初中数学二次函数的图象和性质

初中数学二次函数的图象和性质2019年4月9日（考试总分：160 分考试时长： 120 分钟）一、单选题（本题共计 12 小题，共计 48 分）1、（4分）如图是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a＋b＝0；②abc>0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y2<y1，其中正确的是（）．A． 5个B． 4个C． 3个D． 2个2、（4分）对于二次函数y=x2+1，则下列结论正确的是（）A．图象的开口向下B． y随x的增大而增大C．图象关于y轴对称D．最大值是13、（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x﹣1）2+k（a、k为常数）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．过点C作CD∥x轴于抛物线交于点D，若点A的坐标为（﹣2，0），则线段OB与线段CD的数量关系为（）A． OB=3CD B． OB=2CD C． 2OB=3CD D． 3OB=4CD4、（4分）已知抛物线y=ax2+bx+3在坐标系中的位置如图所示，它与x，y轴的交点分别为A，B ，P 是其对称轴x=1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论：①2a+b=0，②x=3是ax 2+bx+3=0的一个根，③△PAB 周长的最小值是+3．其中正确的是（）A ． ①②③B ． 仅有①②C ． 仅有①③D ． 仅有②③5、（4分）两条抛物线25y x =和25y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A ． 顶点坐标相同B ． 对称轴相同C ． 开口方向相反D ． 都有最小值6、（4分）下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ） A ． y=2x ﹣1B ． y=C ． y=D ． y=﹣x 2+2x7、（4分）已知抛物线y=14x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M ，3），P 是抛物线y=14x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ． 4B ． 5C ．D ．8、（4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B ，C 满足二次函数2y ax bx =+的表达式，则对该二次函数的系数a 和b 判断正确的是()A ． 00a b >>，B ． 00a b <<，C ． 00a b ><，D ． 00a b ，9、（4分）如图是二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c=0；②b ＞2a ； ③3a+c=0； ④a ﹣b ＜m （ma+b ）（m≠﹣1的实数）； 其中正确的命题是（）A ． ①②③B ． ①②④C ． ②③④D ． ①③④10、（4分）在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋b 与y ＝bx 2＋ax 的图象可能是()A ． AB ． BC ． CD ． D11、（4分）若将抛物线向右平移2个单位后，所得抛物线的表达式为22y x =，则原来抛物线的表达式为（ ） A ． 222y x =+B ． 222y x =-C ． ()222y x =+D ．()222y x =-12、（4分）在同一平面直角坐标系中，函数 y ＝ax+b 与 y ＝bx 2+ax 的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共计 4 小题，共计 16 分）13、（4分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①ac＞0；②2a+b=0；③a +b+c=0；④当x＞1时，函数y随x的增大而增大；⑤当y＞0时，-1＜x＜3．其中，正确的说法有___________（请写出所有正确说法的序号）．14、（4分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过坐标原点O，交x轴的另一个交点为A，过该抛物线的顶点B分别作x轴、y轴的垂线，交x轴、y轴于点C、D，则图中阴影部分图形的面积和为______15、（4分）如图，直线与坐标轴交于、两点，过，两点的抛物线与轴的另一交点为，为抛物线上的一动点，当时，点的坐标为________．16、（4分）当－1≤x≤3时，二次函数y＝－x2的最小值是_____，最大值是______．三、解答题（本题共计 8 小题，共计 96 分）17、（12分）已知点A（2，a）在抛物线y=x2上（1）求A 点的坐标；（2）在x 轴上是否存在点P ，使△OAP 是等腰三角形？若存在写出P 点坐标；若不存在，说明理由．18、（12分）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （2，-3），且与x 轴交点坐标为（-1，0），（3，0） （1）求抛物线的解析式；（2）在直线AB 下方抛物线上找一点D ，求出使得△ABD 面积最大时点D 的坐标；（3）点M 在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A ，B ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．19、（12分）已知：一个边长为的正方形，把它的边长延长后得到一个新的正方形，那么，周长增大的部分和面积增大的部分分别是的函数．求出这两个函数的表达式，并判定它们的类型；如果是二次函数，写出表达式中，，的值． 20、（12分）已知函数y ＝(m 2－m)x 2＋(m －1)x ＋2－2m. (1)若这个函数是二次函数，求m 的取值范围． (2)若这个函数是一次函数，求m 的值． (3)这个函数可能是正比例函数吗？为什么？ 21、（12分）已知二次函数y=2x 2﹣4x+1． （1）求出它的顶点坐标及对称轴； （2）画出这个函数的图象．22、（12分）已知抛物线y=ax 2-bx+3的对称轴是直线x=-1 （1）求证：2a+b=0；（2）若关于x 的方程ax 2-bx-8=0的一个根是4，求方程的另一个根．23、（12分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx 经过点A （﹣3，4），直线l 与x 轴相交于点B ，与∠AOB 的平分线相交于点C ，直线l 的解析式为y=kx ﹣5k （k≠0），BC=OB ． （1）若点C 在此抛物线上，求抛物线的解析式；（2）在（1）的条件下，过点A 作y 轴的平行线，与直线l 相交于点D ，设P 为抛物线上的一个动点，连接PA 、PD ，当PADCOB2SS 3时，求点P 的坐标．24、（12分）如图所示，已知函数y＝ax2(a≠0)的图象上的点D，C与x轴上的点A(－5，0)和B( 3，0)构成▱ABCD，DC与y轴的交点为E(0，6)，试求a的值．一、 单选题 （本题共计 12 小题，共计 48 分） 1、（4分）【答案】C 【解析】∵对称轴x=-2ba=1‘∴2a+b=0，①正确； ∵a<0，∴b >0，∵抛物线与y 轴的交点在正半轴上，∴c>0，∴abc<0，②错误； ∵把抛物线y=ax 2+bx+c 向下平移3个单位，得到y=ax 2+bx-3，∴顶点坐标A （1，3）变为（1，0），抛物线与x 轴相切，∴方程ax 2+bx+c=3有两个相等的实数根，③正确；∵对称轴是直线x=1，与x 轴的一个交点是（4，0），∴与x 轴的另一个交点是（-2，0），④错误；∵1<x<4时，由图象可知y 2<y 1，∴⑤正确. 正确的有①③⑤. 故选C.2、（4分）【答案】C【解析】A ．∵a=1＞0，∴二次函数y=x 2+1的图象开口向上，A 不符合题意； B ．∵a=1＞0，b=0，∴当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，B 不符合题意；C ．∵a=1＞0，b=0，∴ 2ba=0，∴二次函数y=x 2+1的图象关于y 轴对称，C 符合题意；D ．∵a=1＞0，∴二次函数y=x 2+1有最小值，最小值为1，D 不符合题意． 故选C ．3、（4分）【答案】B【解析】∵抛物线的解析式为y=a （x ﹣1）2+k ， ∴抛物线的对称轴为直线x=1．∵点A 的横坐标为﹣2，点C 的横坐标为0， ∴点B 的横坐标为4，点D 的横坐标为2， ∴OB=4，CD=2， ∴OB=2CD ． 故选：B ．4、（4分）【答案】A【解析】①根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a ，即2a+b=0，故①正确；②根据图象知，点A 的坐标是（-1，0），对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是（3，0），所以x=3是ax 2+bx+3=0的一个根，故②正确； ③如图所示，点A 关于x=1对称的点是A′，即抛物线与x 轴的另一个交点，连接BA′与直线x=1的交点即为点P ，则△PAB 周长的最小值是（BA′+AB ）的长度， ∵B （0，3），A′（3，0），∴BA′=3．即△PAB周长的最小值是3+，故③正确．综上所述，正确的结论是：①②③．故选：A．5、（4分）【答案】D【解析】y=5x2和y=−5x2的顶点坐标均为(0，0)，选项A正确；y=5x2和y=−5x2的对称轴均为直线x=0，选项B正确；抛物线y=5x2开口向上，y=−5x2开口向下，选项C正确；抛物线y=5x2开口向上，有最小值，y=−5x2开口向下，无最小值；故选：D.6、（4分）【答案】D【解析】A、y=2x﹣1是一次函数，故A不是二次函数，B、y=是反比例函数，故B不是二次函数，C、y=既不是反比例函数也不是二次函数，故C不是二次函数；D、y=﹣x2+2x，是二次函数，符合题意．故选：D．7、（4分）【答案】B【解析】过点M作ME⊥x轴于点E，交抛物线y=14x2+1于点P，此时△PMF周长最小值，∵F（0，2）、M3），∴ME=3，，∴△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5．故选B．8、（4分）【答案】D【解析】过点A. B. C. O大致画出抛物线图象,如图所示观察函数图象，可知：抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧， ∴a<0，−2ba>0， ∴b>0. 故选D.9、（4分）【答案】D【解析】由图象可知：过（1，0），代入得：a+b+c=0，∴①正确；=-1，∴b=2a ，∴②错误；由a+b+c=0和b=2a 得，3a+c=0，③正确；∵m≠-1，∴（m+1）2>0，∵a>0，∴a （m+1）2>0，∴am 2+2am+a>0，∵b=2a ，∴a-b=-a ， ∴am 2+bm>a-b ，∴a-b<m （am+b ），④正确. 故选D.10、（4分）【答案】D【解析】A 、两个函数的开口方向都向上，那么a ＞0，b ＞0，可得第一个函数的对称轴是y 轴，与y 轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y 轴的左侧，故本选项错误； B 、两个函数的开口方向都向下，那么a ＜0，b ＜0，可得第一个函数的对称轴是y 轴，与y 轴交于负半轴，第二个函数的对称轴在y 轴的左侧，故本选项错误；C 、D 、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a ，b 异号，可得第二个函数的对称轴在y 轴的右侧，故C 错误，D 正确． 故选：D ．11、（4分）【答案】C【解析】根据二次函数平移的规律,上加下减,左加右减的平移规律,可将22y x =向左平移2个单位可得二次函数解析式为: ()222y x =+,故选C. 12、（4分）【答案】A【解析】若a ＞0，b ＞0，则y=ax+b 经过一、二、三象限，y=bx 2+ax 开口向上，顶点在y 轴左侧，故B 、C 错误；若a ＜0，b ＜0，则y=ax+b 经过二、三、四象限，y=bx 2+ax 开口向下，顶点在y 轴左侧，故D 错误；若a ＞0，b ＜0，则y=ax+b 经过一、三、四象限，y=bx 2+ax 开口向下，顶点在y 轴右侧，故A 正确； 故选A ．二、 填空题 （本题共计 4 小题，共计 16 分） 13、（4分）【答案】②⑤【解析】∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴a ＜0，c ＞0， ∴ac ＜0，∴①错误； 由图象可知：-2ba=1， ∴2a+b=0，∴②正确；当x=1时，y=a+b+c ＞0，∴③错误；由图象可知：当x ＞1时，函数y 随x 的增大而减小，∴④错误； 根据图象，当-1＜x ＜3时，y ＞0，∴⑤正确； 正确的说法有②⑤． 14、（4分）【答案】6【解析】由题可知函数的对称轴为直线x=2， ∵原点和点A 关于对称轴对称，∴A （4,0），将A 代入二次函数解析式得k=3 ∴顶点坐标（2,3）根据对称可知图中阴影部分的面积和=S 矩形OCBD =6 15、（4分）【答案】【解析】设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ， 则，解得：，二次函数的解析式为：y=x 2-x+2，过点B 作BC ⊥BP ，交x 轴于点C ，延长BP 交x 轴于点D ，则有∠CBA=45°，设点C坐标为（a，0）（a＜0），∵S△ABC=BC•ABsin∠ABC=AC•BO，∴，整理得：3a2-16a-12=0，解得：a=-或a=6（不合题意，舍去），∴点C（-，0），∵BC⊥BD，BO⊥CD，∴△BCO∽DCB，则有，即BC2=CO•CD，∴，解得：OD=6，即点D（6，0），∵B（0，2），∴设直线BD的解析式为y=kx+m，代入得：，解得：，∴直线BD的解析式为y=-x+2，与二次函数的解析式联立得：，解得：，，即点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．16、（4分）【答案】－9 0【解析】二次函数y＝－x2对称轴为y轴，开口向下，在y轴左边y随x的增大而增大，在y轴右边，y随x的增大而减小。