最新人教版高中数学必修2第三章《直线的点斜式方程》课后训练1
人教新课标版数学高一必修二练习 3.2.1直线的点斜式方程
第三章 3.2 3.2.1一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 [答案] C[解析] 直线方程y ＋2＝－x －1可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．直线y －3＝－32(x ＋4)的斜率为k ，在y 轴上的截距为b ，则有( )A ．k ＝－32，b ＝3B ．k ＝－32，b ＝－2C ．k ＝－32，b ＝－3D ．k ＝－23，b ＝－3[答案] C[解析] 原方程可化为y ＝－32x －3，故k ＝－32，b ＝－3.3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4，的直线的斜截式方程为( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4[答案] D4．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 [答案] B[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2.所以a ＝2－a ，解得a ＝1.5．方程y ＝ax ＋1a表示的直线可能是( )[答案] B[解析] 直线y ＝ax ＋1a 的斜率是a ，在y 轴上的截距是1a .当a >0时，斜率a >0，在y 轴上的截距是1a >0，则直线y ＝ax ＋1a 过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a <0时，斜率a <0，在y 轴上的截距是1a <0，则直线y ＝ax ＋1a过第二、三、四象限，仅有选项B 符合．6．(2013～2014·合肥高一检测)下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线；②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝x 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] B[解析] ①④不正确，②③正确，故选B . 二、填空题7．已知直线l 1过点P (2,1)且与直线l 2：y ＝x ＋1垂直，则l 1的点斜式方程为________． [答案] y －1＝－(x －2)[解析] 设l 1的斜率为k 1，l 2的斜率为k 2， ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1. 又k 2＝1，∴k 1＝－1.∴l 1的点斜式方程为y －1＝－(x －2)．8．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝________，b ＝________. [答案] －2 －2[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝k ＋b ，0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2.9．(2013～2014·山东师大附中)设直线l 的倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的斜率角为12，且与y 轴的交点到x 轴的距离是3，则直线l 的方程是________．[答案] y ＝3x ±3[解析] 因为已知直线的倾斜角是120°，所以直线l 的倾斜角是60°，又直线l 在y 轴上的截距b ＝±3，所以直线l 的方程为y ＝3x ±3.三、解答题10．已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2. 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2. 由题意知l 2在y 轴上的截距为－2， ∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，∴由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.11．已知△ABC 的三个顶点分别是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求BC 边上的高所在直线的点斜式方程．[分析] BC 边上的高与边BC 垂直，由此求得BC 边上的高所在直线的斜率，从而由点斜式得直线方程．[解析] 设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ， ∴k BC k AD ＝－1.∴2＋30－3k AD ＝－1，解得k AD ＝35.∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是y －0＝35(x ＋5)．即y ＝35x ＋3.12．已知直线y＝－33x＋5的倾斜角是直线l的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过点P(3，－4)；(2)在x轴上截距为－2；(3)在y轴上截距为3.[解析]直线y＝－33x＋5的斜率k＝tanα＝－33，∴α＝150°，故所求直线l的倾斜角为30°，斜率k′＝33.(1)过点P(3，－4)，由点斜式方程得：y＋4＝33(x－3)，∴y＝33x－3－4.(2)在x轴截距为－2，即直线l过点(－2,0)，由点斜式方程得：y－0＝33(x＋2)，∴y＝33x＋233.(3)在y轴上截距为3，由斜截式方程得y＝33x＋3.。
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.1 直线的点斜式方程学案(含解析)新人教A版必修2
3．2.1 直线的点斜式方程学习目标 1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程；3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题．知识点一 直线的点斜式方程思考1 如图，直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ，设点P (x ，y )是直线l 上不同于点P 0的任意一点，那么x ，y 应满足什么关系？答案 由斜率公式得k ＝y －y 0x －x 0， 则x ，y 应满足y －y 0＝k (x －x 0)．思考2 经过点P 0(x 0，y 0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P 0斜率不存在的直线为x ＝x 0.知识点二 思考1 已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为(0，b )，得到的直线l 的方程是什么？ 答案 将k 及点(0，b )代入直线方程的点斜式得：y ＝kx ＋b .思考2 方程y ＝kx ＋b ，表示的直线在y 轴上的截距b 是距离吗？b 可不可以为负数和零？ 答案 y 轴上的截距b 不是距离，可以是负数和零． 思考3 对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2. ①l 1∥l 2⇔________________， ②l 1⊥l 2⇔________________.答案 ①k 1＝k 2且b 1≠b 2 ②k 1k 2＝－1类型一 直线的点斜式方程例1 (1)经过点(－3,1)且平行于y 轴的直线方程是________．(2)直线y ＝2x ＋1绕着其上一点P (1,3)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程是________．(3)一直线l 1过点A (－1，－2)，其倾斜角等于直线l 2：y ＝33x 的倾斜角的2倍，则l 1的点斜式方程为________． 答案 (1)x ＝－3 (2)y －3＝－12(x －1)(3)y ＋2＝3(x ＋1)解析 (1)∵直线与y 轴平行，∴该直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝－3.(2)由题意知，直线l 与直线y ＝2x ＋1垂直，则直线l 的斜率为－12.由点斜式方程可得l 的方程为y －3＝－12(x －1)．(3)∵直线l 2的方程为y ＝33x ， 设其倾斜角为α，则tan α＝33得α＝30°， 那么直线l 1的倾斜角为2×30°＝60°， 则l 1的点斜式方程为y ＋2＝tan 60°(x ＋1)，即y ＋2＝3(x ＋1)．跟踪训练1 写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行． 解 (1)y －5＝4(x －2)；(2)∵直线的斜率k ＝tan 45°＝1， ∴直线方程为y －3＝x －2； (3)y ＝－1.类型二 直线的斜截式方程例 2 (1)倾斜角为60°，与y 轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是_________________．答案 y ＝3x ＋3或y ＝3x －3 解析 ∵直线的倾斜角是60°， ∴其斜率k ＝tan 60°＝3，∵直线与y 轴的交点到原点的距离是3， ∴直线在y 轴上的截距是3或－3，∴所求直线方程是y ＝3x ＋3或y ＝3x －3.(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．解 由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又因为l ∥l 1.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.反思与感悟 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数．跟踪训练2 (1)已知直线l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l 的斜截式方程；(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1垂直且与l 2在y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．解 (1)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则x ＝0时，y ＝b ；y ＝0时，x ＝－6b .由已知可得12·|b |·|－6b |＝3，即6|b |2＝6，∴b ＝±1.故所求直线方程为y ＝16x ＋1或y ＝16x －1.(2)∵l 1⊥l ，直线l 1：y ＝－2x ＋3，∴l 的斜率为12，∵l 与l 2在y 轴上的截距互为相反数， 直线l 2：y ＝4x －2，∴l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝12x ＋2.类型三 平行与垂直的应用例3 (1)当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行？ (2)当a 为何值时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直？ 解 (1)由题意可知，12212l l k k a ＝－，＝－，∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1.故当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行．(2)由题意可知，12214l l k a k ＝－，＝， ∵l 1⊥l 2，∴4(2a －1)＝－1，解得a ＝38.故当a ＝38时，直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直．反思与感悟 设直线l 1和l 2的斜率k 1，k 2都存在，其方程分别为l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，那么：(1)l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2；(2)k 1＝k 2，且b 1＝b 2⇔两条直线重合；(3)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 跟踪训练3 已知在△ABC 中，A (0,0)，B (3,1)，C (1,3)． (1)求AB 边上的高所在直线的方程； (2)求BC 边上的高所在直线的方程； (3)求过A 与BC 平行的直线方程． 解 (1)直线AB 的斜率k 1＝1－03－0＝13，AB 边上的高所在直线斜率为－3且过点C ，所以AB 边上的高所在直线的方程为y －3＝－3(x －1)．(2)直线BC 的斜率k 2＝3－11－3＝－1，BC 边上的高所在直线的斜率为1且过点A ，所以BC 边上的高所在直线的方程为y ＝x .(3)由(2)知，过点A 与BC 平行的直线的斜率为－1，其方程为y ＝－x .1．方程y ＝k (x －2)表示( ) A ．通过点(－2,0)的所有直线 B ．通过点(2,0)的所有直线C ．通过点(2,0)且不垂直于x 轴的所有直线D ．通过点(2,0)且除去x 轴的所有直线 答案 C解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x 轴． 2．倾斜角是30°，且过(2,1)点的直线方程是____________． 答案 y －1＝33(x －2) 解析 ∵斜率为tan 30°＝33， ∴直线的方程为y －1＝33(x －2)． 3．(1)已知直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a ＝________；(2)若直线l 1∶y ＝－2a x －1a与直线l 2∶y ＝3x －1互相平行，则a ＝________.答案 (1)－1 (2)－23解析 (1)由题意可知a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.(2)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2a＝3，－1a ≠－1，解得a ＝－23.4．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解 (1)∵与直线y ＝2x ＋7平行， ∴该直线斜率为2， 由点斜式方程可得y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1∴所求直线的方程为y ＝2x －1. (2)∵所求直线与直线y ＝3x －5垂直，∴该直线的斜率为－13，由点斜式方程得：y ＋2＝－13(x ＋2)，即y ＝－13x －83.故所求的直线方程为y ＝－13x －83.1．求直线的点斜式方程的方法步骤2．直线的斜截式方程的求解策略(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别． (2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 不仅形式简单，而且特点明显，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，只要确定了k 和b 的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k ，b 的几何意义进行判断． 3．判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑．一、选择题1．过点(4，－2)，倾斜角为150°的直线方程的点斜式为( )A ．y －2＝－33(x ＋4) B ．y －(－2)＝－33(x －4) C ．y －(－2)＝33(x －4) D ．y －2＝33(x ＋4) 答案 B解析 由题意知k ＝tan 150°＝－33，所以直线的点斜式方程为y －(－2)＝－33(x －4)． 2．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案 C解析 ∵方程变形为y ＋2＝－(x ＋1)， ∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.3．已知直线l 1：y ＝x ＋12a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．4B ．2C ．－2D ．±2答案 C解析 因为l 1∥l 2，所以a 2－3＝1，a 2＝4，所以a ＝±2， 又由于l 1∥l 2，两直线l 1与l 2不能重合，则12a ≠1，即a ≠2，故a ＝－2.4．下列选项中，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )答案 C解析 ①当a >0时，直线y ＝ax 的倾斜角为锐角，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距a >0，A ，B ，C ，D 都不成立；②当a ＝0时，直线y ＝ax 的倾斜角为0°，A ，B ，C ，D 都不成立；③当a <0时，直线y ＝ax 的倾斜角为钝角，直线y ＝x ＋a 的倾斜角为锐角且在y 轴上的截距a <0，只有C 成立．5．直线y ＝kx ＋b 通过第一、三、四象限，则有( ) A ．k >0，b >0 B ．k >0，b <0 C ．k <0，b >0 D ．k <0，b <0答案 B解析 ∵直线经过第一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k >0，b <0.6．已知直线kx －y ＋1－3k ＝0，当k 变化时，所有的直线恒过定点( ) A ．(1,3) B ．(－1，－3) C ．(3,1) D ．(－3，－1)答案 C解析 直线kx －y ＋1－3k ＝0变形为y －1＝k (x －3)， 由直线的点斜式可得直线恒过定点(3,1)． 二、填空题7．将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线方程为______________． 答案 y ＝－13x ＋13解析 直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°所得到的直线方程为y ＝－13x ，再将该直线向右平移1个单位得到的直线方程为y ＝－13(x －1)，即y ＝－13x ＋13.8．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R )必过定点________． 答案 (3,2)解析 ∵y ＝a (x －3)＋2，即y －2＝a (x －3)， ∴直线过定点(3,2)．9．已知直线y ＝(3－2k )x －6不经过第一象限，则k 的取值范围为________． 答案 k ≥32解析 由题意知，需满足它在y 轴上的截距不大于零，且斜率不大于零，则⎩⎪⎨⎪⎧－6≤0，3－2k ≤0，得k ≥32.10．与直线l ：y ＝34x ＋1平行，且在两坐标轴上截距之和为1的直线l 1的方程为________________．答案 y ＝34x －3解析 根据题意知直线l 的斜率k ＝34，故直线l 1的斜率k 1＝34，设直线l 1的方程为y ＝34x ＋b 1，则令y ＝0得它在x 轴上的截距a 1＝－43b 1.∵a 1＋b 1＝－43b 1＋b 1＝－13b 1＝1，∴b 1＝－3.∴直线l 1的方程为y ＝34x －3.11．斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的周长是12的直线方程是________．答案 y ＝34x ±3解析 设所求直线方程为y ＝34x ＋b ，令y ＝0得x ＝－4b3，由题意得：|b |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43b ＋ b 2＋16b 29＝12，|b |＋43|b |＋53|b |＝12，4|b |＝12，∴b ＝±3， ∴所求直线方程为y ＝34x ±3.三、解答题12．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在的斜截式方程．解 直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－－＝－38，过点A (－5,0)，∴直线AB 的点斜式方程为y ＝－38(x ＋5)，即所求的斜截式方程为y ＝－38x －158.同理，直线BC 的方程为y －2＝－53x ，即y ＝－53x ＋2.直线AC 的方程为y －2＝25x ，即y ＝25x ＋2.∴直线AB ，BC ，AC 的斜截式方程分别为y ＝－38x －158，y ＝－53x ＋2，y ＝25x ＋2.13．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解 由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，所以直线l 的方程为y ＝32x －35.。
最新人教版高中数学必修2第三章《直线的点斜式方程》1
3．2.1 直线的点斜式方程1．掌握直线方程的点斜式和斜截式及其适用条件．2．了解直线方程的斜截式与一次函数的关系．3．会求直线的点斜式方程与斜截式方程．1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程____________叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0或______．一般地，如果一条直线上任一点的坐标(x，y)都满足一个方程，且满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上，我们就把这个方程称为直线l的方程．【做一做1】直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是()A．2 B．－1 C．3 D．－32．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程________叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的____．倾斜角是____的直线没有斜截式方程．【做一做2】直线l的斜截式方程是y＝－3x＋2，则直线l在y轴上的截距为__________．答案：1．(1)y －y 0＝k (x －x 0) (2)x ＝x 0【做一做1】 C2．(1)y ＝kx ＋b (2)截距 90°【做一做2】 21．理解直线的点斜式方程剖析：直线的点斜式方程是由直线上任意一点和直线的斜率确定的，建立点斜式的依据是过直线上一个定点与另外任意一点的直线是唯一的，它由过两点的直线的斜率公式y －y 0x －x 0＝k 推导而来，但应当注意y －y 0x －x 0＝k 与y －y 0＝k (x －x 0)的区别是前者不包含点P(x 0，y 0)，后者包含点P(x 0，y 0)．点斜式的最大特点是由方程能直接看出其斜率及直线经过的一个点．2．直线的点斜式方程和斜截式方程的联系与区别剖析：直线的点斜式方程y －y 0＝k (x －x 0)中，(x ，y )是直线上任意一点的坐标，(x 0，y 0)是直线上的一个定点，k 是直线的斜率；直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中，(x ，y )是直线上任意一点的坐标，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距，即过点(0，b)．联系：直线的点斜式方程和斜截式方程是直线方程的两种不同形式，都可以看成直线上任意一点(x ，y )的横坐标x 和纵坐标y 之间的关系等式，即都表示直线．直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊情况．区别：直线的点斜式方程是用直线的斜率k 和直线上一定点的坐标(x 0，y 0)来表示的，同一条直线的点斜式方程有无数个；直线的斜截式方程是用直线的斜率k 和该直线在y 轴上的截距b 来表示的，同一条直线的斜截式方程是唯一的．题型一：求直线的点斜式方程【例1】 写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5)，斜率是4；(2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；(3)经过点C(－1，－1)，与x 轴平行；(4)经过点D(1,1)，与x 轴垂直．反思：求直线的点斜式方程的步骤：题型二：求直线的斜截式方程【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：(1)斜率为2，在y 轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－2.反思：已知直线的斜率和与y 轴交点的坐标时，用斜截式写出直线的方程，比用直线方程的点斜式更方便．题型三：利用两个直线方程判断平行或垂直【例3】 判断下列两条直线平行还是垂直：(1)l 1：y －2＝3(x ＋1)，l 2：y ＝3x ；(2)l 1：y ＝6x －1，l 2：y ＝－16x －1； (3)l 1：x ＋3＝0，l 2：x －2＝0.反思：已知两条直线的方程，判断它们平行或垂直时，先确定它们的斜率是否存在，若斜率不存在，则可画图来判断；若斜率都存在，则把方程都化为斜截式，l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当k 1＝k 2，且b 1≠b 2时，l 1∥l 2；当k 1＝k 2且b 1＝b 2时，l 1与l 2重合；当k 1k 2＝－1时，l 1⊥l 2.题型四：易错辨析易错点 平行条件转化不等价【例4】 当a 为何值时，直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行． 错解：l 1的斜率k 1＝－1，l 2的斜率k 2＝a 2－2，若l 1∥l 2，则k 1＝k 2，∴a 2－2＝－1，∴a ＝±1.错因分析：错解没有验证a ＝±1时，两条直线是否重合．反思：直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2，当l 1∥l 2时，有k 1＝k 2且b 1≠b 2，反之亦然．答案：【例1】 解：(1)由点斜式方程可知，所求直线的点斜式方程为y －5＝4(x －2)．(2)直线的倾斜角为45°，则此直线的斜率k ＝tan 45°＝1.故直线的点斜式方程为y －3＝x －2.(3)直线与x 轴平行，则倾斜角为0°，斜率k ＝0.故直线的点斜式方程为y ＋1＝0×(x ＋1)，即y ＝－1.(4)直线与x 轴垂直，斜率不存在，故不能用点斜式表示这条直线的方程，由于直线上所有点的横坐标都是1，故这条直线的方程为x ＝1.【例2】 解：(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为y ＝2x ＋5.(2)倾斜角为150°，则斜率k ＝tan 150°＝－33. 由斜截式可得方程为y ＝－33x －2. 【例3】 解：(1)l 1的方程化为y ＝3x ＋5，则直线l 1的斜率k 1＝3，直线l 1在y 轴上的截距b 1＝5，l 2的方程为y ＝3x ，则直线l 2的斜率k 2＝3，直线l 2在y 轴上的截距b 2＝0，于是k 1＝k 2，b 1≠b 2，故l 1∥l 2.(2)l 1的斜截式方程为y ＝6x －1，则直线l 1的斜率k 1＝6，l 2的斜截式方程为y ＝－16x －1，则直线l 2的斜率k 2＝－16， 于是k 1k 2＝6×⎝⎛⎭⎫－16＝－1， 故l 1⊥l 2.(3)l 1是过(－3,0)且垂直于x 轴的直线，l 2是过(2,0)且垂直于x 轴的直线，∴l 1∥l 2.【例4】 正解：设直线l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝－1，k 2＝a 2－2.若l 1∥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，2a ≠2，解得a ＝－1. ∴当a ＝－1时，直线l 1：y ＝－x －2与直线l 2：y ＝－x ＋2平行．1．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是__________．2．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为__________．3．已知两条直线y ＝(k －1)x ＋1和y ＝(3－k )x k ＝__________.4．已知两直线y ＝a x ＋1和y (2＋a)(x －π)互相垂直，则a ＝__________.5．直线l 经过点P(3,4)，它的倾斜角是直线y 2倍，求直线l 的点斜式方程．答案：1．y ＋4(x ＋2) 2.y ＝－3x ＋2 3.2 4.－15．解：直线y k α＝60°，∴直线l 的倾斜角为120°，∴直线l 的斜率为k ′＝tan120°∴直线l 的点斜式方程为y －4(x －3)．。
人教版数学高一-必修二(人教A)练习 3.2.1直线的点斜式方程
3．2.1直线的点斜式方程题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．下面四个直线方程中，是直线的斜截式方程的是()A．x＝3 B．y＝－5C．2y＝x D．x＝4y－12．已知直线的方程为y＋2＝－x－1，则()A．直线过点(－1，2)，斜率为－1B．直线过点(－1，2)，斜率为1C．直线过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线过点(－1，－2)，斜率为13．经过点(－3，2)，且倾斜角为60°的直线方程是()A．y＋2＝3(x－3)B．y－2＝33(x＋3)C．y－2＝3(x＋3)D．y＋2＝33(x－3)4．经过点(－2，2)，且倾斜角是30°的直线方程是()A．y＋2＝33(x－2) B．y＋2＝3(x－2)C．y－2＝33(x＋2) D．y－2＝3(x＋2)5．倾斜角为135°，且在y轴上的截距为－1的直线方程是()A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝06．已知直线l不经过第三象限，若其斜率为k，在y轴上的截距为b(b≠0)，则()A．kb<0 B．kb≤0C．kb>0 D．kb≥07．如图L321所示，已知直线l1：y＝kx＋b，直线l2：y＝bx＋k，则它们的图像可能为()图L321二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．若直线l在y轴上的截距等于它的斜率，则直线l一定经过点________．9．将直线y＝x＋3－1绕它上面一点(1，3)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线方程是________．10．已知直线l的方程为y－a＝(a－1)(x＋2)，若此直线在y轴上的截距为10，则a＝________．11．过点(1，3)且与直线x＋2y－1＝0垂直的直线的方程是________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)求经过点A(－2，2)，并且和x轴的正半轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积是1的直线的方程．13．(13分)求倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(－4，1)；(2)在y轴上的截距为－10.14．(5分)若直线y＝kx＋1与以A(3，2)，B(2，3)为端点的线段有公共点，则k的取值范围是________．15．(15分)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求l′的方程，使得：(1)l′与l平行，且过点(－1，3)；(2)l′与l垂直，且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4.3．2.1 直线的点斜式方程1．B [解析] y ＝－5可变为y ＝0×x －5，故选B.2．C [解析] 直线方程可化为y －(－2)＝－[x －(－1)]，故直线过点(－1，－2)，斜率为－1.3．C [解析] ∵α＝60°，∴k ＝3，故由直线的点斜式方程得直线方程为y －2＝3(x ＋3)．4．C [解析] ∵倾斜角是30°，∴k ＝33，代入直线的点斜式方程，得y －2＝33(x ＋2)． 5．D [解析] 因为倾斜角为135°，所以斜率为－1，所以由直线的斜截式方程得直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.6．B [解析] 由题意得直线l 的方程为y ＝kx ＋b (b ≠0)，∵直线l 不经过第三象限，∴k ≤0，b >0，∴kb ≤0.7．C8．(－1，0) [解析] 设斜率为k ，则直线的方程为y ＝kx ＋k ，即y ＝k (x ＋1)，故直线一定过定点(－1，0)．9．y ＝3x [解析] 由y ＝x ＋3－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°，∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，∴所求直线的斜率为 3.又∵直线过点(1，3)，∴由直线的点斜式方程有y －3＝3(x －1)，即y ＝3x .10．4 [解析] 由题可知当x ＝0时，y ＝3a －2，令3a －2＝10，解得a ＝4.11．y ＝2x ＋1 [解析] 因为直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，所以所求直线的斜率为2，故由直线的点斜式方程得所求直线的方程为y －3＝2(x －1)，即y ＝2x ＋1.12．解：因为直线的斜率存在，所以设直线的方程为l ：y －2＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋2， 令x ＝0，得y ＝2k ＋2，令y ＝0得x ＝－2k ＋2k， 由2k ＋2>0，－2k ＋2k>0，得－1<k <0， 因为S △＝1，所以12(2k ＋2)－2k ＋2k ＝1，解得k ＝－2或k ＝－12. 因为－1<k <0，所以k ＝－12， 所以所求的直线方程为l ：x ＋2y －2＝0.13．解：由直线y ＝－3x ＋1的斜率为－3，可知此直线的倾斜角为120°，所以所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率k ＝ 3.(1)由于直线过点(－4，1)，由直线的点斜式方程得y －1＝3(x ＋4)，即3x －y ＋1＋4 3＝0.(2)因为直线在y 轴上的截距为－10，所以由直线的斜截式方程得y ＝3x －10，即3x －y －10＝0.14.13，1 [解析] 由题可知直线y ＝kx ＋1过定点P (0，1)， 且k PB ＝3－12－0＝1，k PA ＝2－13－0＝13， 结合图像可知，当直线y ＝kx ＋1与以A (3，2)，B (2，3)为端点的线段有公共点时，k 的取值范围是13，1. 15．解：(1)∵直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，∴直线l 的斜率为－34， ∵l ′与l 平行，∴直线l ′的斜率为－34. ∴直线l ′的方程为y －3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y －9＝0. (2)∵l ′⊥l ，∴k l ′＝43， 设l ′在y 轴上截距为b ，则l ′在x 轴上截距为－34b ， 由题意可知，S ＝12|b |·⎪⎪⎪⎪－34b ＝4，∴b ＝±463， ∴直线l ′的方程为y ＝43x ＋463或y ＝43x －463.。
高中数学第3章直线与方程3.2.1直线的点斜式方程课时作业含解析新人教A版必修2
3.2.1 直线的点斜式方程一、选择题1．直线y ＝－2x －7在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则a 、b 的值是( D ) A ．a ＝－7，b ＝－7 B ．a ＝－7，b ＝－72C ．a ＝－72，b ＝7D ．a ＝－72，b ＝－7[解析] 令x ＝0，得y ＝－7，即b ＝－7， 令y ＝0，得x ＝－72，即a ＝－72．2．若直线y ＝－12ax －12与直线y ＝3x －2垂直，则a 的值为( D )A ．－3B ．3C ．－23D ．23[解析] 由题意，得－12a ×3＝－1，∴a ＝23．3．(2018·莆田高一检测)直线2x ＋y ＋3＝0在y 轴上的截距是( D ) A ．32 B ．－32C ．3D ．－3 [解析] 直线2x ＋y ＋3＝0整理为y ＝－2x －3． ∴直线在y 轴上的截距是－3．4．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( B ) A ．2 B ．1 C ．0D ．－1[解析] 根据两条直线的方程可以看出它们的斜率分别是k 1＝a ，k 2＝2－a .两直线平行，则有k 1＝k 2．所以a ＝2－a ，解得a ＝1．5．(2018·长春外国语高一检测)斜率为－3，在x 轴上截距为－2的直线方程的一般式为( A )A ．3x ＋y ＋6＝0B ．3x －y ＋2＝0C ．3x ＋y －6＝0D ．3x －y －2＝0[解析] 由题意得直线方程为y ＝－3(x ＋2)，整理得一般式为3x ＋y ＋6＝0． 6．(2018·诸城一中高一检测)经过点M (1,1)且在两轴上截距相等的直线是( D ) A ．x ＋y ＝2 B ．x ＋y ＝1 C ．x ＝1或y ＝1D ．x ＋y ＝2或x ＝y[解析] 当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为x ＋y ＝a ，把(1,1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2；当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为y ＝kx ，把(1,1)代入所设的方程得k ＝1，则所求直线的方程为y ＝x ，经过点M (1,1)且在两轴上截距相等的直线是x ＋y ＝2或x ＝y ，故选D ．7．(2018·长春外国语高一检测)y －ax －1a＝0表示的直线可能是( B )[解析] 当a >0时，y ＝ax ＋1a ，∵1a>0，排除A ；当a ＝0时不合题意，排除C ，当a <0时，y ＝ax ＋1a ，∵1a<0，故选B ．8．(2019·合肥高一检测)下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π2，则其方程为x ＝x 1；③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的个数为( B ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①④不正确，②③正确，故选B ． 二、填空题9．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝__－2__，b ＝__－2__．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－4＝k ＋b 0＝－k ＋b ，解得k ＝－2，b ＝－2．10．(2019·杭州高一检测)直线l 1与直线l 2：y ＝3x ＋1平行，又直线l 1过点(3,5)，则直线l 1的方程为 y ＝3x －4 ．[解析] ∵直线l 2的斜率k 2＝3，l 1与l 2平行． ∴直线l 1的斜率k 1＝3． 又直线l 1过点(3,5)，∴l 1的方程为y －5＝3(x －3)，即y ＝3x －4． 三、解答题11．(2018～2019·福州高一检测)直线l 过点P (2，－3)且与过点M (－1,2)，N (5,2)的直线垂直，求直线l 的方程．[解析] 过M ，N 两点的直线斜率k ＝0， ∴直线l 与直线MN 垂直， ∴直线l 的斜率不存在． 又直线l 过点P (2，－3)， ∴直线l 的方程为x ＝2． 12．已知直线y ＝－33x ＋5的倾斜角是直线l 的倾斜角的大小的5倍，分别求满足下列条件的直线l 的方程．(1)过点P (3，－4)； (2)在x 轴上截距为－2； (3)在y 轴上截距为3． [解析] 直线y ＝－33x ＋5的斜率k ＝tan α＝－33， ∴α＝150°，故所求直线l 的倾斜角为30°，斜率k ′＝33． (1)过点P (3，－4)，由点斜式方程得：y ＋4＝33(x －3)， ∴y ＝33x －3－4． (2)在x 轴截距为－2，即直线l 过点(－2,0)， 由点斜式方程得：y －0＝33(x ＋2)，∴y ＝33x ＋233． (3)在y 轴上截距为3，由斜截式方程得y ＝33x ＋3． 13．(2018·武威一中高一期末)求斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的面积是6的直线方程．[解析] 设所求直线的方程为y ＝34x ＋b ，令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－43b ，由已知，得12|b ·(－43b )|＝6，即23b 2＝6，解得b ＝±3．故所求的直线方程是y ＝34x ±3，即3x －4y ±12＝0．。
【优质文档】人教A版必修2第三章3.2.1直线的点斜式方程精选课时练习(含答案)-2
31．过点 (0,5) 且与直线 x＋2y－ 1＝ 0 平行的直线方程为 ____________
32．过点 (1,0) 且与直线 x-2y=0 平行的直线方程是 ___________
33． 直线 l1 与直线 l 2：y＝ 3x＋ 1 平行，又直线 l1 过点 (3,5)，则直线 l1 的方程为
B ．－ 2
C． 0
D．2
13． 直线 y＝－ 2x－ 7 在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为 b，则 a、 b 的
值是 ( )
A ．a＝－ 7，b＝－ 7
7
C． a＝－ ， b＝7
2
7
B． a＝－ 7， b＝－
2 7
D． a＝－ ， b＝－ 7
2
11
14． 若直线 y＝－ ax－ 与直线 y＝ 3x－ 2 垂直，则 a 的值为 ( )
2
40．过点 (-3 ，2) 且与直线 y-1= (x+5) 平行的直线的方程是 ___________.
3 41．已知 l1 : 2x my 1 0 与 l2 : y 3x 1 ，若两直线平行，则 m 的值为
三、解答题
试卷第 4 页，总 5 页
42．已知 O (0,0), A(8,0), B (0,5) 为矩形的三个顶点， 求矩形的两条对角线所在直线的
方程．
43．已知直线 2x (t 2) y 3 2t 0 ，分别根据下列条件，求 t 的值．
（ 1）过点 (1,1)． （ 2 ）直线在 y 轴上的截距为 3 ．
44．直线 l 过点 P(2，－ 3)且与过点 M (－ 1,2)，N(5,2)的直线垂直，求直线 l 的方程 . 45．已知△ ABC 的三个顶点分别是 A( － 5,0)，B(3 ，－ 3)，C(0,2) ，试求 BC 边上的高所 在直线的点斜式方程． 46．已知直线 l： x＋ 2y－ 2＝ 0，试求： (1) 点 P(－ 2，－ 1)关于直线 l 的对称点坐标；
【人教A版】必修2《3.2.1直线的点斜式方程》课后导练含解析
课后导练 基础达标1下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是（ ）A.x=3B.y=-5C.2y=xD.x=4y-1解析：直线方程的斜截式方程为y=kx+b ，选B.答案：B2已知直线l 的方程为y-1=3-(x+3),则l 的倾斜角和在y 轴上的截距为（ ）A.α=60°,b=2B.α=60°,b=-2C.α=120°,b=2D.α=120°,b=-2解析：将方程化为斜截式为y=3-x-2，则知k=3-=tanα,∴α=120°.答案：D3若k ＜0,b ＞0，则直线y=kx+b 必不通过…（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：∵b>0知直线为y 轴上截距为正，又知斜率k<0，由数形结合可知,选C.答案：C4直线l 的方程y=kx+b 的图象如右图所示，则k,b 满足（ ）A.k>0,b>0B.k<0,b<0C.k<0,b>0D.k>0,b<0解析：由图形知l 的倾斜角α为钝角，所以k=tanα<0;又知l 与y 轴负半轴相交，∴b<0.答案：B5直线l 1:3x+4y+7=0和l 2:3x-4y-1=0，则l 1和l 2这两条直线的倾斜角（ ）A.互补B.互余C.相等D.互为相反数解析：由条件知l 1的斜率为k 1=43-，l 2的斜率为k 2=43， ∴tanα1=-tanα2.∴α1+α2=π.答案：A6倾斜角为150°，在y 轴上截距为6的直线方程是__________.解析：因倾斜角为150°，∴斜率为k=tan150°=33-,又知直线在y 轴上截距为6. 由斜截式方程知y=33-x+6.答案：y=33-x+6 7斜率与直线y=23x 的斜率相等，且过点(-4,3)的直线方程是__________. 解析：由条件知所求直线的斜率为23，又知该直线过点（-4，3），所以方程y-3=23(x+4). 答案：y=23x+9 8直线kx-y+1-3k=0,当k 变化时，所有直线恒过定点___________.分析：将所给直线化为点斜式.解：直线可以为y-1=k(x-3),∴过定点（3，1）.答案：（3，1）综合运用9若直线l 1：y=-x+2a 与直线l 2:y=(a 2-2)x+2平行，则a 的值为____________.解析：∵l 1∥l 2,∴⎩⎨⎧≠-=-,22,122a a ∴a=-1.答案：-110与直线y=3x+4在y 轴上有相同的截距且和它关于y 轴对称的直线方程为_____________. 解析：由条件知所求直线的斜率为-3，在y 轴上截距为4，所以其方程为y=-3x+4. 答案：y=-3x+411已知直线l 在x 轴上的截距为-2，倾斜角α满足113tan 351tan 2=+-αα，求直线l 的方程. 解析：由113tan 351tan 2=+-αα,得tanα=2, 又∵α是l 的倾斜角，∴l 的斜率k=2,又知l 在x 轴上的截距为-2，∴l 过点（-2，0），由点斜式求出方程y=2(x+2).拓展探究12求过点（2，3）且在两轴上截距相等的直线方程.解法一：由条件知该直线的斜率存在且不为0，由点斜式可设直线方程为y-3=k(x-2). 令x=0得直线在y 轴上截距为y=3-2k.令y=0得直线在x 轴上截距为x=2-k3 由3-2k=2-k 3，得k=-1或k=23 故直线方程为y=-x+5或y=23x. 解法二：设直线方程为y=kx+b,因为直线过点（2，3），所以3=2k+b ，又知直线在两轴上截距相等.所以b=kb -.由⎩⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧-=+=.1,5,23,0,,23k b k b k b b b k 或得 故所求直线方程为y=23x 或y=-x+5.。
高中数学必修二人教A版练习：3.2.1直线的点斜式方程含解析
3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程【选题明细表】1.(2018·北京海淀期末)直线2x+y-1=0在y轴上的截距为( D )(A)-2 (B)-1 (C)-(D)1解析:直线2x+y-1=0化为y=-2x+1,则在y轴上的截距为1.故选D.2.(2018·深圳调研)在同一平面直角坐标系中,直线l1:ax+y+b=0和直线l2:bx+y+a=0有可能是( B )解析:当a>0,b>0时,-a<0,-b<0.选项B符合.故选B.3.已知直线的斜率是2,在y轴上的截距是-3,则此直线方程是( A )(A)2x-y-3=0 (B)2x-y+3=0(C)2x+y+3=0 (D)2x+y-3=0解析:由直线方程的斜截式得方程为y=2x-3,即2x-y-3=0.4.(2018·广东湛江高一期末)经过点A(-1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是( C )(A)x+y+3=0 (B)x-y+5=0(C)x+y-3=0 (D)x+y-5=0解析:过点A(-1,4)且在x轴上的截距为3的直线的斜率为=-1.所求的直线方程为y-4=-(x+1),即x+y-3=0.5.(2018·台山市华侨中学高二上期末)已知三角形的三个顶点A(4,3), B(-1,2),C(1,-3),则△ABC的高CD所在的直线方程是( A )(A)5x+y-2=0 (B)x-5y-16=0(C)5x-y-8=0 (D)x+5y+14=0解析:△ABC的高CD与直线AB垂直,故有直线CD的斜率k CD与直线AB的斜率k AB满足k CD·k AB=-1k AB==,所以k CD=-5.直线CD过点C(1,-3),故其直线方程是y+3=-5(x-1)整理得5x+y-2=0,选A.6.(2018·河南商丘期末)已知直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则a的值为( D )(A)±(B)±1 (C)1 (D)-1解析:直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,所以a2-2=-1,2≠2a,解得a=-1.故选D.7.(2018·海口一中质检)根据条件写出下列直线的方程.(1)斜率为2,在y轴上的截距是3的直线方程: ;(2)过点(0,-2),斜率为-3的直线方程: .解析:有斜率,且知道直线在y轴上的截距可选直线的斜截式方程.(1)直线方程为y=2x+3,即2x-y+3=0;(2)因为过点(0,-2),所以直线在y轴上的截距是-2,故直线方程为3x+y+2=0.答案:(1)2x-y+3=0 (2)3x+y+2=08.求倾斜角是直线y=-x+1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程.(1)经过点(,-1);(2)在y轴上的截距是-5.解:因为直线y=-x+1的斜率k=-,所以其倾斜角α=120°.由题意得所求直线的倾斜角α1=α=30°,故所求直线的斜率k1=tan 30°=.(1)因为所求直线经过点(,-1),斜率为,所以所求直线方程是y+1=(x-),即x-3y-6=0.(2)因为所求直线的斜率是,在y轴上的截距为-5,所以所求直线的方程为y=x-5,即x-3y-15=0.9.(2018·深圳模拟)直线l1的斜率为2,l1∥l2,直线l2过点(-1,1)且与y轴交于点P,则P点坐标为.解析:因为l1∥l2,且l1的斜率为2,则直线l2的斜率k=2,又直线l2过点(-1,1),所以直线l2的方程为y-1=2(x+1),整理得y=2x+3,令x=0,得y=3,所以P点坐标为(0,3).答案:(0,3)10.写出下列直线的斜截式方程.(1)斜率是3,在y轴上的截距是-3;(2)倾斜角是60°,在y轴上的截距是5;(3)倾斜角是30°,在y轴上的截距是0.解:(1)y=3x-3.(2)因为k=tan 60°=,所以y=x+5.(3)因为k=tan 30°=,所以y=x.11.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.(1)求证:不论a为何值,直线l总过第一象限;(2)为了使直线l不过第二象限,求a的取值范围.(1)证明:直线l的方程可化为y-=a(x-),由点斜式方程可知直线l的斜率为a,且过定点A(,),由于点A在第一象限,所以直线一定过第一象限.(2)解:如图,直线l的倾斜角介于直线AO与AP的倾斜角之间,k AO==3,直线AP的斜率不存在,故a≥3.即a的取值范围为[,+∞).。
人教版高中数学必修二教材用书直线与方程3.2-1直线的点斜式方程word版含答案2
3．2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程点斜式、斜截式[提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________． [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)， 即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12，故所求的直线方程为y ＝12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解] (1)y ＝－33x －3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a (1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]1．若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. 答案：382．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________． 答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)·x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值． [解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m .由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y －y 1＝k (x －x 1)( ) A ．可以表示任何一条直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与坐标轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3 D ．y －2＝x ＋3答案：A3．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为________． 答案：－24．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________________． 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解：(1)2x －y －1＝0 (2)x ＋3y ＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C2．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A5．直线y ＝2x ＋3与y －2＝2(x ＋3)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．无法判断 答案：A 二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R)必过定点____________． 答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax －5y －a ＋3＝0，此直线在y 轴上的截距为________．答案：15三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－?－5?＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.。
高一数学人教A版必修2课后训练：3.2.1直线的点斜式方程 Word版含解析
3．2.1 直线的点斜式方程练习1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是()A．－2,3 B．3，－2 C．－2，－2 D．3,3 2．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()A．x＝1 B．x＝3 C．y＝1 D．y＝3 3．方程y－y0＝k(x－x0)()A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于() A．2 B．1 C．0 D．－15．方程y＝ax＋1a表示的直线可能是()6．过点(－1,3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为__________．7．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为__________．8．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝__________，b＝__________.9．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．10．当－1<x<1时，直线l：y＝mx＋1在x轴上方，求实数m的取值范围．参考答案1. 答案：A2. 答案：D3. 答案：B4. 答案：B5. 答案：B6. 答案：y ＝－2x ＋17. 答案：y －1＝－(x －2)8. 答案：－2 －29. 解：设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k BC k AD ＝－1， ∴2303+-k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是 y －0＝35 (x ＋5)． 10. 解：由题意，得当－1＜x ＜1时，y ＞0，如图所示．由图知只需点A (－1，－m ＋1)，B (1，m ＋1)在x 轴上方， ∴10,10,m m -+⎧⎨+⎩解得－1＜m ＜1， 即实数m 的取值范围是(－1,1)．。
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3．2.1 直线的点斜式方程练习
1．直线y＝－2x＋3的斜率和在y轴上的截距分别是()
A．－2,3 B．3，－2 C．－2，－2 D．3,3 2．过点(1,3)且斜率不存在的直线方程为()
A．x＝1 B．x＝3 C．y＝1 D．y＝3 3．方程y－y0＝k(x－x0)()
A．可以表示任何直线B．不能表示过原点的直线C．不能表示与y轴垂直的直线D．不能表示与x轴垂直的直线4．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于() A．2 B．1 C．0 D．－1
5．方程y＝ax＋1
a
表示的直线可能是()
6．过点(－1,3)，且斜率为－2的直线的斜截式方程为__________．
7．已知直线l1过点P(2,1)且与直线l2：y＝x＋1垂直，则l1的点斜式方程为__________．8．已知点(1，－4)和(－1,0)是直线y＝kx＋b上的两点，则k＝__________，b＝__________.
9．已知△ABC的三个顶点分别是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，试求BC边上的高所在直线的点斜式方程．
10．当－1<x<1时，直线l：y＝mx＋1在x轴上方，求实数m的取值范围．
参考答案
1. 答案：A
2. 答案：D
3. 答案：B
4. 答案：B
5. 答案：B
6. 答案：y ＝－2x ＋1
7. 答案：y －1＝－(x －2)
8. 答案：－2 －2
9. 解：设BC 边上的高为AD ，则BC ⊥AD ，∴k BC k AD ＝－1， ∴2303
+-k AD ＝－1，解得k AD ＝35. ∴BC 边上的高所在直线的点斜式方程是 y －0＝
35 (x ＋5)． 10. 解：由题意，得当－1＜x ＜1时，y ＞0，如图所示．
由图知只需点A (－1，－m ＋1)，B (1，m ＋1)在x 轴上方， ∴10,10,m m -+⎧⎨+⎩
解得－1＜m ＜1， 即实数m 的取值范围是(－1,1)．。