1.2二次函数的图象与性质3
第1章 二次函数
州省境内,FAST是目前世界上口径最大,精度最高的望远镜,
用来探测来自太空的无线电波.根据有关资料显示,该望远
(1)
镜的轴截面呈抛物线状,口径AB为500米,最低点C到口径面
AB的距离是100米,若建立如图(2)所示的平面直角坐标系,
则抛物线的表达式就是y=
1 625
x2-100.
(2)
知识点 二次函数y=ax2+k的图象和性质
4
知识点 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
2019年国际泳联世锦赛,跳水赛场依然是中国最稳定的夺金点, 中国跳水队获得全部13枚金牌中的12枚,中国跳水“梦之队” 以如此耀眼的成绩收官,创造了世锦赛参赛历史上的最佳战绩.
知识点 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
知识点 用待定系数法求二次函数表达式
用待定系数法确定表达式的一般步骤: (1)确定函数表达式的形式; (2)把已知图象上的点(自变量与函数的对应值)代入函数表达式,得到关于待 定系数的方程或方程组; (3)解方程或方程组,确定待定系数的值,从而确定表达式.
第1章 二次函数
1.4 二次函数与一元二次方程的联系
8 后的最大高度为BC=2.5 m,若小亮要在篮球下落过程中接到球,我们就可以 求出小亮离小明的最短距离OB.这样能够提高运动员的训练成绩.
知识点二次函数与一元二次方程的关系
抛物线 y =ax2+bx+c与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),则抛物线的对称轴为
√ x= x1+x2 2
,且满足x1+x2=-,x1·x2=,两交点间的距离AB=|x1-x2|=
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
湘教版九年级数学下册学案：1.2 二次函数y=ax2(a0)的图象与性质
湘教版九年级下册数学导学案127班（ ）第1章1.2二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质（1） 一、导入新课： 回答问题：1.一次函数与反比例函数的图解是什么？它们有什么性质？2.如何画一次函数与反比例函数的图象？ 二、探究新知：探究1：画二次函数y=ax 2(a>0)的图象，若a=2，画出它的图象。
列表：连线：探究2：画二次函数y=21x 2的图象。
（画在上面的坐标系中） 小结：二次函数y=ax 2(a>0)的图象与性质。
1.图象的开口向（ ）。
2.对称轴是（ ）轴，顶点是（ ），函数有最（ ）点。
3.当x>0时， ， 当x<0时，。
展示提升： 已知函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？三、本课小结：本节课你学到了什么？四、当堂作业：1、下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ） A.y=x 2B.y=x-1C. 34y xD.y=1x2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B.y 1＜y 3＜y 2 C.y 3＜y 2＜y 1 D.y 2＜y 1＜y 3 3.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 .4.画出下列二次函数的图象：（1）y=x 2(2)y=43x 2湘教版九年级下册数学导学案127班（ ）第1章1.2二次函数y=ax 2(a<0)的图象与性质（2） 一、导入新课：1.二次函数y=ax 2(a>0)的图象的开口（ ），顶点坐标是（ ），对称轴是（），函数有（ ),当x>0时，y 随x （ ），当x<0，y 随x （ ）。
九年级数学下册 1.2 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质(第1课时)教案 (新版)湘教版
1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x 2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.如图(3),就是到点(-2,4),(2,4)停住的y=x 2图象的错误画法.探究2 y=ax 2(a ＞0)图象的性质在同一坐标系中，画出y=x 2, 212y x =,y=2x 2的图象. 【教学说明】要求同学们独立完成图象,教师帮助引导,强调画图时注意每一个函数图象的对称性.动脑筋观察上述图象的特征(共同点),从而归纳二次函数y=ax2(a ＞0)的图象和性质.【教学说明】教师引导学生观察图象,从开口方向,对称轴,顶点,y 随x 的增大时的变化情况等几个方面让学生归纳，教师整理讲评、强调.y=ax 2(a ＞0)图象的性质1.图象开口向上.2.对称轴是y 轴，顶点是坐标原点，函数有最低点.3.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，简称右升；当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，简称左降.三、典例精析，掌握新知例 已知函数24(2)kk y k x +-=+是关于x 的二次函数. (1)求k 的值.(2)k 为何值时，抛物线有最低点，最低点是什么？在此前提下，当x 在哪个范围内取值时，y 随x 的增大而增大？【分析】此题是考查二次函数y=ax 2的定义、图象与性质的，由二次函数定义列出关于k 的方程，进而求出k 的值，然后根据k+2＞0，求出k 的取值范围，最后由y 随x 的增大而增大，求出x 的取值范围. 解:(1)由已知得22042k k k +≠+-=⎧⎨⎩ ,解得k=2或k=-3. 所以当k=2或k=-3时，函数24(2)k k y k x +-=+是关于x 的二次函数.(2)若抛物线有最低点,则抛物线开口向上,所以k+2＞0.由（1）知k=2，最低点是（0,0),当x ≥0时，y 随x 的增大而增大.四、运用新知，深化理解1.（广东广州中考）下列函数中，当x ＞0时，y 值随x 值增大而减小的是（ ）A.y=x 2B.y=x-1C. 34y x =D.y=1x 2.已知点（-1,y 1),(2,y 2),(-3,y 3)都在函数y=x 2的图象上，则（ ）A.y 1＜y 2＜y 3B.y 1＜y 3＜y 2C.y 3＜y 2＜y 1D.y 2＜y 1＜y 33.抛物线y=13x 2的开口向 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当x=-2时，y= ；当y=3时，x= ,当x ≤0时，y 随x 的增大而 ；当x ＞0时，y 随x 的增大而 .4.如图，抛物线y=ax2上的点B，C与x轴上的点A（-5，0），D（3，0）构成平行四边形ABCD，BC与y轴交于点E（0，6），求常数a的值.【教学说明】学生自主完成,加深对新知识的理解和掌握,当学生疑惑时，教师及时指导.【答案】1.D 2.A 3.上,(0,0),y轴，43，±3,减小，增大4.解：依题意得：BC=AD=8，BC∥x轴，且抛物线y=ax2上的点B，C关于y轴对称，又∵BC 与y轴交于点E（0，6），∴B点为（-4，6），C点为（4，6），将（4，6）代入y=ax2得：a=38.五、师生互动，课堂小结1.师生共同回顾二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法及其性质.2.通过这节课的学习,你掌握了哪些新知识,还有哪些疑问?请与同伴交流.1.教材P7第1、2题.2.完成同步练习册中本课时的练习.本节课是从学生画y=x2的图象，从而掌握二次函数y=ax2(a＞0)图象的画法，再由图象观察、探究二次函数y=ax2(a＞0)的性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.。
《第1课时 二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学
1．2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质1．会用描点法画二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象，理解抛物线的概念；(重点)2．掌握形如y ＝ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质，并会应用其解决问题．(重点)一、情境导入自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间是什么关系呢？它是什么函数？它的图象是什么形状呢？二、合作探究 探究点一：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象 y ＝(k ＋2)xk 2＋k 是二次函数． (1)求k 的值；(2)画出函数的图象．解析：根据二次函数的定义，自变量x 的最高次数为2，且二次项系数不为0，这样能确定k 的值，从而确定表达式，画出图象．解：(1)∵y ＝(k ＋2)xk 2＋k 为二次函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k ＝2，k ＋2≠0，解得k ＝1；(2)当k ＝1时，函数的表达式为y ＝3x 2，用描点法画出函数的图象．描点：(－1，3)，(－12，34)，(0，0)，(12，34)，(1，3)． 连线：用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点，图象如以下图．方法总结：列表时先取原点(0，0)，然后在原点两侧对称地取四个点，由于函数y ＝ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标，左侧对应写出即可．变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第7题探究点二：二次函数y ＝ax 2(a >0)的性质 点(－3，y 1)，(1，y 2)，(2，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，那么y 1、y 2、y 3的大小关系是________．解析：方法一：把x ＝－3，1，2分别代入y ＝x 2中，得y 1＝9，y 2＝1，y 3＝2，那么y 1>y 3>y 2；方法二：如图，作出函数y ＝x 2的图象，把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y 3>y 2；方法三：∵该图象的对称轴为y 轴，a >0，y 随x 的增大而增大，(－3，y 1)关于y 轴的对称点为(3，y 3)．又3>2>1，∴y 1>y 3>y 2.方法总结：比拟二次函数中函数值的大小有三种方法：①直接把自变量的值代入解析式中，求出对应函数值进行比拟；②图象法；③根据函数的增减性进行比拟，但当要比拟的几个点在对称轴的两侧时，可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点，转化到同侧后，然后利用性质进行比拟． 变式训练：见?学练优?本课时练习“课后稳固提升〞第2题探究点三：二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质的简单应用函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值； (2)m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？解析：由二次函数的定义知：m 2＋m －4＝2且m ＋2≠0；抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，即m ＋2>0.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2，∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数；(2)假设抛物线有最低点，那么抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m >－2，∴取m ＝2.∴这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)．当x >0时，y 随x 的增大而增大．方法总结：二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0；函数有最低点即开口向上．变式训练：见?学练优?本课时练习“课堂达标训练〞第9题三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y ＝ax 2(a >0)的图象与性质，培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.4．5 一次函数的应用第1课时 利用一次函数解决实际问题1．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数；(重点)2．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力；(重点)3．建立一次函数模型解决实际问题．(难点)一、情境导入联通公司 话费收费有A 套餐(月租费15元，通话费每分钟0.1元)和B 套餐(月租费0元，通话费每分钟0.15元)两种．设A 套餐每月话费为y 1(元)，B 套餐每月话费为y 2(元)，月通话时间为x 分钟．(1)分别表示出y 1与x ，y 2与x 的函数关系式；(2)月通话时间为多长时，A 、B 两种套餐收费一样？(3)什么情况下A 套餐更省钱？ 二、合作探究探究点：一次函数与实际问题利用图象(表)解决实际问题 我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水10t 以内(包括10t)的用户，每吨收水费a 元；月用水超过10t 的用户，10t 水仍按每吨a 元收费，超过10t 的局部，按每吨b 元(b >a )收费．设某户居民月用水x t ，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如以下图． (1)求a 的值，并求出该户居民上月用水8t 应收的水费； (2)求b 的值，并写出当x >10时，y 与x 之间的函数表达式； (3)上月居民甲比居民乙多用4t 水，两家共收水费46元，他们上月分别用水多少吨？ 解析：(1)用水量不超过10t 时，设其函数表达式为y ＝ax ，由上图可知图象经过点(10，15)，从而求得a 的值；再将x ＝8代入即可求得应收的水费；(2)可知图象过点(10，15)和(20，35)，利用待定系数法可求得b 的值和函数表达式；(3)分别判断居民甲和居民乙用水比10t 多还是比10t 少，然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量． 解：(1)当0≤x ≤10时，图象过原点，所以设y ＝ax .把(10，15)代入，解得ayx (0≤x ≤10)．当x ＝8时，y ×8＝12，即该户居民的水费为12元； (2)当x >10时，设y ＝bx ＋m (b ≠0)．把(10，15)和(20，35)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10b ＋m ＝15，20b ＋m ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，m ＝－5，即超过10t 的局部按每吨2元收费，此时函数表达式为y ＝2x －5(x >10)； (3)因为10×1.5＋10×1.5＋4×2＝38<46，所以居民乙用水比10t 多．设居民乙上月用水x t ，那么居民甲上月用水(x ＋4)t.y 甲＝2(x ＋4)－5，y 乙＝2x ，得[2(x ＋4)－5]＋(2x －5)＝46，解得x t ，居民乙用水12t. 方法总结：此题的关键是读懂图象，从图象中获取有用信息，列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：元，那么这两种水果各购进多少千克？ (2)假设该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？ 解析：(1)根据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，进而利用该水果店预计进货款为1000元，得出等式求出即可；(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解：(1)设购进甲种水果x 千克，那么购进乙种水果(140－x )千克，根据题意可得5x ＋9(140－x )＝1000，解得x ＝65，∴140－x ＝75(千克)．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克； (2)由图表可得甲种水果每千克利润为3元，乙种水果每千克利润为4元．设总利润为W ，由题意可得W ＝3x ＋4(140－x )＝－x ＋560，故W 随x 的增大而减小，那么x越小，W 越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍，∴140－x ≤3x ，解得x ≥35，∴当x ＝35时，W 最大＝－35＋560＝525(元)，故140－35＝105(千克)． 答：当购进甲种水果35千克，购进乙种水果105千克时，此时利润最大为525元．方法总结：利用一次函数增减性得出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm2的空圆柱形容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h(cm)与注水时间t(s)之间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速注水的水流速度(单位：cm3/s)为多少？(2)假设“几何体〞的下方圆柱的底面积为15cm2，求“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析：(1)根据图象，分三个局部：注满“几何体〞下方圆柱需18s；注满“几何体〞上方圆柱需24－18＝6(s)；注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－24＝18(s)，再设匀速注水的水流速度为x cm3/s，根据圆柱的体积公式列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为a cm，根据圆柱的体积公式得a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，于是得到“几何体〞上方圆柱的高为5cm，设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据圆柱的体积公式得5×(30－S)＝5×(24－18)，再解方程即可．解：(1)根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm，两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为11cm，水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－24＝18(s)，这段高度为14－11＝3(cm)．设匀速注水的水流速度为x cm3/s，那么18·x＝30×3，解得x＝5，即匀速注水的水流速度为5cm3/s；(2)由图②知“几何体〞下方圆柱的高为a cm，那么a·(30－15)＝18×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为11－6＝5(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底面积为S cm2，根据题意得5×(30－S)＝5×(24－18)，解得S＝24，即“几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2.方法总结：此题考查了一次函数的应用：把分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．【类型二】建立一次函数模型解决实际问题某商场欲购进A、B两种品牌的饮料共500箱，两种饮料每箱的进价和售价如下表所示．设购进A种饮料x箱，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为y元．(1)求y关于x的函数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不超过20000元，那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润．(注：利润＝售价－本钱)解析：由表格中的信息可得到A、B两种品牌每箱的利润，再根据它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)由题意，知B种饮料有(500－x)箱，那么y＝(63－55)x＋(40－35)(500－x)＝3xy＝3x＋2500(0≤x≤500)；(2)由题意，得55x＋35(500－x)≤x≤125.∴当x＝125时，y最大值＝3×125＋2500＝2875.∴该商场购进A、B两种品牌的饮料分别为125箱、375箱时，能获得最大利润2875元．方法总结：此类题型往往取材于日常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式，并运用函数的性质解决实际问题．解题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】 两个一次函数图象在同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出发1小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿自行车队行进路线前往丙地，在丙地完成2小时装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程y (km)与自行车队离开甲地时间x (h)的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的速度是________km/h ；(2)邮政车出发多少小时与自行车队首次相遇？(3)邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地多远？解析：(1)由速度＝路程÷时间就可以求出结论；(2)由自行车的速度就可以求出邮政车的速度，再由追击问题设邮政车出发a 小时两车相遇建立方程求出其解即可；(3)由邮政车的速度可以求出B 的坐标和C 的坐标，由自行车的速度就可以D 的坐标，由待定系数法就可以求出BC ，ED 的解析式就可以求出结论．解：(1)由题意得，自行车队行驶的速度是72÷3＝24km/h.(2)由题意得，邮政车的速度为24×2.5＝60(km/h)．设邮政车出发a 小时两车相遇，由题意得24(a ＋1)＝60a ，解得a ＝23.答：邮政车出发23小时与自行车队首次相遇；(3)由题意，得邮政车到达丙地所需的时间为135÷60＝94(h)，∴邮政车从丙地出发的时间为94＋2＋1＝214(h)，∴B (214，135)，C ，0)．自行车队到达丙地的时间为：135÷24＋0.5＝458＋0.5＝498(h)，∴D (498，135)．设BC的解析式为y 1＝k 1x ＋b 1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧135＝214k 1＋b 1，0k 1＋b 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－60，b 1＝450，∴y 1＝－60x ＋450，设ED 的解析式为y 2＝k 2x ＋b 2，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧72k 2＋b 2，135＝498k 2＋b 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝24，b 2＝－12，∴y 2＝24xy 1＝y 2时，－60x ＋450＝24x －12，解得x ＝5.5.y 1＝－60×5.5＋450＝120.答：邮政车在返程途中与自行车队再次相遇时的地点距离甲地120km.方法总结：此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程的综合运用，解答时求出函数的解析式是关键．三、板书设计一次函数与实际问题1．建立一次函数模型解实际问题 2．利用图象(表)解决实际问题对于分段函数的实际应用问题中，学生往往无视了自变量的取值范围，同时解决有交点的两个一次函数图象的问题还存在一定的困难，有待在以后的教学中加大训练,力争逐步提高.。
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
二次函数图象和性质知识点总结
二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。
③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。
2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。
②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。
③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。
然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。
(1)抛物线开口向(1)抛物线开口向(1)抛物线(1)抛物线4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。
②公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5. 抛物线与x轴交点情况：对于抛物线①当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。
②当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。
③当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。
二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1.已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试求f（x）。
第1课时二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质
1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质要点感知1 画二次函数的图象的基本步骤是、、.要点感知2 二次函数y=ax2(a＞0)图象的性质：(1)函数图象开口，并且有最低点;(2)对称轴为;(3)在对称轴的左侧，y随x的增大而；在对称轴的右侧，y随x的增大而，简记为“左降右升”;(4)当x=0时，函数有最小值，其最小值为.预习练习2-1 对于函数y=2x2，下列结论正确的是( )A.当x取任何实数时，y的值总是正数B.y的值随x的增大而增大C.y的值随x的增大而减小D.图象关于y轴对称知识点1 二次函数y=ax2(a>0)的图象1.二次函数y=4x2的图象的开口向，对称轴是，顶点坐标是.2.2的图象时，列出了如下的表格：x -3 -2.5 0 1 3y 36 4 0 25 36(1)根据表格可知这个二次函数的关系式是；(2)将表格中的空格补全.3.已知二次函数y=ax2的图象经过点A(1，2).(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象；(2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴.知识点2 二次函数y=ax2(a>0)的性质4.二次函数y=12x2不具有的性质是( )A.对称轴是y轴B.开口向上C.当x＜0时，y随x的增大而减小D.有最大值5.已知点E(a,h1)，点F(b,h2)是二次函数y=13x2的图象不同的两个点，h1=h2，则a，b的大小关系是( )A.a=bB.a=-bC.a ＞bD.无法确定 6.下列四个二次函数：①y=x 2，②y=2x 2，③y=12x 2，④y=3x 2，其中二次函数图象口从大到小的排列顺序是 . 7.已知函数y=(m+2)24m m x+-是关于x 的二次函数.求：（1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，二次函数的图象有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？8.已知原点是二次函数y=(m-2)x 2图象的最低点，则m 的取值范围是( )A.m ＞2B.m ＞-2C.m ＜2D.m ＜0 9.(2013·丽水)若二次函数y=ax2的图象过点P(-2,4)，则该图象必经过点( )A.(2,4)B.(-2,-4)C.(-2,4)D.(4,-2) 10.如图所示，在同一坐标系中，作出①y=3x 2，②y=23x 2，③y=43x 2的图象，则从里到外的二次函数的图象对应的函数依次是( )A.①②③B.①③②C.②③①D.②①③ 11.等边三角形的面积y 与边长x 之间的函数关系的大致图象是( )12.已知二次函数y=ax 2的图象经过点P(1，4)，则该函数的开口方向是 . 13.二次函数y=14x 2的图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它的图象有最 点，当x=2时，y= ；当y=1时，x= .14.已知正方形的周长为C cm ，面积为S cm 2，请写出S 与C 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象.15.已知点A(2，m)是反比例函数y=6x和二次函数y=ax2的交点.(1)求此二次函数的解析式；(2)判断点B(4，8)是否也在此二次函数上，并说明理由.16.已知二次函数y=12x2，y=x2和y=2x2.(1)在如图所示的坐标系中画出它们的图象；(2)根据图象写出它们的顶点坐标、对称轴、开口方向；(3)函数y=12x2，y=x2和y=2x2的图象中开口最大的是哪个二次函数？开口最小的呢？挑战自我17.如图，点P是二次函数y=x2图象上第一象限内的一个点，点A的坐标为(3，0).(1)令点P的坐标为(x,y)，求△OPA的面积S与y的关系式；(2)S是y的什么函数？S是x的什么函数？参考答案课前预习要点感知1列表描点连线要点感知2(1)向上(0，0) (2)y轴或直线x=0 (3)减小增大(4)0预习练习2-1 D当堂训练1.上y轴(0，0)2.(1)y=4x2(2)-1 2.5 25 43.(1)y=2x2.图象略.(2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为y轴.4.D5.B6.③①②④7.(1)m=2或m=-3;(2)当m=2时，二次函数的图象有最低点，这个最低点为（0，0），且当x>0时，y随x的增大而增大. 课后作业8.A 9.A 10.B 11.D 12.向上13.上y轴(0，0) 低 1 2或-214.由题意，得S=116C2(C＞0).列表：描点连线图象图略.15.(1)y=34x2.(2)当x=4时，代入y=34x2，得y=34×42=12≠8，所以点B(4，8)不在此二次函数上.16.(1)图略.(2)它们的顶点坐标都是(0，0)，对称轴都是y轴，开口都向上.(3)开口最大的是y=12x2，开口最小的是y=2x2.17.(1)过点P作PB⊥OA于点B,则PB=|y|,∵点P是抛物线y=x2上第一象限内的点,∴y＞0,∴PB=y.∴S=12PB·OA=12·y×3=32y(y＞0).(2)∵S=3 2 y,∴S是y的正比例函数. ∵y=x2,∴S=32y=32x2,∴S是x的二次函数.。