2013上半年运筹学第一次作业
运筹学1
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若将目标函数变为max Z = 2x1 + 4x2 ，则表示目标函数的等值线与约束 条件x1 + 2x2 ≤8的边界线x1 + 2x2 = 8平行。当Z值由小变大时，与线段Q 2Q3重合，如图1.3所示，线段Q2Q3上任意一点都使Z取得相同的最大值， 即这个线性规划问题有无穷多最优解。
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运筹学第一次作业指导
储宜旭
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运筹学
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实际问题线性规划模型的基本步骤： (1) 确定决策变量。这是很关键的一步，决策变量选取 得当，不仅会使线性规划的数学模型建得容易，而且 求解比较方便。 (2) 找出所有限制条件，并用决策变量的线性等式或不 等式来表示，从而得到约束条件。一般可用表格形式 列出所有的限制数据，然后根据所列出的数据写出相 应的约束条件，以避免遗漏或重复所规定的限制要求。 (3) 把实际问题所要达到的目标用决策变量的线性函数 来表示，得到目标函数，并确定是求最大值还是最小 值。
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线性规划问题的图解法
为了给后面的线性问题的基本理论提供较直观的几何说明， 先介绍线性规划问题的图解法。 我们把满足约束条件和非负条件的一组解叫做可行解，所有 可行解组成的集合称为可行域。 图解法的一般步骤如下。 (1) 建立平面直角坐标系。 (2) 根据线性规划问题的约束条件和非负条件画出可行域。 (3) 作出目标函数等值线Z = c(c 为常数)，然后根据目标函 数平移等值线至可行域边界，这时目标函数与可行域的交点 即最优解。
运筹学第一次作业
练习一1、 某厂接到生产A 、B 两种产品的合同,产品A 需200件,产品B 需300件。
这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。
在毛坯制造阶段,产品A 每件需要2小时,产品B 每件需要4小时。
机械加工阶段又分粗加工与精加工两道工序,每件产品A 需粗加工4小时,精加工10小时;每件产品B 需粗加工7小时,精加工12小时。
若毛坯生产阶段能力为1700小时,粗加工设备拥有能力为1000小时,精加工设备拥有能力为3000小时。
又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。
此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产,但加班生产时间内每小时增加额外成本4、5元。
试根据以上资料,为该厂制订一个成本最低的生产计划。
解:设正常生产A,B 产品数12,x x ,加班生产A,B 产品数34,x x13241324341324min 3(22444477)7.5(47)2(10101212)z x x x x x x x x x x x x x x =+++++++++++++.s t 13241212121220030024170047100010123000475000i x x x x x x x x x x x x x +≥⎧⎪+≥⎪⎪+≤⎪+≤⎨⎪+≤⎪+≤⎪⎪≥⎩且为整数，i=1,2,3,42、 对某厂I ,Ⅱ,Ⅲ三种产品下一年各季度的合同预订数如下表所示。
时为15000小时,生产I 、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。
因更换工艺装备,产品I 在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时,产品I ,Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元,产品Ⅲ赔偿10元;又生产出来产品不在本季度交货的,每件每季度的库存费用为5元。
问:该厂应如何安排生产,使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型,不需求解)。
解:设x ij 为第j 季度产品i 的产量,s ij 为第j 季度末产品i 的库存量,d ij 为第j 季度产品i 的需求量。
运筹学第一次作业
先用单纯形法求出最优解，然后分析在下列各种条件下，最优解分别有什么变化？（1）约束条件①的右端常数由20变为30；（2）约束条件②的右端常数由90变为70；（3）目标函数中X 3的系数由13变为8；（4） X 1的系数列向量由 变为； （5）增加一个约束条件③⎪⎩⎪⎨⎧≥≤++≤++-++-=0x ,x ,x ）2（90x 10x 4x 12）1（20x 3x x .t .s x 13x 5x 5Z max 321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50）3（50x 5x 3x 2321≤++在上述线性规划问题的第①、②个约束条件中分别加入松弛变量X4，X5得列出此问题的初始单纯形表，并进行迭代计算，由表可知，线性规划问题的最优解X*=(0，20，0，0，10)T，目标函数最优值z*=5×20=100。
(1) 列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解，由表可知，线性规划问题的最优解变为X*=(0，0，9，3，0)T，目标函数最优值z*=13×9=117。
（2）列出单纯形表，并利用对偶单纯形法求解由表可知，线性规划问题的最优解变为X*=(0，5，5，0，0)T，目标函数最优值z*=5×5+13×5=90。
(3)x3为非基变量，其检验数变为σ3=8-5×3-0×(-2)=-7＜0，所以线性规划问题的最优解不变。
(4) x1在最终单纯形表中的系数列向量变为P'1=B-1，从而x1在最终单纯形表中的检验数变为(X1X2X3)=(0200)f max=100所以线性规划问题的最优解不变(5)增加一个约束条件：2x1+3x2+5x3≤50。
在约束条件③中加入松弛变量x6，得2x1+3x2+5x3+x6=50，加入原单纯形表，并进行迭代计算。
由表中计算结果可知，目标函数最优值。
运筹学第1次及目标规划
第一次实验要求：建模并求解（excel规划求解）1、合理下料问题．现要做100套钢架，每套由长2.8米、2.2米和1.8米的元钢各一根组成，已知原材料长6.0米，问应如何下料，可以使原材料最省？如果每套钢架由2.8米的元钢1根、2.2米的元钢2根、1.8米的元钢3根，则如何修改数学模型？2、配料问题．某工厂要用三种原材料甲、乙、丙混合调配出三种不同规格的产品A、B、C．已知产品的规格要求、产品单价、每天能供应的原材料数量及原材料单价（分别见表1和表2），问该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？表1表23、连续投资问题．某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：项目A，从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；项目B，第三年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目C，第二年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目D，五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%．该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第五年末拥有的资金的本利总额为最大？4、购买汽车问题．某汽车公司有资金600 000元，打算用来购买A、B、C三种汽车．已知汽车A每辆为10 000元，汽车B每辆为20 000元，汽车C每辆为23 000元．又汽车A每辆每班需一名司机，可完成2 100吨·千米；汽车B每辆每班需两名司机，可完成3 600吨·千米；汽车C每辆每班需两名司机，可完成3 780吨·千米．每辆汽车每天最多安排三班，每个司机每天最多安排一班．限制购买汽车不超过30辆，司机不超过145人．问：每种汽车应购买多少辆，可使每天的吨·千米总数最大？5、人员安排问题．某医院根据日常工作统计，每昼夜24小时中至少需要如下表所示数量的护士，护士们分别在各时段开始时上班，并连续工作8小时，向应如何安排各个时段开始上班工作的人数，才能使护士的总人数最少？目标规划实验要求：建模并求解(1-5选2个,6-12选3个)【案例6.1】升级调资问题．某高校领导在考虑本单位员工的升级调资方案时，依次考虑如下的目标：(1)年工资总额不超过900万元；(2)每级的人数不超过定编规定的人数；(3)副教授、讲师、助教级的升级面尽可能达到现有人数的20％；助教级不足编制的人数可直接聘用应届毕业研究生．教授级人员中有10％要退休．有关资料见表6.6，请为该领导拟定满意的方案．表6.6【案例6.2】农场生产计划问题．友谊农场有3万亩农田，欲种植玉米、大豆和小麦三种农作物．各种作物每亩需施化肥分别为0.12吨、0.20吨、0.15吨．预计秋后玉米每亩可收获500kg，售价为0.24元／千克，大豆每亩可收获200千克，售价为1.20元／千克，小麦每亩可收获300千克，售价为0.70元/千克．农场年初规划时考虑如下几个方面：P1：销售收入不低于350万元；P2：总产量不低于1.25万吨；P3：小麦产量以0.5万吨为宜；P4：大豆产量不少于0.2万吨；P5：玉米产量不超过0.6万吨；P6：农场现能提供5 000吨化肥；若不够，可在市场高价购买，但希望高价采购量愈少愈好．试就该农场生产计划建立数学模型．【案例6.3】多目标运输问题．已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量和单位运价，见表6.7有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项目标，并规定其相应的优先等级：P1：B4是重点保证单位，必须全部满足其需要；P2：A3向B1提供的产量不少于120；P3：每个销地的供应量不小于其需要量的80%；P4：所订调运方案的总运费不超过最小运费调运方案的20%；P5：因路段的问题，尽量避免安排将A2的产品运往B4；P6：给B1和B3的供应率要相同；P7：力求总运费最省．试求满意的调运方案．表6.7【案例6.4】电台节目安排问题．一个小型的无线电广播台考虑如何最好地来安排音乐、新闻和商业节目时间．据有关规定，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每分钟可收入250美元，新闻节目每分钟需支出40美元，音乐节目每播一分钟费用为17.50美元．根据规定，正常情况下商业节目只能占广播时间的20％，每小时至少安排5分钟新闻节目．问每天的广播节目该如何安排?优先级如下：P1：满足规定要求；P2：每天的纯收入最大．试建立该问题的目标规划模型．【案例6.5】混合配方问题．某酒厂用三种等级的原料酒I、II、III兑制成三种混合酒(A、B、C牌)．这些原料酒的供应量受到严格限制，它们每日的供应量分别为1 500千克，2 000千克和1 000千克，供应价格分别为18元/千克，13.5元/千克和9元/千克．三种混合酒的配方及售价见表6.8．表6.8厂长确定：首先必须按规定比例兑制混合酒；其次是获利最大；再次是混合酒A每天至少生产2 000千克．试建立数学模型．6、公司决定使用100万元新产品开发基金开发A，B，C三种新产品．经预测估计，开发A，B，C三种新产品的投资利润率分别为5％，6％，8％．由于新产品开发有一定风险，公司研究后确定了如下优先顺序目标：第一，A产品至少投资30万元；第二，为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过开发基金总额的35%；第三，应至少留有10％的开发基金，以备急用；第四，使总的投资利润最大．试建立投资方案的目标规划模型．7、某电子制造公司生产两种立体声耳机，一种为普及型，装配一个需1小时，另一种为豪华型，每个装配时间为2小时．正常的装配作业每周限定为40小时．市场调查表明，每周生产量普及型不超过30件，豪华型不超过15件．净利润普及型为每件40元，豪华型每件60元．已知公司经理对优先级的排序如下：P1：总利润最大；P2：装配线尽可能少加班；P3：销售耳机尽可能多；试建立此问题的目标规划模型．8、某工厂生产甲、乙两种产品，单位甲产品可获利6元，单位乙产品可获得4元．生产过程中每单位甲、乙产品所需机器台时数分别为2和3个单位，需劳动工时数分别为4和2个单位．该厂在计划期内可提供100个单位的机器台时数和120个劳动工时数，如果劳动力不足尚可组织工人加班．该厂制定了如下目标：第一目标：计划期内利润达180元；第二目标：机器台时数充分利用；第三目标：尽量减少加班的工时数；第四目标：甲产品产量达22件，乙产品产量达18件．上述四个目标分别为四个不同的优先等级．请列出该目标规划问题的数学模型，并用图解法、单纯形法(表格形式)分别求解之．9、已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋中的维生素及胆固醇含量等有关数据如下表，如果只考虑三种食物，并且设立了下列三个目标：第一，满足三种维生素的每日最小需要量；第二，使每日摄入的胆固醇最少；第三，使每日购买食品的费用最少．要求建立问题的目标规划模型．10、某工厂生产白布、花布两种产品，其生产率皆为1 000米/小时；其利润分别为1.5元／米和2.5元／米；每周正常生产时间为80小时(加班时间不算在内)．第一目标：充分利用正常生产时间进行生产；第二目标：每周加班时数不超过10小时；第三目标：销售花布要求达到70 000米，白布达45 000米；第四目标：每周利润达15万元．试建立上述问题的数学模型．11、某工厂生产唱机和录音机两种产品，每种产品均需经A、B两个车间的加工才能完成．表中给出了全部已知条件，要求尽可能实现的目标有以下六个：第一目标：仓库费用每月不超过4 600元；第二目标：唱机每月售出50台；第三目标：勿使A、B车间停工(权系数由两车间的生产费用决定)；第四目标：车间A加班不超过20小时；第五目标：录音机每月售出80台；第六目标：车间A、B加班时数的总和要限制(权系数由两车间的生产费用决定)．试列出该问题的目标规划数学模型．12、某公司下设三个工厂，生产同一种产品，现在要把三个工厂生产的产品运送给四个订户．工厂的供应量、订户的需求量以及从三个工厂到四个订户的单位运费如表所示(表格中方格内数字为单位运费)．现在要作出一个产品调运计划，依次满足下列各项要求：p1：订户4的订货量首先要保证全部予以满足；p2：其余订户的订货量满足程度应不低于80％；p3：工厂3调运给订户1的产品量应不少于15个单位；p4：因线路限制，工厂2应尽可能不分配给订户4；p5：订户1和订户3的需求满足程度应尽可能平衡；p6：力求使总运费最小．试建立上述问题的目标规划模型．。
运筹学考试复习资料
《运筹学课程》第一次作业 第一题：某工厂生产某一种型号的机床，每台机床上需要2.9m 、2.1m 、1.5m 的轴、分别为1根、2根、1根。
这些轴需用同一种圆钢制作，圆钢的长度为7.4m 。
如果要生产100台机床，问应如何安排下料，才能用料最省？试建立其线性规划模型。
第二题：用图解法求解，线性规划问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤+=0,52426155..2max 212121221x x x x x x x t s x x Z 第一题：求以下各图的最小支撑树（1）（2）第二题：表1《运筹学课程》第二次作业第一题：用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最忧解、多重最优解、无界解或无可行解．第二题：将下列线性规划模型的一般形式转化为标准型（1）()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞-∞∈≥≤++=+-≥+-+-=，321321321321321,0,1036345..32max x x x x x x x x x x x x t s x x x Z （2）()⎪⎩⎪⎨⎧-∞∞∈≥≤-≤-+--=++-+-=,,0,0824..22min 321321321321x x x x x x x x x t s x x x Z第三题：用单纯型法求解线性规划问题，并用图解法进行验证注：按照我上课所讲例题的求解步骤进行（参照课件），好好理解单纯型法的基本原理，做题时先不要使用单纯型法的表格形式。
第四题：自己亲自动手推到一下单纯型法中的检验数，参照课件中29-31页。
第一题：（1）求点v 1到图中个点的最短路；（2）指出v 1不可到达哪些点。
第二题：已知某地区的交通网络如图所示，图中点代表居民小区，边表示公路，l ij为小区间公路距离，问该地区中心医院应建在哪个小区较为合适。
第一题：用最简单方法求解该线性规划问题（提示：求出该问题的对偶问题，然后用单纯型法求解对偶问题，可减少计算量，从最后一张单纯形表获得原问题的最优解）第二题：表1第三题：已知产销平衡问题，见表2表2分别用“最小元素法”和“伏格尔法”求该问题的初始基可行解，并求出这两个基可行解的目标函数值。
运筹学第一次作业详解
1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。
（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,42366432min 21212121x x x x x x x x z（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤++=0,12432223max 21212121x x x x x x x x z（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤++=83105120106max 212121x x x x x x z（4）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≥-+=0,2322265max 21212121x x x x x x x x z1.2将下述线性规划问题化成标准形式。
（1）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束4,03,2,12321422245243min 4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z解：令z z -='，''4'44x x x -=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=-+-++-=+-+-+=-+-+-+-+-=0,,,,,,232142222455243'max 65''4'43216''4'43215''4'4321''4'4321''4'4321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x z （2）⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤-+-=++-+-=无约束3,02,016324322min 21321321x x x x x x x x x x x x z解：令z z -='，1'1x x -=，''3'33x x x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++-+=-+++-+=0,,,,6243322'max 4''3'32'14''3'32'1''3'32'1''3'32'1x x x x x x x x x x x x x x x x x x z1.3对下述线性规划问题找出所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解。
2013《运筹学》考试题及其答案
T()
15
{10}
oo
11
00
00
6
P( )+Wi
j
10+0
10
+4
10+0
10+0
10+0
T()
15
14
{11}
00
00
7
P( )+Wi
j
11+0
11+0
11+0
11+9
T()
15
{14}
00
20
8
P( )+Wi
j
14+o
14+
1
14+o
T()
{15}
{15}
11
9
P( )+wi
j
15+
4
T()
0
1
0
3/5
1/5
0
6/5
0
X3
0
0
1
1
1
1
0
rj(-z)
0
0
0
1/5
—M+7/5
——M
18
/5
表中所有检验数rj0,根据最优解定理，问题存在唯一的最优解X(3,§,0,0,0,0)t,目标函
5 5
数的最优值maxz43 618。
555
二、试用表上作业法求解下列运输问题的最优解。
'产
B1
B2
B3
B4
初始值
T(
)
{0}
00
00
oo
oo
OO
oo
运筹学一试题1
（可不抄题，答案必须写在我校统一配发的专用答题纸上！）一、 （13分） 某汽车公司有资金600000元，打算用来购买A 、B 、C 三种汽车。
已知汽车A 每辆为10000元，汽车B 每辆为20000元，汽车C 每辆为23000元。
又汽车A 每辆每班需一名司机，可完成2100吨-公里；汽车B 每辆每班需两名司机，可完成3600吨-公里；汽车C 每辆每班需两名司机，可完成3780吨-公里。
每辆汽车每天最多安排三班，每个司机每天最多安排一班。
限制购买汽车不超过30辆，司机不超过145人。
问：每种汽车应购买多少辆，可使每天的吨-公里总数最大？要求建立这个问题的线性规划模型。
（不用求解）二、 （16分） 考虑线性规划问题max Z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4约束条件 x 1 + x 2 ≤ 2x 3 + x 4 ≤ 5x j ≥ 0 j = 1, 2, 3, 4（1） 求此线性规划问题的全体最优基可行解； （2） 确定任意最优解的表达式。
三、 （12分） 判断下列说法是否正确，为什么？（1） 若线性规划的原问题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解；（2） 若线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解； （3） 如果线性规划的原问题和对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题一定具有最优解；（4） 已知线性规划问题 max Z = CX , AX ≤ b , X ≥ 0 。
若X ~是它的一个基解，Y ~是其对偶问题的一个基解，则恒有b Y ~X ~C ≤。
四、 已知线形规划问题min Z = 8x 1 ＋ 6x 2 + 3x 3 ＋ 6x 4约束条件 x 1 + 2x 2 + x 4 ≥33x 1 ＋ x 2 + x 3 ＋ x 4≥6 x 3 ＋ x 4≥2 x 1 + x 3 ≥2 x 1，x 2，x 3，x 4≥0 （1） 写出其对偶问题；（2） 已知原问题最优解为X *=(1,1,2,0),试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。
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一．填空题
1.节点、箭线是网络计划图的基本元素。
2. 一般的排队系统由 _输入过程__,排队规则__，_服务机构___组成。
3.等待制的服务规有:__先到先服务__,__后到先服务__,__随机服务__,有优先权的服务_。
4. ___具有对策行为_的模型称为对策模型。
5. 对策模型包含的基本要素有：__局中人_______、_策略集_、___赢得函数___。
二．名词解释
（1）策略：一局对策中，可供局中人选择的一个实际可行的完整的行动方案。
（2）局中人：在一个对策行为（或一局对策）中，有权决定自己行动方案的对策参加者。
（3）主观概率：，是由决策者对事件的了解去确定，而这样确定的概率反映了决策者对事件出现的信念程度。
（4）先验概率：是指根据以往经验或专家评估分析得到的概率。
（5）决策树：有些决策问题，当进行决策后又产生一些新情况，并需要进行新的决策，又接着又有一些新情况，又需要进行新的决策，这样决策，情况，决策……构成一个序列，这就是序列决策。
描述序列决策的有力工具之一是决策树，决策树是由决策点，事件点及结果成的树形图。
三．解答题
1.某厂有大量同一型号的车床，当这种车床损坏后或送机修车间或由机修车间派人来修理。
已知该车床损坏率服从泊松分布，平均每天2台。
又机修车间对每台
损坏车床的修理时间为负指数分布的随机变量，平均每台的修理时间为,天。
但是一个与机修人员编制及维修设备好坏（即与机修车间每年开支费用K）有关的函数。
已知
又知机器损坏后，每台每天的生产损失为400元，每个月工作天数为22天，
试决定使该厂生产最经济的K及值。
解：设机器损坏造成的生产损失S 1；（2）机修车间的开支S 2。
要使整个系统最经济，就是要使S = S 1 +S 2为最小。
以一个月为期进行计算如下： S 1=（正在修理和待修机器数）×（每台每天的生产损失）×（每个月的工作日数）=
S2 = K / 12
令 ，得
K =16430元 μ=17.65
2.某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从泊松分布，平均每小时4人，修理时间服从指数分布，平均需6分钟，求：
（1）修理店空闲的时间概率
（2）店内有3个顾客的概率
（3）店内至少一名顾客的概率
（4）在店内顾客平均数
（5）在店内平均逗留时间
（6）等待服务的顾客平均数
（7）平均等待修理的时间
（8）必须在店内耗费15分钟以上的概率。
解:本例可看成一个M/M/1/∞/∞排队问题，其中
（1）修理店空闲概率 240022880088008800010001000119s L ..K .K .λλμλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯=⨯=⨯=⨯ ⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
2880012000119S K /.K .⎛⎫=⨯+ ⎪-⎝⎭21176000001012000119dS .dK (.K .)
⨯=-=-
（2）店内有3个顾客的概率
（3）店内至少有1个顾客的概率
（4）在店内的顾客平均数
Ls= /( - )=4/(10-4)=0.667人
（5）在店内的平均逗留时间
Ws=1 =1/(10-4)=0.167h
（6）等待服务的顾客平均数
Lq= / =4*0.4/(10-4)=0.267人
（7）平均等待修理(服务)时间
（8）必须在店内消耗15分钟以上的概率
P(T>15)= exp(/4)=exp(-(10-4)/4)=exp(-1.5)=0.223 2. 用线性规划求下列矩阵对策
A=
解：求解问题可化成两个互为对偶的线性规划问题
min（x1+x2+x3）
3x
1-1x
2
-3X
31
≥
-3x
1+3x
2
-1x
31
≥
-4x
1-3x
2
+3x
31
≥
x 1,x
2
,x
30
≥
max(y1+y2+y3)
3y1-1y2-3y31
≤
-3y1+3y2-1y31
≤
-4y1-3y2+3y31
≤
y1+y2+y30
≥
四．证明题
1.证明如下序列不可能是某个简单图的次的序列：
（1）7,6,5,4,3,2
（2）6,6,5,4,3,2,1
（3）6,5,5,4,3,2,1
证明：
1.已知定理：∑∈v v v d)(=2q,而在此序列中，∑)(v d=27，为奇数，所以此序
列不可能为图的次的序列。
又知定理：奇点的个数应为偶数，而在此序列中，奇点7，5，3为奇数个，所以此序列不可能为图的次的序列。
2.在序列中，奇点5，3，1为奇数个，所以此序列不可能为图的次的序列。
3.对于七顶点的图，假定d(v1)=6,d(v2)=5,d(v7)=1,并假设G为简单图，则
v1存在与其它六个点的连线（包含与v7）,v2与v1间存在边e12,而v7次为1，所以必不与v1外的其它点相连，因而v2 与除v1，v7外的四点间各有一连线。
假设G（V，E）为简单位图，则余下的v3,v4,v5,v6中任一点（用vi 表示）已确定存在ei,ei2，无ei7，对于d(vi)=5的该点来说，必与除 v7外的每一点都有连线，由此推论，v4,v5,v6都同时与v1,v2,v3，相连，即v4,v5,v6的次至少是3，这与d（v6）=2相矛盾。
故假设不成立，该图中可能有环或多重边，非简单图的次的序列。