
3．[2019·河北邢台月考]若向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，c＝(3，－4)，则c＝()
A．3a＋bB．2a－b
所以－(2＋sinx)＝sinx－1，即sinx＝－ .
又x∈ ，所以x＝－ .
(2)a＋d＝(3＋sinx,1＋k)，b＋c＝(sinx－1，－1)，
若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a＋d)·(b＋c)＝0，
即(3＋sinx)(sinx－1)－(1＋k)＝0，
所以k＝sin2x＋2sinx－4＝(sinx＋1)2－5，
考点1平面向量的概念与线性运算
1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．
2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．
[例1](1)[2019·河北衡水中学摸底]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且 ＝2 ，则 ＝()
【答案】(1)C(2)C
1．平面向量的线性运算技巧
(1)对于平面向量的线性运算问题，要尽可能转化到三角形或平行四边形中，灵活运用三角形法则、平行四边形法则，紧密结合图形的几何性质进行运算．
(2)在证明两向量平行时，若已知两向量的坐标形式，常利用坐标运算来判断；若两向量不是以坐标形式呈现的，常利用共线向量定理(当b≠0时，a∥b⇔存在唯一实数λ，使得a＝λb)来判断．
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：∵a＝(2sin 13°，2sin 77°)＝(2sin 13°，2cos 13°)，∴|a|＝2，又|a－b|＝1，a与a－b的夹角为 ，∴a·(a－b)＝1，即a2－a·b＝1，∴a·b＝3.故选B.
答案：B
9．[2019·广西南宁摸底]若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角的余弦值是()
答案：C
5．[2019·河南中原名校指导卷]已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，c＝2a－b，则向量c在向量a方向上的投影为()
A. B.
C．2 D．3
解析：∵a＝(－1,2)，b＝(1,3)，∴|a|＝ ，c＝2a－b＝(－3，1)，∴a·c＝5，∴向量c在向量a方向上的投影为 ＝ .故选B.
答案：B
课时作业
1．[2019·北京八十中学月考]已知向量i与j不共线，且 ＝i＋mj， ＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三点共线，则mn＝()
A. B．2
C．1 D．－3
解析：∵A，B，D三点共线，∴ ∥ ，设 ＝λ ，则 ∴mn＝1.故选C.
答案：C
2．[2019·湖南重点中学联考]已知m＝(5,12)，则与m方向相同的单位向量的坐标是()
由sinx∈[－1,1]，可得k∈[－5，－1]，
所以存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．
考点3向量的数量积
1．平面向量的数量积有两种运算形式：
(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ(其中θ为向量a，b的夹角)；
(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.
答案：D
11．[2019·江西南昌二中期末]已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()
A. B．(2，＋∞)
C. ∪(2，＋∞) D. ∪(0，＋∞)
解析：∵a与b的夹角为钝角，∴－2λ－1<0，即λ>－ .又a≠μb(μ<0)，∴λ≠2，∴λ的取值范围是 ∪(2，＋∞)．故选C.
2．平面向量的三个性质
(1)若a＝(x，y)，则|a|＝ ＝ .
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
| |＝ .
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝ ＝ .
[例3](1)[2019·全国卷Ⅱ]已知 ＝(2,3)， ＝(3，t)，| |＝1，则 · ＝()
2．[警示]证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.
1．[2019·福建三明期末]在△ABC中，3 ＝ ，AD为BC边上的高，O为AD的中D.
解析：
如图，∵3 ＝ ，O为AD的中点，∴ ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ × ＝ ＋ ( － )＝－ ＋ ＝λ ＋μ ，∴λ＝－ ，μ＝ ，∴λ·μ＝－ .故选B.