概率导学案(6)
数学必修第章概率统计导学案
数学必修第章概率统计导学案IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】班级组别组号姓名【学习目标】1、了解必然事件、不可能事件、随机事件的概念；理解和掌握概率的统计定义及其性质.2、通过不断地提出问题和解决问题，培养学生猜测、验证等探究能力；3、在探究过程中，鼓励学生大胆猜测，大胆尝试，培养学生勇于创新、敢于实践等良好的个性品质。
【自主学习】1、观察下列事件发生与否，各有什么特点？（1）地球不停地转动；（2）木柴燃烧，产生能量；（3）在常温下，石头风化；（4）某人射击一次，中靶；（5）掷一枚硬币，出现正面；（6）在标准大气压下且温度低于0℃时，雪融化。
2、事件分类：叫随机事件叫必然事件；叫不可能事件确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母A,B,C …表示。
练习：指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件：（1）“某电话机在一分钟之内，收到三次呼叫”；（2）“当x 是实数时，20x ”；（3）“没有水分，种子发芽”；（4）“打开电视机，正在播放新闻”思考1：在相同的条件S 下重复n 次试验，若某一事件A 出现的次数为A n ，则称A n 为事件A 出现的频数，那么事件A 出现的频率()n f A =________,频率的取值范围是________. 思考2：历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验，结果如课本112页表格所示，在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？思考3：上述试验表明，随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的，但是在大量重复试验后，随着试验次数的增加，事件A发生的频率呈现出一定的规律性。
f A趋于稳定，在某个常数附近摆思考4：既然随机事件A在大量重复试验中发生的频率()n动，那我们就可以用这个常数来度量事件A发生的可能性的大小，并把这个常数叫做事件A发生的概率，记作P（A）.3、概率的定义：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作.f A是否一定相等事件A在问题1：在相同条件下，事件A在先后两次试验中发生的频率()n先后两次试验中发生的概率P（A）是否一定相等问题2：必然事件、不可能事件发生的概率分别为____、____，概率的取值范围是_______注意以下几点：（1）只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率；（2）概率与频率的区别：概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；随着实验次数的增加，频率会越来越接近概率。
第23章 概率初步章节复习导学案(解析版)初中数学
第23章 概率初步章节考点分类复习导学案例题1 （黄浦2017期末6）下列命题正确的是（ ）（A ）任何事件发生的概率为1； （B ）随机事件发生的概率可以是任意实数；（C ）可能性很小的事件在一次实验中有可能发生；（D ）不可能事件在一次实验中也可能发生.【答案】C ；【解析】概率的范围是01P ≤≤，故A 、B 错误；C 、可能性很小的事件在一次实验中可能发生，故C 正确；D 、不可能事件中任何一次实验中是不可能发生的，故D 错误；因此答案选C.【变式1】 （青浦2018期末5）下列说法中错误的是（ ）A ．“买一张彩票中大奖”发生的概率是0B ．“软木塞沉入水底”发生的概率是0C ．“太阳东升西落”发生的概率是1D ．“10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只”发生的概率是1【答案】A ；【解析】解：A 、“买一张彩票中大奖”发生的概率较小，但不是0，此选项错误；B 、“软木塞沉入水底”是不可能事件，发生的概率是0，此选项正确；C 、“太阳东升西落”是必然事件，发生的概率是1，此选项正确；D 、10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只”是必然事件，发生的概率是1，此选项正确；故选：A ．【变式2】 (奉贤2018期末4)下列事件中，必然事件是（ ）A. “奉贤人都爱吃鼎丰腐乳”B. “2018年上海中考，小明数学考试成绩是满分150分”C. “10只鸟关在3个笼子里，至少有一只笼子关的鸟超过3只”D. “在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张A ”【答案】C【解析】解：A 、“奉贤人都爱吃鼎丰腐乳”，是随机事件，故此选项错误； B 、“2018年上海中考，小明数学考试成绩是满分150分”，是随机事件，故此选项错误； C 、“10只鸟关在3个笼子里，至少有一只笼子关的鸟超过3只”是必然事件，故此选项正确； D 、“在一副扑克牌中任意抽10张牌，其中有5张A ”，是不可能事件． 故选：C ．【变式3】 （静安2019期末5）从332223x x 、、件中为确定事件的是（ ）A.抽到的是单项式；B.抽到的是整式；C.抽到的是分式；D.抽到的是二次根式.【答案】D ；【解析】A 、单项式有3223x 、两个，抽取一个是单项式是随机事件；B 、整式有3223x 、两个，也是随机事件；C 、分式有32x 一个，随机事件；D 、没有二次根式，是不可能事件，因而是确定事件；故答案选D.【变式4】 （长宁2019期末17）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A ．某校初二年级共有480人，则至少有两人的生日是同一天B ．经过路口，恰好遇到红灯C ．打开电视，正在播放动画片D ．抛一枚硬币，正面朝上【答案】A ；【解析】解：A 、某校初二年级共有480人，则至少有两人的生日是同一天；属于必然事件； B 、经过路口，恰好遇到红灯；属于随机事件；C 、打开电视，正在播放动画片；属于随机事件；D 、抛一枚硬币，正面朝上；属于随机事件．故选：A ．【变式5】 （虹口2018期末4）下列事件中，是必然事件的是（ ）A.购买一张彩票中奖一百万元；B.在地球上，上抛的篮球会下落；C.明天太阳从西边出来；D.上海地区明天降水.【答案】B ；【解析】A 、是随机事件；B 、是必然事件；C 、不可能事件；D 、随机事件；故答案选B.【变式6】 （金山2019期末4）下列事件中，属于随机事件的是（ ）(A)方程101=-x 在实数范围内有解； (B)在平面上画一个矩形，这个矩形一定是轴对称图形；(C)在一副扑克牌中抽取一张牌，抽出的牌是黑桃A ；(D)十边形有15条对角线【答案】C ；【解析】A 、方程101x =-在实数范围内有解，是不可能的，是确定事件，不是随机事件；B 、平面上画一个矩形一定是轴对称图形，是必然事件，不是随机事件；C 、一副扑克牌中抽出一张是黑桃A ，是随机事件；D 、十边形有35条对角线，因而D 是不可能事件，是确定事件；因此答案选C.【变式7】 （金山2017期末4）下列事件中，属于必然事件的是 （ ）（A ）在有理数中任意抽取一个数，这个数的平方一定大于0；（B ）任取三条线段能组成一个三角形；（C ）任取一个梯形，这个梯形是轴对称图形；（D ）任取一个平行四边形，这个平行四边形是中心对称图形．【答案】D ；【解析】A 、从有理数中任意抽取一个数，这个数的平方有可能等于0，故A 是随机事件；B 、任取三条线段组成一个三角形是随机事件；C 、只有等腰梯形才是轴对称图形，故是随机事件；D 、平行四边形都是中心对称图形，故D 是必然事件；故答案选D.【变式8】 （奉贤2017期末4）下列事件是必然事件的是 （ ）（A ）方程041=+-x 有实数根； （B ）方程012=+x 有实数根；（C ）方程x x -=有实数根； （D ）方程022=-++x x 有实数根；【答案】C ；【解析】A 、方程无实数根，故A 是不可能事件，不符合题意；B 、方程无实数根，B 是不可能事件，不符合题意；C 、方程有0x =的根，故C 是必然事件，符合题意；D 、方程无实数根，D 是不可能事件，不符合题意；故答案选C.【变式9】 (长宁2018期末5)事件“关于y 的方程a 2y +y =1有实数解”是（ ） A. 必然事件B. 随机事件C. 不可能事件D. 以上都不对【答案】A ； 【解析】解：∵△=1-4a 2（-1）=4a 2+1＞0，原方程一定有实数解． ∴方程a 2y+y=1有实数解是必然事件． 故选：A ．【变式10】 (浦东2017期末6)下列事件：①三角形的外角和是180°；②四边形的内角和是 360°；③五边形有6条对角线；其中属于确定事件的个数有（ ）（A ）0个；（B ）1个； （C ）2个； （D ）3个．【答案】D ；【解析】①三角形的外角和是360°，故①是不可能事件，因而是确定事件；②四边形的内角和是360°，是确定事件；③五边形有5条对角线，所以③是不可能事件，所以是确定事件；故确定事件一共有3个，答案选D.【变式11】 （静安2018期末5）在五张完全相同的卡片上分别画上：等边三角形、平行四边 形、等腰梯形、圆和正方形，在看不见图形的情况下随机抽出1张卡片，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是（ ） A.15； B. 25； C. 35； D. 45. 【答案】C ；【解答】解：∵平行四边形、圆和正方形是中心对称图形，∴在看不见图形的情况下随机抽出1张卡片，这张卡片上的图形是中心对称图形的概率是：35．故选：C ． 例题2 （静安2018期末12）一盒中只有黑、白两色的棋子（这些棋除颜色外无其他差别），设黑棋有x 枚，白棋有y 枚．如果从盒中随机取出一枚为黑棋的概率是14，那么y ＝ ．（请用含x 的式子表示y ）【答案】y ＝3x ；【变式1】 (奉贤2018期末20)布袋中放有x 只白球、y 只黄球、2只红球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋中随机摸出一个球，恰好是红球的概率是．（1）试写出y 与x 的函数关系式；（2）当x =6时，求随机地取出一只黄球的概率P ．【答案】（1）14y x =-；（2）12； 【解析】（1）因为布袋中放有x 只白球、y 只黄球、2只红球，且红球的概率是．所以可得：y =14-x （2）把x =6，代入y =14-6=8，所以随机地取出一只黄球的概率816822P ==++. 【解答】解：∵从盒中随机取出一枚为黑棋的概率是14，∴14x x y =+，整理，得：y ＝3x .例题3 （杨浦2017期末12）确定事件的概率是 ．【答案】1或0； 【解析】确定事件包括：不可能事件与必然事件，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故确定事件的概率为1或0.【变式1】 （普陀2018期末5）下列说法错误的是（ ）A ．必然事件发生的概率为1B ．不确定事件发生的概率为0.5C ．不可能事件发生的概率为0D ．随机事件发生的概率介于0和1之间【答案】B ；【解析】解：A 、∵必然事件发生的概率为1，故本选项正确；B 、∵不确定事件发生的概率介于1和0之间，故本选项错误；C、∵不可能事件发生的概率为0，故本选项正确；D、∵随机事件发生的概率介于0和1之间，故本选项正确；故选：B．例题4 (浦东2017期末24)在一副扑克牌中取红桃、梅花、方块各一张牌混合放在一起，第一次从中任意摸出一张牌，放回洗匀，再任意摸出一张牌，请用树状图表示上述两次摸牌所有可能的结果，并求出两次恰好摸到同种花色牌的概率．【答案】13；【解析】解：共有9种等可能的结果，设事件A：“两次恰好摸到同种花色牌”，P(A)=31 93 =．【变式1】 (浦东2017期末11)掷一枚材质均匀的正六面体骰子，掷得的点数大于5的概率是．【答案】16；【解析】1 (5)6 P=点数大于.【变式2】（青浦2018期末15）从2、3、4这三个数字中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被2整除的概率是．【答案】23；【解析】解：从2、3、4三个数字中任选两个有：23、24、32、34、42、43共有6种等可能的结果，其中这个数恰好能被2整除的有4种结果，所以这个数恰好能被2整除的概率为42 63 =.【变式3】（金山2017期末16）从2、3、4三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数，这个两位数是合数的概率是．【答案】23；【解析】从2、3、4三个数中任取两个数组成一个没有重复数字的两位数有：23、24、32、34、42、43一共6个，其中是合数的是24、32、34、42四个，故这个两位数是合数的概率是42 63 =.【变式4】 (长宁2018期末12)木盒中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其他都相同．从木盒里先摸出一个球，放回去后摇匀，再摸出1个球，则摸到1个黑球1白球的概率是______．【答案】49； 【解析】解：列表如下.∵共9种等可能的结果，其中摸到1个黑球1白球的有4种结果，∴摸到1个黑球1白球的概率为49，故答案为：49．【变式5】 （嘉定2019期末13）不透明的布袋里有2个黄球、3个红球、5个白球，它们除颜色外其它都相同，那么从布袋中随机摸出一球恰好为红球的概率是 .【答案】310； 【解析】依题，从布袋中随机摸出一球恰好为红球的概率是3323510=++. 【变式6】 （静安2017期末15）在一个不透明的盒子中装有2个红球和3个白球，这些球除了颜色外无其他差别．现从这个盒子中同时任意摸出2个球，那么摸到1个红球和1个白球的概率是 ．【答案】35； 【解析】如下图所示：123P(11)205==红白.【变式7】 （浦东四署2019期末13）小明的生日是6月19日，他用6、1、9这三个数字设置了自己旅行箱的密码，但是他忘记了数字的顺序，那么他能一次打开旅行箱的概率是 .【答案】16； 【解析】依题可得他的密码可能是：169、196、619、691、916、961这六种情况当中的一种，故他能一次打开旅行箱的概率为16. 【变式8】 （嘉定2017期末8）一个不透明的口袋中，装有红球4个，白球5个，黑球3个，这些球除颜 白红红白白红红白白白红白白红白红红白白白白白白红红色不同外没有任何区别，从中任意摸出一个球，则摸到红球的概率为．【答案】13；【解析】441 (===4+5+3123 P红球）.【变式9】（长宁2019期末21）有两个不透明的袋子分别装有红、白两种颜色的球（除颜色不同外其余均相同），甲袋中有2个红球和1个白球，乙袋中有1个红球和3个白球．（1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是．（2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是．（3）如果在甲、乙两个袋子中分别随机摸出一个小球，那么摸到两球颜色相同的概率是多少？（请用列表法或树状图法说明）【答案】（1）23；（2）12；（3）512；【解析】解：（1）如果在甲袋中随机摸出一个小球，那么摸到红球的概率是23．（2）如果在乙袋中随机摸出两个小球，则有红白、红白、红白、白白、白白、白白共6种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的概率＝36＝12．故答案为12；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中摸到两球颜色相同的结果数为5，所以摸到两球颜色相同的概率＝5 12．【变式10】（浦东四署2019期末23）中国古代有着辉煌的数学成就，《周髀算经》、《九章算术》、海岛算经》、《孙子算经》等是我国古代数学的重要文献.（1）小聪想从这4部数学名著中随机选择1部阅读，求他选中《九章算术》的概率；（2）小聪拟从这4部数学名著中选择2部作为假期课外拓展学习内容，用列表或树状图求选中的名著恰好是《九章算术》和《周髀算经》的概率.【答案与解析】（1）P(选中《九章算术》) =14；（2）如图所示，《周髀算经》、《九章算术》、海岛算经》、《孙子算经》这四本书分别用,,,a b c d表示.P（选中的名著恰好是《九章算术》和《周髀算经》）=21 126.【变式11】（奉贤2017期末20）小杰、小明和小强三人准备进行打乒乓球，他们约定用“抛硬币”的方式来确定哪两个人先上场，三人手中各持有一枚质地均匀的硬币，同时将手中硬币抛落到水平地面为一个回合．落地后，三枚硬币中，恰有两枚正面向上或反面向上的这两枚硬币持有人先上场；若三枚硬币均为正面向上或反面向上，属于不能确定．（1）请用树形图法展现三人“抛硬币”的所有等可能的结果；（2）求一个回合能确定两人先上场的概率．【答案】(1)如图所示；（2）34；【解析】解：（1）树形图：（2）共有8种等可能的情况，其中两枚正面向上或反面向上的可能情况有6种，所以一个回合能确定两人先上场的概率P=63 84 ．。
人教版六年级统计与概率导学案
4.下面的信息资料中，适合用统计图表示的是（ ）。
A、学校各年级的人数B、五年级各班做好事的件数
C、6月份气温变化情况D、学校教师的人数
①条形统计图。
特征：清楚表示出各科数量的多少。
②折线统计图。
特征：清楚表示数量的变化情况。
③扇形统计图。
特征：清楚表示各种数量的占有率。
流
程
【问题导入】
你学过几种统计图？分别叫做什么统计图？各有什么特征？
什么是平均数？什么是中位数？什么是众数？
【自主学习】
【自学成果展示】
1、简单的统计图有（）统计图、（）统计图和（）统计图。
2、扇形统计图的优点是可以很清楚地表示出（）与（）
3、（）统计图是用长短不同、宽窄一致的直条表示数量，从图上很容易看出（）。
引导学生探究互相交流，在此基础回答问题。
指导组间交流，对不同的意见进行补充和说明
指导组间交流，对不同的意见进行补充和说明
教学反思
六合中心校六年级数学导学案
年班姓名：
课题
统计与概率
课型
预习+展示
课时
2
主备
张艳冬
副备
审稿
备课时间
2012.4.24
授课时间
领导审核
教
学ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
目
标
知识与技能
1.使学生加深认识统计的意义，进一步认识统计表，掌握整理数据编制统计表的方法，能根据统计表作简单的分析。
2.使学生进一步认识简单的统计图，明确条形统计图和折线统计图各自的特点和作用，能在看懂统计图内容的基础上作简单的分析。
1．在我们学过的统计知识中，最能清楚地表示出数量增减变化情况的是（ ）。
北师大版七年级下第六章概率初步导学案
1．汇报：展示学习成果2、导学：明确学习目标
预
习
案
3、交流：合作探求新知
探
究
案
1：
从分别标有1、2、3、4、5号的5根纸签中随机抽取一根，抽出的号码有种可能，即，由于纸签的形状、大小相同，又是随机抽取的，所以我们认为：每个号码抽到的可能性，都是。
探究2：
掷一个骰子，向上一面的点数有种可能，即，由于骰子的构造、质地均匀，又是随机掷出的，所以我们断言：每种结果的可能性，都是。
试验总次数
钉尖朝上的次数
钉尖朝下的次数
钉尖朝上的频率
钉尖朝下的频率
抛掷次数
20
40
60
80
100
120
350
400
450
500
“钉尖向上”的频数
“钉尖向上”的频率
1.下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
3、能设计符合要求的简单概率模型．
重点
概率模型概念的形成过程。
难点
分析概率模型的特点，总结概率的计算方法。
教学过程：因材施教以学定教
学习过程：先入为主自主学习
1、10个乒乓球中有8个一等品，2个二等品，从中任取一个是二等品的概率是_____.
2、把标有号码1，2，3，……，10的10个乒乓球放在一个箱子中，摇匀后，从中任意取一个，号码为小于7的奇数的概率是______．
学习目标
1.知道通过大量重复试验时的频率可以作为事件发生概率的估计值
第六章 概率初步
辛二七数下导学案—50 第六章概率初步教学目的：复习本章知识点一、事件1、事件分为事件、事件、事件。
2、必然事件：事先就能肯定发生的事件。
也就是指该事件每次一定发生，不可能不发生，即发生的可能是（或1）。
3、不可能事件：事先就能肯定发生的事件。
也就是指该事件每次都完全没有机会发生，即发生的可能性为。
4、不确定事件：事先无法肯定发生的事件，也就是说该事件可能发生，也可能不发生，即发生的可能性在和之间。
5、三种事件都是相对于事件发生的可能性来说的，若事件发生的可能性为，则为必然事件；若事件发生的可能性为，则为不可能事件；若事件不一定发生，即发生的可能性在之间，则为不确定事件。
6、简单地说，必然事件是发生的事件；不可能事件是绝对发生的事件；不确定事件是指有发生，也有可能发生的事件。
7、表示事件发生的可能性的方法通常有三种：（1）用可能性的大小。
（2）用表示。
（3）用表示。
二、等可能性1、等可能性：是指几种事件发生的可能性。
2、游戏规则的公平性：就是看游戏双方的结果是否具有可能性。
（1）首先要看游戏所出现的结果的两种情况中有没有必然事件或不可能事件，若有一个必然事件或不可能事件，则游戏是的；（2）其次如果两个事件都为不确定事件，则要看这两个事件发生的可能性是否相同；即看双方获胜的可能性是否相同，只有双方获胜的可能性，游戏才是的。
（3）游戏是否公平，并不一定是游戏结果的两种情况发生的可能性都是二分之一，只要对游戏双方获胜的事件发生的可能性即可。
三、概率1、概率：是反映事件发生的可能性的大小的量，它是一个比例数，一般用P来表示，P（A）= 。
2、必然事件发生的概率为，记作P（必然事件）= ；3、不可能事件发生的概率为，记作P（不可能事件）= ；4、不确定事件发生的概率在之间，记作 <P（不确定事件）< 。
5、概率是对“可能性”的定量描述，给人以更直接的感觉。
6、概率并不提供确定无误的结论，这是由不确定现象造成的。
第六单元《可能性》(导学案)苏教版四年级上册数学
第六单元《可能性》（导学案）一、学习目标本单元学习目标：1.了解事件的发生可能性，学会用“肯定发生”、“不可能发生”和“可能发生”来描述事情发生的可能性。
2.理解事件的可能性与事件发生的次数的关系，学习用事件表或情况表描述事件发生规律。
3.培养运用逻辑思维，学会分析和判断事件的可能性。
二、预备知识在学习本单元知识前，你需要掌握以下预备知识：1.掌握基础数学概念，如数量、数码、数位等。
2.掌握数轴的正方向、负方向及表示方法。
3.掌握分数及其含义、大小比较及简化。
4.理解排列组合，如从集合中选取n个元素的组合数等。
三、学习内容本单元学习内容：1.可能性本课主要学习事件的可能性，了解“肯定发生”、“不可能发生”和“可能发生”三种判断事情发生可能性的方法，并能理解它们之间的区别。
2.事件表本课将学习事件表的制作，学会用事件表描述事件的发生规律，分析事件发生的规律和可能性。
3.情况表本课将学习情况表的制作，学会用情况表描述事情发生的规律，理解事件的可能性与事件发生的次数之间的关系。
4.逻辑判断本课将学习逻辑判断的方法，培养逻辑思维能力，在实际生活中运用逻辑思维分析、判断事件的可能性。
四、学习方法及建议1.认真听课，积极思考。
了解事件的可能性，需要判断与比较，要求我们考虑各种情况的可能性，需要动脑思考。
2.多画图，形象化理解。
通过画图来解决具体问题，并形象化地理解事件的可能性，也能够直观地描述事件的发生规律。
3.加强练习，巩固知识点。
通过课后作业等方式，加强练习，巩固所学的知识点，提高解决实际问题的能力。
五、学习反思在学习本单元的过程中，你将发现这些知识点的内容很实用，能在实际生活中运用。
同时，本单元所涉及的概率问题也是数学中的重点内容，需要认真学习。
因此，我们需要认真听课、多画图、加强练习，提高自己的数学水平和实际解决问题的能力。
【西城学探诊】人教B版高中数学选修2-3导学案：第二章 概率综合6 [ 高考]
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§2.5.6概率综合练习学习目标1.根据题意能够识别概率模型。
学习过程（2014朝阳一模文16）某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为15．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率．（2013房山一模理17）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某城市环保局从该市市区2012年全年每天的Array PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（Ⅰ）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天数据，求恰有一天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取三天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．（2012延庆一模理17）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[)50,40，[)60,50…[]100,90后得到如下部分频率分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：(Ⅰ)求分数在[)70,80内的频率，并补全这个 频率分布直方图；（Ⅱ）统计方法中，同一组数据常用该组区间的 中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （Ⅲ）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生 成绩在[)60,40记0分，在[)80,60记1分， 在[]100,80记2分，用X 表示抽取结束后的总 记分，求X 的分布列和数学期望.（2005北京理17）甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为12,乙每次击中目标的概率为23. (Ⅰ)记甲击中目标的次数为ξ,求ξ的概率分布及数学期望E ξ； (Ⅱ)求乙至多击中目标2次的概率； (Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.（2010北京理17）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q(p＞q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为:(Ⅰ)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(Ⅱ)求p，q的值；(Ⅲ)求数学期望ξE.（2013东城一模理17）某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规则如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.（Ⅰ）求所得奖品个数达到最大时的概率；（Ⅱ）记奖品个数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.。
人教b版数学必修三：第3章《概率》章末复习导学案(含答案)
章末复习课知识概览对点讲练知识点一互斥事件与对立事件互斥事件和对立事件，都是研究怎样从一些较简单的事件的概率的计算来推算较复杂事件的概率．应用互斥事件的概率加法公式解题，备受高考命题者的青睐，应用公式时一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．对于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事件的概率．例1某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率．点评“互斥”和“对立”事件容易搞混．互斥事件是指两事件不可能同时发生．对立事件是指互斥的两事件中必有一个发生．变式迁移1互相输血，小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？知识点二 古典概型古典概型是一种基本的概型，也是学习其它概型的基础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性．在应用公式P (A )＝mn时，关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，求出n 、m .例2 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求(1)两次向上的点数之和为7或是4的倍数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x ，第二次向上的点数为纵坐标y 的点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝20的内部(不包括边界)的概率．变式迁移2 任取两个一位数，观察结果，问： (1)共有多少种不同的结果？(2)取出的两数之和等于3的结果有多少种？ (3)两数的和是3的概率是多少？知识点三 几何概型几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之一，在高考命题中占有非常重要的位置．我们要理解并掌握几何概型试验的两个基本特征，即每次试验中基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性，并能求简单的几何概型试验的概率．例3 甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h ，乙船停泊时间为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．(保留小数点后三位)变式迁移3 在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，求使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°的概率．课时作业一、选择题1．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有1个黑球与都是黑球B ．至少有1个黑球与至少有1个红球C ．恰有1个黑球与都是黑球D ．至少有1个黑球与都是红球2．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率是( )A ．0.59B ．0.85C ．0.96D ．0.743．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样的大小的小正方体，从中任取一个小正方体，其中恰有3面涂有颜色的概率为( )A.19B.827C.427D.494．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，然后将它们混和，再任意排列成一行，则得到的数能被2或5整除的概率是( )A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.85．已知实数x 、y ，可以在0<x <2,0<y <2的条件下随机取数，那么取出的数对(x ，y )满足(x －1)2＋(y －1)2<1的概率是( )A.π4B.4πC.π2D.π3 二、填空题6．某射击选手射击一次，击中10环、9环、8环的概率分别为0.3、0.4、0.1，则射手射击一次，击中环数小于8的概率是________．7．某市公交车每隔10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客等车时间不超过7分钟的概率为________．8．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则所投点在E 中的概率是________．三、解答题9．袋中有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求： (1)3只全是红球的概率； (2)3只颜色全相同的概率； (3)3只颜色不全相同的概率； (4)3只颜色全不相同的概率．10．在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0内随机投点，求点与圆心距离小于13的概率．章末复习课对点讲练例1 解 (1)记“他乘火车去”为事件A 1，“他乘轮船去”为事件A 2，“他乘汽车去”为事件A 3，“他乘飞机去”为事件A 4，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥．故P (A 1∪A 4)＝P (A 1)＋P (A 4)＝0.3＋0.4＝0.7. 所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P ，则P ＝1－P (A 2) ＝1－0.2＝0.8.变式迁移1 解 (1)对任一人，其血型为A 、B 、AB 、O 型血的事件分别记为A ′、B ′、C ′、D ′，它们是互斥的．由已知，有P (A ′)＝0.28，P (B ′)＝0.29，P (C ′)＝0.08，P (D ′)＝0.35.因为B 、O 型血可以输给B 型血的人，故“可以输给B 型血的人”为事件B ′∪D ′.根据互斥事件的加法公式，有P (B ′∪D ′)＝P (B ′)＋P (D ′)＝0.29＋0.35＝0.64. (2)由于A 、AB 型血不能输给B 型血的人，故“不能输给B 型血的人”为事件A ′∪C ′，且P (A ′∪C ′)＝P (A ′)＋P (C ′)＝0.28＋0.08＝0.36.答 任找一人，其血可以输给小明的概率为0.64，其血不能输给小明的概率为0.36. 例2 解 (1)第一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能的基本事件．记“两数之和为7”为事件A ，则事件A 中含有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，6个基本事件．∴P (A )＝636＝16.记“两数之和是4的倍数”为事件B ，则事件B 中含有(1,3)，(2,2)，(3,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，9个基本事件，∴P (B )＝936＝14.∵事件A 与事件B 是互斥事件，∴所求概率为P (A )＋P (B )＝512.(2)记“点(x ，y )在圆x 2＋y 2＝20的内部”为事件C ，则事件C 中共含有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，11个基本事件，∴P (C )＝1136.变式迁移2 解 (1)因为每次取出的数是0,1,2，…，9这十个数字中的一个，从而每次取数都有10种可能，所以两次取数共有等可能的结果总数为n ＝10×10＝100(种)．(2)记“两个数的和等于3”为事件A ，则事件A 的可能取法有第一次取的数分别为0,1,2,3，相应的第二次取的数分别为3,2,1,0，即事件A 包含4种结果．(3)事件A 的概率是P (A )＝4100＝0.04.例3 解 要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2，设A 为“两船都不需要等待码头空出”，则A ＝{(x ，y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．A 为右图中阴影部分，Ω为边长是24的正方形，由几何概型定义知， 所求概率为P (A ) ＝A 的面积Ω的面积＝(24－1)2×12＋(24－2)2×12242＝506.5576≈0.879. 变式迁移3 解 如图所示，设事件A 是“作射线OC ，使∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”，μA ＝90°－30°－30°＝30°，μΩ＝90°，由几何概型的计算公式，得P (A )＝μA μΩ＝30°90°＝13.故所求“使得∠AOC 和∠BOC 都不小于30°”的概率是13.课时作业1．C [结合互斥事件和对立事件的定义知，对于C 中恰有1个黑球，即1黑1红，与都是黑球是互斥事件．但不是对立事件，因为还有2个都是红球的情况，故应选C.]2．C 3．B4．C [最后一位数有5种结果，而能被2或5整除的有3种．] 5．A 6．0.2解析 P ＝1－0.3－0.4－0.1＝0.2. 7.45 8.π169．解 (1)记“3只全是红球”为事件A .从袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共会出现3×3×3＝27种等可能的结果，其中3只全是红球的结果只有一种，故事件A 的概率为P (A )＝127.(2)“3只颜色全相同”只可能是这样三种情况：“3只全是红球”(设为事件A )，“3只全是黄球”(设为事件B )，“3只全是白球”(设为事件C )，且它们之间是互斥关系，故“3只颜色全相同”这个事件可记为A ∪B ∪C .由于事件A 、B 、C 不可能同时发生，因此它们是互斥事件；再由于红、黄、白球个数一样，故不难得到P (B )＝P (C )＝P (A )＝127，故P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝19.(3)3只颜色不全相同的情况较多，如有两只球同色而另一只球不同色，可以两只同红色或同黄色或同白色；或三只球颜色全不相同，这些情况一一考虑起来比较麻烦．现在记“3只颜色不全相同”为事件D ，则事件D 为“3只颜色全相同”，显然事件D 与D 是对立事件．∴P (D )＝1－P (D )＝1－19＝89.(4)要使3只颜色全不相同，只可能是红、黄、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到红、黄、白各一只的可能结果有3×2×1＝6种，故3只颜色全不相同的概率为627＝29.10．解 圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，则圆的圆心C (1,1)，半径r ＝1，点与圆心距离小于13的区域是以C (1,1)为圆心，以13为半径的圆内部分．故点与圆心距离小于13的概率为P ＝π⎝⎛⎭⎫132π·12＝19.。
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科目
数学
课题
25.2.1用频率估计概率
授课时间
设计人
李劲松
课型
新授
班级
姓名
学习
目标
1、能够通过实验，获得事件发生的频率；
2、知道大量重复试验时频率可作为事件发生概率的估计值。
3、理解频率与概率的区别与联系。
学法指导
自主、合作、探究
一、自主学习
（一）复习巩固
1、古典概率条件是什么？用什么方法求？
柑橘总质量（）/千克
损坏柑橘质量（）/千克
柑橘损坏的频率（ ）
50
5.50
0.110
100
10.50
0.105
150
15.50
_____
200
19.42
_____
250
24.25
_____
300
30.93
_____
350
35.32
_____
400
39.24
_____
450
44.57
_____
500
51.54
抛掷次数（n)
2048
4040
12000
30000
24000
正面朝上数(m)
1061
2048
6019
14984
12012
频率(m/n)
_______________________________________________________________________________________________________________________________实验结论:当抛硬币的次数很多时,出现下面的频率值是稳定的,接近于常数,在它附近摆动.
2、某林业部门要考察某种幼树在一定条件的移植成活率，就采用什么具体做法？
某林业部门要考查某种幼树在一定条件的移植成活率．
(1)它能够用列举 法求出吗？为什么？
(2)它应用什么方法求出？
(3)请完成下表，并求出移植成活率．
移植总数（n）
成活数（m）
成活的频率（ ）
10
8
0.80
50
47
____
270
235
0.871
400
369
____
750
662
____
1500
1335
0.8903500Fra bibliotek3203
0.915
7000
6335
_____
900
8073
_____
14000
12628
0.902
由上表可以发现，幼树移植成活的频率在＿＿＿＿左右摆动，并且随着移植棵数越来越大，这种规律愈加明显.所以估计幼树移植成活的概率为＿＿＿＿＿．
（三）、归纳总结：
1、一般地,在大量重复试验中,如果事件A发生的频率稳定于某个常数p,那么事件A发生概率的概率：P(A)= p
通常我们用频率估计出来的概率要比频率保留的数位要少。
（四）自我尝试：
1、一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共1 000尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是31%和42%，则这个水塘里有鲤鱼_______尾,鲢鱼_______尾.
A．通过统计频率估计概率B．用列举法求概率
C．用列表法求概率 D．用树形图法求概率
3．布斗投针实验的概率是_________ _______________．
4．事件发生的概率随着_________的增加，逐渐_________在 某个数值附近，我们可以用平稳时 ________来估计这一事情的概率．
四、课外训练
1、某水果公司以2元/千克的成本新进了10000千克的柑橘，如果公司希望这种柑橘能够获得 利润5000元，那么在出售柑橘(已经去掉损坏的柑橘)时，每千克大约 定价为多少元比较合适？
销售人员首先从所有的柑橘中随机地抽取若干柑橘，进行了“柑橘损坏表”统计，并把获得的数据记录在下表中，请你帮忙完成下表．
_____
2、．一个学习小组有6名男生3名女生，老师要从小组的学生中先后随 机地抽取3人参加几项测试，并且每名学生都可被重复抽取，你能设计一种试验来估计“被抽取的3人中有2名男生1 名女生”的概率吗？
执笔：李劲松备课组长签字：教研组长签字：
了解了一种方法-------用多次试验频率去估计概率
体会了一种思想：用样本去估计总体
用频率去估计概率
三、课堂检测
1．在做布斗的投针实验时，若改变平行线间的距离与针的长度的比值，则( )
A．针与平行线相交的概率不变B．针与平行线相交的概率会改变
C．针与平行线相交的概率可能会改变; D．以上说法都不对
2 ．当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，求(估计)概率是用( )．
2、用列举法求概率有哪几种？
（二）自主探究
思考：当实验的所有结果不是有限个;或各种可能结果发生的可能性不相等时.又该如何求事件发生的概率呢?如：１）某射击运动员射击一次，命中靶心的概率是＿＿
２）掷一次骰子，向上的一面数字是６的概率是＿＿＿＿．
1、历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复实验，结果如下表所示
2、动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率是0.5，活到30岁的概率是0.3.现年20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？现年25岁的这种动物活到30岁的概率为多少？
二、教师点拔
弄清了一种关系------频率与概率的关系
当试验次数很多或试验时样本容量足够大时,一件事件发生的频率与相应的概率会非常接近.此时,我们可以用一件事件发生的频率来估计这一事件发生的概率.