数学知识点浙教版九上3.2《圆的轴对称性》word教案-总结
九年级数学3.2 圆的对称性课件
知3－讲
例3 如图, AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且 AD=CE . BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE. 理由是 ∵ ∠AOD=∠BOE, ∴ AD=BE .
又∵ AD=CE，
∴ BE=CE . ∴ BE=CE.
知3－练
︵ 1 A，B是⊙O上的两点，∠AOB= 120°，C是AB的中
知2－讲
例2 以下命题中，正确的选项是C ( ) ①顶点在圆心的角是圆心角；
②相等的圆心角所对的弧也相等；
③在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．
A．①和②
B．②和③
C．①和③
D．①②③
知2－讲
导引：①根据圆心角的定义知，顶点在圆心的角是圆心角， 故正确；②缺少条件，必须是在同圆或等圆中，相等 的圆心角所对的弧才相等，故错误；③根据弧、弦、 圆心角之间的关系定理，可知在等圆中，假设圆心角 相 等，那么所对的弦相等，假设圆心角不等，那么所对 的弦也 不等，故正确．
知2－练
5 AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，∠COE＝ 40°，那么B︵D的度数是( D )
A．70°
B．110°
C．40°
D．70°或110°
知识点 3 相等圆心角、弧、弦之间的关系
知3－导
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的
位置，你能发现哪些等A1OB1
总结
知1－讲
将一个图形绕一个定点旋转时, 具有以下特性:一 是旋转角度、方向相同，二是图形的形状、大小保持 不变，因此此题圆中变换位置前后对应的弧、角、线 段都相等．
知1－练
1 日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有 关，试举几例. 解：略.
九年级数学《3-2 圆的对称性》课件
B
E
·
C
O
D
A
例2 如图，AB是⊙O 的直径， BC=CD=DE， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
ED
C
A
· O
B
例3 如图，在⊙O中， A⌒B=A⌒C ,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
O·
B
C
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD BC
求证:AB＝CD.
第三章 圆
3.2 圆的对称性
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.掌握圆是轴对称图形及圆的中心对称性和旋 转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其 解决相关问题.（重点）
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在 同圆或等圆”条件的意义.（难点）
圆的对称性
自主学习
圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
在 同 圆 或 等 圆 中
当堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么 （ D ） A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 60 °.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则A⌒B与C⌒D
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
C B
D
归纳 由圆的旋转不变性，我们发现：
·
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD
O
A
那么，AB CD ，弦AB=弦CD
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关
系是否依然成立？为什么？
九年级数学上册 3.2《圆的轴对称性》学案(1)(无答案) 浙教版
九年级数学上册 3.2《圆的轴对称性》学案（1）（无答案） 浙教版我预学1. 在七年级下册第二章中，我们曾经学过轴对称图形和轴对称变换，在回忆轴对称图形的定义和轴对称变换的性质后，判断下列图形是否是轴对称图形，若是，请画出它相应的对称轴.2. 如图，点P 是圆上一点，先作出圆的一条对称轴l ，再作出点P 关于直线l 的对称点（不写作法，但须保留作图痕迹）.3. 对本节教材中，圆的性质“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧”， 你是如何理解的？你能说明它的合理性吗？【我求助】预习后，你或许有些疑问，请写在下面的空白处：我梳理【我反思】通过本节课的学习，你一定有很多感想和收获，请写在下面的空白处：我达标1．如图，已知⊙O 的直径AB ⊥弦CD 于点E ，下列结论中一定正确的是（ ）A. AE =OEB. ∠AOC =60°C. CE =DED. OE =CE圆的轴对称性 相关概念垂径定理圆是 图形，每一条 都是圆的对称轴.垂直于弦的直径平分 ； 能够 的圆弧叫做相等的圆弧；圆心P知识链接：圆是个轴对称图形，对称轴是，只要是对称轴两侧的，无论的长是 .3．在半径为5的⊙O中，若弦AB=8，则△AOB的面积为 .4．若⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM的长度范围是 .小贴士：利用垂径定理的性质我们可以得到一个以半径、弦心距和弦的一半为5．如图,，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，求证：四边形OACB是菱形．6．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC．（1）求证：AC平分∠OAB；（2）过点O作OE⊥AB于点E，交AC于点P．①若AB=2，∠AOE=30°，求PE的长；②若AB=10，OA=13，求OP的长．小贴士：半径为边的等腰三角形和垂径定理中的直角三角形是经常需要构造利用的两个我挑战7．圆的半径为13cm，两弦AB=24cm，CD=10cm，且AB∥CD，，则两弦AB、CD的距离是．8．如图，⊙O过点B、C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为．9. 如图，AB是半径为5的圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形．其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上．则四边形CDMN和DEFG的面积之和为．10．每位同学都能感受到日出时美丽的景色．如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A ﹑B 两点，他测得“图上”太阳的半径为5厘米，AB =8厘米，若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16分钟，则求太阳升起的平均速度为多少？（已知太阳的实际半径约为6.90×108米）我登峰11．请在⊙O 内作一个等边△ABC ，使得△ABC 的顶点都在⊙O 上 (不写作法，保留作图痕迹) .8 9 . O。
圆的对称性教案(10篇)
圆的对称性教案（10篇） 圆的对称性教案 1 教学目标 1.通过操作，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。
2.激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括能力，发展学生的空间观念。
3.渗透转化的数学思想和极限思想。 教学重、难点： 圆面积公式的推导与运用。 学具：16等份和32等份的圆形、剪刀、刻度尺、一张圆形纸片。边长等于r正方形透明塑料片
教学过程 一、设疑导入，激发动机 1.请同学们拿出准备好的圆，用手摸一摸，引导说说关于圆，都知道了什么，为学新知做好铺垫。
2.引导确定新的学习目标：还想知道圆的什么知识，适时揭示课题，(板书课题：圆的面积) 3.引导简单回忆平行四边形、三角形、梯形面积公式的推导方法，鼓励学生自己动手，运用转化法探索圆面积的计算方法。
二、动手操作，探索新知 1.猜想、引导，确定方法 师：我们曾运用转化法探索出了平行四边形、三角形、梯形面积的计算公式，相信同学们也一定能把圆转化为学过的图形，从而探索出圆面积的计算方法。同学们猜想一下，圆可能转化为哪些平面图形呢?
(学生可能会想到长方形、平行四边形、三角形、梯形等。) 师：请同学们看手中的学具，想一想把圆怎样剪?剪成什么样的'图形?
(根据学生猜想，指导学生试着把圆平均分成8、16、32个相等的扇形，然后拼一拼，看能拼成什么图形。)
2.动手操作，尝试探究 师请同学们动手剪拼一下，看到底能拼成什么图形。 (学生动手操作，小组合作探究) 师谁能向大家汇报一下，你把圆拼成了什么图形?请你把拼好的图形放在实物投影上展示给大家看。(各小组汇报，共享思维成果)
3.课件演示，突破难点 师课件演示，再现将圆16等份转化成近似的长方形的过程；再将圆32等份转化成近似的长方形的过程。引导思考：
(1)圆与有近似的长方形有什么关系? (2)把圆16等份和32等份后，拼成的图形有什么区别? (3)如果等分份数仅需增加，结果会怎样? 师：课件进一步演示把一个圆等分成64份、128份…拼成长方形，是学生之观感知：将圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形。
3.2圆的轴对称性1
作业
(1) :作业本
∵CD为直径，CD⊥AB（OC⊥AB）
∴ EA=EB， AC=BC，AD=BD．
⌒
⌒
⌒
⌒
A
C E B
O
D
例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这 条弧的中点．(先介绍弧中点概念）
作法： ⒈ 连结AB. ⒉作AB的垂直平分线 CD， 交弧AB于点E.
E A D B C
⌒
点E就是所求弧AB的中点．
变式一： 求弧AB的四等分点．
思路： 先作出圆心O到水面的距离 OC，即画 OC⊥AB， ∴AC=BC=8，在Rt△OCB中，
OC OB 2 BC 2 10 2 82 6
．
O A C B
∴圆心O到水面的距离OC为6．
例3 已知：如图，线段AB与⊙O交于C、 D两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．
思路：
（2）圆的对称轴有无数条．
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（
）
1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD；
2．作一条和直径CD的垂线的弦，AB与CD相交 于点E． 问题：把圆沿着直径CD所 在的直线对折，你发现哪 些点、线段、圆弧重合？
A
C E B
O
D
三、新知识在你们动手实验中产生
A
得出结论：
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ①EA=EB；② AC=BC，AD=BD．
C E B
O
D
理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt∠，
根据圆的轴轴对称性，可得射线EA与EB重合， ∴点A与点B重合，弧AC和弧BC重合，弧AD和弧BD重 ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 合．
思考：你能利用等腰三角形的性质，说明OA平分CD 吗？（课内练习1）
九年级数学上册 3.2 圆的轴对称性 浙教版
Ｍ
Ｎ
Ｐ
2．作AT、BT的垂直平分
线EF、GH
A
强调：等分弧时一定
Ｔ
B
要作弧所对的弦的垂
直平分线．
F
D
Ｈ
整理课件
如图，AB是A⌒B所对的弦，AB的垂直平分线DG交 ⌒AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ① DG⊥AB②AG=BD ③B⌒D=A⌒D
其中正确的是_①___③____（只需填写序号）
D
A
G
B
整理课件
如图，已知在⊙O中，弦AB的长 为16厘米，圆心O到AB的距离为6 A 厘米，求⊙O的半径。
E
B
.
O
解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E，
则OE＝6厘米，AE＝BE。 ∵AB＝18厘米 ∴AE＝8厘米
在Rt△AOE中，根据勾股定理有 OA＝10厘米 ∴⊙O的半径为10厘米。
整理课件
例2：如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C, 由定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8 由勾股定理得:
10 C 88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6 D 答:截面圆心O到水面的距离为6
概念：整理课弦件 心距
例题3
已知：如图，在以O为圆心
的两个同心圆中，大圆的弦
AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
O.
A
E┐
C
D
B
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD
整理课件
练1：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D， 求半径OC的长。
浙教版九年级上3.2圆的轴对称性(第2课时)课件ppt
（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.
（7）平分弦的直线，必定过圆心.
（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦.
A
C
OD
(6) B
C
•O
A
B
(7) D
C
•O
A
B
(8) D
（9）弦的垂直平分线一定是圆的直径.
（10）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦. （11）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心……………………………………..( √ ) （3）不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分…………………………………………...( × ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧………………………………………( × ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
相信自己能独 立完成解答.
船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱,AB 所在圆的圆心为O,半径为Rm,
经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与 AB 相交于点C.根
据 由垂题径设定得理A,BD是 A7.B2的,C中D点,2C.是4, HANB的中1点M,CND就1.是5.拱高.
1
1
2
AD AB 7.2 3.6,
• A⌒B是⊙O的一条弧,且A⌒C=⌒BC.
下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
• 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说
C
说你的想法和理由.
A
●
M
B 小明发现图中有:
●O
由A⌒CCD=是B⌒直C 径
可推得
D
AM=BM CD⊥AB,
浙教版九年级上3.2圆的轴对称性(第二课时)课件ppt
复习
• 定理 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两 条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径,
B
CD⊥AB,
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D
⌒
=BD.
D
CD为直径 条件
CD⊥AB
CD平分弦AB 结论 CD平分弧ACB
CD平分弧ADB
探索规律
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
y A C
B
Ox
课堂小结
1、圆是轴对称图形，其对称轴是每一条直径所在的直线或 经过圆心的每一条直线。
2、垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦弦所对的两条弧。 C
CD过圆心 CD⊥AB
CD平分弦AB
CD平分弧ACB
O
CD平分弧ADB
A
B
D
垂径定理及逆定理
●O
条件 结论
命题
①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧. D
①③ ②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ①⑤ ②③④ 另一条弧.
②③ ②④ ②⑤
①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
M
A
B
N
O
赵州石拱桥
例2、1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥 (如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的 长)为 37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓 形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
你是第一 个告诉同 学们解题 方法和结 果的吗？
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3.2 圆的轴对称性（一）
教学目标
知识目标
1．理解圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．
2．掌握圆的性质（垂径定理），并会用它解决有关弦、弧、•弦心距及半径之间关系的证明和计算．
能力目标：经历折纸、画图、归纳等过程，培养学生的探索能力和应用能力．
情感目标：通过合作学习，探索圆的性质；让学生亲身体验、直观感知，并操作确认，激发学生自主学习和应用数学的意识．
教学重点难点
重点：探索圆的轴对称性和圆的性质．
难点：用圆的轴对称性推导出圆的性质及其应用．
课堂教与学互动设计
【创设情境，引入新课】
复习提问：（1）什么是轴对称图形？
（2）正三角形是轴对称性图形吗？有几条对称轴？
（3）圆是否为轴对称图形？如果是，它的对称轴是什么？•你能找到多少条对称轴？──引入新课
【合作交流，探究新知】
一、自主探索
1．在透明纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径，•然后沿着直径所在的直线把纸折叠，你发现了什么？
2．结论：圆是_________图形，_________的直线都是对称轴．
二、合作学习
1．在圆形纸片（如图3-3-1所示）上任意画一条直径CD，然后在CD上任意取一点E，过E画弦AB⊥CD于点E，把圆形纸片沿直径对折，观察直径CD两侧，你发现哪些点、线互相重合？有哪些圆弧相等？
图3-3-1
2．请你用命题的形式表达你的结论．
3．请你对上述命题写出已知、求证，并给出证明．
4．圆的性质（垂径定理）：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
三、概括性质
1．直径垂直于弦.
.⎧⇒⎨⎩直径平分弦直径平分弦所对的弧
例如：CD 是直径，AB ⊥CD EA=EB ，CA CB =，DA DB =．
2．分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．例如，图3-3-1中，•点C•是AB 的中点，D 是ADB 的中点．
【例题解析，当堂练习】
例1 （课本例1）已知AB （如图3-3-2），用直尺和圆规求作这条弧的中点．
图3-3-2
练一练
如图3-3-3，同心圆O 中，大圆的弦AB 与小圆交于C ，D 两点，判断线段AC 与BD 的大小关
系，并说明理由．
图3-3-3
例2 （课本例2）一根排水管的截面如图3-3-4所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽
AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．
图3-3-5
想一想
在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什么关系？
练一练 在直径为20cm 的球形油槽内装入一些油后，截面如图3-3-5所示，•如果油面宽是
16cm ，求油槽中油的最大深度．
图3-3-5
课外同步训练
【轻松过关】
1．⊙O 的弦AB 的长为16cm ，弦AB 的弦心距为6cm ，则⊙O 的半径为（ ）
A ．6cm
B ．8cm
C ．10cm
D ．12cm
2．圆是轴对称图形，它的对称轴有（ ）
A ．1条
B ．2条
C ．4条
D ．无数条
3．如图3-3-6，在⊙O 中，直径MN ⊥AB ，垂足为C ，则下列结论中错误的是（ ）
A ．AC=BC
B ．AN BN =
C ．AM BM =
D ．OC=CN
图3-3-6 图3-3-7 图3-3-8
4．如图3-3-7，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠BOC ≠∠AOC ，则图中相等的弧共有（ ）
A ．2对
B ．4对
C ．6对
D ．8对
5．⊙O 的半径为6cm ，垂直平分半径的弦长是_______cm ．
6．如图3-3-8，已知AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O 的半径OB=_______cm．
7．如图3-3-9，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，请你写出一个你认为正确的结论_________．
图3-3-9 图3-3-10 图3-3-11
8．如图3-3-10，OA为⊙O的半径，弦CB⊥OA于点P，已知OC=5，OP=3，则弦CB•的长为
________．
9．如图3-3-11，CD为圆O的直径，弦AB⊥CD，P为垂足，•AB=•8cm，•PD=•2cm，•则
CP=______cm．
10．如图3-3-12所示，在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，•如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是_______cm．
图3-3-12 图3-3-13
11．•“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问长几何？”用现在的语言表达是：如图3-3-13所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长．
12．如图3-3-14，已知AB交⊙O于C，D两点，且AC=BD，你认为OA=OB吗？为什么？
图3-3-14
【适度拓展】
13．如图3-3-15，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于点C，AB=8，CD=2，求⊙O的半径长．
图3-3-15
14．如图3-3-16有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m．•问是否要采取紧急措施？
图3-3-16
【探索思考】
15．在半径为5cm的圆中，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离．。