2020中考分类汇编等腰三角形与勾股定理
2020年初三数学中考复习 ：等腰三角形和直角三角形 知识点梳理和练习 无答案
等腰三角形和直角三角形知识框架知识点梳理:一、等腰三角形1.等腰三角形定义：有相等的三角形叫做等腰三角形。
2.等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角，简称：等边对等角。
（2）等腰三角形的、、互相重合，简称：三线合一。
等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是。
3.等腰三角形的判定：有相等的三角形是等腰三角形；（2）有相等的三角形是等腰三角形。
4.等边三角形：的三角形叫做等边三角形；等边三角形的每个角都是，各边；等边三角形的外心、、互相重合成一点；等边三角形是轴对称图形，有条对称轴；若等边三角形边长为a,则其外接圆半径R=,内切圆半径r=,一边上的高h=,其面积S=.5.等边三角形的判定：（1）的三角形是等边三角形；（2）三个角的三角形是等边三角形；（3）有一个是60°的是等边三角形。
二、直角三角形1.直角三角形定义（1）有一个角是的三角形叫做直角三角形。
2.直角三角形的性质（1）直角三角形中，两个锐角；（2）直角三角形中，斜边上的中线等于；（3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于。
3.直角三角形的判定（1）两个内角的三角形是直角三角形（2）有一边上的等于这边的一半的三角形是直角三角形。
4.勾股定理及其逆定理（1）勾股定理：直角三角形的两直角边a、b 的，等于斜边c的，即：。
（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、 c有关系：，那么这个三角形是直角三角形。
故勾股定理的逆定理可以判断某三角形是否为直角三角形、证明两条线段是否垂直。
DF EA BC复习练习1已知等腰三角形的两边长为2和5，则它的周长为（ ） A ．12或9 B ．12 C ．9 D ．72某地地震过后，河沿村中学的同学用下面的方法检测教室的房梁是否水平：在等腰直角三角尺斜边中点拴一条线绳，线绳的另一端拴一个铅锤，把这块三角尺的斜边贴在房梁上，结果线绳经过三角尺的直角顶点，同学们由此确信房梁是水平的，它们判定的依据是（ ）A ．等边对等角B ．等角对等边C ．等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合D ．等腰三角形平分线与底边上的中线重合3如图，在△ABC 中，BE 、CE 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过点E 作DF ∥ BC 交AB 于D ，交AC 于F ，若AB =4, AC=3，则△ADF 周长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．104． 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ． 若∠CBD : ∠DBA =3:1，则∠A 为（ ）．A ．18°B ．20°C ．22.5°D ．30°ED C BANM5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（）．A．1 B．1.5 C．2 D．2.56. 如图所示，长方形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是折线段A—D—C上的一个动点（点E与点A不重合），点P是点A关于BE的对称点．在点E运动的过程中，能使△PCB为等腰三角形．．．．．的点E的位置有（）．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个7. 如下图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B.16 C.20 D.288. 某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C 上升的高度h是（）A．43m B．8 m C．833m D．4 m AB CDEPAC D15h9.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题: 今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远, 问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x 尺，则可列方程为（ ）A ．223(10)x x -=-B ．2223(10)x x -=-C ．223(10)x x +=-D ．2223(10)x x +=-10．如图，钝角三角形纸片ABC 中，∠BAC＝110°，D 为AC 边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC 交于点E ，点C 的落点记为F ．若点F 恰好在BA 的延长线上，则∠ADF ＝ ．11. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是BC 边的中点，点 E 在AC 的延长线上，且∠CDE =30°．若DE=_________．12.如图，在∆ABC 中，AD 平分∠BAC ，⊥BD AD ，点E 是BC 的中点，连结DE ,且6=AB ，10=AC ，则=DE .12.下图是由三个直角三角形组成的梯形，根据图形，写出一个正确的等ECD ABDAEBC式 .13.2002年8月，在北京召开国际数学家大会，大会的会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》．其中的“弦图”是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.如果直角三角形的直角边分别为a，b（a>b），斜边为c，那么小正方形的面积可以表示为___________．14.如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经过测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则CD的长为米．（结果保留根号）15.如图，一张三角形纸片ABC，其中∠C=90，AC=6，BC=8．小静同学将纸片做两次折叠：第一次使点A落在C处，折痕记为m；然后将纸片展平做第二次折叠，使点A落在B处，折痕记为n．则m，n的大小关系是．AB Cbaa b16．下面是小明同学设计的“已知底边及底边上的高作等腰三角形”的尺规作图的过程．已知：如图1，线段a 和线段b ．求作：△ABC ，使得AB = AC ，BC = a ，BC 边上的高为b ． 作法：如图2，① 作射线BM ，并在射线BM 上截取BC = a ； ②作线段BC 的垂直平分线PQ ，PQ 交BC 于D ； ③ 以D 为圆心，b 为半径作圆，交PQ 于A ； ④连接AB 和AC ．则△ABC 就是所求作的图形．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形； （2）完成下面的证明：证明：由作图可知BC = a ，AD = b ．∵ PQ 为线段BC 的垂直平分线，点A 在PQ 上， ∴ AB = AC （ ）（填依据）． 又∵ AD 在线段BC 的垂直平分线PQ 上， ∴ AD ⊥BC ．∴ AD 为BC 边上的高，且AD = b ．17．下面是小东设计的“已知两线段，求作直角三角形”的尺规作图过程． 已知：线段a 及线段b （a b ）．图1图2MD B求作：Rt△ABC，使得a ，b 分别为它的直角边和斜边． 作法：如图，①作射线CM ，在CM 上顺次截取CB BD a ==；②分别以点C ，D 为圆心，以b 的长为半径画弧，两弧交于点A ； ③连接AB ，AC ．则△ABC 就是所求作的直角三角形． 根据小东设计的尺规作图过程， （1）补全图形，保留作图痕迹； （2）完成下面的证明． 证明：连接AD∵ =AD ，CB= ，∴90ABC ∠=︒（ ）（填推理的依据）．18.如图，河的两岸l 1与l 2互相平行，A 、B 是l 1上的两点，C 、D 是l 2上的两点．某同学在A 处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB 方向走20米到达点E （即AE=20），测得∠DEB=60°.求：C ，D 两点间的距离．119．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90 °，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC 于点E，BF∥DE交CD于点F．求证： DE=BF．20．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点E，且AE=CE，DE=5，EB=12．（1）求AD的长；（2）若∠CAB=30°，求四边形ABCD的周长．AC DE21.已知：如图，Rt△ABC，BM是边AC上的中线，AC=AD，N是CD边中点，连接MN.求证：△BMN是等腰三角形22.如图△ABC中，∠C=90°，M是CB的中点，MD⊥AB于D，请说明三条线段AD、BD、AC总能构成一个直角三角形.AD23.△ABC是等边三角形，以点C为旋转中心，将线段CA顺时针方向旋转60°得到线段CD，连接BD交AC于点O．（1）如图1，①求证：AC垂直平分BD；②点M在BC的延长线上，点N在线段CO上，且ND=NM，连接BN，判断△MND 的形状，并加以证明；（2）如图2，点M在BC的延长线上，点N在线段AO上，且ND=NM，补全图2．求证： NA = MC．24．如图，△ABC和△ADE中，AB＝AD＝6，BC＝DE，∠B＝∠D＝30°，边AD 与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD＝∠CAE；（2）设AP＝x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．。
等腰三角形直角三角形勾股定理
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，b，
斜边为c，那么 a2 + b2 = c2
开启 智慧 定理与逆定理
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它 是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个 定理称另一个定理的逆定理.
我们已经学习了一些互逆的定理,如: 勾股定理及其逆定理, 两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.
驶向胜利 的彼岸
三、基本练习 ㈠填空题
1. 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长 分为15，8两部分，则它的底边长为__3______.
2、“同角的余角相等”的逆命题是 如__果_两__个__角__相_等__，__那__么_这__两. 个角是同一个角的余角
3、等腰三角形的一个内角为70º，它一腰上的
PD⊥OA，若PC=4，则PD=___2____.
B
A
MC
8、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠Ａ＝１5°,
AB的垂直平分线交AC于M，则MC：MA=___3_:_2__.
边在上△A的B中C线中，，底AB边=上A的C,高点互D相在重BC合上A
1、∵AD ⊥ BC
∴∠ 1 = ∠2 ，B__D__= DC 。
2、∵AD是中线，
B1
∴ AD⊥BC ，∠ 1=∠ 2 。
3、∵AD是角平分线，
11 22 C
D
∴AD ⊥BC ，BD=DC 。
1、求有关等腰三角形
等 等边对等角 的问题，作顶角平分
性质２：等腰三角形的顶角的平分 线，底边上的中线，底边上的高互 相重合。（简称“三线合一” A）
Ａ
等腰直角三角形勾股定理比例
等腰直角三角形勾股定理比例在学校的数学课上，大家总是听到一个很神秘的名字——等腰直角三角形。
这听上去就很高大上的样子，实际上它可是一位数学界的小明星，专门来帮我们解决问题。
想象一下，一个直角三角形，两个边一样长，就像一对好朋友，永远黏在一起，走到哪儿都不分开。
这种三角形真是妙不可言，它的边长比例可是有秘诀的，咱们来聊聊这个吧。
等腰直角三角形的特点就是它有一个直角，其他两个角都是45度。
这就意味着，这种三角形的两个直角边是一样长的，听起来很简单对吧？就像一对孪生兄弟，无论怎么摆，都是一样的。
不管你怎么量，这两个边的长度总是一样的，让人不得不感叹，数学里的兄弟情深啊。
而直角边与斜边的比例更是让人叹为观止，假如你手上有一根长度为1的边，那斜边的长度就会是√2。
听起来像是在说故事，其实这就是数学的魅力所在。
在课堂上，老师总是用一个小例子来解释这个比例，想象一下你在家里，拿出一根尺子，量一下边长，这时候你会发现，等腰直角三角形的斜边是如何从这两个边的长度推算出来的。
想想看，如果你有一把尺子，量出两条边的长度，再用勾股定理计算斜边，简直就像在做魔术一样！说不定你还会想，“哇，原来数学也能这么好玩！”是不是有点儿意外？这种三角形的应用可不止于此，生活中到处都有它的身影。
你可能在建筑设计中见过，或者在一些艺术作品里发现它的踪迹。
等腰直角三角形的稳定性，让它成为很多结构设计的首选。
就好比建筑工人搭架子时，常常会用到这种三角形，保证一切都稳如泰山。
想象一下，看到那些高楼大厦的工人们忙碌的身影，背后竟然有着这样的数学原理在支撑，真是让人佩服得五体投地！有趣的是，等腰直角三角形还可以用在我们的日常生活中。
比如说，你想搭一个简单的帐篷，做个野营，搭好之后，你会发现搭建时的角度和边长正好形成了一个等腰直角三角形，简直就是完美的户外数学应用。
嘿，你是否也在想，如果没有这些数学原理，咱们可能连个帐篷都搭不起来呢！等腰直角三角形还有个可爱的地方，就是它的对称性。
中考数学试题专题等腰三角形与勾股定理试题
【关键词】等边三角形证明：如图1，ABC Q △为等边三角形 60ABC ∴∠=°BC MN BA MG ⊥⊥Q ， ∴90CBM BAM ∠=∠=°9030ABM ABC ∴∠=∠=︒°-9060M ABM ∴∠=︒∠=︒-同理：60N G ∠=∠=︒ MNG ∴△为等边三角形． 在Rt ABM △中，sin sin 60AB a BM M ===︒在Rt BCN △中，tan tan 60BC a BN N ===︒MN BM BN ∴=+=（2）②：结论1成立．证明；方法一：如图2，连接AO BO CO 、、由ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△＝()12a OD OE OF ++ 作AH BC ⊥，垂足为H ，NMAGC B（图1）A FCE BD（图2）OHNMAGC BAF E BDAF E B D（图1）（图2） （图3）O AF E B D（图4）O O则sin sin 60AH AC ACB a a =∠=⨯︒=1122ABC S BC AH a ∴==△· ()1122a OD OE OF a ∴++=2OD OE OF a ∴++=方法二：如图3，过点O 作GH BC ∥，分别交AB AC 、于点G H 、，过点 H 作HM BC ⊥于点M ， 6060DGO B OHF C ∴∠=∠=∠=∠=°，° AGH ∴△是等边三角形 GH AH ∴= OE BC Q ⊥ OE HM ∴∥∴四边形OEMH 是矩形 HM OE ∴=在Rt ODG △中，sin sin 60OD OGDGO OG =∠=︒=··在Rt OFH △中，sin sin 60OF OHOHF OH =∠=︒=·· 在Rt HMC △中，sin sin 602HM HCC HC HC ==︒=··222OD OE OF OD HM OF OG HC ∴++=++=++)GH HC AC =+== A F CEBDO M H G（2）②:结论2成立．证明：方法一：如图４，过顶点A B C 、、依次作边AB BC CA 、、的垂线围成MNG △，由（1）得MNG △为等边三角形且MN =过点O 分别作OD MN '⊥于D ',OE NG '⊥于NG 于点E OF MG ''⊥，于点F ' 由结论1得：322OD OE OF MN a '+'+'===2 又OD AB AB MG OF MG ⊥⊥'⊥Q ，，90ADO DAF OF A ∴∠=∠'=∠'=︒ ∴四边形ADOF '为矩形 OF ∴'=AD同理：OD BE '=，OE CF '=32AD BE CF OD OE OF a ∴++='+'+'=方法二：（同结论1方法二的辅助线）在Rt OFH △中，tan OF FH OHF ==∠在Rt HMC △中，sin HM HC C ==33CF HC FH ∴=+=+同理：3333AD OF BE OD =+=+， AD BE CF ∴++A F CEBDO F 'D 'MGNE 'A F C E BD （图3） OM HG+)OD OE OF++由结论1得：OD OE OF++=32AD BE CF a∴++==方法三：如图5，连接OA OB OC、、，根据勾股定理得：22222BE OE OB BD OD+==+①22222CF OF OC CE OE+==+②22222AD OD AO AF OF+==+③①+②+③得：222222BE CF AD BD CE AF++=++()()()222222BE CF AD a AD a BE a CF∴++=-+-+-222222222a AD a AD a BE a BE a CF a CF=-++-++-+g g g整理得：()223a AD BE CF a++=32AD BE CF a∴++=12分20．(2009年南充)如图8，半圆的直径10AB=，点C在半圆上，6BC=．（1）求弦AC的长；（2）若P为AB的中点，PE AB⊥交AC于点E，求PE的长．【关键词】圆的性质，三角形相似的性质【答案】解：ABQ是半圆的直径，点C在半圆上，90ACB∴∠=°．PBCEAAFEBD（图5）O在Rt ABC △中，8AC ==（2）PE AB Q ⊥，90APE ∴∠=°．90ACB ∠=Q °， APE ACB ∴∠=∠． 又PAE CAB ∠=∠Q ， AEP ABC ∴△∽△，PE APBC AC∴=110268PE ⨯∴= 301584PE ∴==．19．(2009年湖州)如图，在平面直角坐标系中，直线l ∶y ＝28x --分别与x 轴，y 轴相交于A B ，两点，点()0P k ，是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作P ⊙．（1）连结PA ，若PA PB =，试判断P ⊙与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？【关键词】直线与圆的位置关系，相切的判定，正三角形的性质，相似的性质 【答案】解：（1）P ⊙与x 轴相切．直线28y x =--与x 轴交于()40A -，，与y 轴交于()0B ，-8，（备用图）第（1）题第（2）题48OA OB ∴==，， 由题意，8OP k PB PA k =-∴==+，．在Rt AOP △中，()222483k k k +=+∴=-，，OP ∴等于P ⊙的半径，P ∴⊙与x 轴相切．（2）设P ⊙与直线l 交于C D ，两点，连结PC PD ，． 当圆心P 在线段OB 上时，作PE CD ⊥于E ．PCD Q △为正三角形，133222DE CD PD PE ∴===∴=，，． 90AOB PEB ABO PBE AOB PEB ∠=∠=∠=∠∴Q °，，△∽△，AO PEAB PB ∴=，22PB PB =∴=，，808PO BO BP P ⎛⎫∴=-=∴- ⎪ ⎪⎝⎭，8k ∴=-． 当圆心P 在线段OB延长线上时，同理可得082P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，-，82k ∴=--， ∴当82k =-或82k =--时，以P ⊙与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形．20．(2009年湖州)若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点．（1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________； （2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′． 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′＝PA PB PC ++．【关键词】阅读理解题，等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，综合题 【答案】（1）． （2）B '证明：在BB '上取点P ，使120BPC ∠=°，连结AP ，再在PB '上截取PE PC =，连结CE ．120BPC ∠=Q °，60EPC ∴∠=°， PCE ∴△为正三角形， 60PC CE PCE CEB '∴=∠=∠，°，＝120°， ACB 'Q △为正三角形，AC B '∴=C ACB '∠，＝60°，PCA ACE ACE ECB '∴∠+∠=∠+∠＝60°， PCA ECB '∴∠=∠′， ACP B '∴△≌△CE ． APC B '∴∠=∠120CE PA EB '==°，， 120APB APC BPC ∴∠=∠=∠=°， P ∴为ABC △的费马点，BB '∴过ABC △的费马点P ，且BB '＝EB '+PB PE PA PB PC +=++．21．(2009年温州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4．0为BC 边上一点，以0为圆心，OB 为半径作半圆与BC 边和AB 边分别交于点D 、点E ，连结DE ． ’ (1)当BD ＝3时，求线段DE 的长；(2)过点E 作半圆O 的切线，当切线与AC 边相交时，设交点为F ．求证：△FAE 是等腰三角形．【关键词】直角三角形、圆的性质，相似的判定，切线的性质，等腰三角形的判定 【答案】解：（1）∵∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，∴AB ＝5， ∵DB 为直径，∴∠DEB ＝∠C ＝90°，又∵∠B ＝∠B ，∴△DBE ∽△ABC∴ABBDAC DE = 即533=DE ∴DE ＝59。
上海2020年中考数学压轴专题：专题15 等腰三角形分类讨论综合(解析版)
专题15等腰三角形分类讨论综合教学重难点1.理解等腰三角形的性质和判定定理；2.能用等腰三角形的判定定理进行相关计算和证明；3.初步体会等腰三角形中的分类讨论思想；4.体会在函数动点中寻找某些特殊的点形成的等腰三角形；5.培养学生进行独立思考，提高独立解决问题的能力。
【备注】：1.此部分知识点梳理，根据第1个图先提问引导学生回顾学过的等腰三角形的性质，可以在黑板上举例让学生画图；2再根据第2个图引导学生总结出题目中经常出现的一些等腰三角形的题型；3.和学生一起分析二次函数背景下等腰三角形的基本考点，为后面的例题讲解做好铺垫。
建议时间5分钟左右。
等腰三角形的性质：轴对称图形底边上三线合一两底角相等两腰相等4.对称性：3.高： 2.角：1.边：等腰三角形常见题型分类：1.证明某三角形为等腰三角形2.函数中的等腰三角形讨论3.图形中的等腰三角形讨论等腰三角形 常见题型函数背景下的等腰三角形的考点分析：1.求解相应函数的解析式；2.根据函数解析式求解某些特殊点的坐标；3.根据点的位置进行等腰三角形的讨论：分“指定腰长”和“不指定腰长”两大类；4.根据点的位置和形成的等腰三角形立等式求解。
【备注】：1.以下每题教法建议，请老师根据学生实际情况参考；2.在讲解时：不宜采用灌输的方法，应采用启发、诱导的策略，并在读题时引导学生发现一些题目中的条件（相等的量、不变的量、隐藏的量等等），使学生在复杂的背景下自己发现、领悟题目的意思；3.可以根据各题的“教法指导”引导学生逐步解题，并采用讲练结合；注意边讲解边让学生计算，加强师生之间的互动性，让学生参与到例题的分析中来；4.例题讲解，可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目，边讲边让学生书写，每个问题后面有答案提示；5.引导的技巧：直接提醒，问题式引导，类比式引导等等；6.部分例题可以先让学生自己试一试，之后再结合学生做的情况讲评；7.每个题目的讲解时间根据实际情况处理，建议每题7分钟，选讲例题在时间足够的情况下讲解。
勾股定理等腰直角三角形公式
勾股定理等腰直角三角形公式等腰三角形勾股定理公式是a²+b²=c²但由于等腰三角形的两个腰相等，a等于b，因此可以写成a²+b²=c²。
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理等腰直角三角形公式a²+b²=c²勾股定理，是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：稳定性，两直角边相等直角边夹一直角锐角45°，斜边上中线角平分线垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径r，那么设内切圆的半径r为1，则外接圆的半径r就为√2+1，所以r:r=1:（√2+1）。
等腰直角三角形的判定方法方法一：根据定义，有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。
方法二：三边比例为的三角形是等腰直角三角形。
证明：勾股定理的逆定理可知该三角形是直角三角形，并且有两条边相等，满足等腰直角三角形的定义。
方法三：底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。
证明：用三角形内角和定理求出角度分别为45°、45°、90°，满足等腰直角三角形的定义。
方法四：有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
勾股定理的公式基本公式在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a2+b2=c2。
完全公式a=m，b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2①其中m≥3(1)当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}(2)当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m^2/2的所有小于m的偶数因子}。
9.等腰三角形、直角三角形、勾股定理
9、等腰三角形直角三角形与勾股定理（八上ch16、八下ch19）(专题21、22)一 . 等腰三角形1、性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写：等边对等角）两个推论：推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边，并且垂直于底边.推论2：等边三角形各角都相等，并且每一个角都等于60o .2、判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.（简写：等角对等边） 三个推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角等于60o 的等腰三角形是等边三角形推论3：直角三角形中，若有一个锐角等于30o ，则它所对的直角边等于斜边的一半.3、三角形中的不等关系： 定理：三角形中，若两条边不等，则它们所对角也不等，大边所对的角较大（简写：大边对大角） 逆定理：三角形中，若两个角不等，则它们所对边也不等，大角所对边较大.（简写：大角对大边）二、直角三角形1、直角三角形的概念2、直角三角形的性质（1）直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半 ；（2）直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对锐角等于30°；（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.重要结论：（1）S Rt △ABC =21ch=21ab,其中a ，b 为两直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； 3、直角三角形的判定（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.4、勾股定理及逆定理定理:如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么a 2+b 2=c 2.变式：（1）a 2=c 2-b 2；（2）b 2=c 2-a 2；（3）a=22b c-；（4）b=22a c -；（5）c=22b a + 逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形.。
(人教版)2020中考数学试题分类汇编 考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形(含解析)
考点20 等腰三角形、等边三角形和直角三角形一．选择题（共5小题）1．（2019•湖州）如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20° B．35° C．40° D．70°【分析】先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．再利用角平分线定义即可得出∠ACE=∠ACB=35°．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．2．（2019•宿迁）若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】由已知等式，结合非负数的性质求m、n的值，再根据m、n分别作为等腰三角形的腰，分类求解．【解答】解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．3．（2019•扬州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，则下列结论一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故选：C．4．（2019•淄博）如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（）A．4 B．6 C．D．8【分析】根据题意，可以求得∠B的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC的长，从而可以求得BC的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，∴∠ACB=2∠B，NM=NC，∴∠B=30°，∵AN=1，∴MN=2，∴AC=AN+NC=3，∴BC=6，故选：B．5．（2019•黄冈）如图，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2 B．3 C．4 D．2【分析】根据直角三角形的性质得出AE=CE=5，进而得出DE=3，利用勾股定理解答即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线，CE=5，∴AE=CE=5，∵AD=2，∴DE=3，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD=，故选：C．二．填空题（共12小题）6．（2019•成都）等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为80°．【分析】本题给出了一个底角为50°，利用等腰三角形的性质得另一底角的大小，然后利用三角形内角和可求顶角的大小．【解答】解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．7．（2019•长春）如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为37 度．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=74°，根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．【解答】解：∵AB=AC，∠A=32°，∴∠ABC=∠ACB=74°，又∵BC=DC，∴∠CDB=∠CBD=∠ACB=37°．故答案为：37．8．（2019•哈尔滨）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为130°或90°．【分析】根据题意可以求得∠B和∠C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，∴∠B=∠C=40°，∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，∴∠ADC=130°，当∠ADB=90°时，则∠ADC=90°，故答案为：130°或90°．9．（2019•吉林）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为36 度．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠B=∠C，根据三角形内角和定理和已知得出5∠A=180°，求出即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．10．（2019•淮安）若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于65 °．【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案．【解答】解：∵等腰三角形的顶角等于50°，又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°﹣50°）×=65°．故答案为：65．11．（2019•娄底）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF= 6 cm．【分析】先利用HL证明Rt△ADB≌Rt△ADC，得出S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，又S△ABC=AC•BF，将AC=AB 代入即可求出BF．【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，，∴Rt△ADB≌Rt△ADC，∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，∵S△ABC=AC•BF，∴AC•BF=3AB，∵AC=AB，∴BF=3，∴BF=6．故答案为6．12．（2019•桂林）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是 3 ．【分析】首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数，然后根据等腰三角形的判定：等角对等边解答，做题时要注意，从最明显的找起，由易到难，不重不漏．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB==72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，∴在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，在△ABC中，∠C=∠ABC=72°，AB=AC，△ABC是等腰三角形，在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，所以共有3个等腰三角形．故答案为：313．（2019•徐州）边长为a的正三角形的面积等于．【分析】根据正三角形的性质求解．【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AD⊥BC∴BD=CD=a，∴AD==a，面积则是：a•a=a2．14．（2019•黑龙江）如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n= （）n．【分析】由AB1为边长为2的等边三角形ABC的高，利用三线合一得到B1为BC的中点，求出BB1的长，利用勾股定理求出AB1的长，进而求出第一个等边三角形AB1C1的面积，同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积，依此类推，得到第n个等边三角形AB n C n的面积．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为2，AB1⊥BC，∴BB1=1，AB=2，根据勾股定理得：AB1=，∴第一个等边三角形AB1C1的面积为×（）2=（）1；∵等边三角形AB1C1的边长为，AB2⊥B1C1，∴B1B2=，AB1=，根据勾股定理得：AB2=，∴第二个等边三角形AB2C2的面积为×（）2=（）2；依此类推，第n个等边三角形AB n C n的面积为（）n．故答案为：（）n．15．（2019•湘潭）如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD= 30°．【分析】根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填空．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．又点D是边BC的中点，∴∠BAD=∠BAC=30°．故答案是：30°．16．（2019•天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长．【解答】解：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，∴FC=EC=1，故EF==，∵G为EF的中点，∴EG=，∴DG==．故答案为：．17．（2019•福建）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD= 3 ．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=×6=3．故答案为：3．三．解答题（共2小题）18．（2019•绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数，（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：变式等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数．（1）请你解答以上的变式题．（2）解（1）后，小敏发现，∠A的度数不同，得到∠B的度数的个数也可能不同，如果在等腰三角形ABC中，设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，请你探索x的取值范围．【分析】（1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类讨论；（2）分两种情况：①90≤x＜180；②0＜x＜90，结合三角形内角和定理求解即可．【解答】解：（1）若∠A为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=80°；故∠B=50°或20°或80°；（2）分两种情况：①当90≤x＜180时，∠A只能为顶角，∴∠B的度数只有一个；②当0＜x＜90时，若∠A为顶角，则∠B=（）°；若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；若∠A为底角，∠B为底角，则∠B=x°．当≠180﹣2x且180﹣2x≠x且≠x，即x≠60时，∠B有三个不同的度数．综上所述，可知当0＜x＜90且x≠60时，∠B有三个不同的度数．19．（2019•徐州）（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，求证：∠A=∠C．（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．※精品※试卷※【分析】（A类）连接AC，由AB=AC、AD=CD知∠BAC=∠BCA、∠DAC=∠DCA，两等式相加即可得；（B类）由以上过程反之即可得．【解答】证明：（A类）连接AC，∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即∠A=∠C；（B类）∵AB=AC，∴∠BAC=∠BCA，又∵∠A=∠C，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．※推荐※下载※。
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2020中考分类汇编等腰三角形与勾股定理一、选择题1．〔2018年山西省〕如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°BC ＝3,AC ＝4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，那么CE 的长为〔 〕A．32 B ．76 C ．256D ．2【关键词】相似三角形判定和性质；勾股定理；线段和角的概念、性质【答案】B2．(2018年达州)图是一株漂亮的勾股树，其中所有的四边形差不多上正方形，所有的三角形差不多上直角三角形．假设正方形A 、B 、C 、D 的边长分不是3、5、2、3，那么最大正方形E 的面积是A ．13B ．26C ．47D ．94【关键词】勾股定理【答案】C3．〔2018年湖北十堰市〕如图，Rt ΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝ 4，BC ＝3，以AB 边所在的直线为轴，将ΔABC 旋转一周，那么所得几何体的表面积是〔 〕．A ．π5168B ．π24C ．π584 D ．π12A DB E C4．(2018年湖州)如图，在正三角形ABC中，D，E，F分不是BC，AC，AB上的点，DE ⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC，那么ΔDEF的面积与ΔABC的面积之比等于〔〕A．1∶3 B．2∶3 C∶2 D∶3【关键词】等边三角形的性质，相似的性质【答案】A5．〔2018年广西钦州〕如图，AC＝AD，BC＝BD，那么有〔〕A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACBA BCD【关键词】全等三角形、等腰三角形三线合一．【答案】A6．〔2018年衡阳市〕如图2所示，A、B、C分不表示三个村庄，AB＝1000米，BC ＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，那么活动中心P 的位置应在〔〕A．AB中点B．BC中点C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点【关键词】勾股定理的逆定理，三角形中垂线【答案】A7．〔湖北省恩施市〕如图3，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，上只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．B．25 C．D．35DC EFA B8．〔浙江省丽江市〕如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,那么AC 的长是〔 A 〕A ．172B ．52C ．24D ．7∴ 222AD DB DE ． 9．〔2018白银市〕如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4， 那么⊙O 的半径为〔 〕 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【关键词】勾股定理【答案】A10．〔2018年济宁市〕〝赵爽弦图〞是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一〝赵爽弦图〞飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分不是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖〔假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上〕, 那么投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域〔含边线〕的概率是A ． 1B ． 14C ． 15D ． 110【关键词】勾股定理【答案】Cl 1l 2 l 3 ACB11．〔2018白银市〕如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，那么BE ＝〔 〕A ．2B ．3C ．22D ．23【关键词】勾股定理，四边形的性质【答案】C13．〔2018年烟台市〕如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点， 且BP ＝1，D 为AC 上一点，假设∠APD ＝60°，那么CD 的长为〔 〕A ．32B ．23C ．12D ．34【关键词】等腰三角形 【答案】B13． 〔2018年嘉兴市〕如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，∠A ＝36°，∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设215-=k ，那么DE ＝〔 ▲ 〕 A ．a k 2B ．a k 3C ．2k aD ．3k a【关键词】等腰三角形【答案】AA D CEBA D CP B60°14．〔2018泰安〕如图，△ABC 中，D 、E 分不是BC 、AC 的中点，BF 平分∠ABC ，交DE 于点F ，假设BC ＝6，那么DF 的长是〔A 〕2 〔B 〕3 〔C〕25〔D 〕4 【关键词】角平分线、中位线【答案】B15．〔2018恩施市〕如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁假如要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是〔 〕A ．521B ．25C ．1055D ．35【关键词】图形的展开、勾股定理 16．〔2018恩施市〕16．如图6，O ⊙的直径AB 垂直弦CD 于P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，那么直径AB 的长是〔 〕A ．23cmB ．32cmC ．42cmD ．43cm【关键词】垂径定理、勾股定理【答案】D17．〔2018丽水市〕如图，△ABC 中，∠ABC ＝90°,AB ＝BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1，l 2，l 3上，且l 1，l 2之间的距离为2 , l 2，l 3之间的距离为3 ,那么AC 的长是〔 〕A ．172B ．52C ．24D ．75 201510 CB【关键词】直线与直线的距离、勾股定理，解直角三角形【答案】A18．．〔2018年宁波市〕等腰直角三角形的一个底角的度数是〔 〕A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【关键词】等腰三角形【答案】B19． 〔2018年滨州〕如图3，△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8， 那么边BC 的长为〔 〕A ．21B ．15C ．6D ．以上答案都不对【关键词】勾股定理．【答案】A20．(2018武汉)9．如图，O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，那么∠ADO+∠DCO 的大小是〔 〕A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°【关键词】等腰三角形 多边形的内角和【答案】D提示：∠BAO+∠BCO ＝∠ABO+∠CBO ＝∠ABC ＝70°，因此∠BOA+∠BOC ＝360°－140°＝220°，因此∠AOC ＝140°。
21．〔2018重庆綦江〕如图，点A 的坐标是(2,2)，假设点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，那么点P 的坐标不可能．．．是〔 〕 A ．(4，0) B ．〔1．0〕 C ．〔-22，0〕 D ．〔2，0〕BCOA D ACDB l 1l 2 l 3ACBy【关键词】直角坐标系，等腰三角形【答案】B22．〔2018威海〕如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，假设∠A ＝40°，那么∠ABD 的度数是〔 〕A ．20B ．30C ．35D ．40 【关键词】等腰三角形【答案】B23．〔2018襄樊市〕如图，直线110AB CD DCF =︒∥，∠，且AE AF =，那么A ∠等于〔 B 〕A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．70︒解析：此题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵110AB CD DCF =︒∥，∠，因此110EFB DCF ∠=∠=︒，∴70AFE ∠=︒，∵AE AF =，∴70E AFE ∠=∠=︒，∴40A ∠=︒，应选B 。
【关键词】平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理【答案】B24．〔2018年贵州黔东南州〕如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，那么∠A 等于〔 〕A ．30oB ．40oC ．45oD ．36oA F BCD E 1 2 3 4 -1 12xyA 0B A D C【关键词】等腰三角形【答案】D25．(2018年温州)如图，△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，AE平分么BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连结DE，那么△BDE的周长是( )A．7+5B．10 C．4+25D．12【关键词】等腰三角形〝三线合一〞的性质【答案】B26．(2018年温州)一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如下图．剪得的纸条中有一张是正方形，那么这张正方形纸条是( )A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张【关键词】等腰三角形性质，三角形相似的性质，梯形中位线【答案】C27．(2018年云南省)如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC＝5，AB的垂直平分线DE 交AB于点D，交AC于点E，那么△BEC的周长为〔〕A．13 B．14C．15 D．16【关键词】垂直平分线 等腰三角形【答案】A〔2018呼和浩特〕在等腰ABC △中，AB AC ，一边上的中线BD 将那个三角形的周长分为15和12两个部分，那么那个等腰三角形的底边长为〔 〕A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10【关键词】等腰三角形【答案】二、填空题1． 〔2018年重庆市江津区〕等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，那么其腰上的高为 cm ．【关键词】等腰三角形的性质【答案】232．(2018年泸州)如图1，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，那么OA 长度为 ．【关键词】等边三角形．【答案】33 3．〔2018年泸州〕如图2，Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝ 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ， 垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，如此一直做下去，得到了一组 AD EB C线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，那么CA 1＝，=5554C A A C 【关键词】勾股定理．【答案】512，45． 4．〔2018年滨州〕某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°， 90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，那么在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．【关键词】30°所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理．【答案】〔2+23〕米．5． 〔2018年滨州〕等腰ABC △的周长为10，假设设腰长为x ，那么x 的取值范畴是 ．【关键词】等腰三角形．【答案】2．5＜x ＜5．6． (2018年四川省内江市)Rt △ABC 的周长是344+，斜边上的中线长是2，那么S △ABC ＝____________【关键词】边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，完全平方公式．【答案】8(2018年黄冈市)11．在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，那么∠B 等于_____________度．【关键词】等腰三角形【答案】︒70或︒207．(2018年安顺)图甲是我国古代闻名的〝赵爽弦图〞的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。