2018版高考数学一轮总复习不等式选讲2证明不等式的基本方法模拟演练课件文

| a ＋ b | ab 1 ＋ ∴4(a＋b)2<(4＋ab)2，∴ < . 4 2
2．已知定义在 R 上的函数 f(x)＝|x－m|＋|x|，m∈N*， 存在实数 x 使 f(x)<2 成立．ห้องสมุดไป่ตู้(1)求实数 m 的值； 4 1 9 (2)若 α，β>1，f(α)＋f(β)＝2，求证： ＋ ≥ . α β 2
1 ≥ 5＋2 2
9 4β α · ＝2. α β 4β α 4 2 (当且仅当 ＝ ，即 α＝ ，β＝ 时，等号成立) α β 3 3 4 1 9 又因为 α，β>1，所以 ＋ > 恒成立． α β 2 4 1 9 故 ＋ ≥ . α β 2
3．[2017· 大连模拟]已知 a>0，b>0，记 A＝ a＋ b，B ＝a＋b. (1)求 2A－B 的最大值； (2)若 ab＝4，是否存在 a，b，使得 A＋B＝6？并说明 理由．
得 2x＋8≤0，x≤－2 或－4≥0，－2<x<－1 或 2x≥2， x≥－1，解得 A＝{x|x≤－4 或 x≥1}．
|a＋b| ab (2)证明：∵ <1＋ 4 ⇔2|a＋b|<|4＋ab|. 2 而 4(a ＋ b)2 － (4 ＋ ab)2 ＝ 4(a2 ＋ 2ab ＋ b2) － (16 ＋ 8ab ＋ a2b2) ＝ 4a2 ＋ 4b2 － a2b2 － 16 ＝ a2(4 － b2) ＋ 4(b2 － 4) ＝ (b2 － 4)(4－a2)， ∵a，b∈(－1,1)，∴(b2－4)(4－a2)<0，
3 1 综上，原不等式的解集为x－ <x< 2 2 .
(2)证明：由已知 x∈[－1,1]，∴|x|≤1，又|a|≤1， 则 |f(x)| ＝ |a(x2 － 1) ＋ x|≤|a(x2 － 1)| ＋ |x|≤|x2 － 1| ＋ |x| ＝ 1 －|x|
2 1 5 5 2 ＋|x|＝－|x|－2 ＋ ≤ . 4 4
6．[2017· 衡阳二联]已知函数 f(x)＝|x－3|. (1)若不等式 f(x－1)＋f(x)<a 的解集为空集，求实数 a 的取值范围；
b fab (2)若|a|<1，|b|<3，且 a≠0，判断 与 f 的大小，并 |a| a
即证(ab－3)2>(b－3a)2， 又(ab－3)2－(b－3a)2＝a2b2－9a2－b2＋9 ＝(a2－1)· (b2－9)． 因为|a|<1，|b|<3，所以(ab－3)2>(b－3a)2 成立，所以原 不等式成立．
解 (1)因为|x－m|＋|x|≥|(x－m)－x|＝|m|. 要使不等式|x－m|＋|x|<2 有解， 则|m|<2， 解得－2<m<2. 因为 m∈N*，所以 m＝1.
(2)证明：因为 α，β>1， 所以 f(α)＋f(β)＝2α－1＋2β－1＝2，即 α＋β＝2.
4 1 4 1 1 1 4β α 所以 ＋ ＝ ＋ (α＋β)＝ ( 5＋ ＋ ) α β 2α β 2 α β
板块三 模拟演练· 提能增分
1．[2017· 南昌模拟]函数 f(x)＝
|x＋1|＋|x＋2|－a.
(1)若 a＝5，求函数 f(x)的定义域 A；
|a＋b| ab 1 ＋ (2)设 a，b∈(－1,1)，证明： < . 4 2
解
(1)由|x＋1|＋|x＋2|－5≥0，
1 综上所述，当 0<a<1 时，a －a＋1< ； a
2
1 当 a＝1 时，a －a＋1＝ ； a
2
1 当 1<a<2 时，a －a＋1> . a
2
5．已知函数 f(x)＝ax2＋x－a 的定义域为[－1,1]． 3 (1)若 f(0)＝f(1)，解不等式|f(x)－1|<ax＋ ； 4 5 (2)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤ . 4
x≤0， 由 f(x)>－1，得 x－1>－1 1 x≥ ， 2 或 －x＋1>－1，
解得 0<x<2，故 M＝{x|0<x<2}．
3 2 a － a ＋a－1 1 2 (2)由(1)知 0<a<2，因为 a －a＋1－ ＝ ＝ a a
a－1a2＋1 ， a a－1a2＋1 1 2 当 0<a<1 时， <0，所以 a －a＋1< ； a a a－1a2＋1 1 2 当 a＝1 时， ＝0，所以 a －a＋1＝ ； a a a－1a2＋1 1 2 当 1<a<2 时， >0，所以 a －a＋1> . a a
解
(1)f(0)＝f(1)，即－a＝a＋1－a，则 a＝－1，
∴f(x)＝－x2＋x＋1， 3 ∴不等式化为|－x ＋x|<－x＋ ， 4
2
3 ①当－1≤x<0 时，不等式化为 x －x<－x＋ ， 4
2
3 ∴－ <x<0； 2 3 ②当 0≤x≤1 时，不等式化为－x ＋x<－x＋ ， 4
2
1 ∴0≤x< . 2
说明理由．
解
(1)因为 f(x－1)＋f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－
x|＝1， 不等式 f(x－1)＋f(x)<a 的解集为空集， 则 1≥a 即可， 所以实数 a 的取值范围是(－∞，1]．
b fab (2) >f . |a| a fab b 证明：要证 >f ，只需证|ab－3|>|b－3a|， |a| a
4，所以 A＋B≥4＋2 2>6，所以不存在这样的 a，b，使得
4．[2017· 安徽江南十校联考] 已知函数 f(x)＝ |x|－ |2x－ 1|，记 f(x)>－1 的解集为 M. (1)求 M； 1 (2)已知 a∈M，比较 a －a＋1 与 的大小． a
2
解
x－1，x≤0， 1 3x－1，0<x< ， 2 (1)f(x)＝|x|－|2x－1|＝ 1 －x＋1，x≥ . 2 1 0<x< ， 2 或 3x－1>－1
解

(1)
2A － B ＝
2a － a ＋
2b － b ＝－
2 2 － a－ 2
1 2 2 ＋1≤1，等号在 a＝b＝ 时取得，即 2A－B 的最 b－ 2 2 ab，因为 ab＝
大值为 1. (2)A＋B＝a＋b＋ a＋ b≥2 ab＋2 A＋B＝6.