2018届高三好教育云平台3月份内部特供卷高三理科数学(二)解析版

2018届高三好教育云平台3月份内部特供卷
高三理科数学（二）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
2．若复数，则=（）
A．B．C．D、
【答案】C
3．甲乙两名同学次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，则（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
4．已知数列为等差数列，且，则的值为（）A．B．C．D．
【答案】B
5．已知，，，则，，的大小关系为（）
A．B．C．D．
【答案】D
6．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于的区域内爬行的概率为（）
A．B．C．
3
π
6
D．
【答案】A
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（）A．B．C．D．
【答案】B
8．若函数的定义域为，其导函数为．若恒成立，，则解集为（）
A．B．C．D．
【答案】D
9．执行如图的程序框图，则输出的值为（）
A．B．C．D．
【答案】D 10．在
中，内角
，，
所对的边分别为，，，已知，且
，则
面积的最大值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
11．设函数
的最大值为，最小值为，则
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 12．已知双曲线的左、右焦点分别为
，．若
双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围
是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
()2,0F c
13．已知实数满足约束条件，则的最小值是
________．
-
【答案】8
14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次），得的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得或；
乙说：我肯定得；
丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．
事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得的同学是_______．【答案】甲
15．在的展开式中，的系数
为________(用数字作答)．
【答案】31
16．在平面上，，，．若，则的取值范围是_______．
【答案】2⎤⎦
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列的前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为．证明：．【解析】解：（1）当时，有，解得.
当时，有，则，
整理得：，数列是以为公比，以为首项的等比数列．
，
即数列的通项公式为：．……………………………6分
（2）由（1）有，则
易知数列为递增数列，
，即．………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%．旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高．已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（2）若导游的奖金（单位：万元），与其一年内旅游总收入（单位：百万元）
之间的关系为，求甲公司导游的年平均奖金；
（3）从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中，随机的抽取人进行表
彰，设来自乙公司的人数为，求的分布列及数学期望． 【解析】解：（1）由直方图知：，有
，
由频数分布表知：，有
．
甲公司的导游优秀率为：；
乙公司的导游优秀率为：； 由于
，所以甲公司的影响度高．………………………4分
（2）甲公司年旅游总收入的人数为
人； 年旅游总收入的人数为人； 年旅游总收入
的人数为
人；
故甲公司导游的年平均奖金
（万元）．……8分
1 20
2 2040
3 40x y x x <⎧⎪
=<⎨⎪⎩
≤≥
（3）由已知得，年旅游总收入在的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故的可能取值为0，1，2，3易知：
；；；
．
的分布列为：
的数学期望为：．…………12分19．（本小题满分12分）
在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解析】（1）证明：取中点，连接，．
在中，有，分别为、中点，，
GC
F
在矩形中，为中点，，，
四边形是平行四边形，，
而平面，平面，
平面．……………………………6分
（2）取中点，连接，设．
四边形是矩形，，
平面平面，平面平面=，平面，平面，又，，为中点，
，，．
故可建立空间直角坐标系，如图所示，则
，，，，，
，，
，，
设是平面的一个法向量，则
，即，
不妨设，则
．
易知向量
为平面
的一个法向量．
，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．…………12分
20．（本小题满分12分） 已知点
为曲线
上任意一点，
、
，直线
，的斜率之积为
． （1）求曲线
的轨迹方程；
（2）是否存在过点
的直线与曲线
交于不同的两点
，使得
？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（1）设点
，，则
，
整理得：，
PB 0x
故曲线的轨迹方程为：，．……………………………………5分
（2）假设存在直线满足题意．
显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交．
①当直线的斜率
时，设直线为：
，
联立，化简得：，
由()()()2
2228412820k k k ∆=-+->，解得
，
设点，，则
，，
取的中点，则，则，
即，化简得，无实数解，故舍去．
②当时，为椭圆的左右顶点，显然满足，此时直线的
方程为
．
综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为．……………12分
21．（本小题满分12分） 已知函数，
(
是常数)． （1）求函数的单调区间；
（2）当
时，函数有零点，求的取值范围．
()0x ≠
【解析】解：（1）由题意知：，则
，．
①当时，令，有；令，有．
故函数在上单调递增，在上单调递减．
②当时，令，有；令，有．
故函数在上单调递增，在和上单调递减．
③当时，令，有或；令，有．
故函数在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为和；
当时，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为；………………………………………………5分
（2）①当时，由可得，有，故满足题意．
②当时，若，即时，由（1）知函数在上递增，在上递减．
而，令，有，，
若，即时，由（1）知函数在上递增．而，令，解得，而，故．
③当时，由（1）知函数在上递增，由，令
，解得，而，故．
综上所述，的取值范围是：．…………………12分．
（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分.
22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中，将曲线(为参数)上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形．以坐标原点为极点，轴的非负
l
半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线：．（1）求曲线和直线的普通方程；
（2）点为曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值及取得最大值时点的坐标．
【解析】解：（1）由已知有（为参数），消去得．将，代入直线的方程得，
l
曲线的方程为，直线的普通方程为：．………5分（2）由（1）可设点为，．则点到直线的距离为：
，
故当，即时，取最大值．
此时，点的坐标为．……………………………………10分
23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲
已知函数，．
（1）当时,求不等式的解集；
（2）设,且当时，都有，求的取值范围．【解析】解：（1）当时，，
故不等式可化为：
或或，
解得：，
所求解集为．……………………………………5分
（2）当
时，由有：，，
，
不等式可变形为：
，
故
对
恒成立，即
，解得
，
而，故．
的取值范围是．………………………………………………10分
【黔东南州2018届高三第二次模拟考试理数试题用稿】
30x k ≥。