第4章 快速傅立叶变换

N点 点 DFT
N/2点 点 DFT N/2点 点 DFT
N/4点 点 DFT N/4点 点 DFT N/4点 点 DFT N/4点 点 DFT
…….
复乘： 复乘：
N
2
N N + 2 2
2
2
N N N N + + + 4 4 4 4
X1(1) X1(2) X1(3) X2(0)
0 WN X2(1) 1 WN X2(2) 2 WN
X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1
N/2点 N/2点 DFT
X2(3)
3 WN
因为4点 还是比较麻烦， 因为 点DFT还是比较麻烦，所以再继续分解。 还是比较麻烦 所以再继续分解。 若将N/2(4点)子序列按奇 偶分解成两个 点 子序列按奇 偶分解成两个N/4点(2点)子 子序列按奇/偶分解成两个 若将 点 点子 分解成奇、 序列。即对将x 和 序列。即对将 1(r)和x2(r)分解成奇、偶两个 分解成奇 偶两个N/4点(2点) 点 点 点的子序列。 点的子序列。
k 的对称性： 又考虑到 W N 的对称性：
( N k k W NN / 2+ k ) = W N / 2 ⋅ W N = −W N
有：
前半部分
k X (k ) = X 1 (k ) + W N X 2 (k )
k = 0,1, ⋯ , N 2 − 1
( N / 2+ k ) N
X ( N / 2 + k ) = X1( N / 2 + k ) + W
nk X(k) = DFT[ x(n)] = ∑ x(n)WN 0 ≤ k ≤ N −1 n=0 N −1
1 N−1 x(n) = IDFT[ X(k)] = ∑ X(k)W −nk 0 ≤ n ≤ N −1 N k=0
注意： 注意：
nk 1）x(n)为复数， WN = e ） 为复数， −j 2π nk N
2 rk N
－j
所以 X ( k ) =
=
r =0 N / 2 −1
2 k x1 ( r )W N rk + W N ∑
rk k x1 ( r )W N / 2 + W N ∑ r =0
r =0 N / 2 −1
2 x 2 ( r )W N rk ∑
rk x2 ( r )W N / 2 ∑ r =0
第四章 快速傅立叶变换 Fast Fourier Transform
FFT产生故事 FFT产生故事
虽然频谱分析和DFT运算很重要，但在很长一段时间里 运算很重要， 虽然频谱分析和 运算很重要 ，并没有得到真正的运用。而频谱分析仍大多采用模拟信 并没有得到真正的运用。 号滤波的方法解决。 号滤波的方法解决。
也为复数。 也为复数。 复数
2）DFT与IDFT的计算量相当。 ） 与 的计算量相当。
为例： 以DFT为例： 为例
nk X(k) = DFT[ x(n)] = ∑ x(n)WN n=0 N −1
0 ≤ k ≤ N −1
计算机运算时（编程实现）： 计算机运算时（编程实现）：
k =0
k =1 k =2
后半部分
X2(N / 2 + k)
k = X 1 (k ) − W N X 2 (k )
k = 0,1, ⋯ , N 2 − 1
蝶形运算流图符号
前半部分 后半部分
k X (k ) = X 1 (k ) + W N X 2 (k )
k = 0,1, ⋯ , N 2 − 1
k X ( N / 2 + k ) = X 1 (k ) − W N X 2 (k )
二、改善DFT运算效率的基本途径 改善DFT运算效率的基本途径 DFT
1、利用DFT运算的系数的固有对称性和周期 、利用 运算的系数的固有对称性和周期 性，合并DFT中的某些项。 合并 中的某些项。
m WN = (WN− m )* ,WN− m = WNN −m ,WN 1）对称性 ）
n ( 2）周期性 WN = WNn+rN) ）
2
2
2
2
N2 2
N2 4
FFT算法分类 算法分类: 算法分类
时域抽取法 DIT: Decimation-In-Time 频域抽取法 DIF: Decimation-In-Frequency
三、时域抽取法的基2-FFT算法 时域抽取法的基2 FFT算法
1、算法原理 、
设输入序列长度为N=2M （ M为正整数），将该序列按 为正整数） 将该序列按 设输入序列长度为 为正整数 时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列 称为基2按时间抽 为越来越短的子序列， 时间顺序的奇偶分解为越来越短的子序列，称为基 按时间抽 算法。 取的FFT算法。也称为 算法。 算法 取的 算法 也称为Coolkey-Tukey算法。 其中基 表示 表示： 为整数.若不满足这个条件 其中基2表示：N=2M，M为整数 若不满足这个条件，可 为整数 若不满足这个条件， 以人为地加上若干零值（加零补长） 以人为地加上若干零值（加零补长）使其达到 N=2M。
( N −1)⋅2 N
N个点
⋮
0 1 ( k = N −1 X (N −1) = x(0)WN⋅N−1 + x(1)WN⋅N−1 +⋯+ x(N −1)WNN−1)⋅N−1
N次复乘，N-1次复加 次复乘，
运算量
一个X(k) 一个
复数乘法 N N2
复数加法 N–1 N (N – 1)
X (k) = ∑x(n)W
m+
N 2
m = −WN
rm m 3）可约性 WrN = WN ）
2、将长序列DFT利用对称性和周期性分解为短 、将长序列 利用对称性和周期性分解为短 序列DFT来减少计算量。 序列 来减少计算量。 因为DFT的运算量与 2成正比的，如果一个大 的运算量与N 成正比的，如果一个大 因为 的运算量与 点数N的 能分解为若干小点数 的组合， 点数 的DFT能分解为若干小点数 能分解为若干小点数DFT的组合，则 的组合 显然可以达到减少运算工作量的效果。 减少运算工作量的效果 显然可以达到减少运算工作量的效果。
2、算法步骤 、
分组， 分组，变量置换 先将x(n)按n的奇偶分为两组，作变量置换 按 的奇偶分为两组 作变量置换: 的奇偶分为两组， 先将 偶数时， 当n=偶数时，令n=2r; 偶数时 奇数时， 当n=奇数时，令n=2r+1; 奇数时 得到： 得到：
x(2r) = x1(r) r = 0,..., N 2 −1 x(2r + 1) = x2 (r)
N −1 n =0
带入DFT中 中 带入
nk X (k ) = DFT [ x(n)] = ∑ x(n)WN
=
∑
n =0
N −1
x ( n )W
nk N

+
∑
n =0
N −1
x ( n )WNnk
n 为偶数
n为奇数
=
N / 2 −1 r =0 N / 2 −1
2 x ( 2r )W N rk + ∑
0 1 ( X (0) = x(0)WN⋅0 + x(1)WN⋅0 +⋯+ x(N −1)WNN−1)⋅0
01 11 ( ⋅ X (1) = x(0)WN⋅ + x(1)WN⋅ +⋯+ x(N −1)WNN−1)1
X (2) = x(0)W + x(1)W +⋯+ x(N −1)W
0⋅2 N
12 ⋅ N
n=0
N −1
nk N
N个X(k) 个 (N点DFT) 点
(a+jb)(c+jd)=(ac-bd)+j(bc+ad)
实数乘法 一次复乘 一次复加 一个X 一个 (k) N个X (k) 个 (N点DFT) 点 4N 4N 2 4 实数加法 2 2 2N+2 (N – 1)=2 (2N – 1) 2N (2N – 1)
运算量减少了近一半
例子： 例子：求 N=23=8点FFT变换 点 变换 点的DFT： 按N=8→N/2=4，做4点的 ， 点的 ：
X(k) = X1(k) +W X2 (k)
k N k X(k + N / 2) = X1(k) −WN X2 (k)
k = 0,⋯, N / 2 − 1
先将N=8点的 点的DFT分解成 个4点DFT： 分解成2个 点 先将 点的 分解成 ： 可知：时域上： 可知：时域上：x(0),x(2),x(4),x(6)为偶子序列 为偶子序列 x(1),x(3),x(5),x(7)为奇子序列 为奇子序列 频域上： 频域上：X(0)~X(3)，由X(k)给出 ， 给出 X(4)~X(7)，由X(k+N/2)给出 ， 给出
例：设做一次复乘用时1µs。石油勘探，有24个通道的 做一次复乘用时 。石油勘探， 个通道的 每通道波形记录长度为5秒 若每秒抽样500点 记录 ，每通道波形记录长度为 秒，若每秒抽样 点 /秒， 秒 1）每道总抽样点数：500*5=2500点 ）每道总抽样点数： 点 2）24道总抽样点数：24*2500=6万点 ） 道总抽样点数： 万点 道总抽样点数 3）DFT复乘运算时间：N2=(60000)2=36*108次 ） 复乘运算时间： 复乘运算时间 所需时间为 (60000)2 = 36*108 µs = 3600s 由于计算量大，且要求相当大的内存， 由于计算量大，且要求相当大的内存，难以实现实 相当大的内存 时处理，限制了DFT的应用。长期以来，人们一直在寻 的应用。 时处理，限制了 的应用 长期以来， 求一种能提高 提高DFT运算速度的方法。 运算速度的方法 求一种能提高 运算速度的方法。