无限时滞中立型积分微分方程的周期解的存在性
【国家自然科学基金】_周期解的存在性_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
科研热词 推荐指数 周期解 39 正周期解 11 概周期解 10 存在性 9 重合度 7 时滞 7 无穷时滞 6 泛函微分方程 5 差分方程 5 脉冲 4 渐近概周期解 4 全局吸引性 4 逐段常变量 3 稳定性 3 渐近概周期序列 3 扩散 3 偏差变元 3 临界点 3 中立型微分方程 3 不动点定理 3 liapunov函数 3 高阶liénard型方程 2 非线性 2 锥不动点定理 2 重合度理论 2 脉冲效应 2 脉冲微分方程 2 神经网络 2 环绕定理 2 持续生存 2 抛物型方程 2 微分方程 2 延拓定理 2 叠合度 2 变时滞 2 反问题 2 反周期解 2 全局渐近稳定 2 中立型 2 不动点 2 rayleigh方程 2 lyapunov函数 2 lotka-volterra系统 2 leray-schauder不动点定理 2 高阶差分方程 1 高阶中立型泛函微分方程 1 食物-种群系统 1 非自治捕食-被捕食系统 1 重合度拓展理论 1 重合度. 1 遥远概周期函数 1 退化时滞微分方程 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106
科研热词 周期解 重合度 时滞 正周期解 稳定性 存在性 微分方程 脉冲 概周期解 时滞微分方程 拓扑度 周期边值问题 反馈控制 不动点定理 hopf分支 重合度理论 时间周期解 差分方程 多解性 临界点 lyapunov函数 duffing方程 零航速 阶段结构捕食系统 逐段常变量 神经网络 特征方程 特征值 渐近概周期解 正解 无扭周期解 收获率 捕食者-食饵系统 捕食与被捕食 扩散 平衡点 局部渐近稳定 吕卡提方程 反周期解 分歧 分布时滞 全局指数稳定性 先验估计 中立型微分方程 中立型 不动点理论 不动点 lotka-volterra系统 logistic模型 kdv方程 hopf分岔 aubry-mather集
微分方程的解的存在性
微分方程的解的存在性微分方程在数学中扮演着至关重要的角色，它描述了自然界中许多现象的演变规律。
解微分方程是求解这些规律的关键步骤之一，而微分方程的解的存在性问题一直是研究者们探讨的重要课题之一。
本文将重点讨论微分方程的解的存在性问题，并探讨相关的理论和方法。
微分方程简介微分方程是描述变量之间关系的数学方程，其中包含未知函数及其导数。
一般形式可以写作F(x,f(x),f′(x),...,f(n)(x))=0，其中f(n)(x)表示函数f(x)的n阶导数。
微分方程按照阶数、形式和性质的不同可以分为多种不同类型，包括常微分方程和偏微分方程。
常微分方程只包含一个自变量，而偏微分方程包含多个自变量。
微分方程的解是满足方程的所有函数的集合，解的存在性就是要确定这个解集是否为空或者非空的问题。
微分方程解的存在性定理微分方程解的存在性定理是研究微分方程解是否存在的重要理论依据，其中最重要的就是皮卡-林德洛夫定理和柯西-李普希茨定理。
皮卡-林德洛夫定理皮卡-林德洛夫定理是关于常微分方程解的存在性和唯一性的定理，描述了在一定条件下初始值问题必然存在唯一解的情况。
具体来说，如果f(x,y)在一个矩形$R=\\{(x,y):a<x<b,c<y<d\\}$ 上连续且满足 $|f(x,y)| \\leq M$，并且以y0为中心、ℎ为半径、在R内闭区域D上连续，则存在区间 $|x-x_0| \\leq h$ 上的唯一解。
皮卡-林德洛夫定理的证明过程相对复杂，需要借助一些数学分析方法，但是它为解微分方程问题提供了一个强有力的理论基础。
柯西-李普希茨定理柯西-李普希茨定理是关于偏微分方程解的存在性和唯一性的定理，主要适用于一阶线性偏微分方程。
该定理告诉我们，如果偏微分方程的系数满足一定条件，那么初始值问题是存在唯一解的。
柯西-李普希茨定理在数学物理、工程等领域有着广泛的应用，它为解决实际问题提供了可靠的解决方案。
时滞微分方程解的存在性
时滞微分方程解的存在性时滞方程更能反映真实的自然现象，关于Banach 空间中具有整数阶物质导数的时滞微分方程解的存在性的研究已有了不少，包括积分方程最优控制，边值问题，方法也都类似，但对于分数阶导数的方程的研究不多。
可能是因为分数阶导数问题还没有被应用到更广泛的领域，或者是因为分数阶导数较整数阶研究更为困难。
一般研究微分方程是在实数空间内，为了使结果更具一般性，下面本文研究抽象空间中一般分数阶物质导数的方程解的存在性，从而得到一般性的结论。
为后文的工作做理论准备。
现有的研究分数阶导数的微分方程解的存在性的文章不多，事先查得的的一篇文章是研究整数阶的有时滞项的微分方程的解的存在性的。
由于分数阶导数和整数阶导数的性质有很大差异，研究整数阶导数方程的方法不能照搬到分数阶导数方程上，所以我们研究时加上了一条限制条件，即方程右端的非线性项的范数小于一个常数加上一个常数和解函数范数的乘积，之后用了皮卡迭代方法，得到一个函数序列，然后用数学归纳法证明此序列一致有界且等度连续，然后结合相关文献，就证明了上面得到的函数序列有弱收敛子列，最后证明弱收敛子列的极限函数就是方程的解。
从而证明了该方程解的存在性。
具体过程如下：令E 为Banach 空间,E*为其对偶空间并且E 0 =C([−h,0],E),上面的范数分别为:，* 和 0E ，0[,0]max ()t h E t ϕϕ∈-=，同时, 00(,){:},X X B y r y X y y r =∈-≤其中，X E =或0E ，(), 表示E 和E*中的元素的内积。
考虑如下Banach 空间分数阶微分方程的初值问题：00()(,),0,01,(2.0.1)t D u t f t u t u E ααψ⎧=≥<<⎪⎨=∈⎪⎩其中D α是Caputo 分数阶导数。
f:[0,+∞)×E 0→E 。
同时对于任意u ∈C([−h,0],E)函数0,0,t u E t ∈≥定义为成u t (s)=u(t+s),s ∈[−h,0]。
中立型随机微分方程概周期解分析
中立型随机微分方程概周期解分析1 引言H.Bohr[9] 率先介绍了概周期数值函数的概念，S.Bochner[8]将其扩展到波兰空间。
关于概周期函数的其他文献，我们可以参考[10,11,12]等。
Slutsky[14]首次将概周期概念引入到多维随机过程。
最近，Bezandry和Diagana在[2]-[7]中系统地讨论了各类随机微分方程概周期温和解的存在唯一性。
设是通常的完备概率空间；和是两个实Hilbert空间；表示所有从J到H的Hilbert-Schmidt算子组成的空间，并赋以Hilbert-Schmidt范数；是具有有限迹的非负对称算子；是定义在上取值为J的可测的Q-Wiener过程，其中表示所有可测且平方可积H-值随机变量组成的集合，显然当其赋以范数时是一个Banach空间；和，规定范数，此处表示的转置。
2 问题描述以[2]-[7]为基础，我们考虑下列非自治中立型随机微分方程的均方概周期温和解的存在唯一性：（1）其中，是值随机过程，表示定义在上的H值函数组成的空间，若规定范数为：，那么它是一个Banach空间。
是满足一些假设的连续函数。
A(t)是满足(AT)条件的紧闭线性算子。
3 定义和假设我们定义如下实插值空间(参考[15]1.7节)：，当赋以范数时，它是一个Banach空间。
于是对任意的和，我们有；特别地，。
本文假设：是满足以下条件的紧闭线性算子(参考[3])：(1) (AT)条件(参考[1])且对于(AT)条件中的有，，其中表示有界线性算子；(2) ，且存在，使得对任意的，成为的实插值空间；(3) 与可交换，且U(t,s)指数稳定，即：存在常数使得；(H2) 连续函数在子紧空间是一致均方概周期的，而且满足Lipschitz条件，即：存在常数使得对任意的随机过程和下列不等式成立；(H3) 对连续函数g和h类似(H2)，将分别改为和即可。
4 主要结论定理：对任意的0，在(H1)—(H3)的假设下，只要，那么方程(1)有唯一的均方概周期温和解，且有如下表达式：(2)注：对算子关于t是周期的情形已由Da Prato-Tudor[13]给出了相应的结论。
微分方程周期解特性分析
微分方程周期解特性分析
微分方程是描述变化率的数学工具，而周期解是指在一定时间内重复出现的解。
本文将对微分方程的周期解进行特性分析，探讨周期解在不同情况下的性质和行为。
1. 微分方程和周期解的基本概念
微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，通常用来描述自然现象或规律。
周期解是指满足特定条件，可以在一定时间或空间内重复出现的解。
周期解在各种领域中有着重要的应用，如振动系统、电路分析等。
2. 周期解的存在性和唯一性
对于给定的微分方程，周期解并不总是存在，其存在与否取决于方程的具体形
式以及边界条件。
对于某些特定类型的微分方程，周期解可能存在多个，但在一些情况下，周期解可能是唯一的。
3. 周期解的稳定性和不稳定性
周期解的稳定性是指当微小扰动作用于解时，解是否会向周期解逼近。
稳定的
周期解意味着系统具有稳定的振动特性，而不稳定的周期解则可能导致系统出现混沌现象。
4. 周期解的周期性分析
周期解的周期性分析是研究周期解的周期长度、频率和相位等特性。
通过周期
性分析，可以更好地理解周期解的行为规律，为系统的动态行为提供更准确的描述。
5. 周期解的数值模拟和实际应用
在实际工程和科学问题中，通常需要通过数值方法对微分方程的周期解进行模
拟和计算。
数值模拟可以帮助我们更好地理解系统的周期特性，为系统设计和优化提供参考依据。
结论
本文对微分方程的周期解进行了分析，探讨了周期解的存在性、稳定性、周期
性分析以及数值模拟和实际应用。
周期解在动态系统分析和控制中具有重要意义，了解其特性将有助于深入理解系统的动态行为和稳定性。
一类中立型无穷时滞积分-微分方程适度解的存在性分析
其 中 是解析半群 （ ：ｆ ０的无穷小生成 ｆ ≥｝ ）
元 ， ： Ｏ，】 （ ００ 一 定义为 ：
且存在正常数Ｃ， ２ ｝ ）（ｖ－，Ｉ 。 ， Ｃ使得ｌ ｔ ）ｃｖ ＋ （ ｇ， ｌ Ｉ ＿ ＜
（ ｇ （ ） 一 ）ｇｆ 是 ｃ ｆ 的 ，即存 Ｈ ） ２ ：（ （・ ， ） ｆ ｚ 在正常数 ＞０ 使得Ｉ一 ） （ｖ） 一） （ｖ）＜ ， １Ａ Ｐ ｔ 。 （ Ｐ ｔ ｌ （ ｇ ， 一 Ａ ｇ ， ｌ
Ｂ 柏奎 。 ＿ 续
里 ＝ 一）ｌ ６。 厶 ￡ ｌ Ｋ ＋ ）
在无穷时滞积分 一微分方程理论 中，相空间 的选择起着重要作用 。采用Ｈａ 和Ｋ ｔ￣ 公理 ｌ ｅ ａｏ １ 。 用
化方 法 引人 的相 空 间 的定 义 。
（ ） ２） Ｈｆ （ ：存 在 可 积 函 数 ０ 】 【， ０ ，ｂ ０＋Ｏ ）
ＩＣｌｌ＋ ２ Ｉ Ｉ Ｉ ｐ Ｃ） ｌ （ ｌｌ （ ＋（ Ｉ ） Ｇ＋二
Ｃ］ ２
／： Ｊ ）Ｊ＋ｌ ６。 ２ （ Ｃ （ 一 ）
（ Ｈｈ）（ ： ２ １ ６ ２） ： ＋４ ７ ａ ＜１ ７ ）ｓ ，这 （
型条件 ，即对任何 Ｂ （ ｖ ： ∈ ，厂 ・ ） ， 【 】 强 可测 ，对几 乎 处处 ｔ ［，】ｆ（・ ０ ，６ ｏ６， ｔ） ｅ ，：
以及连续单调非减函数Ｑ［ ＋０ （ ＋ ） ：， Ｏ ０ ∞ ，使得 ０ ） ，
ＩｔＶｌ￣）（ｌ， ｔ［ ６ ｖ Ｂ ｆ ， ） （ １ Ｖ∈ ， 】 ∈。 （ ｌ ｔ ｌ） ｎｖ ｌ ０ ，
作者简介 ：徐明（９ ６ ） 江苏泰 州人 ， １７ 一， 男， 硕士， 研究方 向为泛 函分析
（ Ｒ） ２ ： ， ） Ｒｔ ）则映射ｔ Ｊ： Ｈ （ ） 记Ｒ（ ＝ （ ， Ｓ ， Ｒ ，
一类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性
即 （）是 反周期 的 ， ｔ 且是有 界 的．
（） ２ 类似可证．
ｌ （） ｓ Ｉ≤ ２ Ｉ ｔ 一（）ｌ Ｃ
ｅ（ｃ ｄ， ｓ ３ ｘｒ ＡＡｆ ． ｐ ））≥ ０ （
．
主 要 结 论及 证 明
定理 １ 假 设方 程 （ ）满 足条件 （ ） １ Ｈ１ 且满 足
和
解的存在性给予了大量研究 ， 并得到一 些结果 ， 参 见文献 ［ ５—９ ． ］ 然而对 中立型泛 函微分方程反周 期解 问题 的讨 论甚 少 ， 文讨论 下 面一类 具 有无穷 本 时滞 中立型泛 函微 分方 程
（） ２ （） ３
盖 ） Ｑ ，ｔＪ Ｊ （ 一 （ （， ） （
唯一 的 ７周期解 ： ’
ｓｐ （ Ｉ ｕ 训
（）＝ｆ Ｘ ｔｘ ｓ （）ｓ ｔ （） （） ｓｄ 厂
（） Ａｔ ２ 若 （）满 足 条 件 （ ２ ， ｋ Ｈ ） 且 ：＝ ｅｐ 一 ｘ （
Hale Waihona Puke ＩＱ ｔＭ ，１ （ ，１ ）一Ｑ（ ，２Ｉ ）ｌ ｔ ，２ ≤ Ｉ／ ２ Ｊ ２ ， １一 Ｉ
Ｊ ｎ ａ．
２ １ ０２
文章 编号 ：０ ８—１０ （ ０２）１—０５ Ｏ １０ ４２ ２１ Ｏ １ １一 ４
一
类具有无穷时滞中立型泛函微分方程反周期解的存在性
张洪彦 ， 王 奇 ， 丁敏敏 ， 王志杰
（ 徽 大 学数 学 科 学 学 院 。 安 安徽 合 肥 ２０ ３ ３０ ９ ｊ
＝
ｆ （ ＋ ）一 ｓ ） ｓ Ｔｄ ｔ ＴＸ ＋ 厂 ＋ ）ｓ （ （ ｆ （） （） ｓ Ｔｄ ｓ （ ＋ ）ｓ ，
阵， 如果存在一个映射 Ｐ和正常数 ， 使得 ： Ｉ （） Ｘ １ ｓ ｌ≤ｆ ｘ （ 仅 ｔ ） ， ≥ｓ ｌ ｔＰ ＿（ ）Ｉ ｌ ｐ 一 （ —ｓ ） ｔ ； ｅ
一类具有无限时滞中立型积分微分方程的周期解
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ６ １２ ， ．
滨 州学 院学报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＢ ｎ ｈ ｕ Ｕｎ ｖ ｒｉｙ ｏ ｒ ａ ｉｚ ｏ ｉｅ ｓｔ ｏ
２１ 年 １ ０１ ２月
Ｄ ｅ ．， ０１ ｃ ２ １
【 分 方 程 与 动 力 系 统研 究】 微
一
类 具 有 无 限 时 滞 中 立 型 积 分 微 分 方 程 的周 期 解
其 中 ｔＥ Ｒ， Ａ（， ， ｔ ） Ｃ（，）为连 续 函数矩 阵 ， Ｒ， ， ｚＥ Ｒ ， ｔ ） Ｂ（， ， ｔｓ 厂Ｅ Ｃ（ Ｒ ） ｆ将 有界 集映 为有 界集．
ｆ ｔ Ｔ， （ ＋ ）一 ｆ ｔ ， （）＝ ｘ ｔ ｓ ， Ｅ （ 。 ，］ （， ｓ ＝ （ ＋ ） ５ ） ＝ 一 。 ０．
（） １
Ａ（， （）ｚ（） ｌ Ｃ ｔ５ ｓｄ ＋ｇ（，￡ ） ＋ 厂 ， ￡ｚ ） ＋ （，） ） ｓ （ ｔ（ 一ｒ ） （）
Ａ （ ＋ 丁）一 Ａ （） Ｂ（ ＋ Ｔ， ＋ Ｔ） 一 Ｂ（ ， ） Ｃ（ ＋ Ｔ ， ＋ Ｔ）一 Ｃ（ ，） ｔ ， ｔ ｓ ｔ５ ， ｔ ５ ｔ５ ，
利 用线 性理 论及 Ｓ ｈ ｕ ｅ 不 动点 定理 获得 了方 程 （ ） ｅａｄｒ １ 的周 期解 的存 在性 、 唯一 性及稳 定性 ， 到 了一些判 得
别 准则 ．
１ 预 备 知识
定义 １ 如 果实 方 阵 Ｐ满 足 Ｐ。＝ Ｐ， ＝ 则称 Ｐ 为投 影． ＝ 定义 ２ 设 Ａ（）是定 义在 Ｒ上 的连续 的 × 是 实矩 阵 函数 ， 虑线性 系统 考
ｎ（ ＋ ∑ Ｊ ￡ Ｊ （ ≤０ｉ ，， ｆ ） （ ≤ａ￡ ，：１２…，， ｎ ） ）
］ｌ （ ～Ｐ ｘ ｓ ｌ≤ Ｋｅｐ ａｔ ） ，≤ ｓ ｌ ）ｊ ｘ（ ） （）ｌ ｘ （（ —ｓ）ｔ ．