高二(上)期中数学答(文)
2023-2024学年山东省聊城市高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝03．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ） A ．{AB →，12AC →，AS →} B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →} D ．{AS →，AB →，√55BC →}4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√327．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=18．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A （1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为（ ） A ．x ﹣y +1＝0B ．x +y ﹣3＝0C ．2x ﹣y ＝0D ．x ﹣y ﹣1＝010．已知点P 在圆C ：x 2+y 2﹣4x ＝0上，直线AB ：y ＝x +2，则（ ） A ．直线AB 与圆C 相交 B ．直线AB 与圆C 相离C ．点P 到直线AB 距离最大值为2√2+2D ．点P 到直线AB 距离最小值为2√2−111．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，已知平面α⊥AC 1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（ ）A ．截面形状可能为正三角形B ．截面形状可能为正方形C ．截面形状可能为正六边形D ．截面面积最大值为√312．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2 B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是 ．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝ ．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 ． 16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 米．（注意：√10≈3.162)四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1．（1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）． （1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．2023-2024学年山东省聊城市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 1．设a ∈R ，则“直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行”是“a ＝1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解：若直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行，则{a 2−1=0a +1≠0⇒a =1； 若a ＝1，则直线x +y ﹣1＝0与直线x +y +1＝0平行，∴直线ax +y ﹣1＝0与直线x +ay +1＝0平行是a ＝1的充分必要条件． 故选：B ．2．经过两条直线l 1：x +y ＝2，l 2：2x ﹣y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v →=(−6，4) 的直线方程为（ ） A ．2x ﹣y ﹣1＝0B ．2x +y ﹣3＝0C ．3x ﹣2y ﹣5＝0D ．2x +3y ﹣5＝0解：根据题意，{x +y =22x −y =1，解可得{x =1y =1，即两直线的交点为（1，1），设A （1，1），设直线上任意一点为M ，其坐标为（x ，y ）， 直线的一个方向向量v →=(−6，4)，则MA →∥v →，则有4（x ﹣1）＝﹣6（y ﹣1），即4x +6y ﹣10＝0，变形可得2x +3y ﹣5＝0， 故要求直线的方程为2x +3y ﹣5＝0． 故选：D ．3．已知SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，SA ＝AB ＝1，BC =√5，则空间的一个单位正交基底可以为（ ）A ．{AB →，12AC →，AS →}B ．{AB →，AC →，AS →} C ．{AB →，12AC →，12AS →}D ．{AS →，AB →，√55BC →}解：由于SA ⊥平面ABC ， 所以：SA ⊥AB ，SA ⊥AC ， 由于AB ⊥AC ，AB ＝1，BC =√5， 所以AC ＝2．所以空间的一个单位正交基底可以为{AB →，12AC →，AS →}．故选：A ．4．椭圆x 216+y 24=1和x 236+y 224=1（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．顶点相同解：椭圆x 216+y 24=1中a 2＝16，b 2＝4，故c 2＝16﹣4＝12，x 236+y 224=1中a 2＝36，b 2＝24，故c 2＝36﹣24＝12，故两个椭圆的a ，b 都不相等，而c 相等，故焦距相等． 故选：C ．5．已知圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2，则圆M 与圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：圆的标准方程为M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a 2（a ＞0）， 则圆心为（0，a ），半径R ＝a ， 圆心到直线x +y ＝0的距离d =a2， ∵圆M ：x 2+y 2﹣2ay ＝0（a ＞0）截直线x +y ＝0所得线段的长度是2√2， ∴2√R 2−d 2=2√a 2−a 22=2√a22=2√2，即√a 22=√2，即a 2＝4，a ＝2，则圆心为M （0，2），半径R ＝2，圆N ：（x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1的圆心为N （1，1），半径r ＝1，则MN =√12+12=√2， ∵R +r ＝3，R ﹣r ＝1，∴R ﹣r ＜MN ＜R +r ，即两个圆相交． 故选：B ．6．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A 到平面QGC 的距离是（ ）A ．14B ．12C ．√22D ．√32解：建立空间直角坐标系如图，则A （1，1，0），C （0，2，0），G （0，0，2），Q （1，0，2）， GQ →=(1，0，0)，GC →=(0，2，−2)，CA →=(1，−1，0)， 设平面QGC 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，由{n →⋅GQ →=x =0n →⋅GC →=2y −2z =0，取z ＝1，得n →=(0，1，1)， ∴点A 到平面QGC 的距离是|n →⋅CA →||n →|=√2=√22． 故选：C ．7．已知圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝64，F （﹣2，0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过点F （如图），然后将纸片展开，得到一条折痕l ，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（ ）A ．x 216+y 212=1B ．x 24+y 2=1C ．x 24+y 23=1D ．x 216+y 24=1解：F （﹣2，0），C （2，0），点F 关于折痕l 的对称点A 在圆周上，折痕l 为线段AF 的垂直平分线，折痕l 与AC 相交于点P ，如图所示：则有|P A |＝|PF |，可知|PF |+|PC |＝|P A |+|PC |＝|AC |＝8＞|FC |＝4，所以点P 的轨迹是以F ，C 为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a ＝8，焦距2c ＝4， 所以点P 的轨迹方程为x 216+y 212=1，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为x 216+y 212=1．故选：A ．8．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是AC 中点，点P 在线段A 1C 1上，若直线OP 与平面A 1BC 1所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）A ．[√23，√33] B ．[13，12]C ．[√34，√33] D ．[14，13]解：设正方体棱长为1，A 1P A 1C 1=λ（0≤λ≤1）．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1为坐标轴建立空间直角坐标系， 则O （12，12，0），P （1﹣λ，λ，1），∴OP →=（12−λ，λ−12，1），∵易证DB 1⊥平面A 1BC 1，∴DB 1→=（1，1，1）是平面A 1BC 1的一个法向量． ∴sin θ＝|cos ＜OP →，DB 1→＞|=1√3√2(λ−12)2+1，当λ=12时sin θ取得最大值√33，当λ＝0或1时，sin θ取得最小值√23． 故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得О分.9．若直线过点A（1，2），且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．x﹣y+1＝0B．x+y﹣3＝0C．2x﹣y＝0D．x﹣y﹣1＝0解：当直线经过原点时，斜率为k=2−01−0=2，所求的直线方程为y＝2x，即2x﹣y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A（1，2）代入可得1﹣2＝k，或1+2＝k，求得k＝﹣1，或k＝3，故所求的直线方程为x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0；综上知，所求的直线方程为2x﹣y＝0、x﹣y+1＝0，或x+y﹣3＝0．故选：ABC．10．已知点P在圆C：x2+y2﹣4x＝0上，直线AB：y＝x+2，则（）A．直线AB与圆C相交B．直线AB与圆C相离C．点P到直线AB距离最大值为2√2+2D．点P到直线AB距离最小值为2√2−1解：圆C：x2+y2﹣4x＝0，即（x﹣2）2+y2＝4，圆心为C（2，0），半径r＝2，则圆心C到直线AB的距离d=|2+2−0|√1+(−1)2=2√2＞r，所以直线AB与圆C相离，又点P在圆C上，所以点P到直线AB距离最大值为2√2+2，点P到直线AB距离最小值为2√2−2，故正确的有B、C．故选：BC．11．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，已知平面α⊥AC1，则关于α截此正方体所得截面的判断正确的是（）A．截面形状可能为正三角形B．截面形状可能为正方形C．截面形状可能为正六边形D．截面面积最大值为√3解：如图所示，当截面为B 1CD 1时，截面为正三角形，选项A 正确；当截面过棱A 1B 1，B 1B ，BC ，CD ，DD 1，D 1A 1的中点时，截面为正六边形，选项C 正确； 当截面为正六边形时，面积最大，因为MN =√2，GH =√22，OE =√(12)2+(√24)2=√64， 所以S ＝2×12×（√22+√2）×√64=3√34，选项D 错误； 与AC 1垂直的截面不可能是正方形，选项B 错误． 故选：AC ．12．已知椭圆C ：x 225+y 29=1，F 1，F 2分别为它的左右焦点，A ，B 分别为它的左右顶点，点P 是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（ ） A ．存在P 使得∠F 1PF 2=π2B ．cos ∠F 1PF 2的最小值为−18C ．直线P A 与直线PB 斜率乘积为定值925D ．PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为9解：由椭圆的方程可得a ＝5，b ＝3，所以c ＝4，由题意可得A （﹣5，0），B （5，0），F 1（﹣4，0），F 2（4，0），设上顶点为D （0，3），A 中，DF 1→•DF 2→=（﹣4，﹣3）•（4，﹣3）＝﹣16+9＝﹣7＜0，所以∠F 1PF 2的最大角为钝角， 所以存在P 使得∠F 1PF 2为直角，所以A 正确；B 中，设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，由椭圆的定义可得m +n ＝2a ＝10，cos ∠F 1PF 2=m 2+n 2−(2c)22mn =(m+n)2−2mn−642mn =36−2mn 2mn =18mn−1， 因为mn ≤（m+n 2）2＝25，当且仅当m ＝n 时取等号，所以cos ∠F 1PF 2≥1825−1=−725，即cos ∠F 1PF 2的最小值为−725，所以B 不正确； C 中，设P （x 0，y 0），则x 0225+y 029=1，所以y 02=9（1−x 0225），可得k P A •k PB =y 0x 0+5•y 0x 0−5=y 02x 02−25=9(1−x 0225)x 02−25=−925，所以C 不正确；D 中，PF 1⊥PF 2，由B 选项及由勾股定理可得：m 2+n 2＝（2c ）2＝64，即（m +n ）2﹣2mn ＝64， 即2mn ＝100﹣64＝36，所以mn ＝18，所以S △F 1PF 2=12mn ＝9，所以D 正确． 故选：AD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．与圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0同圆心，且过点（1，1）的圆的方程是： （x ﹣1）2+（y +2）2＝9 ． 解：圆x 2+y 2﹣2x +4y +3＝0的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝2， 则圆心C （1，﹣2）， ∵圆过点A （1，1）， ∴半径R ＝|AC |＝3，则圆的标准方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝9． 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝9．14．如图，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别为PD ，PB 的中点，点G 在线段AP 上，AC 与BD 交于点O ，P A ＝AB ＝2，若OG ∥平面EFC ，则AG ＝23．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系， A （0，0，0），因为P A ＝AB ＝2，C （2，2，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），O （1，1，0），因为E ，F 分别是PD ，PB 中点，设G （0，0，b ），设平面EFC 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， 因为OG ∥平面EFC ，所以OG →•n →=0，OG →=（﹣1，﹣1，b ）， 所以E （0，1，1），F （1，0，1），则EF →=（1，﹣1，0）， CE →=（﹣2，﹣1，1），则{n →⋅EF →=0n →⋅CE →=0，即{x −y =0−2x −y +z =0，令x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n →=（1，1，3）， 所以OG →•n →=−1﹣1+3b ＝0，解得b =23， 所以AG ＝b =23． 故答案为：23．15．点P （﹣2，﹣1）到直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）的距离的最大值是 √10 ． 解：直线l ：（2+λ）x +λy ﹣2﹣λ＝0（λ为任意实数）， 整理得：λ（x +y ﹣1）+（2x ﹣2）＝0， 故{x +y −1=02x −2=0，解得{x =1y =0，故直线l 恒过点Q （1，0），故点P （﹣2，﹣1）到直线l 的最大距离d =√(−2−1)2+(−1−0)2=√10． 故答案为：√10．16．2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度|AB |＝100米，拱高|OP |＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是 6.48 米．（注意：√10≈3.162)解：以O 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系， 设圆心坐标（0，a ），P （0，10），A （﹣50，0）， 则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2，所以{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， 所以圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， 因为y ＞0，所以y ＝40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48， 所以MN 的高度是6.48米． 故答案为：6.48．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其它每题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或 17．（10分）已知直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0和圆C ：x 2+（y ﹣1）＝5． （1）求证：对任意实数m ，直线l 和圆C 总有两个不同的交点； （2）设直线l 和圆C 交于A ，B 两点．若|AB|=√17，求l 的倾斜角．（1）证明：由直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0，得m （x ﹣1）﹣y +1＝0，由{x −1=0−y +1=0，得{x =1y =1，∴直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0过定点p （1，1），代入圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5，得12+（1﹣1）2＝1＜5，∴点p （1，1）在圆C ：x 2+（y ﹣1）2＝5内部， ∴对任意的m ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点．（2）解：直线l 的斜率存在，由|AB|=√17，圆的半径为√5，得圆心到直线l ：mx ﹣y +1﹣m ＝0的距离为√5−174=√32． 则√m 2+1=√32，解得：m =±√3．∴直线l 为y =√3x +1−√3或y =−√3x +1−√3．直线l 的倾斜角为60°或120°．18．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 与底面所成的角为45°，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝2，P A ＝BC ＝1． （1）求直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值；（2）求平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值．解：（1）∵P A ⊥面ABCD ，∴P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，又∠BAD ＝90°， ∴AB ⊥AD ，∵为PB 与底面所成的角为45°， ∴∠PBA ＝45°，故AB ＝P A ＝1，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ， 则B （1，0，0），D （0，2，0），P （0，0，1），C （1，1，0）， 则PC →=（1，1，﹣1），PB →=（1，0，﹣1），PD →=（0，2，﹣1）， 设平面PBD 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅PB →=0m →⋅PD →=0，即{x −z =02y −z =0，取z ＝2，则x ＝2，y ＝1，此时m →=（2，1，2）， 设直线PC 与平面PBD 所成的角为θ， 则sin θ＝|cos ＜m →，PC →＞|＝|m →⋅PC→|PC →||m →|||√3×3|√39． 所以直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值为√39． （2）平面P AB 的一个法向量j →=（0，1，0） 设平面PCD 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则{n →⋅PC →=0n →⋅PD →=0，即{x +y −z =02y −z =0， 取y ＝l ，则z ＝2，x ＝l ，此时n →=（1，1，2）， cos ＜n →，j →＞=n →⋅j→|n →||j →|=6×1=√66， 所以平面P AB 与平面PCD 所成的锐二面角的余弦值为√66．19．（12分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣6y +9＝0． （1）过点P （3，5）作圆C 的切线l ，求l 的方程；（2）若圆C 2：x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4＝0与圆C 相交于A 、B 两点，求|AB |．解：（1）圆C 1方程可化为（x ﹣2）2+（y ﹣3）＝4，则圆心C 1（2，3），半径为2， 由 （3﹣2）2+（5﹣3）2＞4，可知点P 在圆外， 设l 的方程为y ﹣5＝k （x ﹣3），即kx ﹣y +5﹣3k ＝0， 则圆心C 1到直线l 的距离为√1+k 2=2，解得k ＝0或k =−43，∴l 的方程为4x +3y ﹣27＝0或y ＝5．（2）把两圆的方程相减可得直线AB 的方程为6x +2y ﹣13＝0， 则圆心C 到直线AB 的距离d =|6×2+2×3−13|√36+4=√104＜2，直线与圆相交，所以|AB |＝2√4−1016=3√62． 20．（12分）已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，上顶点为A （0，1）．（1）求E 的方程；（2）过点P(0，√3)斜率为k 的直线l 与椭圆E 交于不同的两M 、N ，且MN =8√27，求k 的值． 解：（1）由离心率e =c a =√22，则a =√2c ， 又上顶点A （0，1），知b ＝1，又b 2＝a 2﹣c 2＝1，可知c ＝1，a =√2， ∴椭圆E 的方程为x 22+y 2=1；（2）设直线l ：y =kx +√3，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 则{y =kx +√3x 22+y 2=1，整理得：(1+2k 2)x 2+4√3kx +4=0，Δ=(4√3k)2−4×4×(1+2k 2)＞0，即k 2＞1， ∴x 1+x 2=−4√3k 1+2k2，x 1x 2=41+2k2，∴|MN|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√(1+k 2)(k 2−1)1+2k2=8√27， 即17k 4﹣32k 2﹣57＝0，解得：k 2＝3或−1917（舍去）， ∴k =±√3．21．（12分）如图，四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB ＝2A 1B 1＝4，E 、F 分别为DC 、BC 的中点，上下底面中心的连线O 1O 垂直于上下底面，且O 1O 与侧棱所在直线所成的角为45°． （1）求证：BD 1∥平面C 1EF ；（2）线段BF 上是否存在点M ，使得直线A 1M 与平面C 1EF 所成的角的正弦值为3√2222，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：因为OO 1⊥平面ABCD ，以点O 为坐标原点，DA ，OF →，OO 1→的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．因为侧棱所在直线与上下底面中心的连线OO 1所成的角为45°，则B （2，2，0），D 1(−1，−1，√2)，C 1(−1，1，√2)，F （0，2，0），E （﹣2，0，0），A 1(1，−1，√2)，所以BD 1→=(−3，−3，√2)，CE 1→=(−1，−1，√2)，EF →=(2，2，0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅EF →=x +y =0n →⋅C 1E →=x +y +√2z =0，令x ＝1，则n →=（1，﹣1，0）， 因为BD 1→=（﹣3，﹣3，√2），所以n →•BD 1→=0，所以n →⊥BD 1→， 又因为BD 1⊂平面C 1EF ，所以BD 1∥平面 C 1EF ；（2）假设边BC 上存在点M （x ，2，0）满足条件，x ∈[﹣2，2]， 则A 1M →=（x ﹣1，3，−√2），设直线A 1M 与平面C 1EFF 所成角为θ，由题意可得sin θ＝|cos ＜A 1M →，n →＞|=|A 1M →⋅n →||A 1M →|⋅|n →|=|x−4|√2⋅√x 2−2x+12=3√2222， 化简得x 2﹣35x +34＝0，则x ＝1或x ＝34（舍去），即存在点M 符合题意，此时BM ＝1． 22．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(−√2，0)和F 2(√2，0)，Γ的下顶点为A ，直线l ：x +y −4√2=0，点M 在l 上． （1）若a ＝2，线段AM 的中点在x 轴上，求M 的坐标；（2）椭圆Γ上存在一个点P （a cos θ，b sin θ）（θ∈[0，2π]），P 到l 的距离为d ，使|PF 1|+|PF 2|+d ＝6，当a 变化时，求d 的最小值．解：（1）由题意可得a =2，b =c =√2，所以Γ：x 24+y 22=1，A(0，−√2)，因为AM 的中点在x 轴上， 所以点M 的纵坐标为√2， 将y =√2代入x +y −4√2=0中， 解得x ＝3√2， 则M(3√2，√2)； （2）易知d =|acosθ+bsinθ−42|2=6−2a ，因为椭圆在直线的左下方， 所以acosθ+bsinθ−422=6−2a ，即4√2−√a 2+b 2sin(θ+φ)=6√2−2√2a ， 又a 2＝b 2+2，可得√2a 2−2sin(θ+φ)=2√2a −2√2， 此时√a 2−1sin(θ+φ)=2a −2，|sin(θ+φ)|=√a 2−1≤1，整理得（a ﹣1）（3a ﹣5）≤0， 即1≤a ≤53，所以d =6−2a ≥6−2×53=83． 故d 的最小值为83．。
高二数学上学期期中文科试题
高二数学上学期期中文科试题可能对于很多文科生来说数学是很难的，大家不要放弃哦，今天小编就给大家分享一下高二数学，就给阅读哦高二数学上期中文科试题第I卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知是等比数列， ( )A.4B.16C.32D. 642.若a>b>0，下列不等式成立的是( )A.a23. 在中，，则一定是( )A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.在△ABC内角A，B， C的对边分别是a，b，c，已知a= ，c= ，∠A= ，则∠C的大小为( )A. 或B. 或C.D.5.原点和点(1，1)在直线x+y﹣a=0两侧，则a的取值范围是( )A.0≤a≤2B.026.在中，已知 ,则角A等于( )A. B. C. D.7.若数列为等差数列且，则sin 的值为( )A. B. C. D.8.在中，分别是角的对边，且 , ，则的面积等于( )A. B. C. D.109.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何?”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算，则每天增加量为( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺10.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是( )A. 或B.C. 或D.11.等比数列的前n项的和分别为， ,则 ( )A. B. C. D.12.已知单调递增数列{an}满足an=3n﹣λ•2n(其中λ为常数，n∈N+)，则实数λ的取值范围是( )A.λ≤3B.λ<3C.λ≥3D.λ>3第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13.已知关于x的不等式ax2﹣(a+1)x+b<0的解集是{x|114.设且 ,则的最小值为15.若数列的前n项的和为，且，则的通项公式为_________.16.若数列为等差数列，首项,则使前项和的最大自然数n是_________________.三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17、(本题满分10分)(1)设数列满足，写出这个数列的前四项;(2)若数列为等比数列，且求数列的通项公式18.(本题满分12分)已知函数 .(1)当时，解不等式 ;(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.19.(本题满分12分)的内角的对边分别为 ,已知 .(1)求(2)若 , 面积为2,求20.(本题满分12分)在中，角所对的边分别为，设为的面积，满足(I)求角的大小;(II)若边长，求的周长的最大值.21.(本小题满分12分)已知实数满足不等式组 .(1)求目标函数的取值范围;(2)求目标函数的最大值.22.(本小题满分12分)已知等比数列满足 , ,公比(1)求数列的通项公式与前n项和 ;(2)设，求数列的前n项和 ;(3)若对于任意的正整数，都有成立，求实数m的取值范围. 高二数学(文科)参考答案一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分1-12：C C C D B C B C C A B B二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分13. 14.8 15. 16. 4034三、解答题：17.(本小题满分10分)(1) …………5分，(2)由已知得，联立方程组解得得，即…………10分18.(本小题满分12分).……4分(2)若不等式的解集为，则①当m=0时，-12<0恒成立，适合题意; ……6分②当时，应满足由上可知，……12分19. (1)由题设及得，故上式两边平方，整理得解得……………6分(2)由，故又，由余弦定理及得所以b=2……………12分20.解：(1)由题意可知，……………2分12absinC=34•2abcosC，所以tanC=3. 5分因为0所以，所以，当时，最大值为4，所以△ABC的周长的最大值为6其他方法请分步酌情给分21.(本小题满分12分)解：(1)画出可行域如图所示，直线平移到点B时纵截距最大，此时z取最小值;平移到点C时纵截距最小，此时z取最大值.由得由得∴C(3，4);当x=3，y=4时，z最大值2.………………………8分(2) 表示点到原点距离的平方,当点M在C点时，取得最大值，且………………12分22. 解：(1)由题设知，，又因为， ,解得：，故an=3 = ，前n项和Sn= - .……4分(2)bn= = = ，所以 = ，所以== < ，………8分(3)要使恒成立，只需，即解得或m≥1. ………………12分高二文科数学上学期期中试卷一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.命题“若，则”的逆否命题是 ( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则2 .命题“ ”的否定是 ( )A. B. C. D.3.若中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于12，则C的方程是 ( )A. x23+y24=1B. x24+y23=1C. x24+y22=1D. x24+y23=14. 表示的曲线方程为 ( )[A. B.C. D.5.抛物线的准线方程是 ( )A. B. C. D.6.若k∈R则“k>5”是“方程x2k-5-y2k+2=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知是椭圆的两焦点，过点的直线交椭圆于点，若 ,则 ( )A.9B.10C.11D.128.已知双曲线的离心率为3，焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的焦距等于 ( )A. B. C. D.9.双曲线的一个焦点为，椭圆的焦距为4，则A.8B.6C.4D.210.已知双曲线的两个顶点分别为，，点为双曲线上除，外任意一点，且点与点，连线的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.11.如果是抛物线的点，它们的横坐标依次为，是抛物线的焦点，若 ,则 ( )A. B. C. D.12.已知点，是椭圆上的动点，且，则的取值范围是 ( )A. B. C. D.二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分)13.若命题“ ”是假命题，则实数的取值范围是 .14.已知直线和双曲线的左右两支各交于一点，则的取值范围是 .15.已知过抛物线的焦点，且斜率为的直线与抛物线交于两点，则 .16.已知是抛物线上的动点，点是圆上的动点，点是点在轴上的射影，则的最小值是 .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)设命题函数在单调递增;命题方程表示焦点在轴上的椭圆.命题“ ”为真命题，“ ”为假命题，求实数的取值范围.18.(本小题满分12分)(Ⅰ)已知某椭圆过点，求该椭圆的标准方程.(Ⅱ)求与双曲线有共同的渐近线，经过点的双曲线的标准方程.19.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴的正半轴且焦点到准线的距离为2.(Ⅰ)求抛物线的标准方程;(Ⅱ)若直线与抛物线相交于两点，求弦长 .20.(本小题满分12分)已知双曲线的离心率为，虚轴长为 .(Ⅰ)求双曲线的标准方程;(Ⅱ)过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积.21.(本小题满分12分)已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为 .(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)斜率大于零的直线过与椭圆交于E，F两点，若，求直线EF的方程.22.(本小题满分12分)已知分别为椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)E,F是椭圆C上异于点的两个动点，如果直线PE与直线PF的倾斜角互补，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.数学(文科)学科参考答案第Ⅰ 卷 (选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B D D C A A C D C B B A第Ⅱ 卷 (非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分. )(13) ; (14) ; (15) ; (16) .三、解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.)(17)(本小题满分10分)解：命题p：函数在单调递增命题q：方程表示焦点在轴上的椭圆……4分“ ”为真命题,“ ”为假命题，命题一真一假……6 分① 当真假时：② 当假真时：综上所述：的取值范围为……10分(18)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)设椭圆方程为，解得，所以椭圆方程为. ……6分(Ⅱ)设双曲线方程为，代入点，解得即双曲线方程为. ……12分(19)(本小题满分12分)解：(Ⅰ) 抛物线的方程为：……5分(Ⅱ)直线过抛物线的焦点，设，联立，消得，……9分或……12分(20)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)依题意可得，解得双曲线的标准方程为. ……4分(Ⅱ)直线的方程为联立，消得，设，，由韦达定理可得 , ，……7分则……9分原点到直线的距离为……10分的面积为……12分(21)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题意，，，解得，所以椭圆方程是：……4分(Ⅱ)设直线：联立，消得，设，，则 ,……① ……② ……6分，即……③ ……9分由①③得由②得……11分解得或 (舍)直线的方程为：，即……12分(22)(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由题意，，，的周长为，，椭圆的标准方程为. ……4分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，设直线方程：，联立，消得……5分设，点在椭圆上，……7分又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，，……9分……10分即直线的斜率为定值，其值为. ……12分高二数学上期中文科联考试题第Ⅰ卷(共100分)一、选择题(本大题共11个小题，每小题5分，共55分)1.已知sin α=25，则cos 2α=A.725B.-725C.1725D.-17252.已知数列1，3，5，7，…，2n-1，…，则35是它的A.第22项B.第23项C.第24项D.第28项3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c=2a，则cos B=A.18B.14C.12D.14.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cbA.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形5.已知点(a，b) a>0，b>0在函数y=-x+1的图象上，则1a+4b 的最小值是A.6B.7C.8D.96.《九章算术》中“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则从上往下数第6节的容积为A.3733B.6766C.1011D.23337.设Sn为等比数列{an}的前n项和， 27a4+a7=0，则S4S2=A.10B.9C.-8D.-58.已知数列{an}满足an+1+an=(-1)n•n，则数列{an}的前20项的和为A.-100B.100C.-110D.1109.若x，y满足约束条件x≥0，x+y-3≤0，x-2y≥0，则z=x+2y的最大值为A.3B.4C.5D.610.已知0A.13B.12C.23D.3411.已知等差数列{an}的公差d≠0，前n项和为Sn，若对所有的n(n∈N*)，都有Sn≥S10，则A.an≥0B.a9•a10<0C.S2第Ⅰ卷选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)12.在等比数列{an}中，a4•a6=2 018，则a3•a7= ________ .13.在△ABC中，a=3，b=1，∠A=π3，则cos B=________.14.对于实数a、b、c，有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b;③若a ab>b2;④若c>a>b>0，则ac-a>bc-b;⑤若a>b，1a>1b，则a>0，b<0.其中正确的是________.(填写序号)三、解答题(本大题共3小题，共30分)15.(本小题满分8分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求角C;(2)若c=7，△ABC的面积为332，求△ABC的周长.16.(本小题满分10分)某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3 000元、2 000元. 甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在A、B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1 h，2 h，加工一件乙产品所需工时分别为2 h，1 h，A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400 h 和500 h，分别用x，y表示计划每月生产甲、乙产品的件数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域;(2)问每月分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使月收入最大?并求出最大收入.17.(本小题满分12分)已知公差不为零的等差数列{an}满足：a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{bn}满足bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Sn.第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18.(本小题满分6分)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点.若FP→=4FQ→，则|QF|等于( )A.72B.52C.3D.2二、填空题19.(本小题满分6分)如图，F1，F2是椭圆C1：x24+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是__________.三、解答题20.(本小题满分12分)在等腰梯形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，CD=2，AB=4，AD=BC=2.沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB=60°，如图.(1)若G为FB的中点，求证：AG⊥平面BCEF;(2)求二面角C-AB-F的正切值.21.(本小题满分13分)已知二次函数f(x)=x2-16x+q+3.(1)若函数f(x)在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围;(2)是否存在常数t(t≥0)，当x∈[t，10]时，f(x)的值域为区间D，且区间D的长度为12-t(视区间[a，b]的长度为b-a).22.(本小题满分13分)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，3)，且它的离心率e=12.(1)求椭圆的标准方程;(2)与圆(x-1)2+y2=1相切的直线l：y=kx+t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足OM→+ON→=λOC→，求实数λ的取值范围.参考答案第Ⅰ卷(共100分)一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11答案 C B B A D A A A B B D1.C 【解析】cos 2α=1-2sin2α=1-2×252=1725.故选C.2.B 【解析】由数列前几项可知an=2n-1，令an=2n-1=35得n=23.故选B.3.B4.A 【解析】由正弦定理可得sin C5.D 【解析】a+b=1，∴1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba+4ab≥9，当且仅当b=2a=23时取等号.故选D.6.A 【解析】根据题意，设该竹子自上而下各节的容积为等差数列{an}，设其公差为d，且d>0，由题意可得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4，则4a1+6d=3，3a1+21d=4，解可得a1=1322，d=766，则第6节的容积a6=a1+5d=7466=3733.故答案为A.7.A 【解析】由27a4+a7=0，得q=-3，故S4S2=1-q41-q2=1+q2=10.故选A.8.A 【解析】由an+1+an=(-1)n•n，得a2+a1=-1，a3+a4=-3，a5+a6=-5，…，a19+a20=-19.∴an的前20项的和为a1+a2+…+a19+a20=-1-3-…-19=-1+192×10=-100，故选A.9.B 【解析】由x，y满足约束条件x≥0，x+y-3≤0，x-2y≥0.作出可行域如图，由z=x+2y，得y=-12x+z2.要使z最大，则直线y=-12x+z2的截距最大，由图可知，当直线y=-12x+z2过点A时截距最大.联立x=2y，x+y=3解得A(2，1)，∴z=x+2y的最大值为2+2×1=4.故答案为B.10.B 【解析】∵0∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3•x+1-x22=34，当且仅当x=12时取等号.∴x(3-3x)取最大值34时x的值为12.故选B.11.D 【解析】由?n∈N*，都有Sn≥S10,∴a10≤0，a11≥0，∴a1+a19=2a10≤0，∴S19=19(a1+a19)2≤0，故选D.二、填空题12.2 01813.32 【解析】∵a=3，b=1，∠A=π3，∴由正弦定理可得：sin B=bsin Aa=1×323=12，∵b14.②③④⑤【解析】当c=0时，若a>b，则ac=bc，故①为假命题;若ac2>bc2，则c≠0，c2>0，故a>b，故②为真命题;若a ab且ab>b2，即a2>ab>b2，故③为真命题;若c>a>b>0，则cabc-b，故④为真命题;若a>b，1a>1b，即bab>aab，故a•b<0，则a>0，b<0，故⑤为真命题.故答案为②③④⑤.三、解答题15.【解析】(1)∵在△ABC中，0已知等式利用正弦定理化简得：2cos C(sin AcosB+sin Bcos A)=sin C，整理得：2cos Csin(A+B)=sin C，即2cos Csin(π-(A+B))=sin C，2cos Csin C=sin C，∴cos C=12，∴C=π3.4分(2)由余弦定理得7=a2+b2-2ab•12，∴(a+b)2-3ab=7，∵S=12absin C=34ab=332，∴ab=6，∴(a+b)2-18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+7.8分16.【解析】(1)设甲、乙两种产品月产量分别为x，y件，约束条件是2x+y≤500，x+2y≤400，x≥0，y≥0，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分.5分(2)设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y，由z=3x+2y可得y=-32x+12z，截距最大时z最大.结合图象可知，直线z=3x+2y经过A处取得最大值由2x+y=500，x+2y=400可得A(200，100)，此时z=800.故安排生产甲、乙两种产品的月产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元.10分17.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a8=20，且a5是a2与a14的等比中项，∴2a1+9d=20，(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，解得a1=1，d=2，∴an=1+2(n-1)=2n-1.6分(2)bn=1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1，∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=121-13+13-15+…+12n-1-12n+1=121-12n+1=n2n+1.12分第Ⅱ卷(共50分)一、选择题18.C 【解析】∵FP→=4FQ→，∴|FP→|=4|FQ→|，∴|PQ||PF|=34.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，∴|QQ′||AF|=|PQ||PF|=34，∴|QQ′|=3，根据抛物线定义可知|QF|=|QQ′|=3，故选C.二、填空题19.62 【解析】|F1F2|=23.设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1.∵|AF2|+|AF1|=4，|AF2|-|AF1|=2a，∴|AF2|=2+a，|AF1|=2-a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2=90°，∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2，即(2-a)2+(2+a)2=(23)2，∴a=2，∴e=ca=32=62.三、解答题20.【解析】(1)因为AF=BF，∠AFB=60°，△AFB为等边三角形.又G为FB的中点，所以AG⊥FB.2分在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB的中点，所以EF⊥AB.于是EF⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，所以AG⊥EF.又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF.5分(2)连接CG，因为在等腰梯形ABCD中，CD=2，AB=4，E、F分别是CD、AB中点，G为FB的中点，所以EC=FG=BG=1，从而CG∥EF.因为EF⊥平面ABF，所以CG⊥平面ABF.过点G作GH⊥AB于H，连结CH，据三垂线定理有CH⊥AB，所以∠CHG为二面角C-AB-F的平面角.8分因为Rt△BHG中，BG=1，∠GBH=60°，所以GH=32.在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG=1，BC=2，所以CG=1.在Rt△CGH中，tan∠CHG=233，故二面角C-AB-F的正切值为233.12分21.【解析】(1)∵函数f(x)=x2-16x+q+3的对称轴是x=8，∴f(x)在区间[-1，1]上是减函数.∵函数在区间[-1，1]上存在零点，则必有f(1)≤0，f(-1)≥0，即1-16+q+3≤0，1+16+q+3≥0，∴-20≤q≤12.6分(2)∵0≤t<10，f(x)在区间[0，8]上是减函数，在区间[8，10]上是增函数，且对称轴是x=8.①当0≤t≤6时，在区间[t，10]上，f(t)最大，f(8)最小，∴f(t)-f(8)=12-t，即t2-15t+52=0，解得t=15±172，∴t=15-172;9分②当6∴f(10)-f(8)=12-t，解得t=8;11分③当8∴f(10)-f(t)=12-t，即t2-17t+72=0，解得t=8，9，∴t=9.综上可知，存在常数t=15-172，8，9满足条件.13分22.【解析】(1)设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由已知得：4a2+3b2=1，ca=12，c2=a2-b2，解得a2=8，b2=6，所以椭圆的标准方程为x28+y26=1.4分(2)因为直线l：y=kx+t与圆(x-1)2+y2=1相切，所以|t+k|1+k2=1?2k=1-t2t(t≠0)，6分把y=kx+t代入x28+y26=1并整理得：(3+4k2)x2+8ktx+4t2-24=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1+x2=-8kt3+4k2，y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=6t3+4k2， 8分因为λOC→=(x1+x2，y1+y2)，所以C-8kt(3+4k2)λ，6t(3+4k2)λ，又因为点C在椭圆上，所以，8k2t2(3+4k2)2λ2+6t2(3+4k2)2λ2=1?λ2=2t23+4k2=21t22+ 1t2+1，11分因为t2>0，所以1t22+1t2+1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(-2，0)∪(0，2).13分。
2021-2022学年四川省遂宁中学高二年级上册学期期中考试数学(文)试题
2021～2022学年度上期半期高二文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名和准考证号填写在试卷和答题卡上。
2．选择题用2B 铅笔在对应的题号涂黑答案。
主观题用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上对应的答题区域内。
3．考生必须保持答题卡的整洁。
结束后，请将答题卡上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．直线的倾斜角为（ ）10x y +-=A ． B ． C ．D ．30°60︒120︒135︒2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）A ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nB ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α3．直线与直线平行，则的值为（ ）10ax y ++=420x ay +-=a A ． B ．2 C ．D ．02-2±4．无论取任何实数，直线恒过一定点，则该定点坐标为m :120l mx y m +-+=（ ）A. B. C. D.()-21，()2,1--()2,1()2,1-5．如果a c ＜0且bc ＜0，那么直线ax ＋b y ＋c ＝0不通过（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限6．已知实数x ，y 满足，则z =2x -y 的最小值是（ ）210,10,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪<⎩A ．5B ．C ．0D ．-1527.与直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋4y －5＝0B ．3x ＋4y ＋5＝0C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝08.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等边三角形，△PAC 为等腰直角三角形，PA ＝PC ＝4，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为（ ）A ．B 14C ．．129．已知直线ax ＋y+1＝0, x ＋ay+1＝0 和 x ＋y+a ＝0 能构成三角形，则a 的取值范围是 （ ）A ．a ≠ - 2B ．a ≠1± C ．a ≠ - 2且a ≠ D ．a ≠ - 2且a ≠ 11±10．已知平面上一点若直线l 上存在点P 使则称该直线为点(5,0)M ||4PM =的“相关直线”，下列直线中不是点的“相关直线”的是（ (5,0)M (5,0)M ）A ．B ．C ．D ．3y x =-2y =210x y -+=430x y -=11. 过定点的直线与过定点的直线交于点，则M 20ax y +-=N 420x ay a -+-=P 2的最大值为（ ）·PM PN A ．1B ．3C ．4 D. 212．如图，正方体的棱长为1，P ，Q 分别是线段和上的1111ABCD A B C D -1AD 1B C 动点，且满足，则下列命题错误的是（ ）1AP B Q =A ．的面积为定值BPQ B ．当时，直线与是异面直线0PA >1PB AQ C ．存在P ，Q 的某一位置，使//AB PQ D ．无论P ，Q 运动到任何位置，均有BC PQ⊥第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．直线5x +12y+3=0与直线10x +24y+5=0的距离是________________;14．若A (a ，0)，B (0，b )，C (，)三点共线，则________;2-2-11a b +=15. 如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面ABC 1D 1的距离为___ _____;(15题图） （16题图）16．在棱长为1的正方体中，点是对角线上的动点1111ABCD A B C D -M 1AC （点与不重合），则下列结论正确的是_______.M 1A C 、①； ②存在点，使得平面；1A DM ∆M DM //11B CD ③存在点，使得平面平面；M 1A DM ⊥1BC D ④若分别是在平面与平面的正投影的面积，则存12,S S 1A DM ∆1111A B C D 11BB C C 在点，使得.M 12S S =三．解答题：(本大题共6小题，满分70分。
吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学(文)试题(含答案解析)
吉林省四平市第一高级中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．椭圆2214x y +=的焦点坐标是（）A ．()B ．()C ．(0,D ．(0,2．抛物线2y ax =的准线方程为1y =，则a 的值为（）A ．12-B ．2-C ．14-D ．4-3．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x=±4．若直线1x ya b-=过第一､二､三象限，则实数,a b 满足（）A ．0,0a b >>B ．0,0a b <>C ．0,0a b <<D ．0,0a b ><5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中正视图中的曲线为14圆弧，则该几何体的体积为（）A ．π42-B ．π82-C ．4π-D ．8π-6．若P 为椭圆22195x y +=上的任意一点，F 是椭圆的一个焦点，则PF 的最大值是（）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知正方形ABCD PA ⊥平面,2ABCD PA =，则PC 与平面ABCD 所成角是（）A ．30B ．45C ．60D ．908．双曲线221259x y -=的两个焦点分别是12,F F ，双曲线上一点P 到1F 的距离是12，则P到2F 的距离是（）A ．17B ．7C ．7或17D ．2或229．已知α、β是两个平面，直线l α⊄，l β⊄，若以①l α⊥；②//l β；③αβ⊥中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（）A ．①③⇒②；①②⇒③B ．①③⇒②；②③⇒①C ．①②⇒③；②③⇒①D ．①③⇒②；①②⇒③；②③⇒①10．设12,F F 是椭圆2212516x y +=的两个焦点，点M 在椭圆上，若12MF F △是直角三角形，则12MF F △的面积等于（）A ．485B ．365C ．16D ．485或1611．一束光线从点()2,3射出，经x 轴反射后与圆()()22321x y ++-=相切，则入射光线所在直线的斜率为（）A ．65或56B ．54或45C ．43或34D ．32或2312．设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x ya b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（）A ．43B ．53C ．94D ．3二、填空题13．经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为______．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，过11,,A C B 三点的平面与底面ABCD 的交线为l ，则直线l 与11A C 的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）15．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为__________．16．如图，半径为R 的球的两个内接圆锥有公共的底面，若两个圆锥的体积之和为球的体积的18，则这两个圆锥高之差的绝对值为______.三、解答题17．如图，已知圆锥的顶点为P ，O 是底面圆心，AB 是底面圆的直径，5PB =，3OB =．（1）求圆锥的表面积；（2）经过圆锥的高PO 的中点O '作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．18．已知直线:4320l ax y a --+=.（1）求证：无论实数a 为何值，直线l 总经过第一象限；（2）若直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围.19．已知直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，12l l ⊥且垂足为A ．（1）求点A 的坐标；（2）若圆C 与直线2l 相切于点A ，且圆心C 的横坐标为2，求圆C 的标准方程．20．如图，在多面体ABCDGE 中，已知四边形ABCD 为矩形，ABEG 为平行四边形，⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F CD 的中点为P ，且24AB AE AD ===.(1)求证：EF ⊥平面BCE ；(2)求三棱锥P ACF -的体积.21．已知曲线M 由抛物线2x y =-及抛物线24x y =组成，直线l ：3y kx =-（0k >）与曲线M 有m （N m ∈）个公共点.(1)若3m ≥，求k 的最小值；(2)若3m =，记这3个交点为A ，B ，C ，其中A 在第一象限，()0,1F ，证明：2FB FC FA⋅=22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，三点()()1230,2,,0,1A A A -中恰有两点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于,M N 两点，且线段MN 的中点P 的横坐标为-，过P 作直线l l '⊥，证明：直线l '恒过定点，并求出该定点的坐标.参考答案：1．A【分析】根据椭圆方程写出焦点坐标即可.【详解】由题设方程，椭圆焦点在x 轴上且c ==∴焦点坐标为().故选：A.2．C【分析】先求得抛物线的标准方程，可得其准线方程，根据题意，列出方程，即可得答案.【详解】由题意得抛物线的标准方程为21x y a =，准线方程为14y a=-，又准线方程是1y =，所以114a-=，所以14a =-.故选：C 3．C【详解】c e a ==2214b a =，即12b a =，故渐近线方程为12b y x x a =±=±.【考点】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.4．C【分析】将直线1x ya b-=过第一､二､三象限，转化为直线在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，可得答案.【详解】将直线1x y a b -=化为+1x y a b=-，又直线过第一､二､三象限，所以它在x 轴上的截距为负，在y 轴上的截距为正，所以a<0，0b ->．所以0,0a b <<.故选：C.5．B【分析】根据三视图判断出几何体的结构，由此求得几何体的体积.【详解】根据三视图可知，该几何体是正方体截去四分之一的圆柱所得，所以体积为()21π222π12842⨯⨯-⨯⨯⨯=-.故选：B6．D【分析】先求得,a c ，由此求得PF 的最大值.【详解】22195x y += ，29a ∴=，2254b c =⇒=，即3,2a c ==.所以PF 的最大值为325a c +=+=.故选：D 7．B【分析】根据线面角的知识求得正确答案.【详解】由于PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥，故PCA ∠是PC 与平面ABCD 所成角，由于正方形ABCD ，所以2AC PA ==，所以45PCA ∠=︒.故选：B8．D【分析】讨论P 点位置，结合1PF 求2PF .【详解】当P 在双曲线左支上时，根据双曲线的定义得2121210PF PF PF -=-=，解得222PF =，当P 在双曲线右支上时，根据双曲线的定义得1221210PF PF PF -=-=，解得22PF =，因为225PF c a =≥-=，所以22PF =满足题意.所以22PF =或22，故选:D.9．A【解析】对三个命题逐个分析，可采用判定定理、定义、作图的方法进行说明，由此可确定出正确选项.【详解】（1）证明：①②⇒③为真命题因为l α⊥，//l β，设l 平行于β内一条直线l '，所以l α'⊥，根据面面垂直的判定定理可知：αβ⊥，所以①②⇒③为真命题；（2）证明：①③⇒②为真命题因为l α⊥，αβ⊥，所以l ⊂α或l //β，又因为l β⊄，所以l //β，所以①③⇒②为真命题；（3）证明：②③⇒①为假命题作出正方体如下图所示：记直线AD 为l ，平面1111D C B A 为α，平面11BB C C 为β，所以αβ⊥，//l β，但//l α，所以②③⇒①为假命题；故选：A.【点睛】本题考查空间中关于线、面的命题的真假判断，主要考查学生对空间中位置关系的理解，难度一般.说明位置关系不成立也可以举反例.10．D【分析】对12MF F △的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.【详解】依题意，5,4,3a b c ===，不妨设()()13,0,3,0F F -，对于直角三角形12MF F ，若12π2F MF ∠=，由1222212210436PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，整理得1232PF PF ⋅=,所以12121162MF F S PF PF =⨯⨯= .若12MF F ∠或21MF F ∠为直角，由()22312516M y ±+=得225616,255M M y y ==，所以121211164862255MF F M S F F y =⨯⨯=⨯⨯= .所以，12MF F △的面积等于485或16.故选：D 11．C【解析】设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，根据对称性可知，直线与圆()()22321x y ++-=关于x 轴的对称圆相切，即可求出斜率k .【详解】由题意可知，点()2,3在入射光线上，设入射光线所在的直线方程为()32y k x -=-，即2kx y k --30+=.圆()()22321x y ++-=关于x 轴对称的圆为()()22321x y +++=，则入射光线与该圆相切.1=，化为21225120k k -+=，解得34k =或43.故选：C【点睛】本题主要考查了直线与圆的相切，圆的对称性，考查了运算能力，属于中档题.12．B【解析】利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得ba，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.【详解】由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PFPF PFPF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b ba a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13b a =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ===.故选：B.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键就是利用双曲线的定义建立a 、b 所满足的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.13．20x y -=．【解析】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，然后将()2,1P 求解.【详解】设经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y c -+=，把()2,1P 代入，得：2210c -⨯+=，解得0c =，∴经过点()2,1P 且与直线240x y -+=平行的直线方程为20x y -=．故答案为：20x y -=．【点睛】本题主要考查平行直线的求法，属于基础题.14．平行【分析】根据线面平行的性质定理和判定定理确定正确答案.【详解】根据正方体的性质可知：11//A C AC ，由于11A C ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以11//A C 平面ABCD ，由于平面11AC B ⋂平面ABCD l =，11AC ⊂平面11A C B ，所以11//l AC .故答案为：平行15．6【分析】利用抛物线的定义可知，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，所以|AF |＋|BF |≥|AB |⇒|AB |≤6，当AB 过焦点F 时取最大值为6．16【分析】根据体积的公式求出两个圆锥体积之和，进而求出圆锥的底面圆的半径，求出两圆锥的高，求出答案.【详解】球的体积为3344ππ33R R ⨯=，则两个圆锥的体积之和为3314π=π8316R R ⨯，设两个圆锥的高分别为12,h h ，则122h h R +=，设圆锥底面圆半径为r ，则()2231212π1ππ336r h h r R R ⋅+==⋅，解得：2R r =，即2PD R =，所以222232AP R R R R ⎛⎫=--= ⎪⎝-⎭，222232BP R R R R ⎛⎫=+-= ⎪⎝+⎭所以这两个圆锥的高之差的绝对值为2232233R --=3R17．（1）24π；（2）21π2．【分析】（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =，从而可求出锥的表面积，（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积【详解】解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径3r =，母线5l =．∴该圆锥的表面积22πππ3π3524πS r rl =+=⨯+⨯⨯=．（2）在Rt POB △中，2222534PO PB OB =-=-=，∵O '是PO 的中点，∴2PO '=．∴小圆锥的高2h '=，小圆锥的底面半径1322r r '==，∴截得的圆台的体积2211321π34π2π3322V V V ⎛⎫=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭小台大．18．（1）证明见解析；（2）2a ≥.【分析】（1）将含有a 的项整理在一起，令a 的系数为0，余下的项为零，进而解得定点坐标，得到答案；（2）将直线化为斜截式，进而限制斜率和纵截距的范围得到答案.【详解】（1）直线:4320l ax y a --+=化为(41)230a x y -+-=，令410,230,x y -=⎧⎨-=⎩1,42,3x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩即直线:4320l ax y a --+=恒过定点12,43⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴直线l 总经过第一象限.（2）直线:4320l ax y a --+=化为4233ax a y -=+，当0a =时，得23y =，直线经过第二象限；要使l 不经过第二象限，须有403203a a ⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得2a ≥.19．（1）()1,3-；（2）()()22255x y -++=．【解析】（1）根据题意，由直线垂直的判断方法可得220a +=，解可得a 的值，即可得直线2l 的方程，联立两个直线的方程，解可得A 的坐标，即可得答案．（2）根据题意，分析可得圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为(2,)b ，将其代入直线1l 的方程，计算可得b 的值，即可得圆心的坐标，求出圆的半径，即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，直线1:210l x y ++=，2:280l ax y a +++=，若12l l ⊥，则有220a +=，解可得1a =-，则直线2l 的方程为270x y -++=，即270x y --=；联立两直线的方程：210270x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解可得13x y =⎧⎨=-⎩，即A 的坐标为()1,3-；（2）根据题意，若圆C 与直线2l 相切于点A 且12l l ⊥且垂足为A ，则圆心C 在直线1l 上，设C 的坐标为()2,b ，则有2210b ⨯++=，解可得=5b -，则圆心C 的坐标为()2,5-，圆的半径r CA ===则圆C 的标准方程为()()22255x y -++=．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程以及直线垂直的判断，属于基础题．20．(1)证明见解析(2)43【分析】（1）通过证明EF BC ⊥、EF BE ⊥来证得EF ⊥平面BCE ；（2）根据锥体体积计算方法，求得三棱锥P ACF -的体积.【详解】（1）因为⊥AE 平面,ABCD AE ⊂平面ABED ，所以平面ABCD ⊥平面ABEG .因为四边形ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥.又BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ⋂平面ABEG AB =，所以BC ⊥平面ABEG .因为EF ⊂平面ABEG ，所以EF BC ⊥.因为四边形ABEG 为平行四边形，AB AE =，所以AE GE =.又F 为AG 中点，所以EF AG ⊥.易知//BE AG ，所以EF BE ⊥.又,,BC BE B BC BE ⋂=⊂平面BCE ，所以EF ⊥平面BCE .（2）因为⊥AE 平面,ABCD AG 的中点为,F ABEG 为平行四边形，GE AE ⊥，所以三棱锥F ACP -的高为122AE =.又PAC △的面积12222PAC S =⨯⨯= ，所以三棱锥P ACF -的体积142233P ACF F PAC V V --==⨯⨯=.21．(2)证明见解析【分析】（1）联立2x y =-与3y kx =-，21=120k ∆+>，故l 与抛物线2x y =-恒有两个交点.所以24x y =与3y kx =-，至少有一个交点，故令22=16480k ∆-≥，可求得k 的最小值；（2）由（1）知，k =A x =3A y =，142A FA y =+= ，即可证明22FB FC FA FA ⋅== .【详解】（1）联立2x y =-与3y kx =-，得230x kx +-=，∵21=120k ∆+>，∴l 与抛物线2x y =-恒有两个交点；联立24x y =与3y kx =-，得24120x kx -+=，∵直线l 与曲线M 有m 个公共点，且3m ≥，∴l 与抛物线24x y =至少有1个交点，∴22=16480k ∆-≥，∵0k >，∴k ≥∴k（2）由（1）知，k =且24120A A x kx -+=，∴24A x k =，∴2A x k ==，∴(24A y =，∴3A y =，故()A ，易知()0,1F 为抛物线24x y =的焦点，则23142A FA y =+=+= ，设()11,B x y ，()22,C x y ，由230x kx +-=可得12x x k +=-=123x x =-，∴()121269y y k x x +=+-=-，()()()21212121233399y y kx kx k x x k x x =--=-++=，∴()()()121212*********FB FC x x y y x x y y y y ⋅=+--=+-++= ，∵2216FA FA == ，∴2FB FC FA⋅= 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.22．(1)221124x y +=(2)证明见解析，3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【分析】(1)分别讨论即可确定12,A A 在C 上，即可求解；(2)利用点差法表示出l 的斜率，再表示出l '的直线方程，即可求出定点.【详解】（1）显然13,A A 不能同时在C 上，若23,A A 在C 上，则2223331,31b a b a =+=+≠.故12,A A 在C 上，则22332,1b a b=+=，所以212a =.所以椭圆C 的方程为221124x y +=.（2）设()00,P y y ⎛-∈ ⎝⎭.当00y ≠时，设()()1122,,,M x y N x y ，显然12x x ≠.联立2211222211241124x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，则222212120124x x y y --+=，即1212121213y y x x x x y y -+=-⋅-+.又P 为线段MN 的中点，故直线MN的斜率为0013-.又l l '⊥，所以直线l '的方程为0y y x -=+，即3y x ⎛=+⎭，显然l '恒过定点⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.当00y =时，l '过点,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.综上所述，l '恒过定点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.。
高二上学期数学期中试题(含答案)
高二（上）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题4分，共12小题，共48分）1.已知数列{n a }的通项公式是n a ＝252+n n (n ∈*N )，则数列的第5项为( ） A.110 B.16 C.15 D.12 2.在△ABC 中，a b c 、、分别是三内角A B C 、、的对边, ︒=︒=45,75C A ,2b =,则此三角形的最小边长为（ ）A ．46B ．322C ．362D ． 42 3(理)．在等差数列{n a }中，已知,21=a ,1332=+a a 则654a a a ++等于（ ）A.40B.42C.43D.453（文）．已知等差数列a n 中，a 2+a 4=6，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=（ ） A ． 30 B ． 15 C ． D ．4. 下列说法中正确的是( )A ．若ac ＞bc ，则a ＞bB ．若a 2＞b 2，则a ＞bC ．若1a ＞1b ，则a ＜bD ．若a ＜b ，则a ＜b5. 在ABC ∆中，A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知bc c b a ++=222，则A 等于（ ）A. 120B. 60C. 45D. 306.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5418a a -=，则8S 等于（ ）A ．36B ．54C ．72D ．187（理）. 不等式0442>-+-x x 的解集是（ ）A.RB.ΦC.),0(+∞D.)0,(-∞7（文）.不等式x （2﹣x ）≤0的解集为（ ）A ． {x|0≤x≤2}B ． {x|x≤0，或x≥2}C ． {x|x≤2}D ．{x|x≥0} 8. 在等比数列{n a }中，若2101-=⋅a a ，则74a a ⋅的值为（ ）A.-4B.-2C.4D.29. 已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为（ ）A ．15B ．17C ．19D ．2110.在一座20m 高的观测台测得对面一水塔塔顶得仰角为 60，塔底的俯角为 45，那么这座水塔的高度是（ ）mA.)331(20+ B.)26(20+ C.)26(10+ D. )31(20+ 11（理）. 下列函数中最小值为4的是 （ ）A. x x y 4+= B.x x y sin 4sin += （0﹤x ﹤π） C. x x y -⋅+=343 D.10log 4lg x x y += 11（文）．设x ＞1，则x+的最小值是（ ） A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 712．设x ，y ∈R 且，则z=x+2y 的最小值等于（ ）A ． 2B ． 3C ． 5D ．9第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（每小题4分，共4小题，共16分）13（理）.在等差数列{}n a 中，11=a ，2=d ，9=n S ，则项数n=13（文）．在等差数列{a n }中，a 3=7，a 5=a 2+6，则a 6=14．在等比数列{a n }中，若a 3=2，a 6=2，则公比q= ．15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B＋cos B ＝2，则角A 的大小为________16．若角α、β满足，则α﹣β的取值范围是三、解答题（共5小题，共56分）17. （理、10分）在ABC ∆中，A B 、为锐角，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且21a b -=-,510sin ,sin 510A B == （1）求b a ,的值；（2）求角C 和边c 的值。
陕西省西北大学附中高二上期中考试数学(文)试题
2016～2017学年度第一学期高二数学期中试卷 （文科）命题人:郭红丽 审题人：柳席宁注意：本试卷共三页，四道大题，满分120分，时间100分钟一、选择题:(本大题共10小题，每小题3分)1.双曲线221169x y -=的焦点坐标是 （ ）A ．（-5,0）,（5,0）B ．（0,-5），（0,-5）C ．（,0,0）D ．（0,），（） 2 .命题 “1)1(,0>+>∀xe x x 总有”的否定是 ( ) A ．1)1(,0≤+>∀x e x x 总有 B ．1)1(,0≤+≤∀xe x x 总有 C ．1)1(,0000≤+≤∃x ex x 使得 D ．1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得3．抛物线22x y =的准线方程是 ( ) A ．1x=- B ．12x =- C.14y =- D ．18y =-4．若p 、q 是两个简单命题，且“p 或q ”的否定是真命题，则必有 ( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真 D ． p 假q 假 5．方程0152=+-x x的两根是两圆锥曲线的离心率，它们是 ( )A ．椭圆、双曲线B ．椭圆、抛物线C ．双曲线、抛物线D ．无法确定 6.对于常数m,n,“mn>0”是“方程122=+ny mx的曲线是椭圆”的 （ ）A. 充要条件B.充分不必要条件C. 必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 7.原命题为“若a>b ，则22bc ac >”关于其逆命题,否命题,逆否命题 真假性的判断依次如下,正确的是 （ ） A.真,真,真 B.真,真,假C.假,假,真D.假,假,假8. 已知21,F F 是椭圆148:22=+y x C 的两个焦点,在C 上满足021=⋅→→PF PF 的点P 的个数为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．无数个9.已知抛物线x 2=4y 的焦点F 和点A(-1,8),P 是抛物线上一点,则︱PA ︱+︱PF ︱的最小值是（ ）A.16B.12C.9D.610．双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分为 21,F F ，过1F 作倾斜角为 30的直线交双曲线右支于M 点，若轴x MF ⊥2，则双曲线的离心率为 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6 二、填空题: (本大题共5小题，每小题4分)11.命题“若0=ab ，则00==b a 或”的否命题是__________．12.若双曲线)0(14222>=-b b y x 的渐近线方程x y 21±=,则b=_______.13.已知命题"0212,"2≤++∈∃a ax x R x 是假命题,则实数a 的取值范围是________. 14.已知21,F F 是椭圆192522=+y x 的两个焦点,P 为椭圆上一点,且02160=∠PF F 则21F PF ∆的面积为______.15.下面是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽_____米.三、解答题:(本大题共5小题，满分50分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)16. （8分） 已知243:>-x p ,021:2>--x x q 求q p ⌝⌝是的什么条件？17．（10分）已知双曲线与椭圆192522=+y x 有共同的焦点,它们离心率之和为514,求双曲线的方程.18．（10分）已知10≠>a a 且,命题p: 内单调递减”在“函数),0(log +∞=x y a 命题q: 轴有两个不同的交点与“曲线x x a x y 1)32(2+-+= 若命题p 且q 是假命题，p 或q 为真命题,求a 的取值范围.19．（10分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5， (1)求抛物线的方程．(2)过点P(-4,1)作直线交抛物线与A,B 两点,使弦AB 恰好被P 点平分，求直线的方程 20. （12分）已知椭圆C 的焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为23(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线过点(0,1),交椭圆C 于A,B 两点,且OBOA ⊥,求直线的方程.四、附加题（共20分）1．（5分）已知命题p:01,2>++∈∀x x R x ;命题q: 231,x x R x -=∈∃,下列命题中为真命题的是 （ ）A. q p ∧B. q p ∧⌝C. q p ⌝∧D. q p ⌝∧⌝2. （5分）过双曲线1222=-y x 的右焦点作直线交双曲线于A,B 两点,若4=AB ， 则这样的直线存在（ ）条A.1条B.2条C.3条D.4条3. （10分）如图，圆C ：（x+1）2+y 2=16内有一点A （1，0），Q 为圆C 上的一个动点，AQ 的垂直平分线与C,Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．2016～2017学年度第一学期高二数学期中试卷答案 (文科）一、选择题 ACDDA CBBCB 二、填空题11.若0≠ab ，则00≠≠b a 且” 12.1 13.（0,4） 14.33 15. 62 三、解答题 16.所以是充分不必要条件和是q p ⌝⌝ 17.54离心率为),0，4椭圆的焦点为（± 2离心率为),0，4双曲线的焦点为（±1124双曲线的方程为22=-y x18.⎪⎩⎪⎨⎧><>25或211真，则假若a a a Q P 所以),25(+∞∈a所以),25()1,21[的取值范围是+∞ a19．（1）154即)4(41的方程为直线441即42两式相减得88),(),,(设)2(21212122112211=+++-=-∴-=∴-=⋅-=+⋅--⎩⎨⎧-=-=∴y x x y l k k y y x x y y x y x y y x B y x A i l20（1）3,223,1==∴==c a e b 椭圆C 的方程是1422=+x y(2)设),(),(2211y x B y x A 由题意得直线得斜率必存在，设为K,且直线必与椭圆有两个交点 所以直线的方程为y=kx+121⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+∴=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=4342032)4(得141联立2212212222k x x k k x x kx x k x y kx y21解得01)()1(0212122121±==++++∴=+∴⊥k x x k x x k y y x x OBOA 022或022直线的方程为=-+=+-∴y x y x三、附加题 1.A 2.C3. 因为M 为AQ 的垂直平分线上的点 所以MAMQ =因为Q 为圆C ：（x+1）2+y 2=16上的一个动点 所以4=+=MC MQ QC3,1,2其中为焦点的椭圆,的轨迹是以点4=∴==∴>=+∴b c a C A M ACMC MA所以点M 的轨迹方程为13422=+y x ．。
高二上学期期中考试数学试题(带答案)
高二上学期期中考试数学试题(带答案)高二上学期期中考试数学试题（带答案）注：题号后（A）表示1-7班必做，（B）表示8班必做。
）完卷时间：120分钟，总分：150分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设$a,b,c\in R$，且$a>b$，则（）A．$ac>bc$B．$\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$C．$a^2>b^2$D．$a^3>b^3$2.已知数列$\{a_n\}$是公差为2的等差数列，且$a_1,a_2,a_5$成等比数列，则$a_2=$（）A．$-2$B．$-3$C．$2$D．$3$3.已知集合$A=\{x\in R|x^2-4x-12<0\},B=\{x\in R|x<2\}$，则$A\cap B=$（）A．$\{x|x<6\}$B．$\{x|-2<x<2\}$C．$\{x|x>-2\}$D．$\{x|2\leq x<6\}$4.若变量$x,y$满足约束条件$\begin{cases}x+y\leq 4\\x\geq 1\end{cases}$，则$z=2x+y$的最大值和最小值分别为（）A．4和3B．4和2C．3和2D．2和55.已知等比数列$\{a_n\}$的前三项依次为$a-1,a+1,a+4$，则$a_n=$A．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-1}$B．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-1}$C．$4\cdot (\frac{3}{2})^{n-2}$D．$4\cdot (\frac{2}{3})^{n-2}$6.在$\triangle ABC$中，边$a,b,c$的对角分别为$A,B,C$，且$\sin^2 A+\sin^2 C-\sin A\sin C=\sin^2 B$。
陕西省西安市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析
2023-2024~1高二年级期中数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知1sin 3α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α的值为（）A.4-B.4C.-D.【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数的基本关系求出cos α，tan α；【详解】解：因为1sin 3α=，22sin cos 1αα+=，所以22cos 3α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3α=-，所以1sin 3tan cos 43ααα===-故选：A2.已知0,0a b >>且22ab a b =+，则8a b +的最小值为（）A. B.10C.9D.272【答案】C 【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由22ab a b =+可得，1112a b+=，所以()1185592882a b ab b a b a b a +=⎛⎫+=++≥⎪⎭++= ⎝，当且仅当82b a a b =，即33,4a b ==时取得等号，所以8a b +的最小值为9，故选:C.3.函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案.【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ，故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.4.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且2EF =，则下列结论中错误的是（）A.AC BE⊥ B.//EF 平面ABCDC.直线AB 与平面BEF 所成的角为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值【答案】D 【解析】【分析】根据线线垂直、线面平行、线面角、线线角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】对于A ，连接BD ，根据正方体的性质可知1,AC BC AC BB ⊥⊥，而11,,BC BB B BC BB =⊂ 平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D ，又BE ⊂平面11BB D D ，所以AC BE ⊥，故A 正确.对于B ，因为11//B D BD ，11B D ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以11//B D 平面ABCD ，又E ､F 在直线11D B 上运动，//EF ∴平面ABCD ，故B 正确.对于C ，直线AB 与平面BEF 所成的角即为直线AB 与平面11BB D D 所成的角，故为定值，故C 正确.对于D ，设11111,AC BD O A C B D O == ，当点E 在1D 处，F 为11D B 的中点时，由于1111//,O D OB O D OB =，所以四边形11OBO D 是平行四边形，所以11//BO OD ，所以异面直线,AE BF 所成的角是1OD A ∠，由于AC ⊥平面11BB D D ，1OD ⊂平面11BB D D ，所以1AC OD ⊥，所以1122a 236t n OA OD A OD ∠===.当E 在上底面的中心，F 在1B 的位置时，同理可得1OO A ∠是异面直线,AE BF 所成的角，且1222tan 12OO A ∠==.故D 不正确.故选：D5.宋代制酒业很发达，为了存储方便，酒缸是要一层一层堆起来的，形成堆垛，用简便的方法算出堆垛中酒缸的总数，古代称之为堆垛术.有这么一道关于“堆垛”求和的问题：将半径相等的圆球堆成一个三角垛，底层是每边为n 个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个圆球，顶层为一个圆球，记自上而下第n 层的圆球总数为n a ，容易发现：11a =，23a =，36a =，则105a a -=（）A.45B.40C.35D.30【答案】B 【解析】【分析】根据题意，归纳推理，第n 层的圆球总数个数表达式，再将10n =，5，代入求解即可．【详解】当1n =时，第1层的圆球总数为11a =，当2n =时，第2层的圆球总数为2123a =+=，当3n =时，第3层的圆球总数为31236a =++=，..．所以第n 层的圆球总数为()112 (2)n n n n a +=+++=，当5n =时，()5155152a +⨯==，当10n =时，()1051100512a⨯==+，故10540a a -=．故选：B ．6.已知焦点为12,F F 的双曲线C点P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为（）A.2B.C.2D.【答案】B 【解析】【分析】由双曲线定义可得24PF a =，16PF a =，应用余弦定理及已知有122cos 3PF F ∠=，最后由三角形面积公式列方程求a ，即得实轴长.【详解】设220PF m =>，则13PF m =，故212m a PF PF =-=（a 为双曲线参数），所以24PF a =，16PF a =，故22222121212212||||||524cos 2||||48PF PF F F a c PF F PF PF a +--∠==，而c a =c =，则2212252202cos 483a a PF F a -∠==，12(0,π)PF F ∠∈，所以12sin 3PF F ∠=，故1212121sin 2PF F PF PF S PF F =∠= ，则22234a a ⨯=⇒=，故长轴长2a =故选：B7.已知ABC 的三个顶点都在抛物线26x y =上，且F 为抛物线的焦点，若1()3AF AB AC =+，则||||||++= AF BF CF （）A.12 B.10C.9D.6【答案】C 【解析】【分析】设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，得三点纵坐标之和，再结合抛物线的定义即可求出||||||AF BF CF ++的值.【详解】由26x y =，得3p =.设A ，B ，C 的纵坐标分别是123,,y y y ，由1()3AF AB AC =+，有1213131()23y y y y y -=-+-，即12392y y y ++=.由抛物线的定义可得:1233||||||392pAF BF CF y y y p ++=+++== .故选：C8.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点12,F F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M在第一象限．1121,3NF MN F F MF =≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（） A.612B.2]-C.1]D.1]2-【答案】D 【解析】【分析】由题可知四边形12MF NF 为矩形，根据勾股定理及椭圆的定义可得2222||2||20MF a MF b -+=，结合已知条件有)()2221Δ420a MF aa b ⎧>≥⎪⎨=->⎪⎩，进而即得.【详解】因为过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且12MN F F =，所以四边形12MF NF 为矩形，由椭圆的对称性知：12NF MF =，而21||||2MF MF a +=，所以22221||||4MF MF c +=，则222222||4||44MF a MF a c -+=且M 在第一象限，整理得2222||2||20MF a MF b -+=，所以()22Δ420a b=->，所以222||2MF a a b =-又22121132NF MF MF MF MF a MF ==≥-2||(31)a MF a >≥，所以)()2222231Δ420a a a b aa b ⎧>-≥-⎪⎨=->⎪⎩，整理得2221432c e a<=≤-，所以2312e <≤-.故选：D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.（多选题）若方程22151x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（）A.若1＜t ＜5，则C 为椭圆B.若t ＜1．则C 为双曲线C.若C 为双曲线，则焦距为4D.若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t ＜5【答案】BD 【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，对于A 中，当3t =时，此时方程222x y +=表示圆，所以不正确；当方程22151x yt t +=--表示焦点在y 轴上椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-<-⎩，解得35t <<，所以D 项正确；对于B 中，当1t <时，50,10t t ->-<，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以是正确的；对于C 中，当0=t 时，方程22151x y -=，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD.若方程22151x yt t +=--表示椭圆，则满足501051t t t t ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得13t <<或35t <<，【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程和简单的几何性质的应用，其中解答椭圆和双曲线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，关于数列{}n a ，下列命题中正确的是（）A.若1n n a a +=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B.若()2*=+∈n S An Bn n N（A ，B 为常数），则{}na 是等差数列C.若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D.若{}n a 是等比数列，则()*232,,--∈n n n n n S S S S S n N 也成等比数列【答案】BC 【解析】【分析】对于A ：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC ：根据n a 与n S 之间的关系，结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D ：根据等比数列的和项性质分析判断.【详解】对于选项A:因为1*()+∈=n n n a a N ，即10n n a a +-=，可知数列{}n a 是等差数列，当0n a =时，数列{}n a 不是等比数列，故A 错误；对于选项B ：因为2n S An Bn =+，当1n =时，11a S A B ==+；当2n ≥时，()()()221112-⎡⎤==+---+-=+-⎣⎦n n n a S An Bn A n B n An B S A ；可知1n =时，符合上式，综上所述：2=+-n a An B A ，可得()122--=≥n n a a A n ，所以数列{}n a 是等差数列，故B 正确；对于选项C:因为()11nn S =--，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，112(1)n n n n a S S --=-=⨯-；可知1n =时，符合上式，综上所述：12(1)n n a -=⨯-，可得112(1)12(1)+-⨯-⨯==--nn n n a a ，所以数列{}n a 是等比数列，故C 正确；对于选项D:当数列{}n a 是等比数列时，取()1nn a =-，则2110S =-+=，此时显然2S ，42S S -，64S S -不是等比数列，故D 错误；故选：BC.11.（多选）已知抛物线22y px =()0p >的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，若(),2M m 是线段AB 的中点，则（）A.4p = B.抛物线的方程为216y x =C.直线l 的方程为24y x =- D.=10AB 【答案】ACD 【解析】【分析】由焦点到准线的距离可求得4p =，则可判断A 正确，B 错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线l 的斜率，从而求得l 的方程，可判断C 正确；()1212284y y x x +=+-=，所以126x x +=从而12410AB AF BF x x =+=++=判断D 正确.【详解】因为焦点F 到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知4p =，故A 正确故抛物线的方程为28y x =，焦点()2,0F ，故B 错误则2118y x =，2228y x =．又(),2M m 是AB 的中点，则124y y +=，所以22121288y y x x -=-，即12121282y y x x y y -==-+，所以直线l 的方程为24y x =-．故C 正确由()1212284y y x x +=+-=126x x ⇒+=，得12410AB AF BF x x =+=++=．故D 正确故选：ACD ．12.已知点(1,2)M ，点P 是双曲线C ：221916x y-=左支上的动点，2F 为其右焦点，N 是圆D ：22(5)1x y ++=的动点，直线OP 交双曲线右支于Q （O 为坐标原点），则（）A.28PF ≥B.过点M 作与双曲线C 仅有一个公共点的直线恰有2条C.||||PM PN -的最小值为5- D.若2DPF △的内切圆E 与圆D 外切，则圆E 的半径为32【答案】ACD 【解析】【分析】根据双曲线焦半径的结论可知A 正确，由点和双曲线的位置关系可以确定与双曲线有一个公共点的直线条数不止2条，根据双曲线定义和,PM PN 的位置关系可判断C ，最后根据焦点三角形2DPF △的内切圆圆心在左端点的正上方，即圆心横坐标为3-可求其半径.【详解】如下图所示：由双曲线方程和圆D 方程可知，3,4,5a b c ===，所以左焦点为0()5,D -，右焦点2(5,0)F ；对于A ，由于P 在双曲线左支上，根据焦半径公式可知28PF a c ≥+=，故A 正确；对于B ，由过点M 的直线与双曲线有一个公共点可知，直线的斜率一定存在，设直线斜率为k ，则直线l 的方程为2(1)y k x -=-，联立直线l 和双曲线C 的方程得：222(169)18(2)9(420)0k x k k x k k -----+=；①当21690k -=时，即43k =±，该方程为一元一次方程，仅有一个实数根，所以直线l 和双曲线C 仅有一个公共点，此时直线l 与双曲线的渐近线43y x =±平行，即此时有两条直线42(1)3y x -=±-与双曲线相交，且仅有一个交点，符合题意；②当21690k -≠时，该方程为一元二次方程，由直线与双曲线有一个公共点可知，该方程仅有一个实数根，所以[]22218(2)36(169)(420)0k k k k k ∆=-+--+=，整理得2250k k --=，即1414k ±=，此时直线为双曲线的切线，分别为1412(1)4y x ±-=-，所以过点M 可作两条切线；综上可知，过点M 可作与双曲线有一个公共点的直线共有4条，所以B 错误；对于C ，由双曲线定义可知，26PF PD -=，2225PM PF MF PF ≥-=-2,,P M F 三点共线时等号成立；1PN PD DN PD ≤+=+，当且仅当,,P D N 三点共线时等号成立；所以，215PM PN PF PD -≥--=-C 正确；对于D ，如图所示，分别设2DPF △的内切圆与三边切点为,,A G H ，又因为22,,PG PH DG DA F A F H ===，所以22226PF PD F H GD F A DA a -=-=-==，又因为A 在x 轴上，0()5,D -，2(5,0)F ，不妨设(,0)A t ,由26F A DA -=，得5(5)6t t --+=，即3t =-；所以(3,0)A -即为双曲线的左端点，又因为2EA DF ⊥，所以圆心E 在左端点A 的正上方，即圆心横坐标为3-，设(3,)E r -，则圆E 的半径为r ，由于圆D 与圆E 外切，1r =+，解得32r =；所以D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 满足(2,1)a = ，(1,2)b y y =-+ ，且a b ⊥ ，则||a b -= ________.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示求得参数y ，然后由模的坐标表示求解．【详解】∵a b ⊥ ，∴2(1)20a b y y ⋅=-++= ，解得4y =，即(3,6)b =- ，∴||(5,5)a b -=-==故答案为：14.已知实数x ，y 满足直线l 的方程230x y ++=的最小值为______．【答案】【解析】【分析】将问题转化求点(0,1)到直线l ：230x y ++=上点的距离最小值，即可得结果.(0,1)到直线l：230x y++=上点的距离，所以其最小值为d15.已知F为椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF垂直平分线与椭圆C 的一个交点，若3cos7MOF∠=，则椭圆C的离心率为______．【答案】23【解析】【分析】设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭，在MOE△中，不妨设32cOE==，利用勾股定理和椭圆中222a bc=+，求出9a=，则可得出离心率.【详解】解：设(),0F c，,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭，将0,2cM y⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆C的方程，得222241cya b+=，即222214cb ya⎛⎫-=⎪⎝⎭.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则MOE△为直角三角形，由于3cos7MOF∠=，所以在MOE△中，不妨设32cOE==，则7OM=，6c=.由勾股定理可得||ME y===即2221404cba⎛⎫-=⎪⎝⎭，得229140ba⎛⎫-=⎪⎝⎭，又222223636a b c b a -==⇒=-，所以42853240a a -+=，解得281a =或22436a c =<=（舍去），故9a =，椭圆C 的离心率6293c e a ===.故答案为：23.16.斐波那契数列，又称黄金分割数列，被誉为最美的数列，若数列{}n a 满足121,1a a ==，()*123,N n n n a a a n n --=+≥∈，则称数列{}n a 为斐波那契数列，则222122023202320242a a a a a +++= _____．【答案】12##0.5【解析】【分析】由题设递推关系得到21211----=-+n n n n n a a a a a ，利用裂项相消法运算求解.【详解】因为()*123,Nn n n a a a n n --=+≥∈，则12--=-+n n n a a a ，可得21211----=-+n n n n n a a a a a ，则()()()22221220231122323342022202320232024a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+-++-++⋅⋅⋅+-+ 202320242023202411=-+=a a a a ，所以2221220232023202420232024202320241222a a a a a a a a a +++== .故答案为：12四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在锐角ABC 中，,,a b c 是角,,A B C的对边，cos cos()C B A C -=-.（1）求角A 的度数；（2）若a =，且ABC的面积是b c +.【答案】(1)3π；（2）【解析】【详解】试题分析:（1）根据三角形内角关系及诱导公式将B 转化()cos cos B A C =-+，再根据两角和与差余弦公式展开化简,合并，约分得sin 2A =，最后根据三角形内角范围及特殊角对应函数值得角A 的度数；（2）先选用面积公式：1sin 2ABC S bc A ∆=，得12bc =，再根据余弦定理得2224b c +=，最后根据()2222b c b c bc +=++求b c +的值.试题解析:（1）在ABC 中，A B C π++=，那么由()cos cos C B A C -=-，可得()()()cos cos cos cos 2sin sin sin C A C B A C A C A C C =-+=--+=，≠0得3sin 2A =，则在锐角ABC 中，π.3A =（2）由（1）知3A π=，且1sin 2ABC S bc A == ，得12bc =，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，那么()2222222cos 3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-，则()22348b c a bc +=+=，可得b c +=点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18.已知公比为q 的正项等比数列{}n a ，且12a =，416a =，n n b na =．（1）求3b 的值；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）324b =；（2）1(1)22n n T n +=-+.【解析】【分析】（1）先利用已知条件求公比和n a ，再计算3a ，3b 即可；（2）利用错位相减法求和即可.【详解】（1）正项等比数列{}n a 中，12a =，416a =，故3418a q a ==，即2q =，故2n n a =，3328a ==，33324b a ==；（2）由2n n a =知，2n n b n =⋅123122232...2n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅①又23412122232 (2)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅②由①-②得，1231112(21)222...222(1)2221n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=⋅=---1(1)22n n T n +∴=-+所以数列{}n b 的前n 项和1(1)22n n T n +=-+.【点睛】本题考查了数列通项公式和错位相减法求和，属于中档题.19.如图所示，该几何体是由一个直三棱柱ADE BCF -和一个正四棱锥P ABCD -组合而成，AD AF ⊥，2AE AD ==．（Ⅰ）证明：平面PAD ⊥平面ABFE ；（Ⅱ）求正四棱锥P ABCD -的高h ，使得二面角C AF P --的余弦值是3．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）1h =．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据AB ⊥平面ADE ，结合AD AF ⊥，利用线面垂直以及面面垂直判定定理，可得结果.（Ⅱ）利用（Ⅰ）建系后求法向量，要注意两个法向量夹角和二面角平面角关系，不要弄错符号.试题解析：（Ⅰ）证明：直三棱柱ADE BCF -中，AB ⊥平面ADE ，所以AB AD ⊥，又AD AF ⊥，AB AF A = ，所以AD ⊥平面ABFE ，AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABFE ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知AD ⊥平面ABFE ，以A 为原点，AB ，AE ，AD 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图设正四棱锥P ABCD -的高为h ，2AE AD ==，则()0,0,0A ，()2,2,0F ，()2,0,2C ，()1,,1P h -，()2,2,0AF = ，()2,0,2AC = ，()1,,1AP h =- ．设平面ACF 的一个法向量()111,,m x y z =r，则1111220,{220,m AF x y m AC x z ⋅=+=⋅=+=取11x =，则111y z ==-，所以()1,1,1m =-- ．设平面AFP 的一个法向量()222,,n x y z =r ，则22222220,{0,n AF x y n AP x hy z ⋅=+=⋅=-+= 取21x =，则21y =-，21z h =--，所以()1,1,1n h =--- ．二面角C AF P --的余弦值是3，所以22cos ,3m n m n m n ⋅===⋅ ，解得1h =．点睛：本题主要考查了直线与平面，平面与平面垂直的证明，注意条件的合理转化，和用向量解立体几何时法向量的求解和应用.20.已知抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，点()02,A y 为抛物线上一点，且4AF =.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q ，若OP OQ ⊥，求m 的值.【答案】（1）28y x=（2）8-【解析】【分析】（1）根据抛物线过点0(2,)A y ，且4AF =，利用抛物线的定义求解；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x =+⎧⎨=⎩，根据OP OQ ⊥，由0OP OQ ⋅= ，结合韦达定理求解.【小问1详解】由抛物线22(0)y px p =>过点0(2,)A y ，且4AF =，得2442p p +=∴=所以抛物线方程为28y x =；【小问2详解】由不过原点的直线l ：y x m =+与抛物线交于不同两点P ，Q设1122(,),(,)P x y Q x y ，联立28y x m y x=+⎧⎨=⎩得22(28)0x m x m +-+=，所以()22Δ28464320m m m =--=->，所以2m <，所以2121282,x x m x x m+=-=因为OP OQ ⊥，所以0OP OQ ⋅= ，则2121212121212()()2()0x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++=，222(82)0m m m m ∴+-+=，即280m m +=，解得0m =或8m =-，又当0m =时，直线与抛物线的交点中有一点与原点O 重合，不符合题意，故舍去；所以实数m 的值为8-.21.已知数列{}n a 满足()*11122n n a a n N a +==-∈，．（1）设11n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n a c n =+，数列{}2n n c c +的前n 项和n T ，是否存在正整数m ，使得11n m m T c c +<对任意的*N n ∈都成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，试说明理由．【答案】（1）证明见解析，1+=n n a n ；（2）存在，m 的最小值为3【解析】【分析】（1）结合递推关系可证得b n +1－b n =1，且b 1＝1，可证数列{b n }为等差数列，据此可得数列{}n a 的通项公式；（2）结合通项公式裂项有21122n n c c n n ，+⎛⎫=- ⎪+⎝⎭求和有111213212n T n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭，再结合条件可得()134m m +≥，即求．【小问1详解】证明：∵1111111111112111n n n n n n n n n a b b a a a a a a ++-=-=-==-------，又由a 1＝2，得b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列，所以b n ＝1+(n －1)×1＝n ，由11n n b a =-，得1+=n n a n．【小问2详解】∵221n n a c n n==+，()2411222n n c c n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11111111212133242212n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=+--< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，依题意，要使11n m m T c c +<对于n ∈N *恒成立，只需()134m m +≥，即212(3)(4)0m m m m +-=-+≥解得m ≥3或m ≤-4．又m ＞0，所以m ≥3，所以正整数m 的最小值为3．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为8，以椭圆的左焦点为圆心，短半轴长为半径的圆与直线2:(4)2h y x =-直线相切．（1）求椭圆的方程C ；（2）已知直线:8l x =，过右焦点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 交于,A B 两点，过点A 作AD l ⊥，垂足为D ．①求证：直线BD 过定点E ，并求出定点E 的坐标；②点O 为坐标原点，求OBD 面积的最大值．【答案】（1）2211612x y +=；（2）①证明见解析，()50，；②15.【解析】【分析】（1）根据题意可得28a =b =，2216bc =+，解得，即a ，b ，c ，进而可得椭圆的方程．（2）①由题意得(2,0)F ，设直线:2()AB x my m =+∈R ，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(8,)D y ，联立直线AB 与椭圆的方程，由韦达定理可得12y y +，12y y ，且12123()my y y y =+，写出直线BD 方程，再令0y =，即可得出答案．②由①可得判别式△0>，211||||2OBD OED OEB S S S OE y y =+=⋅-，令1t =，化简结合函数单调性即可得出答案．【详解】（1）椭圆的长轴长为8，4a ∴=左焦点(,0)c -到直线hb=2216=b c + 又2b c ∴==∴椭圆的方程:C 2211612x y +=（2）由对称性，若直线BD 过定点E ，则该定点E 必在x 轴上，①由题得()20F ，，设直线2()AB x my m =+∈R ：，设11221()()(8)A x y B x y D y ，，，，，联立方程22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)12360m y my++-=，（*）所以有1221234my y m -+=+，1223634y y m -=+，且12123()my y y y =+，因为2128BD yy k x -=-，所以直线BD 的方程为()211288yy y y x x --=--0y =，得()()1212121212121866888y x ymy myy y x y y y y y y ---=-=-=----（**）将12123()my y y y =+，代入（**），则121213()68835yyy x y y +-=-=-=-故直线BD 过定点()50，，即定点E 为()50，．②在（*）中，222144436(34)1444(1)m m m ∆=+⨯+=⨯+，所以122||34y y m -=+又直线BD 过定点()50E ，故，212215||||223434OBD OED OEB S S S OE y y m m =+=⋅⋅-=⋅=++△△△令1t =≥，则260601313OBD t S t t t==++ 在[1)t ∈+∞，上单调递减，故当1t =，0m =时，max ()15OBD S = ．。