第3讲-第二章 平面弹性问题基本变量及方程2_907404293

这样就可以根据物体的初始构形和位移状态来确定出物体变形后的几何 位置，即当前构形 构
14:57 22
2.11平面变形体的构形及刚体位移表达 (2) 平面问题的刚体位移 以平面问题为例，刚体位移(rigid displacement)意味着在 物体内不会产生任何应变，则令
u xx 0 x v yy 0 y v u 0 xy x y
2 A
ˆ 2 dA梁截面的惯性矩(moment of inertia) I y
A
d 2M p0 dx 2
d 2v M ( x) EI 2 dx
d 4v EI 4 p ( x) 0 dx
几何方程
d 2v ˆ 2 x ( x) y dx
物理方程
14:57
d 2v ˆ 2 x ( x ) Ey dx
(b) 用“特征建模”(characterized modeling) 的简化方法来推导
的三大方程 其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的 的三大方程，其基本思想是采用工程宏观特征量来进行问题的 描述。
14:57 13
2.10 讨论3：平面弯曲问题
如图所示问题的特征为： 梁为细长型，因此可只用x坐标来刻画 主要变形为垂直于x的挠度，可只用挠度(deflection)来描述位移场。 针对这两个特征，可以做出以下假定 p(x) 平截面假定 (剪切刚度无穷大）； 小变形 x
就图中所示的情形，应有
2 ˆ y d v ˆ) x(y ˆ 2 y R dx
③ 物理方程 由Hooke定律
14:57
x E x
梁的纯弯变形图
18
2.10 讨论3：平面弯曲问题 对以上方程进行整理, 有描述平面梁弯曲问题的基本方程 x方向的平衡 y方向的平衡：
ˆ EvdA ˆ dA A y M ( x) x y
E ( xx yy )

14:57
6
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.8 讨论1：平面应力问题 2.9 讨论2：平面应变问题 2.10讨论3：平面弯曲问题 平面弯曲问题 2 11平面变形体的构形及刚体位移表达 2.11 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
14:57 7
19
2.10 讨论3：平面弯曲问题 ④ 边界条件 图中所示简支梁的边界为梁的两端 由于在建立平衡方程 图中所示简支梁的边界为梁的两端，由于在建立平衡方程 时已考虑了分布外载 ，因此不能再作为力的边界条件。 两端的位移边界BC(u)： v x 0 0 两端的力(弯矩)边界BC(p)： M
x 0
1 [ zz ( xx yy )] E 因而 zz ( xx yy )
zz
变为
E
zz 0
14:57
5
2.8 讨论1：平面应力问题 平面应力问题的三大方程和边界条件与之前推导三大 方程完全相同，但注意z方向的特征为
zz 0 zz
14:57
1
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.8 讨论1：平面应力问题 2.9 讨论2：平面应变问题 2.10讨论3：平面弯曲问题 平面弯曲问题 2 11平面变形体的构形及刚体位移表达 2.11 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
14:57 2
2.8 讨论1：平面应力问题
设有很薄的等厚度板，所受外力全部作用在 (xoy) 平面，且不随 z 变化， 这种状 叫做平面应力(plane stress) 这种状况叫做平面应力 在薄板的内外表面上，所有应力为零，即
14:57
8
2.9 讨论2：平面应变问题
由于所有力学变量都是x、y的函数，不随 z 变化，则对原3D问题 进行简化，有基本变量
位移： u，v 应力： xx, yy, xy 应变： xx, yy, xy
由于
w=0 0
则
zz
相应的3D问题物理方程中的 问题物理方程中的一个方程变为 个方程变为
w 0 z
1 zz [ zz ( xx yy )] 0 E
进一步，有
zz ( xx yy )
14:57 9
2.9 讨论2：平面应变问题 将该关系代入原3D问题物理方程中，并进行简化，有
xx yy xy
1 2 [ xx ( ) yy ] E 1 1 2 [ yy ( ) xx ] 1 E 1 xy G
有解的形式
u ( x, y ) f1 ( y ) v ( x, y ) f 2 ( x ) df1 ( y ) df 2 ( x) 0 dy dx
M 为截面上的弯矩。
Q
Q+dQ
M
梁问题的dx“微段 微段”及受力平衡 及受力平衡
14:57 15
2.10 讨论3：平面弯曲问题
然后由y方向的合力平衡 Y = 0 ，有
dQ p ( x ) dx 0
即：
dQ p0 dx
平衡方程
ˆ dA M x y
dQ p0 dx
h
该问题的三类基本变量：
l
b
ˆ 0)（中性层的挠度） 位移： v ( x , y
应力： (采用 x，其它应力分量很小，不 考虑)，该变量对应于梁截面上的弯矩M 应变： (采用 x ，满足直线假定)
ˆ y
取具有全高度梁的dx_h_b 取具有全高度梁的d h b “微段” 来推导三大方程
zz
z
t 2
0
xz
z
t 2
0
yz
z
t 2

0
由于板很薄，可近似认为在整个板内 处处有
zz 0
xz 0
yz 0
14:57
3
2.8 讨论1：平面应力问题 3D物理方程为(将2D物理方程扩充)
xx yy zz xy y
由两种平面问题(平面应力和平面应变)的比较可知，除物理方 程外，其它方程完全相同，若将平面应力问题的物理方程中的 E E 换成 1 2 ，换成 1 ，则可得到平面应变问题的 物理方程
14:57 10
第2章 平面弹性问题基本变量及方程
2.8 讨论1：平面应力问题 2.9 讨论2：平面应变问题 2.10讨论3：平面弯曲问题 平面弯曲问题 2 11平面变形体的构形及刚体位移表达 2.11 2.12平面极坐标系下的弹性问题基本变量和方程
2.9 讨论2：平面应变问题 设有一个无限长的等截面柱形体，所承受的外载不随z 变化， 这种状况叫做平面应变(plane strain)；由于任意一个横截面 都为对称面，则有沿z方向的位移和应变为零，即
w0
zx 0
zy 0
有物理方程可知，所对应的
zx 0
zy 0
( zz 0)
zx

则对应的
xz 0
yz 0
( zz 0)
14:57
4
2.8 讨论1：平面应力问题 由于所有力学变量都是x、y的函数，不随 z 变化，则 对原3D问题进行简化，有基本变量 问题进行简化 有基本变量 位移： u(x,y ,y)，v(x,y ,y) 应力： xx(x,y), yy(x,y), xy(x,y) 应变 xx(x,y), 应变： ) yy(x,y), ) xy(x,y) 由于 zz =0，则相应的3D问题物理方程中的一个方程
A
Q
dM dx
d 2M p0 dx 2
其中Q为截面上的剪力 由弯矩平衡 M = 0 ，有
p(x) p( )

M M +dM dM
dM Qdx 0
即
Q
dM dx
Q
Q+dQ
M
梁问题的dx“微段 微段”及受力平衡 及受力平衡
14:57 16
2.10 讨论3：平面弯曲问题 ② 几何方程
14:57 21
2.11平面变形体的构形及刚体位移表达 (1) 变形体的构形 所谓构形(configuration) ( fi i )，是指由坐标系所描述的变形体的几 是指由坐标系所描述的变形体的几 何形貌，变形前的几何形貌叫做初始构形(initial configuration)， 而变形后的几何形貌叫做当前构形(present configuration)
xx ( yy zz ) , E yy ( xx zz ) , E
1 E 1 G 1 1
, zz ( xx yy )
xy yz y, y
1 G
yz zx y ,
1 G
14:57 12
2.10 讨论3：平面弯曲问题 (1) 基本方程
有以下两种方法来建立基本方程。
(a) 采用一般的建模及分析方法，即从对象取出dxdy微单元体
进行分析，建立最一般的基于( ui ，ijj ，ijj )描述的方程，即关 于2D问题的基本变量及方程，这样，所用的变量较多，方程复 杂，未考虑到这 具体问题的特征。 杂，未考虑到这一具体问题的特征。
考虑梁的纯弯变形(pure bending deformation)。 由变形后的几何关系，如图所示，可得到位于
ˆ 处纤维层的应变(即相对伸长量)为 y
ˆ) x ( x, y ˆ ) d R d (R y ˆ y R d R
其中 R 为曲率半径，而曲率(curvature)与曲 率半径R的关系为
就2D问题，设描述物体初始构形的 几何坐标为 (X0, Y0)，描述物体变形 后当前构形的几何坐标为(x, y) ；显 然 初始构形 当前构形与变形体 然，初始构形、当前构形与变形体 位移的关系为