勾股定理与等腰三角形的综合专题
等腰三角形直角三角形勾股定理
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
驶向胜利 的彼岸
三、基本练习 ㈠填空题
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长 分为15，8两部分，则它的底边长为__3______.
2、“同角的余角相等”的逆命题是 如__果_两__个__角__相_等__，__那__么_这__两. 个角是同一个角的余角
3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的
PD⊥OA，若PC=4，则PD=___2____.
B
A
MC
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,
AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=___3_:_2__.
边在上△A的B中C线中，，底AB边=上A的C,高点互D相在重BC合上A
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ 1 = ∠2 ，B__D__= DC 。
2、∵AD是中线，
B1
∴ AD⊥BC ，∠ 1=∠ 2 。
3、∵AD是角平分线，
11 22 C
D
∴AD ⊥BC ，BD=DC 。
1、求有关等腰三角形
等 等边对等角 的问题，作顶角平分
性质２：等腰三角形的顶角的平分 线，底边上的中线，底边上的高互 相重合。（简称“三线合一” A）
Ａ
勾股定理的应用综合大题专项训练
勾股定理的应用综合大题专项训练1．在△ABC中，（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．2．如图，△ABC中，AB＝4，∠ABC＝45°，D是BC边上一点，且AD＝AC，若BD ﹣DC＝1．求DC的长．3．如图，已知BA＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠EBD＝90°．（1）求证：AB平分∠EAC；（2）若AD＝1，CD＝3，求BD．4．一透明的敞口正方体容器装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图1所示），此时液面刚好过棱CD，并与棱BB'交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，三视图及尺寸如图2所示，求当正方体平放（正方形ABCD在桌面上）时，液体的深度．5．如图，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD＝45°，AD与BE交于点F，连接CF．（1）求证：BF＝2AE；（2）若CD＝2，求AD的长．6．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答：（1）图2中间小正方形的周长，大正方形的边长为．（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c）①S＝；②S＝；（3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式．（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：已知直角三角形的两条腿直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值．7．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab+（a﹣b）2，所以4×ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．8．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．它是初中数学中的重要知识点之一，也是初中学生以后解决数学问题和实际问题中常常运用到的重要知识，因此学好勾股定理非常重要．学习数学“不仅要知其然，更要知其所以然”，所以，我们要学会勾股定理的各种证明方法．请你利用如图图形证明勾股定理：已知：如图，四边形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于点E，且△ABE≌△BCD．求证：AB2＝BE2+AE2．9．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x．（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x．因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝．（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：连接IC，利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程；（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．（注：根据比例的基本性质，由可得ad＝bc）10．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，当两个全等的直角三角形如图摆放时，也可以用面积法来证明，请将下面说理过程补充完整：证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，交BC的延长线与点F，则四边形DFCE为长方形，所以DF＝EC＝．（用含字母的代数式表示）因为S四边形ABCD＝S△ACD+＝+；S四边形ABCD＝S△ADB+＝；所以；所以．11．如图，∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，AD＝8，BD＝17，求△ABD的面积．12．如图，在△ABC中，D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，延长AC到E，使得CE＝CD，连接BE．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）求线段BE的长度．13．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km．要从B修一条公路BD直达AC．已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？14．如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AD＝10，AB＝8．在其右侧的同一个平面内作△BCD，使BC＝8，CD＝2．求证：AB∥DC．15．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD ＝12cm，CD＝5cm．（1）判断△BDC的形状，并说明理由；（2）求△ABC的周长．16．已知：整式A＝n（n+6）+2（n+8）（n＞0），整式B＞0．尝试：化简整式A；发现：A＝B2，求整式B；应用：利用A＝B2，填写下列表格：n（n+6）2（n+8）B\40\17．已知：整式A＝（n2﹣1）2+（2n）2，整式B＞0．尝试化简整式A．发现A＝B2．求整式B．联想由上可知，B2＝（n2﹣1）2+（2n）2，当n＞1时，n2﹣1，2n，B为直角三角形的三边长，如图，填写下表中B的值；直角三角形三边n2﹣12n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3518．满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．（1）请把下列三组勾股数补充完整：①，8，10 ②5，，13 ③8，15，．（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成2mn，那么另外两个数可以写成m2+n2，m2﹣n2，如4＝2×2×1，5＝22+12，3＝22﹣12．请你帮小敏证明这三个数2mn，m2+n2，m2﹣n2是勾股数组．（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求m+n的值．19．勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m，n为正整数，且m＞n，若有一个直角三角形斜边长为m2+n2，有一条直角长为m2﹣n2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长4，且a 和b均为正整数，用含b的代数式表示a，并求出a和b的值；（3）若c1＝a12+b12，c2＝a22+b22，其中，a1、a2、b1、b2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c1•c2．20．若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．观察下列两类“勾股数”：第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．21．有一个水池，截面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？22．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？23．如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）使三角形的三边长分别为3，2，（在图①中画一个即可）；（2）使三角形为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）．24．如图，一个直径为12cm的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm，当筷子倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯口，求筷子长度．25．如图，小颖和她的同学荡秋千，秋千AB在静止位置时，下端B′离地面0.6m，荡秋千到AB的位置时，下端B距静止位置的水平距离EB等于2.4m，距地面1.4m，求秋千AB 的长．。
八下数学勾股定理与全等三角形综合大题
八下数学| 勾股定理与全等三角形综合大题【一】已知，如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，过D作DE∥AC交AB于E．（1）求证：AE＝DE；【解答】证明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE；（2）如果AC＝3，，求AE的长．【解答】解：过点D作DF⊥AB于F．∵∠C＝90°，AC＝3，AC=2√3,在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+DC2＝AD2．∴=√3．∵AD平分∠BAC，∴DF＝DC=√3．又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．∴AF＝AC＝3，∴Rt△DEF中，由勾股定理得EF2+DF2＝DE2．设AE＝x，则DE＝x，EF＝3﹣x，∴（3-x）²+（√3）²＝x²，∴x＝2．∴AE＝2．【二】如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC于点D．（1）求BC的长；【解答】解：在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：=∠AB²-BC²∠10²-6²=．（2）求CD的长．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图．∴∠DEA＝90°＝∠C（垂直定义）．∵AD平分∠CAB（已知），∴∠1＝∠2（角平分线定义）．在△AED和△ACD中，∠DEA=∠C，∠2=∠1，AD=AD△AED≌△ACD（AAS）．∴AE＝AC＝6，DE＝DC（全等三角形的对应边相等）．∴BE＝AB﹣AE＝4．设CD＝x，则DE＝x，DB＝8﹣x．在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，由勾股定理，得（8﹣x）2＝x2+42．解得x＝3．即CD＝3．【三】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求AC的长．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴AC=√AB2-BC2=√102-62=8;（2）求斜边AB上的高．【解答】解：设边AB上的高为h则S△ABC=1/2×BC=1/2AB•h,∴1/2×6×8=1/2×10×h，∴h=24/5，答：斜边AB上的高为24/5；（3）①当点P在BC上时，PC的长为16﹣2t ．（用含t的代数式表示）【解答】解：当点P在BC上时，点P运动的长度为AB+BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝6﹣（2t﹣10）＝6﹣2t+10＝16﹣2t；②若点P在∠BAC的角平分线上，则t的值为20/3 ．【解答】解：当点P'在∠BAC的角平分线上时，过点P作PD⊥AB，如图：∵AP平分∠BAC，PC⊥AC，PD⊥AB，∴PD＝PC，有①知，PC＝16﹣2t，BP＝2t﹣10，∴PD＝16﹣2t，在Rt△ACP和Rt△ADP中，AP=AP，PD=PC，∴Rt△ACP≌Rt△ADP（HL），∴AD＝AC＝8，又∵AB＝10，∴BD＝2，在Rt△BDP中，由勾股定理得：22+（16﹣2t）2＝（2t﹣10）2，解得：t=20/3．（4）在整个运动过程中，直接写出△PBC是等腰三角形时t的值．由图可知，当△BCP是等腰三角形时，点P必在线段AB上，①当点P在线段AB上时，若BC＝BP，则点P运动的长度为AP＝2t，∵AP＝AB﹣BP＝10﹣6＝4，∴2t＝4，∴t＝2；②若PC＝BC，如图，过点C作CH⊥AB于点H，则BP＝2BH，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，AC ＝8，∴AB•CH＝AC•BC，∴10CH＝8×6，∴CH=24/5，在Rt△BCH中，由勾股定理得：BH=√BC2-CH2=√62-（24/5）2=18/5=3.6，∴BP＝2BH＝7.2，∴点P运动的长度为：AP＝AB﹣BP＝10﹣7.2＝2.8，∴2t＝2.8，∴t＝1.4；③若PC＝PB，如图所示，过点P作PQ⊥BC于点Q，则BQ＝CQ=1/2×BC＝3，∠PQB＝90°，∴∠ACB＝∠PQB＝90°，∴PQ∥AC，∴PQ为△ABC的中位线，∴PQ=1/2×AC=1/2×8＝4，在Rt△BPQ中，由勾股定理得：BP=√BQ2+PQ2=√32-42=5，点P运动的长度为AP＝2t，AP＝AB﹣BP＝10﹣5＝5，∴2t＝5，∴t＝2.5．综上，t的值为1.4或2或2.5．。
初中数学几何专题-勾股定理与等腰三角形夹半角模型
勾股定理与等腰三角形夹半角模型（适合八下+九年级）【模型入门】（1）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF ＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间的关系，并证明．（2）将问中△AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明．【简单应用】1、如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 、E 是BC 上的两点，且∠DAE ＝45°，若BD ＝6，EC ＝8，则DE ＝___________．2、（2017武汉中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为__________．3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝150°，点D 、E 在BC 边上，且∠DAE ＝75°，BD ＝DE ，若△ADE 的面积为274，则线段DE 的长为__________．FE CBAABCE FC BAEDE D CB AED C B A【变式训练】1、如图，B ，C 为△ADE 的边DE 上两点，∠DAE ＝135°，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，若BD ＝2，CE ＝3，则AB 的长 为 ．2、若∠BAC ＝150°，D 、E 为线段BC 上的两点，∠DAE ＝60°，且AD ＝AE ．若DE ＝3，CE ＝5，则BD 的长为___________.【模型隐藏】 1、如图，在长方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF ＝∠CEF ＝45°，若BE ＝3，DF ＝1，则EF 的长为__________．2、在□ABCD 中，∠A ＝60°，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，DE ＝DF ，且∠EBF ＝60°，若AE ＝2，FC ＝3， 则EF 的长度为（ ）AB ．C ．D ．5【模型隐藏】1、如图，△AEF 中∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于G ，且GF ＝2，GE ＝3，求S △AEF .ABCDEABCDEAB CD E FFE D CB AG FE A2、如图，∠AOB ＝45°，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，连OP ，C 是CP 上一点，OC ＝PC ，连BC 交OA 于D 点，若OD ＝4， AD ＝6，则PB 的值为__________．3、如图，点D 在△ABC 的BC 边上，∠ABC ＝15°，∠ACB ＝37.5°，∠DAC ＝75°，CD ＝2，则线段BD 的长为__________．【备选】CP BODADCBA。
苏科八上精选专题《勾股定理》：等腰直角三角形精选题36道
等腰直角三角形精选题36道一．选择题（共14小题）1．如图，ABC ∆中，45C ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD DB DE ==，1AE =，则AC 的长为( )A ．5B ．2C ．3D ．22．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，⋯按照此规律继续下去，则2015S 的值为( )A ．20122()2B ．20132()2C ．20121()2D ．20131()23．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和()n m n <，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( )A ．2220m mn n ++=B ．2220m mn n -+=C ．2220m mn n +-=D ．2220m mn n --=4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，ADE ∆的顶点D ，E 分别在BC ，AC 上，且90DAE ∠=︒，AD AE =．若145C BAC ∠+∠=︒，则EDC ∠的度数为( )A ．17.5︒B ．12.5︒C ．12︒D ．10︒5．如图，直线12//l l ，等腰直角ABC ∆的两个顶点A 、B 分别落在直线1l 、2l 上，90ACB ∠=︒，若115∠=︒，则2∠的度数是( )A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒6．已知直线//m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若125∠=︒，则2∠的度数为( )A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒7．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若130∠=︒，则2∠的度数为( )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒8．如图，两条直线12//l l ，Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，顶点A 、B 分别在1l 和2l 上，120∠=︒，则2∠的度数是( )A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE ∆是等腰直角三角形；②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④CDE ∆面积的最大值为8．其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．②③④10．如图，直线//a b ，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a 、b 上，若130∠=︒，则2∠的度数是( )A ．45︒B ．30︒C ．15︒D ．10︒11．如图，直线12//l l ，等腰Rt ABC ∆的直角顶点C 在1l 上，顶点A 在2l 上，若14β∠=︒，则(α∠= )A ．31︒B ．45︒C ．30︒D ．59︒12．将一个有45︒角的三角板的直角顶点C 放在一张宽为5cm 的纸带边沿上，另一个顶点B在纸带的另一边沿上，测得30DBC ∠=︒，则三角板的最大边的长为( )A ．5cmB ．10cmC ．102cmD ．52cm13．如图， 在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，BD AE ⊥于D ，DM AC ⊥交AC 的延长线于M ，连接CD ，给出四个结论：①45ADC ∠=︒；②12BD AE =；③AC CE AB +=；④2AB BC MC -=；其中正确的结论有( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个14．小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为()A．40B．3022++C．202D．10102二．填空题（共14小题）15．已知ABC∆唯一确定，那么BC边长∠=︒，8AB=，要使满足条件的ABC∆，45BAC度x的取值范围为．16．在等腰直角三角形ABC中，90AC=，点P为边BC的三等分点，连接AP，ACB∠=︒，3则AP的长为．17．如图，已知等腰Rt ABC∆的斜边AC为直角边，画第二个∆的直角边长为1，以Rt ABC等腰Rt ACD∆的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt ADE∆，⋯，依此∆，再以Rt ACD类推到第五个等腰Rt AFG∆，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为．18．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为．19．把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若123∠=︒，则2∠= ︒．20．如图，在Rt ABC ∆ 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，32AB =，将ABC ∆沿AB 方向平移得DEF ∆，若ABC ∆与DEF ∆重叠部分的面积为2，则AD = ．21．如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆是以C 为直角顶点的直角三角形，且AC BC =，点A 的坐标为(1,0)-，点B 的坐标为(0,4)，则点C 的坐标为 ．22．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得ADE ∆为等腰直角三角形，90ADE ∠=︒，则BE = ．23．一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若153∠=︒，则2∠的度数为 ．24．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，16AB AC cm ==，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A D →2/cm s 的速度向点D 运动，过P 点作//PE BC 交AC 于点E ，过E 点作EF BC ⊥于点F ，设ABP ∆的面积为1S ，四边形PDFE 的面积为2S ，则点P 在运动过程中，12S S +的最大值为 ．25．已知ABC ∆是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆ 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，⋯，依此类推，第20个等腰直角三角形的斜边长是 ．26．如图所示的图形由4个等腰直角三角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm ，则直角三角形（4）的斜边长为 ．27．如图，等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是AB 上一点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于F 交BC 于E ，G 在是CF 上一点，过点G 作GH BC ⊥于H ，延长GH 到K 连接KC ，使290K BAE ∠+∠=︒，若:2:3HG HK =，10AD =，则线段CF 的长度为 ．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，在直线BC 上取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 个．三．解答题（共8小题）29．如图，在ABC==，D为BC的中点．AB ACBAC∆中，90∠=︒，6（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE CF∆≅∆；=，求证：AED CFD（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设DEF∆的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．30．如图，ABC=，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、∆是等腰直角三角形，AB AC⊥．AC边上的点，且DE DF（1）请说明：DE DF=；（2）请说明：222+=；BE CF EF（3）若6∆的面积（直接写结果）．CF=，求DEFBE=，831．ABC∆是等腰直角三角形，点E为线段AC上一点(E点不和A、C两点重合），连接BE 并延长BE，在BE的延长线上找一点D，使AD CD⊥，点F为线段AD上一点(F点不和A、D两点重合），连接CF，交BD于点G（1）如图1，若26AB=，1CD=，F是线段AD的中点，求CF；（2）如图2，若点E 是线段AC 中点，CF BD ⊥，求证：CF DE BE +=．32．在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，点M 是线段BC 的中点，点N 在射线MB 上，连接AN ，平移ABN ∆，使点N 移动到点M ，得到DEM ∆（点D 与点A 对应，点E 与点B 对应），DM 交AC 于点P ．（1）若点N 是线段MB 的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP 的长；（2）若点N 在线段MB 的延长线上，射线DM 与射线AB 交于点Q ，若MQ DP =，求CE 的长．33．如图，在ABC ∆中，AC CB =，90ACB ∠=︒，在AB 上取点F ，过A 作AB 的垂线，使得AD BF =，连接BD 、CD 、CF ，CE 是ACB ∠的角平分线，交BD 于点M ，交AB 于点E ．（1）若6AC =，22AF =，求BD 的长；（2）求证：2CM AF =．34．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以BC 为底作等腰Rt BCD ∆，BD CD =，CD 与AB 交于点F ，且F 为CD 的中点，DE 平分BDC ∠交AB 于点E ．G 为BC 边上一点，连接DG 且DBE CDG ∠=∠．（1）若3AC =，求DE 的长：（2）求证：2DG AF =．35．如图在ABC ∆中，AB AC =，以BC 为直角边作等腰Rt BCD ∆，90CBD ∠=︒，斜边CD 交AB 于点E ．（1）如图1，若60ABC ∠=︒，4BE =，作EH BC ⊥于H ，求线段CE 的长；（2）如图2，作CF AC ⊥，且CF AC =，连接BF ，且E 为AB 中点，求证：2CD BF =．36．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，45A ∠=︒，2AC =．求斜边AB 的长．等腰直角三角形精选题36道参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，ABC ∆中，45C ∠=︒，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD DB DE ==，1AE =，则AC 的长为( )A 5B ．2C 3D 2【分析】利用AD DB DE ==，求出90AEC ∠=︒，在直角等腰三角形中求出AC 的长．【解答】解：AD DE =，DAE DEA ∴∠=∠，DB DE =，B DEB ∴∠=∠，1180902AEB DEA DEB ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒， 90AEC ∴∠=︒，45C ∠=︒，1AE =，2AC ∴=故选：D ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是利用角的关系求出AEC ∠是直角．2．如图，正方形ABCD 的边长为2，其面积标记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为2S ，⋯按照此规律继续下去，则2015S 的值为( )A ．20122(B ．20132(C ．20121()2D ．20131()2【分析】根据题意可知第222，则第3个正方形的边长是22(2⨯，⋯，进而可找出规律，第n 个正方形的边长是12(22n -⨯，那么易求2015S 的值． 【解答】解：根据题意：第一个正方形的边长为2； 22； 第三个正方形的边长为：22(2⨯， ⋯第n 个正方形的边长是12()2n -⨯， 所以2015S 的值是20121()2，故选：C ．【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理．解题的关键是找出第n 个正方形的边长．3．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和()n m n <，过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( )A ．2220m mn n ++=B ．2220m mn n -+=C ．2220m mn n +-=D ．2220m mn n --= 【分析】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得222()m m n m +=-，整理即可求解 【解答】解：如图，222()m m n m +=-， 22222m n mn m =-+， 2220m mn n +-=．故选：C ．【点评】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．4．如图，在ABC ∆中，AB AC =，ADE ∆的顶点D ，E 分别在BC ，AC 上，且90DAE ∠=︒，AD AE =．若145C BAC ∠+∠=︒，则EDC ∠的度数为( )A ．17.5︒B ．12.5︒C ．12︒D ．10︒【分析】由AB AC =知B C ∠=∠，据此得2180C BAC ∠+∠=︒，结合145C BAC ∠+∠=︒可知35C ∠=︒，根据90DAE ∠=︒、AD AE =知45AED ∠=︒，利用EDC AED C ∠=∠-∠可得答案． 【解答】解：AB AC =，B C ∴∠=∠，2180B C BAC C BAC ∴∠+∠+∠=∠+∠=︒，又145C BAC ∠+∠=︒， 35C ∴∠=︒，90DAE ∠=︒，AD AE =， 45AED ∴∠=︒，10EDC AED C ∴∠=∠-∠=︒，故选：D ．【点评】本题主要考查等腰直角三角形，解题的关键是掌握等腰直角三角形和等腰三角形的性质及三角形的内角和定理、外角的性质．5．如图，直线12//l l ，等腰直角ABC ∆的两个顶点A 、B 分别落在直线1l 、2l 上，90ACB ∠=︒，若115∠=︒，则2∠的度数是( )A ．35︒B ．30︒C ．25︒D ．20︒【分析】根据等腰直角三角形的性质可得45CAB ∠=︒，根据平行线的性质可得23∠=∠，进而可得答案．【解答】解：ABC ∆是等腰直角三角形， 45CAB ∴∠=︒， 12//l l ，23∴∠=∠， 115∠=︒，2451530∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．6．已知直线//m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若125∠=︒，则2∠的度数为( )A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【分析】先求出1254570AED B ∠=∠+∠=︒+︒=︒，再根据平行线的性质可知270AED ∠=∠=︒．【解答】解：设AB 与直线n 交于点E ，则1254570AED B ∠=∠+∠=︒+︒=︒． 又直线//m n ， 270AED ∴∠=∠=︒．故选：C ．【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质，解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角．7．将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若130∠=︒，则2∠的度数为()A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．30︒【分析】根据平行线的性质，即可得出130ADC ∠=∠=︒，再根据等腰直角三角形ADE 中，45ADE ∠=︒，即可得到1453015∠=︒-︒=︒．【解答】解：//AB CD ，130ADC ∴∠=∠=︒，又等腰直角三角形ADE 中，45ADE ∠=︒， 1453015∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．8．如图，两条直线12//l l ，Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，AC BC =，顶点A 、B 分别在1l 和2l 上，120∠=︒，则2∠的度数是( )A ．45︒B ．55︒C ．65︒D ．75︒【分析】根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：12//l l ，12CAB ∴∠+∠=∠，Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，AC BC =， 45CAB ∴∠=︒， 2204565∴∠=︒+︒=︒， 故选：C ．【点评】本题考查的是等腰直角三角形，根据平行线的性质和等腰直角三角形的性质解答是解答此题的关键．9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①DFE ∆是等腰直角三角形；②DE 长度的最小值为4；③四边形CDFE 的面积保持不变；④CDE ∆面积的最大值为8．其中正确的结论是( )A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．②③④【分析】解答此题的关键是在于判断DFE ∆是否等腰直角三角形；做常规辅助线，连接CF ，由SAS 定理可得CFE ADF ∆≅∆，从而可证90DFE ∠=︒可得DF EF =，可得①DFE ∆是等腰直角三角形正确；可得2DE DF =，当DF AC ⊥时，DF 最小，DE 取最小值42②错误；再由补割法可证③是正确的；CDE ∆最大的面积等于四边形CDEF 的面积减去DEF ∆的最小面积，由③可知④是正确的．故①③④正确．【解答】解：①连接CF ． ABC ∆为等腰直角三角形，45FCB A ∴∠=∠=︒，CF AF FB ==， AD CE =， ADF CEF ∴∆≅∆，EF DF ∴=，CFE AFD ∠=∠，90AFD CFD ∠+∠=︒90CFE CFD EFD ∴∠+∠=∠=︒，EDF ∴∆是等腰直角三角形，故本选项正确；②DEF ∆是等腰直角三角形，∴当DE 最小时，DF 也最小，即当DF AC ⊥时，DE 最小，此时142DF BC ==，DE ∴==故本选项错误；③ADF CEF ∆≅∆， CEF ADF S S ∆∆∴=，12DCF CEF DCF ADF ACF ABC CDFE S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∴=+=+==四边形故本选项正确；④当CED ∆面积最大时，由③知，此时DEF ∆的面积最小，此时，1688CED DEF AFC DEF CEFD S S S S S ∆∆∆∆=-=-=-=四边形， 故本选项正确；综上所述正确的有①③④． 故选：C ．【点评】此题考查的知识点有等腰直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，综合性强，难度较大，是一道难题．利用“割补法”是求不规则图形的面积的常用方法． 10．如图，直线//a b ，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a 、b 上，若130∠=︒，则2∠的度数是( )A ．45︒B ．30︒C ．15︒D ．10︒【分析】根据//a b ，得到1342180∠+∠+∠+∠=︒，将130∠=︒，345∠=︒，490∠=︒代入即可求出2∠的度数． 【解答】解：如图． //a b ，1342180∴∠+∠+∠+∠=︒， 130∠=︒，345∠=︒，490∠=︒， 215∴∠=︒，故选：C ．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．11．如图，直线12//l l ，等腰Rt ABC ∆的直角顶点C 在1l 上，顶点A 在2l 上，若14β∠=︒，则(α∠= )A ．31︒B ．45︒C ．30︒D ．59︒【分析】首先过点B 作1//BE l ，可得12////BE l l ，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．【解答】解：过点B 作1//BE l ， 12//l l ， 12////BE l l ∴，CBE α∴∠=∠，14EBA β∠=∠=︒，ABC ∆是等腰直角三角形， 45ABC ∴∠=︒，31CBE ABC EBA α∴∠=∠=∠-∠=︒．故选：A ．【点评】此题考查了平行线的性质．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用．12．将一个有45︒角的三角板的直角顶点C 放在一张宽为5cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一边沿上，测得30DBC ∠=︒，则三角板的最大边的长为( )A ．5cmB ．10cmC ．102cmD ．52cm【分析】根据平行线的性质，可得1∠与2∠的关系，根据30︒的角所对的直角边是斜边的一半，可得BC 与CE 的关系，根据等腰直角三角形的性质，可得AC 与BC 的关系，根据勾股定理，可得答案． 【解答】解：如图：作BE CE ⊥与E 点，5BE cm =， //DB CE ，2130∴∠=∠=︒， 22510BC BE cm ==⨯=，在等腰直角三角形ABC 中，由勾股定理得22221010102AB BC AC =+=+=， 故选：C ．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，先求出BC 的长，再求出AB 的长．13．如图， 在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，BD AE ⊥于D ，DM AC ⊥交AC 的延长线于M ，连接CD ，给出四个结论：①45ADC ∠=︒；②12BD AE =；③AC CE AB +=；④2AB BC MC -=；其中正确的结论有( )A ． 1 个B ． 2 个C ． 3 个D ． 4 个【分析】过E 作EQ AB ⊥于Q ，作ACN BCD ∠=∠，交AD 于N ，过D 作DH AB ⊥于H ，根据角平分线性质求出CE EQ =，DM DH =，根据勾股定理求出AC AQ =，AM AH =，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ QE =，即可求出③；根据三角形外角性质求出45CND ∠=︒，证ACN BCD ∆≅∆，推出CD CN =，即可求出②①；证DCM DBH ∆≅∆，得到CM BH =，AM AH =，即可求出④．【解答】解： 过E 作EQ AB ⊥于Q ，90ACB ∠=︒，AE 平分CAB ∠，CE EQ ∴=，90ACB ∠=︒，AC BC =， 45CBA CAB ∴∠=∠=︒，EQ AB ⊥，90EQA EQB ∴∠=∠=︒，由勾股定理得：AC AQ =，45QEB CBA ∴∠=︒=∠， EQ BQ ∴=，AB AQ BQ AC CE ∴=+=+， ∴③正确；作ACN BCD ∠=∠，交AD 于N ，122.52CAD CAB BAD ∠=∠=︒=∠，9022.567.5ABD ∴∠=︒-︒=︒，67.54522.5DBC CAD ∴∠=︒-︒=︒=∠， DBC CAD ∴∠=∠，AC BC =，ACN DCB ∠=∠， ACN BCD ∴∆≅∆， CN CD ∴=，AN BD =， 90ACN NCE ∠+∠=︒， 90NCB BCD ∴∠+∠=︒， 45CND CDA ∴∠=∠=︒，4522.522.5ACN CAN ∴∠=︒-︒=︒=∠， AN CN ∴=，67.5NCE AEC ∴∠=∠=︒， CN NE ∴=，12CD AN EN AE ∴===， AN BD =，12BD AE ∴=， ∴①正确，②正确；过D 作DH AB ⊥于H ，67.5MCD CAD CDA ∠=∠+∠=︒，9067.5DBA DAB ∠=︒-∠=︒，MCD DBA ∴∠=∠， AE 平分CAB ∠，DM AC ⊥，DH AB ⊥，DM DH ∴=，在DCM ∆和DBH ∆中90M DHB ∠=∠=︒，MCD DBA ∠=∠，DM DH =，DCM DBH ∴∆≅∆，BH CM ∴=，由勾股定理得：AM AH =， ∴22AC AB AC AH BH AC AM CM AM AM AM AM AM+++++====， 2AC AB AM ∴+=，22AC AB AC CM +=+，2AB AC CM -=，AC CB =，2AB CB CM ∴-=，∴④正确 ．故选：D ．【点评】本题主要考查了三角形的外角性质， 三角形的内角和定理， 等腰三角形的性质和判定， 直角三角形斜边上中线性质， 全等三角形的性质和判定， 等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握， 能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键 ．14．小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为( )A．40B．3022++C．202D．10102【分析】所求正方形的边长即为AB的长，在等腰Rt ACF∆中，已知了CE、DE、∆、CDECF的长均为10，根据等腰直角三角形的性质，即可求得AC、CD的长，由=++即可得解．AB AC CD BD【解答】解：如图；连接AB，则AB必过C、D；CF=；=，10∆中，AC AFRt ACF则52AC AF==；同理可得52BD=；CD=；Rt CDE==，则102DE CE∆中，10所以202=++=；故选C．AB AC CD BD【点评】理清题意，熟练掌握直角三角形的性质是解答此题的关键．二．填空题（共14小题）15．已知ABCAB=，要使满足条件的ABC∆唯一确定，那么BC边长BAC∠=︒，8∆，45x．度x的取值范围为42x=或8【分析】过点B作BD AC∆是等腰直角三角形；再延长AD到E点，使⊥于点D，则ABD=，再分别讨论点C的位置即可．DE AD【解答】解：过B点作BD AC∆是等腰三角形；再延长AD到E，使⊥于D点，则ABD=，DE AD①当点C和点D重合时，ABCBC=这个三角形是唯一确定的；∆是等腰直角三角形，42②当点C 和点E 重合时，ABC ∆也是等腰三角形，8BC =，这个三角形也是唯一确定的； ③当点C 在线段AE 的延长线上时，即x 大于BE ，也就是8x >，这时，ABC ∆也是唯一确定的；综上所述，45BAC ∠=︒，8AB =，要使ABC ∆唯一确定，那么BC 的长度x 满足的条件是：42x =或8x ．故答案为：42x =或8x ．【点评】本题主要是考查等腰直角概念，正确理解顶点的位置是解本题的关键16．在等腰直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，3AC =，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为 13或10 ．【分析】①如图1根据已知条件得到113PB BC ==，根据勾股定理即可得到结论； ②如图2，根据已知条件得到113PC BC ==，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：①如图1，90ACB ∠=︒，3AC BC ==， 113PB BC ==， 2CP ∴=，2213AP AC PC ∴=+= ②如图2，90ACB ∠=︒，3AC BC ==，113PC BC ==， 2210AP AC PC ∴=+=综上所述：AP 13101310【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键．17．如图，已知等腰Rt ABC ∆的直角边长为1，以Rt ABC ∆的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，⋯，依此类推到第五个等腰Rt AFG ∆，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 15.5 ．【分析】根据ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，利用勾股定理分别求出Rt ABC ∆、Rt ACD ∆、Rt ADE ∆的斜边长，然后利用三角形面积公式分别求出其面积，找出规律，再按照这个规律得出第四个、第五个等腰直角三角形的面积，相加即可．【解答】解：ABC ∆是边长为1的等腰直角三角形，121111222ABC S -∆∴=⨯⨯==； 22112AC =+，22(2)(2)2AD +⋯，22122122ACD S -∆∴===； 32122222ADE S -∆=⨯⨯==⋯ ∴第n 个等腰直角三角形的面积是22n -．4224AEF S -∆∴==，5228AFG S -∆==，由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为1124815.52++++=．故答案为：15.5．【点评】此题主要考查学生对等腰直角三角形、三角形面积公式和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是根据ABC∆是边长为1的等腰直角三角形分别求出Rt ABC∆、Rt ACD∆、Rt ADE∆的面积，找出规律．18．如图所示，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则ABC∠的度数为45︒．【分析】分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，继而可得出ABC∠的度数．【解答】解：如图，连接AC．根据勾股定理可以得到：5AC BC==，10AB=，222(5)(5)(10)+=，即222AC BC AB+=，ABC∴∆是等腰直角三角形．45ABC∴∠=︒．故答案为：45︒．【点评】本题考查了勾股定理，判断ABC∆是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．19．把一块含有45︒角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上）．若123∠=︒，则2∠=68︒．【分析】由等腰直角三角形的性质得出45A C∠=∠=︒，由三角形的外角性质得出68AGB ∠=︒，再由平行线的性质即可得出2∠的度数．【解答】解：ABC ∆是含有45︒角的直角三角板，45A C ∴∠=∠=︒，123∠=︒，168AGB C ∴∠=∠+∠=︒，//EF BD ，268AGB ∴∠=∠=︒；故答案为：68．【点评】此题主要考查了等腰直角三角形的性质、平行线的性质以及三角形的外角性质，关键是掌握两直线平行，同位角相等．20．如图，在Rt ABC ∆ 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，32AB =，将ABC ∆沿AB 方向平移得DEF ∆，若ABC ∆与DEF ∆重叠部分的面积为2，则AD = 2 ．【分析】依据ABC ∆与DEF ∆重叠部分的面积为2，即可得到2DG BG ==，再根据勾股定理可得222222BD =+，即可得出2AD AB BD =-．【解答】解：由平移可得45BDG A ABC ∠=∠=︒=∠，BDG ∴∆是等腰直角三角形，ABC ∆与DEF ∆重叠部分的面积为2，∴122DG BG ⨯=， 2DG BG ∴==，222222BD ∴=+=32222AD AB BD∴=-=-=，故答案为：2．【点评】本题主要考查了平移的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．21．如图，在平面直角坐标系中，ABC∆是以C为直角顶点的直角三角形，且AC BC=，点A的坐标为(1,0)-，点B的坐标为(0,4)，则点C的坐标为5(2-，5)2．【分析】作CE x⊥轴于E，CF y⊥轴于F，证明ECA FCB∆≅∆，得到CE CF=，AE BF=，设AE BF x==，根据题意列方程，解方程即可．【解答】解：作CE x⊥轴于E，CF y⊥轴于F，则90ECF∠=︒，又90ACB∠=︒，ECA FCB∴∠=∠，在ECA∆和FCB∆中，ECA FCBCEA CFBCA CB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ECA FCB∴∆≅∆，CE CF∴=，AE BF=，设AE BF x==，则14x x+=-，解得，32x=，52CE CF ∴==， ∴点C 的坐标为5(2-，5)2， 故答案为：5(2-，5)2．【点评】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．22．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，60A ∠=︒，1AC =，D 在BC 上，E 在AB 上，使得ADE ∆为等腰直角三角形，90ADE ∠=︒，则BE = 423- ．【分析】过点EF 作//AC ，交BC 于点F ，证明ADC ∆和DEF ∆全等，得出1DF AC ==，设CD x =，利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，列方程解答．【解答】解：过点E 作EF 作//AC ，交BC 于点F ，90BFC C ∴∠=∠=︒，90C ∠=︒，60BAC ∠=︒，30B ∴∠=︒22AB AC ∴==，在Rt ABC ∆中，由勾股定理得：223CB AB AC =-=ADE ∆是等腰直角三角形，DE DA ∴=，90DAC ADC ∠+∠=︒，90EDF ADC ∠+∠=︒，DAC EDF ∴∠=∠在ADC ∆和DEF ∆中，90DAC EDF C EFD DA DE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ADC DEF AAS ∴∆≅∆，1DF AC ∴==，设CD x =，所以EF x =，31BF x =-- //EF AC∴EF BF AC BC =即3113x x --=，解得：23x =-． 2423BE x ∴==-，故答案为423-．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定、勾股定理、平行线分线段成比例定理，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，另外利用平行线成比例定理，列方程求线段的长度，也是经常用到的方法．23．一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若153∠=︒，则2∠的度数为 98︒ ．【分析】根据邻补角得出3∠，进而利用等腰直角三角形得出4∠，应用平行线的性质和四边形的内角和解答即可．【解答】解：如图所示：由题意可得：445∠=︒，153∠=︒，3127∴∠=︒，5360904512798∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，//AB CD ，2598∴∠=∠=︒， 故答案为：98︒【点评】此题考查等腰直角三角形，关键是根据等腰直角三角形得出445∠=︒解答．24．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，16AB AC cm ==，AD 为BC 边上的高，动点P 从点A 出发，沿A D →方向以2/cm s 的速度向点D 运动，过P 点作//PE BC 交AC 于点E ，过E 点作EF BC ⊥于点F ，设ABP ∆的面积为1S ，四边形PDFE 的面积为2S ，则点P 在运动过程中，12S S +的最大值为 72 ．【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式，表示出1S 和2S ，然后确定最值即可．【解答】解：Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，16AB AC cm ==，AD 为BC 边上的高， 82AD BD CD cm ∴===， 又2AP =， 则111822822S AP BD t t ==⨯=，822PD t =， //PE BC ，APE ADC ∴∆∆∽，∴PE AP DC AD =， 2PE AP t ∴==，2(822)2S PD PE t t ∴==-，2128(822)22(6)72S S t t t t ∴+=+-=--+．12S S ∴+的最大值为72， 故答案为：72．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，以及等腰直角三角形的性质，正确表示出1S 和2S 是关键．25．已知ABC ∆是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt ABC ∆ 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰ACD ∆，再以Rt ACD ∆的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt ADE ∆，⋯，依此类推，第20个等腰直角三角形的斜边长是 102 ．【分析】先求出第一个到第四个的等腰直角三角形的斜边的长，探究规律后即可解决问题．【解答】2，第二个等腰直角三角形的斜边为22(2)=，第三个等腰直角三角形的斜边为322(2)，第四个等腰直角三角形的斜边为44(2)=，⋯第20个等腰直角三角形的斜边为2010(2)2=．故答案为102．【点评】本题考查等腰直角三角形的有关知识、勾股定理、规律探究等知识，解题的关键是掌握从特殊得一般探究规律题目的方法，利用规律解决问题．属于中考常考题型．26．如图所示的图形由4个等腰直角三角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm ，则直角三角形（4）的斜边长为 4 ．【分析】根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的2倍结合图形，即可求出直角三角形④的斜边长． 【解答】解：4个三角形均为等腰直角三角形，∴直角三角形④的斜边长122224=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：4．【点评】本题考查了等腰直角三角形，牢记等腰直角三角形的斜边等于直角边的2倍是解题的关键．27．如图，等腰直角三角形ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是AB 上一点，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥于F 交BC 于E ，G 在是CF 上一点，过点G 作GH BC ⊥于H ，延长GH 到K 连接KC ，使290K BAE ∠+∠=︒，若:2:3HG HK =，10AD =，则线段CF 的长度为 910 ．【分析】作高线AM ，根据等腰直角三角形和三线合一得：45BAM CAM ∠=∠=︒，设BAE α∠=，表示各角的度数，证明KG KC =，由:2:3HG HK =，设2HG a =，3HK a =计算KC 、KG 和CH 的长，根据等角三角函数得1tan 2FN EAM AF ∠==，设FN b =，则2AF b =，由勾股定理列方程得：222AD AF DF =+，得222210(2)()3a b =+，解出b 的值可得结论． 【解答】解：过点A 作AM BC ⊥于点M ，交CD 于点N ，90AMB AMC ∴∠=∠=︒，AB AC =，90BAC ∠=︒，45B ACB ∴∠=∠=︒，AM BM CM ==，45BAM CAM ∠=∠=︒，设BAE α∠=，则45EAM α∠=︒-，45AEC B BAE α∠=∠+∠=︒+，AE CD ⊥于点F ，90AFD AFC EFC ∴∠=∠=∠=︒，90ACF CAF BAE α∴∠=︒-∠=∠=，45ECF ACB ACF EAM α∴∠=∠-∠=︒-=∠，GH BC ⊥于H ，90CHG CHK ∴∠=∠=︒，9090(45)45CGH ECF αα∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+，90K KCH ∠+∠=︒，290K BAE ∠+∠=︒，22KCH BAE α∴∠=∠=，2(45)45KCG KCH ECF ααα∴∠=∠+∠=+︒-=︒+，CGH KCG ∴∠=∠，KG KC ∴=，:2:3HG HK =，设2HG a =，3HK a =，5KC KG a ∴==，Rt CHK ∴∆中，4CH a =，Rt CHG ∴∆中，1tan 2HG ECF CH ∠==， Rt CMN ∴∆中，1tan 2MN ECF CM ∠==， 1122MN CM AM AN ∴===， 45ECF EAM α∠=∠=︒-，Rt ANF ∴∆中，1tan 2FN EAM AF ∠==， 设FN b =，则2AF b =，MN AN ∴=，2AM CM AN ∴===，Rt CMN ∴∆中，5CN b ，6CF FN CN b ∴=+=，Rt ACF ∴∆中，21tan 63AF b ACF CF b ∠===， ACF DAF α∠=∠=，Rt ADF ∴∆中，1tan 3DF DAF AF ∠==， 1233DF AF b ∴==， 222AD AF DF =+，10AD =，222210(2)()3a b ∴=+， 解得：13102b =，23102b =-（舍去）， 31069102CF ∴=⨯=， 故答案为：910．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜边中线定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数表示角的度数和线段的长，构造方程解决问题．28．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，在直线BC 上取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点P 共有 4 个．【分析】根据题意，可以画出相应的图形，从而可以确定点P 的个数，本题得以解决．【解答】解：以点A 为圆心，AB 长为半径交直线BC 于点B 和点1P ，以点B 为圆心，BA 长为半径交直线BC 于点2P 和3P ，点4P 为线段AB 垂直平分线与直线BC 的交点，故符合题意的点P 有4个，故答案为：4．【点评】本题考查等腰直角三角形、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．三．解答题（共8小题）29．如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，6AB AC ==，D 为BC 的中点．（1）若E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE CF =，求证：AED CFD ∆≅∆；（2）当点F 、E 分别从C 、A 两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA 、AB 运动，到点A 、B 时停止；设DEF ∆的面积为y ，F 点运动的时间为x ，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F 、E 分别沿CA 、AB 的延长线继续运动，求此时y 与x 的函数关系式．【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得到45BAD DAC B C ∠=∠=∠=∠=︒，进而得到AD BD DC ==，为证明AED CFD ∆≅∆提供了重要的条件；（2）利用9AED ADF CFD ADF ADC AFED S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+==四边形 即可得到y 与x 之间的函数关系式；（3）依题意有：6AF BE x ==-，AD DB =，45ABD DAC ∠=∠=︒得到135DAF DBE ∠=∠=︒，从而得到ADF BDE ∆≅∆，利用全等三角形面积相等得到ADF BDE S S ∆∆=从而得到EDF EAF ADB S S S ∆∆∆=+即可确定两个变量之间的函数关系式．【解答】（1）证明：90BAC ∠=︒ 6AB AC ==，D 为BC 中点45BAD DAC B C ∴∠=∠=∠=∠=︒AD BD DC ∴== （2分）()AE CF AED CFD SAS =∴∆≅∆（2）解：依题意有：FC AE x ==，AED CFD ∆≅∆9AED ADF CFD ADF ADC AFED S S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=+==四边形 ()211963922EDF AEF AFED S S S x x x x ∆∆∴=-=--=-+四边形， ∴21392y x x =-+；（3）解：依题意有：6AF BE x ==-，AD DB =，45ABD DAC ∠=∠=︒135DAF DBE ∴∠=∠=︒ADF BDE ∴∆≅∆ADF BDE S S ∆∆∴=EDF EAF ADB S S S ∆∆∆∴=+211(6)93922x x x x =-+=-+ ∴21392y x x =-+．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查的知识点虽然不是很多但难度较大．30．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE DF ⊥．（1）请说明：DE DF =；（2）请说明：222BE CF EF +=；（3）若6BE =，8CF =，求DEF ∆的面积（直接写结果）．【分析】（1）连接AD ，根据等腰直角三角形性质和直角三角形斜边上中线性质求出45B C BAD DAC ∠=∠=∠=∠=︒，AD BD =，求出BDE ADF ∠=∠，根据ASA 证BDE ADF ∆≅∆即可；（2）根据AAS 证ADE CDF ∆≅∆，推出AE CF =，根据勾股定理求出即可；（3）求出EF 长，根据勾股定理求出DE 和DF ，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：连接AD ，等腰直角三角形ABC ，45C B ∴∠=∠=︒， D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，AD BD DC ==，AD 平分BAC ∠，45DAC BAD B ∴∠=∠=︒=∠，90ADC ∠=︒，DE DF ⊥，90EDF ∴∠=︒，90ADF FDC ∴∠+∠=︒，90FDC BDE ∠+∠=︒，BDE ADF ∴∠=∠，在BDE ∆和ADF ∆中B DAF BD ADBDE ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BDE ADF ∴∆≅∆，DE DF ∴=．。
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题(含答案解)
中考数学复习----勾股定理知识点总结与专项练习题（含答案解） 知识点总结1. 勾股民定理的内容：在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方。
若直角三角形的两直角边是b a ，，斜边是c ，则222b a c +=。
2. 勾股数：满足直角三角形勾股定理的三个正整数是一组勾股数。
3. 勾股定理的逆定理：若三角形的三条边分别是c b a ，，，且满足222b a c +=，则三角形是直角三角形，且∠C 是直角。
4. 特殊三角形三边的比：①含30°的直角三角形三边的比例为（从小打大）：2:3:1。
②45°的等腰直角三角形三边的比例为（从小到大）：2:1:1。
5. 两点间的距离公式：若点()11y x A ，与点()22y x B ，，则线段AB 的长度为：()()221221y y x x AB −+−=。
练习题 1、（2022•攀枝花）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC ．若OC ＝，BC ＝1，∠AOB ＝30°，则OA 的值为（ ）A ．3B ．23C ．2D ．1【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠OBC＝90°，OC＝，BC＝1，∴OB＝＝＝2，∵∠A＝90°，∠AOB＝30°，∴AB＝OB＝1，∴OA＝＝＝，故选：A．2、（2022•荆门）如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为120m的正方形，且每一个侧面与地面成60°角，则金字塔原来高度为（）A．120m B．603m C．605m D．1203m【分析】根据底部是边长为120m的正方形求出BC的长，再由含30°角的直角三角形的性质求解AB的长，利用勾股定理求出AC的长即可．【解答】解：如图，∵底部是边长为120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB ＝2BC ＝120m ，∴AC ＝＝m ． 故选：B ．3、（2022•百色）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．如已知△ABC 中，∠A ＝30°，AC ＝3，∠A 所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（ ）A ．23B ．23﹣3C ．23或3D ．23或23﹣3【分析】根据题意知，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，再利用含30°角的直角三角形的性质可得CH ，AH 的长，再利用勾股定理求出BH ，从而得出答案．【解答】解：如图，CD ＝CB ，作CH ⊥AB 于H ，∴DH ＝BH ，∵∠A ＝30°，∴CH ＝AC ＝，AH ＝CH ＝，在Rt △CBH 中，由勾股定理得BH ＝＝，∴AB ＝AH +BH ＝＝2，AD ＝AH ﹣DH ＝＝， 故选：C ． 4、（2022•荆州）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，通过尺规作图得到的直线MN 分别交AB ，AC 于D ，E ，连接CD ．若CE ＝31AE ＝1，则CD ＝ ．【分析】如图，连接BE ，根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，从而得到AE ＝BE ＝3，然后利用勾股定理求出BC ，AB ，最后利用斜边上的中线的性质即可求解．【解答】解：如图，连接BE ，∵CE ＝AE ＝1，∴AE ＝3，AC ＝4，而根据作图可知MN 为AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ＝3，在Rt △ECB 中，BC ＝＝2，∴AB ＝＝2， ∵CD 为直角三角形ABC 斜边上的中线，∴CD ＝AB ＝．故答案为：． 5、（2022•广元）如图，在△ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∠C ＝90°，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，与AB 交于点D ，再分别以A 、D 为圆心，大于21AD 的长为半径画弧，两弧交于点M 、N ，作直线MN ，分别交AC 、AB 于点E 、F ，则AE 的长度为（ ）A ．25B ．3C ．22D ．310 【分析】利用勾股定理求出AB ，再利用相似三角形的性质求出AE 即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，BC ＝6，AC ＝8，∴AB ＝＝＝10， ∵BD ＝CB ＝6，∴AD ＝AB ﹣BC ＝4，由作图可知EF 垂直平分线段AD ，∴AF ＝DF ＝2，∵∠A ＝∠A ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AFE ∽△ACB ，∴＝， ∴＝，∴AE ＝，故选：A ．6、（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD 中，M ，N 分别是AB ，BC 上的格点，BM ＝4，BN ＝2．若点P 是这个网格图形中的格点，连结PM ，PN ，则所有满足∠MPN ＝45°的△PMN 中，边PM 的长的最大值是（ ）A ．42B ．6C ．210D ．35【分析】在网格中，以MN 为直角边构造一个等腰直角三角形，使PM 最长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，此时PM最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．7、（2022•金华）如图是城市某区域的示意图，建立平面直角坐标系后，学校和体育场的坐标分别是（3，1），（4，﹣2），下列各地点中，离原点最近的是（）A．超市B．医院C．体育场D．学校【分析】根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后根据勾股定理，可以得到点O到超市、学校、体育场、医院的距离，再比较大小即可．【解答】解：如右图所示，点O到超市的距离为：＝，点O到学校的距离为：＝，点O到体育场的距离为：＝，点O到医院的距离为：＝，∵＜＝＜，∴点O到超市的距离最近，故选：A．8、（2022•舟山）如图，在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠ABC＝∠BDE＝90°，点A在边DE 的中点上，若AB＝BC，DB＝DE＝2，连结CE，则CE的长为（）A．14B．15C．4D．17【分析】方法一：根据题意先作出合适的辅助线，然后根据勾股定理可以得到AB和BC的长，根据等面积法可以求得EG的长，再根据勾股定理求得EF的长，最后计算出CE的长即可．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，然后根据全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，可以求得CE的长．【解答】解：方法一：作EF⊥CB交CB的延长线于点F，作EG⊥BA交BA的延长线于点G，∵DB＝DE＝2，∠BDE＝90°，点A是DE的中点，∴BE＝＝＝2，DA＝EA＝1，∴AB＝＝＝，∵AB＝BC，∴BC＝，∵＝，∴，解得EG＝，∵EG⊥BG，EF⊥BF，∠ABF＝90°，∴四边形EFBG是矩形，∴EG＝BF＝，∵BE＝2，BF＝，∴EF＝＝＝，CF＝BF+BC＝+＝，∵∠EFC＝90°，∴EC＝＝＝，故选：D．方法二：延长ED到F，使得DE＝DF，连接CF，BF，如图所示，∵BD＝DE＝2，∠BDE＝90°，∴∠BDE＝∠BDF＝90°，EF＝4，∴△BDE≌△BDF（SAS），∴BE＝BF，∠BEA＝∠BF A＝45°，∵∠EBA+∠ABF＝90°，∠ABF+∠FBC＝90°，∴∠EBA＝∠FBC，∵BE＝BF，BA＝BC，∴△EBA≌△FBC（SAS），∴∠BEA＝∠BFC＝45°，AE＝CF，∴∠CFE＝∠BFC+∠AFB＝90°，∵点A为DE的中点，∴AE＝1，∴CF＝1，∴EC＝＝＝，故选：D．9、（2022•成都）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．【分析】设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，由一元二次方程根与系数的关系可得a+b＝6，ab＝4，再由勾股定理即可求出斜边长．【解答】解：设直角三角形两条直角边分别为a、b，斜边为c，∵直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+4＝0的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝4，∴斜边c＝＝＝＝2，故答案为：2．10、（2022•南充）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，DE ∥AB，交AC于点E，DF⊥AB于点F，DE＝5，DF＝3，则下列结论错误的是（）A．BF＝1B．DC＝3C．AE＝5D．AC＝9【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得CD和CE的长，再根据平行线的性质，即可得到AE的长，从而可以判断B和C，然后即可得到AC的长，即可判断D；再根据全等三角形的判定和性质即可得到BF的长，从而可以判断A．【解答】解：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，∴∠1＝∠2，DC＝FD，∠C＝∠DFB＝90°，∵DE∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝DE，∵DE＝5，DF＝3，∴AE＝5，CD＝3，故选项B、C正确；∴CE＝＝4，∴AC＝AE+EC＝5+4＝9，故选项D正确；∵DE∥AB，∠DFB＝90°，∴∠EDF＝∠DFB＝90°，∴∠CDE+∠FDB＝90°，∵∠CDE+∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠FDB，∵tan∠DEC＝，tan∠FDB＝，∴，解得BF＝，故选项A错误；故选：A．11、（2022•通辽）在Rt△ABC中，∠C＝90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上（不与点A，B重合），且∠PCB＝30°，则AP的长为．【分析】题中60°的锐角，可能是∠A也可能是∠B；∠PCB＝30°可以分为点P在在线段AB上和P在线段AB的延长线上两种情况；直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得AP的长度．【解答】解：当∠A＝30°时，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠CBA＝60°，BC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，AC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∠CBA＝60°∴∠CPB＝90°，∴∠CP A＝90°，在Rt△ACP中，∠A＝30°，∴PC＝AC＝×3＝．∴在Rt△APC中，由勾股定理得AP＝．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝90°+30°＝120°，∵∠A＝30°，∴∠CP A＝30°．∵∠PCB＝30°，∴∠PCB＝∠CP A，∴BP＝BC＝3，∴AP＝AB+BP＝6+3＝9．当∠ABC＝30°时，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，AC＝AB＝×6＝3，由勾股定理得，BC＝3，①点P在线段AB上，∵∠PCB＝30°，∴∠ACP＝60°，∴△ACP是等边三角形∴AP＝AC＝3．②点P在线段AB的延长线上，∵∠PCB＝30°，∠ABC＝30°，∴CP∥AP这与CP与AP交于点P矛盾，舍去．综上所得，AP的长为，9或3．故答案为：，9或3．12、（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【分析】过点D作DM⊥CI于点M，过点F作FN⊥CI于点N，由正方形的性质可证得△ACJ≌△CDM，△BCJ≌△CFN，可得DM＝CJ，FN＝CJ，可证得△DMI≌△FNI，由直角三角形斜边上的中线的性质可得DI＝FI＝CI，由勾股定理可得MI，NI，从而可得CN，可得BJ与AJ，即可求解．【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．13、（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【分析】由勾股定理和乘法公式完成计算即可．【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．14、（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝．【分析】根据题意得出AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，设AF＝DE＝CH ＝BG＝x，结合图形得出AE＝x﹣1，利用勾股定理列方程求解．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．15、（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是（结果用含m的式子表示）．【分析】根据题意得2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵m为正整数，∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，解得a＝m2﹣1，∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，故答案为：m2+1．16、（2022•常州）如图，将一个边长为20cm的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形ABCD，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到36cm时才会断裂．若∠BAD＝60°，则橡皮筋AC断裂（填“会”或“不会”，参考数据：3≈1.732）．【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝20cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长，即可解答．【解答】解：设AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AC＝2AO，OD＝BD，AD＝AB＝20cm，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝AB＝20cm，∴DO＝BD＝10（cm），在Rt△ADO中，AO＝＝＝10（cm），∴AC＝2AO＝20≈34.64（cm），∵34.64cm＜36cm，∴橡皮筋AC不会断裂，故答案为：不会．17、（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt△DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【分析】如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．求出梯形的上下底以及高，可得结论．【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．18、（2022•泰州）如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的规则，走两步后的落点与出发点间的最短距离为．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，第一步到①，第二步到②，故走两步后的落点与出发点间的最短距离为＝，故答案为：．。
部编数学八年级下册专题10勾股定理的综合探究题型(解析版)含答案
专题10 勾股定理的综合探究题型（解析版）题型一 探究直角三角形的边和高之间的关系典例1（湖州模拟）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，设AC ＝b ，BC ＝a ，AB ＝c ，CD ＝h ，有下列四种说法：①a •b ＝c •h ；②a +b ＜c +h ；③以a +b 、h 、c +h 为边的三角形，是直角三角形；④1a 2+1b 2=1ℎ2．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个思路引领：①根据三角形面积公式即可求解；②证明（a +b ）2＜（c +h ）2；③直角三角形，证明（a +h ）2+h 2＝（c +h ）2；④只需证明h 2（1a 2+1b 2）＝1，从左边推导到右边．解：①∵Rt △ABC 的面积为：12ab 或12ch ，∴ab ＝ch ，故①正确；②∵c 2＜c 2+h 2，a 2+b 2＝c 2，∴a 2+b 2＜c 2+h 2，∵ab ＝ch ，∴a 2+b 2+2ab ＜c 2+h 2+2ch ，∴（a +b ）2＜（c +h ）2，∴a +b ＜c +h ，故②正确；③∵（c +h ）2＝c 2+2ch +h 2，h 2+（a +b ）2＝h 2+a 2+2ab +b 2，∵a 2+b 2＝c 2，（勾股定理）ab ＝ch （面积公式推导）∴c 2+2ch +h 2＝h 2+a 2+2ab +b 2，∴（c +h ）2＝h 2+（a +b ）2，∴根据勾股定理的逆定理知道以h，c+h，a+b为边构成的三角形是直角三角形，③正确；④∵ab＝ch，∴（ab）2＝（ch）2，即a2b2＝c2h2，∵a2+b2＝c2，∴a2b2＝（a2+b2）h2，∴a2b2a2b2=h2，∴a2b2a2b2=1ℎ2，∴a2a2b2+b2a2b2=1ℎ2，∴1a2+1b2=1ℎ2，故④正确．故选：D．总结提升：此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，此题有一定的拔高难度，属于难题，在证明过程中，注意面积关系式ab＝ch的应用．题型二“手拉手”全等或旋转构造手拉手全等模型典例2（2022•卧龙区校级开学）如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D，E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF，BF，下列结论：①△AED≌△AEF；②BF＝CD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2＝DE2．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个思路引领：根据∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，得出∠FAE＝45°，利用SAS证明△AED≌△AEF，判定①正确；可证△ABF≌△ACD，于是BF＝CD，判定②正确；先由∠BAC＝∠DAF＝90°，得出∠CAD＝∠BAF，再利用SAS证明△ACD≌△ABF，得出CD＝BF，又①知DE＝EF，那么在△BEF中根据三角形两边之和大于第三边可得BE+BF＞EF，等量代换后判定③正确；先由△ACD≌△ABF，得出∠C＝∠ABF＝45°，进而得出∠EBF＝90°，然后在Rt△BEF中，运用勾股定理得出BE2+BF2＝EF2，等量代换后判定④正确．解：①∵∠DAF＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAF﹣∠DAE＝45°．在△AED与△AEF中，AD=AF∠DAE=∠FAE=45°，AE=AE∴△AED≌△AEF（SAS），①正确；②∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠FAB＝∠CAD，在△ABF与△ACD中，AF=AD∠FAB=∠CAD，AB=AC∴△ABF≌△ACD（SAS），∴BF＝CD，②正确；③∵∠BAC＝∠DAF＝90°，∴∠BAC﹣∠BAD＝∠DAF﹣∠BAD，即∠CAD＝∠BAF．在△ACD与△ABF中，AC=AB∠CAD=∠BAF，AD=AF∴△ACD≌△ABF（SAS），∴CD＝BF，由①知△AED≌△AEF，∴DE＝EF．在△BEF中，∵BE+BF＞EF，∴BE+DC＞DE，③正确；由③知△ACD≌△ABF，∴∠C＝∠ABF＝45°，∵∠ABE＝45°，在Rt△BEF中，由勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∵BF＝DC，EF＝DE，∴BE2+DC2＝DE2，④正确．所以正确的结论有①②③④．故选：D．总结提升：本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角直角三角形的性质，三角形三边关系定理，相似三角形的判定，此题涉及的知识面比较广，熟练运用这些知识点是解题的关键．典例3 （2020•滨州模拟）如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，若将△APB 绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数 ．思路引领：首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP＝60°，由△ABP≌CBQ可得QC＝PA，在△PQC 中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC＝90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ则QB＝PB＝4，PA＝QC＝3，∠ABP＝∠CBQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°，∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°，∴△BPQ为等边三角形，∴PQ＝PB＝BQ＝4，又∵PQ＝4，PC＝5，QC＝3，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，∵△BPQ为等边三角形，∴∠BQP＝60°，∴∠APB ＝∠BQC ＝150°总结提升：本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型．针对练习1．（洪山区期中）如图，∠AOB ＝30°，P 点在∠AOB 内部，M 点在射线OA 上，将线段PM 绕P 点逆时针旋转90°，M 点恰好落在OB 上的N 点（OM ＞ON ），若PM ON ＝8，则OM ＝ ．思路引领：连接MN ，作NH ⊥OA 于H ，如图，根据旋转的性质得∠MPN ＝90°，PN ＝PM判断△PMN 为等腰直角三角形，则MN =＝Rt △OHN 中，根据含30度的直角三角形三边的关系得NH =12ON ＝4，OH =＝Rt △MNH 中根据勾股定理计算出MH ＝2，由此得到OM ＝OH +HM ＝+2．解：连接MN ，作NH ⊥OA 于H ，如图，∵线段PM 绕P 点逆时针旋转90°，M 点恰好落在OB 上的N 点，∴∠MPN ＝90°，PN ＝PM =∴△PMN 为等腰直角三角形，∴MN =＝在Rt △OHN 中，∵∠NOH ＝30°，ON ＝8，∴NH =12ON ＝4，OH＝在Rt△MNH中，∵NH＝4，MN＝∴MH=2，∴OM＝OH+HM＝+2．故答案为2．总结提升：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的性质和含30度的直角三角形三边的关系．2．（2020秋•永嘉县校级期末）如图，在△AOB与△COD中，∠AOB＝∠COD＝90°，AO＝BO，CO＝DO，连接CA，BD．（1）求证：△AOC≌△BOD；（2）连接BC，若OC＝1，AC BC＝3①判断△CDB的形状．②求∠ACO的度数．思路引领：（1）由题意可得∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，即可证△AOC≌△BOD；（2）①由全等三角形的性质和勾股定理的逆定理可得∠BDC＝90°，即可得△CDB是直角三角形；②由全等三角形的性质可求∠ACO的度数．证明：（1）∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，且AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD（SAS）（2）①如图，∵△AOC≌△BOD∴∠ACO＝∠BDO，AC＝BD=∵CO＝DO＝1，∠COD＝90°∴CD ODC＝∠OCD＝45°∵CD2+BD2＝9＝BC2，∴∠CDB＝90°∴△BCD是直角三角形②∵∠BDO＝∠ODC+∠CDB∴∠BDO＝135°∴∠ACO＝∠BDO＝135°总结提升：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键．题型三倍长中线构造全等三角形典例4（2022•苏州模拟）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB中点，DE，DF分别交AC于点E，交BC于点F，且DE⊥DF．（1）如果CA＝CB，连接CD．①求证：DE＝DF；②求证：AE2+BF2＝EF2；（2）如图2，如果CA＜CB，探索AE，BF和EF之间的数量关系，并加以证明．思路引领：（1）①根据等腰直角三角形的性质可知，∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．由DE⊥DF，可证明∠CDE＝∠BDF．即可利用“ASA”证明△DCE≌△DBF，即得出DE＝DF；②由全等三角形的性质可知BF＝CE，结合题意可求出AE＝CF．在Rt△ECF中，再由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，即得出AE2+BF2＝EF2；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．易证△ADM≌△BDF（SAS），得出AM＝BF，∠MAD＝∠B，从而判断AM∥BC，即证明∠MAE＝∠ACB＝90°．再根据线段垂直平分线的判定和性质可知EF＝EM．最后在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，即得出AE2+BF2＝EF2．（1）①证明：∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵点D是AB的中点，∴∠DCE＝∠DBF＝45°，∠CDB＝90°，CD＝BD．又∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠CDB＝90°，∵∠CDE＝∠EDF﹣∠CDF，∠BDF＝∠CDB﹣∠CDF，∴∠CDE＝∠BDF．在△DCE与△DBF中，∠DCE=∠DBFCD=BD，∠CDE=∠BDF∴△DCE≌△DBF（ASA），∴DE＝DF；②证明：由①可知△DCE≌△DBF，∴BF＝CE，∵CA＝CB，∴CA﹣CE＝CB﹣BF，即AE＝CF．在Rt△ECF中，由勾股定理，得CF2+CE2＝EF2，∴AE2+BF2＝EF2；（2）解：结论：AE2+BF2＝EF2．理由如下：如图，延长FD至点M，使DM＝DF，连接AM，EM．∵点D为AB中点，∴AD＝BD，∵∠ADM＝∠BDF，DM＝DF，∴△ADM≌△BDF（SAS），∴AM＝BF，∠MAD＝∠B，∴AM∥BC，∴∠MAE＝∠ACB＝90°．又∵DE⊥DF，DM＝DF，∴DE是FM的垂直平分线，∴EF＝EM，在Rt△AEM中，由勾股定理，得AE2+AM2＝EM2，∴AE2+BF2＝EF2．总结提升：本题考查等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质以及平行线的性质等知识．掌握三角形全等的判定条件和正确的作出辅助线构造全等三角形是解题关键．题型四以两个直角三角形的公共边或等边为桥梁运用双勾股典例5 [阅读理解]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知识迁移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；ii）若AD＝12，求线段BC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△ABD′，连接CD′，若AD＝，求线段CD′的长．思路引领：（1）i）利用勾股定理得出AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，进而建立方程求BD，即可得出结论；ii）先利用勾股定理求出BC＝5，CD＝9，再分两种情况．即可得出结论；（2）先利用勾股定理求出BD，CD，再利用面积求出DN，进而求出DD'，再用勾股定理得出D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，进而建立方程求出HB，即可得出结论．解：（1）i）设BD＝x，则CD＝14﹣x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝13，AC＝15，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，∴x＝5，∴BD＝5，∴AD＝＝＝12；ii）在Rt△ABD中，BD＝＝＝5，在Rt△ACD中，CD＝＝＝9，当∠ABC为锐角时，如图1﹣1，BC＝BD+CD＝5+9＝14，当∠ABC为钝角时，如图1﹣2，BC＝BD﹣CD＝9﹣5＝4；（2）如图2，连接DD'交AB于点N，则DD'⊥AB，过点D'作D'H⊥BD于H，在Rt△ABD中，BD＝＝＝；在Rt△ACD中，CD＝＝＝5，∵AB垂直平分DD'，∴D'B＝DB＝，D'D＝2DN，＝AD•BD＝，∵S△ABD∴＝•DN，∴DN＝，∴D'D＝2DN＝5，设HB＝m，则HD＝HB+BD＝m+，∵D'H2＝D'D2﹣HD2＝D'B2﹣HB2，∴（5）2﹣（m+）2＝（）2﹣m2，∴m＝，∴HB＝，∴HC＝HB+BD+CD＝++4＝15，D'H＝＝＝5，∴D'C＝＝＝5．总结提升：此题是三角形综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的构造，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．针对训练1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，交CB于点D．若AC＝3，AB＝5，则CD的长为（ ）A．B．C．D．思路引领：如图，作DH⊥AB于H．首先证明AC＝AH，DC＝DH，AC＝AH＝3，设DC＝DH＝x，在Rt△BDH中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．解：如图，作DH⊥AB于H．∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DH⊥AB，∴∠CAD＝∠HAD，∠C＝∠AHD＝90°，∵AD＝AD，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH＝3，CD＝DH，设CD＝DH＝x，∵AB＝5，∴BH＝AB＝AH＝5﹣3＝2，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，∴BC＝＝4，在Rt△HBD中，则有（4﹣x）2＝x2+22，∴x＝，∴CD＝，故选：A．总结提升：本题考查勾股定理，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F．AC＝17，AD＝15，BC＝28，则AE的长等于 ．思路引领：利用勾股定理可得DC和AB的长，由角平分线定理可得EG＝ED，证明Rt△BDE≌Rt△BGE （HL），可得BG＝BD，设AE＝x，则ED＝15﹣x，根据勾股定理列方程可得结论．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD＝15，AC＝17，∴DC＝，∵BC＝28，∴BD＝28﹣8＝20，由勾股定理得：AB＝，过点E作EG⊥AB于G，∵BF平分∠ABC，AD⊥BC，∴EG＝ED，在Rt△BDE和Rt△BGE中，∵，∴Rt△BDE≌Rt△BGE（HL），∴BG＝BD＝20，∴AG＝25﹣20＝5，设AE＝x，则ED＝15﹣x，∴EG＝15﹣x，Rt△AGE中，x2＝52+（15﹣x）2，x＝，∴AE＝．故答案为：．总结提升：本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．题型五勾股定理解决折叠问题典例6（2022•东莞市校级二模）将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G．若DC＝5，CM＝2，则EF＝（ ）A．3B．4C D思路引领：作FH⊥AD，结合折叠性质：EF⊥AM，证∠POF＝∠AOH＝∠AMD＝∠FEH，再证△ADM ≌△FHE得EF＝AM，根据勾股定理即可求出结果．解：由折叠的性质得EF⊥AM，过点F作FH⊥AD于H，交AM于O，则∠ADM＝∠FHE＝90°，∴∠HAO+∠AOH＝90°、∠HAO+∠AMD＝90°，∴∠POF＝∠AOH＝∠AMD，又∵EF⊥AM，∴∠POF+∠OFP＝90°、∠HFE+∠FEH＝90°，∴∠POF＝∠FEH，∴∠FEH ＝∠AMD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝FH ＝5，在△ADM 和△FHE 中，∠ADM =∠FHE ∠AMD =∠FEH AD =FH，∴△ADM ≌△FHE （AAS ），∴EF ＝AM ==故选：D ．总结提升：本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．针对训练1．如图，将一张长方形纸片沿着AE 折叠后，点D 恰好与BC 边上的点F 重合，已知AB ＝6 cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长度．解：由题意可知△ADE ≌△AFE ，所以AF ＝AD ＝10 cm ，EF ＝DE ．在Rt △AFB 中，根据勾股定理得BF 8(cm)，所以FC ＝BC －BF ＝2(cm)．设EC ＝x cm ，DE ＝DC －EC ＝(6－x )cm ，即EF ＝(6－x )cm ，在Rt △EFC 中，根据勾股定理有EF 2＝FC 2＋EC 2，即(6－x )2＝22＋x 2，解得x ＝83，所以EC ＝83cm ．题型六 勾股定理在平面直角坐标系背景下的应用典例7（2017春•武昌区校级月考）如图，A （0，m ），B （n ，0）+n 2﹣10n +25＝0（1）求点A ，点B 的坐标；（2）点P是第二象限内一点，过点A作AC⊥射线BP，连接CO，试探究BC，AC，CO之间的数量关系并证明．（3）在（2）的条件下，∠POC＝∠APC，PA＝PB的长．思路引领：（1）利用非负数的性质求得m、n的值，易得点A、B的坐标；（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，证△OAC≌△OBD（ASA）（提示AO，BC八字形），得证等腰Rt△OCD，故BC﹣AC＝CD=；（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），故PB ＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，所以∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7，（Rt△ANO，等腰Rt△APN），Rt△APM中，MA解：（1+n2﹣10n+25＝0，∴|m﹣5|+（n﹣5）2＝0∴m﹣5＝0且n﹣5＝0，则m＝5，n＝5，故A（0，5）B（5，0）；（2）如图1，作OD⊥OC交PB于D，∵AO⊥BO，∴∠AOC＝∠BOD（同角的余角相等）．又AC⊥PB，∠1＝∠2，∴∠OAC＝∠OBD（等角的余角相等）．在△OAC与△OBD中，∠AOC=∠BODOA=OB，∠OAC=∠OBD∴△OAC≌△OBD（ASA），∴OC＝OD，∴CD，∴BC﹣AC＝CD=；（3）作OM⊥OP交AC延长线于M，作AN⊥OP于N，连接PM．易证△OPB≌△OMA（ASA），∴PB＝MA，且得证等腰Rt△OPM，又∠APO＝∠APC+∠OPC＝∠POC+∠OPC＝∠OCB＝45°，∴∠APM＝45°+45°＝90°，易求出OP＝PN+ON＝4+3＝7．在Rt△APM中，由勾股定理得到：MA===即PB总结提升：考查了三角形综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，非负数的性质和配方法的应用，难度较大，难点是作出辅助线，构建全等三角形．针对训练1．（2022秋•莲湖区校级期中）在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点B的坐标为（3，0），A(1 )．（1）求线段AB的长；（2）若在x轴上有一点P，使得△PAB为等腰三角形，请你求出点P的坐标．思路引领：（1）利用两点间得距离公式可求AB；（2）分当AP＝AB时，当BP＝AB时，当BP＝PA时，结合等腰三角形的性质和两点间的距离公式即可求解．解：（1）∵点A，点B的坐标为（3，0），A(1，∴AB=（2）如图所示：当AP＝AB时，根据对称性，3﹣1＝2，1﹣2＝﹣1，∴P1（﹣1，0），同理当BP＝AB时，P2(3―0)，P3(3+0)，当BP＝PA时，设P4（x，0），则(x―1)2+(0―2=(3―x)2，解得：x=5 4，∴P4(54，0)，综上所述：点P坐标为（﹣1，0），(3―0)，(3+0)，(54，0)．总结提升：本题考查了点的坐标的求法，综合运用了等腰三角形的定义，两点间的距离公式．。
人教版八年级三角形综合(等腰三角形直角三角形勾股定理)教案
举例：通过具体例子，如6、8、10的三角形是否为直角三角形，引导学生理解并掌握勾股定理的逆定理。
（3）实际问题中勾股定理的应用：在解决实际问题中，学生可能不知道如何将问题转化为勾股定理的应用。
举例：在解决实际问题如测量距离时，指导学生如何将实际问题抽象为直角三角形，进而运用勾股定理求解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了等腰三角形、直角三角形和勾股定理的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这些知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
反思这节课，我认为在以下几个方面需要改进：
1.加强课堂互动，让更多学生参与到教学过程中，提高他们的学习积极性；
2.注重知识点的巩固，通过练习和复习，帮助学生更好地掌握等腰三角形、直角三角形和勾股定理；
3.关注每一个学生的需求，及时解答他们的疑问，提高教学效果；
4.运用更多生动的教学手段，如实物演示、动画等，让学生更直观地理解几何知识。
人教版八年级三角形综合（等腰三角形直角三角形勾股定理）教案
一、教学内容
人教版八年级数学《三角形综合（等腰三角形、直角三角形、勾股定理）》章节，主要包括以下内容：
1.等腰三角形的性质与判定；
2.等腰三角形的底角、顶角平分线、底边中线及高线的性质；
3.直角三角形的判定及性质；
4.勾股定理及其逆定理；
5.利用勾股定理解决实际问题。
3.培养学生的数据分析与实际问题解决能力，使学生能够运用勾股定理解决生活中的实际问题，感受数学在现实世界中的应用价值；