直线与圆的位置关系培优训练
九年级数学竞赛培优专题及答案 20 直线与圆的位置关系1(含答案)
专题20 直线与圆的位置关系（1）阅读与思考圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有： 1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，交BA 的延长线于E .若AB ＝3，DE ＝2，则BC 的长为( ) （青岛市中考试题）A ．2B ．3C ．3.5D ．4例1题图 例2题图解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C 点看可应用切线长定理，从E 点看可应用切割线定理，又EC 为⊙O 的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.【例2】如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB ＝45°，∠ABC ＝120°，⊙O 的半径为1. (1) 求弦AC ，AB 的长;(2) 若P 为CB 的延长线上一点，试确定P 点的位置，使P A 与⊙O 相切，并证明你的结论.（哈尔滨市中考试题）解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB 与BC ，或PC 与BC 的关系，或求得PB 或PC 的长，点P 的位置即可确定.E【例3】已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点.过点P 作BC 的平行线交BT 于点E ，交直线AC 于点F .(1) 当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：P A •PB ＝PE •PF ；(2) 当点P 为线段BA 的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. （北京市中考试题）解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD 折叠，使得顶点A 与边DC 上的动点P 重合（P 不与点D ，C 重合），MN 为折痕，点M ，N 分别在边BC ，AD 上.连接AP ，MP ，AM ，AP 与MN 相较于点F ，⊙O 过点M ，C ，P .(1) 请你在图1中作出⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；(2)AF AN 与APAD是否相等？请说明理由； (3) 随着点P 的运动，若⊙O 与AM 相切于点M 时，⊙O 又与AD 相切于点H .设AB 为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.（宜昌市中考试题）解题思路：对于(3)，只依靠AB 的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C ＝90°，⊙O 过点M ，C ，P ，故将画出矩形的条件转化为求出CP （或MP ）的长.当矩形确定后，依据线段CP 的长，就可确定P 点的位置.TTC MNNN【例5】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AD ，BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于点E ，连接EO 并延长交BC 于点F .求证：BF ＝FC . （太原市竞赛试题）解题思路：要证明BF ＝FC ，只需证FO ⊥BC 即可，连接OA ，OB ，OD ，将问题转化为证明∠DAO ＝∠EFC .【例6】如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 交于点P ，M 是△ABC 的内切⊙I 与边BC 的切点，作MD ∥AC ，交⊙I 于点D ，求证：PD 是⊙I 的切线. （全国初中数学联赛试题）解题思路：设⊙I 切AB 于点S ，连接IM ，IS ，ID ，直接证明∠PDI ＝90°困难，不妨证明∠PDI ＝∠PSI ，即证明△PIS ≌△PID .能力训练A 级1. P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，∠APB ＝78°，点C 是⊙O 上异于A ，B 的任意一点，则∠ACB ＝__________.2.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .要使DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是__________. （武汉市中考试题）第2题图 第3题图3. 如图，P A 切⊙O 于点A ，C 是AB 上任意一点，∠P AB ＝62°，则∠C 的度数是__________.（荆门市中考试题）P4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＋BC ＜DC .若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点（ ）A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ，CB 是⊙O 的切线，D ，B 为切点，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点F ，连接AD ，BD ，给出以下四个结论：①AD ∥OC ；②E 为△CDB 的内心；③FC ＝FE .其中正确的结论是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．如图，ABCD 为⊙O 的内接四边形，AC 平分∠BAD 并与BD 相交于E 点，CF 切⊙O 于点C 并与AD 的延长线相交于点F .图中的四个三角形①△CAF ,②△ABC ,③△ABD ,④△BEC ，其中一定相似的是（ ） (连云港市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④第5题图 第6题图 第7题图7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ． (1) 求证：△ABC 是等腰三角形；(2) 设AB =10cm ，BC =8cm ，点P 是射线AE 上的点，若以A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，问这样的点有几个? (南昌市中考试题)8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点E ，OD ∥AB ． 求证：(1) ED 是⊙O 的切线；(2) 2DE 2＝BE •OD .ACB9．如图，在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的边，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋4(c ＋2)＝(c+4)x 的两个根. 点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ．(1) 求证：△ABC 是直角三角形；(2) 若tan A ＝34时，求AE 的长. (内蒙古中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 中点，连接DE .(1) 求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2) 连接OC 交DE 于点F ，若OF ＝CF ，求tan ∠ACO 的值． (武汉市中考试题)11．如图，⊙O 的半径r ＝25，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上一点，且∠PDA ＝∠ABD ．(1) 试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若tan ∠ADB ＝34，P A ＝43－33AH ，求BD 的长；(3) 在(2)的条件下，求四边形ABCD 的面积. (成都市中考试题)ABC BECB 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．若∠DAB ＝56°， ∠ABC ＝64°，则∠CED ＝__________.2．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AD ，AB ，BC 分别相切于点E ，F ，G ，P 是EG 上的一点，则∠EPF ＝__________. （广州市中考试题）第1题图 第2题图 第3题图3．如图，直线AB ，AC 与⊙O 分别相切于点B ，C 两点，P 为圆上一点，P 到AB ，AC 的距离分别为4cm ，6cm ，那么P 到BC 的距离为__________cm. （全国初中数学联赛试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，圆心O 在BC 上，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径等于（ ）A ．abB ．a ＋b 2C ．aba ＋bD ．a ＋b ab5．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC ＝30°，AC 的延长线与过点B 的⊙O 的切线相交于点D ．若⊙O 的半径OC ＝1，BD ∥OC ，则CD 的长为( )A ．1+33 B ．233 C ．33D ． 2第4题图 第5题图 第6题图6．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出以下四个结论：①CE ＝CF ；②∠ACB ＝∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④AD ＝BD ．其中正确的结论是( ) (苏州市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7．如图，已知AC 切⊙O 于点C ，CP 为⊙O 的直径，AB 切⊙O 于点D ，与CP 的延长线交于点B .若AC ＝PC .求证：(1) BD ＝2BP ；(2) PC ＝3BP . (天津市中考试题)8.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径.动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动. P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t (s).(1) 当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形?(2) 当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切? (呼和浩特市中考试题)9.如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°,O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的半圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1.求证：S △AOD ，S △BCD 是方程10x 2－51x ＋54＝0的两个根. (河南省中考试题)10.如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与P A 相切于点C . (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切;(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC ＝4，求弦CE 的长.(武汉市中考试题)CCABDE11.如图，直线y ＝43x ＋4交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，⊙O ′过A ，O 两点.(1) 如图1，若⊙O ′交AB 于点C ，当O ′在OA 上时，求弦AC 的长; (2) 如图2，当⊙O ′与直线l 相切于点A 时，求圆心O ′的坐标;(3) 当O ′A 平分△AOB 的外角时，请画出图形，并求⊙O ′的半径的长.12.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝d ，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC ＝AB ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E . 求AE 的长. (四川省竞赛试题)C专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接OD ，则~ODE CBE ∆∆例2、（1）AC =AB = （2）提示：若PA 是⊙O 的切线，则PA ⊥AO ，又BO ⊥AO ，得PA ∥BD ，PB ADBC DC∴=，9030AOD OAC ∠=︒∠=︒，， 120AOC ∠=︒，22AD OD DC ∴==，2PB BC ∴=，即当2PB BC =时，PA 是 ⊙O 的切线例3、 提示（1）证明~PFA PBE ∆∆ （2）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立例4、（1）略 （2）AF AP AN AD ≠，理由如下：假设AF APAN AD≠，则MN ∥CD 。
个性化练习【培优5】直线与圆位置关系
直线与圆位置关系培优21、（2011宁波市，11，3分）如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD 的中心，O1O2垂直AB与P点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．5次C．6次D．7次2、如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则⋂DE的长度是（）A．()9090Rx-πB．()9090Ry-πC．()180180Rx-πD．()180180Ry-πEPABCD第10题图3、 （2011江苏无锡，27，10分）(本题满分10分)如图，已知O (0，0)、A (4，0)、B (4，3)。
动点P 从O 点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB 的边OA 、AB 、BO 作匀速运动；动直线l 从AB 位置出发，以每秒1个单位的速度向x 轴负方向作匀速平移运动。
若它们同时出发，运动的时间为t 秒，当点P 运动到O 时，它们都停止运动。
(1)当P 在线段OA 上运动时，求直线l 与以点P 为圆心、1为半径的圆相交时t 的取值范围；(2)当P 在线段AB 上运动时，设直线l 分别与OA 、OB 交于C 、D ，试问：四边形CPBD 是否可能为菱形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l 的出发时间，使得四边形CPBD 会是菱形。
4、如图，AB 为圆O 的直径，在圆O 上取异于A 、B 的一点C ，并连接BC 、AC ．若想在AB 上取一点P ，使得P 与直线BC 的距离等于AP 长，判断下列四个作法何者正确？A ．作AC 的中垂线，交AB 于P 点B ．作∠ACB 的角平分线，交AB 于P 点C ．作∠ABC 的角平分线，交AC 于D 点，过D 作直线BC 的并行线，交AB 于P 点D ．过A 作圆O 的切线，交直线BC 于D 点，作∠ADC 的角平分线，交AB 于P 点y O xA B5、如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设CD、CE的长分别为x、y，线段ED 的长为z，则z（x+y）= .6、如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为cm.（精确到0.1cm）图①图②7、如图，割线与相交于、两点，为上一点，为的中点，交于，交于，。
初三数学培优之直线与圆的位置关系(2)
初三数学培优之直线与圆的位置关系（2）阅读与思考和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆. 运用与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相关问题时有广泛的应用.1．如图1，以⊙I 为△ABC 的内切圆，则有：（1）AE =AF =a s -，BF =BD =b s -，CD =CE =c s -； （2）∠B +∠DIF =∠C +∠DIE =∠A +∠EIF =180°.这里BC =a ，CA =b ，AB =c ，s =12（a +b +c ）.2．如图2，设⊙I 为Rt △ABC 的内切圆，则有： （1）四边形IDCE 是正方形； （2）内切圆半径r =AC +BC －AB2.3．如图3，设⊙O 为四边形ABCD 的内切圆，则有；AB +CD =AD +BC .CB图1 图2 图3例题与求解【例1】 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点.若BC =2，AC =3，则A E ·EB = .（全国初中数学联赛试题）解题思路：P 为Rt △ABC 内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解.P E BCAOEDC例1题图 例2题图【例2】如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为（ ）A ．3∶ 4B ．4∶ 5C ．5∶ 6D ．6∶ 7（杭州市中考试题）解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字母或赋值.【例3】如图，已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB 于F.求证：F是△CDE的内心.（全国初中数学联赛试题）解题思路：即要证F为△CDE角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关的角的性质.ADFBC E【例4】如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI.求证：AB+AC=2BC.（四川省竞赛试题）解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系.【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC、△ACD、△BCD 角平分线的交点.求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2.（武汉市选拔赛试题）解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等.故通过证交角等于90°的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等.B【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与AB 和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G . 求∠DEF 的度数.（浙江省竞赛试题）解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键.GFA BEDC能力训练A 级1．如图，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF 、BE 的长是方程x 2－13x +30=0的两根，则S △ABC 的值是 . （泰州市中考试题）F（第1题图） （第2题图） （第3题图）2．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，半径r =2，则AC = . （杭州市中考试题） 3．如图，已知直线6+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上可以移动的点，且点P 在点A 的左侧，PM ⊥x 轴，交直线6+-=x y 于点M . 有一个动圆O ′，它与x 轴、直线PM 和直线6+-=x y 都相切，且在x 轴上方.当⊙O ′与y 轴也相切时，点P 的坐标是 .（青岛市中考试题）4．如图，已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点（四川省中考题）CC（第4题图） （第5题图）5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 过点A 且和BC 相切于点D ，和AB 、AC 分别交于点E 、F .若BD =AE ，且BE =a ，CF =b ，则AF 的长为（ ）A ．1+52 aB ．1+32 aC ．1+52bD ．1+32b6.若0°＜α＜90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的△ABC 的内切圆半径r 与外接圆半径R 之和是（ ） （安徽省竞赛试题）A ．sin α+cos α2B ．tan α+cot α2C ．2sin αcos αD ．1sin α+cos α7．如图，设AD 是△ABC 的中线，△ABD 、△ADC 的外心分别为E 、F ，直线BE 与CF 交于点G . 若DG =12BC ，求证：∠ADG =2∠ACG .（“我爱数学”夏令营竞赛试题）8．如图，BC 是⊙O 的直径，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、P .过C 点的切线与AD 交于点D .连结AO 、DO .（1）求证：△ABO ∽△OCD ；（2）若AB 、CD 是关于x 的方程x 2－52（m －1）x +（m －1）2=0的两个实数根，且S △ABO +S △OCD =20，求m 的值.OBDCPA（第7题图） （第8题图） （第9题图）9．如图，以坐标原点O 为圆心，6为半径的圆交y 轴于A 、B 两点，AM 、BN 为⊙O 的切线，D 为切线AM 上的一点（D 与A 不重合），DE 切⊙O 于点E ，与BN 交于点C ，且AD ＜BC . 设AD =m ，BC =n .（1）求m ·n 的值；（2）若m ，n 是方程2t 2－30t +k =0的两根，求：①△COD 的面积；②CD 所在直线的解析式；③切点E 的坐标.（辽宁省中考题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙O n为n个（n≥2）相等的圆，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2与⊙O3相外切，…，⊙O n－1与⊙O n相外切，⊙O1，⊙O2，…，⊙O n都与AB相切，且⊙O1与AC相切，⊙O n与BC相切.求这些等圆的半径r（用n表示）.（河北省竞赛试题）AF G（第10题图）（第11题图）11．如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3、△A2A3A4、△A3A4A1的内心分别是I1、I2、I3.求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°.（四川省竞赛试题）B级1．如图，AC⊥BC，BC=a，AC=b，⊙O的半径为r，那么满足关系式r=aba+b的图形是.（把正确的所有图形的序号填在横线上）BACAB①②③④2．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高. O1、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则O1O2= .（太原市竞赛试题）3．如图，半圆与两直角边相切，且圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上.若直角三角形面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r= .（五城市联赛试题）4．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O 的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP·PC为定值；④P A为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①④BBC（第3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）5．如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC 、CD 、DA 相切，若BC =2，DA =3，则AB 的长（ ）A ．等于4B ．等于5C ．等于6D ．不能确定（全国初中数学联赛试题）6．如图，在矩形ABCD 中，连结AC .如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于点E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为（ ）A ．12B ．23C ．34 D ．不能确定，与AB 、BC 的长度有关（《学习报》公开赛试题） 7．一条直线DE 平分△ABC 的周长，同时直线DE 又平分了△ABC 的面积. 求证：直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O .（全国初中数学联赛试题）8．如图，AB 、BC 、CD 分别与圆相切于E 、F 、G ，AB =BC =CD . 连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF. 求证：PF ⊥BC . （江苏省竞赛试题）BD BFPG A E C（第8题图） （第9题图）9．如图，在△ABC 中，CH 为高，R 、S 分别为△ACH 和△BCH 的内切圆与CH 的切点.若AB =1995，AC =1994，BC =1993，则RS 可表示成mn，其中m ，n 是互质的正整数.求m +n 的值.（美国中学生数学邀请赛试题）10．如图，△ABC 的三边满足关系式BC =12（AB +AC ），O 、I 分别为△ABC 的外心、内心.∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H .求证：（1）AI =BD ；（2）OI =12AE.（湖北省选拔赛试题）KC（第10题图） （第11题图） （第12题图）11．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （－2，0）、B （8，0）.以AB 为直径的半圆P 与y 轴交于点M ，以AB 为一边作正方形ABCD .（1）求C 、M 两点的坐标；（2）连接CM ，试判断直线CM 是否与⊙P 相切？说明你的理由；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得△QMC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（南宁市中考试题）12．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，与AB 、AC 两边分别切于D 、E 两点，连结DE . 点P 是劣弧 ⌒DE 上的一个动点（不与D 、E 重合），过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，PK ⊥BC 于K ，PK 交DE 于L 点.求证：（1）PL 2=PM ·PN ；（2）PK =PM +PN .（黄石二中理科实验班自主招生考试试题）。
直线与圆的位置关系综合大题训练含详解
4．自点 发出的光线 射到 轴上，被 轴反射，其反射光线所在直线与圆 相切，求光线 所在直线的方程．
5．已知圆心为 的圆经过三点 ，
（1）求此圆的方程和点 坐标；
（2）求直线 被圆 所截得的弦长。
6．已知圆 ，直线 过点 ．
（Ⅰ）若直线 与圆 相切，求直线 的方程；
试题分析：（1）判断直线与圆的位置关系需判定圆心到直线的距离与圆的半径比较大小；（2）直线与圆相交的弦长问题求解时常利用圆的半径，弦长的一半，圆心到直线的距离构成的直角三角形勾股定理求解
试题解析：（1） 圆方程化为标准方程
∴ 圆C的圆心 ，半径
∴ 圆心 到直线 ： 的距离：
∴ 直线 与圆 相交．
（2）设圆心到直线 的距离为 ，则 ，
7．（1） ；（2） 和 .
【分析】
（1）由圆心到直线的距离等于半径，求得 ，即可求得圆的标准方程；
（2）可分当直线的斜率存在与不存在，两种情况讨论，结合直线与圆相切，即可求得切线的方程.
【详解】
（1）由题意，以点 为圆心，与直线 相切，
圆心到直线的距离等于半径，即 ，即 ，
所以圆 的方程为 .Байду номын сангаас
（2）当直线的斜率存在时，设方程为 ，
直线与圆的位置关系综合大题训练
1．分别求实数 的取值范围，使得直线 与圆 ：
（1）相交；
（2）相切；
（3）相离.
2．已知直线 过点M（﹣3，3），圆 ．
（Ⅰ）求圆C的圆心坐标及直线 截圆C弦长最长时直线 的方程；
（Ⅱ）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．
3．已知圆 : ,直线 : ．
专题12.4 直线与圆的位置关系(专题训练卷)(解析版)
专题12.4直线与圆的位置关系（专题训练卷）一、单选题A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D 【解析】设圆的方程为()()2211(0)x y m m -+-=>，且圆过原点，即()()220101(0)m m -+-=>，得2m =，所以圆的方程为()()22112x y -+-=.故选D.A ．()2221x y +-= B ．()2221x y ++= C ．()()22131x y -+-= D ．()2231x y +-=【答案】A 【解析】因为圆心在y 轴上，所以可设所求圆的圆心坐标为()0,b ，则圆的方程为22()1x y b +-=，又点()12，在圆上，所以()2121b +-=，解得2b =. 故选：AA ．250x y --=B 50y ++=C 5y +=D ．250x y ++=【答案】A 【解析】因为点()2,1M -在圆225x y +=上，所以1k 2OM =-，因此切线斜率为2，故切线方程为()y 12x 2+=-，整理得2x y 50.--= A ．-9 B ．1 C ．1或-2 D ．1或-9【答案】D 【解析】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为()1,2-，因为直线:210l x y a -+-=与圆()()22129x y -++=相交所得弦长为4，所以22492⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以2890a a +-=， 解得1a =或9a =-． 故选：D. A ．相切 B ．内含C ．相交D ．外离【答案】A 【解析】圆1C 的圆心为()1,4， 11r = 圆2C 的圆心为()5,1， 26=r所以12215C C r r ===-所以圆1C 与2C 的位置关系是内切 故选: A A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】A 【解析】设圆心(),C x y 1=，化简得()()22341x y -+-=，所以圆心C 的轨迹是以(3,4)M 为圆心，1为半径的圆，所以||1||OC OM +≥22345+=，所以||514OC ≥-=， 当且仅当C 在线段OM 上时取得等号， 故选：A.A ．()()22195x y -++= B ．()()2211125x y -+-= C ．()()22115x y -+-= D ．()()221925x y -++=【答案】C 【解析】设圆的半径为r ，则242655m m r -+--==，则15m r =⎧⎪⎨=⎪⎩ 即圆的标准方程为()()22115x y -+-=， 故选：C.A 632b ≤<B 33b <C 63b ≤<D 36b ≤<【答案】A 【解析】如图，取AB 的中点为C ，则OC AB ⊥且2OA OB OC +=，故222OC AC ≥⨯即22292OC AC OC ≥=⨯-， 所以3OC ≥，故()2200311b -+≥+-6b ≥因为0b >，所以6b ≥又直线和圆是相交的，故()2200311b OC -+=<+-，所以32b <，故选：A.A ．12k =，4b =- B ．12k =-，4b = C ．12k =，4b =D ．12k =-，4b =-【答案】A 【解析】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称， 故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，且直线20x y b ++=过圆心()2,0， 所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=，所以12k =，4b =-. 故选：AA ．53-或35 B ．32-或23- C ．54-或45-D ．43-或34-【答案】D 【解析】点A （﹣2，﹣3）关于y 轴的对称点为A ′（2，﹣3），故可设反射光线所在直线的方程为：y +3＝k （x ﹣2），化为kx ﹣y ﹣2k ﹣3＝0． ∵反射光线与圆（x +3）2+（y ﹣2）2＝1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d 232231k k k ----==+1，化为24k 2+50k +24＝0， ∴k 43=-，或k 34=-． 故选：D ． 二、多选题A ．5+22B ．522-+C ．522-D ．522--【答案】AC 【解析】由题得圆221:(3)(4)25C x y -+-=的圆心为(3,4),半径为5；圆2222:(1)(2)(0)C x y r r -+-=>的圆心为(1,2)，半径为r ；由题得22(31)(42)|5|,22|5|,r r r -+-=-∴=-=522±. 故选：ACA ．B ．C ．D ．【答案】AD 【解析】圆222()x a y a ++=的圆心为(,0)a -，半径为a则圆心(,0)a -到直线0ax y a -+=的距离为221a a d a -+=+221a a a a -+<+2111a a -<+，即22121a a a -+<+，当0a >时，恒成立，可知A 正确，B 不正确；当0a <时，不等式不成立，说明直线与圆相离，但是直线的斜率为负数，所以C 不正确，D 正确， 故选：ADA ．2x =B ．350x y -+=C ．34100x y -+=D ．2y =【答案】AC 【解析】当斜率不存在时：2x =，d R =成立，当斜率存在时，设直线方程为：4(2)y k x -=-，即420kx y k -+-=，2421-+k k，因为直线与圆相切， 24221-=+k k ，解得34k =， 所以直线方程为：34100x y -+=.综上：直线方程为：34100x y -+=或2x =.故选：ACA ．()2,0B ．()0,2C ．()2,0-D ．()0,2-【答案】AD 【解析】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC ∆的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，22||||(1)(1)10MC MA x y ∴==∴++-=，①由()4,0A -，()0,4B ，ABC ∆重心为44(,)33x y -+， 代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=，② 由 ①②可得2,0x y ==或 0,2x y ==-. 故选:AD 三、单空题【答案】()1,3- 【解析】由题意得，()2222416442210D E F m m m +-=+--+> 即2230,(3)(1)0m m m m --<∴-+<，13m ∴-<<，故答案为：()1,3-.【答案】()3,31,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭【解析】圆心为(),0O a ，半径30,2r a =><，由于过点A 可作两条切线，所以A 在圆外，即，解得()3,31,2a ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭.【答案】20x y +-=或20x y -+= 【解析】圆C 的圆心为坐标原点()0,0C ，半径长为42r =由题意可知，圆心C 到直线l 的距离d 满足52d r +=2d ∴=.①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为0x =，此时圆心在直线l 上，不合乎题意； ②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=， 由点到直线的距离公式可得221d k ==+1k =±.综上所述，直线l 的方程为20x y +-=或20x y -+=. 故答案为：20x y +-=或20x y -+=. 四、双空题【答案】()2,2 1 【解析】 因为A 的方程为()()22221x y -+-=，所以其圆心A 坐标为()2,2，半径为1 故答案为：()2,2；1【答案】2 1 【解析】因为直线1y kx =+与圆222:()(0)C x a y r r -+=>相交于A ，B ，若当1k =-时，||AB 有最大值4， 所以直线1y x =-+过圆心(,0)C a ，24r = 所以 01a =-+，得1a =，2r = ， 故答案为：2；1【答案】3π或23π【解析】若直线l 与圆相切，则l 的斜率肯定存在，设l ：2y kx =+，则1d ==，所以k =l 的倾斜角为3π或23π；易得当OAB 为直角等腰三角形时面积最大，所以AB =故答案为：3π或23π.[]16,4- 【解析】圆的标准方程为22(2)2x y -+=，圆心为(2,0)C，半径为r =若在圆C 上存在两点A ，B ，在直线l 上存在一点P ，使得90APB ∠=︒，过P 作圆的两条切线,PM PN （,M N 为切点），则90MPN ∠≥︒，而当CP l ⊥时，MPN ∠最大，只要此最大角90≥︒即可，此时，圆心C 到直线l 的距离为65m d CP +==．所以r d =≥，解得164m -≤≤．；[16,4]-． 五、解答题（1）当1a =时，求直线l 与圆C 相交所得弦长； （2）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值． 【答案】(1) 弦长为4；(2) 0 【解析】（1）当1a =时，直线l ：20x y +-=，圆C ：()()22114x y -+-=． 圆心坐标为()1,1，半径为2．圆心()1,1在直线20x y +-=上，则直线l 与圆C 相交所得弦长为4.（2）由直线l 与圆C 相切，则圆心(1,)a 到直线20ax y +-=的距离等于半径，2=，解得：0a =．（Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线340x y n +-=与圆C 交于A ，B 两点，且6AB =，求n 的值．【答案】（Ⅰ）22(4)(2)25x y -++=；（Ⅱ）16n =-或24．【解析】（Ⅰ）∵圆心为(4, 2)M -的圆C 经过点(1, 2)P ， ∴圆C5．∴圆C 的标准方程为22(4)(2)25x y -++=．（Ⅱ）由（Ⅰ），知圆C 的圆心为(4, 2)M -，半径为5． 设圆C 的圆心M 到直线340x y n +-=的距离为d ，则45n d -==．由题意，得222()52ABd +=．又∵6AB =，∴2(4)92525n -+=．∴16n =-或24．（1）若直线l 过点P 且被圆C截得的线段长为l 的方程； （2）求过P 点的圆C 的弦的中点的轨迹方程．【答案】（1） x ＝0或3x －4y ＋20＝0；（2）x 2+y 2+2x ﹣11y +30＝0 【解析】（1）圆C ：22412240x y x y ++-+=，圆心为(2,6)C -，半径r ＝4，∵直线l被圆C截得的线段长为∴圆心C到直线l的距离d2，若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝0，此时圆心到直线l的距离为2，符合题意；若直线l斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为y＝kx+5，即kx﹣y+5＝0，2=，解得k＝34，∴直线l的方程为y＝34x+5，即3x－4y＋20＝0 综上，直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0．（2）设所求轨迹上任意一点为M（x，y），则k CM＝62yx-+（x≠﹣2），k PM＝5yx-（x≠0），整理得x2+y2+2x﹣11y+30＝0，经验证当x＝﹣2时，弦的中点为（﹣2，5）或（﹣2，6），符合上式，当x＝0时，弦的中点为（0，6），符合上式，∴过P点的圆C弦的中点的轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30＝0．（1）求b的值；（2）当以AB为直径的圆的面积最小时，求直线AB的方程.【答案】（1）2；（2）2y=.【解析】联立212y kx by x=+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y得2220x kx b--=.设1122(,),(,)A x yB x y，由韦达定理得12122,2x x k x x b+==-，因为以AB为直径的圆过坐标原点，所以0OA OB⋅=，得12120x x y y+=，由于,A B两点在直线y kx b=+上，所以22 121212111212()()(1)() x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b +=+++=++++22222(1)220b k k b b b b =-+++=-=所以0b =或2b =当0b =时，直线AB 过坐标原点，不符合条件，故2b =；（2）由（1）知，21212()224y y k x x b k +=++=+，则AB 的中点坐标M 为2(,2)k k +，所以圆的半径||r MO === ， 当且仅当0k =时，r 取得最小值2，此时，直线的方程为2y =.（1）平行于l 的直线1l 与圆C 相切，求直线1l 的方程； （2）直线l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆C 上，求ABP △的面积的取值范围.【答案】（1）0x y +=或40x y +-=；（2）2,6.【解析】（1）∵ l ∥1l ，∴ 设直线1l ：0x y k ++=，∵ 1l 与圆C 相切，∴ 圆心(2,0)C 到直线1l 的距离d等于r = ∴d r ===0k =或4k =-，∴ 直线1l ：0x y +=或40x y +-=（2）∵ 直线l 分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，∴ (2,0)A -、(0,2)B -，则AB =又圆心(2,0)C 到直线l的距离d ==∴ min max 1122ABP AB h S AB h ∆⋅⋅≤≤⋅⋅即11()()22ABP AB d r S AB d r ∆⋅⋅-≤≤⋅⋅+，∴ 26ABP S ∆≤≤∴ ABP ∆的面积的取值范围：2,6.（1）求圆C 的方程；【答案】（1）224x y +=；（2）存在，()4,0N【解析】（1）设圆心()5,02C a a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，∵直线l ：43100x y ++=，半径为2的圆C 与l 相切， ∴d r =，即41025a +=，解得：0a =或5a =-（舍去），则圆C 方程为224x y +=；（2）当直线AB x ⊥轴，则x 轴必平分ANB ∠， 此时N 可以为x 轴上任一点，当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为()()10y k x k =-≠，(),0N t ，()11,A x y ，()22,B x y ， 由()2241x y y k x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩得()22221240k x k x k +-+-=，经检验>0∆， ∴212221k x x k +=+，212241k x x k -=+，若x 轴平分ANB ∠，设N 为(),0t ， 则AN BN k k =-，即()()1212110k x k x x t x t --+=--，整理得：()12122(1)20x x t x x t -+++=，即()2222242(1)2011k k t t k k -+-+=++，解得：4t =，综上，当点()4,0N ，使得x 轴平分ANB ∠.。
直线与圆的位置关系练习题(含答案)
4题 5题 《直线与圆的位置关系》练习题1.R t △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C 为圆心， 为半径的⊙C 与直线AB 相切；以C 为圆心半径为4作⊙C ，则⊙C 与直线AB 的位置关系为 ；若⊙C 与直线AB 相交，则⊙C 的半径R 的取值范围为 。
2.一条直线到半径为3的圆的圆心距为方程x 2-4x+3=0的一个根，则这条直线与这个圆的位置关系是 。
3.已知∠AOB 的边OB 上有一点M ，⑴若∠AOB=45°，OM=6，①则以M 为圆心，4为半径的⊙M 与OA 的位置关系是 ；②若以M 为圆心的⊙M 与OA 相切，则半径R= ；③若以M 为圆心的⊙M 与OA 相交，则半径R 的取值范围为 。
⑵若∠AOB=60°，以M 为圆心，4cm 长为半径的⊙M 恰好与OA 相切，则OM= 。
⑶若∠AOB=30°，OM=1，⊙M 的半径R=4，⊙M 的圆心M 沿射线OB 方向移动，当移动的距离 为 时，⊙M 与直线OA 恰好相切。
⑷若∠AOB=20°，OM=4，以M 为圆心，2 3 为半径作⊙M ，此时⊙M 与直线OA ，若射线OA 绕点O 顺时针方向旋转，当旋转角度为 时，⊙M 与直线OA 第一次相切。
4.如图,⊙O 的半径为4cm,点O 到直线l 的距离为6cm,直线l 从右向左以1cm/s 的速度平移①当平移的时间t=8s 时，⊙O 与直线l 的位置关系为 ；②当平移的时间t= 时，⊙O 与直线l 相切； ③若⊙O 与直线l 有交点，则移动的时间t 的取值范围为 。
5.如图，直线AB 、CD 交于点O ，M 为CD 上一点，MO=10cm, ∠AOC=30°，⊙M的半径R=2cm ，⊙M 沿着CD 方向以2cm/s 的速度运动，①当运动时间t 为 秒时，⊙M 与直线AB 相切；②若⊙M 与直线AB 相交，则运动时间t 的取值范围为 。
直线和圆的位置关系练习题(带答案)
直线和圆的地位关系演习题班别：____________ 姓名：_____________ 座号：_____ 成绩：_____________一.选择题：(每小题5分,共50分,每题只有一个准确答案)1．已知⊙O的半径为10cm,假如一条直线和圆心O的距离为10cm,那么这条直线和这个圆的地位关系为（）A. 相离B. 相切C. 订交D. 订交或相离2．如右图,A.B是⊙O上的两点,AC是⊙O∠B=70°,则∠BAC等于（）A. 70°B. 35°C. 20°D. 10°3．如图,PA切⊙O于A,PB切⊙O于B,OP交⊙O下列结论中,错误的是（）A. ∠1=∠2B. PA=PBC. AB⊥OPD. 2PA PC·PO4．如图,已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°,过C点的切线PC与AB的延伸线交于P,PC=5,则⊙O的半径为（）A.335 B.635 C. 10 D. 55．已知AB是⊙O的直径,弦AD.BC订交于点P,那么CD︰AB）A. 正弦B. 余弦C. 正切D. 余切6．A.B.C是⊙O上三点,AB⌒的度数是）A. 15°B. 25°C. 30°D. 40°8．心坎与外心重合的三角形是（）A. 等边三角形B.C. 不等边三角形D. 外形不肯定的三角形9．AD.AE和BC分离切⊙O于D.E.F,假如AD=20,则△ABC的周长为（）A. 20B. 30C. 40D.2135二.填空题：(每小题5分,共30分)11．⊙O的两条弦AB.CD订交于点P,已知AP=2cm,BP=6cm,CP︰PD =1︰3,则DP=___________．BDACEF（第3题图）（第4题图）DCBAP12．AB 是⊙O 的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,P 是BA 的延伸线上的点,贯穿连接PC,交⊙O 于F,假如PF=7,FC=13,且PA ︰AE ︰EB = 2︰4︰1,则CD=_________． 13．从圆外一点P 引圆的切线PA,点A 为切点,割线PDB 交⊙O 于点D.B,已知PA=12,PD=8,则=∆∆DAP ABP S S :__________．14．⊙O 的直径AB=10cm,C 是⊙O 上的一点,点D 等分BC ⌒,DE=2cm,则AC=_____．15．如图,AB 是⊙O的直径,∠E=25°,∠DBC=50°,则∠CBE=________．16．点A.B.C.D 在统一圆上,AD.BC 延伸线订交于点Q,AB.DC 延伸线订交于点P,若∠A=50°,∠P=35°,则∠Q=________．三.解答题：(共7小题,共70分,解答应写出文字解释.证实进程或演算步调) 17．如图,MN 为⊙O 的切线,A 为切点,过点A 作AP⊥MN,交⊙O 的弦BC 于点P. 若PA=2cm,PB=5cm,PC=3cm,求⊙O 的直径．18．如图,AB为⊙O 的直径,BC 切⊙O 于B,AC 交⊙O 于P,CE=BE,E 在BC 上. 求证：PE 是⊙O 的切线．,BE//AC,交CD 于E,过A 点的切线交DC 的延伸线于,M.N 分离为AB ⌒.CD ⌒的中点,求证：∆PEF 是等腰三角形． 21．ABCD 是圆内接四边形,过点C 作DB 的平行线交AB 的延伸线于E 点, 求证：BE·AD=BC·CD．22．已知∆ABC 内接于⊙O,∠A 的等分线交⊙O 于D,CD 的延伸线交过B 点的切线于E ．求证：CEDE BCCD 22=．23．如图,⊙O1与⊙O2交于A.B 两点,过A 作⊙O2的切线交⊙O1于C,直线CB 交⊙O2于D,直线DA 交⊙O1于E,求证：CD2 =CE2＋DA·DE．参考答案基本达标验收卷一.选择题：ABCDQP答案 B C B D D A A B C C二.填空题：1. 订交或相切2. 13. 54. 35°5. 251+6. 667. 28. 109. 3 10. 6三.解答题：1. 解：如右图,延伸AP 交⊙O 于点D.由订交弦定理,知PC PB PD PA ··=. ∵PA=2cm,PB=5cm,PC=3cm,∴2PD=5×3. ∴PD=7.5. ∴AD=PD+PA=7.5+2=9.5. ∵MN 切⊙O 于点A,AP⊥MN, ∴AD 是⊙O 的直径.∴⊙O 的直径是9.5cm.2. 证实：如图,贯穿连接OP.BP.∵AB 是⊙O 的直径,∴∠APB=90°. 又∵CE=BE,∴EP=EB. ∴∠3=∠1. ∵OP=OB,∴∠4=∠2. ∵BC 切⊙O 于点B,∴∠1+∠2=90°.∠3+∠4=90°.又∵OP 为⊙O 的半径,∴PE 是⊙O 的切线.3.（1）△QCP 是等边三角形.证实：如图2,贯穿连接OQ,则CQ⊥OQ. ∵PQ=PO,∠QPC=60°, ∴∠POQ=∠PQO=60°. ∴∠C=︒=︒-︒603090.∴∠CQP=∠C=∠QPC=60°. ∴△QCP 是等边三角形. （2）等腰直角三角形. （3）等腰三角形. 4. 解：（1）PC 切⊙O 于点C,∴∠BAC=∠PCB=30°. 又AB 为⊙O 的直径,∴∠BCA=90°. ∴∠CBA=90°.（2）∵PCB PCB CBA P ∠=︒=︒-︒=∠-∠=∠303060,∴PB=BC. 又362121=⨯==AB BC ,OP N AB D OACP 123 4∴9=+=AB PB PA . 5. 解：（1）贯穿连接OC,证∠OCP=90°即可. （2）∵∠B=30°,∴∠A=∠BGF=60°. ∴∠BCP=∠BGF=60°. ∴△CPG 是正三角形. ∴34==CP PG .∵PC 切⊙O 于C,∴PD·PE=48)34(22==PC .又∵36=BC ,∴12=AB ,33=FD ,3=EG . ∴32=PD .∴3103832=+=+PE PD .∴以PD.PE 为根的一元二次方程为0483102=+-x .（3）当G 为BC 中点时,OD⊥BC,OG∥AC 或∠BOG=∠BAC……时,结论BO BE BG ·2=成立. 要证此结论成立,只要证实△BFC∽△BGO 即可,凡是能使△BFC∽△BGO 的前提都可以. 才能进步演习1. CD 是⊙O 的切线;BA DB CD ·2;︒=∠90ACB ;AB=2BC;BD=BC 等. 2. （1）①∠CAE=∠B,②AB⊥EF,③∠BAC+∠CAE=90°,④∠C=∠FAB,⑤∠EAB=∠FAB. （2）证实：贯穿连接AO 并延伸交⊙O 于H,贯穿连接HC,则∠H=∠B. ∵AH 是直径,∴∠ACH=90°.∵∠B =∠CAE,∴∠CAE+∠HAC=90°.∴EF⊥HA. 又∵OA 是⊙O 的半径, ∴EF 是⊙O 的切线. 3. D.4. 作出三角形两个角的等分线,其交点就是小亭的中间地位.5. 略.6.（1）假设锅沿所形成的圆的圆心为O,贯穿连接OA.OB . ∵MA.MB 与⊙O 相切,∴∠OAM=∠OBM=90°.又∠M=90°,OA=OB,∴四边形OAMB 是正方形. ∴OA=MA.量得MA 的长,再乘以2,就是锅的直径.（2）如右图,MCD 是圆的割线,用直尺量得MC.CD 的长,可求得MA 的长.∵MA 是切线,∴MD MC MA ·2=,可求得MA 的长. 同上求出锅的直径. 7. 60°.8. （1）∵BD 是切线,DA 是割线,BD=6,AD=10,由切割线定理,得 DA DE DB ·2=.∴6.310622===DA DB DE . （2）设是上半圆的中点,当E 在BM 上时,F 在直线AB 上;E 在AM 上时,F 在BA 的延伸线上;当E 鄙人半圆时,F 在AB 的延伸线上,贯穿连接BE. ∵AB 是直径,AC.bD 是切线,∠CEF=90°,∴∠CAE=∠FBE,∠DBE=∠BAE,∠CEA=∠FEB. ∴Rt△DBE∽Rt△BAE,Rt△CAE∽Rt△FBE. ∴AEBE BADB =,AEBE ACBF =.依据AC=AB,得BD=BF.。
人教版 九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 培优训练(含答案)
人教版九年级数学24.2 点和圆、直线和圆的位置关系培优训练一、选择题（本大题共8道小题）1. 已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为()A．相交B．相切C．相离D．无法确定2. 2019·武汉江岸区期中点P到直线l的距离为3，以点P为圆心，以下列长度为半径画圆，能使直线l与⊙P相交的是()A．1 B．2 C．3 D．43. 2020·武汉模拟在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以点A为圆心，4.8为半径的圆与直线BC的公共点的个数为()A．0 B．1 C．2 D．不能确定4. 如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与图中7×4方格中的格点相连，连线能够与该圆弧相切的格点有()A．1个B．2个C．3个D．4个5.如图，AP为⊙O的切线，P为切点，若∠A＝20°，C、D为圆周上两点，且∠PD C＝60°，则∠OBC等于( )A. 55°B. 65°C. 70°D. 75°6. 如图，在△MBC中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，MB＝2 3，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为()A. 2B. 3 C．2 D．37. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为()A．5 B．4 2 C．4.75 D．4.88. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，则光盘的直径是()A．3 B．3 3 C．6 D．6 3二、填空题（本大题共8道小题）9. 直角三角形的两条直角边分别是5和12，则它的内切圆半径为.10. 如图，P A，PB是☉O的切线，A，B为切点，点C，D在☉O上.若∠P=102°，则∠A+∠C=.11. 设⊙O 的半径为3，点O 到直线l 的距离为d ，若直线l 与⊙O 至少有一个公共点，则d 的取值范围是________．12. 如图，AB是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC ，垂足为E ，要使DE是⊙O 的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．13. 如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是________cm.14. 已知l 1∥l 2，l 1，l 2之间的距离是3 cm ，圆心O 到直线l 1的距离是1 cm ，如果圆O 与直线l 1，l 2有三个公共点，那么圆O 的半径为________cm.15. 如图，AB 是⊙O的直径，OA ＝1，AC 是⊙O 的弦，过点C 的切线交AB 的延长线于点D.若BD ＝2－1，则∠ACD ＝________°.16. 如图所示，在半圆O 中，AB 是直径，D是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，CE ⊥AB 于点E ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ，分别交CE ，CB 于点P ，Q ，连接AC ，有下列结论：①∠BAD ＝∠ABC ；②GP ＝GD ；③点P 是△ACQ 的外心．其中正确的结论是________(只需填写序号)．三、解答题（本大题共4道小题）17. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，⊙A的半径为7，判断⊙A与直线BC 的位置关系，并说明理由．18. 如图，AC是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，且∠APB＝60°.(1)求∠BAC的度数；(2)若PA＝1，求点O到弦AB的距离．19. 已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D.(1)如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，求证：AC平分∠DAB；(2)如图②，当直线l与⊙O相交于点E，F时，求证：∠BAF＝∠DAE.20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O 交于点F ，连接DF ，DC.已知OA ＝OB ，CA ＝CB. (1)求证：直线AB 是⊙O 的切线； (2)求证：∠CDF ＝∠EDC ；(3)若DE ＝10，DF ＝8，求CD 的长．人教版 九年级数学 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 培优训练-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】B2. 【答案】D3. 【答案】B4. 【答案】C[解析] 如图，连接AB ，BC ，作AB ，BC 的垂直平分线，可得点A ，B ，C 所在的圆的圆心为O ′(2，0)．只有当∠O ′BF ＝∠O ′BD ＋∠DBF ＝90°时，BF 与圆相切， 此时△BO ′D ≌△FBE ，EF ＝DB ＝2， 此时点F 的坐标为(5，1)．作过点B ，F 的直线，直线BF 经过格点(1，3)，(7，0)，此两点亦符合要求． 即与点B 的连线，能够与该圆弧相切的格点是(5，1)或(1，3)或(7，0)，共3个．5.【答案】B 【解析】连接OP ，如解图，则OP ⊥AP .∵∠D ＝60°，∴∠C OP ＝120°，∵∠A ＝20°，∠APO ＝90°，∴∠AOP ＝70°，∴∠AOC ＝50°，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝180°－50°2＝65°.解图6. 【答案】C[解析] 在Rt△BCM中，∠MBC＝90°，∠C＝60°，∴∠BMC＝30°，∴BC＝12MC，即MC＝2BC.由勾股定理，得MC2＝BC2＋MB2.∵MB＝2 3，∴(2BC)2＝BC2＋12，∴BC＝2.∵AB为⊙O的直径，且AB⊥BC，∴BC为⊙O 的切线．又∵CD也为⊙O的切线，∴CD＝BC＝2.7. 【答案】D[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，FC，CD.∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴PQ为⊙F的直径．∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD 的长，即CD为⊙F的直径．∵S△ABC ＝12BC·AC＝12CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.8. 【答案】D[解析] 设光盘的圆心为O，连接OA，OB，则OB⊥AB，∠OAB＝12×(180°－60°)＝60°.∵AB＝3，∴OA＝6，OB＝3 3，∴光盘的直径是6 3.故选 D.二、填空题（本大题共8道小题）9. 【答案】2[解析]直角三角形的斜边==13，所以它的内切圆半径==2.10. 【答案】219°[解析]连接AB ，∵P A ，PB 是☉O 的切线， ∴P A=PB. ∵∠P=102°，∴∠P AB=∠PBA=(180°-102°)=39°. ∵∠DAB +∠C=180°，∴∠P AD +∠C=∠P AB +∠DAB +∠C=180°+39°=219°.11. 【答案】0≤d≤312. 【答案】BD ＝CD或AB ＝AC (答案不唯一)[解析] (1)连接OD .要使DE 是⊙O 的切线，结合DE ⊥AC ，只需OD ∥AC ，根据O 是AB 的中点，只需BD ＝CD 即可；(2)根据(1)中探求的条件，要使BD ＝CD ，则连接AD ，由于∠ADB ＝90°，只需AB ＝AC ，根据等腰三角形的三线合一即可．13. 【答案】10 33 如图，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片是△ABC 的外接圆⊙O.连接OB ，OC ，则∠BOC ＝2∠A ＝120°.过点O 作OD ⊥BC 于点D ，则∠BOD ＝12∠BOC ＝60°.∴∠OBD ＝30°，∴OB ＝2OD.由垂径定理，得BD ＝12BC ＝52 cm ，在Rt △BOD 中，由勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即(2OD)2＝OD2＋(52)2，解得OD ＝56 3 cm.∴OB ＝5 33cm ，∴能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是10 33 cm.14. 【答案】2或4 [解析] 设圆O 的半径为r cm 如图①所示，r －1＝3，得r ＝4；如图②所示，r ＋1＝3，得r ＝2.15. 【答案】112.5[解析] 如图，连接OC.∵CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∵BD＝2－1，OA ＝OB ＝OC ＝1，∴OD ＝2，∴CD ＝OD2－OC2＝（2）2－12＝1，∴OC ＝CD ，∴∠DOC ＝45°.∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠OCA ＝12∠DOC ＝22.5°，∴∠ACD ＝∠OCA ＋∠OCD ＝22.5°＋90°＝112.5°.16. 【答案】②③[解析] ∵在半圆O 中，AB 是直径，D 是半圆O 上一点，C 是AD ︵的中点，∴AC ︵＝DC ︵，但不一定等于DB ︵，∴∠BAD 与∠ABC 不一定相等，故①错误． 如图，连接OD ，则OD ⊥GD ，∠OAD ＝∠ODA .∵∠ODA ＋∠GDP ＝90°，∠OAD ＋∠GPD ＝∠OAD ＋∠APE ＝90°，∴∠GPD ＝∠GDP ，∴GP ＝GD ，故②正确． 补全⊙O ，延长CE 交⊙O 于点F .∵CE ⊥AB ，∴A 为FC ︵的中点，即AF ︵＝AC ︵. 又∵C 为AD ︵的中点，∴CD ︵＝AC ︵，∴AF ︵＝CD ︵， ∴∠CAP ＝∠ACP ，∴AP ＝CP . ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACQ ＝90°，∴∠ACP ＋∠PCQ ＝90°，∠CAP ＋∠PQC ＝90°， ∴∠PCQ ＝∠PQC ，∴PC ＝PQ ，∴AP ＝PQ ，即P 为Rt △ACQ 的斜边AQ 的中点， ∴点P 为Rt △ACQ 的外心，故③正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：⊙A 与直线BC 相交． 理由：过点A 作AD ⊥BC 于点D ， 则BD ＝CD ＝8. ∵AB ＝AC ＝10， ∴AD ＝6. ∵6＜7，∴⊙A 与直线BC 相交．18. 【答案】解：(1)∵PA 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ，∴PA ＝PB ，∠PAC ＝90°. ∵∠APB ＝60°，∴△APB 是等边三角形，∴∠BAP ＝60°， ∴∠BAC ＝90°－∠BAP ＝30°.(2)过点O 作OD ⊥AB 于点D ，如图所示，则AD ＝BD ＝12AB.由(1)得△APB 是等边三角形，∴AB＝PA＝1，∴AD＝1 2.在Rt△AOD中，∵∠BAC＝30°，∴OD＝12OA.由勾股定理，得OA2＝OD2＋AD2，即(2OD)2＝OD2＋(1 2)2，∴OD＝36，即点O到弦AB的距离为36.19. 【答案】证明：(1)如图①，连接OC.∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l.又∵AD⊥l，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB.(2)如图②，连接BF.∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF＝90°－∠B.∵∠AEF＝∠ADE＋∠DAE＝90°＋∠DAE，又由圆内接四边形的性质，得∠AEF＋∠B＝180°，∴90°＋∠DAE＋∠B＝180°，∴∠DAE＝90°－∠B，∴∠BAF＝∠DAE.20. 【答案】解：(1)证明：如图，连接OC.∵OA＝OB，AC＝CB，∴OC⊥AB.又∵点C在⊙O上，∴直线AB是⊙O的切线．(2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB，∴∠AOC＝∠BOC.∵OD＝OF，∴∠ODF＝∠OFD.∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC，∴∠BOC＝∠OFD，∴OC∥DF，∴∠CDF＝∠OCD.∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∴∠CDF＝∠EDC.(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF，∴DN＝NF＝4.在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4，∴ON＝OD2－DN2＝3.由(2)知OC∥DF，∴∠OCM＋∠CMN＝180°.由(1)知∠OCM＝90°，∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO，∴四边形OCMN是矩形，∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9，∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.。
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直线与圆的位置关系培优训练
1、如图直线AB ，CD 相交于点O ，∠AOC ＝30°，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，且与点O 的距离为6cm ．如果⊙P 以1cm/s 的速度沿
由A 向B 的方
向移
动，那么 秒种后⊙P
与直线CD 相切．
2、 如图，⊙O 的半径为1，圆心O 在正三角形的边AB 上沿图示方向移动，当⊙O 移动到与AC 边相切时，OA 的长为______．
3、如图，直线y ＝3
3x ＋与x 轴、y 分别相交与A 、B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，圆P 与y 轴相切与点O .若将圆P 沿x 轴向左移动，当圆P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P ′的个数是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ． 5
4、如图，⊙O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连结AO 并延长交⊙O 于点E ，连结EC ．若AB =8，CD =2，则EC 的长为（ ） 2
5、小敏在作⊙O的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：
（1）作⊙O的两条互相垂直的直径，再作OA的垂直平分线交OA于点M，如图1；（2）以M为圆心，BM长为半径作圆弧，交CA于点D，连结BD，如图2．若⊙O的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD的等式是（）
====
6、如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1）。
过点P（0，－7）的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD长的所有可能的整数值有【】A．1个B．2个C．3个D．4个
7、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）
cm cm C．cm
8、如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．
9、在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为
10、如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为上两点，且∠MEB= ∠NFB= 60°，则EM＋FN= ．
11、如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF
是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（）A．4 B．C．6 D．
12、如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（）A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE
13、如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）
14、图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC= ．
15、在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA=45°时，点C的坐标为
16、一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线上．木工师傅想了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm），从点N沿折线NF﹣FM（NF ∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠，无缝隙，
不记损耗），则CN ，AM 的长分别是 ．
17、 如图，P 为正比例函数y ＝23x 上的一个动点，⊙P 的半径为3，
设点P 的坐标为(x ，y )
(1)求⊙P 与直线x ＝2相切时点P 的坐标；
(2)请直接写出⊙P 与直线x ＝2相交、相离时x 的取值范围.
18、如图，形如量角器的半圆O 的直径DE ＝12cm ，形如三角板的△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，BC =12cm.半圆O 以2cm/s 的速度从左向右运动，在运动过程中，点D 、E 始终在直线BC 上.设运动时间为t (s )，当t =0(s )时，半圆O 在△ABC 的左侧，OC ＝8cm.问：当t 为何值时，△ABC 的一边．．
所在的直线与半圆O 所
在的圆相切？
19、如图，⊙O的直径AB=10，C、D是圆上的两点，且．设过点D的切线ED 交AC的延长线于点F．连接OC交AD于点G．（1）求证：
DF⊥AF．（2）求OG的长．
21 ．已知：OA、OB是⊙O的半径，且OA⊥OB，P是射线OA上一点(点A除外)，直线BP交⊙O于点Q，过Q作⊙O的切线交直线OA与点E。
（1）如图①，若点P在线段OA上，求证：∠OBP+∠AQE=45°；
（2）若点P在线段OA的延长线上，其它条件不变，∠OBP与∠AQE之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图②，并写出结论(不需要证明)。
如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．。