直线与圆的位置关系-培优题型
直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
九年级数学竞赛培优专题及答案 20 直线与圆的位置关系1(含答案)
专题20 直线与圆的位置关系（1）阅读与思考圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、相切、相交三种位置关系.直线与圆相切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识，包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、切割线定理等.证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型，证明的基本方法有： 1.利用定义，判断直线和圆只有一个公共点；2.当已知一条直线和圆有一个公共点时，就把圆心和这个公共点连接起来，再证明这条半径和直线垂直；3.当直线和圆的公共点没有确定时，就过圆心作直线的垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论.例题与求解【例1】如图，已知AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于点B ，CD 切⊙O 于点D ，交BA 的延长线于E .若AB ＝3，DE ＝2，则BC 的长为( ) （青岛市中考试题）A ．2B ．3C ．3.5D ．4例1题图 例2题图解题思路：本例包含了切线相关的丰富性质，从C 点看可应用切线长定理，从E 点看可应用切割线定理，又EC 为⊙O 的切线，可应用切线性质，故解题思路广阔.【例2】如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ACB ＝45°，∠ABC ＝120°，⊙O 的半径为1. (1) 求弦AC ，AB 的长;(2) 若P 为CB 的延长线上一点，试确定P 点的位置，使P A 与⊙O 相切，并证明你的结论.（哈尔滨市中考试题）解题思路：第(2)题是考查探索能力的开放性几何题，只要探求得PB 与BC ，或PC 与BC 的关系，或求得PB 或PC 的长，点P 的位置即可确定.E【例3】已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，BT 为⊙O 的切线，B 为切点，P 为直线AB 上一点.过点P 作BC 的平行线交BT 于点E ，交直线AC 于点F .(1) 当点P 在线段AB 上时(如图)，求证：P A •PB ＝PE •PF ；(2) 当点P 为线段BA 的延长线上一点时，第(1)题的结论还成立吗?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. （北京市中考试题）解题思路：本例是“运动型”的开放性问题，要求点在运动变化中，判断原结论是否成立，通过观察、比较、归纳、分析等系列活动，逐步确定应有的结论.【例4】已知：如图1，把矩形纸片ABCD 折叠，使得顶点A 与边DC 上的动点P 重合（P 不与点D ，C 重合），MN 为折痕，点M ，N 分别在边BC ，AD 上.连接AP ，MP ，AM ，AP 与MN 相较于点F ，⊙O 过点M ，C ，P .(1) 请你在图1中作出⊙O （不写作法，保留作图痕迹）；(2)AF AN 与APAD是否相等？请说明理由； (3) 随着点P 的运动，若⊙O 与AM 相切于点M 时，⊙O 又与AD 相切于点H .设AB 为4，请你通过计算，画出这时的图形（图2、图3供参考）.（宜昌市中考试题）解题思路：对于(3)，只依靠AB 的长不能画出图形，需求出关键的量，因为∠C ＝90°，⊙O 过点M ，C ，P ，故将画出矩形的条件转化为求出CP （或MP ）的长.当矩形确定后，依据线段CP 的长，就可确定P 点的位置.TTC MNNN【例5】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AD ，BD 为⊙O 的切线，作DE ∥BC ，交AC 于点E ，连接EO 并延长交BC 于点F .求证：BF ＝FC . （太原市竞赛试题）解题思路：要证明BF ＝FC ，只需证FO ⊥BC 即可，连接OA ，OB ，OD ，将问题转化为证明∠DAO ＝∠EFC .【例6】如图，在等腰△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 交于点P ，M 是△ABC 的内切⊙I 与边BC 的切点，作MD ∥AC ，交⊙I 于点D ，求证：PD 是⊙I 的切线. （全国初中数学联赛试题）解题思路：设⊙I 切AB 于点S ，连接IM ，IS ，ID ，直接证明∠PDI ＝90°困难，不妨证明∠PDI ＝∠PSI ，即证明△PIS ≌△PID .能力训练A 级1. P A ，PB 切⊙O 于A ，B ，∠APB ＝78°，点C 是⊙O 上异于A ，B 的任意一点，则∠ACB ＝__________.2.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E .要使DE ⊥AC ，则△ABC 的边必须满足的条件是__________. （武汉市中考试题）第2题图 第3题图3. 如图，P A 切⊙O 于点A ，C 是AB 上任意一点，∠P AB ＝62°，则∠C 的度数是__________.（荆门市中考试题）P4.直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AD ＋BC ＜DC .若腰DC 上有一点P ，使AP ⊥BP ，则这样的点（ ）A ．不存在B ．只有一个C ．只有两个D ．有无数个5．如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD ，CB 是⊙O 的切线，D ，B 为切点，OC 交⊙O 于点E ，AE 的延长线交BC 于点F ，连接AD ，BD ，给出以下四个结论：①AD ∥OC ；②E 为△CDB 的内心；③FC ＝FE .其中正确的结论是 ( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③6．如图，ABCD 为⊙O 的内接四边形，AC 平分∠BAD 并与BD 相交于E 点，CF 切⊙O 于点C 并与AD 的延长线相交于点F .图中的四个三角形①△CAF ,②△ABC ,③△ABD ,④△BEC ，其中一定相似的是（ ） (连云港市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④第5题图 第6题图 第7题图7．如图，△ABC 内接于⊙O ，AE 切⊙O 于点A ，BC ∥AE ． (1) 求证：△ABC 是等腰三角形；(2) 设AB =10cm ，BC =8cm ，点P 是射线AE 上的点，若以A ，P ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，问这样的点有几个? (南昌市中考试题)8．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以AC 为直径的⊙O 交斜边AB 于点E ，OD ∥AB ． 求证：(1) ED 是⊙O 的切线；(2) 2DE 2＝BE •OD .ACB9．如图，在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的边，且a ，b 是关于x 的一元二次方程x 2＋4(c ＋2)＝(c+4)x 的两个根. 点D 在AB 上，以BD 为直径的⊙O 切AC 于点E ．(1) 求证：△ABC 是直角三角形；(2) 若tan A ＝34时，求AE 的长. (内蒙古中考试题)10．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 边于点D ，E 是边BC 中点，连接DE .(1) 求证：直线DE 是⊙O 的切线；(2) 连接OC 交DE 于点F ，若OF ＝CF ，求tan ∠ACO 的值． (武汉市中考试题)11．如图，⊙O 的半径r ＝25，四边形ABCD 内接于⊙O ，AC ⊥BD 于点H ，P 为CA 延长线上一点，且∠PDA ＝∠ABD ．(1) 试判断PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2) 若tan ∠ADB ＝34，P A ＝43－33AH ，求BD 的长；(3) 在(2)的条件下，求四边形ABCD 的面积. (成都市中考试题)ABC BECB 级1．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，过点C 的切线与AD 的延长线交于点E ．若∠DAB ＝56°， ∠ABC ＝64°，则∠CED ＝__________.2．如图，⊙O 与矩形ABCD 的边AD ，AB ，BC 分别相切于点E ，F ，G ，P 是EG 上的一点，则∠EPF ＝__________. （广州市中考试题）第1题图 第2题图 第3题图3．如图，直线AB ，AC 与⊙O 分别相切于点B ，C 两点，P 为圆上一点，P 到AB ，AC 的距离分别为4cm ，6cm ，那么P 到BC 的距离为__________cm. （全国初中数学联赛试题）4．如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，圆心O 在BC 上，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径等于（ ）A ．abB ．a ＋b 2C ．aba ＋bD ．a ＋b ab5．如图，在⊙O 的内接△ABC 中，∠ABC ＝30°，AC 的延长线与过点B 的⊙O 的切线相交于点D ．若⊙O 的半径OC ＝1，BD ∥OC ，则CD 的长为( )A ．1+33 B ．233 C ．33D ． 2第4题图 第5题图 第6题图6．如图，⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点D ．DF ⊥AC ，垂足为F ，DE ⊥BC ，垂足为E ．给出以下四个结论：①CE ＝CF ；②∠ACB ＝∠EDF ；③DE 是⊙O 的切线；④AD ＝BD ．其中正确的结论是( ) (苏州市中考试题)A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④7．如图，已知AC 切⊙O 于点C ，CP 为⊙O 的直径，AB 切⊙O 于点D ，与CP 的延长线交于点B .若AC ＝PC .求证：(1) BD ＝2BP ；(2) PC ＝3BP . (天津市中考试题)8.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AB ＝12cm ，AD ＝8cm ，BC ＝22cm ，AB 为⊙O 的直径.动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动. P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止.设运动时间为t (s).(1) 当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形?(2) 当t 为何值时，PQ 与⊙O 相切? (呼和浩特市中考试题)9.如图，已知在△ABC 中，∠ABC ＝90°,O 是AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的半圆与AB 交于点E ，与AC 切于点D ，AD ＝2，AE ＝1.求证：S △AOD ，S △BCD 是方程10x 2－51x ＋54＝0的两个根. (河南省中考试题)10.如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与P A 相切于点C . (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切;(2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ，若⊙O 的半径为3，PC ＝4，求弦CE 的长.(武汉市中考试题)CCABDE11.如图，直线y ＝43x ＋4交x 轴于点B ，交y 轴于点A ，⊙O ′过A ，O 两点.(1) 如图1，若⊙O ′交AB 于点C ，当O ′在OA 上时，求弦AC 的长; (2) 如图2，当⊙O ′与直线l 相切于点A 时，求圆心O ′的坐标;(3) 当O ′A 平分△AOB 的外角时，请画出图形，并求⊙O ′的半径的长.12.如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝d ，过点A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC ＝AB ，连接OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于点E . 求AE 的长. (四川省竞赛试题)C专题20 直线与圆的位置关系（1）例1、B 提示：连接OD ，则~ODE CBE ∆∆例2、（1）AC =AB = （2）提示：若PA 是⊙O 的切线，则PA ⊥AO ，又BO ⊥AO ，得PA ∥BD ，PB ADBC DC∴=，9030AOD OAC ∠=︒∠=︒，， 120AOC ∠=︒，22AD OD DC ∴==，2PB BC ∴=，即当2PB BC =时，PA 是 ⊙O 的切线例3、 提示（1）证明~PFA PBE ∆∆ （2）当P 为BA 延长线上一点时，第（1）题的结论仍成立例4、（1）略 （2）AF AP AN AD ≠，理由如下：假设AF APAN AD≠，则MN ∥CD 。
直线与圆的位置关系的培优精编版
E 直线与圆的位置关系的培优1、如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 于D ，E 是AC 上一点。
（1）、若E 是AC 的中点，则DE 是⊙O 的切线，为什么？（2）、若DE 是⊙O 的切线，则E 是AC 的中点，为什么？2. 如图，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD ∥BC ，E 为AB 上一点，DE 平分∠ADC ，CE 平分∠BCD ，以AB 为直径的圆与边CD 有怎样的位置关系？3．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.切线相关拓展1. 已知正三角形的边长为6，则该三角形的外接圆半径，内切圆的半径各为____________。
N2、三角形的三边长分别为5㎝、12㎝、13㎝，则三角形的内切圆的面积为________3、已知三角形的内切圆半径为3cm ，三角形的周长为18cm ，则该三角形的面积为 。
4．已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ）A ．三条中线交点B ．三条高的交点C ．三条角平分线交点D ．三条边的垂直平分线的交点5．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C 为圆心，R 为半径所作的圆与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是6.如图,PA,PB 是⊙O 的两条切线PA=8,过AB 弧上一点C,作切线分别交PA,PB 于D,E,若∠P=40°,求∠DOE .三角形PDE 的周长等于7．如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.8、在Rt △ABC 中，∠A ＝900，点O 在BC 上，以O 为圆心的⊙O 分别与AB 、AC 相切于E 、F ，若AB ＝a ，AC ＝b ，则⊙O 的半径为（ ）A 、abB 、ab b a + C 、b a ab + D 、2b a + . . . .9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以BC上一点O为圆心作⊙O与AB相切于E，与AC相切于C，又⊙O与BC的另一交点为D，则线段BD的长为．10.如图，⊙O内切于R t△ABC，∠C=90O，D、E、F为切点，若∠AOC=120O，则∠OAC= O，∠B= O，若AB=2cm，△ABC的外接圆半径= cm，内切圆半径= cm。
初三数学培优之直线与圆的位置关系(2)
初三数学培优之直线与圆的位置关系（2）阅读与思考和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，和四边形各边都相切的圆叫做四边形的内切圆. 运用与切线相关的知识，可以得到圆的外切三角形、圆的外切四边形的许多重要结论，这些结论在解与切线相关问题时有广泛的应用.1．如图1，以⊙I 为△ABC 的内切圆，则有：（1）AE =AF =a s -，BF =BD =b s -，CD =CE =c s -； （2）∠B +∠DIF =∠C +∠DIE =∠A +∠EIF =180°.这里BC =a ，CA =b ，AB =c ，s =12（a +b +c ）.2．如图2，设⊙I 为Rt △ABC 的内切圆，则有： （1）四边形IDCE 是正方形； （2）内切圆半径r =AC +BC －AB2.3．如图3，设⊙O 为四边形ABCD 的内切圆，则有；AB +CD =AD +BC .CB图1 图2 图3例题与求解【例1】 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A 和∠B 的平分线相交于P 点，又PE ⊥AB 于E 点.若BC =2，AC =3，则A E ·EB = .（全国初中数学联赛试题）解题思路：P 为Rt △ABC 内切圆的圆心，利用直角三角形内切圆的性质来解.P E BCAOEDC例1题图 例2题图【例2】如图，以正方形ABCD 的边BC 为直径作半圆O ，过点D 作直线切半圆于点F ，交AB 边于点E ，则三角形ADE 和直角梯形EBCD 周长之比为（ ）A ．3∶ 4B ．4∶ 5C ．5∶ 6D ．6∶ 7（杭州市中考试题）解题思路：本例综合了切线的判定与性质、切线长定理、勾股定理等知识，为求出周长，需要引入字母或赋值.【例3】如图，已知∠ACE=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB 于F.求证：F是△CDE的内心.（全国初中数学联赛试题）解题思路：即要证F为△CDE角平分线的交点，将问题转化为角相等问题的证明，充分运用与圆相关的角的性质.ADFBC E【例4】如图，不等边△ABC内接于⊙O，I是其内心，且AI⊥OI.求证：AB+AC=2BC.（四川省竞赛试题）解题思路：从外心、内心出发，添加辅助线，充分运用圆的性质，由角的关系导出线段的关系.【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC、△ACD、△BCD 角平分线的交点.求证：（1）O1O⊥CO2；（2）OC=O1O2.（武汉市选拔赛试题）解题思路：在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等.故通过证交角等于90°的方法得两线垂直，再用全等三角形证两线段相等.B【例6】如图，已知直径与等边三角形ABC 的高相等的圆与AB 和BC 边相切于点D 和E ，与AC 边相交于点F 和G . 求∠DEF 的度数.（浙江省竞赛试题）解题思路：若要运用切线的性质，则需确定圆心，这是解本例的关键.GFA BEDC能力训练A 级1．如图，⊙I 是Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，若AF 、BE 的长是方程x 2－13x +30=0的两根，则S △ABC 的值是 . （泰州市中考试题）F（第1题图） （第2题图） （第3题图）2．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =5，⊙O 内切Rt △ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，半径r =2，则AC = . （杭州市中考试题） 3．如图，已知直线6+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点P 为x 轴上可以移动的点，且点P 在点A 的左侧，PM ⊥x 轴，交直线6+-=x y 于点M . 有一个动圆O ′，它与x 轴、直线PM 和直线6+-=x y 都相切，且在x 轴上方.当⊙O ′与y 轴也相切时，点P 的坐标是 .（青岛市中考试题）4．如图，已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ） A ．三条中线的交点 B ．三条高的交点C ．三条角平分线的交点D ．三条边的垂直平分线的交点（四川省中考题）CC（第4题图） （第5题图）5．如图，AD 是△ABC 的角平分线，⊙O 过点A 且和BC 相切于点D ，和AB 、AC 分别交于点E 、F .若BD =AE ，且BE =a ，CF =b ，则AF 的长为（ ）A ．1+52 aB ．1+32 aC ．1+52bD ．1+32b6.若0°＜α＜90°，那么以sin α、cos α、tan α·cot α为三边的△ABC 的内切圆半径r 与外接圆半径R 之和是（ ） （安徽省竞赛试题）A ．sin α+cos α2B ．tan α+cot α2C ．2sin αcos αD ．1sin α+cos α7．如图，设AD 是△ABC 的中线，△ABD 、△ADC 的外心分别为E 、F ，直线BE 与CF 交于点G . 若DG =12BC ，求证：∠ADG =2∠ACG .（“我爱数学”夏令营竞赛试题）8．如图，BC 是⊙O 的直径，AB 、AD 是⊙O 的切线，切点分别为B 、P .过C 点的切线与AD 交于点D .连结AO 、DO .（1）求证：△ABO ∽△OCD ；（2）若AB 、CD 是关于x 的方程x 2－52（m －1）x +（m －1）2=0的两个实数根，且S △ABO +S △OCD =20，求m 的值.OBDCPA（第7题图） （第8题图） （第9题图）9．如图，以坐标原点O 为圆心，6为半径的圆交y 轴于A 、B 两点，AM 、BN 为⊙O 的切线，D 为切线AM 上的一点（D 与A 不重合），DE 切⊙O 于点E ，与BN 交于点C ，且AD ＜BC . 设AD =m ，BC =n .（1）求m ·n 的值；（2）若m ，n 是方程2t 2－30t +k =0的两根，求：①△COD 的面积；②CD 所在直线的解析式；③切点E 的坐标.（辽宁省中考题）10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，其中⊙O1，⊙O2，…，⊙O n为n个（n≥2）相等的圆，⊙O1与⊙O2相外切，⊙O2与⊙O3相外切，…，⊙O n－1与⊙O n相外切，⊙O1，⊙O2，…，⊙O n都与AB相切，且⊙O1与AC相切，⊙O n与BC相切.求这些等圆的半径r（用n表示）.（河北省竞赛试题）AF G（第10题图）（第11题图）11．如图，四边形A1A2A3A4内接于一圆，△A1A2A3、△A2A3A4、△A3A4A1的内心分别是I1、I2、I3.求证：（1）A2、I1、I2、A3四点共圆；（2）∠I1I2I3=90°.（四川省竞赛试题）B级1．如图，AC⊥BC，BC=a，AC=b，⊙O的半径为r，那么满足关系式r=aba+b的图形是.（把正确的所有图形的序号填在横线上）BACAB①②③④2．已知在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，CD为AB上的高. O1、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则O1O2= .（太原市竞赛试题）3．如图，半圆与两直角边相切，且圆心O在直角三角形ABC的斜边AB上.若直角三角形面积为S，斜边长为c，则半圆的半径r= .（五城市联赛试题）4．已知：如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O 的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连接ON、NP．下列结论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP；③DP·PC为定值；④P A为∠NPD的平分线．其中一定成立的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①④BBC（第3题图） （第4题图） （第5题图） （第6题图）5．如图，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC 、CD 、DA 相切，若BC =2，DA =3，则AB 的长（ ）A ．等于4B ．等于5C ．等于6D ．不能确定（全国初中数学联赛试题）6．如图，在矩形ABCD 中，连结AC .如果O 为△ABC 的内心，过O 作OE ⊥AD 于点E ，作OF ⊥CD 于F ，则矩形OFDE 的面积与矩形ABCD 的面积的比值为（ ）A ．12B ．23C ．34 D ．不能确定，与AB 、BC 的长度有关（《学习报》公开赛试题） 7．一条直线DE 平分△ABC 的周长，同时直线DE 又平分了△ABC 的面积. 求证：直线DE 经过△ABC 的内切圆圆心O .（全国初中数学联赛试题）8．如图，AB 、BC 、CD 分别与圆相切于E 、F 、G ，AB =BC =CD . 连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF. 求证：PF ⊥BC . （江苏省竞赛试题）BD BFPG A E C（第8题图） （第9题图）9．如图，在△ABC 中，CH 为高，R 、S 分别为△ACH 和△BCH 的内切圆与CH 的切点.若AB =1995，AC =1994，BC =1993，则RS 可表示成mn，其中m ，n 是互质的正整数.求m +n 的值.（美国中学生数学邀请赛试题）10．如图，△ABC 的三边满足关系式BC =12（AB +AC ），O 、I 分别为△ABC 的外心、内心.∠BAC 的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H .求证：（1）AI =BD ；（2）OI =12AE.（湖北省选拔赛试题）KC（第10题图） （第11题图） （第12题图）11．如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为A （－2，0）、B （8，0）.以AB 为直径的半圆P 与y 轴交于点M ，以AB 为一边作正方形ABCD .（1）求C 、M 两点的坐标；（2）连接CM ，试判断直线CM 是否与⊙P 相切？说明你的理由；（3）在x 轴上是否存在一点Q ，使得△QMC 的周长最小？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（南宁市中考试题）12．如图，⊙O 是等边△ABC 的内切圆，与AB 、AC 两边分别切于D 、E 两点，连结DE . 点P 是劣弧 ⌒DE 上的一个动点（不与D 、E 重合），过点P 作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AC 于N ，PK ⊥BC 于K ，PK 交DE 于L 点.求证：（1）PL 2=PM ·PN ；（2）PK =PM +PN .（黄石二中理科实验班自主招生考试试题）。
走进重高培优讲义专题集训 初中综合教练 第19讲 直线与圆的位置关系
第19讲 直线与圆的位置关系1．了解直线和圆的三种位置关系，了解圆的切线的概念，掌握直线与圆相切的判定及性质，会判断一条直线是否为圆的切线，会过圆上的点画圆的切线，会切线性质的简单应用．2．理解两圆相切的概念，掌握两圆相切的性质及应用，了解两圆的位置关系及其判定，会进行涉及两圆位置关系的简单计算，掌握两圆连心线垂直平分公共弦这一性质．3．和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形，三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心，三角形的内心是三角形的三个内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，学会作一个三角形的内切圆，会进行有关三角形内切圆的计算和论证．1．直线与圆的位置关系中出现的问题，具有较高的综合性，因此在分析和解决问题时，需要较强的空间想象能力和逻辑推理能力，充分注意挖掘题中的基本图形，化繁为简．2．圆中常见的辅助线：遇到直径，一般要引直径所对的圆周角；遇到切线，一般要引过切点的半径；遇到两圆相切，一般要引两圆的公切线（内公切线或外公切线）；遇到两圆相交，一般要引两圆的公共弦或连心线．3．掌握直角三角形内切圆半径的两种表示形式： ⋅-+=2)1(c b a r(2)[ab r Rt ABC a b c =∆++的各边长分别为a ，b ，c （斜边）]．例1 如图，⊙0是以数轴原点0为圆心、半径为1的圆，=∠AOB ,45 点P 在x 轴上运动，过点P 且与OB平行的直线与⊙O 有公共点，则OP 的取值范围是____．【方法归纳】 直线与圆有三种位置关系：相交、相切与相离，当圆心到直线的距离d<r(r 为圆半径)时，直线与圆相交；当d=r 时，直线与圆相切；当d>r 时，直线与圆相离．【误区提醒】本题考查直线与圆的位置关系．解答本题的关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP 的值．例2 如图1，已知CD 是△.ABC 中AB 边上的高，以CD 为直径的⊙0分别交CA ，CB 于点E ，F ，G 是AD 的中点．求证：GE 是⊙0的切线，图1【方法归纳】切线的判定有两种情况：(1)直线与圆的公共点已知，常连接过这一点的半径，证明直线垂直于这条半径．(2)直线与圆的公共点未知，常过圆心作直线的垂线段，然后证明这条垂线段等于圆的半径．切线的性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆的距离等于半径；③切线垂直于经过切点的半径，【误区提醒】切线的判定与性质容易混淆，在解题时要注意条件，例3 如图1，已知△ABC 内接于⊙0，AB 是⊙0的直径，点F 在⊙0上，且C 是BF 的中点，过点C 作⊙0的切线交AB 的延长线于点D ，交AF 的延长线于点E.(1)求证：.DE AE ⊥(2)若,4,60==∠AF BAF求CE 的长，图1【方法归纳】本题考查切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，本题同时也考查圆周角定理．【误区提醒】利用切线的性质通常是连切点与圆心得到与切线垂直的半径，但要注意这是已知切点的情况，若切点未知，往往是先作与切线垂直的半径，得到切点，例4 阅读材料：如图1，△ABC的周长为L，内切圆⊙0的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC被划分为三个小三角形，S△ABC表示△ABC的面积．图1 图2【方法归纳】 本题是近几年中考中的热点问题——阅读理解问题，这类问题往往由三部分组成，分别是“理解与应用”“类比与推理”“拓展与延伸”，在解题时要充分理解题意，找出题中的关键语句，也可带着问题去看题目，要充分注意题目中的思想方法．【误区提醒】三角形的内切圆这部分知识涉及切线长定理、方程思想，在解题过程中要注意合理运用，例5 如图1，在△ABC 中，AB = AC ，以AB 为直径的⊙0交BC 边于点D ，交AC 边于点E.过点D 作⊙0的切线，交AC 于点F ，交AB 的延长线于点G ，连接DE.(1)求证：BD=CD.(2)若,40=∠G 求∠AED 的度数．(3)若,2,6==CF BG 求⊙0的半径．图1【方法归纳】本题考查切线的性质、圆内接四边形的性质、相似三角形的性质和判定、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，能综合运用知识点进行推理是解题的关键，【误区提醒】圆的相关问题通常都是转化为三角形问题解决，直角三角形的勾股定理、相似三角形的比例关系都是常用的等量关系，方程思想是常用的思想方法，解题时要认真分析题意、研究图形，得到正确的数量关系，例【黔南州】如图1，在平面直角坐标系中，顶点为（4，-1）的抛物线交y轴于点A，交x轴于点B，C（点B在点C的左侧），已知点A的坐标为(O，3)．(1)求此抛物线的表达式．(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，切点为E，请判断抛物线的对称轴Z与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明．(3)已知P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时点P的坐标和△PAC的最大面积，图1【方法归纳】本题涉及的知识点较多，要求学生全面掌握基础知识、熟练运用常用的知识和方法．从难度上看，本题难度并不高，因此区分度也不高；从题目的形式上看，本题属于经典的压轴题，立意明确、中规中矩，针对性很强，但是缺乏变化和新意．1．如图，,30o O =∠C 为OB 上一点，且6,oc =以点C 为圆心、3为半径的圆与OA 的位置关系是( )．A ．相离B ．相交 C.相切 D ．以上三种情况均有可能2．【深圳】如图，一把直尺、有一角为 60的直角三角板和光盘按如图摆放，A 为 60角与直尺的交点，AB=3，则光盘的直径是 ( )．3.A 33.B 6.C 36.D3．如图，AB 是⊙0的直径，C 是AB 延长线上一点，CE OB BC ,=是⊙0的切线，切点为D ，过点A 作,CE AE ⊥ 垂足为E ，则DE CD :的值是( )．21.A 1.B2.C3.D4．【泰安】如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心0，过点C 的切线与边AD 所在的直线垂直于点M ．若,55 =∠ABC 则∠ACD 等于( )．o A 20. 35.B 40.C 55.D5．已知BC AC ⊥于点,,,,c AB b CA a BC C ===下列各图中⊙0的半径为ba ab +的是( )．6．已知,90 =∠BAC 半径为r(r 为常数)的⊙0与两条直角边AB ，AC 都相切，设),(r a a AB >=BE 与⊙0相切于点E ，当150=∠ABE 时，BE 的长为( )． r A 23. r B 33. r C 215.- r D )32.(-7．【安徽】如图，菱形ABOC 的边AB ，AC 分别与⊙0相切于点D ，E ．若D 是AB 的中点，则∠DOE =_________.（第7题） （第8题）8．【宁波】如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连接PM ，以点P 为圆心、PM 长为半径作⊙P.当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时,BP 的长为_________.9．如图，P AB AC AB DB AB CA ,6,2,,==⊥⊥为射线BD 上一动点，以CP 为直径作⊙0，点P 运动时，若⊙0与线段AB 有公共点，则BP 的最大值为_________．（第9题） （第10题）10．如图，已知△ABC 中，O C BC AC .90,6 =∠==是 AB 的中点，⊙0与AC ，BC 分别相切于点D 与点E.F 是⊙O 与AB 的一个交点，连接DF 并延长交CB 的延长线于点G ，则CG=_________11.如图，AB 为⊙0的直径，AC 是⊙0的弦，AD 垂直于过点C 的直线CD ，垂足为D ，且AC 平分∠BAD.(1)求证：CD 是⊙0的切线．(2)若,5,1==AB AD 求AC 的长．12.如图，⊙0的圆心0在Rt△.ABC 的直角边AC 上，⊙0经过C ，D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO ，ED ，有BO∥ED，作弦AC EF ⊥于点G ，连接DF ．(1)求证：AB 为⊙0的切线．(2)若⊙0的半径为,53sin ,5=∠DFE 求EF 的长．13．如图，AB ，CD 为⊙0的直径，弦AE∥CD，连接BE 交CD 于点F ，过点E 作直线EP 与CD 的延长线交于点P ，使∠PED=∠C.(1)求证：PE 是⊙0的切线．(2)求证：ED 平分∠BEP.(3)若⊙0的半径为5，CF=2EF ，求PD 的长，14．【深圳】如图，△ABC 内接于⊙0，,,2AC AB BC ==D 为 AC 上的动点，且⋅=1010cos B (1)求AB 的长度．(2)在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，AD ．AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ．AE 的值；若变化，请说明理由．(3)在点D 的运动过程中，过点A 作,BD AH ⊥求证：.DH CD BH +=1．【眉山】如图，AB 是⊙0的直径，PA 切⊙0于点A ，线段PO 交⊙0于点C ．连接BC.若=∠P ,36 则∠B 等于( )．27.A 32.B 36.C 54.D2．【重庆】如图，已知AB 是⊙0的直径，点P 在BA 的延长线上，PD 与⊙0相切于点D ，过点B 作PD 的垂线 交PD 的延长线于点C ，若⊙O 的半径为,6,4=BC 则PA 的长为( )．4.A 32.B 3.C5.2.D（第2题） （第3题）3．【无锡】如图，在矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A ，D ，G 三点的⊙0与边AB ，CD 分别交于点E ，F ，给出下列说法：①AC 与BD 的交点是⊙0的圆心；②AF 与DE 的交点是⊙0的圆心；③BC 与⊙O 相切．其中正确说法的个数是( )．0.A 1.B 2.C 3.D4．【无锡】如图，菱形ABCD 的边,20=AB 面积为,320,90<∠BAD ⊙0与边AB ，AD 都相切，,10=AO 则⊙0的半径长等于( )． 5.A 6.B 52.C 23.D（第4题） （第5题）5．【台州】如图，在△ ABC 中，,6,8,10===BC AC AB 以边AB 的中点0为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )．6.A 1132.+B 9.C 332.D6．【长沙】如图，点A ，B ，D 在⊙0上，20,A BC ∠=是⊙0的切线，B 为切点，OD 的延长线交BC 于点C ，则 OCB ∠=（第6题） （第7题）7．【威海】如图，在扇形CAB 中，,AB CD ⊥垂足为D ，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接AE ，BE ，则∠AEB 的度数为____．8．【大庆】已知直线)0(=/=k kx y 经过点(12，-5)，将直线向上平移)0(>m m 个单位，若平移后得到的直线与 半径为6的⊙0相交(O 为坐标原点)，则m 的取值范围是__________.9．【南京】如图，在矩形ABCD 中，,4,5==BC AB 以CD 为直径作⊙O.将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩形///A B CD的边//A B 与⊙0相切，切点为E ，边/CD 与⊙O 相交于点F ，则CF 的长为_________.（第9题） （第10题）10.【泰州】如图，在△ABC 中，,135sin ,90==∠A ACB ,12=AC 将△ABC 绕点C 按顺时针方向旋转 90得到 //,A B C P ∆为线段//A B 上的动点，以P 为圆心、/PA 长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为11．【北京】如图，AB 是⊙0的直径，过⊙0外一点P 作⊙O 的两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ，连接OP ．CD ．(1)求证：.CD OP ⊥(2)连接AD ，BC ，若OA CBA DAB ,70,50=∠=∠,2=求OP 的长．12．【黔西南州】如图，已知AB 为⊙0的直径，D 是BC 的中点，AC DE ⊥交AC 的延长线于点E ，⊙0的切线 交AD 的延长线于点F ．(1)求证：直线DE 与⊙0相切．(2)已知AB DG ⊥且,4=DE ⊙O 的半径为5，求F ∠tan 的值．13.【德阳】如图，在直角三角形ABC 中，H ACB ,90 =∠是△ABC 的内心，AH 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点D ，连接DB.(1)求证：.DB DH =(2)过点D 作BC 的平行线，分别交AC ，AB 的延长线于点E ，F ，已知,1=CE ⊙0的直径为5．①求证：EF 为⊙O 的切线．②求DF 的长．14.【广西】如图，△ABC 内接于⊙0，∠CBG=∠A，CD 为直径，OC 与AB 相交于点E ，过点E 作EF ⊥ BC，垂足为F ，延长CD 交GB 的延长线于点P ，连接BD.(1)求证：PG 与⊙0相切．(2)若,85=AC EF 求BE OC的值． (3)在(2)的条件下，若⊙0的半径为,,8OD PD =求OE 的长．1．【全国初中数学联合竞赛】如图，已知AB 是⊙0的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，若D AC CE DE ,58,43==为EF 的中点，则=AB _______.（第1题） （第2题）2．如图，正方形ABCD 的边长为4，以AB 为直径向正方形内作半圆，CM 与DN 是半圆的切线，M ，N 为切点，若CM与DN 交于正方形内一点P ，则△PMN 的面积是______．3．【无锡】如图，菱形ABCD 的边长为=∠DAB cm ,2.60 点P 从点A 出发，以s cm /3的速度，沿AC 向点C 做匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以1 cm/s 的速度，沿射线AB 做匀速运动，当点P 运动到点C 时，点P ，Q 都停止运动．设点P 运动的时间为t(s)．(1)当点P 异于点A ，C 时，请说明PQ∥BC.(2)以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，在整个运动过程中，t 为何值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？4．【扬州】如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点0在坐标原点，顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正 半轴上，且2,1,OA OC ==矩形对角线AC ，OB 相交于点E ，过点E 的直线与边OA ，BC 分别相交于点G,H ．图1 图2(1)①直接写出点E 的坐标：_______．②求证：AG=CH.(2)如图2，以0为圆心、OC 为半径的圆弧交OA 于点D ，若直线GH 与弧CD 所在的圆相切于矩形内一点F ，求直线GH 的函数表达式．(3)在(2)的结论下，梯形ABHG 的内部有一点P ，当⊙P 与HG ，GA ，AB 都相切时，求⊙P 的半径.答案。
个性化练习【培优2】直线与圆位置关系
直线与圆位置关系(培优二)1.如图，⊙O1的半径为1，正方形ABCD的边长为6，点O2为正方形ABCD的中心，O1O2垂直AB与P 点，O1O2＝8．若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O1与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．5次C．6次D．7次2.如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED＝x°，∠ECD＝y°，⊙B的半径为R，则⋂DE的长度是（）A．()9090Rx-πB．()9090Ry-πC．()180180Rx-πD．()180180Ry-πEPABCD第10题图3.如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)。
动点P从O点出发，以每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动。
若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动。
(1)当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；(2)当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD 会是菱形。
yO xAB4.如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦AB与小半圆N相切于点F，且AB ∥CD，AB=4，设CD、CE的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z（x+y）= .5.如图①，将一个量角器与一张等腰直角三角形（△ABC）纸片放置成轴对称图形，∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D，半圆（量角器）的圆心与点D重合，没得CE＝5cm，将量角器沿DC方向平移2cm，半圆（量角器）恰与△ABC的边AC、BC相切，如图②，则AB的长为cm.（精确到0.1cm）图①图②。
直线与圆的位置关系常见题型归纳
直线与圆的位置关系常见题型归纳 （一）.直线与圆的位置关系判定： Eg1：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作⊙C 。
（1）若⊙C 与斜边AB 没有公共点，则R 的取值范围是 ；（2）若⊙C 与斜边AB 只有一个公共点，则R 的取值范围是 ；（3）若⊙C 与斜边AB 有两个公共点，则R 的取值范围是 。
Eg2：如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径是1，直线AB 与x 轴交于点P （x ，0），且与x 轴正方向夹角为45°，若AB 与⊙O 有公共点，则x 值的范围是（ ）A ．﹣1≤x ≤1B ．22≤≤-x C ．22 x - D ．20≤≤xEg3：如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是_______．Eg4：如图，P 为∠AOB 边OA 上一点，∠AOB =30∘，OP =10cm ，以P 为圆心，5cm 为半径的圆与直线OB 的位置关系是（ ）A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定（二）.切线性质：1. 有关角度问题：Eg1：如图，AB 为⊙O 的切线，切点为A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，若∠ABO 的度数是32∘，则∠ADC 的度数是（ ）A.29∘ B.30∘ C.31∘ D.32∘Eg2：如图所示，线段AB 是⊙O 的直径，∠CDB ＝20°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则∠E 等于 ( )A ．50°B ．40°C ．60°D ．70°Eg3：如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25∘，则∠C=度．Eg4：如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C,点D、E、F是⊙O上三个点，EF∥AB，若EF=23，则∠EDC的度数为。
直线与圆的位置关系题型很全
注意：1.在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断这点与圆的位置关系，
2.设直线的方程时，切记千万要对直线的斜率存在与否进行讨论。
若存在，则经常设直线的方程为点斜式；若不存在，则特殊情况特殊对待。
小结：求圆的切线方程一般有两种方法：
(1)证明直线l与圆C相交;
(2)求直线l被圆C截得的弦长最小时, 直线l的方程.
题型五、判断点的个数问题
例1、圆x 2 + y 2 + 2 x + 4 y - 3 = 0上到直线x + y +1 = 0的 距离为 2的点共有几个.
练习1:已知圆
x y ,4
2 2
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
2 2
B
A
O
x
| AB | (1 k 2 )[( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 ]
2．已知直线 y=x+1 与圆 x 2 y 2 4 相交于A,B两点，求
弦长|AB|的值
解三：解弦心距,半弦及半径构成的直角三角形） 设圆心O（0，0）到直线的距离为d，则 y
2 d 2 1 (1) 2 | AB | 2 r d 14
y y ，由直线 l 与圆的方程构造以 x x
为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出 kOP kOQ 的值，从而使问题得以解决．
解：设点 P 、 Q 的坐标为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ．一方面，由 OP OQ ，得
kOP kOQ 1 ，即
y1 y2 1 ，也即： x1 x2 y1 y2 0 ． x1 x2
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直线与圆的位置关系 题型培优
一、考点·方法·破译
1. 理解掌握圆的切线、割线的概念，懂得直线与圆的三种位置关系及判别依据；
2. 理解掌握切线的性质定理、判定定理，能熟练运用会根据需要添加辅助线；
3. 理解掌握切线长定理，能利用切线相关定理进行推理论证。
二、经典· 考题· 赏析
题型1（泉州）已知直线y =kx （k ≠0）经过点（3,-4），（1）求k 的值；（2）将该直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到直线与半径为6的⊙O 相离（点O 为坐标原点），试求m 的取值范围
【变式题组】 1.（辽宁）如图，直线y =
3
3
x +3
与
x
轴、y
轴分别相交
于A,B 两点，圆心P 的坐标为
（1,0），⊙P
与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左移动，当⊙P 与该直线相交时，
横坐标为整数的点P 有个
2.（永州）如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，A 点的坐标为（-3,0），经过A 、O 两点作半径为5
2的⊙O ，交
y 轴的负半轴于点B （1）求B 点的坐标；
（2）过B 点作⊙C 的切线交x 轴于点D ，求直线BD 的解析式
题型2（襄樊）如图所示，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上， DC 切⊙O 于C ，若∠A =25°，则∠D 等于（ ） A. 40° B.50° C.60° D.70° 【变式题组】
3.（徐州、南京）如图，两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ，弦AB 与小圆相切于点C ，则AB 的长为（ ） A .4cmB . 5cmC . 6cmD .8cm
4.（南充）如图，从⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线P A 、PB ，切点分别是A ，B,若P A =8cm ，C 是AB 上的一个动点（点C 与A 、B 两点不重合），过点C 作⊙O 的切线，分别交P A 、PB 于点D 、E ，则△PED 的周长是 .
5.（徐州）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点D ，若∠C =18°，则∠CDA =.
6.（荆门）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =6，BC =8,则△ABC 的内切圆半径r =.
题型3（日照）如图，⊙O 的直径AB =4，C 为圆周上一点，AC =2,过点C 作⊙O 的切线l ，过点B 作l 的垂线BD ，垂足为D ，BD 与⊙O 交于点E （1）求∠AEC 的度数;
（2）（2）求证：四边形OBEC 是菱形
【变式题组】
7.（宁波）已知：如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于E ， ⌒BC = ⌒BD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线交于点F ，
（1）求证:CD ∥BF （2）连结BC ，若⊙O 的半径为4，cos ∠BCD =3
4，求线段AD 、CD 的长
题型4（安顺）如图，AB =BC,以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ， （1）求证:DE 是⊙O 的切线;
（2）作DG ⊥AB 交⊙O 于G ，垂足为F ，若∠A =30°，AB =8，求弦DG 的长
【变式题组】 8.（十堰）如图，直线l 切⊙O 于点A ，点P 为直
线l 上一点，直线PO 交⊙O 于点C 、B ，点D 在线段AP 上，连结DB ，且AD =DB （1）求证:DB 为⊙O 的切线;（2）若AD =1，PB =BO ，求弦AC 的长
9.（大连）如图，在⊙O 中，AB 是直径，AD 是弦，∠ADE =60°，∠C =30°.（1）判断直线CD 是否是⊙O 的切线，并说明理由；（2）若CD =33，求BC 的长.
题型5（本溪）如图所示，AB 是⊙O 直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ， （1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长 【变式题组】
10.（仙桃）如图，AB 为⊙O 的直径，D 是⊙O 上的一点，过O 点作AB 的垂线交AD 于点E ，交BD 的延长线于点C ，F 为CE 上一点，且FD =FE
（1）请探究FD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O 的半径为2，BD =3，求BC 的长.
11.（德化）如图，已知在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 长为半径的圆O 与AD 、AC 交于点E 、F
（1）判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan ∠ACB =
2
2
，BC =2，求⊙O 的半径. 三、演练巩固 反馈提高
1.（佳木斯）如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连结AD ，则下列结论：①AD ⊥BC ②∠EAD =∠B ③OA =1
2AC ④DE 是⊙O 的切线。
正确的个数是（ ）
A .1 个
B .2个
C .3个
D .4个
2.（衡阳）如图，直线AB切⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠EDC=30°，弦EF∥AB，连结OC交EF于点H，连结CF，且CF=2，则HE的长为
3.（门头沟）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP=x，则x的取值范围是（）
A.-1≤x≤1
B.-2≤x≤2
C. 0≤x≤2
D.x＞ 2
4.（武汉）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连结DE，
（1）求证:直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值.
5.（北京）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B、M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径
（1）求证:AE与⊙O相切;（2）当BC=4，cos C=
1
3
时，求⊙O的半径.
6.（无锡）如图，已知点(63,0),(0,6)
A B，经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发,在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向作匀速运动．设它们运动的时间为t秒．（1）用含t的代数式表示点P的坐标；
（2）过O作OC⊥AB于C,过C作CD⊥x轴于D,问：t为何值时,以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．
7.（陕西）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P，（1）求证:AP 是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长.
8.（贺州）如图,在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点E，连结DE、OE.
（1）求证:DE是⊙O的切线（2）如果⊙O的半径是
3
2
cm，ED=2 cm，求AB的长
B
A
O
P
D
C
l
x
y
四、培优升级
1.（义乌）如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC ，弦DF ⊥AB 于点G ， （1）求证:点E 是 ⌒BD 的中点；（2）求证:CD 是⊙O 的切线；（3）若sin ∠BAD =45,⊙O 的半径为5，求DF 的长.
2.（衡阳）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC =2㎝，∠ABC =60°，（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜2），连接EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．
3.（深圳）如图，在平面直角坐标系，直线l :y =-2x -8分别与x 轴、y 轴相交于A 、B 两点，点P （O,k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P .（1）连接P A ，若P A =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？
4.如图：直线AB 与⊙O 相交于点E 、F ，EF 为⊙O 的直径，且AE =EF =FB ，直线AP 与⊙O 的半径OD 垂直于D ，求证：∠ADE =∠PDB .
5.（江苏）如图，已知射线DE 与x 轴和y 轴分别交于点(30)D ，
和点(04)E ，．动点C 从点(50)M ，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x 轴向左作匀速运动，与此同时，动点P 从点D 出发，也以1个单位长度/秒的速度沿
射线DE 的方向作匀速运动．设运动时间为t 秒．
（1）请用含t 的代数式分别表示出点C 与点P 的坐标；（2）以点C 为圆心、12
t 个单位长度为半径的C ⊙与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），连接P A 、PB ．①当C ⊙与射线DE 有公共点时，求t 的取值范围；②当PAB △为等腰三角形时，求t 的值．。