2013-2014年河南省郑州一中高二(上)期中数学试卷和参考答案(理科)

2013-2014学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在△ABC中，若a=3，cosA=，则△ABC的外接圆半径为（）A．2 B．4 C．D．2．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．223．（5分）若不等式a＞b与同时成立，则必有（）A．a＞b＞0 B．C．a＞0＞b D．4．（5分）△ABC中，A=60°，b=4，为使此三角形只有一个，则a应满足的条件为（）A．0＜a＜4B．a=6 C．a≥4或a=6 D．0＜a≤4或a=65．（5分）已知等差数列{a n}满足，a1＞0，5a8=8a13，则前n项和S n取最大值时，n的值为（）A．20 B．21 C．22 D．236．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosC=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形7．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（）A．B．C．D．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：49．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+9y2﹣z=0，则当取得最大值时，的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．310．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．10011．（5分）已知实数x，y满足，且目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，其中b≠0，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．112．（5分）数列{a n}满足：a n=13﹣3n，b n=a n•a n+1•a n+2，S n是{b n}的前n项和，则S n的最大值（）A．280 B．308 C．310 D．320二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若，则角C的大小为．14．（5分）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．15．（5分）已知方程x2+（2+a）x+1+a+b=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则的取值范围．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，|q|＜1），若a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣1，6，30}，则a1=．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC=70m，CA=50m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．（1）求∠BAC的大小；（2）求点O到直线BC的距离．18．（12分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．20．（12分）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=4米，AD=3米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN 上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于64平方米．（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x 的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+3．（Ⅰ）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若对一切a∈[﹣3，3]，f（x）≥a恒成立，求实数x的取值范围．22．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，．（Ⅰ）证明：数列{a n+n}是等比数列；（Ⅱ）若，数列{c n}的前n项和为P n，求不超过P2013的最大整数的值．2013-2014学年河南省郑州一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在△ABC中，若a=3，cosA=，则△ABC的外接圆半径为（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：∵在△ABC中，若a=3，cosA=，∴由sin2A+cos2A=1得：sinA=；设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理===2R得：==2R，∴R=．故选：D．2．（5分）已知数列，则是它的第（）项．A．19 B．20 C．21 D．22【解答】解：数列，中的各项可变形为：，，，，，…，∴通项公式为a n==，令=，得，n=21故选：C．3．（5分）若不等式a＞b与同时成立，则必有（）A．a＞b＞0 B．C．a＞0＞b D．【解答】解：∵，∴，又∵a＞b，∴b﹣a＜0．∴ab＜0．∴a＞0＞b．故选：C．4．（5分）△ABC中，A=60°，b=4，为使此三角形只有一个，则a应满足的条件为（）A．0＜a＜4B．a=6 C．a≥4或a=6 D．0＜a≤4或a=6【解答】解：∵△ABC中，A=60°，b=4，∴作出△ABC的示意图，如图所示可得点C到直线AB的最短距离为以C为圆心，CB长为半径画弧，则当圆弧与射线AB有且只有一个公共点时，满足条件的△ABC只有一个，∵当圆弧半径R=6时，圆弧与射线AB相切，有唯一公共点；当圆弧半径R≥4时，圆弧与直线AB相交有两个交点，但只有一个交点在射线AB上∴当BC=6或BC时，满足条件的△ABC只有一个，即a≥4或a=6故选：C．5．（5分）已知等差数列{a n}满足，a1＞0，5a8=8a13，则前n项和S n取最大值时，n的值为（）A．20 B．21 C．22 D．23【解答】解：设数列的公差为d，由5a8=8a13得5（a1+7d）=8（a1+12d），解得，由a n=a1+（n﹣1）d=，可得，所以数列{a n}前21项都是正数，以后各项都是负数，故S n取最大值时，n的值为21，故选：B．6．（5分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ccosC=bcosB，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形【解答】解：利用正弦定理化简ccosC=bcosB，得：sinCcosC=sinBcosB，即sin2C=sin2B，∴sin2C=sin2B，∴2C=2B或2C+2B=180°，即B=C或B+C=90°，则△ABC为等腰或直角三角形．故选：C．7．（5分）已知各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n 使得=4a 1，则+的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由各项均为正数的等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，可得，∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．∵，∴q m+n﹣2=16，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6，∴，当且仅当=时，等号成立．故的最小值等于，故选：A．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（）A．4：3：2 B．5：6：7 C．5：4：3 D．6：5：4【解答】解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得cosA===，又3b=20acosA，可得cosA==．故有=，解得a=6，故三边分别为6，5，4．由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（a﹣2）=6：5：4，故选：D．9．（5分）设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+9y2﹣z=0，则当取得最大值时，的最大值为（）A．1 B．C．﹣1 D．3【解答】解：∵x2﹣3xy+9y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+9y2≥2=3xy，∵x，y，z均为正实数，∴≤=，当且仅当x2=9y2，即x=3y，此时z=9y2时取“=”，∴==﹣+=，∵y＞0，∴，∴≤1，∴≤1，∴的最大值为1．故选：A．10．（5分）数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1；b n=（﹣1）n a n（n∈N*）；则数列{b n}的前50项和为（）A．49 B．50 C．99 D．100【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1，∴a1=s1=3，当n≥2时，a n=S n ﹣s n﹣1=n2+n+1﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）+1]=2n，故a n=．∴b n=（﹣1）n a n =，∴数列{b n}的前50项和为（﹣3+4）+（﹣6+8）+（﹣10+12）+…（﹣98+100）=1+24×2=49，故选：A．11．（5分）已知实数x，y满足，且目标函数z=2x+y的最大值为6，最小值为1，其中b≠0，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵x=1，x+y=4得到x=1，y=3，代入2x+y=5，不是最大值也不是最小值∴由2x+y=6，x+y=4，得x=2，y=2，即交点坐标为（2，2）；由2x+y=1，x=1得x=1，y=﹣1，即交点坐标为（1，﹣1）；把x=2，y=2；x=1，y=﹣1分别入ax+by+c=0中，得到，∴c=4b∴故选：A．12．（5分）数列{a n}满足：a n=13﹣3n，b n=a n•a n+1•a n+2，S n是{b n}的前n项和，则S n的最大值（）A．280 B．308 C．310 D．320【解答】解：∵a n=13﹣3n，∴a1＞a2＞a3＞a4＞0＞a5＞a6＞…，∵b n=a n•a n+1•a n+2，∴b1＞b2＞0＞b3，b4＞0＞b5＞b6＞…，∴S n的最大值为S2，S4与中较大的一个，∵b1=a1a2a3=10×7×4=280，b2=a2a3a4=7×4×1=28，b3=a3a4a5=4×1×（﹣2）=﹣8，b4=a4a5a6=1×（﹣2）×（﹣5）=10，∴S2=280+28=308，S4=280+28﹣8+10=310，即S n的最大值为310．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在△ABC中，三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，若，则角C的大小为（或135°）．【解答】解：∵根据余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC∴2abcosC=a2+b2﹣c2∵若∴a2+b2﹣c2=﹣ab∴2abcosC=﹣ab∴cosC=﹣C=故答案为：14．（5分）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是．【解答】解：∵4x2+y2+xy=1∴（2x+y）2﹣3xy=1令t=2x+y则y=t﹣2x∴t2﹣3（t﹣2x）x=1即6x2﹣3tx+t2﹣1=0∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0解得∴2x+y的最大值是故答案为15．（5分）已知方程x2+（2+a）x+1+a+b=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则的取值范围（﹣，﹣）．【解答】解：由程x2+（2+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0故函数f（x）=x2+（2+a）x+1+a+b图象开口方向朝上又∵方程x2+（2+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2则，即即，其对应的平面区域如下图阴影示：∵=表示阴影区域上一点A与原点连线的斜率，以及边线4+2a+b=0的斜率之间．由图可知∈（﹣，﹣）故答案为：（﹣，﹣）．16．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=qa n+2q﹣2（q为常数，|q|＜1），若a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣1，6，30}，则a1=126．+2=q（a n+2），n=1，2，…，【解答】解：由已知可得，a n+1①当a n=﹣2时，显然有a3，a4，a5，a6∉{﹣18，﹣6，﹣1，6，30}，此时不合题意．②当a n≠﹣2时，{a n+2}为等比数列，且，（q为常数，|q|＜1），又∵a3，a4，a5，a6∈{﹣18，﹣6，﹣1，6，30}，∴a3+2，a4+2，a5+2，a6+2∈{﹣16，﹣4，1，8，32}，∵a n≠﹣2，∴a n+2≠0，又|q|＜1，从而a3+2=32，a4+2=﹣16，a5+2=8，a6+2=﹣4，故有a3=30，a4=﹣18，a5=6，a6=﹣6，且q=﹣，=qa n+2q﹣2，得，代入a n+1可得到a2=﹣66，a1=126．故答案为：126．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为AB=80m，BC=70m，CA=50m．假定A、B、C、O四点在同一平面内．（1）求∠BAC的大小；（2）求点O到直线BC的距离．【解答】解：（1）△ABC中，由于AB=80m，BC=70m，CA=50m，由余弦定理可得cosA===，故有A=60°，即∠BAC=60°．（2）过点O作OD⊥BC，D为垂足，则O到直线BC的距离即为OD．由于点O到、AB、C三点的距离相等，故O为△ABC的外心．由∠BAC=60°可得∠BOC=120°，故∠BOD=60°，且D为BC的中点，BD=35．Rt△BOD中，tan∠BOD=tan60°===，解得OD=．即O到直线BC的距离18．（12分）设{a n}是公比大于1的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列的公比为q＞1，∵S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．∴，解得∴．．（Ⅱ）由于，∴，∴，两式相减得：．∴．19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；（2）若a=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵A为三角形的内角，cosA=，∴sinA==，又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，整理得：cosC=sinC，则tanC=；（2）由tanC=得：cosC====，∴sinC==，∴sinB=cosC=，∵a=，∴由正弦定理=得：c===，则S=acsinB=×××=．△ABC20．（12分）如图所示，ABCD是一个矩形花坛，其中AB=4米，AD=3米．现将矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求：B在AM上，D在AN 上，对角线MN过C点，且矩形AMPN的面积小于64平方米．（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．【解答】解：（1）由△NDC∽△NAM，可得，∴，即，故，由且x＞3，解得4＜x＜12，故所求函数的解析式为，定义域为（4，12）．（2）令x﹣3=t，则由x∈（4，12），可得t∈（1，9），故，当且仅当，即t=3时，即当x=6时，S取最小值48．故当AN的长为6时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为48平方米．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+3．（Ⅰ）当x∈[﹣2，2]时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若对一切a∈[﹣3，3]，f（x）≥a恒成立，求实数x的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2+ax+3，∴f（x）≥a对x∈[﹣2，2]恒成立，即f（x）﹣a≥0对x∈[﹣2，2]恒成立，令g（x）=x2+ax+3﹣a，∴g（x）min≥0，g（x）的对称轴为x=﹣，根据对称轴与区间[﹣2，2]的位置关系，分以下三种情况讨论g（x）min：①当，即a≥4时，∵g（x）在[﹣2，2]上单调递增，∴g（x）min=g（﹣2）=7﹣3a，∴，∴a无解；②当时，即a≤﹣4时，∵g（x）在[﹣2，2]上单调递减，∴g（x）min=g（2）=7+a，∴，解得﹣7≤a≤﹣4，∴实数a的取值范围为﹣7≤a≤﹣4；③当，即﹣4＜a＜4时，∴，∴，解得﹣4＜a≤2，∴实数a的取值范围为﹣4＜a≤2．综合①②③可得，实数a的取值范围是﹣7≤a≤2；（Ⅱ）f（x）≥a对一切a∈[﹣3，3]恒成立，且f（x）=x2+ax+3，∴x2+ax+3﹣a≥0对一切a∈[﹣3，3]恒成立，令h（a）=（x﹣1）a+x2+3，要使h（a）≥0在区间[﹣3，3]恒成立，则，即，解得x≥0或x≤﹣3，∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞）．22．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，．（Ⅰ）证明：数列{a n+n}是等比数列；（Ⅱ）若，数列{c n}的前n项和为P n，求不超过P2013的最大整数的值．【解答】解：（Ⅰ）由．当n=1时，，解得．．②当n≥2时，．=﹣n﹣1，即2（a n+n）=a n﹣1+n﹣1，∴2a n﹣a n﹣1而，∴数列{a n+n}是首项为，公比为的等比数列，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴b n=n．==，∴．故不超过P2013的最大整数为2013．。